PP' , PP" , PP'" .

xp' xp xp

équations qui définissent le pointa? par rapport à tous les autres censés donnés «pnon, et qui conduiraient à des conséquences analogues relativement au cas où quelques-uns des points/?, p', />",... se confondraient entre eux, si ce n'est que la courbe passerait alors par le pôle a oup, ce qui n'a pas lieu dans le cas général ci-dessus.

336. Cette discussion prouve évidemment que le lieu des points a? a la propriété de rencontrer la courbe proposée du degré m aux points de contact mêmes des tangentes issues du pôle a, et cela seul suffit pour convaincre qu'elle n'est autre que la courbe du degré m — i, que l'Analyse ordinaire des coordonnées nous offre comme renfermant tous les points de contact analogues; mais c'est ce qu'on démontre aussi à priori, en cherchant à construire géométriquement le système des points x qui, pour chaque transversale, sont définis par l'équation générale ci-dessus.

Concevez en effet que, d'un point quelconque s, on mène aux différents points de cette transversale des droites ou projetantes sa, sp, sp',sp" ,... Oiisx,

SECTION IV.— DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 28-3 toute transversale parallèle à sx coupera sa en un point qui sera (n** 11) le centre des moyennes distances des intersections relatives aux autres droites du faisceau, et réciproquement toute transversale qui aura cette propriété par rapport au même faisceau sera telle, qu'en lui menant par s une parallèle, elle viendra rencontrer la transversale ap" en l'un des points ^r demandés; de sorte que la question est ramenée à celle de trouver le système des transversales auxiliaires qui remplissent les conditions dont il s'agit; ce à quoi on peut parvenir de différentes manières.

Supposez, par exemple, que, de l'un/? des points donnés, on mène une suite de transversales arbitraires dans le faisceau des projetantes sp, sp', sp",. . . , puis qu'on détermine sur chacune d'elles le centre des moyennes distances des m intersections correspondantes, la suite de tous ces centres formera une certaine ligne continue que la discussion montre avoir, au plus, m — i asymptotes parallèles respectivement aux m — i droites sp', sp",..., 5/> étant excepté, et m — 2 branches distinctes passant par le pôle p des rayons vecteurs, en sorte que, d'après la loi de continuité, cette ligne est généralement et au plus du degré m — i. Ses intersections avec la projetante 5a seront donc, en général, au nombre de m — i, intersections auxquelles correspondront un égal nombre de rayons vecteurs, et par suite de points x conjugués à a.

337. Si l'on veut résoudre analytiquement la même question, on mettra l'équation proposée sous cette forme :

xa xa — ap xa — ap xa — ap ou, ce qui revient au même, sous celle-ci :

xa — ap xa — ap xa — ap

réduisant ensuite au même dénominateur, et effectuant les produits des numérateurs, on obtiendra, en xa^ une équation du degré m — • i dont la résolution donnera les m~i points x cherchés (*).

(*) Soient A la somme algébrique de tous les segments a/j, ap\ ap"^.. .; B, F celles de leur* produits a à 2, 3 à 3, ... , m — i h m — i , enfin G le produit de tous ces segments, l'équation développée et ordonnée par rapport à xa deviendra

ax V- xa -{--r- xa — ...±: 7 xa zp — -— = o.

Cette équation conduit à des conséquences curieuses. Soient, en effet, x, x', x",..., les points en

338. Revenons à la courbe proposée et à la ligne du degré m — i qui,outre tous les points a? des transversales issues du pôle a, contient aussi les points de contact, en nombre m[m — i), des tangentes issues du même pôle; il est clair que cette ligne, qu'on peut nommer \2i polaire par contact relative au point a qui est véritablement le lieu ào,?, centres contre-harmoniques conjugué à ce pôle des rayons vecteurs, cette courbe polaire, dis-je, devra jouir d'une série de propriétés distinctes de celles qui appartiennent à l'axe des moyennes harmoniques ordinaire de la courbe proposée, et qui seront analogues à certaines des propriétés de la polaire des sections coniques ou courbes du second degré.

Pour les découvrir, nous remarquerons que, de même qu'à chacun x des points du plan d'une courbe géométrique de degré m, correspond (193) un certain axe de moyennes harmoniques, de même, à chaque droite donnée arbitrairement sur ce plan, doit correspondre aussi un ou plusieurs points, en nombre déterminé, qui soient respectivement conjugués à cette droite considérée comme axe des moyennes harmoniques. Mais, d'après les propriétés qui définissent un tel axe et les polaires de contact d'une courbe donnée, il est clair que, si, pour un point quelconque a de cet axe, on construit la polaire correspondante, cette polaire devra nécessairement contenir tous les points œ conjugués à ce même axe; donc on a ce théorème:

Une droite étant àonnée à volonté sur le plan d^une ligne géométrique du degré m, les polaires de contact qui correspondent à ses différents points s'entrecouperont aux mêmes [m — i)^ points fixes ou pôles, qui auront respectivement la droite donnée pour axe des moyennes harmoniques par rapport à la courbe que Ion considère.

