DE LA COURBE

198. Afin de justifier tout d'abord ce qui a été admis, sans dénaonslration suffi- .sante, dans le n° 168, proposons-nous de prouver que tout système de 3m points, assujettis aux différentes conditions des n'^' 165 et suivants, appartient nécessairement à une certaine Ugne géométrique du degré m, constructible dans toutes ses parties, ou même à une infinité de lignes pareilles, si m surpasse seulement deux unités; car, pour ce qui concerne le cas de m = i et de m = 2, nous savons déjà (§ 1)

( * ) Ce paragraphe ou Chapitre ayant bien plus pour objet la démonstration de certaines vérités et principes généraux que le tracé effectif, manuel des courbes géométriques ou l'exposé même de quelques théorèmes et problèmes particuliers, nous nous dispenserons, comme dans le Mémoire original présenté à l'Institut, et imprimé au Journal de Crelle, d'accompagner le texte d'aucunes figures qui, ici, en particulier, et d'après la remarque déjà faite dans la note du n" 185, seraient, à cause de leur complication, très-peu propres à faciliter la lecture de ce paragraphe et des suivants. Je ne puis donc qu'engager le lecteur à tracer lui-même ces figures à la main au fur et à mesure du besoin, c'est à-dire par parties séparées et successivement : cette prescription est surtout applicable aux démonstrations des n°* 216 et suivants. — (Note de i865.)

i88 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

que le système des points proposés se trouve situé sur une droite ou une ligne du deuxième ordre, unique et dont le tracé ne présente aucune difficulté.

Pour arriver à la proposition générale où m est quelconque, nous pourrions, en premier lieu, considérer le cas de m= 3, où la ligne doit être du troisième ordre, puis nous élever successivement à celui de m = 4» de m = 5, etc. Mais, comme la marche des raisonnements reste absolument la même pour le cas général et pour chaque cas respectif, nous supposerons tout d'abord [Jig. 40 3 /w points sur chacun des côtés d'un triangle abc, entre lesquels on ait la relation métrique

{ap){bq)[cr) ^ {bp){cq){ar) '

assujettie aux conditions souvent mentionnées.

Cela posé, prenons sur le plan de la figure un point quelconque s pour pôle de rayons vecteurs ou d'une suite de transversales rectilignes, telles que sf, rencontrant les côtés ab, bc, ac du triangle abc aux points d, e, /respectivement, et la courbe cherchée, si tant est qu'elle existe, aux points inconnus x, x' , x",. . . supposés en nombre m. Considérons successivement cette courbe comme transversale des triangles daf, dbe, fce ; nous aurons, par hypothèse et d'après le n° 165, les trois nouvelles relations

{ap){dx){fr) {bq){dp){ex) ^ [cr){eq){fx) {ar){dp){fx) ' {bp)[dx)[eq) ' {cq){ex){fr)- '

qui reviennent aux suivantes

[dx) ^ {ar]{dp) [ex] ^ {bp){eq) [fx) ^ [cq)[fr) ifx) {ap){frf {dx) {bq){dpf {ex) {cr){eq)'

et dont l'une quelconque est comportée par les deux autres en vertu de l'équation précédente, ce qui les réduit à deux relations distinctes devant servir à construire les m points x, x', x",. . . au moyen de tous les points donnés.

Cette dernière circonstance annonce suffisamment que le problème restera complètement indéterminé tant qu'on ne fera pas, sur le système des points^, x', x",..., quelque autre supposition qui rende le nombre des conditions ou des relations distinctes équivalent à celui des inconnues, en admettant, par exemple, que le point s, qui sert de pôle aux transversales variables sdexf, soit un point multiple de la courbe du {m — if ordre, ou que m — 2 des points x, x', x'\. . . soient constamment confondus en un seul avec ce pôle, de sorte qu'il n'en reste plus que deux, tels que x et x' par exemple, à déterminer sur chaque transversale.

199. Désignant, en effet, par {dx), {ex), {fx) les produits dx.dx', ex. ex', fx.fx' relatifs à ces points, les dernières des relations ci-dessus deviendront

{dx)ds'" ' ^ {ar){dp) {ex)7s"' {bp){eq) {fx)f's'"'' {cq){fr)

ux)js'-' («/'K/o' {dx)dr'~^^^)i^p)' (^^)7r'""(^'0(^^)'

équations dont deux quelconques doivent suffire pour construire les points x' et x" sur chaque rayon vecteur, et qu'on peut d'ailleurs nnettre sous une forme plus simple, en supposant qu'on ait tracé le système des cordes ou sécantes indéfinies qr, q' r', q" r" , . . qui rencontrent en P, P', P",. . . respectivement la transversale arbitraire «/", puis le système des sécantes indéfiniesj3r,y9'r',/>'V',. . . rencontrant enQ, Q', Q",. . . celte même transversale, enfin celui des sécantes p^,/>'^',/)"^",. . . qui la rencontrent aux points R, R', R",. . . respectivement.

