DES CONIQDES OSCULATRICES DD TROISIÈME ORDRE AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES

364. Nous venons de voir avec quelle facilité nos méthodes conduisent à la théorie, au tracé des osculatrices du second ordre des courbes planes géométriques, et par conséquent des courbes à double courbure et des surfaces; ces méthodes ne sont pas moins propres à faire découvrir tout ce qui concerne les osculatrices du troisième ordre en un point donné des mêmes courbes, ou ayant quatre points confondus en un seul en celui-là. Pour cela, il ne s'agira encore que de se reporter au cas général (165) des intersections distinctes d'une section conique et d'une courbe géométrique sur les côtés d'un triangle transversal quelconque, et de

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supposer qu'au lieu de trois points communs, elles en aient quatre, puis de voir ce qui arrive dans les diverses relations qui établissent celte communauté de points, quand ceux-ci viennent à se confondre en un seul. Or, comme ici il existe deux manières distinctes de supposer ces points communs distribués sur les côtés du triangle transversal, il en résultera également deux systèmes différents de propositions touchant les osculatrices du troisième ordre. En effet, on peut d'abord supposer que trois des points communs aux deux courbes appartiennent à trois côtés différents du triangle transversal; ensuite, on peut admettre que les quatre points communs soient rangés par couples sur deux de ces côtés seulement.

Parmi les nombreux théorèmes auxquels on est conduit par cette double considération, nous nous bornerons à faire connaître ceux qui présentent le plus d'intérêt par leur élégance ou leur simplicité.

a 365. D'un point quelconque a d'une courbe géométrique de degré m, menez » les droites ou transversales arbitraires aq, ar rencontrant de nouveau aux » m — I points ^', q" , q'",... et aux m — i points r' , r", r'",... respectivement, les » différentes branches de celte courbe. Soient />", p'",.. . les w — i intersections » pareilles de la tangente en « à cette même courbe ; soient enfin ^, et r, les intersec- » lions des premières transversales avec la section conique osculatrice du troisième D ordre en a, ei P, celle de la corde ^ir, prolongée jusqu'à la tangente ap", le » système des 3 (m — i) points P, ,/?",..., g', ç",. . ., r', r", ... appartiendra à une » courbe du degré m — i; il y aura donc aussi entre tous ces points certaines rela- » lions descriptives et linéaires déjà rappelées (353), et qui seront telles, qu'on » pourra toujours construire le point P,, et, par suite, l'un des points qi, r, de la D section conique osculatrice au moyen de tous les autres. »

Par exemple, laissant aq" fixe et supposant qx donné, on obtiendra autant de points r, qu'on voudra de cette osculatrice, en faisant varier ar" autour du point de contact a des deux courbes.

On aura d'ailleurs (n°^ 188 et suiv. ) entre tous les points dont il s'agit les relations métriques

sm

qui serviront à remplir le même but à l'aide du calcul, puisqu'elles donneront arx ou aP, à l'aide de quantités toutes connues.

366. Supposant qu'on trace les cordes q'r', q" r",. . ., dont la direction rencontre en P', P",. . . la tangente ap" au point a, les relations ci-dessus pourront se remplacer par celle-ci

qui est fort simple et pourrait être déduite directement de la relation analogue

SECTION IV. -DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 3o3 établie pour les osculalrices du second ordre. Comme elle exprime que le centre des moyennes harmoniques de tous les points P', P", ... est le même que celui des points P,, p"yp'\..,, on en conclut également une construction du point Pi fort élégante, et qui revient à l'une de celles que nous avons déjà fait connaître précédemment.

Enfin, puisque toutes les quantités qui entrent dans cette équation demeurent invariables avec la position des transversales aq" et ar", on en conclut que le point P, qu'elle met en état de construire reste le même pour toutes les osculatrices du second ordre au point a, c'est-à-dire que les cordes g,, r, qui sous-tendent l'angle q" ar" dans ces sections coniques concourent toutes au point P, dont ils agit.

367. Ce théorème, que nous avons déjà fait connaître, pour les simples coniques, dans la Section IIÏ du tome précédent des Propriétés projectives, conduit évidemment à cette autre conséquence très-digne de remarque :

Toutes les sections coniques osculatrices du troisième ordre en un point donné d'une courbe géométrique ont même direction de diamètre passant par le point dont il s'agit, et conjugué à la direction de la tangente en ce point ; de plus, le paramètre relatif à ce diamètre commun est aussi le même pour toutes les osculatrices parmi lesquelles se trouve nécessairement une parabole unique, parfaitement déter-^ minée de grandeur et de situation pour chaque point de la courbe proposée.

368. La même relation conduit encore à une construction du cercle osculateur trop élégante pour ne pas la mentionner en passant, et qui se fonde principalement sur le théorème démontré dans la Section III précitée :

« Tous les cercles tangents en un point donné d'une section conique vont de B nouveau rencontrer la courbe en des paires de points tels, que les cordes qu'elles » déterminent dans cette courbe sont toutes parallèles entre elles, jo

Ayant déterminé, pour le système des transversales quelconques aq", ar" dont il a été parlé ci-dessus, le pôle invariable Pi de toutes les cordes g,r, des osculatrices, ou, par a, une nouvelle transversale que je nomme as et formant avec l'une ar" des précédentes, du côté opposé à aq", un angle précisément égal à celui que cette dernière fait, de son côté, avec la tangente en a; puis, ayant déterminé pour les transversales as et ar" le pôle invariable qui leur appartient sur cette tangente, on joindra par une droite ce point avec celui où ar" est rencontrée par la parallèle à as issue du premier pôle P,; cela posé, le point où cette droite ira couper as sera un des points du cercle osculateur en a, lequel sera ainsi parfaitement déterminé.

369. Revenant à notre proposition générale ci-dessus, et supposant que les transversales aq" et ar" se réunissent en une seule, auquel cas les cordes ^,r,, q" r",. . ., deviennent des tangentes véritables de la courbe proposée, on en conclut facilement la construction du paramètre et du diamètre de la parabole osculatrice à laquelle Mac-Laurin est parvenu dans le § 19 de son Traité des courbes géométriques, en se basant sur des considérations fort obscures concernant la variation de la courbure et de Vangle de contingence des courbes qui s'osculent en un point donné.

3o4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

Comme ces constructions de Mac-Laurin exigent le tracé préalable du cercle osculateur au point donné et d'un certain nombre de tangentes, je ne crois pas devoir m'y arrêter, d'autant plus que nos méthodes fournissent des moyens de construction beaucoup moins pénibles, comme on le verra tout à l'heure.

370. En effet, par la seconde manière de considérer la communauté d'intersection d'une section conique avec la courbe proposée, dont il a été fait mention plus haut, on arrive immédiatement à ce nouveau théorème :

Soit q la tangente en un point donné d'une courbe plane géométrique du degré m, rencontrant cette courbe aux m — 2 nouveaux points q", q'" , . . ; par un point quelconque a de cette tangente soit menée la transversale arbitraire rencontrant aux m points p, p', p" . . . ladite courbe et en /?, et/?', sa section conique osculatrice au point q; soient enfin P", P'". . ., les intersections respectives de la même transversale avec les tangentes aux points q" , q'",. . ., on aura entre tous les points ainsi définis la relation métrique suivante :