ANALYSE DU MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES POLAIRES RÉCIPROQUES

[Extrait d'une Lettre en date du 10 décembre 1826, adressée au rédacteur des anciennes -<^«/?a/e* , de Mathématiques, et publiée partiellement dans le tome XVII, p. 266 (mars 1827), et t. XVIII, p. 142 et 145 (novembre 1827)].

Le Mémoire dont M. Arago a bien voulu. Monsieur, vous entretenir lors de son passage à Montpellier, a pour objet la Théorie générale des polaires réciproques, et fait suite au Mémoire sur la théorie des centres de moyennes harmoniques, dont vous avez inséré le Rapport fait à l'Institut par M. Cauchy, dans votre cahier du mois de mai dernier. C'est précisément le Mémoire dont j'ai eu l'honneur de vous parler dans ma dernière lettre à l'occasion du principe de dualité que vous avez mis en avant et développé d'une manière très-philosophique à la page 209 du tome XVP des Annales de Mathématiques. Il se trouve en effet que le Mémoire sur la théorie des polaires réciproques que j'ai présenté à l'Académie royale des Sciences le, 12 juin 1824, et sur lequel j'ai lu une Notice fort étendue en présence

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. SaS

des membres de celle société célèbre, n'a d'autre objet que de démontrer dans toute sa généralité cette double existence, si je puis m'exprimer ainsi, des relations soit métriques, soit descriptives qui appartiennent aux figures projectives du plan ou de l'espace, et que j'avais déjà fortement recommandé, pour ce qui concerne les relations descriptives, à l'attention des géomètres, soit dans votre recueil, soit dans le Traité des Propriétés projectives que j'ai fait paraître en 1822 (*). Dans un article du Bulletin des Sciences mathématiques de M. le baron de Férussac (n° 2), février 1826, p. 112 et suiv., où l'on rend compte, Monsieur, de vos vues sur ce sujet sans mentionner mes propres recherches antérieures de quelques années et d'ailleurs plus étendues, puisqu'elles embrassent les lignes et surfaces ainsi que les relations métriques; dans cet article, dis-je, on a avancé que « si la » théorie des pôles et polaires a mis en évidence cette sorte de dualité d'une partie » notable de la Géométrie, ce n'est certainement pas en vertu de cette théorie » qu'elle a lieu, mais bien en vertu de la nature même de l'étendue; » ce qui revient à dire, ce me semble, qu'un théorème quelconque préexiste à sa démonstration, ou plutôt existe indépendamment du principe qui y a conduit : or cela ne prouve nullement que l'on y fût arrivé sans ce principe, ni qu'il y eût aucune difficulté à l'établir et à le signaler. Il est même très-peu philosophique de prétendre que certaines analogies de propriétés soient étrangères aux théories qui y ont conduit; car les mots analogie, corrélation, dualité sont en eux-mêmes vides de sens si l'on ne spécifie les caractères par lesquels on les définit rigoureusement : par exemple, c'est ce que fait la théorie des projections centrales, le principe de continuité, enfin la théorie des polaires réciproques, qui, par là même, sont seules aptes à justifier et à faire découvrir les propriétés, les relations qui, selon la définition admise, répondent à des relations, à des propriétés déjà connues. Voilà pourquoi aussi l'on ne saurait dire qu'il n'y a simplement que dualité entre certaines propriétés des figures, et il serait facile au contraire de prouver qu'il y a souvent aussi trialité.

Quant à ce que l'on a dit, au même endroit [du Bulletin des Sciences^ sur l'indépendance de ces propriétés, qui vont par couple, de toute espèce de calculs, il me semble que j'ai fait dans le Traité des Propriétés projectives assez d'efforts pour la mettre hors de doute et que je n'ai point été sans obtenir quelque succès (**). Je ne puis pas même admettre avec M. Sarrus [Annales de Mathématiques, t. XVI, p. 378) que les géomètres de l'école de Monge ne soient pas encore parvenus à démontrer, sans calculs, les propriétés des axes, des plans et des centres radicaux des cercles et des sphères, supposé toutefois que l'on ne tienne pas à la définition

(*) Voyez Annales de Mathématiques^ t. VIII, janvier 181 8, p. 201. — Traité des Propriétés projectives des figures, n"' 235, -400, 406, 407, etc. — Supplément du même Traité, n°592, etc.

