RÉDUCTION DU SYSTÈME DE TROIS TRANSVERSALES A DEUX

178. Remarques concernant les cas d' identité ou d'indétermination. — Afin de mieux faire apercevoir la marche qui nous a fait parvenir à ces constructions, nous remarquerons que la relation du n° 165 devient complètement illusoire quand l'un des côtés du triangle abc passe à l'infini, en sorte que cette relation n'apprend plus rien par elle-même sur la loi ou la dépendance qui lie entre elles les différentes intersections de ce triangle et de la courbe. Or, nous venons de voir que cette dépendance, considérée sous le point de vue purement graphique, n'en existe pas moins dans la supposition dont il s'agit, puisque, d'après les notions généralement admises, toute droite, à distance donnée, qui contient l'un des points d'une courbe, situé k l'infini, n'est autre chose qu'une parallèle à la branche ou à l'asymptote correspondante de cette courbe; donc il doit exister aussi une relation métrique nécessaire entre tous ceux des différents segments du triangle abc

qui, faisant partie de la relation primitive, n'ont pas acquis une valeur

infinie dans l'hypothèse dont il s'agit.

Pour découvrir cette nouvelle relation, il ne s'agira, suivant l'esprit de la méthode que nous avons jusqu'ici prise pour guide, que de transformer la relation du n° 165 en une autre qui cesse de devenir identique quand le côté du triangle abc que l'on considère s'éloigne à une distance infinie sur le plan de la courbe, ce qui consiste toujours à éliminer de cette relation, et à l'aide de nouvelles transversales rectilignes convenablement tracées, tous les couples de segments dont le rapport conserve essentiellement la forme indéterminée -5 attendu qu'en devenant infinis ils diffèrent entre eux d'une

quantité qui reste elle-même infinie. Or, cette circonstance n'a évidemment lieu que pour les seuls segments qui appartiennent au côté dont il s'agit; c'est donc aussi de ces seuls segments qu'il faut débarrasser la relation proposée, en menant par les intersections correspondantes de la courbe des transversales rectilignes arbitraires.

179. Cas spéciaux; théorème de Waring relatif aux asymptotes. — Supposant, par exemple, que ce soit le côté bc du triangle abc [fig. 35 ou S^) qui soit susceptible de passer à l'infini ; pour faire sortir de l'égalité du n*^ 1 65 les segments qui appartiennent à ce côté, on mènera, par ses intersections q, q\ q",... avec la courbe, des droites ou transversales arbitraires coupant respectivement en P et R, P' et R', P"etR",..., les deux autres côtés aè et ac de ce triangle. Cela posé, on aura évidemment, en considérant le système de ces transversales comme une ligne géométrique du même ordre que la proposée, et en conservant d'ailleurs les conventions jusqu'ici admises,

(aP)(%)(6-R)^ (6l>)(c^)(aR) '

d'où l'on tire, en combinant avec la relation du n°165,

{ap){cr) (aP) (cR) (6/?)(«r)~ (6P)(aR)'

équation dont l'énoncé facile donnerait lieu à un nouveau théorème sur les courbes géométriques, et qui, dans la supposition où bc s'éloigne à l'infini et où les transversales auxiliaires P^R, P'^'R',... se changent, comme nous l'avons dit, en un système de parallèles quelconques aux différentes branches infinies de la courbe, prend cette autre forme encore plus simple

jap) («P) [ar] (aR)'

attendu que les rapports de segments infinis se réduisent ici à l'unité, puisque ceux-ci ne différent entre eux que d'une quantité donnée.

D'ailleurs, quand les transversales auxiliaires, au lieu d'être menées arbitrairement, sont prises tangentes à la courbe proposée ou qu'elles se confondent avec ses différentes asymptotes, on retombe sur un théorème démontré par Waring, à la page 85 de ses Mélanges analytiques, lequel n'est ainsi qu'un cas particulier du nôtre.

180. Théorème général concernant les branches infinies des courbes. — Supposons encore [fig- 38) que ces transversales soient conduites par les intersections respectives r, r' , r",... de la courbe et de l'un, bc, des côtés du triangle abc, dont elles ne dérivent pas; ce qui revient à supposer que R coïncide avec r, R' avec r', et ainsi des autres; la relation obtenue en premier lieu deviendra, attendu qu'alors le produit [cr) = (cR), le produit (ar) = (aR),

[bq] (6P)'

nouvelle équation qui, lorsque le dernier côté bc du triangle s'éloigne à l'infini ou devient simplement parallèle au côté ab, se réduit à cette autre

encore plus simple,

{ap) = {aV),

et qui indique, d'après nos conventions (165), que « le produit de tous les » segments a/?, ap', ap",... relatifs à la courbe proposée, est égal à celui de » tous les segments aP, aP', aP",... déterminés par les sécantes ou cordes » indéfinies qr, q'r', q"r'\... devenues parallèles aux différentes branches » ou asymptotes de cette courbe. >

