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!î74 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

Ainsi, par exemple, « tout plan diamétral d'une surface géométrique, » conjugué à la direction d'une droite donnée, est aussi le plan diamétral » de chacun des systèmes de plans tangents a cette surface qui corres- » pondent à ses intersections avec une droite quelconque parallèle à la » direction fixe de la proposée. »

311. En remarquant qu'une surface géométrique donnée possède une infinité de développables du même degré, circonscrites aux contours de ses différentes sections planes, ou ayant mêmes plans tangents aux points de ces sections; en remarquant de plus que, parmi toutes ces développables, il en est une, mais une seule, qui est asymptote de la surface proposée, ou dont la ligne de contact est entièrement située à Tinfini dans un plan qui peut être considéré lui-même [Propriétés projectives, t. 1", Supplément, n^*576 etsuiv.) comme contenant tous les points à l'infini de l'espace; enfin, en se rappelant que, dans tout système de droites ou de plans parallèles, ces droites et ces plans doivent être censés concourir en un même point ou en une même droite commune à l'infini, on conclura de ce qui précède les propositions suivantes ;

1° Toute surface développable circonscrite à une surface géométrique quelconque suivant le contour de l'une quelconque de ses sections planes, a même plan diamétral que la proposée, conjugué à la direction d'une droite arbitraire, parallèle à ce plan; ou, plus généralement, cette surface développable a avec la proposée, même plan de moyennes harmoniques conjugué à l'un quelconque des points de ce plan de section de contact.

2."^ La surface développable asymptotique d'une surface géométrique quelconque a même plan diamétral que celle-ci, conjugué à la direction d'une droite arbitraire; ou, en d'autres termes, toute transversale droite coupe l'une et l'autre de ces deux surfaces en deux groupes de points qui ont le même centre de moyennes distances, pris toujours par rapport (3S) à des coefficients numériques arbitraires.

3° Dans toute surface géométrique, le système total des plans asymptotes relatifs à la direction d'un plan donné, ou qui contiennent toutes les asymptotes des intersections de la surface parallèles à ce plan, ce système, dis-je, a même plan diamétral que la surface proposée, conjugué à la direction d'une droite prise arbitrairement dans le plan donné.

312. Ce dernier théorème est, pour les surfaces géométriques, l'analogue de celui de Newton pour les simples lignes planes: on y parvient immédiatement en supposant que, dans le dernier des énoncés du n° 310, la droite

SECTION IV. - DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 27$ unique qui contient les points de contact des plans tangents passe tout entière à l'infini suivant la direction marquée par un certain plan.

313. Passons aux lignes géométriques à double courbure qui ont généralement pour projection sur un plan arbitraire d'autres lignes géométriques de même degré, et rappelons-nous que, d'après les définitions et propriétés (n"* 28 et suiv.) du centre des moyennes harmoniques d'un système de points situés à volonté dans un plan ou dans l'espace : ce centre n'a point, comme celui des moyennes distances, une position absolue, même quand on assigne (38) les coefficients numériques ou facteurs qui correspondent à chacun des points considérés, mais qu'il est toujours relatif ou conjugué à une certaine droite fixe, à un certain plan fixe que nous avons nommés axe, plan des origines harmoniques, et dont l'éloignement à l'infini réduit le centre correspondant des moyennes harmoniques à un simple centre de moyennes distances.

En examinant ce qui a lieu dans les projections planes de ces courbes, sur un plan perpendiculaire à l'arête commune d'un faisceau de plans sécants, on arrive tout de suite à ce théorème, qui est l'analogue ou l'extension de celui qui appartient (45) aux systèmes de simples lignes droites situées à volonté dans l'espace :

Une ligne géométrique à double courbure et un axe fixe étant donnés dans l'espace, si, par cet axe, on conduit dans la courbe un faisceau ou infinité de plans transversaux, puis qu on prenne pour chacun d'eux le centre des moyennes harmoniques des intersections correspondantes, la suite de tous ces centres appartiendra à une même droite qui! on peut appeler (49) /'axe des moyennes harmoniques de la courbe, conjugué à l'axe fixe du faisceau.

L'axe des moyennes harmoniques dont il s'agit se confond évidemment (305, 306) a la fois, et avec celui qui appartient à chacun des systèmes distincts de cordes joignant, deux par deux, les intersections relatives à un couple quelconque de plans transversaux, et avec celui de chacun des systèmes de tangentes relatives aux intersections de la courbe et d'un même plan.