Car, en considérant ces trois systèmes distincts de sécantes comme autant de lignes de degré m, transversales des triangles daf, dhe, fce qui leur correspondent, puis combinant les relations auxquelles ces systèmes donnent lieu, avec les précédentes, à peu près comme on l'a fait dans le cas du n» 179, on obtiendra les nouvelles équations

{dx)Js""' [dQ] {ex)7s"~' (eR] {fx)Js"~' ^ (/"P) {fx)7r'~'^f^)' [dx)d;"-'~^dK)' (,^)--^-(eP)'

qui indiquent que le système des points x' , x" , s, s, s,. . ., en nombre m, combiné successivement avec le système des m points Q, Q', Q", . . . et celui de m points P, P', P",..., forme autant d'involulions simples (181) par rapport aux couples de points respectifs detf,e et d, fel e.

200. Afin d'obtenir des relations qui indiquent plus explicitement encore la dépendance purement descriptive qui lie les points jc' et^" aux points donnés, nous chercherons à éliminer les segments qui leur appartiennent des relations ci-dessus, en imaginant, par ces deux premiers points, une ligne du second ordre qui contienne en même temps trois quelconques p, q, r des derniers, appartenant à des côtés différents du triangle abc.

Nommons, à cet effet, p\,qi, r, les points inconnus où la ligne auxiliaire dont il s'agit rencontre de nouveau ces côtés respectifs, et supposant qu'on ait prolongé indéfiniment les sécantes ou cordes r, ^,, p, r,, p^q^ jusqu'à leur rencontre enP,, Q, et Ri avec la transversale sdx'x", on aura évidemment, en raisonnant comme cidessus,

jdx) dQ.dQ, (ex) eR.gR. (/x)/P./P. (A)~~/Q-/Q'' {dx)~ dii.dR,' {ex)~ eV.eV^'

équations qui, combinées avec les précédentes, donnent celles-ci

7^:7^'"(/Q')' dK^.d;"-'~î^w-y ;;::=^^-(7P')'

dans lesquelles n'entrent plus les segments relatifs aux points x, x', P, Q, R, et qui indiquent que le système des m — i points Q, s, s, s,... et des m — i points Q', Q*, . . . sont en involution par rapport aux points d et/, comme le système des m — I points R, s, s, s,. .. et celui des m — i points R', R",... sont pareillement en involution par rapport h e et d, etc.

!9o PROPRIÉTÉS PROJECÏIVES DES FIGURES.

Il suit de là donc que chacun des points P,, Q,, R,, dont dépend la ligne du second ordre qui contient ^ et x' , pourra être construit linéairement (155 et suiv.) au moyen de tous ceux qui lui correspondent et avec lesquels il est directement en involution. Or, je dis que la connaissance des trois points dont il s'agit fixe entièrement la position des points inconnus/?,, q,, r, de cette ligne du second ordre qui, devant en outre passer par les points donnés p, q, r, est elle-même complètement déterminée de position aussi bien que x et x'.

201. Toute la question consiste évidemment à construire un triangle /?i^,r, dont les sommets s'appuient respectivement sur les trois droites/?/?, ou ab, qqt ou bc, n\ ou ac prolongées indéfiniment et dont la direction des côtés passe par les points P,, Q,, R, pris dans l'ordre assigné par les considérations qui précèdent. Supposant donc un instant que l'un quelconque r, de ses sommets devenant libre, c'est-à-dire cessant d'être assujetti à demeurer sur la droite rri ou ac qui lui correspond, on le fasse varier de position en l'assujettissant, du reste, à toutes les autres conditions, ce sommet décrira, comme on sait, une nouvelle ligne droite passant par le point de rencontre des directrices ab, bc des deux autres sommets coupant ac au point r,, l'un des points cherchés de l'auxiliaire du second ordre, et dont les analogues s'obtiendront sur-le-champ, par le simple tracé des droites rtQi, r, P,.

Quant à la construction définitive des points x' et x", on l'obtiendra, soit parle tracé effectif et par points (145 et suiv.) de la ligne du second ordre auxiliaire dont il s'agit, soit en opérant directement sur les points/?, q, r, /?,, ^i, r, qui lui appartiennent, d'après la méthode générale du n" 344 du tome P' de ce 7'ra//e; méthode qui, elle-même, repose sur la théorie des centres et axes d'homologie des lignes du second ordre, développée dans le Chapitre I" de la Section III [ibidem).

202. Revenant maintenant à la question proposée en premier lieu : de faire passer une ligne de degré m par les trois systèmes de m points, p, /?', /?",..., q, q', q",-", r, r', r", définis au n" 198, et qui ait le pôle s des rayons vecteurs pour point multiple de l'ordre m — 2, je remarque : i** que les constructions précédentes

n'assignent que deux seuls points x et x' sur chacune de ces transversales; -2" que la suite de tous ces points forme naturellement une ligne continue; 3" que celte ligne passe effectivement par les 3 m points donnés, puisque les diverses relations qui définissent les points x et x' sur chacune des transversales sd prouvent qu'aucun des segments relatifs aux premiers points ne peut devenir nul sans qu'aussitôt l'un de ceux qui correspondent aux derniers et qui a précisément la même origine ne devienne également nul; 4" enfin que cette même ligne courbe ne peut rencontrer en aucun autre point que ceux dont il s'agit les trois droites ab, bc et ac qui les contiennent m par m, puisque, par exemple, si le point x' venait à se confondre avec le point d, sur la droite ab, on aurait dx' = o , ce qui exigerait, en vertu desdites relations, que l'un, au moins, des segments dp, dp'., dp",... devînt nul à son tour, ou que x' se confondît avec l'un des points correspondants.

