DES OSCULA.TRICES DU QUATRIÈME ORDRE; TRACÉ ET PROPOSITIONS DIVERSES

373. Je me hâte de passer à ce qui concerne la détermination de la conique osculatrice du quatrième ordre en un point donné d'une courbe géométrique décrite sur un plan, problème qui, d'après nos principes, revient au fond à celui de construire, par des procédés qui ne puissent devenir complètement illusoires dans certains cas, une section conique ayant, avec cette courbe, cinq points communs, distincts ou non, réels ou imaginaires, par couples, à distance donnée ou infinie, et dont la solution générale dérive immédiatement des méthodes de la Section III.

Pour le montrer et donner en même temps une nouvelle application de ces méthodes propre à en faire saisir complètement l'esprit, concevons une conique qui ait les cinq points;?, q, r, /•', q' en commun avec une courbe géométrique de degré m, le premier de ces points étant d'ailleurs réel et les derniers quelconques, mais définis géométriquement par l'intersection des transversales droites qq' , n' avec la courbe.

Concevons, de plus, par le point/?, une nouvelle transversale arbitraire coupant les deux premières en 6 et « respectivement, lesquelles à leur tour se coupent en c, la question à résoudre consiste évidemment à trouver la nouvelle intersection p, de la transversale arbitraire ab avec la section conique définie comme on Ta dit.

Or, en conservant toutes les notations et conventions jusqu'ici admises, on aura II. 39

3o6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

évidemment, en tant que le triangle abc est considéré comme transversal de la courbe

proposée,

{ap){bq){cr) ^

{bp){cq){av) '

et, en tant qti'il l'est de la section conique,

ap . ap, X bq . bq' X cr. cr'

bp.bp^X. cq. cq' X ar.ar' ' donc aussi

{ap')[bq"){cr")bp^^^

{bp'){cq"){ar"-)ap,

relation qui donnera évidemment le point /?, demandé sans l'intermédiaire direct des points q, r, q', r', dont le mode d'existence peut ainsi être quelconque.

374. Pour obtenir une relation purement descriptive, propre à déterminer le point />,, concevons par ce point une droite arbitraire rencontrant les transversales bc et ac en Q et R respectivement ; en considérant cette droite comme une transversale du triangle abc, on aura

«/>i.6Q.cR

bp,.cQ.aK~^'

et par conséquent, en divisant par cette équation la dernière de celles ci-dessus,

{ap'){bq"){cr")bQ.c^ {bp'){cq"){ar")cQ.aJ{~^'

nouvelle relation qui indique que les m — i points j9i,j5', />",.. ., les/n — i points Q, q", q'",. . ., les m — i points R, r", r'",. .. sont sur une courbe du degré m — i, • attendu que les produits des segments relatifs à ces points s'y trouvent dans l'ordre convenable, et que ces points eux-mêmes sont nécessairement en nombre impair sur le prolongement des côtés du triangle abc ( 148 et 149). Donc aussi il résulte de nos méthodes qu'on pourra construire linéairement, avec la règle seule, l'un quelconque de ces 3(m — i) points au moyen de tous les autres, par exemple le point R, si l'on s'est d'ailleurs donné Q arbitrairement, et, par suite, le point p, demandé, puisqu'il doit être en ligne droite avec les premiers.

375. On arrivera plus simplement encore au même but sans recourir à la transversale arbitraire /?i QR, en traçant les cordes q" r", q'" r'",. . . de la courbe proposée qui rencontrent en P", P'", ... la transversale abp menée à volonté par p : on prouvera aisément que le système des w — i points/?',/?",... et celui des m — i points /),, P", P'",. . . sont en involution par rapport aux sommets a et 6 du triangle transversal abc, ce qui, d'après le n° 183 (§ II du précédent Mémoire), donne lieu à une construction très-simple et purement linéaire du point /?i, tous les autres étant donnés à priori.

376. Les constructions ou relations graphiques qui viennent d'êtres indiquées sont évidemment indépendantes de la situation relative des transversales ab, bc, ac, qui contiennent les points communs aux deux courbes.

Ainsi, par exemple, elles subsistent quand ces transversales se coupent en un même point, ou que abc s'évanouit; elles subsistent même quand ce point commun est sur la courbe proposée, ou que p, q, r se confondent en ce point, la section conique qui les contient devenant osculatrice du second ordre à la proposée.

On peut aussi supposer que la transversale ar" devienne, en outre, tangente aux points de contact communs, ou que r' se réunisse avec p, q, r, ce qui se rapporte au contact du troisième ordre. Enfin, si l'on admet que la transversale bq" vienne à se réunir, à son tour, avec la tangente dont il s'agit, en sorte que les cordes q" r"^ q'" r'" soient des tangentes de la courbe, et que la section conique devienne osculatrice du quatrième ordre au point commun qui représente les points/?,^, r,q',r', confondus en un seul, on peut, dis-je, faire toutes ces hypothèses sans que les relations descriptives ci-dessus mentionnées cessent d'être applicables au système, ou de donner le point/?, qui appartient à chacune des transversales arbitraires conduites parle point p commun aux deux courbes. ,; y | j»j m j

377. Quant aux relations métriques elles-mêmes qui sont la traduction de celleslà, elles prendront, dans chaque cas, les formes souvent indiquées dans le cours du précédent Mémoire (Sect. 111).

Ainsi, par exemple, le cas où les points p, q, r, q', r' seront confondus en un seul conduira à la proposition suivante :

« Soit aq" la tangente en un point quelconque a d'une courbe géométrique tracée » sur un plan, rencontrant de nouveau la courbe aux points q", q'", ... ; soit ap' une » droite arbitrairement menée par a, rencontrant en />, l'osculatrice du quatrième » ordre en a à la courbe donnée, cette courbe elle-même aux nouveaux points p', » p", p'", . . . , et les tangentes aux points q", q'", ... de celte courbe en P", P'", ... » respectivement, on aura constamment la relation

âp' '^ âp^' '^ âp^' ~^ ~" ^ "^ ôF "^ ^P^' "^ '

» qui exprime que le centre des moyennes liannoniques des points p', p", p'",... est » le même que celui des points pi, P", P'", ...; ce qu'on pourrait conclure directe- » ment de ce qui a été établi ci-dessus sur les sections coniques osculatrices du a troisième ordre, d

278. Cette relation, qui donne immédiatement la valeur de «/>,, répond d'ailleurs à une construction linéaire très-simple du point/?,; construction souvent rappelée dans ce qui précède, et qui consiste en ce que les deux groupes de points considérés peuvent être regardés comme les intersections successives des côtés alterna tivement de rang pair et impair d'un polygone inscrit dans l'angle de deux droites arbitraires issues du point de contact a des deux courbes.