314. Supposant l'axe fixe à l'infini, tous les plans transversaux deviendront parallèles entre eux et à un plan donné; les centres des moyennes harmoniques se changeront en des centres de moyennes distances, et l'axe des moyennes harmoniques en un axe des moyennes distances qu'on pourra nommer le diamètre de la courbe conjugué à la direction du plan fixe.

Considérant d'ailleurs le système total des asymptotes de la courbe ou des tangentes qui répondent aux points à l'infini de cette courbe, on s'assurera, par nos principes, qu'il a le même diamètre qu'elle, conjugué à la direction d'un plan fixe arbitraire. De plus il sera évident encore que :

Les m asymptotes d'une courbe plane ou à double courbure de degré /??, devant être considérées comme une ligne de ce degré, tout plan transversal de ces m asymptotes et de la courbe y déterminera deux groupes de m points ayant un même centre de moyennes distances.

PROPRIÉTÉS DIVERSES DES AXES, DES PLANS ET DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES DES LIGNES OU SURFACES GÉOMÉTRIQUES, CONJUGUÉS A DES FAISCEAUX DE TANGENTES OU DE PLANS TANGENTS, ETC.

315. Des propositions plus générales encore ont lieu pour les courbes de l'espace, leurs enveloppes développables osculatrices ou tangentielles (82), par rapport aux faisceaux de plans tangents et de génératrices droites issus de points, de droites ou de plans arbitrairement donnés au dehors de la courbe, à laquelle on peut d'ailleurs substituer une surface géométrique quelconque. C'est ce dont on verra divers exemples ci-après.

Si d'ailleurs on applique à ces propositions générales les principes exposés dans le Mémoire sur la théorie des polaires réciproques (Sect. II, n"* 120, 131 et suiv.), on en déduira un grand nombre de nouveaux théorèmes relatifs aux systèmes de tangentes et de plans tangents, des courbes ou surfaces géométriques, issus de points et de droites donnés. Mais, comme il ne s'agit point ici d'un Traité complet sur ces lignes et surfaces, nous nous contenterons de quelques exemples propres à mettre en évidence la richesse et l'étendue de la matière, en même temps qu'ils nous offriront l'occasion de poser quelques définitions nouvelles.

316. Appliquons d'abord les principes de la théorie des polaires réciproques à la propriété du n" 305 concernant les axes de moyennes harmoniques des courbes planes, conjugués à des points ou pôles fixes : il en résultera évidemment cet autre théorème, analogue au premier de ceux du n*' 29, qui concerne un simple groupe de points :

Une courbe géométrique et une droite fixe étant données arbitrairement sur un plan, concevons que d'un point quelconque de cette droite on -mène toutes les tangentes de la courbe, puis quon détermine (15 et 25) Vaxe des moyennes harmoniques de ce faisceau de tangentes par rapport à la droite fixe donnée;

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 277 cet axe et tous ses semblables concourront en un point invariable qu'on peut appeler : centre des moyennes harmoniques de la courbe proposée, relativement à l'axe fixe dont il s'agit.

317. On remarquera que, pour chacun des faisceaux de tangentes, Taxe des moyennes harmoniques contient nécessairement (30) le centre de moyennes harmoniques conjugué à la droite fixe du système des points de contact de ces tangentes; donc :

Le centre des moyennes harmoniques d'une courbe plane donnée , relativement à un axe fixe arbitraire, est aussi le centre pareil de tous les faisceaux de tan-^ gentes issues des différents points de cet axe.

318. Supposant que l'axe fixe passe à l'infini sur le plan de la courbe, les faisceaux de tangentes qui convergeaient en des points de cette droite deviendront des faisceaux de tangentes parallèles, et les mêmes conséquences subsisteront toujours, si ce n'est (28) que les centres et les axes de moyennes harmoniques se changeront respectivement en des centres et des axes de moyennes distances. En nommant, pour abréger, centre de la courbe le point de concours unique de tous les axes des moyennes distances des faisceaux de tangentes parallèles, on devra se garder de croire que ce point est aussi le concours unique de tous les diamètres de la courbe, ni ce qu'on appelle en général le centre des moyennes distances d'une ligne : cette coïncidence ne peut avoir lieu que dans certains cas particuliers, comme nous le démontrerons un peu plus tard.