Donc, en vertu du principe de cont'inuilé {Introduction de cette IIP Sect., p. 129), la ligne tracée comme on vient de le dire est bien une ligne du degré m seu-

lement, ayant le pôle s pour point multiple de l'ordre m — 2; ce qu'on prouverait également et de plusieurs autres manières, en démontrant, par exemple, que cette ligne n'a que m — 9. branches passant par le point «, etc. Donc enfin il existe une infinité de lignes pareilles contenant le système des points />, p', />",..., q, q' , q" ,"■, r, r', r",..., que définit l'équation générale du n" 165, pourvu seulement que le nombre m, qui marque le degré de la courbe, soit supérieur à 2, conformément à la remarque qui en a été faite au n*'198 ci-dessus.

TRACÉ LINÉAIRE DES COURBES DONT ON POSSÈDE UN POINT MULTIPLE DE l' ORDRE LE PLUS ÉLEVÉ. SATURES DIVERSES DES POINTS MULTIPLIS.

203. Les discussions auxquelles nous venons de nous livrer suffisent, sans doute, pour prouver que la relation fondamentale du n" 165, non-seulement exprime une propriété exclusive (168) des lignes géométriques, mais encore les définit d'une manière tellement caractéristique, que, nonobstant son universalité, elle a l'aptitude nécessaire pour les construire par points sous des conditions données, ainsi que nous avons déjà vu, dans les préliminaires, que la chose avait lieu pour les simples lignes du second ordre. Mais, afin de mettre cette conclusion dans tout son jour, il convient de ne pas s'en tenir à la solution du problème particulier qui vient de nous occuper, et de montrer, par une suite d'exemples, toute la variété des ressources que peut offrir l'Analyse des transversales, soit pour la construction effective des lignes géométriques de tous les degrés, soit pour la résolution des différents problèmes qui se rapportent aux intersections de ces lignes avec des droites de position donnée.

D'abord nous remarquerons que le problème qui vient d'être traité rentre dans la question générale où il s'agit de construire graphiquement ou par le calcul tous les points d'une ligne plane géométrique dont on connaît un point multiple d'une certaine espèce avec un nombre suffisant de ses systèmes d'intersection par des transversales reclilignes données. Or, la première en ordre de toutes ces questions est celle où le nombre qui indique la multiplicité du point en question est seulement inférieur d'une unité à celui qui exprime le degré de la courbe; car il paraît assex évident, d'après la définition la plus générale des lignes géométriques ou le principe de continuité, qu'une telle ligne ne saurait avoir un point multiple qui surpassât ou égalât même son degré, à moins que, dans ce dernier cas, elle ne se réduisit à un point unique ou à un simple faisceau de droites qui convergent en un Xjd point, à peu près comme il arrive, dans certains cas, pour les simples lignes du second ordre.

En effet, toute ligne qui passe par un point multiple devant être censée rencontrer la courbe en autant de points, confondus en celui-là, qu'il est marqué par l'ordre do sa multiplicité ou par le nombre des branches réelles ou imaginaires qui elles-mêmes sont censées y passer, il est bien clair que ce nombre ne saurait excéder le degré de la courbe : et ce raisonnement fort simple peut aussi servir à faire découvrir, à l'avance, l'incompatibilité d'existence de certains points singuliers, ainsi que d'autres affections générales des lignes géométriques.

Ainsi, par exemple, on aperçoit sur-le-champ qu'une telle ligne ne saurait avoir deux points multiples dont la somme des indices surpassât son degré, ou, en général, plusieurs points de ce genre situés en ligne droite et dont la somme des indices excéderait ce même degré. On voit pareillement encore que toute droite passant par un point multiple de l'ordre n, tandis que la courbe est elle-même du degré m, ne saurait rencontrer cette courbe en plus de m — n autres points distincts du premier, et qu'en vertu du principe de continuité leur nombre doit précisément être censé égal à m — n, etc.

204. Ces notions préliminaires étant établies ou rappelées, nous passerons à la solution du problème où il s'agit de construire les lignes géométriques du degré w, dont un point multiple de l'ordre m — r est donné, en observant qu'on ne saurait ici assujettir la courbe à passer, comme dans le cas précédent, par 3m points quelconques situés m par m sur trois droites arbitraires et satisfaisant d'ailleurs aux conditions du n° 165. Nous bornant donc au double système de m points p, p', /?",..., <7> 7'. (jî' •,"•■> situés respectivement, mais d'une manière entièrement arbitraire, sur deux lignes droites ou transversales indéfinies ah et ac qui se rencontrent en a, et nommant s le point multiple, de l'ordre m — i, qu'on suppose donné sur le plan de ces droites, on concevra, par s, une troisième transversale arbitraire hc rencontrant en c et 6 respectivement les deux premières, et la courbe en un nouveau point x distinct de 5, et qu'on déterminera facilement en considérant le triangle abc comme transversal de cette courbe : on aura, en effet, en vertu du principe fondamental (165),

(ap){cq) OS bx

{bp){aq) es ex

équation qui donnera immédiatement le rapport de bx à ex, et par suite (165) la position du point inconnu x. Faisant donc varier la direction de la transversale bc autour de s comme pôle, la suite des points x ainsi déterminés sur chacune d'elles tracera une ligne continue qui sera évidemment du degré m, passera une seule fois (202) par chacun des im points donnés, et m — i fois par le pôle s des transversales.