339. Quand cette dernière courbe contient des points multiples, conjugués ou de rebroussement, ces points se trouvent nécessairement compris, une ou plusieurs fois selon leur espèce, parmi les (m — r j'^ points fixes dont il s'agit.

nombre m — i qui satisfont à la question, —^ sera égal au produit de tous les segments ax^ ax',

/fx",. . . , et T — '— à la somme de leurs produits /n — a à w — 2, en sorte qu'on aura

ax ni \np np ap J

m. a ax ax'

ce qui indique évidemment que le centi'e de moyenne harmonique de tous les points .r, x\ x", . . . , par rapport à a, est le même que celui des points p, p', p", . . . , conjugué au même point.

Quand l'origine a est à l'infini, le centre commun dont il s'agit devient un centre de moyenne distance, etc. (Les lecteurs qui ont entre les mains le tome II des applications d'Analyse et de Géométrie s'apercevront que le contenu de cette Note est extrait de l'art. IV, p. \/\'i à i6i.— 1865.)

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 289 Il résulte encore de la proposition qui précède que :

Si r on fait mouvoir la droite donnée autour d*un point fixe quelconque du plan de la courbe proposée, les [m — i)^ pôles qui lui correspondent décriront la polaire de contact relative au point fixe.

Ces théorèmes s'étendent aisément au cas de l'espace, mais ici ils acquièrent un degré d'évidence de plus.

34-0. Soit en effet une surface de degré m; d'un point quelconque a de l'espace, menons dans cette surface diverses transversales rencontrant en p, p', /?",..., respectivement ses différentes nappes; prenons sur chacune d'elles les m — I points x définis par la relation du n° 335, la suite de tous ces points formera une surface polaire du degré m—\, la même que celle qui a été considérée par Monge, au n° 4 du § I" de son Application de l'Analyse à la Géométrie, et qui contiendra la courbe de contact de la proposée avec la surface conique qui a son sommet au point donné. Supposant donc que ce point parcoure successivement tous ceux d'une droite fixe donnée à volonté dans l'espace, il est clair :

« 1° Que la courbe de contact, qui est du degré m(m — i), passera con- » stamment par les m[m — \)[m[7n — i) — \\ points de contact des plans » tangents issus de la droite donnée;

ï 2" Que la surface polaire du degré m — i , qui contient cette courbe de » contact, passera également par les points fixes dont il s'agit, et coupera » de plus toutes ses semblables suivant une même ligne à double courbure » du degré (m — i)^ contenant tous les systèmes de (m — i)^ pôles conju-

* gués à la droite fixe par rapport aux différentes intersections planes de la j> surface, issues de cette droite;

» 3** Que si l'on fait pivoter arbitrairement la droite dont il s'agit autour » d'un point fixe quelconque de sa direction, la courbe polaire correspon- » dante demeurera sans cesse sur la surface polaire de ce point, mais s'y » trouvera d'une manière également arbitraire;

» 4*^ Que, si cette même droite est seulement assujettie à demeurer dans » un plan fixe quelconque, la courbe polaire qui lui correspond coupera » chacune de ses semblables en des points qui auront respectivement ce » plan pour plan de moyennes harmoniques par rapport à la surface pro-

* posée, et qui, étant en nombre déterminé, seront nécessairement com- » muns à la fois à toutes les courbes polaires;

» 5" Que ces mêmes points ou pôles fixes sont aussi les intersections com- II, 37

?go PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

y munes de toutes les surfaces polaires du degré m — i conjuguées aux difx férents points du plan dont il s'agit, de sorte qu'ils sont en général et au » plus au nombre de (m— i)^; » 6«Etc., etc. »

341. On reconnaît ici les théorèmes sur \q^ pôles , polaires ^i plans polaires des courbes et des surfaces algébriques, que M. Bobillier a exposés par une voie analytique fort élégante et qui lui est propre, dans plusieurs excellents Mémoires insérés aux tomes XVIII et XIX des Annales de Gergonne (1827 à 1829), et dont il a été rendu compte ensuite dans le Bulletin des Sciences mathématiques de Férussac, t. VIII, p. 3o3, et t. IX, p. 3oa.

