AC P P

sinAaC = — ; — r; P = AC.aBx —. — ^ — j=,j sinAaB = AB.flfC x — ; — r; — 7,,

p sinBrtC = BC.aA x —7 — j^ — -, j

au moyen de quoi l'équation du n° 188 devient, en supprimant les facteurs ou diviseurs communs à tous ses termes,

ac2(^Uabz(^Wbci('^V

\arj \ap } \aq }

relation qui conduira immédiatement à celle dont il s'agit, en observant que aB = ûr4-Br, aC = «y» 4-B/?, ka ~ aq + \q.

i82 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES,

dans ce qui précède, et notamment celles du n" 179, subiraient des transformations analogues dans les circonstances dont il s'agit. •

192. Déductions relatives aux centres de moyenne distance et de moyenne harmonique. — Supposons que, sur la transversale ab ou ap [fig- 4o) qui contient les m points/?, p',p",... de la courbe, on choisisse un nouveau point X tel qu'on ait, en tenant compte des signes de position (6 et 17),

ax ap ap ap \ap

ou, ce qui revient au même (20),

Ca:Cp Cp' Cp"

ax ap ap ap

le pointx, ainsi défini, sera, d'après le n° 17 déjà cité, le centre ordinaire des moyennes harmoniques de tous les points p,p', />",••• par rapport au pôlea, et il en deviendra le ce/izre ordinaire de moyenne distance (21), quand l'origine a des segments passera à l'infini, ou qu'on aura

Donc nos deux relations du n*^ 191 ci-dessus n'expriment autre chose si ce n'est que le système des points?, P', P",... qui, dans les hypothèses générales des n°* 180 et suivants, formaient une involution simplei^âr rapport aux sommets a et è du triangle transversal abc, ont, dans le cas où ce triangle s'évanouit, le même centre de moyennes harmoniques ou de moyennes distances par rapport au point de concours commun des transversales, circonstance qui n'altère d'ailleurs en aucune façon la dépendance purement linéaire (183) que nous avons démontré appartenir à ces deux systèmes et qui sert à faire trouver l'un quelconque des points dont ils se composent au moyen de tous les autres.

Donc aussi les relations générales des n°*188 et 190 expriment que les centres de moyenne harmonique ou de m,oyenne distance des trois groupes de points p, p' , p'\...^ q, q' , ^",..., r, r' , r" ,.. , situés [fig- 4o) à l'intersection de la courbe et des transversales arbitraires ap, aq, ar, issues d'un même point a, ces centres respectifs, dis-je, sont rangés sur une même ligne droite, comme cela résulte d'ailleurs, à priori, des considérations exposées dans les n°* 51 et 54 de la Section I", relative aux centres de moyennes harmoniques.

193. Ces dernières considérations suffisent, je pense, pour convaincre

SECTION III. - ANALYSE DES TRANSVERSALES. i83

pleinement le lecteur que les théorèmes généraux qui se trouvent exposés, dans cette Section, sur les centres, axes et plans de moyennes harmoniques des systèmes de points, de droites et de plans quelconques, sont susceptibles de s'appliquer, d'une manière analogue, aux lignes et aux surfaces géométriques de tous les degrés, pourvu que les centres de moyennes harmoniques soient censés pris par rapport à des coefficients numériques égaux entre eux ou à l'unité, conformément à ce qui a été observé plus haut. Mais nous reviendrons sur cette remarque importante dans la partie de ces recherches qui est spécialement consacrée à l'exposition des principales conséquences relatives aux lignes et aux surfaces dont il s'agit.

Pour compléter d'ailleurs l'objet que nous nous sommes proposé dans ce paragraphe, il nous reste à présenter quelques observations propres à étendre, de plus en plus, les applications de notre principe fondamental, et à le rendre indépendant, en quelque sorte, de la position relative des transversales.