Parmi les différentes manières de construire linéairement (175 et suiv.) le point inconnu x, nous choisirons la suivante qui nous paraît une des plus simples et des plus symétriques.

Menons, une fois pour toutes, les droites /?g, p' q' ,p" q" ,... rencontrant la transversale arbitraire ftcaux m points n, n' , n" ,... qui ainsi seront connus; on aura, en considérant, à son tour, le système de ces droites comme une ligne géométrique, du degré m, transversale du triangle abc,

{ap){cq){bn) ibp){aq)(cn] '

équation qui, étant comparée à la précédente, donne immédiatement cette autre

6^ bx {on)

exprimant (181) que le système de m points donnés n, n', n" ,..., et celui des m — i points confondus en s, joints au pointa', sont en involution simple par rapport aux deux points b et c.

Donc on obtiendra immédiatement le points dont il s'agit, par les constructions linéaires du n° 183, en inscrivant, par exemple, dans l'angle bac, ou dans tout autre angle formé par deux droites issues de b et c, un polygone quelconque, de 2 m sommets, dont les côtés de rang pair passent respectivement par les points n, n', n", . . . , et dont les côtés de rang impair, un seul excepté, passent de même par les m — i points confondus en s, c'est-à-dire viennent tous converger en ce point, car le dernier côté ira naturellement rencontrer bc au point ^ demandé.

205. Telle est la solution fort simple du problème que nous nous sommes proposé en dernier lieu, et de laquelle il nous serait facile d'ailleurs de déduire un bon nombre de propriétés intéressantes concernant les lignes géométriques qui ont un point multiple d'une nature quelconque, mais de l'ordre le plus élevé, s'il nous était ici permis d'insister sur de pareils corollaires.

Nous disons point multiple d'une nature quelconque, parce qu'il est évident, en effet, que le caractère général et purement géométrique que nous leur attribuons de représenter, sur chacune des transversales qui y passent, un nombre invariable d'intersections de la courbe, égal à celui qui exprime leur ordre ou espèce, que ce caractère général, disons-nous, comprend aussi bien les points isolés ou conjugués dont les tangentes sont toutes imaginaires, que les points de croisement véritables dont les tangentes sont toutes réelles, et qu'il n'exclut, en aucune façon, soit les points dont les tangentes sont en partie réelles et en partie imaginaires, soit ceux dont les tangentes se trouvent confondues deux par deux, trois par trois, etc., ainsi qu'il arrive aux points de rebroussement, A'inflexion ou de serpentement de différentes espèces, points sur lesquels nous aurons d'ailleurs l'occasion de revenir dans le paragraphe suivant.

Du reste, sans prétendre entamer ici cette discussion relative aux points singuliers, nous devons cependant faire remarquer qu'elle est étroitement liée avec la question qui consiste à déterminer le système total des tangentes en ces points, question qu'on pourra toujours aborder directement et sans hésitation, comme on va le voir, au moyen des principes exposés dans ce qui précède; c'est-à-dire en cherchant à lier entre elles les intersections de certaines droites avec ces tangentes ou avec les différentes branches de la courbe, par des relations métriques ou descriptives convenables et qui permettent de construire les unes de ces intersections par les autres.

RELATIONS QUI LIENT LES TANGENTES DES POINTS MULTIPLES AUX SYSTÈMES d'iNTERSECTIONS EN LIGNE DROITE. TRACÉ DES COURRES AU MOYEN DE CES TANGENTES.

206. Supposant, par exemple, dans la première et la dernière des équations du n° 204, bx et ex respectivement égaux à 65 et à es, de sorte que la position de la transversale be doive être telle qu'on ait

(ap){eq) es (en)

ibp)iaq)-^-"ïb^)'

chacune de ses positions répondra à l'une des tangentes du point s, et cette tangente pourra être réelle ou imaginaire, selon que les points b et e, qui la déterminent, seront eux-mêmes possibles ou impossibles d'après la constitution des données du problème.

Mais, afin de n'avoir qu'un seul de ces points inconnus à considérer, on pourra éliminer des relations ci-dessus les segments qui concernent le second de ces mêmes points, en remplaçant, par exemple, le système de m droites pq, p'q', p"q",... par celui de m droites sq, s' q' , s" q",... qui rencontrent en o, o' , o" ,... respectivement la direction prolongée delà transversale ab. Considérant, en effet, à son tour, ce second système de droites comme une ligne du même ordre, transversale du triangle abc, il donnera lieu à la nouvelle équation

{ao){cq)bs

{bo){aq) es

qui réduit la première des précédentes à celle-ci :

[ap) __ [ao) {bp) (60)'

laquelle exprime encore que le système des points donnés p, p', p" ,... et celui des points o, o', o",... sont en involution simple (181) par rapport aux points a et />, dont le dernier est seul inconnu.