Trois transversales arbitraires telles que ap' donnant trois points p, de l'osculatrice du quatrième ordre en a, ces trois points réunis à la tangente aq" de cette dernière suffiront pour la tracer complètement par Vhexagramme de Pascal, et sans le concours de la courbe proposée. Or, nous avons fait connaître dans la Section III, 1. 1" de ce Traité, des méthodes très-simples pour construire la section conique

3o8 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

osculatrice du second ou du troisième ordre en un point donné d'une pareille courbe, et qui est de plus assujettie à des conditions données; donc les considérations exposées en dernier lieu mettent en état de résoudre immédiatement les problèmes relatifs aux coniques osculatrices des deuxième et troisième ordres en un point donné d'une courbe géométrique quelconque, puisqu'elles sont aussi nécessairement osculatrices des mêmes ordres avec celles dont le contact du quatrième ordre est plus élevé.

D'après cette remarque, nous aurions donc pu réduire à fort peu de chose le problème des coniques osculatrices en des points donnés des courbes géométriques; mais j'ai pensé, avec raison sans doute, que les divers théorèmes ou conséquences recueillis sur la route parcourue ne seraient nullement indignes de l'attention des géomètres, et très-propres, au contraire, à démontrer l'heureuse fécondité de la doctrine des transversales, telle que je l'ai envisagée dans le cours de ces recherches (Sect. m et IV).

379. Pour terminer d'ailleurs convenablement cette quatrième Section, il convient de rappeler quelques observations fort essentielles et sur lesquelles je n'ai fait que glisser dans ce qui précède : c'est que nos théorèmes généraux conduisent, comme conséquences particulières, à un grand nombre de corollaires curieux, quand on vient à spécialiser l'état de chaque figure ou du système des grandeurs considérées, par exemple, en supposant que certains points, certaines droites passent à l'infini; c'est que, par l'application des principes de la Théorie des polaires réciproques, la plupart de ces théorèmes sont susceptibles de conduire à d'autres théorèmes inverses non moins remarquables, de la nature de ceux que j'ai rapidement indiqués vers la fin du Mémoire qui contient cette théorie, et qu'il eût été presque superflu ou du moins fort peu utile d'exposer en détail ici, attendu que ces théorèmes se déduisent toujours des précédents par des règles sûres, et sont, en général, d'une complication beaucoup plus grande, qui ne permet guère d'en conclure des constructions faciles pour le tracé des osculatrices des courbes géométriques.

Afin de donner au moins une idée de la nature de ces nouveaux théorèmes, nous considérerons en particulier le cas des sections coniques osculatrices du quatrième ordre en un point donné d'une courbe géométrique. Appliquant donc aux propositions qui ont été exposées ci-dessus pour ce système les principes des n"* 63, 120 et suivants du Mémoire (Sect. II) dont il s'agit, on arrivera sans peine aux propositions inverses qui suivent.

« 380. Soit a le point de contact d'une tangente quelconque aq, aq' d'une courbe » géométrique du degré m tracée sur un plan, auquel répondent les m{m — i) — 2 » autres tangentes à la courbe, aq" , aq'",. . . issues de ce point; d'un second point i> h choisi arbitrairement sur la tangente en a, soient également menées la nou- » velle tangente bpi à la section conique osculatrice du quatrième ordre au même » point a, les m{m — i) — i nouvelles tangentes bp' , bp", bp'",... à la courbe » donnée, et les m{m — i) — 2 droites bq", bq'",... joignant ce point avec les » points de contact des tangentes aq", aq'",... issues de « : le faisceau des tan-

» génies bp' , bp", bp'\... et celui que forme la tangente 6/?, avec les droites » bq", bq'",. . . auront même axe de moyennes harmoniques par rapport à la tan- » gente ab de la courbe proposée ( m). »

En d'autres termes, et si l'on coupe ces deux faisceaux par une droite arbitraire, » les systèmes de points d'intersection qui en résultent auront même centre de » moyennes harmoniques conjugué au point de concours de cette transversale avec » la tangente ab, pris pour origine des abscisses ou segments. »

381. La courbe [m] étant donc donnée ainsi que le double faisceau de ses tangentes, on pourra très-facilement obtenir la tangente bp^, et successivement autant d'autres qu'on voudra; car la relation harmonique ci-dessus fera connaître la position du point/?, qui appartient à 6/»,. D'ailleurs, on pourrait aussi opérer directement sur les deux faisceaux en question pour obtenir immédiatement celte tangente.

A cet effet, ayant choisi à volonté deux points sur le plan de la courbe proposée, on prendra ces points respectifs pour y faire passer alternativement les côtés de rang pair et de rang impair d'un polygone quelconque, dont les sommets s'appuieront eux-mêmes alternativement sur chacune des tangentes bp' , bp" , bp'",,.., et des droites bq", bq'", . . . , la tangente bp^ exceptée. Cela posé, le dernier sommet du polygone ainsi formé, celui qui est demeuré libre, se trouvera naturellement placé sur la tangente 6/?, de l'osculatrice demandée.

Cette dernière construction est la traduction de celle qui, d'après les recherches précédentes, donnerait le point pi au moyen de la combinaison de tous les autres, ou, plus généralement, l'un quelconque des points de deux groupes en involution par rapport à deux points donnés sur leur direction rectiligne commune, systèmes que j'ai également eu occasion d'examiner dans ce Mémoire (Sect. III, n° 181). On traduirait d'ailleurs avec la même facilité tous les autres théorèmes qu'il renferme sur les courbes géométriques, en ayant égard aux relations de réciprocité polaire établies dans la Section II si souvent citée dans ce qui précède.