319. Les énoncés des n*^' 308 et suivants conduisent encore aux propositions réciproques ci-après :

Une surface géométrique quelconque et un plan fixe étant donnés dans r espace, supposons que, par une droite choisie arbitrairement dans ce plan, on mène à la surface tous les plans tangents, puis qu'on détermine le plan des moyennes harmoniques de leur système total (Sect. V^) par rapport au plan fixe d'origine auquel il est conjugué; le nouveau plan ainsi déterminé passera, de même que tous ses analogues relatifs aux différentes droites de ce dernier, par un point unique, que nous nommerons encore centre des aiotennes harmoniques DE LA SURFACE, conjugué au plan fixc.

Le centre général dont il s'agit se confond évidemment avec celui qui, conjugué harmoniquement au même plan d'origine, appartient (31) à chacun des groupes de points de contact correspondants aux faisceaux distincts de plans tangents à la surface proposée, qui émanent des diverses

droites arbitrairement choisies sur le plan fixe, pour servir d'a.re d'origines aux segments harmoniques.

320. Ce théorème est l'extension évidente de celui du n° 49, qui concerne un simple groupe de points situés arbitrairement dans l'espace. Quand on suppose que le plan fixe passe à l'infini, il fournit la définition du centre général de moyennes distances des surfaces géométriques, qu'il n'est pas permis, comme nous en avons déjà prévenu (318), de confondre avec ce qu'on nomme ordinairement le centre de figure des surfaces, et qui ne se confond pas non plus avec l'enveloppe des plans diamétraux conjugués à des directions de plans quelconques.

Passant aux propositions inverses de celles qui concernent la courbe à double courbure (313), rappelons-nous que la polaire réciproque (83) d'une telle courbe est une surface développable quelconque dont l'arête de rebroussement est, à son tour, la réciproque polaire de la surface développable osculatrice de la proposée ou qui est formée par le système de toutes ses tangentes. On arrive à ces divers énoncés :

Une surface développable et une droite ou axe fixe étant donnés, si, des différents points de cette droite, on mène autant de systèmes de plans tangents à la surface, et qu'on détermine pour chacun d'eux le plan des moyennes harmoniques conjugué à cet axe fixe des origines (48), tous ces plans iront passer par une droite unique qu'on peut appeler elle-même /'axe des moyennes harmoniques de la su/face, conjugué à la droite fixe. — Ce même axe est aussi /'axe des moyennes harmoniques de chacun des systèmes de génératrices de contact de la surface par rapport à la droite fixe dont ils agit.

321. Les plans tangents d'une développable n'étant autre chose que les plans osculateurs de son arête de rebroussement, il résulte aussi de ce qui précède que :

S/, des différents points d'une droite d'origine arbitraire, on mène les systèmes correspondants de plans osculateurs à une courbe à double courbure quelconque, le plan des moyennes harmoniques de chacun de ces systèmes par rapport à la droite fixe d'origine, ira passer par une autre droite ou axe de concours unique, quon peut nommer Taxe des moyennes harmoniques de la courbe proposée, relativement à la droite d'origine, axe de moyennes harmoniques qui est aussi celui des systèmes distincts de tangentes aux points de contact des divers plans osculateurs.

322. L'axe des moyennes harmoniques dont il s'agit étant lui-même

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 279 distinct de celui qui appartient (313) aux différentes intersections des plans conduits par la droite d'origine, on pourra le nommer axe harmonique par osculation, et celui-ci axe harmonique par intersection.

Le théorème précédent est d'ailleurs évidemment l'extension du second de ceux énoncés au n** 49 pour les assemblages de lignes droites.

Enfin la proposition du n° 320 ci-dessus étant applicable aussi bien aux surfaces développables qu'aux surfaces courbes quelconques, on en déduit immédiatement la proposition réciproque qui suit :

Une courbe géométrique et un plan quelconque (A) étant donnés dans l'espace, si, par une droite prise à volonté dans ce plan pour axe des origines harmoniques, on conçoit le faisceau des plans tangents à la courbe et son plan harmonique conjugué (47) au plan (A), qui est aussi le plan moyen relatif aux points de contact de ces plans tangents, conjugué également à ( A ), ce plan moyen, barmonical ou harmonique, passera, ainsi que tous ses analogues émanés des divers axes d'origine compris dans le plan général d'origine (A), par un seul et même point qu'on peut nommer encore le centre général des moyennes harmoniques conjugué au même plan d origine (A).