Néanmoins le point dont il s'agit ne saurait être immédiatement déterminé par les constructions Jinéaires qui nous ont servi précédemment (204) à tf-ouver a;, attendu qu'ici b n'est point unique et dépend de la résolution d'un problème d'ordre supérieur au premier, ou, ce qui revient au même, du tracé d'une courbe auxiliaire qui, par ses intersections avec ab, doit donner simultanément les m — i positions du point 6. Or, quoique nous possédions, dès à présent même, tous les éléments de cette résolution, nous ne l'entreprendrons pas, parce qu'elle se reproduira dans la seconde partie de ces recherches, où nous étudierons d'une manière plus spéciale les propriétés des systèmes de points en involution, et où nous aurons à traiter diverses questions qui s'y rapportent.

207. Mais on peut aborder d'une manière plus directe encore le problème qui

nous occupe sur les tangentes des points singuliers dont la position est donnée, en se basant sur les relations générales qui ont été mentionnées dans le n" 173 du précédent paragraphe. Supposant, en effet, que le sommet c du triangle abc, considéré dans les n°* 171 et 172, soit amené en un point multiple s de la courbe, dont l'ordre soit marqué par le nombre m — n inférieur à celui m qui représente le degré de cette courbe, on aura évidemment, en opérant comme on l'a fait (171) pour le cas d'une seule tangente, et représentant d'ailleurs par P, P', P",... les intersections des m — n tangentes en s, avec le côté opposé ab du triangle abc devenu asby on aura, dis-je, la relation

{ap){bq){sr){bP)^ jbP) ^{bp){sq){ar)

{bp}{sq){ar){aP) ' (aP) iap){bq){sry

dans laquelle (%) et (5g), (ar) et («r) représentent les produits de segments relatifs aux n intersections distinctes de la courbe avec les côtés respectifs as et bs du triangle, et dont on pourra se servir pour déterminer l'une quelconque des tangentes en s, au moyen des m — n — 1 autres, mais qui sera insuffisante pour les donner toutes à la fois ; de sorte qu'il sera indispensable de recourir à de nouvelles relations analogues, en remplaçant, par exemple, sb par d'autres transversales telles que sbi, 562,..., qui seraient également assujetties à passer par le point multiple, et rencontreraient, je suppose, aux points 6,, 6,,..., la base ab du triangle asb primitivement considéré.

Nommant, en effet, g,, q\, q\,- • • les m — n intersections de la courbe avec bsr, qj, q\, q\,- ■ . ses m — ji intersections avec ^^j, et ainsi des autres, on aura la suite d'équations

(6.P) ^ {b,p)(sq,){ar) (6,P) ^ {b,p){sq,]{ar) iaV) {ap){b,q,){sr)' (aP) [ap) {b,q,) [sr]' " ' '

dont les seconds membres sont censés donnés à priori par la construction ou le tracé effectif de la courbe, et qu'il faudra prendre en nombre suffisant pour déterminer complètement de position les n tangentes inconnues ^P, sV , 5P",. . . . Or, nous aurons bientôt occasion de traiter un système d'équations absolument semblables, et de faire voir que sa résolution dépend du tracé d'une courbe auxiliaire dont le degré est précisément égal au nombre des tangentes ou des points à déterminer.

208. D'ailleurs on pourra, si on le veut, remplacer ces équations par une infinité d'autres également propres à fixer la position des tangentes, soît en éliminant (169 et suiv. ) tous les segments relatifs aux m — n points P, P', P", . . . , soit en faisant disparaître ceux qui concernent les intersections mêmes des transversales sa, sb, sbi, sbi,

Conduisant, par exemple, de nouvelles droites qr, q'r', q" r" ,. . . par les intersections qui appartiennent aux côtés sa, sb du premier des triangles ci-dessus, et nommant TT, tt', -k", . . . leurs inlerseclions respectives avec ab, on aura, en tant que leur

système peut être considéré comme une ligne de degré n, transversale du triangle sab,

[ar)(sq){b-K) ^^ ^^ {bn) ^{bq){sr) ^ [sr){bq){aT.) ' {ar.) {sq){ar)'

équation qui réduit la première de celles ci-dessus à cette autre

{bV){b'K) ^{bp) ^

(aP)(a7r) [ap)

d'une forme plus simple, et qui exprime encore (181) que le système total de m points P, P', P",..., TT, t:', ti",..., et celui des m points p, p' , p",... sont en involution simple par rapport à « et 6.

209. Ces dernières relations et toutes celles qu'on pourrait obtenir de transformations analogues n'offrant aucun avantage particulier sur les précédentes, du moins quant à la solution du problème qui nous occupe, il serait assez inutile d'insister. Seulement, avant d'entamer d'autres matières, nous ferons remarquer que, lorsque n = i ou que le point multiple s est de l'ordre le plus élevé, ce qui réduit effectivement à une seule les intersections de la courbe et de chacune des transversales sa, sb, sbi, sb„. . ., les dernières relations dont il s'agit, et qui concernent l'involution de im points, mettent en état de construire successivement et par des méthodes purement linéaires (183) ces différentes intersections, au moyen de l'une quelconque d'entre elles, quand les m — i tangentes en s et les m intersections p, p', p",. . . , relatives à la transversale ab, sont données à priori.

