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ap ap ap aP «P «/?, op,

qui fournit un nouveau moyen de construire par points l'osculatrice dont il s'agit, en supposant que l'un des points/?,, p\ soit donné, puisqu'en faisant varier la transversale ap" autour de ce point, on en conclura immédiatement la position correspondante de la seconde intersection/;',.

371. Gela posé, prenons sur la transversale ap" un point o tel, que

ao api ap\

ou qui soit le centre des moyennes harmoniques de pi et /?',; ce point sera donné par la relation précédente. Or, si l'on fait varier la transversale qui le porte autour du point a considéré comme pôle, il est clair que la suite des points o sera sur une droite unique polaire de a par rapport à la section conique osculatrice, et passant par son point de contact q avec la courbe considérée.

Supposant en particulier le point a à l'infini sur la tangente en q, et observant que le point o devient le milieu de la corde /?,/?', et se trouve défini par les nouvelles relations

2Ao = A/?,H-A/)',, A/?4-A/?' + ... = AP" = AP'"...+ 2Ao,

A étant un point choisi à volonté sur la transversale ap" parallèle à la tangente en q, on conclura de ce qui précède que tous les points analogues à o appartiennent au diamètre de l'osculatrice conjugué à la direction de la tangente en q, ce qui présente un moyen bien simple de construire la direction indéfinie de ce diamètre pour le point donné q.

On a d'ailleurs dans le triangle koq, pour fixer la position de ce diamètre,

sinA^o sinAço ko kp-\- kp' -\-. . . — AP'' — AP^'— . . . sin^oA s'inoqq" A^ ^kq

SECTION IV. — DES SYSTEMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 3o5

relation qui devient, quand A est pris sur la normale au point q de la courbe,

„ Ap + Ap'H-...— AP"-AP"'— ...

372. C'est l'expression analytique de l'angle oqq" que Carnol s'est proposé d'obtenir à la page 477 de sa Géométrie de position, et qu'a également obtenue M. Ampère dans un fort beau Mémoire ^'Analyse lu à l'Institut en 1804, et inséré dans le XIV« Cahier du Journal de l'École Polytechnique.

Nos méthodes donnent pareillement le paramètre de la parabole osculatrice au point q, relatif au diamètre pq, et qui est, comme on l'a dit, un élément commun à la fois à toutes les osculatrices du troisième ordre en ce point : il suffit pour cela de mener par un point quelconque a de la tangente en q une droite parallèle aU diamètre oq. Nommant en effet 7:, rJ, r" , ... les points où elle rencontre la courbe proposée, et n", n'",. . . ceux où elle coupe les tangentes en ^", g'",. . ., on aura, pour la valeur du paramètre dont il s'agit,

aï

Cf.-'

«^.(-+ — + zz7^+--- .,n" an"

dont les différents termes doivent, comme dans tout ce qui précède, être pris avec un signe de position convenable, c'est-à-dire tel, qu'en considérant comme positives les valeurs des segments situés d'un côté de l'origine a qui leur est commune, celles des segments situés de l'autre côté de cette même origine soient considérées comme négatives.