EXPOSÉ DE LA. RELATION MÉTRIQUE A DEUX TERMES FONDAMENTALE

165. Rappel des notations et conventions. — Rappelons d'abord l'énoncé de cette relation, cela nous fournira l'occasion de présenter quelques observations préliminaires qui serviront à en faciliter la parfaite intelligence ainsi que les applications.

Soit abc (fig. 35) un triangle arbitrairement situé sur le plan d'une ligne géométrique d'un ordre quelconque, et dont les côtés aè, bc, ca, prolongés indéfiniment, rencontrent respectivement cette courbe aux points/?,/?', /?".••; q, q', q"...; r, r', r" ,.., dont le nombre, pour chaque côté, est marqué par le degré même de la courbe. Désignons par (ap) le produit ap .ap' .ap" . . . de

SECTION III. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. i6i

tous les segments compris sur le côté ab du triangle abc, depuis le sommet a de ce triangle jusqu'aux différentes branches ou régions de la courbe; par [bq) le produit semblable de tous les segments bq, bq' , bq\... qui, sur le côté bc, correspondent à ces mêmes branches et au sommet b, et ainsi de suite pour les autres segments ou côtés; on aura l'égalité

{ap)[hq){cr) = {bp){cq){ar),

que nous mettrons sous cette forme fractionnaire

{ap){bq){cr) ^^ [bp){cq){ar) '

et qui demeure applicable à la courbe proposée, même quand quelques-unes de ses intersections avec le triangle deviennent imaginaires, se réunissent par couples ou passent à l'infini, auquel cas le côté correspondant de ce triangle devient simplement parallèle à l'une des branches ou des asymptotes de cette courbe.

En effet, dans celte dernière hypothèse, le rapport des segments infinis se réduit à l'unité (147) et disparaît totalement de la relation ci-dessus; dans la précédente, les segments des paires de points qui se confondent sur chacun des côtés du triangle, devenus tangents à la courbe proposée, sont simplement égaux entre eux, de sorte qu'ils continuent à demeurer dans la relation dont il s'agit; enfin, dans la première, les produits des couples de segments imaginaires restent réels, comme on sait, et peuvent toujours être censés donnés implicitement, soit par le tracé ou la constitution propre de la courbe, soit parle tracé effectif ou possible d'autres courbes plus simples et qui auraient en commun, avec la proposée, les couples de points imaginaires relatifs à ces segments. Les intersections r et r', par exemple, étant imaginaires, les produits ar.ar', cr.cr' qui leur correspondent, ou plutôt le rapport de ces produits, sera donné par la relation même qui les renferme, ou par ses analogues relatives soit à la courbe proposée, soit à une section conique ou à une ligne géométrique quelconque, qui aurait, avec cette proposée, la direction indéfinie de rr' ou ac pour sécante commune idéale (t. I", Sect. I et III).

166. Application directe et numérique de la relation fondamentale. — La relation générale qui nous occupe met d'ailleurs à même de trouver l'une quelconque des intersections de la courbe avec les côtés du triangle, quand toutes les autres sont connues. En effet, elle donne immédiatement le rapport des segments relatifs à celte intersection, ou des deux distances qui,

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sur le côté auquel elle appartient, la séparent des sommets correspondants du triangle; mais il est nécessaire de remarquer qu'on peut diviser, de deux manières distinctes, ce côté en parties proportionnelles à deux nombres donnés, selon que le point de division doit se trouver entre les extrémités mêmes de ce côté ou sur son prolongement. Or un seul de ces points appartient à la courbe, puisqu'il doit être tel (149), que le système de toutes les intersections de celle-ci avec les côtés du triangle transversal en offre un nombre zéro ou pair sur le périmètre même de ce triangle, condition qui lève évidemment toute espèce d'incertitude.

1 67. Possibilité de tracer une ou deux des branches d'une courbe au moyen de toutes les autres. — Il résulte en particulier, des précédentes observations, que si les différentes branches d'une courbe géométrique, une seule exceptée, sont décrites sur un plan, il suffira de connaître deux quelconques des points de cette branche pour être à même d'en déterminer successivement tous les autres par une méthode qui se rapporte uniquement au premier degré, et qui n'exige même que l'intervention de la ligne droite ou de la règle, comme nous le verrons tout à l'heure.