Quant au cas où la multiplicité du point s est quelconque, on peut prévoir que le tracé de la courbe, ou la construction de ses n intersections avec chacune des transversales sb, sbi, sb^,. . ., se rapporterait à une question d'un ordre supérieur au premier, et dont la solution exigerait que le nombre des systèmes d'intersections données ou des relations métriques distinctes qui les lient aux intersections inconnues fut égal à celui de ces dernières. Mais je me dispenserai de rapporter ces nouvelles relations qui sont faciles à découvrir d'après ce qui précède, et dont la constitution, absolument semblable à celle des équations considérées à la fin du n° 207, indique le même genre de solution; j'ai seulement prétendu signaler en passant quelques-unes des questions qui se rattachent au problème général du tracé des lignes géométriques par leurs systèmes d'intersections avec des droites données, problème dont la résolution générale fait l'objet spécial de ce paragraphe, et dépend, comme on va le voir, d'un système d'équations analogues encore à celles dont il s'agit.

ÉQUATIONS FONDAMENTALES DONT DÉPENDENT LE TRACÉ EFFECTIF DES COURBES GÉOMÉTRIQUES ET LA DÉTERMINATION DE LEURS INTERSECTIONS PAR DES DROITES DONNÉES.

210. Jusqu'ici nous n'avons encore traité que les cas élémentaires où le nombre des systèmes de points donnés en ligne droite est simplement égal à deux ou à trois, et nous avons vu (201 et 204) que, dans le premier, le tracé de la courbe, supposée du degré m, ne peut s'effectuer qu'autant qu'on se donne, en outre, arbi-

trairemenl un point multiple de cette courbe dont l'indice soit m — i; et dans le second, un point multiple dont l'indice soit m — 2 : il est évident que des circonstances analogues auront lieu à mesure qu'augmentera le nombre, des systèmes d'intersections données en ligne droite, c'est-à-dire que l'indice du point multiple devra diminuer successivement d'autant d'unités, en sorte qu'au lieu de i ou de 2 points sur chacune des transversales qui y passent, on en aura successivement 3, 4, 5,. . . ou, en général, n à considérer si l'indice de multiplicité est m — n et le nombre des systèmes de points donnés n-\-i. On doit donc s'attendre encore (209) à ce que la question se complique de plus en plus, et qu'au lieu de lignes auxiliaires du premier et du second degré à construire, ainsi qu'il arrive pour les cas précités, on soit obligé de recourir à des lignes de degrés de plus en plus élevés.

Comme le nombre n ne saurait, tout au plus, qu'être égal à m, on peut juger, d'après l'analogie, que le cas le plus général de la question qui nous occupe est celui où le nombre des systèmes donnés d'intersections de la courbe avec des droites arbitraires serait égal à /n-h i, c'est-à-dire supérieur d'une unité à celui qui marque le degré de cette courbe; en vertu de quoi la question se trouve ramenée à celle où il s'agit de construire les m intersections de cette même courbe avec une nouvelle transversale ou une suite de nouvelles transversales quelconques. Mais comme, d'une autre part, il est toujours permis de supposer, sans rien statuer de particulier sur la nature de la courbe, que ces dernières transversales soient toutes conduites par un même point ou pôle choisi à volonté sur son contour, il est clair que nous n'ôterons rien à la généralité de la question en nous arrêtant au cas de n = m — I, où le nombre des transversales rectilignes, dont les intersections sont données à priori, est précisément égal au degré de la courbe; or ce cas est d'autant plus remarquable qu'il se rapporte à un problème que nous avons déjà implicitement résolu dans ce qui précède (202), pour des courbes dont le degré m serait simplement le troisième.

Du reste, on peut juger, par ce qui va suivre, que la solution des problèmes relatifs aux deux cas généraux dont il s'agit est fondée absolument sur les mêmes principes, et comprend naturellement celle de tous les cas particuliers où le nombre des systèmes de points donnés en ligne droite est inférieur à celui du degré de la courbe à tracer; nous pouvons donc borner nos investigations à ce qui concerne le problème général qui suit :

Les m^ intersections d'wie ligne plane, du degré m, avec m droites arbitraires étant données k priori, tracer cette ligne en l'assujettissant, de plus, à passer par un dernier point choisi à volonté sur son plan; ou, ce qui revient au même, déterminer successivement ses m — i intersections nouvelles avec chacune des transversales arbitraires issues du point dont il s'agit.

