II

i54 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

Donc encore :

Tout point d'inflexion d'une ligne du troisième ordre jouit, par rapport à cette courbe, de propriétés métriques ou descriptives analogues à celles du pôle d'une conique considéré par rapport à sa polaire.

Et, en particulier,

Si d'un tel point on mène les trois tangentes correspondantes de la courbe, leurs points de contact se trouveront sur une même droite qui peut être appelée la polaire de ce point .

Concevons enfin que, par deux quelconques des points d'inflexion d'une courbe du troisième degré, on mène une ligne droite, il en résultera que la dernière intersection de cette droite sera naturellement un troisième point d'inflexion de la courbe qui ne pourra évidemment en avoir aucun autre de cette sorte. Donc :

Les trois points d' inflexion d'une courbe du troisième degré sont toujours en ligne droite.

157. Revendication en faveur de Mac-Laurin. — Ces corollaires ne sont point tous nouveaux; plusieurs ont été donnés, par Mac-Laurin, dans son Traité des lignes géométriques de 1748, et ont été même exposés, par M. Chasles, dans la Correspondance physique et mathématique des Pays-Bas, t. V, p. ^35, et t. VI, p. 1 1 (années 1829 et i83o), mais par une marche qui ne permet pas de supposer que ce dernier géomètre ait eu connaissance des recherches spéciales entreprises par Mac-Laurin, sur les lignes du troisième ordre; recherches qui embrassent beaucoup d'autres théorèmes sur ces lignes, et dont les plus généraux et les plus remarquables, par l'analogie qu'ils présentent avec les propriétés connues des quadrilatères inscrits aux sections coniques, peuvent être traduits et résumés en ce peu de mots ;

Un quadrilatère complet et à trois diagonales étant inscrit à une ligne plane du troisième ordre, 1 ° les trois points de concours des couples de tangentes issues des sommets respectivement opposés de ce quadrilatère, sont situés en ligne droite et sur la courbe; 2" chacun de ces couples de tangentes forme, par ses intersections avec l'un quelconque des deux autres couples, un nouveau quadrilatère circonscrit à la courbé proposée, et dont les trois diagonales contiennent respectivement, soit l'un des points de contact du dernier couple de tangenteSy soit leur point de concours situé sur la courbe.

1 58 . Démonstration par nos principes et généralisation . — Ces .propositions trouvent leur démonstration naturelle, et en quelque sorte évidente, dans le principe général du n" 154, restreint au cas particulier où la ligne du

SECTION III. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. i55

second ordre qu'il concerne se réduit au système simple de deux droites. Ce même théorème conduit encore aux énoncés suivants qui renferment implicitement les précédents, et prouvent qu'il existe la plus grande analogie entre les propriétés de situation d'une branche quelconque d'une ligne du troisième ordre, considérée par rapport aux deux autres branches, et les propriétés pareilles d'une ligne droite quelconque, considérée par rapport à une section conique dans le plan duquel elle se trouve située :

ï° Dans tout quadrilatère inscrit au système formé par deux quelconques des branches d'une ligne plane du troisième ordre^ les droites qui joignent les couples de points de rencontre des côtés opposés et de la troisième branche vont naturellement se couper en un nouveau point de la courbe.

1^ Si l'on inscrit, au même couple de branches, une suite de quadrilatères dont les trois premiers côtés pivotent constamment autour de trois quelconques des points de la troisième branche, considérés comme pôles invariables, le dernier côté pivotera, lui-même, sur un quatrième point fixe de cette branche, ayant, par rapport aux trois autres, la corrélation de situation qui vient d'être indiquée.

159. Hexagone inscrit aux lignes du troisième ordre. — Ces énoncés, qui s'étendent sur-le-champ aux polygones inscrits d'un nombre quelconque,, pair, décotes, etc., forment, en effet, les pendants de ceux des n°* 180 et 513 du Traité des Propriétés projectives, qui sont, comme nous l'avons montré en ces endroits, des conséquences fort simples de la propriété qu'ont (144) les quadrilatères inscrits aux sections coniques, d'être coupés, ainsi que la courbe, par une transversale arbitraire, en six points qui sont en involution.