382. Enfin, en appliquant les mêmes considérations aux lignes à double courbure et aux surfaces géométriques, ce dont j'ai offert quelques exemples seulement, dans les diverses parties de cet ouvrage, on arriverait à de nouveaux et intéressants théorèmes sur lesquels il m'est impossible d'insister, d'autant plus que la matière étant d'une étendue pour ainsi dire illimitée et d'une complication assez grande, elle pourrait n'offrir dans ses développements aucun avantage bien apparent pour le progrès de la science et le perfectionnement des arts qui reposent sur le dessin linéaire; but important et que j'ai lâché de ne pas trop perdre de vue dans le cours de mes études géométriques.

Remarquons cependant que nos méthodes fournissant des procédés généraux pour construire, par le calcul ou graphiquement, les sections coniques osculatrices des deuxième, troisième et quatrième ordres en un point donné des courbes planes géométriques, elles peuvent offrir quelque utilité dans leur application à certaines courbes particulières, et même aux courbes de l'espace données par leurs projec-

3io PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

lions sur un plan ( Secl. supplémentaire, § I") . D'autre part, ces méthodes, si elles ne mettent en mesure de construire directement des surfaces du second degré osculatrices de divers ordres en un point donné d'une surface géométriquement définie dans l'espace, peuvent au moins fournir des indications utiles sur la nature et la possibilité d'existence de ces osculatrices.

Par exemple, c'est un fait digne de remarque qu'en un point donné d'une surface géométrique quelconque, on peut construire une infinité de sections coniques osculatrices du troisième ordre de la surface en ce point, et passant de plus par un point donné arbitrairement dans l'espace; la droite qui renferme ce point et le point commun d'osculation des coniques constituant, en quelque sorte, un axe fixe autour duquel pivote le plan de la conique osculalrice de la surface proposée suivant sa ligne d'intersection avec ce plan. L'ensemble de ces coniques constitue lui-même évidemment au point considéré une surface continue osculatrice du troisième ordre avec la précédente. Mais, après un examen quelque peu attentif, on s'assure que cette surface osculatrice n'est nullement du second degré, en recherchant, selon nos méthodes, en combien de points elle peut être rencontrée par une droite arbitraire.

383. Les résultats que nous avons obtenus pour l'osculatrice conique du quatrième ordre en un point donné d'une courbe géométrique plane, sont bien plus remarquables encore; car ils enseignent à construire cette conique pour tout plan de section arbitraire d'une surface géométrique également donnée, ainsi que le point de contact, et cela sans conditions accessoires; de sorte que, par exemple, il y a lieu de se demander s'il existe réellement une surface osculatrice continue d'un tel ordre, constituée d'une infinité de coniques contenant le point commun d'osculation; mais la réponse reste à peu près la même que pour le cas précédent. Toutefois, on ne saurait nier qu'en un point donné d'une surface continue, il existe une infinité de surfaces du second degré osculatrices du second ordre seulement en ce point, et telles, que toute section parallèle au plan tangent, infiniment voisine du point de contact mutuel, coupe les diverses surfaces osculatrices suivant une conique commune, elle-même infiniment petite, semblable et semblablement placée par rapport à Vindicatrice de la courbure.

riN DU Manuscrit de i83o a i83i.

Considérations générales.

Celte Section comprend divers développements, articles ou extraits d'articles, notes et additions qui n'ont pu entrer dans le corps de l'ouvrage, et qui néanmoins se rattachent aux différentes matières dont il se compose par des éclaircissements, des données critiques ou historiques indispensable's à l'intelligence de certains passages. Non-seulement aucun de ces articles détachés n'est entré dans la composition des tomes I et II des Applications d'Analyse et de Géométrie, publiés par l'auteur en 1862 et 1864, mais encore ces articles en sont le complément indispensable, ainsi que de beaucoup de citations du premier volume de ce Traité ayant trait à des écrits dont il serait utile de prendre connaissance pour se former une idée de l'origine et des progrès de cette partie de la Géométrie, aujourd'hui devenue si vaste, qui concerne les relations ou propriétés de l'étendue figurée, indépendantes de toute grandeur absolue et déterminée; relations, propriétés que j'ai le premier nommées projectives, et nettement distinguées en métriques ou descriptives.

En réunissant ici, en des groupes ou paragraphes distincts, ces documents épars, les uns inédits, par conséquent tout à fait inconnus, les autres perdus dans de vastes collections, et par cela même oubliés, rarement cités ou mal interprétés, mais auxquels j'attache d'autant plus de prix qu'ils servent à fixer quelques dates ou droits de priorité ; en reproduisant ces documents, j'ai pensé faire une chose agréable à tout lecteur désireux de juger par lui-même et pièces en mains l'état de certaines questions géométriques fort obscurcies par des commentateurs, des vulgarisateurs partisans plus ou moins éclairés des idées de Gergonne et de Cauchy, et peu soucieux d'ailleurs de remonter aux principes des choses; tâche en effet aussi délicate que pénible quand elle est consciencieuse et vraiment désintéressée.

Quant aux critiques personnelles, aux insinuations injustes ou malveillantes qui ne sauraient intéresser les lecteurs de cet ouvrage, je me garderai d'y répondre, me réservant seulement le droit de contrôler les observations

3i2 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

sérieuses et vraiment scientifiques; je laisserai également dans l'oubli certains passages de lettres confidentielles ou d'écrits imprimés qui ne m'ont jamais fait prendre le change sur les intentions vraies des auteurs; et, si j'en ai agi autrement dans les tomes I et II des Applications d'Analyse et de Géométrie, déjà mentionnés, c'est que je sentais la nécessité de me défendre tout d'abord contre les préventions, les jugements irréfléchis de quelques savants moins autorisés peut-être que Cauchy, envers lequel cependant nos illustres maîtres, Laplace, Legendre, Lacroix, Poisson, Poinsot, Jacobi, etc., professaient, à l'occasion (*), une opinion peu différente de la mienne propre exprimée sans passion, d'après une sage coutume de l'antique Egypte, qui, « pour éclairer dignement les hommes, jugeait avec sévérité mais équité les » morts glorifiés, adorés de leur vivant. »

D'ailleurs, tout en reconnaissant l'utilité, l'à-propos, le mérite même de . quelques écrits géométriques postérieurs au Traité des Propriétés projectives des figures, je ne crains pas d'affirmer que si, à un moment donné, ils ont contribué à populariser, à illustrer certains savants ou certains faits, la conviction qui a pu en résulter ne saurait être entière et durable en dehors des moyens personnels de vérification ou de contrôle de chacun. C'est pourquoi, à l'exemple de quelques-uns de nos très-célèbres prédécesseurs peu confiants dans les jugements de la critique contemporaine ou posthume, je n'ai pas craint de présenter moi-même, dans ces dernières publications, quelques fragments de mes états de service, dépourvus de toute réflexion ou commentaire.