Les considérations qui précèdent laissent de plus apercevoir la liaison intime qui subsiste entre la droite ouïe plan donnés et les [m — i)'*, [m — i)' pôles fixes qui leur correspondent, liaison qui consiste, comme on Ta vu, en ce que le plan et la droite dont il s'agit sont l'axe, le plan des centres de moyennes harmoniques de la courbe ou surface proposée, conjugués à la fois à tous les points fixes. De plus, ces mêmes considérations fournissent un procédé géométrique direct pour construire la courbe ou surface polaire relative à un point donné, et elles conduisent à quelques propriétés nouvelles de ces polaires, qui paraissent dignes de remarque et auxquelles j'étais parvenu dès mes premières recherches (1816) sur les courbes géométriques (*).

Voici les énoncés de quelques-unes de ces propriétés choisies parmi les plus élémentaires et les plus simples :

<c 1° Tous les points de la polaire de contact d'un point fixe donné ou » pôle, par rapport à une ligne géométrique plane d'un certain ordre, ont ï pour axes de moyennes harmoniques, à l'égard de cette dernière, des » droites qui passent toutes par le pôle dont il s'agit.

Il Si" Tous les points de la surface polaire de contact d'une surface géo-

(*) Fofez le tome II des JppUcations d' Analyse et de Géométrie (p. x^i à i6i, articles déjà cités précédemment). Remarquez d'ailleurs que les énoncés de ces articles et les suivants sont des conséquences nécessaires des théories anciennes de l'élimination, appliquées aux équations dérivées qui expriment les conditions successives de l'égalité des racines, lorsque dans la proposition fondamentale ou de définition de la polaire de contact, on suppose le pôle ou point de concours des tangentes à l'infini, comme je l'ai fait dans mon Mémoire de 1817, sur la- Théorie des polaires réciproques (même ouvrage, t. II, p. 483 à 5oo).

Les propositions relatives en particulier au centre de moyennes distances se rattachent à des considérations analytiques analogues, comme on peut le voir dans un Mémoire présenté par M. Liouville à l'Académie des Sciences de Paris en août 1841, et inséré à la page 345, t. VI, du Journal de Mathématiques, publié par cet éminent géomètre. — (Noie de j8G5.)

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 291 » métrique quelconque ont pour plans de moyennes harmoniques, par rapport â cette dernière, des plans qui passent par le pôle conjugué à cette surface polaire.

» 3° Tous les plans de moyennes harmoniques d'une surface géométrique, qui sont conjugués aux différents points de la courbe polaire de cette surface par rapport à une droite quelconque donnée, passent par cette même droite.

» 4** Toute transversale menée par le pôle conjugué à la polaire de contact d'une ligne ou surface géométrique donnée, détermine dans cette dernière et dans la polaire deux systèmes de points qui ont le même centre de moyennes harmoniques par rapport au pôle dont il s'agit (*). » 5** L'axe ou le plan des moyennes harmoniques d'une courbe ou surface donnée par rapport à un point fixe quelconque, est aussi l'axe ou le plan des moyennes harmoniques de la polaire de contact de cette courbe ou surface, conjuguée à ce même point.

» 6° Ayant construit par rapport à un point ou pôle fixe quelconque la polaire de contact d'une courbe ou surface donnée, puis la polaire de cette polaire et ainsi de suite, toutes ces polaires successives, dont le degré va sans cesse en diminuant d'une unité, et dont la dernière est une simple droite, ont le même axe ou le même plan de moyennes harmoniques conjugué au pôle fixe dont il s'agit, etc., etc. »

342. Ce dernier énoncé pourra servir à lier les élégants théorèmes démontrés par M. Bobillier, sur les polaires successives (voyez Annales de Mathématiques, t. XIX, p. 3o2, et Bulletin des Sciences, t. XI, p. 255), avec celles qui concernent les axes et les plans de moyennes harmoniques des courbes planes et des surfaces. Il sera d'ailleurs facile d'étendre ces considérations aux courbes à double courbure situées arbitrairement dans l'espace; ce qui répandra un jour nouveau sur la théorie des pôles et polaires de contact. Supposant ensuite que certains points, certaines droites ou certains plans fixes de la figure passent à l'infini, on arrivera à une série de théorèmes analogues dans lesquels les axes et les plans de moyennes harmoniques se trouveront remplacés par des axes ou des plans de moyennes distances, c'est-à-dire par des diamètres ou plans diamétraux conjugués à la direction d'une droite donnée.

(*) Cette proposition, conséquence évidente de ce qui a été démontré dans la note du n" 337 ci-dessus, peut aussi être établie, ainsi que la suivante, par des considérations de pure Géométrie.

