DE SES POINTS

(Extrait des anciennes Annales de Mathématiques, t. XV, p. 245, février iSaS.)

cr Dans le VIP volume des Annales (p. i8), M. Dupin a donné un procédé assez » simple pour obtenir le cercle osculateur d'une courbe à double courbure dont on » a les projections orthogonales sur deux plans quelconques. Ce procédé consiste » proprement à rechercher deux sections coniques osculalrices des projections » qui soient telles, que les cylindres projetants qui leur répondent s'entrecoupent, » dans l'espace, suivant une autre osculalrice plane. La méthode donnée par M. Ha- » chelte, dans le Bulletin de la Société Philomathique (année r8i6, p. 88), semble » beaucoup plus compliquée, puisqu'elle est fondée sur l'emploi des surfaces gau- » ches. On sait d'ailleurs qu'elle a pour principe le beau théorème dû à Meusnier » sur les rayons de courbure des sections obliques.

» En combinant ce théorème avec celui de M. Dupin, sur l'indicatrice de la » courbure des surfaces (*), nous sommes parvenu à une troisième solution du » problème qui nous paraît nouvelle , et qui, si nous ne nous trompons, sera jugée » beaucoup plus simple encore que les deux que nous venons de rappeler. Voici » en quoi elle consiste.

» On sait que l'indicatrice de la courbure, pour l'un des points d'une surface » cylindrique quelconque, se réduit à deux droites parallèles aux génératrices, » situées dans le plan tangent en ce point et symétriquement placées par rapport » à celle de ces génératrices qui passe par ce même point, qui d'ailleurs doit être » considéré comme centre de ces deux droites. On sait aussi que toute section » normale aux génératrices d'un cylindre est nécessairement une section de » moindre courbure; de sorte que, pour le point dont il s'agit, la génératrice et sa » perpendiculaire dans le plan langent sont les directions de plus grande et de » moindre courbure de la surface cylindrique. On sait enfin que les rayons de » courbure des diverses sections normales, en un même point, sont proportionnels » aux carrés des diamètres correspondants de l'indicatrice relative à ce point; » lesquels diamètres sont ici des droites terminées aux deux parallèles dont il vient » d'être question ci-dessus, et passant par le point dont il s'agit.

» Il résulte de là que si, pour un quelconque des points de la surface d'un cy- » lindre, on connaissait le rayon de courbure de la section normale aux généra- » trices, on obtiendrait, par une construction très-simple, le rayon de courbure » d'une autre section normale quelconque, passant par le même point, et dont la » direction serait donnée par une droite tracée dans le plan langent en ce point;

(•) Voyez Annales, t. IX, p. 176 et 179.

» car il serait une quatrième proportionnelle au rayon donné et aux carrés des » droites ou diamètres qui correspondent respectivement aux deux rayons dans » l'indicatrice.

» Cela posé, ayant une courbe à double courbure quelconque, donnée dans l'es- » pace par ses projections orthogonales sur deux plans, on aura, par là même, » deux cylindres renfermant à la fois cette courbe et dont les rayons de moindre B courbure, en chaque point, seront égaux et parallèles aux rayons de courbure » des points correspondants de leurs bases respectives, c'est-à-dire des deux pro- » jections de la courbe à double courbure dont il s'agit, rayons qui sont censés » connus dans le problème proposé (*); donc, pour l'un quelconque des points de » l'intersection des cylindres projetants, on aura à la fois les rayons de courbure des » deux sections normales faites suivant la tangente commune en ce point.

» Or, de là on déduira aisément le rayon de courbure de la courbe même d'inler- » section, ainsi- que le plan osculateur de celte courbe au point donné, attendu » que le cercle osculateur correspondant doit être commun aux sections obliques » faites par ce plan dans les deux cylindres proposés. En effet, il résulte du » théorème de Meusnier que le plan osculateur dont il s'agit sera perpendiculaire » à la droite qui joint les centres de courbure des deux sections normales respec- » tives faites suivant la tangente commune aux deux cylindres qui répond au point » donné sur leur courbe d'intersection, et de plus coupera cette même droite des » centres de courbure en un point qui sera le centre osculateur demandé.

» Ainsi, la solution du problème que nous nous sommes proposé se réduit pro- » prement à ce qui suit : i° déterminer, pour le point donné sur la courbe, les » rayons de courbure de ses projections orthogonales sur deux plans quelconques; » 2" à l'aide de ces rayons, qui sont respectivement égaux et parallèles aux rayons » de moindre courbure des cylindres projetants, relatifs au point donné, déter- » miner les rayons ou centres de courbure des sections normales qui correspon- » dent, dans les deux cylindres, à la tangente en ce même point ; 3° enfin, joindre » les centres dont il s'agit par une droite, et conduire par la tangente un plan qui » soit perpendiculaire à celte droite, et qui la coupera au centre de courbure » demandé.

» On déduit facilement de celte construction une expression très-simple du » rayon de courbure d'une courbe, soit plane, soit à double courbure, située d'une » manière quelconque dans l'espace, en fonction des rayons de courbure des » points correspondants des projections orthogonales de celte courbe sur deux » plans arbitraires.

» Soient, en effet, R elR' les rayons de courbure des deux projections, pour les » points de ces projections qui répondent à celui de la courbe duquel on cherche » le rayon de courbure. Soient, en outre, a et a' les angles que forme la tangente » en ce point avec ses projections respectives sur les deux plans. Soient enfin r et » r' les rayons de courbure des sections normales des deux cylindres projetants.

(*) Sur la détermination de ces rayons, voyez Annales, t. XI, p. 36i, et t. XII, p. i'35 et 187.

» faites suivant celle langenle ; on aura, d'après les propriétés de l'indicatrice rap- » pelées ci-dessus,

cos^a cos^a'

» Cela posé, si l'on nomme d la dislance entre les centres de courbure des sec-

» lions normales qui ont r et r' pour rayons de courbure, N l'angle formé par ces

» rayons ou les normales au point donné de l'intersection commune des deux

)) cylindres, enfm a et a! les angles compris entre les directions de ces normales

» respectives et le rayon de courbure cherché; en représentant ce dernier par p,

» on aura également, par ce qui précède, dans les triangles formés par ces diverses

» droites,

j2^2|^/2 — arr'cosN,

pz=:rcosa, p = r'cosa',

pc^=rr' sinN;

» d'où l'on tirera

r — r'cosN Rcos^rt' — Rcos^'cfcosN

tanga = ; — ; — ^i?— =^ ht , , . — ït 5

*= r'smN R'cos'a'smN

r' — rcosN R'cos'« — Rcos'a'cosN

lang a'= r-vj — = 5 :, — r-^ir? 5

^ rsmN Rc'OS^asmN

» et par suite,

RR' sin N

y/R^ cos^a' + R"cos^a — 2RR' cos'« cos' a' cos N

» Il serait facile, au surplus, d'arriver directement à ce résultat par la théorie » ordinaire des coordonnées dans l'espace. »