L'accueil fait, à l'origine, au Traité des Ponsmes d'Euclide; les misérables diatribes des Beaugrand et des Curabelle contre la théorie de Vinvolution et les leçons de ténèbres (du soir) faites si généreusement aux ouvriers lyonnais ou parisiens par Desargues, le soutien et l'interprète de Descartes, le précurseur de Pascal dans un genre de Géométrie si fort apprécié de nos jours; enfin les jugements sévères portés contre \q?, coniques de ce dernier, sont, sans nul doute, les causes premières, efficientes du triste sort réservé à ces

(*) On n'a point encore oublié, je pense, les prolestations verbales, les marques de désapprobation et d'impatience manifestées dans le sein même de l'Académie des Sciences à propos des lectures et des écrits intarissables de notre illustre et fécond confrère. On peut voir aussi, dans VHistoiî-e de V École Polytechnique, par feu de Fourcy, qu'en 1821, une Commission de révision des programmes, stimulée sans doute par les justes critiques de Iloënoé Wronski, avait prescrit aux professeurs do cette École l'usage exclusif de la méthode des infiniment petits, dont on s'était écarté malgré les prescriptions formelles des programmes de i8i3; méthode à propos de laquelle, comme on le sait encore, M. Poinsot avait rédigé des articles éminemment lucides, et qu'on trouve rej^roduils dans le tome III de la Correspondance de cette même École, p. 11 1 (mai i8i5).

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 3i3

divers ouvrages et a quelques autres cités dans le volume précédent, mais dont nous ne possédons que d'infimes fragments grâce aux zoïles et aux sophistes, aux aristarques et aux sosies de chaque époque, esprits étroits avec lesquels il ne faut pas confondre les collectionneurs, savants et habiles, tels que Pappus, ce géomètre philosophe de l'école d'Alexandrie, et ce butineur intrépide, sinon véridique, Philippe de Lahire, dont Fontenelle a fait presque un grand homme dans ses Éloges académiques, en le chargeant des dépouilles opimes de Desargues, de Pascal, de Roberval, de Rœmer, et en le représentant comme le patron, le précepteur des ouvriers de son temps, même de l'ancien et célèbre graveur Bosse, ce disciple dévoué de Desargues (*) :

Sic vos non vobis fertis aratra boves; Sic vos non vobis

Quand on songe, en effet, à ce que sont devenues les œuvres originales d'Euclide, de Desargues, de Pascal, dont j'ai essayé, dans le tome V du Traité des Propriétés projectives, de raviver le souvenir géométrique en partie effacé parmi nous, malgré les favorables mais insuffisantes indications de Pappus, de ce même graveur Bosse et du grand Leibnitz; quand on songe, disons-nous, à la perte tant regrettée de ces anciens manuscrits, on ne peut s'empêcher de plaindre tout novateur ou initiateur d'une doctrine qui, bien que rationnelle, féconde et utile au progrès des sciences ou des arts, choque les idées reçues et n'est point à la portée de tous.

Pauvre Desargues, qui se figurait que des affiches apposées aux murs de Paris, des manuscrits rédigés à la hâte en faveur de la classe ouvrière dont ils imitaient le langage familier; que des leçons sans apprêts, inintelligibles pour les beaux esprits de la capitale, mais communiquées telles quelles à des amis plus ou moins bienveillants et éclairés, pouvaient le défendre effica-

(*) L'éloge de Fontenelle, soumis à un examen approfondi par M. Piobert (t. LVI, p. 497 des Comptes rendus de V Académie dés Sciences), le silence calculé de Lahire, dans ses Traités des coniques, en partie fondés sur les propriétés de la division harmonique et du pôle connues des Anciens, de Desargues et de Pascal ; cet éloge, ce silence injustifiables, peuvent expliquer comment les géomètres anglais, successeurs de Lahire, adoptant sa synthèse euclidienne, seule alors classique et jugée rigoureuse par les adversaires de la méthode d'invention de Descartes et de Leibnitz [malo indies scrpenti)\ comment, dis-je, les Milnes, les Hamilton, les Robert Simson et l'illustre Mac-Laurin lui-même, n'ont jamais cité les écrits originaux de Desargues, de Pascal et de Bosse, envers qui les savants rédacteurs des Acta eruditorum de Gœttingen, l'ingénieur Frézier et quelques autres ont été moins oublieux. Depuis que Simson, dans la préface de son Traité de 1760, a lancé celte sentence latine contre l'Analyse moderne, l'état des choses a bien changé en Angleterre, où, à l'instar des savants allemands, on accorde une confiance presque exclusive aux démonstrations algébriques. (Voyez Applications, etc., t. II, 1864, VIP cahier.)

li. ' 40

3i4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

cernent contre les cabales de rivaux puissants, et soustrairaient à l'oubli ses savantes méthodes géométriques, si utiles aux arts dont il s'occupait avec prédilection comme architecte et ingénieur militaire! Pauvre Desargues, qui, peu ambitieux de renommée et fatigué de ces luttes stériles, cultivait, l'été, son jardin de Condrieu non loin de Lyon sa ville natale, où il passait les hivers et mourut en 1662 (année même de la fin douloureuse et prématurée de Pascal), sans éclat, ignoré de ses contemporains (*), sans s'inquiéter du perfectionnement de ses écrits, ni du profit qu'en pourraient tirer des successeurs mieux avisés ! Il ne prévoyait guère, sans aucun doute, qu'après deux siècles écoulés, sa mémoire, ses découvertes seraient remises en honneur, sinon en parfaite lumière, tandis que, grâce à une réaction dont il y a de nos jours tant d'exemples injustes et parfois ridicules, on en viendrait, après l'avoir si longtemps négligé, à lui attribuer des pensées, des découvertes auxquelles peut-être il n'avait point songé.

