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des transversales de la courbe se trouvent situés sur cette courbe, ni quand un ou deux de ces sommets se sont éloignés à l'infini sur son plan. Mais toutes ces nouvelles relations se réduisent, ainsi que la primitive, à des identités de la forme 1 = 1, quand ce même triangle vient à s'évanouir complètement, soit que d'ailleurs les directions indéfinies de ses côtés restent distinctes en convergeant en un point unique, soit que deux quelconques d'entre elles se réunissent en une seule également distincte de la troisième.

Toutefois, les relations purement descriptives et linéaires auxquelles nous sommes parvenu aux n°* 175, 176 et 183, en éliminant successivement de celles dont il s'agit tous les segments qui y entrent, ces relations, dis-je, ne cessant nullement d'être applicables au système des transversales, et devant être considérées comme les traductions immédiates des relations métriques dont elles dérivent primitivement, il faut bien encore que l'indétermination de celles-ci tienne purement au changement de forme qu'elles doivent subir dans la nouvelle hypothèse.

188. Substitution des sommes de réciproques aux produits de segments. — Il est évident qu'on ne saurait ici employer le mode d'élimination successive des segments dont nous nous sommes servi précédemment, car il nous ferait retomber sur les mêmes relations linéaires. Mais, si on met l'équation du n** 165 sous cette forme :

{ap){bq){ar-hac) = {ar)[ap + ab] {bq -\- bc){*),

qu'ensuite on développe tous les produits des facteurs binômes en négligeant successivement, dans les résultats, les termes qui contiennent ab, bc et ac à des degrés supérieurs au premier, attendu que les côtés du triangle abc [fig. 34 ou 38) peuvent, ici, être censés infiniment petits ou nuls, on obtiendra la nouvelle équation

\ar} \ap) \aq)

( * ) Conformément aux règles de l'Analyse géométrique des coordonnées, précédemment adoptées et justifiées rigoureusement dans le troisième Chapitre ou Cahier du tome II de nos Applications de 1864, on n'a point ici, en vue de généraliser, donné à priori des signes explicites ou algébriques aux diverses quantités, ce qui offre d'apparentes contradictions entre les données du calcul et celles des figures. Mais on évitera ces difficultés et l'on ramènera tout à une évidence élémentaire en supposant que, dans les diverses figures relatives au triangle transversal abc d'une courbe géométrique plane, non-seulement ce triangle est tout à fait en dehors et d'un même côté de la courbe, mais encore que ses sommets a et è en sont les plus voisins, comme le montre la Jîg.'ii, qui pourrait être prise pour figure fj/:»^ awde départ^ ainsi qu'on l'a expliqué dans l'endroit cité des Applications. Mais cela ne serait utile que pour les esprits peu exercés.— (Note de i865.)

dans laquelle le signe 2 désigne la somme algébrique (*) des valeurs inverses ou des réciproques de segments analogues et différant seulement par le signe de position et l'accent ou indice qui affecte les lettres j9, q, r.

On arrivera plus rapidement encore à cette transformée, en prenant la différentielle logarithmique des deux membres de l'équation primitive (165), dans laquelle on devra, selon ce qui précède, regarder les produits [cr), {bp) et (cq) comme les seules quantités susceptibles de varier, et considérer les variations des segments relatifs à chacun des côtés du triangle abc comme égales entre elles et à ces côtés respectifs censés devenus infiniment petits.

Observant maintenant que ces mêmes côtés sont proportionnels aux sinus des angles respectivement opposés du triangle, et supposant finalement que les trois sommets de celui-ci viennent à se confondre en un seul a, par exemple, on obtiendra la relation

sin./>«72 (^r) =-^'"-î«-^ (^) + ^'"-/^«''^ [ir^

pour remplacer celle du n°165 dans le cas où les trois transversales arbitraires de la courbe convergent en un même point a (fig.l\o), en formant entre elles des angles dont, conformément aux hypothèses faites tacitement dans les raisonnements qui précèdent, le plus grand de tous est censé l'angle /)ay comprenant ardans son intérieur.

189. Justification de ces résultats par voie géométrique. — Mais, ainsi qu'il a déjà été observé au n** 53, relativement aux centres de moyennes harmoniques, il n'est nullement indispensable de recourir aux transformations algébriques pour se convaincre que la relation ci-dessus s'étend aux lignes géométriques d'un ordre quelconque, comme elle s'applique également aux systèmes composés de simples lignes droites, d'après les considérations purement élémentaires du n^51.