211. Pour démontrer, tout d'abord, qu'en effet la courbe est généralement possible sous ces données, ou que l'énoncé ci-dessus ne contient rien d'incompatible avec la nature des lignes géométriques, nous supposerons que ap, bq, cr, ds,... soient les m transversales considérées, portant respectivement le système des m points p, p' , p" ,..., celui des m points q, q', q",..., celui des m points r, r',

igS PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

r" ,..., et ainsi de suite, lesquels sont tous censés donnés â /?nori. Ces systèmes appartenant donc, par hypothèse, à la même courbe géométrique, doivent, lorsqu'on les combine trois par trois, quatre par quatre, etc. , donner lieu à des relations métriques analogues à celles du n° 165 et qui se rapportent respectivement aux différents triangles, aux différents quadrilatères, etc., formés par les transversales dont il s'agit.

Mais, d'après la nature même de ces relations, il paraît évident que toutes ne sont pas distinctes, et qu'un certain nombre d'entre elles comportent naturellement les autres, ou peuvent les reproduire quand on les combine convenablement entre elles, par voie de multiplication ou de division.

En particulier, il est clair que les relations qui appartiennent aux quadrilatères, aux pentagones, etc., sont toutes comportées par celles qui se rapportent aux simples triangles; et même on peut prévoir que, parmi ces dernières, il en est toujours un certain nombre qui sont comportées naturellement par toutes les autres. Enfin, puisque chacune des relations distinctes et vraiment essentielles permet de construire immédiatement (166, 173 et suiv.) l'un quelconque des points qui s'y rapportent sans recourir au tracé effectif de la courbe, on voit également qu'une partie des m^ points considérés sur les différentes transversales «/?, aq, ar,... ne sauraient être pris d'une manière entièrement arbitraire, et doivent dépendre des autres suivant une loi indiquée par les relations mêmes dont il s'agit.

212. Afin de légitimer complètement ces différentes assertions, nommons, en général, a le nombre des transversales considérées; détachons-en une quelconque pour la combiner successivement avec les /jt. — i autres prises deux à deux, il en

résultera -^ -^ triangles différents dont les systèmes d'intersections, avec

la courbe, donneront lieu à un égal nombre de relations (165) évidemment distinctes entre elles, puisque les sommets opposés à la transversale qui contient à la fois toutes les bases de ces triangles seront eux-mêmes distincts entre eux, aussi bien que les segments qui les concernent dans chaque relation. Or il est facile de se convaincre que ces équations, combinées trois à trois dans un certain ordre, par voie de multiplication ou de division, et de manière à en éliminer complètement tous les produits relatifs à la transversale dont il s'agit, reproduiront nécessairement les différentes relations qui se rapportent aux triangles formés simplement par les intersections mutuelles des f>t— i autres transversales.

Mais, puisqu'on obtient ainsi le système complet des équations relatives à tous les triangles possibles, il est clair que, par la combinaison mutuelle des précédentes, on obtiendra aussi successivement toutes celles du même genre qui peuvent appartenir aux différentes autres figures polygonales formées par les rencontres des m transversales proposées. Donc enfin le nombre des relations véritablement

essentielles ou indépendantes se réduit à -(;:z — i)(u — 2) seulement, et ces équations pourront servir à déterminer un pareil nombre des intersections de la courbe proposée avec nos \i. transversales. Ainsi, par exemple, dans le problème ci-dessus (209), où le nombre des trans-

versales est précisément égal à celui m qui marque le degré de la courbe, on pourrait se donner, d'une manière tout à fait arbitraire, les m intersections de chacune des deux premières transversales, m — i intersections de la troisième, m — 2 de la quatrième,..., enfin 2 seulement des intersections de la m""" ou dernière; moyennant quoi on devrait pouvoir construire, à l'aide des éq'uations qui se rapportent à ces transversales, toutes leurs autres intersections avec la courbe, lesquelles sont effectivement en nombre i-f-2 + 3...-f-m — 2= -{m — i)(/n — 2).

Si le nombre des transversales, au lieu d'être m, était m-i-i, celui des intersections susceptibles d'être déterminées à priori serait -m(m -h i), c'est-à-dire supérieur de m — I unités au précédent, et celui des intersections arbitraires serait simplement augmenté d'une unité, ce qui s'accorde avec les considérations du n^ 210.

La suite de ce paragraphe offrira d'ailleurs des exemples de la manière dont on doit traiter les problèmes qui se rapportent à la combinaison de données que nous venons de faire connaître ou à des combinaisons équivalentes.

213. Revenons maintenant au problème du n° 210 : nommons x le nouveau point quelconque du plan de la courbe, par lequel il s'agit de faire passer cette courbe en même temps que par les m* autres points déjà donnés sur les m transversales ap, bq, dr,... (211). Soit ax une dernière transversale arbitrairement menée par ce point, et rencontrant en a, h, c, d,... respectivement les précédentes, qui contiennent déjà les m intersections p, p' , p" ,..., les m intersections q, q\ q" ,..., les m intersections r, r' , r",..., etc.; elle viendra déterminer, sur la courbe, de nouveaux points d'intersection x\ x", x'" ,..., qui devront être en nombre m — i seulement, puisque cette courbe, elle-même, est supposée du degré m.