Mais le principe du n" 154 ci-dessus, spécialisé comme nous venons de le dire, conduit à des rapprochements plus singuliers encore. En effet, on en conclut, sans discussion, ce nouvel énoncé :

Ayant inscrit à volonté, à une courbe du troisième degré, un hexagone dont deux quelconques des trois points de concours des côtés respectivement opposés soient sur cette courbe, le dernier s'y trouvera naturellement aussi.

1 60. Remarque et théorème général relatif aux lignes du troisième ordre. — L'entière conformité de ce principe avec celui de Pascal (148), relatif à l'hexagone inscrit aux lignes du second ordre, nous dispense d'insister sur les nombreux et intéressants corollaires auxquels il donne lieu, et parmi lesquels d'ailleurs, il faut bien le remarquer, ne se trouvent compris ni ceux qui pourraient avoir trait aux propriétés réciproques des pôles et polaires des sections coniques, ni celui qui se rapporterait au beau principe deBrianchon sur les

i56 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

hexagones circonscrits à ces mêmes lignes. Cette circonstance démontre bien clairement, ce me semble, combien il serait dangereux de se livrer, sans réserve, aux conséquences du principe de dualité, mis en avant, sans démonstration ou même sans preuves suffisantes, par un savant géomètre analyste, qui en en proposant l'adoption, en 1 8^6, était loin, comme on sait, de soupçonner que les propriétés de situation des lignes du troisième ordre, par exemple, dussent se retrouver, non pas précisément dans les lignes mêmes de cet ordre, mais bien dans toutes celles qui n'ont, au plus, que trois tangentes possibles issues des mêmes points, comme l'indique très-explicitement la théorie des polaires réciproques, dont nous avons établi les principes dans divers Mémoires ou Traités géométriques publiés depuis 1818.

Laissant donc de côté tous les corollaires du théorème ci-dessus, nous nous contenterons d'observer qu'il fournit, sur-le-champ, un procédé facile et purement linéaire pour mener, aux courbes du troisième degré décrites sur un plan, une tangente en l'un quelconque de leurs points; procédé qui, d'ailleurs, est entièrement analogue à celui qu'a proposé Brianchon, pour mener la tangente en un point donné d'une ligne du second ordre dont quatre autres points quelconques sont assignés.

Mais on est conduit plus directement et plus généralement à la solution de ce même problème, en s'appuyant sur la proposition suivante, qui revient à celle que nous avons déjà plusieurs fois mentionnée :

Si par trois points en ligne droite d'une courbe du troisième degré, on conduit arbitrairement trois transversales rectilignes dans cette courbe, les six nouvelles intersections de ces transversales seront à une simple ligne du second ordre.

Supposant, en effet, que deux quelconques de ces six intersections se confondent, en une seule, au point pour lequel on veut mener la tangente, il est clair que la section conique, appartenant aux cinq autres, touchera elle-même la ligne du troisième ordre en ce point, dont la tangente sera ainsi donnée par le principe cité de Pascal.

Cette seconde manière de construire les tangentes fait, de plus, apercevoir des méthodes générales pour tracer linéairement ou avec la règle les sections coniques osculatrices du second et du troisième ordre en des points donnés des courbes du troisième degré.

161. Corollaires relatifs aux coniques osculatrices des lignes du troisième ordre. — Supposez, par exemple, que l'une des intersections, relative à la troisième des transversales ci-dessus, vienne à se réunir aux deux premières

déjà confondues en une seule au point de tangence, la section conique acquerra évidemment, en ce point, un contact du second ordre avec la courbe proposée; ce qui conduit à cet élégant théorème :

Si, d'un point pris à volonté sur une courbe du troisième degré, on mène, à trois autre points quelconques de cette courbe, situés en ligne droite, trois transversales rectilignes, la section conique qui touche la courbe au premier point et contient, de plus, les trois dernières intersections des transversales, sera réellement l'une des osculatrices du second ordre relatives à ce même point.