Mais je ne puis insister sur ces conséquences d'ailleurs très-faciles, et je me hâte de terminer ce que j'avais à dire sur cette matière, par quelques observations nouvelles qui compléteront toutes celles qui précèdent.

343. Nous venons de voir en particulier que les axes de moyennes harmoniques des différents points de la polaire de contact d'une courbe donnée allaient toutes concourir au pôle conjugué à cette polaire, propriété entièrement analogue à celle dont jouit la polaire d'une section conique ordinaire par rapport à son pôle; or, si l'on recherche par les moyens purement géométriques dont j'ai souvent donné des exemples dans le Mémoire sur les polaires réciproques (Sect. II), ce que c'est en général que l'enveloppe des axes de moyennes harmoniques des points d'une autre courbe quelconque du degré n située dans le plan de la proposée supposée du m'^'"^ degré, on trouve, sans beaucoup de peine :

» i'' Que, d'un point choisi à volonté sur son plan, on ne peut mener » que n[m— i) tangentes à cette courbe enveloppe; 2° que son degré est, > en général et au plus, n{m — i) [n(m — i) — i]. >

Supposant, par exemple, que la courbe directrice soit une droite, on aura

71 = 1 et n{m — i)[n{m — i) — i]=:(m — \){m — 2)

pour le degré de l'enveloppe de l'axe des moyennes harmoniques. Supposant, de plus, que la droite dont il s'agit s'éloigne à l'infini ou se confonde avec celle qui contient tous les points à l'infini du plan de la courbe proposée, les différents axes de moyennes harmoniques se changeant en autant d'axes de moyennes dislances ou diamètres de cette dernière courbe, il résultera de ce qui précède que :

Tous les diamètres d'une courbe plane du rri^"^^ degré enveloppent une autre courbe du degré [m — i)(w — 2),^ laquelle on ne peut mener que m — \ tangentes d'un point quelconque de son plan, c est-à-dire de la [m — j^^'^^ classe, selon V expression convenue.

Pour le cas des lignes du second ordre, on a m = 2, et l'enveloppe des diamètres est du degré o ou un point; pour les lignes du troisième ordre, (m— i)(m— 2) = 2, par conséquent l'enveloppe est une section conique ordinaire; et ainsi de suite pour les courbes de degrés supérieurs.

344. Ces considérations confirment ce qui a été avancé plus haut (318) relativement au centre des moyennes distances des courbes et des surfaces géométriques, qu'on ne saurait généralement confondre avec le centre de

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 298 figure que dans quelques cas exceptionnels. Il n'est pas non plus, en général, le concours commun de leurs axes et plans de moyennes distances, de leurs diamètres et plans diamétraux conjugués à toutes les directions possibles, mais bien uniquement celui de tous les diamètres et plans diamétraux de leurs systèmes de tangentes ou de plans tangents parallèles à des directions données, ainsi que de tous les diamètres et plans diamétraux des surfaces cylindriques circonscrites à leur périmètre ou qui embrassent leurs différentes nappes en les touchant. Enfin ce centre n'est pas davantage le centre des moyennes distances ou de figure, ordinaire, de tous les éléments linéaires et superficiels de la courbe ou surface proposée, mais bien uniquement celui des éléments ou points de contact distincts des faisceaux de tangentes et de plans tangents parallèles à des directions données.

345. Quant au théorème ci-dessus, relatif à l'enveloppe de tous les diamètres d'une courbe plane géométrique, je ne crois pas nécessaire de montrer ce qu'il devient pour les courbes à double courbure et les surfaces géométriques quelconques, je me contenterai de remarquer qu'il s'étend au cas où l'on substitue aux diamètres dont il y est question les axes de moyennes harmoniques conjugués aux différents points d'une droite fixe donnée, et qu'il a essentiellement pour point de départ la solution de ce problème :

« Un point quelconque étant donné sur le plan d'une courbe géométrique » du degré m, combien peut-on par ce point mener de diamètres à cette » courbe, ou en général d'axes de moyennes harmoniques qui soient con- > jugués a des points d'une courbe donnée du degré n. >

D'après les propriétés dont jouit la polaire de contact de (m), relative au point proposé (336), il est clair que les points de [n) qui résolvent le problème doivent se trouver sur cette polaire, et par conséquent en nombre n (m — i) au plus.

En particulier, ce nombre, qui indique aussi celui des axes de moyennes harmoniques cherchés, se réduit à m — i quand n = i ou qu'il s'agit de simples diamètres de la courbe proposée, puisque tous les points à l'infini d'un plan doivent être considérés idéalement comme distribués sur une droite unique [Traité des Propriétés projectives^ t. P*", Sect. I).