Au surplus. Desargues le libre penseur, traité d'ignorant vaniteux par de jaloux contempteurs, malgré le cas qu'en faisait Descartes, lui-même exilé volontaire à l'étranger où il mourut en fuyant le bruit et la persécution; le modeste et libéral Desargues n'est pas le seul homme de génie qui ait manqué de prévoyance scientifique et de courage vers la fin de ses jours : Galilée, Pascal, Monge eux-mêmes n'ont-ils pas été traités de fous, de lâches ou de serviles par quelques moralistes politiques satisfaits mais mal informés? N'est-il pas évident que ces grands géomètres philosophes ne se fussent pas éteints dans l'angoisse et le découragement si, en se préoccupant moins des jugements contemporains, bien souvent démentis par ceux de la postérité, ils eussent consacré, dans le silence et la retraite, leurs derniers jours à la réédition, à la révision lente, réfléchie et pleine de jouissances morales, de leurs premiers travaux, plus que nuls autres empreints du sceau de l'inspiration et du génie, travaux que l'entraînement et les passions du moment font trop souvent dédaigner, et qui nous parviennent alors mutilés ou mal compris, interprétés par des disciples rarement dévoués et capables de saisir la véritable et philosophique pensée du maître.

Quoi qu'il en soit, je ne suis nullement d'avis, avec notre illustre, loyal et savant vulgarisateur académicien François Arago, que le mérite d'une décou-

(*) Voyez dans le Dictionnaire de la Biographie universelle un article du savant M. Weiss sur Gérard Desargues, article très-bien fait sans doute, mais qui laisse beaucoup à désirer, quoiqu'il accorde à l'esprit original et fécond de Desargues une justice que ses ingrats compatriotes lui ont refusée, et que Saverien lui-même, de la Société royale de Lyon, etc.^ a oublié de lui rendre dans son grand Dictionnaire de Mathématiques, prétendu universel, publié en 1 753 .

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 3i5

verte appartient exclusivement à celui qui, le premier, Va publiée; car les mots de publication, de publicité, susceptibles d'interprétations diverses, supposent trop souvent un savoir-faire que possèdent rarement les vrais savants, les véritables inventeurs, toujours timorés, sinon exempts d'un légitime orgueil. Que valent de nos jours, je le demande, les brevets, les patentes avec ou sans privilège, les réclames des journaux, les rapides et séduisants comptes rendus des recueils scientifiques, même quand ils ne sont pas simplement lesécbos complaisants des auteurs dont ils prétendent analyser ou critiquer les ouvrages? Que valent encore les dépôts de paquets cacbetés, les Rapports académiques qui satisfont bien rarement ceux qui les ont sollicités, les improvisations, les leçons orales ou vulgarisations, si elles ne contiennent pas une appréciation exacte et réflécbie de la pensée des auteurs ou inventeurs? N'est-il pas évident pour tout esprit sérieux. que, comme les éloges funèbres, ces moyens bâtifs de publication ou de réclame et d'autres plus énergiques, plus charlatanesques encore, ne peuvent rien contre l'oubli ou l'indifférence d'un certain public; qu'en un mot tous ces soins, tous ces soucis, s'ils émeuvent et illuminent le présent, sont, par euxmêmes, incapables d'assurer la durée de la réputation des hommes et des choses, tandis que, sans contredit, ils profitent merveilleusement aux projets ambitieux ou mercantiles du jour?

Sans désespérer néanmoins de l'avenir et jugeant notre siècle comme il est, j'ai cru devoir me prémunir, non pas seulement contre d'injustes critiques et des empiétements plus ou moins manifestes, mais aussi contre le soupçon d'emprunt que, faute d'une attention suffisante, quelques lecteurs pourraient adresser à des publications involontairement tardives. Mais ce que j'appréhende avant tout, ce serait de paraître dédaigner toute justification ou réfutation scientifiquement exprimée, comme l'ont fait Pascal et d'autres grands esprits, auxquels je n'ai jamais prétendu me comparer, quoique eux aussi n'aient point toujours été approuvés hautement dans leurs tentatives hardies d'émancipation mathématique.

Ces réflexions et le blâme, au fond peu mérité, que m'a valu la franchise des opinions et des critiques émises dans mes récentes publications, m'ont fait quelque temps hésiter dans la résolution de réunir ici sous un môme titre l'ensemble des documents épars qui peuvent concerner les travaux de Géométrie dont je me suis préoccupé depuis 1820 ou 1822. Je sais que la plupart des lecteurs sont indifférents, hostiles même, à toute espèce de revendication, et généralement enclins à donner gain de cause aux écrits les plus faciles, sinon les plus sincères; mais j'avais pour moi,

3i6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

entre beaucoup d'autres, l'exemple de Mac-Laurin, qui dans les Mémoires de la Société Royale de Londres de inZS n'a pas hésité à revendiquer les découvertes géométriques qu'avait tenté de lui ravir Braikenridge, esprit secondaire qui l'avait devancé dans ses publications et dont il eut a se défendre, quoique son caractère de probité et d'élévation scientifiques dût le mettre à l'abri de tout soupçon de plagiat.

Qui ne connaît d'ailleurs les longues disputes mathématiques du dernier siècle, dont le célèbre Montucla s'est fait l'historien, sinon toujours exact au point de vue géométrique, du moins scrupuleux et impersonnel?

Ces exemples, ces motifs et d'autres qu'il serait inutile d'énumérer ici, suffiront, je l'espère, pour excuser aux yeux du public géomètre l'étendue que j'ai accordée à cette dernière Section, malgré de nombreuses et importantes suppressions.