( ** ) Consultez particulièrement, pour le cas des figures comprises dans un plan, les n"' 293, 294, 29S, 300, 301. 302 et suiv., relatifs aux sections coniques, etc., ainsi que les n"' 247, 248, 281, 282 et suiv., relatifs aux cercles en particulier et aux droites qui leur appartiennent; consultez pareillement, pour le cas des figures dans l'espace, les n°' 577, 578, 583, 589, ainsi que la plupart de ceux qui les suivent dans l'ouvrage jusqu'à la fin.

primitive de ces mois ; et pour le convaincre qu'il s'est totalement trompé à cet égard, il me suffirait de le renvoyer à l'ouvrage déjà souvent cité, ainsi qu'à ceux de Monge, de Dupin, etc. ( * ). Enfin j'ai peine à comprendre pourquoi quelques géomètres, tout en rendant justice à ce qu'ils appellent Véco/e de Monge, montrent une telle répugnance à en adopter les méthodes, qu'ils se croient obligés de refaire la démonstration des théorèmes qu'elles ont servi à découvrir et à établir. Sans contester d'ailleurs le mérite réel de ces nouvelles démonstrations, je me permettrai cependant de faire observer qu'elles conduisent rarement à quelque chose de neuf, et sont circonscrites dans des limites fort étroites, tandis que les méthodes en question, qui ne sont actuellement un mystère pour personne, offrent, comme vous l'avez vous-même remarqué, Monsieur, des moyens larges et puissants de démontrer et de découvrir en Géométrie. Au surplus, ces reproches ne s'adressent qu'à un petit nombre d'écrits géométriques de notre époque, et, je dois me hâter de le dire, ils ne sauraient concerner ceux du savant rédacteur des Annales de Mathématiques, qui a suffisamment prouvé dans divers endroits de son recueil, que non-seulement il avait goûté ces méthodes, mais encore qu'il savait les appliquer heureusement à la recherche de vérités nouvelles et utiles.

Je reviens au Mémoire sur la Théorie des polaires réciproques, dont vous me demandez l'analyse (**).

J'ai avancé et prouvé, ce me semble, par un nombre suffisant d'exemples, soit aux endroits cités des Annales de Mathématiques, soit dans le Traité des Propriétés projectiles de 1822, qu'il n'existe pour ainsi dire aucune relation descriptive et suffisamment générale d'une figure donnée sur un plan ou dans l'espace, qui n'ait son analogue, ou plutôt sa réciproque, dans une autre figure tout aussi générale que la première, et cela en vertu même de la théorie des polaires réciproques ; mais je n'avais fait qu'indiquer à la hâte les principes de cette théorie pour le cas de l'espace, et surtout j'avais totalement négligé ce qui concerne les relations métriques d'angles et de distances, sur lesquelles jusqu'ici il n'existe rien nulle part. Cette nouvelle extension étant indispensable à l'objet des recherches que j'ai depuis longtemps entreprises sur les propriétés des courbes et des surfaces d'un ordre quelconque, j'ai jugé à propos d'en faire le sujet d'un Mémoire spécial, qui, avec celui sur les centres de moyennes harmoniques, pût servir d'introduction à mes recherches subséquentes.

Le but principal que je me propose dans ce Mémoire est d'examiner quelle espèce de modification éprouvent une figure donnée et les relations qui lui appartiennent lorsque l'on passe à celle qui en est la polaire réciproque, et vice versa, de façon à réduire en quelque sorte à un pur mécanisme, à une simple substitution de mots et de lettres mis à la place les uns des autres, la traduction de toutes les affections, de toutes les propriétés tant soit peu générales qui concernent une figure donnée et sa réciproque; enfin, de montrer comment on peut, au simple

(*) Voyez le numéro de mars des Annales de Mathématiques, t. VIII.

(**) C'est cette analyse qui a paru tardivement dans les Annules de Mathématiques, numéro de mars 1827, p. 265.

énoncé d'une proposition qui se rapporte soit aux relations projectives en général, soit aux relations d'angles des figures situées dans un plan ou dans l'espace, comment on peut, dis-je, obtenir sur-le-champ et sans recourir à aucun calcul ou raisonnement, une, deux ou trois autres propositions tout à fait distinctes de la première et néanmoins tout aussi générales.