346. De ce dernier théorème d'ailleurs, qui s'étend d'une manière analogue aux surfaces, on conclut immédiatement le suivant, en invoquant le principe de continuité :

c Si, d'un point pris à volonté sur le plan d'une courbe géométrique de

» degré quelconque, on mène une suite de transversales dans cette courbe, » puis qu'on prenne sur chacune d'elles le centre des moyennes distances des » intersections correspondantes, la suite de tous ces centres formera une » courbe unique du même degré que la proposée, dont les asymptotes se- » ront parallèles aux siennes propres, et qui aura m — i branches passant » par le pôle fixe des transversales. >

347. Ce théorème, qui a été démontré, quant au degré de la courbe des centres, par le géomètre anglais Waring (Mélanges analytiques, p. 90), s'applique d'une manière analogue aux surfaces géométriques, et aux courbes à double courbure en général; mais il s'étend également au cas où l'on remplacerait les centres de moyennes distances des transversales par les centres de moyennes harmoniques de leurs intersections, pris par rapport aux points où elles vont couper une même droite ou un même plan donné. Appliquant ensuite à ces théorèmes ainsi généralisés, nos méthodes ou principe de réciprocité polaire, on arriverait à de nouveaux théorèmes non moins dignes d'intérêt.

En général, on déduit de l'application de ces mêmes principes aux diverses propositions qui nous ont occupé depuis le n" 338 une suite de théorèmes plus ou moins intéressants sur les courbes et les surfaces de tous les degrés.

348. Ayant vu, par exemple, que l'enveloppe de tous les axes de moyennes harmoniques d'une courbe plane de degré m, relativement aux différents points d'une droite donnée arbitrairement sur son plan, est du degré {m — i) [m — 2), on en conclura réciproquement que : le lieu de tous les centres de moyennes harmoniques d'une courbe géométrique, de degré m, conjugués aux différentes droites issues d'un même point ou pôle fixe donné, est elle-même du degré m [m — ^) — i, etc., etc.

§ IV

Application de V Analyse des transversales à V osculation mutuelle des courbes et des surfaces géométriques.

349. Pour comprendre comment des principes exposés ci-dessus on peut déduire tout ce qui concerne la théorie des contacts divers, il suffit de se rappeler en général que, quand deux courbes ou surfaces géométriques ont en commun un certain nombre de lignes ou de points actuellement dis-

tincts les uns des autres et qu'il existe entre ces courbes ou surfaces certaines relations métriques ou descriptives, en vertu du principe de continuité, ces relations doivent toujours demeurer applicables au système, pourvu qu'on ait égard aux modifications particulières survenues dans l'état des diverses grandeurs, et que la nouvelle figure puisse être censée provenir de l'ancienne par un mouvement progressif et continu de ses parties mobiles ou variables. Or, si deux ou plusieurs des points communs aux lignes qui y entrent, de distincts qu'ils étaient d'abord, se sont réunis en un seul dans le nouvel état de la figure, ces lignes ne seront plus simplement sécantes au point correspondant, elles auront un contact de l'ordre marqué parle nombre des points superposés, moins un; les relations descriptives ou métriques qui subsisteront alors entre les deux courbes pourront donc servir, si elles ne sontpas devenues identiques, illusoires, ou si elles ont simplement changé de forme, à construire l'une des deux osculatrices au moyen de l'autre et de certaines données, etc.

Le Mémoire précédent (Sect. III) nous a offert divers exemples de ces transformations qui permettent d'appliquer rigoureusement les nouvelles relations à la figure corrélative répondant à d'autres hypothèses déduites de l'ancienne par voie de continuité.

350. Ainsi, dans différents cas des art. 165, 178, 184, 187 et suivants, on peut supposer que deux, trois, quatre des points communs aux courbes qu'on y considère se réunissent en un seul, sans que les relations établies entre les points communs restants cessent de demeurer applicables à la nouvelle hypothèse; seulement, les relations métriques pourront subir des modifications plus ou moins essentielles (187), d'après la diversité de position du triangle transversal à l'égard des deux courbes, qui, d'ailleurs, seront devenues osculatrices du premier, du second, du troisième ordre au point choisi en particulier.

Il est à remarquer toutefois que trois, au plus, des intersections relatives à un même côté du triangle transversal, ne sauraient se confondre en un seul pour un point quelconque commun à deux courbes; car ce côté aurait alors lui-même, en ce point, un contact du second ordre avec chacune de ces courbes, ce qui ne peut avoir lieu qu'en des points singuliers de la nature des points d'inflexion et de rebroussement.