Effectivement, si l'on suppose que la direction indéfinie de deux des côtés du triangle transversal restent invariables sur le plan de la courbe, tandis que celle du troisième côté change de position d'une manière quelconque, par exemple en pivotant autour de l'un de ses sommets, il est clair, d'après ce qui précède, que les intersections successives de ce côté, avec l'une des branches de la courbe choisie à volonté, pourront être déterminées à l'aide des autres intersections variables de ce même côté et des intersections fixes qui appartiennent aux deux premiers.

On voit donc que chaque branche distincte d'une courbe géométrique se comporte, par rapport à toutes les autres, comme si elle était une simple ligne droite; car deux points de sa direction suffisent pour la déterminer complètement, et son tracé n'exige que des constructions du premier degré.

On prouverait, de la même manière, que le système de deux branches distinctes d'une courbe géométrique se comporte comme une simple ligne du second ordre par rapport à l'ensemble des autres branches censées connues; de sorte, par exemple, que ce système serait entièrement donné au moyen de cinq points quelconques de son contour; et ainsi de suite pour les systèmes de trois ou d'un nombre quelconque de branches. Or ces circonstances mettent à même de prévoir à l'avance que plusieurs des propriétés connues de la ligne droite et des sections coniques doivent être

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applicables aux branches simples et aux couples de branches des lignes géométriques de degré quelconque.

C'est ainsi, par exemple, que nous avons vu (155 et suiv.) les propriétés projectives les plus générales dont jouit une ligne du second ordre par rapport à une droite arbitraire de son plan, subsister, d'une manière analogue et sans modifications essentielles, pour le système de deux branches quelconques d'une ligne du troisième ordre par rapport à la dernière branche.

1 68. Remarques générales concernant les courbes géométriques. — Il résulte, de la nature des relations qui nous occupent, que toutes les propriétés, toutes les conséquences qu'il sera possible d'en déduire pour les courbes géométriques considérées d'une manière individuelle, seront aussi applicables aux systèmes de droites ou de courbes géométriques quelconques dont la somme des degrés serait un nombre donné, et qui se trouveraient compris dans le même plan. Mais, afin d'éviter les répétitions et de ne pas compliquer inutilement les énoncés ou les démonstrations, nous convenons, une fois pour toutes, de comprendre sous la dénomination de lignes géométriques, aussi bien les lignes individuelles et distinctes que les assemblages ou systèmes de lignes auxquels notre théorème fondamental est directement applicable.

Et, puisque ce théorème établit une relation nécessaire entre les intersections des côtés du triangle transversal avec les différentes branches des lignes géométriques, il en résulte réciproquement qu'un système de points, choisis arbitrairement, mais en nombre égal, sur chacun des côtés d'un triangle quelconque, ne saurait, en aucune manière, appartenir à une ligne géométrique de l'ordre marqué par ce même nombre, s'il ne satisfait pas a la relation dont il s'agit; ce qui revient à dire qu'il sera impossible défaire passer une telle ligne par l'ensemble de tous ces points. Ainsi, par exemple, six points étant situés arbitrairement, mais deux par deux, sur les côtés d'un triangle, on ne saurait construire aucune ligne du second ordre qui contienne ces six points, et il est également de toute impossibilité d'en faire passer une du troisième par neuf points qui seraient choisis à volonté, quoique trois par trois, sur ces mêmes côtés.

Enfin il parait évident, d'après le n" 166, que, lorsque les points considérés satisfont aux conditions de grandeur et de position dont il y est question, toute courbe géométrique, du degré marqué par le nombre des points qui appartiennent à un même côté, et qui passerait parle système de

i64 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

ces points et de tous les autres, un seul excepté, devra nécessairement aussi

passer par ce dernier.

Ainsi, bien que nous ignorions actuellement les moyens géométriques de construire une telle courbe à l'aide des points donnés, quand son degré surpasse le deuxième (145), nous n'en devons pas moins regarder la relation métrique qui lie entre eux ces points, comme un indice de l'existence de cette courbe en général, ou, si l'on veut, comme une définition qui exclut seulement toute idée de son impossibilité absolue. Au surplus, lorsque, dans le courant de ce paragraphe, il nous arrivera d'énoncer qu'un certain groupe de 3m points, assujettis aux conditions que suppose cette relation, appartient à une ligne du degré m marqué par le nombre des points qui sont situés sur chaque transversale, ce sera uniquement dans la vue de simplifier le langage, et nullement de rien prononcer à l'avance sur l'existence ou la possibilité effective de cette courbe, possibilité qui sera démontrée complètement et généralement dans le paragraphe suivant, où nous nous occuperons, d'une manière spéciale, de la construction des lignes et surfaces géométriques par leurs systèmes d'intersections avec des transversales rectilignes données.