§ P^ — Composé de la réunion de divers articles de Géométrie pure postérieurs à l' année 1822.

HISTORIQUE SERVANT d'iNTRODUCTION A UNE THÉORIE DES TRANSVERSALES APPLIQUÉE A LA RECHERCHE DES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES COURBES GÉOMÉTRIQUES (*).

(Extrait d'un cahier manuscrit rédigé dans l'hiver de 1822 à 1823.)

Les géomètres se livrèrent, dès la plus haute antiquité, à l'étude des propriétés des lieux: géométriques ou des lignes courbes; leur importance est telle, en effet, qu'il est peu de questions relatives aux grandeurs qu'on ne puisse résoudre par leur secours. Les Anciens, je veux dire les Grecs, ne s'étaient pourtant guère occupés que des lieux du premier et du second degré, comprenant la ligne droite et les

(*) J'ai déjà mentionné dans diverses notes ou passages des précédentes Sections (p. 111, 123, i35, etc.) la tentative que j'avais faite dès 1822, et môme en 1821, d'une première rédaction des Sections III et IV. Cette rédaction, contenue dans un cahier manuscrit de 108 pages, aurait dû, selon le plan que je me suis imposé dans cette publication, être mise sous les yeux des lecteurs, afin de montrer, sans réserve aucune, la série entière des idées, des tentatives et des irrésolutions par lesquelles j'ai dû passer avant de parvenir à une rédaction définitive et pourtant bien imparfaite encore. Pour accomplir convenablement ce dessein, je devrais aussi publier les nombreux et intéressants extraits d'anciens livres de Géométrie qu'il m'a fallu compulser, analyser, avant d'écrire les notes historiques qui accompagnent le tome P"" de cet ouvrage; mais ces divers extraits et les réflexions auxquelles ils donnent lieu composant à eux seuls la matière d'un nouveau volume, je ne saurais pour le moment songer à en faire la publication.

diverses sections coniques, et à cet égard ils avaient poussé leurs recherches trèsloin, comme on peut le voir par les ouvrages d'Apollonius de Perge et de Pappus. Les courbes nommées quadratrice, développante, conchoïde, cissoïde, les spirales et les hélices, furent ensuite celles qui les occupèrent le plus, soit à cause de leur utilité dans les arts, soit à cause de leur usage pour la solution de problèmes alors fameux et de degrés supérieurs, tels que la duplication du cube, la trisection de l'angle, etc. Mais, attendu la difficulté de définir géométriquement, de classer et d'étudier les courbes de diverses espèces, les Anciens ne nous ont rien transmis de général sur ce sujet; la gloire en est entièrement due aux modernes.

Descartes fut le premier qui, par son ingénieuse Analyse des coordonnées, parvint à définir, à classer et même à construire les lignes des divers ordres d'après leurs équations algébriques; il détermina aussi leurs tangentes et sous-tangentes par le moyen du calcul, mais il s'occupa peu de leurs autres propriétés. Roberval, son émule, trouva presque dans le même temps sa méthode graphique de mener les tangentes aux lignes courbes, lorsqu'elles sont définies par la loi géométrique du mouvement de leur point descripteur. Il serait bien à désirer que cette utile théorie pût être étendue aux contacts des ordres supérieurs.

Newton parvint, comme on sait, à de beaux résultats sur les courbes algébriques ou géométriques dans son Enumération des lignes du troisième ordre. Parmi ces résultats, je citerai son théorème sur les diamètres des courbes, celui sur le rapport constant entre les produits des abscisses et des appliquées parallèles, enfin son théorème sur les sommes de segments interceptés sur une sécante quelconque par une courbe et ses asymptotes, théorèmes qui sont tous des extensions des propriétés anciennement connues des sections coniques. Côtes y ajouta ensuite son beau principe sur la droite lieu des points qu'on pourrait nommer centres de moyennes harmoniques, relatif à un pôle fixe ou point donné sur le plan d'une courbe géométrique. Mac-Laurin réunit ces différentes recherches à celles qu'il avait faites de son côté, et en composa un Traité sur les Propriétés générales des lignes géométriques, qui se trouve, sous la forme d'appendice, imprimé à la suite de son Traité d' Algèbre posthume ( Londres, 1 748 ).

Parmi les choses qui lui appartiennent, on doit particulièrement distinguer plusieurs théorèmes sur les sécantes, les tangentes, les cercles osculateurs et sections coniques osculatrices du second ordre en des points donnés des courbes géométriques; théorèmes basés sur la considération des sommes de réciproques des segments interceptés sur une droite à partir d'un certain point, et qui par conséquent offrent quelque analogie avec le théorème cité de Côtes. Mac-Laurin s'applique principalement à faire voir, sur les lignes du troisième ordre, que la plupart des propriétés alors connues des sections coniques pouvaient s'étendre aux courbes de degrés supérieurs.

Ce que, depuis, Waring, dans ses Mélanges analytiques publiés à Cambridge en 1762, ajouta à ces diverses théories, n'est point, à beaucoup près, du même intérêt, du moins sous le rapport des propriétés générales que nous avons ici particulièrement en vue : il ne fit qu'étendre à des cas plus compliqués les théorèmes de Newton, de Côtes et de Mac-Laurin.

3i8 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

C'est pour le môme motif aussi que je ne citerai ni YÉnumération des lignes du quatrième ordre de ce savant géomètre, ni diverses autres recherches particulières sur les courbes, dues à Nichole, à Barrow, ainsi qu'aux auteurs précédemment cités. J'ajouterai cependant que Newton démontra le premier que la projection centrale ou perspective d'une courbe de degré m est elle-même de ce degré, principe en quelque sorte évident en lui-môme, si l'on admet, comme nous l'avons fait dans le Traité des Propriétés projectiles, que le degré d' une courbe ou surface est marqué par le nombre de ses intersections avec une droite arbitraire.

