REMARQUES ET DOCUMENTS DIVERS RELATIFS AUX THÉORIES PRÉCÉDENTES

.327. Mais en voilà assez sur cette matière, dont quelques corollaires intéressants ont fait récemment l'objet des investigations de M. Chasles dans des Mémoires sur les transformations paraboliques des relations métriques des figures, insérés aux tomes V et YI de la Correspondance mathématique et physique de M. Quetelet, et reproduits plus récemment encore dans le tome XIII (année t83o) du Bulletin des Sciences de M. de Férussac, p. 9 et 164. En effet, si l'on change, dans mes propres énoncés, les mots centres, axes et plans de moyennes harmoniques en ceux de pôles, diamètres et plans-diamètres conjugués au point ou à la direction de la droite et du plan que j'ai nommés points, axes et plans des origines, parce qu'ils servent de point de départ commun aux segments qui définissent la relation harmonique; en faisant, dis-je, cette substitution de mots qui s'appliquent exclusivement au cas où, ces origines passant à l'intini et les moyennes harmoniques se changeant en moyennes distances (Sect. I), les droites ou rayons qui y aboutissent deviennent parallèles aux directions correspondantes, on retombera directement sur les théorèmes des Mémoires précités; auxquels d'ailleurs on parvient en prenant pour point de départ le théorème de Newton relatif aux diamètres ou axes de moyennes distances des courbes planes géométriques, théorème qui, par des considérations très-simples de projection, s'étend sur-le-champ aux lignes à double courbure et aux surfaces géométriques quelconques.

328. Appliquant ensuite à ces mêmes théorèmes les conséquences qui résultent de la doctrine des polaires réciproques envisagée dans le cas particulier où la directrice des pôles et polaires est une parabole ou un paraboloïde, M. Chasles en déduit les théorèmes inverses concernant les /?d/e5 ou centres des courbes et surfaces géométriques, à peu près comme j'en ai agi moi-même dans ce qui précède, mais en prenant pour point de départ te théorème général de Côtes et ses annexes de l'espace, relativement a une directrice quelconque; ce qui m'a conduit à des résultats qui comprennent comme cas particulier les théorèmes de cet habile géomètre, parmi lesquels ne se trouvent ni les miens propres, ni divers autres de Mac-Laurin, ni en général ceux qui définissent l'axe et le plan de moyennes harmoniques conjugués à un point fixe, bien qu'ils puissent s'en déduire immédiatement par la projection centrale, attendu que le centre des moyennes distances s'y change en un centre de moyennes harmoniques, en vertu des principes établis dans la Section P*, qui contient d'ailleurs sur les systèmes de points, de droites ou II. " 36

de plans, assez de propositions et de démonstrations relatives au centre de moyennes distances en général, pour mettre sur la voie de théorèmes analogues relatifs au cas où l'on viendrait à substituer à ces systèmes, des lignes et des surfaces géométriques quelconques; remarque, au surplus, que je n'ai pas manqué de faire en présentant, en 1824, les Mémoires des Sections I et II à l'Institut de France {voyez p. 8, 45, etc., de ce volume).

329. A cette occasion, je ne puis m'empêcher de regretter que M. Chasles n'ait point adopté franchement et largement, dans ses diverses recherches géométriques, les principes et les définitions dont je m'étais antérieurement servi dans le Traité des Propriétés projectives des figures ou dans les Mémoires sur la Théorie des polaires réciproques et des centres de moyennes harmoniques: cela n'eût rien ôté au mérite de ses propres travaux, et il en serait résulté que, parlant une langue commune, tout le monde se serait parfaitement entendu dans une partie de la science qui commence à se compliquer tellement, qu'il n'est désormais qu'un petit nombre d'adeptes qui soient en état aujourd'hui (i83i) d'en suivre les progrès. Et, par exemple, à quoi bon substituer le mot axe de symptose à celui à'axe d'homologie que j'ai employé dans le Traité dont il s'agit, pour désigner les sécantes communes au système de deux lignes du second ordre, surtout lorsqu'on avait, avec moi, adopté celui de centre d'homologie pour les points de concours de leurs tangentes communes, et qu'on entendait d'ailleurs indiquer les mêmes propriétés de situation de ces objets? A quoi bon aussi remplacer les mots centres, axes Qi plans de moyennes distances , qui paraissent très-convenables, par les mots vagues de pôles, diamètres et plans-diamètres , qui désignant les mêmes objets ne répondent à aucune idée nouvelle et précise?