Faisons voir maintenant comment ces principes généraux conduisent sans peine à la solution des diverses questions que présente la théorie des osculations des lignes géométriques avec les courbes du second degré.

DES CONIQUES OSCULATRICES DU SECOND ORDRE EN UN POINT DONNÉ d'uNE COURBE GÉOMÉTRIQUE TRACÉE SUR UN PLAN.

331. Nous avons montré (Secl. III, § I"), à l'occasion des courbes du troisième degré, comment l'analyse des transversales peut directement et très-simplement conduire à la détermination des osculatrices de divers ordres, en un point donné d'une telle courbe; mais la marche que nous avons suivie ne laisse pas assez apercevoir comment on devrait se guider à l'égard des courbes d'un degré supérieur au troisième; c'est pourquoi nous allons entrer dans quelques développements nouveaux relativement à cette application intéressante de la doctrine des transversales. La théorie des osculatrices des divers ordres en un point donné d'une courbe géométrique forme d'ailleurs un chapitre considérable de nos anciennes recherches; et, quoique nous ne puissions donner ici qu'une idée sommaire de leur esprit et de leur objet, nous ne pouvons cependant nous dispenser d'en exposer au moins les principaux et plus intéressants linéaments.

352. Concevons deux courbes géométriques tracées sur un même plan et ayant entre elles divers points communs; concevons par un certain nombre de ces points des transversales rectilignes qui les contiennent deux par deux, trois par trois, etc., s'il y a lieu : ces transversales formeront par leurs rencontres mutuelles un certain polygone dont les côtés prolongés iront de nouveau rencontrer les deux courbes en des points distincts de ceux qui leur appartiennent en commun.

Cela posé, d'après le théorème de Carnot, il existera pour chaque courbe une relation de la forme de celle du n° 165, entre les segments formés, sur chacun des côtés de ce polygone, par les intersections correspondantes; or, ces relations étant combinées entre elles par voie de multiplication ou de division, donneront lieu à une autre relation analogue d'où auront disparu les segments relatifs aux points communs des courbes, et qui, par conséquent, sera indépendante de la position, de la réalité même de ces points ou de leur réunion deui^ par deux, trois par trois, etc.; c'est-à-dire qu'elle s'appliquera, sans modification quelconque, au cas où les courbes proposées auraient un contact du premier, du deuxième ordre, etc., au point qui représente tous les points communs réunis en un seul. La nouvelle relation dont il s'agit mettra donc en étal de construire l'une quelconque des intersections restantes et qui sont demeurées distinctes, quand toutes les autres seront connues.

353. En appliquant ensuite à celte relation l'esprit des méthodes que nous avons mises en usage pour les simples triangles transversaux des courbes individuelles, c'est-à-dire en faisant intervenir de nouvelles transversales rectilignes contenant les points non éliminés, on transformera celle même relation en une infinité d'autres également propres à construire ou à définir l'un de ces points au moyen de ceux qui sont donnés à priori; et, ce qu'il y a surtout de remarquable, on pourra toujours (18 et suiv.) la traduire en quelque nouvelle relation qui soit purement descriptive et linéaire, ou qui exprime une propriété de situation du système des courbes proposées uniquement dépendante de la Géométrie de la règle.

D'ailleurs, si, par suite des suppositions admises pour faire coïncider certains points communs aux deux courbes, les relations métriques primitives deviennent identiques ou illusoires, les conséquences finales relatives à la situation des points et des lignes n'en subsisteront pas moins en vertu du principe de continuité. El, non-seulement elles seront applicables au système avec les modifications convenables, mais encore toutes les relations métriques d'abord considérées, et qui ont pris la forme indéterminée, pourront, en vertu des différents principes établis dans le § III de la précédente Section, être sur-le-champ remplacées par d'autres équivalentes et qui n'auront plus les mêmes inconvénients.

354. Passons maintenant de ces considérations générales aux applications particulières, en nous bornant, pour la simplicité, aux osculatrices coniques ou du second degré d'une courbe géométrique donnée; de telles osculatrices, en effet, suffiront pendant longtemps encore au besoin des arts et des applications de la théorie de l'osculation des lignes et des surfaces géométriques en général.

Occupons-nous d'abord des coniques osculatrices du second ordre en un point donné d'une courbe plane géométrique.