Ce Mémoire est divisé en quatre parties. Dans la première, j'expose la théorie des polaires réciproques pour le cas du plan; je reviens ainsi, mais avec plus d'extension, sur les principes que j'avais déjà mis en avant ailleurs, en insistant plus particulièrement sur les relations de réciprocité qui concernent les figures polygonales et les lignes courbes; la discussion complète des affections qui surviennent dans le cours d'une ligne quelconque, et qui constituent ce que Ton nomme les points singuliers, met en état d'assigner le degré véritable des polaires réciproques de courbes données dans chaque cas particulier.

La seconde partie du Mémoire est relative aux figures dans l'espace; j'y établis les relations de réciprocité qui existent entre les polygones gauches et les polyèdres indéfmis, et entre les polyèdres définis ordinaires qui sont polaires par rapport à une surface du second degré quelconque; je montre ainsi l'emploi de ces principes pour la démonstration des propriétés les plus générales des polyèdres, etc. Ces notions préliminaires me conduisent directement par l'application de la loi de continuité aux relations de réciprocité entre les courbes à double courbure et les surfaces développables, ainsi qu'entre les surfaces quelconques; en un mot, je généralise ici, pour le cas de l'espace, tous les principes de la première partie relatifs aux figures comprises dans un seul plan, ce qui permet de traduire sur-lechamp toute relation descriptive donnée en une autre essentiellement distincte, pourvu toutefois qu'il ne s'agisse que de relations et de figures projectives; on peut même, à l'aide de ces principes, transporter à l'espace toute relation pareille qui n'aurait été établie que pour les figures comprises dans un seul plan. En les appliquant en particulier aux surfaces du second degré, ils conduisent à un grand nombre de nouveaux théorèmes, dont quelques-uns ont été indiqués dans le Supplément du Traité des Propriétés projectives, n°^ 592 et 610. Par exemple, j'ai fait voir, n° 636, comment les nombreuses propriétés des systèmes de sphères qui, par leur généralité, appartiennent à la classe de celles qui nous occupent, comment, dis-je, ces nombreuses propriétés pouvaient s'étendre immédiatement aux systèmes de surfaces quelconques du second degré qui ont un plan de section commune réelle ou idéale ; or, de là on est conduit par les principes de la théorie des polaires réciproques aux propriétés générales qui appartiennent aux systèmes de surfaces du second degré inscrites à un même cône, à deux cônes, ou à une autre surface du second degré quelconque.

Pour ne pas rester dans des généralités trop vagues, j'ai rapporté dans mon Mémoire quelques-unes des propriétés d'un système de surfaces du second degré ayant huit points communs ou la même courbe d'intersection, et j'en ai déduit sans discussion les propriétés réciproques des surfaces du second degré qui ont huit plans tangents communs, ou qui sont inscrites à une même surface développable : il en résulte, par exemple, que les centres de toutes ces surfaces sont situés sur une même

ligne droite dans l'un ou l'autre système. Je montre pareillement encore comment on peut passer directement des propriétés qui appartiennent à la courbe d'intersection de deux surfaces du second degré quelconques, et qui ont été démontrées n"* 611 et suiv. de l'ouvrage cité, à celles qui concernent la surface développable circonscrite à deux surfaces du second degré également quelconques. La courbe de contact de cette développable n'est autre chose, comme on sait, que celle qui sert de limite à l'ombre et à la pénombre de l'une des surfaces du second degré lorsqu'on suppose l'autre lumineuse; or, je démontre : i° que cette courbe est du quatrième degré ; 2° que les nappes de la développable portent généralement quatre lignes de striction qui sont planes et du second degré ; 3° que les plans de ces quatre sections coniques forment par leurs rencontres mutuelles un tétraèdre dont chaque sommet est respectivement , et pour chacune des surfaces du second degré proposées, le pôle de la face opposée ; 4° enfin que ces mêmes quatre sommets du tétraèdre sont aussi ceux des quatre cônes du second degré qui contiennent les branches d'intersection des deux surfaces que l'on considère.

Ces considérations conduisent d'ailleurs à une solution géométrique très-simple du problème intéressant et quelquefois traité à l'École Polytechnique, où il s'agit de construire la courbe de séparation d'ombre et de lumière pour le cas des surfaces du second degré.