En France et à l'époque du xvni^ siècle, on était bien loin d'ôtre aussi avancé dans la théorie des lignes géométriques; on y paraissait même ignorer entièrement les recherches qui avaient occupé Côtes et Mac-Laurin. \J Introduction à l'Analyse des lignes courbes par Cramer, qu'on doit considérer comme renfermant à peu près tout ce qui était alors connu sur ce sujet, n'est en effet que le développement des principes posés par Newton et Stirling pour la classification des lignes courbes et la discussion de leurs principales affections par rapport aux axes coordonnés. On y enseigne, il est vrai, à déterminer, pour chaque point de la courbe, la tangente et la normale, le cercle osculateur et le rayon de courbure, ainsi que les grandeurs ou les lieux qui en dépendent, tels que les développées, etc.; mais ces recherches, ces solutions de problèmes infiniment utiles aux arts qui se fondent sur le dessin linéaire, ne sont là présentées ou résolues qu'à l'aide des équations des courbes et par le calcul des abscisses et ordonnées; on n'opère presque jamais sur les lignes, sauf dans quelques cas très-simples; en un mot, c'est de l'Analyse algébrique, admirable, il est vrai, par son universalité, mais non de la Géométrie telle que le réclament les divers besoins des arts.

C'est encore ainsi que, de nos jours (1823), on traite volontiers, dans les ouvrages consacrés à l'instruction, la théorie des lignes courbes (*). Cependant il faut avouer que, depuis les travaux de Clairaul, d'Euler, de Lagrange, de Monge, etc., sur ce sujet, les géomètres se sont un peu. plus exercés à traduire en constructions graphiques et en propriétés élégantes les résultats abstraits du calcul appliqué aux figures. On commence à sentir que la lâche du géomètre analyste n'est qu'en partie remplie sans l'interprétation complète de ces résultats, et c'est à cette manière d'envisager la théorie des coordonnées que nous devons plusieurs belles propriétés des lignes et des surfaces du second degré récemment découvertes.

Parmi les ouvrages qui ont paru après celui de Cramer et où la théorie générale des courbes a été spécialement étudiée, nous citerons le Traité de M. Goudin sur les Propriétés communes à toutes les courbes algébriques, et la Section VI de la Géométrie de position de Carnot, ouvrages dans lesquels, par la transformation des coordonnées prises dans l'acception la plus générale, on cherche à former des tableaux qui contiennent les diverses relations ou propriétés dont une courbe jouit à l'égard de certaines variables qui en dépendent, telles que ses coordonnées ordinaires, sa sous-tangente, sa normale, etc. Mais, à l'exception du beau principe

(*) On remarquera que ceci avait été, en 1821, lu en ébauche à la Société des Lettres, Sciences et Arts de Metz : séance du mois de décembre même année. — (Note de 1823.)

découvert par Carnot sur le triangle ou le polygone transversal d'une courbe ou surface géométrique quelconque, simplement énoncé au n° 130 du précédent Mémoire (Secl. II) et qui est proprement l'extension du principe de Newton sur les appliquées parallèles, cette manière restreinte d'envisager la théorie des courbes n'a point conduit à des résultats vraiment dignes de remarque sous le point de vue géométrique, et qui soient comparables à ceux qui furent d'abord trouvés par Newton, Côtes et Mac-Laurin.

C'est sans doute la nécessité bien sentie de perfectionner la théorie analytique des courbes et de modifier les méthodes jusque-là suivies pour en découvrir les propriétés essentielles, qui a excité divers savants français à rechercher des systèmes de coordonnées plus avantageux que ceux des coordonnées ordinaires et qui eussent avec la nature de chaque courbe des dépendances plus intimes, plus nécessaires. M. Lacroix observe à ce sujet, dans le tome I" de son Traité in-4° du Calcul différentiel et du Calcul intégral , qu'en choisissant pour coordonnées le rayon de courbure de la courbe et son arc depuis un point fixe, on a une équation plus propre qu'aucune autre à caractériser cette courbe, puisqu'elle ne dépend que d'une constante arbitraire relative au point pris pour origine des arcs.

Dans un beau Mémoire présenté à l'Institut en i8o3 et inséré dans le XIV^ cahier du Journal de l'École Polytechnique, M. Ampère propose de substituer à ces coordonnées les coordonnées naturelles de la parabole osculatrice du troisième ordre en chaque point de la courbe, pour obtenir, dit-il, une équation vraiment caractéristique de cette courbe; par là, en effet, cet illustre géomètre obtient des équations qui ne renferment d'autres constantes que celles qui tiennent à la nature et à la grandeur particulière de la courbe, attendu que l'angle des coordonnées de la parabole osculatrice est censé droit.

Carnot, en s'occupant de considérations analogues à la page 47^ de sa Géométrie de position, a, de son côté, proposé de prendre pour coordonnées des courbes le rayon de courbure en chaque point et l'angle que font en ce point la tangente et la droite qui divise en deux parties égales la corde parallèle à celte tangente et qui lui est infiniment voisine, c'est-à-dire, comme on le verra plus tard, l'angle de la tangente et du diamètre de la parabole osculatrice. Enfin M. Frégier a eu l'idée de choisir pour coordonnées d'une courbe le rayon de courbure en chaque point et les portions de la normale comprises entre ce point et les diverses branches de la courbe; cela lui a donné l'occasion d'énoncer quelques théorèmes nouveaux sur les lignes du second ordre, qu'il a ensuite étendus aux lignes géométriques d'un degré quelconque {Annales de Mathématiques, t. VI et VII, i8i6 à 1818); mais leur énoncé est fort compliqué, et elles ne paraissent pas devoir être d'un grand usage dans les applications; nous ferons connaître, par la suite, des relations plus simples entre les mêmes lignes et qui permettent également de construire le rayon de courbure en chaque point d'une courbe géométrique.