169. Élimination des segments nuls, infinis ou imaginaires. — Après les observations préliminaires qui précèdent, nous nous occuperons des différents modes par lesquels on peut transformer notre relation primitive en d'autres également propres à caractériser les lignes géométriques, et à faire construire numériquement ou graphiquement l'une quelconque de leurs intersections avec les côtés du triangle transversal, quand les intersections restantes sont censées données; ce qui conduit nécessairement aussi à autant de théorèmes distincts ou de propriétés nouvelles des lignes géométriques.

En effet, il suffit de traiter cette relation comme nous l'avons fait dans le § P% pour le cas particulier des lignes du second ordre, c'est-à-dire en faisant intervenir de nouvelles transversales rectilignes ou courbes qui contiennent quelques-uns des points d'abord considérés, et qui, donnant lieu à d'autres relations analogues, permettent d'éliminer simultanément ou successivement de la proposée tout ou partie des segments qu'elle renferme, de manière à retomber finalement sur une égalité plus simple, sur une relation qui indique plus explicitement que la première la dépendance graphique qui lie entre elles les intersections primitives de la courbe et ses transversales.

SECTION III. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. i65

Observons en outre que, par de telles transformations, on peut aussi généraliser notre équation fondamentale, de manière à la rendre applicable à des situations de transversales pour lesquelles elle cesserait de l'être sous le point de vue purement géométrique. En effet, par l'élimination de tous ou de partie des segments qui y entrent, au moyen d'équations et de transversales auxiliaires, on rend les relations nouvelles indépendantes du mode d'existence propre des points auxquels ces segments appartiennent; de sorte que ces segments peuvent devenir nuls, infinis, imaginaires, sans que ces dernières relations deviennent, pour cela, identiques, illusoires, etc.

170. Exemples généraux de pareilles éliminations. — Nous avons déjà offert différents exemples de ces transformations pour le cas particulier des lignes du second et du troisième ordre, mais il convient de les étudier ici d'une manière tout à fait spéciale et pour les courbes de degré quelconque.

Supposant, entre autres, que, dans le cas général ci-dessus (165, ^g-. 34) d'une courbe géométrique plane coupée par les côtés indéfiniment prolongés du triangle abc, il arrive que le sommet c de ce triangle doive être situé sur la courbe, et se confondre ainsi avec les points q et rqui lui sont adjacents; les segments cq, cr devenant à la fois nuls, la relation proposée prendra la

forme - = i ou o = o, et cessera ainsi d'être apte à définir la courbe, ou à

déterminer l'un quelconque des segments du triangle à l'aide de tous les autres. Mais si l'on conçoit, par les points q et r, une nouvelle transversale rectiligne ou courbe*quelconque, le système de toutes ces intersections, avec les côtés du triangle abc, donnera lieu à une seconde relation qui permettra d'éliminer de la première, les segments cq et cr censés nuls ou infiniment petits, et qui conduira à une dernière équation propre à déterminer immédiatement l'une quelconque des intersections du triangle abc, avec les deux courbes devenues tangentes entre elles au point c, quand on connaîtra le système de toutes les autres.

171. Application au cas de la Jîg. 34. — Pour nous borner, ici, à ce qu'il y a de plus simple et de plus élémentaire, nous supposerons que la ligne auxiliaire soit la droite indéfinie yr rencontrant au point Pie troisième côté ab du triangle transversal; on aura évidemment

ar . cq .bV

cr . hq .aV '

équation qui, multipliée membre à membre par la proposée (165), donne

i66 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

cette autre

iap){bg')bP{cr')

{hp){cq']{ar')aV~^'

dans laquelle [hq') est censé représenter le produit de tous les segments bq', bq", bq'",..., à l'exception de bq; (ar') le produit semblable de tous les segments ar', ar",ar"' ,..., à l'exception de ar, etc., et d'où l'on déduit immédiatement le rapport de bV à aP propre à construire le point P, et par conséquent la transversale qrV, qui devient naturellement une tangente de la courbe proposée, dans l'hypothèse ci-dessus où les points ^etr se confondraient en un seul avec le sommet c du triangle considéré.