194. Cas singulier où les transversales convergent en un point de la courbe. — Toutes les relations métriques établies depuis le n° 187, et qui se rapportent au cas où les transversales convergent en un même point, deviennent à la fois illusoires ou prennent la forme - = - quand on suppose

que ce point vient à s'appliquer sur la courbe, circonstance qui, d'après les considérations du n'' 192 ci-dessus, annonce évidemment que les centres de moyennes harmoniques ou de moyennes distances relatifs à chacune des transversales se confondent eux-mêmes alors avec le point de concours dont il s'agit. Or, il est très-digne de remarque que ce ne sont pas seulement les relations métriques qui deviennent illusoires, mais toutes les relations purement descriptives jusqu'ici exposées, et que nous avons vues demeurer applicables aux divers autres changements d'état de la figure, sans modifications essentielles.

En y réfléchissant un peu, on verra que cette circonstance singulière tient à ce que trois des intersections de la courbe et des transversales, qui d'abord étaient distinctes sur chacune d'elles, ont dû se réunir en un seul point de concours de ces mêmes transversales. En effet, le système de ces points, supposés à une distance infiniment petite les uns des autres, détermine un élément du second ordre de la courbe, et non plus simplement un élément du premier (171); de sorte que, pour éliminer des relations primitives les segments qui s'y rapportent et dont les réciproques sont infinis, il ne suflit

i84 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES,

plus de faire intervenir dans la figure de vsimples transversales rectilignes (169 et suiv.) qui contiennent un à un, deux à deux, le point d'intersection dont il s'agit, mais il devient indispensable de prendre, pour transversale auxiliaire unique, une ligne géométrique d'un degré tout au moins égal au second, et qui renferme à la fois ces trois mêmes points considérés toujours comme distincts, quoiqu'ils soient réellement confondus en un seul.

195. Méthodes et équations relatives à ce cas . —Supposant, par exemple, que, dans les hypothèses des n'*' 187 et suivants, le point de concours a [fig. 4o) des transversales doive venir s'appuyer sur la courbe proposée, en un point pour lequel les intersections p, q, r se confondent elles-mêmes [fig. l\o) en une seule avec a, on concevra, par ces intersections, une ligne du second ordre quelconque rencontrant de nouveau les transversales a/?, aq^ aren F', Q', R' respectivement. Cela posé, on aura, d'après le n'^ 190 et en conservant toutes les notations et conventions de ce numéro.

AC = 2(-WaR.2 (^]-f.RC.2 apj \ap

\aq J

\ar aW ; \ap aV ) \aq

Soustrayant cette dernière équation de la précédente, il viendra

Cette nouvelle relation, étant indépendante des segments qui appartiennent aux points/?, q et r, demeure immédiatement applicable au cas où ces points se confondent en un seul avec le pôle a des transversales, et où par conséquent la ligne auxiliaire du second ordre doit devenir osculatrice de la proposée en ce même point. De plus, elle peut servir alors à tracer entièrement cette première ligne par points, puisqu'on laissant aV et aQ' fixes et faisant varier de position, autour de «, la troisième transversale aR', elle

donnera successivement les diverses valeurs de —^ qui déterminent la position correspondante du point R'.

Mais, attendu que cette même relation se présente sous une forme différente de celle de l'équation du n° 190, qu'elle est plus compliquée et qu'elle n'indique point explicitement la dépendance graphique qui lie' entre elles les intersections des transversales et des deux courbes, on cherchera à l'y ramener en opérant à peu près comme nous l'avons fait au n" 172, à l'oc-

SECTION III. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. i85

casion de la relation qui concerne le système des trois transversales quelconques.

Par exemple, si l'on conduit, parles points donnés Q'etR' de la ligne du second ordre, une droite auxiliaire rencontrant en/) la troisième transversale a?', et que l'on mène semblablement, par le troisième point P' de cette ligne, une droite arbitraire rencontrant, je suppose, en ^ et r respectivement les deux autres transversales aQ' et aK, on aura, pour le système de ces nouvelles transversales,