NOUVEAU TRACÉ DES TANGENTES; FAISCEAUX DE DROITES EN INVOLUTION

184. Exposé. — Ce qui précède fournit une nouvelle méthode, aussi générale qu'elle est symétrique et élégante, pour construire (164 et suiv.) l'une quelconque des intersections d'une courbe géométrique avec trois droites a6, ac et bcy arbitrairement tracées sur son plan et lorsque toutes les autres sont connues ou données par le tracé de la courbe. De là également un

procédé nouveau pour construire linéairement, ou sans autre instrument que la règle, la tangente en un point donné d'une courbe géométrique quelconque, plane ou à double courbure, procédé qui peut aussi servir à construire les asymptotes de cette courbe quand on connaît simplement leur direction ou leur point de tangence b l'infini.

Supposons par exemple que, dans la figure relative aux n**^ 180 et 183, le point de rencontre c des transversales ac et bc soit pris sur la courbe, de manière que leurs intersections q et r avec celte courbe se confondent en une seule au point de rencontre dont il s'agit; la droite indéfinie ^r deviendra évidemment une tangente de la courbe, et la relation graphique qui précède donnera le point de rencontre P de cette tangente avec la transversale arbitraire ab.

185. Propositions réciproques. — En appliquant aux divers théorèmes qui nous ont jusqu'ici occupés, les principes exposés dans les n°* 101, 120 et suivants de la précédente Section sur la théorie des polaires réciproques^ on arrive à divers résultats, dont nous nous bornerons à citer les suivants parce qu'ils conduisent à des énoncés faciles (*).

» Soient une courbe quelconque, de degré m, tracée sur un plan, et a, b, c > trois points aussi quelconques de ce plan, de chacun desquels on ait mené » à la courbe les m [m—i) tangentes (**) qui lui correspondent (n** 66), tangentes qui seront ici censées toutes réelles; choisissons, à volonté, parmi les rn^ [m — i)^ intersections mutuelles des tangentes issues de b et de c, un système de m (m — 1) de ces intersections appartenant à autant de couples distincts de ces tangentes; faisons enfin passer, par les intersections dont il s'agit, un faisceau de m (m — i) droites dirigées vers le point a : il résulte des n°* 180 et suivants que ce faisceau et celui des m (m — i) tangentes, issues du même point a, seront en involution simple par rapport aux deux droites indéfinies ac et ab, c'est-à-dire que les intersections respectives de ces faisceaux, avec une transversale arbitraire, seront elles-mêmes en involution par rapport aux interseclions de cette transversale et des deux droites dont il s'agit. »

(*) Ces énoncés suffisent pour dispenser de toute figure, dont le trac', tr's-compliqué d'ailleurs, aiderait médiocrement, s'il ne nuisait, à leur conception géométrique intuitive. Or, cette remarque s'applique également à certaines démonstrations algébriques fondées sur, de laborieux calculs et qui, trop souvent aussi, substituent, contre l'avis des plus grands géomètres philosophes, l'action directe des sens à celle de l'esprit convenablement préparé. — (Note de i865.)

(**) Nous reviendrons, dans le § V, sur ce qui concerne le tracé de ces tangentes.

Il résulte en particulier de ce théorème général que, si l'on se donne toutes les tangentes issues des trois points a, b, c, une seule exceptée, on pourra immédiatement déterminer celle-ci par de simples tracés de lignes droites, et en ayant recours aux constructions du n** 183 appliquées aux intersections de la transversale ci-dessus; problème de la solution duquel dépend d'ailleurs la détermination du point de contact des tangentes. Mais on peut aussi opérer directement en renversant les constructions elles-mêmes au moyen de la Théorie des polaires réciproques y et observant que la question revient, en définitive, à déterminer l'une quelconque des droites des deux faisceaux issus du point a, qui sont en involation par rapport à ab et ac.

A cet effet, ayant choisi à volonté deux points b' et c' sur ces dernières droites respectives, on s'en servira pour faire passer alternativement les côtés, de rang pair et impair, d'un polygone quelconque dont les sommets s'appuieront eux-mêmes alternativement sur chacune des droites du couple de faisceaux considérés, à l'exception cependant de celle qu'il s'agit de déterminer au moyen de toutes les autres. Cela posé, le dernier sommet de ce polygone, celui qui est demeuré entièrement libre, se placera de lui-même sur la dernière droite et servira ainsi à la déterminer complètement de position.

186. Remarque générale. — Ces exemples suffisent pour donner une idée du genre de propositions auxquelles on est conduit quand on applique nos principes sur la réciprocité des figures aux diverses considérations qui précèdent; c'est pourquoi, sans insister davantage, nous retournerons à l'objet de nos premières investigations relatives aux applications spéciales de la doctrine des transversales, en remarquant qu'il nous reste une dernière transformation à faire subira la relation générale du n** 165, pour qu'elle puisse s'étendre à toutes les situations possibles du triangle ou des transversales dont elle dérive.

Du changement complet de forme suhij dans certains cas^ par la relation métrique fondamentale . — Théorèmes qui en résultent.

187. Remarques préliminaires . — Par les considérations des n*^' 171 et suivants, 179 et 180, nous avons déjà converti la relation fondamentale du n** 165 en d'autres relations métriques qui ne deviennent illusoires ou identiques ni quand les sommets du triangle formé par les intersections mutuelles