Soient ab, bc, ac [Jig. 44> P^- V) trois transversales rectilignes quelconques tracées sur le plan d'une telle courbe censée du degré m, et la rencontrant aux m points />, p'..., aux m points q, q'..., et aux m points r, r',... respectivement; on aura (165)

,,x {ap){H)[cr)

'•^ » {bp){cq){ar)- '

Concevons une section conique ayant les points q, r et r' en commun avec la courbe proposée, et nommons P et P', Q' les nouvelles intersections de cette section conique avec les transversales ab et bc, ce qui donne l'équation particulière

bV.bV cq.cQ' ar.ar' ^^' aP.aP' ^ bq.bQ'^'^F:^' ~''

puis, en éliminant par voie de multiplication les segments bq, cq, ar, ar', cr, cr' communs aux deux courbes, et ayant égard à nos conventions et notations (165),

{ap)bq')[cr")bV.bV'.cQ' ^ ' {bp){cq'){ar")aV.aV'.bQ'~^'

résultat qui demeure applicable, sans modification, au cas où les points q, r, r', étant confondus en un seul avec le sommet c, nos deux courbes deviennent osculatrices du second ordre, au point correspondant; la relation précédente donnant ainsi le point inconnu Q' de la section conique, quand on connaîtra tous les autres. Faisant d'ailleurs varier la transversale bcqq'..., qui contient le point Q' et passe par le point de contact des courbes devenues tangentes à ac ou rr' , on obtiendra successivement tous les points Q' de l'osculatrice demandée, qui contient, de plus, les points P et P' choisis arbitrairement.

355. Pour opérer graphiquement, on mènera par P' une droite arbitraire ren- II. 38

contrant en ^1 et r, les côtés bc et ac du triangle abc\ traçant ensuite PQ' qui coupe ac en r, , on aura évidemment par ce triangle

,,. aP.aFx6Q^%lXcr..cr,

^^' bV.bV'XcQ'.cq,Xan.ar\ ""''

d'où, en combinant avec la dernière des précédentes,

{ap){bq')bq.{cr")cr, cr\ ^^ ' {bp){bq')cq,{ar")ar,.ar, ~" '

relation qui indique que les 3 m points p,p',p",..., q, q', q" ,. . .^ rt,r\,r\,... sont sur une courbe du degré m comme la proposée, et qui, appartenant à la classe de celles qui ont été traitées dans les n°* 174. et suivants, conduira à une construction purement linéaire du point Q' au moyen de tous les autres.

356. Supposons, en particulier, que la section conique Pgrr'Q'P', devenue osculatrice en c {fig. 45) à la courbe proposée, soit un cercle, on aura alors

aV.aV'=.'âc, bV.bP' = bc.bQ' , de sorte que la relation ( 3 ) ci-dessus deviendra simplement

(ap)ibq'){cr'') bc {bp){cq')(ar")-^ ^ '

et donnera toujours le point Q' du cercle osculateurj appartenant à chacune des transversales arbitraires bcq' . . ., menées par le point de contact c représentant les points q, r, r' du cas général [Jig. 44 )• Ce cercle sera donc déterminé de grandeur et de position, puisque l'on sait construire la tangente en c de la courbe proposée, par les méthodes des n"^ 165 et suivants d'abord cités. D'ailleurs, la même relation donnera immédiatement le double du rayon de courbure, en prenant la transversale cq"Q' normale en c à la courbe proposée.

357. Dans nos anciennes rédactions de 1816 et 1823, nous indiquions des procédés graphiques pour construire le point Q', et, en passant au cas particulier où la courbe proposée est du second degré, nous en concluions divers corollaires relatifs au cercle osculateur de ces courbes; corollaires dont le plus remarquable, par l'analogie qu'il présente avec une propriété bien connue de la cycloïde, est sans contredit le suivant qui date de mon séjour à l'École Polytechnique :

Dans la parabole, le rayon de courbure en un point quelconque est le double de la normale correspondante, comptée depuis la directrice, comme axe, et prise en sens contraire (*).

{ * ) Si l'on intègre en effet, par les méthodes connues, la double équation cW-i- dy^ — ± jt/'j, qui exprime la propriété en question par rapport aux abscisses et ordonnées ordinaires, on trouve qu'elle appartient à une cycloïde ou à une parabole suivant que l'on considère le signe -+- ou le signe — de l'ambiguïté.

358. Les méthodes que nous venons de rappeler pour construire la section conique osculatrice du second ordre en un point donné d'une courbe géométrique, exigent qu'on détermine préalablement la tangente en ce point ; ce qui, à la vérité, peut se faire d'après nos procédés, en faisant intervenir (171) une nouvelle transversale arbitraire passant par le point dont il s'agit, mais nécessite néanmoins des opérations assez longues. Or on peut aisément se passer de la tangente ou de la transversale arbitraire en question, en supposant que, dans l'exemple qui précède, la section conique ait été conduite primitivement par les trois points p, q, r appartenant à des transversales distinctes, au lieu de l'être par les points q, r et r' ; car en procédant d'une manière analogue sur le système des deux courbes, on arrivera à des constructions graphiques propres à déterminer l'une des nouvelles intersections de la section conique par les transversales ab, bc et ac, quand on se donne les deux autres, et cela même lorsqu'il arriverait que les points p, q, r fussent confondus en un seul; la section conique étant ainsi devenue osculatrice du second ordre avec la courbe géométrique supposée donnée et tracée.