On remplira aussi le même but d'éliminer, de la relation primitive, les segments cr et c^ qui la rendent identique, en observant que, dans le triangle cqr, le rapport des segments ou côtés dont il s'agit conserve une valeur déterminée et finie, même quand ce triangle s'évanouit, ou que la direction indéfinie de ^r devient tangente à la courbe. En effet, ce rapport est égal à celui des sinus des angles cqr, crq opposés respectivement aux côtés cr et cq dont il s'agit. Mais ce dernier mode d'élimination aurait l'inconvénient de faire intervenir, dans la relation primitive, des éléments d'une nature étrangère à ceux qu'elle contient, et qui ne se prêteraient pas, avec la même facilité, aux interprétations géométriques ou aux transformations que nous aurons à lui faire subir par la suite.

172. Théorème de situation qui en découle. — On se convaincra, dès à présent, des avantages inhérents au premier mode d'élimination, en observant que la relation obtenue ci-dessus (171) peut immédiatement se ramener à la forme même dé celle d'où nous sommes partis. Il suffit, pour cela, de supposer, qu'on mène par le point P, situé sur le côté ab du triangle abc, une seconde droite arbitraire rencontrant en ^, et r^ les deux autres côtés de ce triangle; car, étant considérée, à son tour, comme transversale de ce même triangle, elle donnera lieu à une nouvelle relation dont la combinaison avec la précédente conduira à celle-ci

(a/?)X bq^{bq')y^cr,{cr') {bq)-X cq, ( cq'} X «r, [ar') ~ ' '

qui, étant absolument de même forme que la relation primitive et assujettie aux mêmes conditions (149), exprime (168) que les trois groupes de points/?, p', p", ... ; ^, , q', q", ... ; rt, r', r", . . . , appartenant à la courbe proposée à l'exception des deux points q et r, sont eux-mêmes situés sur une autre courbe géométrique d'un degré égal au sien propre.

SECTION IlL — ANALYSE DES TRANSVERSALES. 167

Ce théorème, qui a son inverse, d'après les principes delà théorie des polaires réciproques, conduit à des énoncés aussi élégants que faciles, mais sur lesquels nous ne pouvons ici insister. Contentons-nous de remarquer que le moyen par lequel nous sommes parvenus à ramener l'équation du n'^ 171 à la forme de celle du n° 165 peut être mis en usage dans beaucoup d'autres circonstances analogues, ce qui permet de traduire immédiatement, en relations purement descriptives, toute égalité à deux termes, du genre de celles qui nous occupent, et qui ne différerait de celle du n° 165 dont il s'agit, que par l'ordre des facteurs qui y entrent ou l'arrangement des points auxquels elle s'applique.

173. Manière d'amener certains sommets du triangle transversal en des points ordinaires ou singuliers de la courbe. — Nous venons de montrer comment on peut transformer cette dernière relation en une autre qui ne devienne pas illusoire quand l'un des sommets du triangle abc [fig. 34) se trouve situé sur la courbe proposée, et nous avons vu que cela revient à éliminer de cette relation les deux segments qui sont susceptibles d'y devenir nuls à la fois; or, il est clair qu'on pourrait, de même, en faire disparaître deux autres segments quelconques relatifs à des côtés différents du triangle transversal, ce qui permettrait d'amener de nouveaux sommets de ce triangle sur la courbe, sans que la relation, ainsi transformée, cessât d'être applicable aux intersections qui sont demeurées distinctes de ces sommets.

Je dis plus, c'est que le même procédé d'élimination pourra servir à amener un ou plusieurs des sommets du triangle proposé, ou, en général, d'un polygone transversal quelconque, en des points multiples de la courbe, et cela quelle que soit l'espèce de ces points ou le nombre des branches qui y passent. En effet, il suffira évidemment de faire intervenir, dans la figure, autant de transversales auxiliaires (171) qu'il y a de ces branches, et qui soient telles que, réunissant deux par deux les intersections du triangle et de la courbe, qui doivent se confondre, soit avec l'un des sommets de ce triangle, soit avec l'un des points multiples de cette courbe, elles finissent par devenir des tangentes véritables aux différentes branches dont il s'agit.