Par trois points quelconques on ne peut mener qu'une seule section conique tangente en un point donné d'une ligne droite; donc l'osculatrice ci-dessus est complètement déterminée, et, de plus, on a des procédés fort élégants [Propriétés projectives, Sect. Il, n*^' 206 et 207; Sect. III, n** 318 et suivants) pour la décrire par points et linéairement, ou pour construire directement le cercle osculateur qui lui appartient en commun avec la courbe proposée.

Supposez, en particulier, que les trois points en ligne droite, par lesquels passent nos trois transversales, se réunissent en un seul, en l'un des points d'inflexion de la courbe, on sera immédiatement conduit à ce corollaire :

Si, par un point d'inflexion quelconque d^une ligne du troisième ordre, on m,ène, à cette courbe, une transversale arbitraire, elle la rencontrera en deux autres points appartenant à une section conique osculatnce du second ordre en chacun deux, et qui sera ainsi plus que déterminée.

162. Osculatrices des troisième et quatrième ordres en un point donné. — Prenons encore que l'une quelconque de nos trois transversales devienne tangente à la courbe, au point qui est leur concours commun : la section conique ci-dessus deviendra, elle-même, osculatrice du troisième ordre en ce point, et sera entièrement déterminée de position par la condition d'être osculatrice du second ordre avec celle qui a été considérée précédemment, et de passer, en outre, par les deux intersections restantes des transversales [Ibid., n°«321 et 323).

Enfin, si nous admettons qu'une seconde de nos trois transversales se

réunisse à la première déjà devenue tangente à la courbe proposée, on en

déduira ce nouveau corollaire propre à faire trouver la section conique

unique qui est osculatrice, du quatrième ordre, au point de concours com-

• mun de ces transversales :

Si, en un point donné et quelconque, d^une courbe du troisième degré, on

i58 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

mène la tangente relative à ce point, puis la tangente qui répond à la nouvelle intersection de la première, puis enfin la transversale qui joint le point donné avec la troisième intersection de cette seconde tangente, elle ira, à son tour^ rencontrer la courbe en un nouveau et dernier point qui appartiendra à la section conique osculatrice du quatrième ordre au point donné.

Et, comme cette section conique doit, elle-même, avoir un contact du troisième ordre, avec l'infinité des osculatrices de cet ordre qui résultent des considérations précédentes, il paraît clair, d'après les endroits déjà cités du Traité des Propriétés projectives, qu'elle se trouve complètement déterminée au moyen de l'une quelconque d'entre elles, et sans qu'il soit même nécessaire de recourir directement au tracé effectif de cette osculatrice auxiliaire ni de celle du second ordre dont elle dépend immédiatement d'après ce qui précède. En effet, les méthodes indiquées aux endroits dont il s'agit fournissent le moyen de déduire successivement et directement, les uns des autres, les différents points de ces osculatrices, qui appartiennent à un rayon vecteur ou à une transversale quelconque issue du point de contact donné.

Il y a plus même: comme on possède déjà un point et la tangente en un autre point donné de l'osculatrice du quatrième ordre, on voit qu'il suffira de déterminer deux nouveaux points quelconques de cette courbe, pour être en état (145 et suivants) d'en construire directement et linéairement autant d'autres qu'on le voudra. Mais nous ne saurions insister davantage sur ces considérations faciles sans dépasser, de beaucoup, les bornes que nous nous sommes prescrites dans q,qs préliminaires, et sans anticiper par trop sur ce que nous aurons à dire, dans la seconde partie de ces recherches, touchant les osculatrices des courbes de degré quelconque, dont la construction par points peut également s'opérer à l'aide de procédés fort simples et qui n'exigent que la règle pour tout instrument. Néanmoins je ne puis résister à l'attrait d'indiquer encore quelques conséquences de nos théorèmes, qui d'ailleurs sont susceptibles de s'étendre à l'espace, et nous conduiraient facilement à des procédés généraux pour décrire, par points, toute ligne du troisième ordre dont on connaît, soit un point d'inflexion, soil un point double, soit des points quelconques en nombres suffisants pour la déterminer complètement de forme et de position.