Rappelons-nous, en effet, la manière dont on parvient aux relations linéaires et purement descriptives des n*'* 175 et suiv. (y?^. 36), relations directement applicables (177) au cas où les transversales ab, ac, bc concourent en un même pointa, et observons que si, des trois derniers points en ligne droite obtenus sur ces transversales, on remonte successivement au système des six points qui appartiennent à une même ligne du second ordre, à celui des douze points qui appartiennent à une même ligne du

{ * ) Section I", relative aux centres de moyennes harmoniques, n°* 4 et suivants.

i8o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

quatrième ordre, etc., on aura à considérer un égal nombre d'équations, de la forme de celle ci-dessus, qu'on obtiendra en combinant, de proche en proche, par voie d'addition ou de soustraction, toutes celles qui, d'après le n'* 51 déjà cité, se rapportent tant à la droite qui contient les trois derniers points, qu'aux différents systèmes de droites auxiliaires (175) qui servent à remonter, de ces points, aux six précédents, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on soit parvenu aux intersections mêmes des transversales ap, aq et ar avec la courbe proposée.

A l'inverse, en partant de la relation qui convient au système total de ces intersections, et en opérant d'une manière analogue à celle qui a été mise en usage dans les n'*M75 et 176, mais en substituant toujours les additions aux multiplications, les soustractions aux divisions, on retombera finalement sur les relations descriptives mêmes auxquelles on est parvenu pour le cas de trois transversales dirigées d'une manière quelconque.

Quant à la relation générale dont il est question aux n°'51 et 53, on s'assurera aisément qu'elle n'a pas lieu pour les courbes géométriques, bien qu'elle soit applicable aux simples systèmes de lignes droites; ce qui tient à ce que la diversité des coefficients numériques dont ses termes sont affectés s'oppose à ce que, dans les opérations ci-dessus, les éliminations de segments puissent s'opérer par de simples additions ou soustractions des égalités relatives aux transversales rectilignes. Telle est aussi la manière dont on doit entendre, dans le cas présent [voyez l'Introduction de cette Section, p. 127 etsuiv.), que les propriétés concernant les systèmes de lignes droites peuvent s'étendre aux courbes géométriques d'un ordre quelconque.

190. Autres transformations de la relation fondamentale . — Il résulte d'ailleurs, de ces rapprochements et de ce qui a été exposé au n° 54 (Sect. T*), que, si l'on suppose [fig.^o) le faisceau des trois transversales aq, ar,ap, coupé en A, B, G respectivement par la droite arbitraire AG, on aura, pour remplacer la relation du n° 188 ci-dessus, cette autre équation

\arj \apj \aq j

qui a l'avantage particulier de ne pas devenir identique ou insignifiante quand on suppose le point de concours a à l'infini, ou les transversales ap, aq, ar parallèles. En effet, elle devient simplement alors

AC2(Br)=AB2(C)[>) + RC2(A^),

AC étant la plus grande des trois distances AB, AG et BG.

SECTION III. - ANALYSE DES TRANSVERSALES. ï8i

19t. Réduction des équations d'involution quand les deux points d'origine se confondent en un seul, — Je ue m^arrêterai point à montrer comment ces dernières relations peuvent être déduites directement (*) de l'équation générale du n° 188, ni comment elles peuvent être étendues à un nombre quelconque de transversales convergeant en un point unique et situées dans un même plan, s'il s'agit de courbes géométriques données dans ce plan, ou d'une manière arbitraire dans l'espace, s'il s'agit de surfaces géométriques en général.

Quant aux relations des n*** 180 et suivants, qui expriment [fig. à'] et 38) qu'il y a involution simple entre les systèmes de points /?, p\ p'\...y et P, P', P",..., rangés sur la transversale ab, par rapport aux intersections a, b de cette transversale avec les deux autres ac et bc, il est aisé de voir qu'elle se réduit simplement à la suivante, lorsque ces intersections se confondent en une seule a (fig- 4o),

\ap]

ou à cette autre, si l'on adopte les conventions du n** 190,

équation qui, à son tour, se réduit à cette égalité plus simple encore, quand le point de concours a des transversales passe à l'infini, ou que ces transversales deviennent parallèles entre elles,