Les points conjugués, de rebroussement ou (ï inflexion donnant lieu à des observations analogues, on voit qu'il doit en résulter une infinité de théorèmes absolument neufs sur les points singuliers des courbes géométriques, et, en général, sur les figures qui leur sont inscrites ou circonscrites. Ces propositions pourraient ensuite être doublées au moyen des principes exposés dans notre Mémoire sur la théorie des polaires réciproques , et l'on en dédui-

i68 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

rait notamment des procédés fort simples et sur lesquels nous aurons occasion de revenir dans le paragraphe suivant, pour construire, par points, toute ligne géométrique ayant un point multiple d'un ordre inférieur, d'une ou de deux unités, au sien propre, etc. Mais ce n'est pas ici le lieu de s'étendre sur ces différentes matières dignes d'intérêt et qui sont susceptibles des plus grands développements, soit qu'on s'arrête aux figures situées simplement dans un plan, soit que l'on considère des polygones gauches quelconques coupés par des surfaces géométriques dans l'espace.

TRADUCTION DE l'ÉQUATION FONDAMENTALE EN RELATIONS LINÉAIRES OU DESCRIPTIVES.

174. Méthode générale. — Revenons maintenant aux suppositions générales du n*^ 165, où le triangle abc a une situation quelconque par rapporta la courbe, et montrons comment, en suivant la marche qui précède, on peut aisément découvrir les moyens de construire linéairement, c'est-à-dire avec une simple règle, l'un quelconque des points définis par la relation

{ap){bq){cr]

bp)[cq){av)

quand tous les autres sont censés donnés sur la direction des transversales ab, bc et ac.

Pour y parvenir, il ne s'agira évidemment que d'éliminer successivement, de la relation dont il s'agit, tous les segments qui y entrent, en conduisant par les points d'intersection de la courbe, pris deux à deux et dans un ordre convenable, de nouvelles droites considérées, à leur tour, comme autant de transversales des côtés du triangle, et en procédant, du reste, comme cela a déjà été indiqué plus haut (171) relativement aux segments des points q et r, c'est-à-dire en s'arrangeant de façon à retomber toujours sur une dernière relation de la forme de la proposée et qui appartienne simplement au système de trois derniers points situés en ligne droite; ce qui est possible d'une infinité de manières différentes, et conduit à autant de procédés graphiques distincts pour construire l'un des points primitivement considérés quand on connaît tous les autres, procédés dont nous nous contenterons de donner quelques exemples, sans insister même sur les conséquences ou les théorèmes qui peuvent en découler pour les lignes géométriques de divers ordres,

175. Exemple relatif aux courbes du quatrième degré. — Qu'.il s'agisse, en particulier, d'une ligne du quatrième degré, coupée par les côtés d'un triangle abc [fig. 36), comme il a été expliqué au n*' 165; on considérera

d'abord le groupe des six points p et p', q et q\ ret r' situés par couples ou deux par deux sur les côtés dont il s'agit, et on les traitera de la même manière qu'on l'a fait au n*' 148 pour le cas des simples sections coniques, en complétant, par exemple, l'hexagone inscrit pp'qq'rr'p, ou, ce qui revient au même, en traçant les trois transversales q'r, pr\p'q, joignant des points d'intersection qui appartiennent à des couples de côtés différents du triangle ahc, et dont la rencontre respective, avec chacun de ses troisièmes côtés, déterminera les nouveaux points P, Q, R qui sont les points de concours des côtés opposés de l'hexagone dont il s'agit. On mènera pareillement, par les six intersections restantes et toujours dans le même ordre, les trois transversales q'"r", p"r\p"'q", rencontrant en P', Q', R' respectivement les côtés du triangle ahc, dont ces transversales ne dépendent pas. Cela posé, considérant le système complet de ces six transversales comme une courbe unique (167) du sixième degré, on aura, entre les trente-six segments qu'elle détermine sur les côtés ahc ou sur leurs prolongements, la relation générale

{ap)[bq)[cr)^ aP.aP'X 6Q.6Q^ x cR.cR' (6/?)(cg)(ar) xèP.ôP'X cQ.cQ'x «K.aR'""^'

qui, en vertu de celle qui appartient k la courbe proposée, se réduit à la suivante

aP.aP^x6Q.6Q^X cR.cR^

6P.6P'x cQ.cQ'x aR.aR'~''

Cette nouvelle équation exprime évidemment que le système des six points P et P', Q et Q', R et R', distribués deux par deux et symétriquement sur les côtés ah, hc et ac du triangle proposé, appartient à une seule et même ligne du second ordre, car elle satisfait aux différentes conditions spécifiées aux n°* 148, 149, 165 et suivants. Traitant donc ces six nouveaux points comme il est indiqué dans le premier de ces numéros, ou cpmme on vient de le faire des deux groupes des douze premiers points appartenant à la courbe proposée, on obtiendra finalement trois derniers points qui seront situés en ligne droite, conformément à ce qui a été établi dans ce même numéro et à ce qu'indique le principe de Pascal sur les hexagones inscrits aux lignes du second ordre.