181. Système de points en involution simple par rapport à deux points

donnés. — L'équation

[ap) {aV) {hp) (6P)'

relative au cas où ac ou bc restent quelconques, se rapporte évidemment à la forme des trois premières de celles qui ont été établies aux n°* 143 et 144 pour le cas des lignes du second ordre; ce qui conduit à quelques conséquences intéressantes concernant les lignes géométriques en général, et qui peuvent être considérées comme l'extension des propriétés dont jouissent les quadrilatères inscrits au système de deux droites ou à une section conique quelconque, supposés coupés par une transversale arbitraire. En effet, le système des transversales P^R, P'^'R', P"y"R",..., dont il a

été question ci-dessus (179), forme ici, avec les côtés indéfinis du triangle abc, une suite continue de quadrilatères PRR'P', P'R'R"P",... également inscrits à la courbe proposée, et dont les différents côtés se trouvent, aussi bien que les branches de cette courbe, coupés à la fois par la transversale arbitraire ab\ l'équation ci-dessus peut donc être considérée comme indiquant que les points <2 et b, qui appartiennent aux deux côtés communs à tous ces quadrilatères, jouent le même rôle ou sont en involution simple, soit par rapport aux intersections de la transversale et de la courbe, soit par rapport aux intersections de tous les autres côtés des quadrilatères.

Mais ce rapprochement, entre les propriétés des lignes du second ordre et celles qui appartiennent aux lignes d'un ordre quelconque, peut être rendu plus évident et plus complet encore, en observant que la relation qui nous occupe, étant indépendante de l'ordre même dans lequel on joint, deux à deux, les intersections distinctes des côtés ac et bc à\x triangle transversal, avec la courbe, elle a lieu, d'une manière analogue, pour les deux systèmes de diagonales joignant des sommets différents des quadrilatères ci-dessus; de sorte que les intersections de la transversale arbitraire avec la courbe, et ses intersections avec les côtés ou les diagonales distinctes dont il s'agit, constituent quatre groupes de points qui, combinés deux à deux, sont à la fois en involution par rapport aux points a et è de la transversale.

182. Énoncé plus explicite et théorème relatif aux polygones inscrits. -^ Pour traduire ces conséquences en un langage plus explicite encore, concevons une courbe géométrique du degré m tracée sur un plan; soient ac et bc deux transversales arbitraires rencontrant cette courbe respectivement en autant de points qu'il est marqué par son degré; inscrivons à volonté à cette même courbe (fig- Sg) un polygone de im côtés qui ait alternativement pour sommets les m points de rencontre de ac et les m points de rencontre de bc, soit en outre ab une troisième transversale arbitraire rencontrant les deux premières en a et b, la courbe aux m points/?,/?', /?",..., les côtés de rang impair du polygone aux m points P, P', P",..., et enfin ceux de rang pair aux w points P,, P'j, P",..., respectivement; on aura, selon ce qui vient d'être démontré, les deux relations

[ap] {a9) [ap) (aPO

{bp)-{bv)' {bp)-{bv,y

d'où l'on déduit immédiatement cette troisième,

(aP) (aP.) (èP)-{6P,)'

qui se rapporte uniquement aux intersections de la transversale ab avec les côtés de rang pair ou de rang impair du polygone, et à laquelle on arriverait directement et généralement, pour un polygone quelconque d'un nombre pair de sommets, inscrit à l'angle de deux droites arbitraires oc et bc, en considérant alternativement le système de tous les côtés de rang pair de ce polygone et celui de tous les côtés de rang impair comme autant de lignes géométriques (165) transversales du triangle abc, formé par la rencontre mutuelle des deux droites ac et bc dont il s'agit, et d'une troisième droite arbitraire ab.

183. Application linéaire ou graphique de l'involution. — Ce dernier théorème, qui, selon ce que nous avons fait voir de deux manières différentes aux n*** 515 et 517 du tome I" du Traité des Propriétés projectiles, s'étend aisément aux polygones, d'un nombre pair de côtés, inscrits à une ligne du second ordre quelconque; ce théorème, disons-nous, lie entre eux tous les points de deux systèmes en involution simple par rapport à deux points donnés, de manière à faire découvrir linéairement l'un quelconque d'entre eux, quand tous les autres sont assignés à priori.

Qu'il s'agisse, par exemple, des deux systèmes de points /?,/?', /?",..., P, P', P'',..., considérés dans le n° 181, et qui sont en involution par rapport aux sommets « et 6 du triangle abc, on inscrira à volonté dans l'angle acb des deux transversales ac et cb, c'est-à-dire de deux droites quelconques issues de a et de b, un polygone dont les sommets, en nombre égal à celui des deux systèmes de points proposés, s'appuient alternativement sur ces droites et de manière que les côtés de rang pair, je suppose, passant respectivement par les points/?, />',/?",..., les côtés de rang impair, un seul excepté, passent respectivement aussi par ceux des points P, P', P",... qui sont censés donnés. Cela posé, le dernier côté ira naturellement rencontrer la transversale ab au point qui a été excepté, circonstance qui d'ailleurs arrivera quel que soit ce point et quel que soit l'ordre dans lequel on ait opéré.