On remarquera d'ailleurs que l'hypothèse où les points p, </, r se réunissent en un seul, rendant identiques toutes les relations métriques relatives au système des points considérés, ce sera le cas alors de les remplacer par celles que nous avons fait connaître aux n°^ 187 et suivants du précédent Mémoire, numéros qui fourniront ainsi des moyens directs de construire la conique osculatrice demandée.

359. Parmi les différentes conséquences auxquelles on est conduit par les considérations dont il s'agit, nous citerons les suivantes, qui nous paraissent des plus simples et des plus élégantes (*).

D'un point quelconque a, d'une courbe géométrique du degré m tracée sur un plan, soient menées les droites arbitraires ap, aq, ar qui la rencontrent aux m autres points/?', p", .-.;</', q", ... ; r', /•", . . . respectivement, et la section conique osculatrice du second ordre en a aux points respectifs pi,qi, r,. Soient tracées les droites ou cordes ^iT,, q'r\ q"r",. . . relatives aux deux transversales aq', ar', et rencontrant en P,, P', P",. . . respectivement la troisième transversale ap': le système des points />! , P', P", ... et celui des points Pi, p', p'% . . . seront tels, que si l'on inscrit à volonté, dans l'angle de deux droites arbitraires contenant a, un polygone dont les côtés de rang pair passent respectivement par les premiers points et les côtés de rang impair, un seul excepté, respectivement par les divers autres points, le dernier côté ira (183) nécessairement aussi passer par le point excepté.

De plus, on aura entre les segments api, aP,, aP", ap' . . . de tous ces points comptés de l'origine commune a, la relation

relation qui exprime que les deux systèmes distincts qu'ils forment ont le même centre de moyennes harmoniques (**).

(*) Voyez la note du n" 185, p. 176.

( ** ) C'est ici le lieu de rappeler que les sommes de valeurs inverses des segments relatifs aux

3oo PROPRIÉTÉS PROJECÏIVES DES FIGURES.

360. Voilà donc des moyens généraux et simples de construire graphiquement et avec la règle, ou par le calcul, un troisième point quelconque/?, de la section conique osculatrice, à l'aide de deux autres quelconques Çi et r, qui seraient donnés. Faisant d'ailleurs varier la transversale ap' qui contient le point p, autour du point de contact a des deux courbes, on obtiendra successivement tous les points de l'osculatrice demandée qu'on pourra aussi construire plus simplement par les méthodes rapportées Sect. Il, Chap. Il du tome I"" du Traité des Propriétés projectwes, en recherchant seulement un point Çi de l'osculatrice, si l'on connaît la tangente en a, ou deux seuls points pareils, si cette tangente n'est pas donnée; car en y joignant les deux points g, et r,, qui sont entièrement arbitraires, on aura tout ce qu'il faut pour tracer entièrement la section conique demandée.

361. Les propositions ci-dessus ne changent pas quand on suppose que les transversales aq', ar' se confondent, si ce n'est que les cordes q'r', q"r",... deviennent des tangentes à Ta courbe donnée. Si, de plus, dans cette hypothèse, on admet que la section conique se réduise à un cercle, c'est-à-dire au cercle osculateur en «, on arrivera à différents corollaires, parmi lesquels se trouve compris celui qu'a donné Mac-Laurin dans le § i5 de son Traité des courbes géométriques, et dont il a déduit, pour construire le cercle osculateur, un procédé qui paraîtra d'autant plus pénible, qu'il exige le tracé d'autant de tangentes distinctes de la courbe qu'il y a d'unités dans le nombre qui exprime son degré. Or, en partant de notre proposition générale, on peut aisément éviter celte complication et réduire les tangentes à celle du point de contact a des osculalrices.

Traçant, en effet, un cercle arbitraire tangent en ce point à la courbe donnée et rencontrant en p\, q\ et r\ les transversales ap', aq', ar'; traçant ensuite la corde indéfinie q\ r\ rencontrant en P', la transversale ap', il est clair, d'après les propriétés connues des cercles tangents, que le rapport de ap\ à «P', sera le même que celui de api à aP, considérés dans le cercle osculateur. Nommant donc n ce rapport désormais connu, on aura,

aP, «/>,

d'où, substituant dans la relation générale ci-dessus, on déduira