Ces constructions, comme on voit, lient entre elles graphiquement les douze intersections de la courbe du quatrième degré et des côtés du triangle ahc, de manière que onze quelconques d'entre elles étant données, la dernière s'ensuit nécessairement par le tracé de simples lignes droites. II. 22

176. Remarques diverses. — S'il s'agissait d'une ligne du troisième ordre seulement, on tracerait une droite arbitraire formant, avec cette ligne, un système qu'on traiterait comme on vient de le faire pour la courbe du quatrième degré. On pourrait aussi détacher, des neuf intersections de la ligne du troisième ordre avec les côtés du triangle abc, un groupe de six points symétriquement situés sur ces côtés, afin de traiter ce groupe comme on l'a fait précédemment; mais la relation à laquelle on parviendrait ainsi, n'ayant pas la forme de celle du n" 165, on n'en pourrait conclure que les trois points nouvellement obtenus, réunis aux trois derniers points de la courbe proposée, appartiennent à une ligne du second ordre ; il faudrait nécessairement lui faire subir la transformation du n° 172 pour la rendre susceptible d'exprimer im,médiatement une dépendance graphique entre les points auxquels elle se rapporte, ce qui enlèverait à la construction finale toute la symétrie qui caractérise le premier mode d'opérer.

Cette difficulté n'existe pas pour les lignes du cinquième ordre; car, si l'on détache des quinze intersections qui leur appartiennent sur les côtés du triangle transversal, trois quelconques d'entre elles relatives à des côtés différents, puis qu'on traite les douze intersections restantes comme on l'a fait des douze intersections relatives à la courbe du quatrième degré ci-dessus, on arrivera finalement à trois derniers points qui, réunis avec les trois points réservés, appartiendront naturellement à une ligne du second ordre; ce qui tient essentiellement à ce que les douze premiers points ont été soumis à un nombre pair d'opérations qui n'ont pas changé l'ordre des produits des segments qui, dans les équations successives, se rapportent à ces douze points.

Pour les lignes du sixième ordre, on partagerait les dix-huit intersections correspondantes en trois groupes de six points respectivement situés sur les côtés du triangle, et, les traitant séparément comme s'ils appartenaient à une ligne du second ordre, on arriverait à neuf derniers points situés sur une ligne du troisième ordre, qu'on traiterait, à leur tour, comme nous venons de l'indiquer pour cet ordre, en faisant intervenir une droite auxiliaire quelconque dans la figure, afin de n'avoir qu'une ligne du quatrième ordre à considérer.

On procéderait d'une manière analogue pour les lignes des ordres supérieurs au sixième.

177. Réflexions relatives aux constructions graphiques. — Les constructions qui précèdent établissant des dépendances purement graphiques et linéaires

entre les intersections d'une courbe plane donnée et les côtés d'un triangle pris pour transversal de cette courbe, il est clair que ces dépendances ne cesseront jamais d'être applicables au système des intersections correspondantes, pourvu seulement qu'aucune d'entre elles ne devienne imaginaire : elle servira donc à construire l'une quelconque de ces intersections au moyen de toutes les autres, même quand le triangle dont il s'agit s'évanouira, aura des sommets placés sur la courbe ou situés a l'infini, etc., ce qui fournira, entre autres (171), le moyen de construire, toujours par de simples intersections de lignes droites, la tangente en l'un quelconque des points d'une courbe géométrique donnée sur un plan.

Ce sont précisément ces constructions, dont l'analogie avec celles qui résultent du principe de Pascal pour les sections coniques est de toute évidence, que nous avions découvertes dès i8f6, et que nous avons annoncées à la page i54 du tome VIII àt^ Annales de Mathématiques , novembre 1817 (ou t. II de nos Applications, p. kl^)- On voit qu'envisagées individuellement et pour chaque courbe d'un certain ordre, elles sont assez simples en elles-mêmes pour être facilement appliquées, et assez symétriques pour être aisément retenues et saisies par l'esprit. Mais elles n'en manquent pas moins, dans leur ensemble, de ce caractère d'uniformité et d'universalité qui peut seul rendre les méthodes mathématiques vraiment recommandables; c'est pourquoi, dans ce qui va suivre, nous exposerons des constructions absolument exemptes de cet inconvénient.