Il est évident que dès qu'on se croit autorisé à changer ainsi les mots, soit pour l'élégance, soit pour la simplicité du discours, on devrait tout au moins indiquer au lecteur ce qu'ont de commun les dénominations proposées avec les anciennes. Ces réflexions, qui, je le répète, n'ôtent rien au mérite des travaux de M. Chasles, me conduisent naturellement à remarquer que les principes de la transformation parabolique, qui ne sont que ceux de la théorie des polaires réciproques, limités au cas particulier où la directrice des pôles et polaires est une parabole ou surface parabolique, ne sauraient conduire à aucune conséquence générale qu'on ne puisse en même temps obtenir par la combinaison des principes de cette dernière théorie et de la doctrine des projections coniques; je veux dire à aucune conséquence générale qui ne rentre dans la classe de celles des n°' 120 et suivants de ce

volume, et dont le caractère ou les conditions spéciales ont été établis au n" 10 du tome 1" du Traité des Propriétés projectives,

330. En examinant, en effet, les conditions particulières que M. Chasles a assignées à la transformation parabolique des relations métriques [voyez son P"" Mémoire sur cet objet, dans le tome V de la Correspondance de M. Quetelet, p. 283 et 3o6), on aperçoit qu'elles n'indiquent autre chose si ce n'est que les relations qui y satisfont sont projectives, mais projectives ortho gonalement i^SiV rapport à un axe donné. Or, cette remarque suffit pour montrer que ces relations doivent être comprises, implicitement ou comme cas particuliers, dans la classe de celles qui subsistent pour les projections analogues relatives à un plan quelconque, et à fortiori [*) dans la classe plus générale encore de celles qui sont projectives coniquement, et dont j'ai spécialement étudié les caractères dans le Chapitre \", Sect. I, du Traité des Propriétés projectives (t. I"). C'est, au surplus, ce que j'établis directement dans une Note que je me propose d'adresser prochainement au savant Rédacteur de la Correspondance mathématique et physique de Bruxelles; Note qui faisait d'abord partie de ce Mémoire, mais que j'en détache à cause de son étendue et de la nature toute particulière des importantes questions qui s'y trouvent traitées (**).

331. Ainsi donc, non-seulement la transformation parabolique ne saurait donner aucun résultat qu'on ne puisse obtenir également par la combinaison de principes généraux sur la projection centrale et la théorie des polaires réciproques, mais encore elle a l'inconvénient de ne point permettre la traduction ou conversion immédiate de la relation métrique proposée en d'autres qui se rapportent simplement aux angles et aux lignes trigonométriques de la figure corrélative; traduction toujours facile, d'après les Vl^ 123 et 137 de mon Mémoire sur cette dernière théorie, quand les relations sont projectives en général, et qui doit par conséquent l'être pour les relations particulières dont il s'agit, quand elles ont été convenablement étendues ou transformées; ce qui est possible de diverses manières, au moyen des règles fixes exposées dans les Notes indiquées ci-dessus.

Après cette longue digression, je passe à des considérations d'un ordre

{*) f^oyez la Note II placée à la fin du Mémoire sur le centre des moyennes harmoniques (p. 5% du présent volume).

(**) Cette nouvelle Note se trouve rapportée textuellement dans le § I de la Section supplémentaire, ci-après.

différent de celles qui nous ont jusqu'à présent occupés dans ce paragraphe,

et qui complètent ce que je voulais dire de spécial touchant les centres,

les axes et les plans de moyennes harmoniques des courbes et des surfaces

géométriques.

DES PÔLES ET POLAIRES SUCCESSIVES DES COURBES ET SURFACES GÉOMÉTRIQUES.

332. J'ai remarqué, dans le n° 22 du premier Mémoire (Sect. II), que le centre de moyenne harmonique d'un groupe de points quelconques situés sur une ligne droite n'était pas en général réciproque à l'égard du point qui sert d'origine aux segments ou lui est conjugué, comme cela arrive dans le cas particulier où ce groupe se réduit à deux points seulement; c'est-à-dire qu'en prenant, à son tour, ce centre pour l'origine des abscisses ou segments, le centre de moyenne harmonique qui lui correspond ainsi qu'au groupe des points arbitraires considérés, centre qu'on pourrait nommer le contre-harmonique du premier (*), ne se confondra pas essentiellement avec le point d'origine qui lui est conjugué dans la première hypolhèse. Or il résulte de cette simple remarque, que la réciprocité qui s'observe entre le pôle et la polaire ou le plan polaire des lignes et des surfaces du second ordre, ne peut non plus se soutenir complètement entre les points, axes ou plans d'origines harmoniques, et les axes ou plans de moyennes harmoniques de courbes, de surfaces géométriques quelconques, ou conjugués respectivement aux premiers.