Pour les découvrir, nous nommerons 6', c' , d' ,... les intersections de la droite ap avec hq, cr, ds,... respectivement; et, considérant les triangles successifs abb', acc',add',... comme transversaux de notre courbe (m), nous aurons (165) cette suite d'équations :

{bx') {b' p){bq)ax

[ax')

~{b'q){ap)

bx'

[ex') {ax')

{c'p){cr) [c'r){ap)

ax ex

[dx')

{d'p){ds)

ax

[ax')

[d's) [ap]

dx *

dans lesquelles {ax') représente le produit de tous les se^menlsax' ,ax",ax^,..., {bx') le produit de tous les segments bx', bx", bx'",..., {ex') le produit de tous les segments, etc., dont aucun ne se rapporte au point donnée:.

214. Ces équations, qui se présentent encore sous la même forme que celles du n° 207 ci-dessus, et dont les seconds membres ne contiennent également que des

quantités toutes données, ces équations, dis-je, étant en nombre égal à celui des points inconnus, et exprimant des conditions distinctes, attendu qu'elles appartiennent respectivement aux m — i transversales bb' , ce', dd',..., ou bq, cr, ds,..., on peut prévoir à l'avance qu'elles sont effectivement aptes à construire géométriquement les m — I points demandés, par des opérations analogues à celles qui ont été exposées pour le cas ci-dessus (262 et 204), où l'on ne se donnait, en outre de X, que deux ou trois groupes seulement de points de la courbe, situés m par m en ligne droite.

Mais, non-seulement ces équations suffisent pour 'déterminer entièrement de position les points x', x" , x'",...; de plus, il n'en existe aucune autre propre à remplir ce but et qui ne soit une conséquence nécessaire des premières. Car elle ne pourrait qu'être relative encore (212) à l'un des triangles, à l'un des quadrilatères, etc., formés par la transversale arbitraire ax avec les transversales données ap, bq, cr,..., et l'on retomberait directement sur celte équation, si l'on combinait convenablement les proposées avec toutes celles qui se rapportent aux propres intersections de ces dernières transversales.

Considérant, par exemple, le triangle bnc formé par la transversale ax avec deux quelconques nbq, ncr des autres transversales, on aurait

{bx){nq){cr) {bx') {bq)[nr)cx

{cx){bq){nr) ' {ex') [nq){cr)bx

De plus, le triangle b'c'n, formé par les intersections mutuelles des transversales ap, nbb'q, ncc' r, donne naturellement

{b-q){c'p)(nr)^^ {b'p)[c'r){nq)

Or il est aisé de se convaincre que, en effet, si l'on divise la première des m — i équations du n" 213 par la seconde, et qu'on multiplie ensuite le résultat par celle qui vient d'être posée en dernier lieu, on retombera précisément sur la précédente relative au triangle bnc d'abord considéré.

215. Avant de passer à la résolution effective du système des équations du n°213, nous insisterons sur l'importance de cette résolution en général; car, indépendamment des questions des n°' 207 et 210, elles en embrassent une variété d'autres concernant la description des lignes géométriques et la détermination de leurs intersections avec des droites de position donnée. Par exemple, si on applique les considérations qui précèdent au problème, sur les intersections des transversales, mentionné vers la fin du n° 212, il paraîtra évident que, pour la combinaison de données qui s'y trouve admise, l'intersection inconnue de la troisième transversale, les deux de la quatrième, les trois de la cinquième, enfin les m — i de la m'*"", seraient déterminées, de proche en proche, par i, par 2, par 3,..., enfin par m — 2 équations de la forme de celles qui nous occupent, en regardant d'ailleurs, dans chaque système d'équations, comme connues les intersections déjà déterminées par les systèmes d'équations précédentes.

En général, on voit que, si l'on connaissait à priori, ou si l'on avait déterminé convenablement w -h I systèmes quelconques d'intersections en ligne droite d'une courbe plane de degré m, et qu'il s'agît de déterminer ses m intersections avec une nouvelle transversale arbitraire, on serait conduit (213) à n équations distinctes, toujours de la même forme générale, et qui seraient aptes à déterminer n quelconques de ces intersections; de sorte que les m — « autres devraient être assignées à priori ou par des conditions équivalentes. C'est ce qui arrive, par exemple, dans les problèmes des n°* 198 et suivants, et dans tous ceux que nous avons mentionnés au n" 210, où il s'agit de construire la courbe à l'aide de certains points multiples pris pour pôles d'une suite de transversales dont les intersections distinctes, avec cette courbe, sont considérées comme inconnues.

Le seul cas pour lequel le nombre des équations est précisément égal au nombre des intersections de la transversale arbitraire, répond évidemment à celui où m -\- \ systèmes d'intersections en ligne droite seraient donnés ou connus à priori.

Mais comme, d'après le n° 212, -m {m — i ) de ces m ( m -h i ) intersections peuvent

être déterminées directement par un pareil nombre de relations, on voit que

m(/n-i-i) — -m [m — i) = -m(wH-3) seulement d'entre elles doivent être con-

sidérées comme entièrement arbitraires : c'est, en effet, là le nombre total des points ou des conditions indépendantes nécessaires pour fixer entièrement, de forme et de position, toute ligne du degré m, située sur un plan.

PROBLÈME GÉNÉRAL SUR LA DIVISION DES LIGNES DROITES EN SEGMENTS DONT LES RAPPORTS