Au surplus, on a quelque peine à saisir le but véritable de ces diverses recherches, il semble même qu'on ne recueillerait qu'un avantage très-borné de la découverte d'un système de coordonnées tellement lié à la nature de la courbe , que l'équation de celle-ci ne présentât absolument rien d'arbitraire ou qui fut

320 PROPRIÉTÉS PROJECïIVES DES FIGURES.

étranger à sa nature. Car, outre qu'il arriverait rarement que cette équation fût bien simple, elle n'aurait encore lieu que pour la courbe elle-même envisagée d'une manière individuelle, et n'apprendrait, autre chose que la propriété dont elle jouit, en chaque point, à l'égard des nouvelles coordonnées, et des moyens de construire l'une de ces coordonnées à l'aide de l'autre ou du système des autres quand celles-ci sont immédiatement données par le tracé de la courbe, ainsi qu'il arrive, par exemple, dans le système admis par M. Frégier. Toute combinaison directe d'équations pareilles des lignes devenant impossible, un tel système" de coordonnées serait bien loin d'offrir les avantages qui, sous ce rapport, sont inhérents à celui des coordonnées ordinaires, et qui le rendent éminemment propre à la recherche des propriétés les plus générales des figures.

Loin donc qu'il soit convenable de remplacer ce dernier système de coordonnées des courbes par un système tellement particulier, qu'il ne contienne rien d'arbitraire ou d'étranger à la nature de ces courbes, il paraîtrait au contraire beaucoup plus à propos de choisir, pour les définir et les représenter par des équations, une propriété tellement générale, qu'elle puisse appartenir à la fois à toutes les lignes et à toutes les combinaisons de lignes, sans cesser pourtant de les caractériser d'une manière individuelle. Nous avons déjà eu occasion de le remarquer [Traité des Propriétés projectiles, Introduction, p. xxxiv), « les propriétés de l'étendue sont » d'autant plus fécondes qu'elles sont renfermées sous des énoncés plus généraux » et plus simples ; car, sous cette indétermination même, elles embrassent impli- » citement et comme corollaires immédiats toutes les propriétés particulières des » figures. » Or ces conditions ne peuvent être remplies que par un système de coordonnées qui offre lui-môme la plus grande indépendance possible, soit quant à la situation des parties, soit quant à leur grandeur; en sorte, par exemple, que le simple déplacement de ce système ne puisse aucunement modifier l'équation qui représente la courbe, non-seulement quant à la forme générale, mais aussi quant aux constantes ou coefficients qui y entrent : on peut même dire, en généralisant davantage encore, que la question est de trouver un système de coordonnées qui délivre l'équation de la courbe de toute espèce de constante explicite. En effet, cette équation fera découvrir les propriétés les plus universelles de toutes les courbes du même genre, sans égard à l'espèce particulière et à la grandeur des figures, c'est-à-dire ce que j'ai nommé ailleurs leurs propriétés projectives.

Le système de coordonnées rectangulaires ne remplit qu'en partie ces conditions, puisque le changement d'axe, s'il ne modifie pas essentiellement la forme générale, le degré des équations des lignes, entraîne au moins la variation des constantes ou des coefficients.

Ainsi, comme l'observe Carnot [Géométrie de position, p. 474 )> « la propriété » connue des cordes qui se .coupent dans le cercle présente la nature de celle » courbe sous un point de vue plus général que son équation à l'égard des axes » coordonnés, » car cette propriété est même indépendante du paramètre ou rayon. Par la même raison, la propriété due à Newton, sur les abscisses naturelles et les appliquées parallèles des courbes, est plus générale que celle qui définit ces courbes par les abscisses et ordonnées ordinaires; car elle ne dépend pas comme

celle-ci de la position particulière de l'origine des coordonnées, quoiqu'elle contienne encore la condition du parallélisme ou de la constance des angles formés par les appliquées avec l'axe des abscisses. Enfin, suivant notre illustre auteur, la relation découverte par lui entre les différents segments formés par une courbe géométrique quelconque prise pour transversale, sur les côtés d'un triangle ou d'un polygone tracé arbitrairement dans le plan de cette courbe, cette relation, disons-nous, entièrement indépendante de toutes grandeurs constantes autres que celles de la courbe, exprime les propriétés et la nature de celle-ci d'une manière plus générale et plus simple encore que la précédente entre les appliquées et les abscisses naturelles.

D'après ces réflexions de Carnot, qui se rapprochent ici beaucoup des nôtres, n'a-t-on pas lieu d'être surpris de le voir ensuite (n°*431 et 432) en abandonner les conséquences pour proposer comme plus général et plus élégant le système de coordonnées mentionné d'abord, attendu qu'il ne concerne aucune grandeur étrangère à la nature de la courbe, aucun axe, aucun point fixe auxiliaire pris pour termes de comparaison? Les segments formés par les intersections d'une courbe avec des transversales droites arbitraires sont-ils donc des grandeurs plus étrangères à la nature de cette courbe que son rayon de courbure, son arc ou ses diamètres de sections coniques osculatrices, etc.? Ces segments ne sont-ils pas tout à fait indépendants de toute origine, de tout axe fixe dans la relation qui les lie entre eux, puisque les transversales sont entièrement arbitraires? Enfin quoi de plus général que celle relation elle-même, qui appartenant à la fois à toutes les courbes, ne dépend explicitement d'aucune grandeur absolue et particulière de ces courbes ou des objets auxquels on les rapporte. D'ailleurs, quelles que soient les coordonnées qu'on emploie pour définir les courbes, elles seront d'autant plus avantageuses qu'elles seront plus simples, plus faciles à comparer et à construire; et, comme la ligne droite entre comme élément nécessaire dans toutes les considérations qui ont pour objet la mesure ou les propriétés de situation des lignes, il semble qu'on doit accorder la préférence à la propriété des transversales comme définition générale de ces lignes, d'autant plus que cette propriété s'étend facilement à un nombre quelconque de transversales, ainsi qu'à des surfaces et à des courbes quelconques considérées dans l'espace.

Note de i865. — Ce préambule historique était suivi, dans le manuscrit de 1822-1823, de diverses considérations concernant l'application du théorème fondamental de Carnot aux lignes ou surfaces géométriques et à la remarquable correspondance qu'il indique entre les propriétés de ces lignes, ou surfaces avec celles des systèmes de droites et de plans quelconques. Mais ces considérations se trouvant reproduites avec des développements, dans la Section III de ce volume, il serait fort inutile de les rapporter ici.

RECHERCHE DU CERCLE OSCULATEUR d'uNE COURBE A DOUBLE COURBURE EN l'uN QUELCONQUE