Ainsi, par exemple, le point d'origine conjugué à l'axe harmonique d'une courbe géométrique plane n'est pas nécessairement le point de concours unique des axes harmoniques de la courbe, conjugués aux différents points du premier axe.

333. Pour bien apercevoir la différence essentielle qui existe entre un pareil axe et la polaire des lignes du second ordre, conjuguée à un point ou pôle fixe donné, il faut considérer que cette polaire jouit d'une propriété particulière et caractéristique qui n'appartient pas à l'axe harmonique en général, à savoir : que ses intersections avec la courbe sont les points de contact mêmes des tangentes issues du pôle correspondant.

Soit, en effet, a un point quelconque du plan d'une courbe géométrique

(*) Fojez dans le tome II des applications cTanalyse et de Géométrie [W cahier, art. IV, p. i4a) un résumé des premières tentatives que j'avais faites en i8i6, sur l'application de la méthode des transversales aux courbes géométriques, tentatives qui sont devenues plus tard la base des développements géométriques qui suivent. — (Note de i865.)

du degré /w, pris pour pôle d'une suite de transversales rectilignes; soient/;, p\ p'\... les intersections de l'une quelconque de ces transversales avec la courbe et x leur centre de moyennes harmoniques simple, par rapport à a, de sorte qu'on ait

ax ap ap' ap" ' ' ''

OU, ce qui revient au même (17),

ap ap ap

la suite des centres pareils sera, comme nous l'avons vu (193), sur une droite unique.

Or, si Ton suppose que la transversale soit conduite par Tune quelconque des intersections de cette droite ou de l'axe harmonique dont il s'agit, il arrivera seulement, dans l'équation ci-dessus, que aoo sera égal à l'un quelconque des segments ap, ap\ ap",..., correspondant, par exemple, à ap-, ce qui réduira l'équation à cette autre

m — II i , xp' xp"

= — 1'\ 7,+..., eue -î-, -H-£-7,-i-... = o,

ax ap ap ap' ap"

exprimant que x est devenu simplement le centre des moyennes harmoniques de toutes les intersections non communes à la transversale et à Vaxe des points x.

334. Au contraire, si l'on prend, pour déterminer le point x par rapport à a, la relation

m I I I ap ap' ap"

— = i 7 H 7^-h..-, OU -^-h~^,-{-~^,+.-. = o,

xa xp xp xp xp xp xp

puis qu'on suppose x confondu avec/?, on aura xpz=: o, et l'équation contenant un terme infini dans son second nombre, il faudra qu'un autre au moins de ses termes le devienne également, afin que, retranché du premier, le reste soit une quantité finie donnée par les autres termes de l'égalité. Le point a étant d'ailleurs étranger à la courbe, il est clair que ce ne peut être xa qui soit nul en même temps que xp, mais bien un autre segment quelconque tel que xp', par exemple; ce qui exige que les points/? etp' se confondent en un seul avec x, soit que d'ailleurs la transversale qui les porte devienne tangente à la courbe, soit qu'elle passe par un de ses points multiples, etc. Dans ces mêmes hypothèses, on aura, pour déterminer tous les autres

points X différents de p et de/>', l'équation de condition

mai lap ap"

— — 1 + . . ou — f- + -^, 4- . . . = o,

xa xp xp xp xp

attendu que ocp = xp'y ou ap = ap'.

Réciproquement aussi, quand p se trouve confondu avec p' ou que la transversale tangente à la courbe passe par un de ses points doubles, conjugués ou de rebroussement simple, l'un des points correspondants de la courbe x se trouve également confondu avec p, et le système de tous les autres est donné par la dernière des équations ci-dessus.

335. Des observations analogues sont applicables au cas où un nombre quelconque de points p, p', p",... se trouveraient confondus en un seul pour certaines positions de la transversale, qui ne peuvent évidemment être que singulières ou en nombre déterminé pour une courbe de degré donné. Quant au cas où le pôle a des transversales se trouverait sur cette courbe ou se confondrait constamment avec l'une des intersections p, /?', /?",... de ces transversales, avec/î par exemple, on aurait xa = xp, et par conséquent

m — I m — I III

xa xp xp xp' xp

ou, ce qui est la même chose,