II

197. Manière de se débarrasser par couples des segments imaginaires. — Mais, pour laisser le moins possible à désirer sur ce sujet et ne rien emprunter, pour ainsi dire, d'étranger aux considérations de la Géométrie, nous rappellerons que, d'après l'observation déjà faite au n° 165, les deux points r et r' peuvent toujours être censés définis par une ligne du second ordre quelconque qui les contiendrait en commun avec la courbe proposée. Or, si on considère une telle ligne comme coupée, à son tour, parles transversales ar et deux autres droites quelconques issues de a, mais dont les intersections seraient toutes réelles et constructibles géométriquement, elle donnera lieu à une nouvelle équation qui permettra de calculer immédiatement les quantités ci-dessus, qu'on obtiendrait également à l'aide des considérations exposées dans la Section I, Chapitre II du précédent volume, sur les sécantes et cordés idéales des lignes du second ordre.

Toutefois, comme ces considérations supposent la section conique auxiliaire donnée à priori, il est bon de remarquer qu'on pourra toujours la construire par points sans recourir à des données étrangères à celles qui sont fournies par la courbe proposée, pourvu seulement qu'il ne se trouve pas plus d'un couple de points imaginaires sur chacune des transversales que l'on considère, et qu'on puisse mener, du point de concours de ces transversales, de nouvelles sécantes, dans la courbe, qui la rencontrent en autant de points réels qu'il est marqué par son degré.

Supposons, en effet, que dans les hypothèses générales des n"'' 165, 187 ou suivants, le couple des points r et r', et, si l'on veut encore, celui des points/? et/?' qui appartiennent à des transversales distinctes, soient imaginaires, tandis que tous les autres soient essentiellement réels ; on concevra, par ces quatre points et par un cinquième point X pris arbitrairement sur la transversale qq' , une ligne du second ordre qui viendra couper cette même transversale en un second point X', lequel pourra être déterminé géométriquement, ainsi que tous ses analogues relatifs à de nouvelles transversales arbitraires passant également par X et dont les intersections, avec la courbe proposée, seraient toutes réelles. Car si l'on élimine, des relations appartenant aux intersections de ces transversales et des deux courbes, tous les segments qui se rapportent aux points imaginaires communs à ces courbes, on obtiendra évidemment d'autres relations du premier degré, propres à calculer ou à construire linéairement les valeurs des segments qui répondent aux différents points Q' dont il s'agit.

Ces dernières considéfations se rattachant à la question générale où l'on se propose de construire géométriquement le système des intersections d'une

courbe plane, de degré donné, avec une transversale arbitraire, nous renverrons le lecteur au paragraphe suivant, où cette question et ses annexes se trouvent traitées d'une manière tout à fait spéciale.

§ IV

Détermination des lignes géométriques planes définies par leurs intersections avec certaines transversales rectilignes, etc. {*).

Jusqu'ici nous nous sommes principalement occupé à faire voir comment notre relation fondamentale peut être étendue à des situations quelconques des transversales, et nous avons aussi donné un aperçu de son utilité pour la solution de différents problèmes concernant les lignes géométriques, notamment pour le tracé de leurs tangentes et asymptotes. Nous nous proposons, dans ce paragraphe, de montrer comment il peut aussi servir à déterminer ou à construire ces lignes elles-mêmes tout entières, quand on les suppose définies par un nombre suffisant de conditions et spécialement par leurs systèmes d'intersections avec des droites données; cela nous mettra à même de résoudre plusieurs questions ou difficultés qui se sont présentées dans le précédent paragraphe, et dont nous avons renvoyé l'examen à celui-ci pour ne pas interrompre l'exposition générale de la méthode..

PRÉLIMINAIRES RELATIFS AU CAS OU l'oN SE DOISÎNE UN POINT MULTIPLE d'oRIiRE QUELCONQUE