323. Ce théorème se déduirait sur-le-champ de celui qui a été exposé n°* 316 et 317 ci-dessus relativement au centre harmonique général des courbes planes; car si, d'un point quelconque du plan d'origine (A), on fait la projection conique ou perspective de la courbe à double courbure sur un plan arbitraire (X), la projection du centre harmonical ou harmonique de cette courbe s'y confondra évidemment avec le centre pareil de la projection de la même courbe par rapport à l'intersection du plan de projection (X) et du plan (A) des origines harmoniques.

324. Supposant maintenant que, dans les théorèmes qui précèdent, les plans, les droites d'origine dont il s'agit passent à l'infini, on arrivera à autant de théorèmes dans lesquels les axes, les plans et les centres de moyennes harmoniques seront devenus des axes, des plans et des centres de moyennes distances. Enfin, si, des propriétés et définitions diverses qui appartiennent aux lignes planes géométriques, on passe à celles qui concernent les cônes et les cylindres en général ou les cônes, les cylindres circonscrits à une surface et à une courbe à double courbure quelconque, ce qui est facile, on arrivera à une série de nouveaux théorèmes dont la correspondance avec leurs analogues relatifs aux pôles, polaires et plans polaires conjugués dans les lignes ou surfaces du second degré est trop évidente pour qu'il soit nécessaire d'insister; car ces. théorèmes peuvent être considérés, par voie de

28o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

continuité, comme une simple extension de ceux qui leur correspondent . (Sect. P^) pour les systèmes de points, de plans et de droites arbitraires.

325. Observant, par exemple, qu'un groupe quelconque de points dans l'espace peut être envisagé comme constitué d'autant de surfaces fermées, réduites à des dimensions infiniment petites et représentant une surface formée de points singuliers; observant, en outre, que les faisceaux de tangentes ou projetantes émanées d'un autre point fixe quelconque de l'espace représentent autant de petits cônes constituant une surface conique générale circonscrite à cette surface fictive; qu'enfin l'axe harmonique d'un tel faisceau, conjugué à un plan d'origine arbitraire contenant le sommet commun des cônes, doit être regardé comme l'axe pareil du faisceau représenté par l'ensemble de toutes les droites projetantes, etc.; par ces considérations purement inductives et fondées sur la notion de continuité, etc., on sera conduit (31 et 49) à ce théorème général (*), qu'il serait facile de justifier au moyen de raisonnements à priori analogues à ceux des n*** 313 et suivants, théorème qui se lie intimement d'ailleurs avec celui du n° 319 :

Une surface géométrique et un plan fixe étant donnés dans l'espace, si, des différents points de ce plan origine, on mène des cônes circonscrits à la surface, la série des axes harmoniques de ces cônes, conjugués au plan d'origine, passera par un seul et même point qui se confond à la fois et avec le centre des moyennes harmoniques de la surface proposée par rapport au plan fixe d'origine, et avec tous les centres pareils des différentes lignes de contact des cônes circonscrits à cette même surface.

326. A son tour, ce dernier théorème est susceptible d'être traduit dans le suivant par les principes de la théorie des polaires réciproques :

Une surface géométrique et un point fixe étant donnés à volonté dans l'espace, si, par ce point général d' origine des segments harmoniques, on mène une infinité de plans sécants dans la surface, puis qu'on prenne le centre harmonical des courbes d'intersection, conjugué au point fixe, tous ces centres seront situés en un seul et même plan qui est à la fois, par rapport au point fixe d'origine, le centre pareil de la surface proposée et des différentes développables qui lui sont circonscrites suivant les sections planes.

(*) Quelqu'un m'ayant fait observer avec raison que l'ancienne rédactiun du n° 325 ne pouvait servir à justifier l'énoncé du théorème qui suit, malgré de légères corrections qui n'en changent nullement l'esprit ou le sens logique, cela m'engage à rappeler qu'il ne s'agit là que d'aperçus rapides que le temps ne me permettait pas de développer davantage. — (Note de i865.)

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES, s&i