163. Problème relatif au cas de l'espace. — Ce qui précède fournit déjà, par exemple, plusieurs moyens de construire linéairement le neuvième point d'intersection de trois droites arbitraires avec une courbe plane du troisième

SECTION III. - ANALYSE DES TRANSVERSALES. iSg

degré; or il en résulte des procédés en eux-mêmes assez simples pour construire, par points, la courbe à double courbure, du même degré, qui contient huit points donnés à volonté dans l'espace.

Une semblable courbe peut évidemment toujours être censée résulter de l'intersection mutuelle de deux surfaces du second degré; ce qui ne peut avoir lieu d'ailleurs a moins qu'elles ne soient réglées et n'aient en commun l'une quelconque de leurs génératrices rectilignes; mais il nous suffit ici de considérer les courbes du troisième degré comme ayant pour caractère essentiel et général de pouvoir être coupées, par un plan arbitraire, suivant trois points au plus, ou de demeurer une courbe du troisième degré quand on la met en projection conique sur un pareil plan.

En effet, concevant, à volonté, un plan par deux quelconques des huit points donnés, il rencontrera la courbe qui les renferme, en un neuvième point qu'on déterminera ainsi qu'il suit.

Par les six points donnés non compris dans le premier plan, conduisez deux nouveaux plans qui les contiennent trois par trois; du point de rencontre de ces plans avec le premier pris pour centre de projection, mettez le système de tous les autres points en perspective ou projection centrale sur un nouveau plan quelconque; il en résultera neuf points situés à l'intersection d'une courbe du troisième degré qui est à déterminer, avec les trois droites projections mêmes de nos trois premiers plans; or huit d'entre eux sont donnés, donc le neuvième s'obtiendra par quelqu'un des procédés linéaires dont il vient d'être parlé, et, par suite, celui qu'on cherche dans l'espace se trouvera sur la projetante qui joint le précédent au centre de projection.

Opérant de la même manière sur une nouvelle combinaison du plan qui contient le point cherché, avec deux des autres plans joignant, trois par trois et dans un ordre différent, les six derniers points donnés, on aura ainsi obtenu deux droites ou projetantes qui, dans le premier plan, se couperont au point demandé; mais, attendu qu'il existe dix manières distinctes de combiner, trois par trois, les six points dont il s'agit, on voit qu'on pourrait aussi construire dix lignes droites différentes s'entrecoupant toutes au point cherché et situées dans le plan qui lui correspond.

On remarquera d'ailleurs que les plans sur lesquels les projections s'opèrent peuvent être choisis de manière à simplifier notablement les constructions, etc.; mais en voilà assez pour prouver que le problème où il s'agit de décrire la ligne à double courbure, du troisième degré, qui contient huit points donnés arbitrairement dans l'espace, est complètement déterminé,

i6o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

et peut se résoudre par des méthodes qui exigent seulement l'intersection de la ligne droite ou d'une simple règle.

§iï.

Des différents modes par lesquels on peut combiner entre elles et traduire graphiquement les relations métriques relatives aux transversales des lignes géométriques .

164. Observations préalables. — Toute courbe à double courbure, d'un degré donné, ayant pour projection ordinaire ou conique, sur un plan quelconque, une ligne géométrique du même degré; toute surface géométrique étant pareillement susceptible d'être coupée, par un plan arbitraire, suivant une ligne géométrique de son propre degré; enfin tout polygone, plan ou gauche, considéré comme transversal d'une ligne ou surface, pouvant toujours être décomposé en une suite de simples triangles, on conçoit, à priori, qu'il suffira de bien étudier les propriétés qui se rapportent au système des intersections d'une courbe géométrique plane et d'un ordre quelconque avec trois droites ou transversales rectilignes arbitraires, pour être ensuite en état de découvrir, avec facilité, les relations métriques ou descriptives diverses qui peuvent appartenir à des lignes à double courbure, à des surfaces géométriques, et à des polygones transversaux d'un degré ou d'un nombre de côtés quelconques. Tel est l'objet de ce second paragraphe.

En nous restreignant ainsi au cas le plus élémentaire, nous éviterons de compliquer inutilement la marche des raisonnements, et nous pourrons donner aux divers résultats le degré de simplicité qui peut les rendre vraiment recommandables aux yeux des géomètres.