Jusqu'à présent il n'a encore été question que des relations descriptives des figures; dans la troisième partie du Mémoire, j'examine les moyens de traduire, à l'aide de la théorie des polaires réciproques, les relations d'angles en d'autres relations pareilles. 11 me serait impossible d'indiquer, même sommairement, l'esprit de la méthode que j'emploie : je me contenterai, comme précédemment, d'en citer quelques-unes des conséquences. Par exemple, je prouve de suite que les théorèmes des n°^ 452, 481, 487 du Traité des Propriétés projectives sont les réciproques de ceux qui ont été énoncés n°* 482 et 488; je montre pareillement comment on peut traduire la construction des sections coniques au moyen d'angles constants donnée par Newton, et en général toutes celles de la Géométrie organique de Mac-Laurin, en d'autres absolument analogues quoique néanmoins bien différentes. Pour le cas de l'espace, je fais voir que les propriétés de la pyramide supplémentaire sont des conséquences immédiates de la théorie des polaires réciproques; en appliquant les principes de cette même théorie à la proposition de Monge relative au lieu sphérique des sommets d'angles Irièdres tri-rectangles circonscrits à une surface du second degré, on en conclut pareillement que, si un tel angle se meut autour d'un point quelconque de l'espace pris pour sommet invariable , les plans qui renferment constamment trois des points d'intersection de ses arêtes avec une surface donnée du second degré demeurent perpétuellement circonscrits à une autre surface de ce degré, unique, de révolution, qui a pour foyer général le sommet invariable des angles, et qui se réduit à un point quand le sommet est pris sur la surface directrice : comme l'a démontré M. Frégier pour ce cas qui répond d'ailleurs à celui du théorème de Monge dans lequel la surface enveloppe des angles est un des paraboloïdes, la sphère décrite par le sommet de ces angles se réduisant à un plan. On peut faire subir une transformation analogue aux théorèmes de

MM. Hachette et Binet (t. II de la Correspondance de l'École Polytechnique, p. 71), relatifs aux angles dièdres rectangulaires qui s'appuient sur deux droites données dans l'espace, et en général à toutes les propositions analogues concernant les angles, ce qui permet dès à présent d'en doubler le nombre. On remarquera d'ailleurs que nos principes s'appliquent au cas où les angles sont variables ou donnés par leurs lignes trigonomélriques.

Enfin je crois devoir encore signaler l'application que j'ai faite de la théorie des polaires réciproques aux propriétés des sections coniques ou des surfaces du second degré de révolution qui ont un foyer commun ou sont confocales. J'établis sans discussion, d'une part, que les propriétés descriptives, de l'autre que les propriétés d'angles d'un tel système, sont les réciproques de cefles qui appartiennent à un système de cercles quelconques tracés sur un môme plan, ou de sphères également quelconques situées arbitrairement dans l'espace. Si maintenant on joint à ces propositions générales celles que j'ai déduites des principes posés dans le Traité des Propriétés projectiles (t. P"", Sect. IV, chap. I"), consistant en ce qu'un système de lignes ou de surfaces du second degré qui ont un foyer commun peuvent être considérées comme la perspective plane ou relief [*) les unes des autres ; si, en outre, on substitue à quelqu'une de ces lignes ou surfaces un cercle ou une sphère, il en résultera une foule de propositions et de rapprochements très-curieux relativement au foyer commun des lignes ou surfaces du second degré, dont quelques-uns ont servi à M. Dupin, dans ses Applications de Géométrie, pour établir la théorie des faisceaux lumineux réfléchis à leur rencontre avec une surface quelconque.

La quatrième et dernière partie est relative aux principes à l'aide desquels on peut traduire une relation métrique donnée, de la nature de celles que j'ai considérées dans le Traité des Propriétés projectiles, en une ou deux autres qui appartiennent à la figure réciproque de la proposée; cette dernière partie du Mémoire offre donc les moyens de traduire sur-le-champ toutes les propriétés métriques de la théorie des transversales en d'autres tout à fait distinctes. Celte traduction s'opère d'ailleurs d'une manière très-facile par une simple substitution de lettres.

Par exemple, on sait que si une section conique quelconque est coupée par les côtés prolongés d'un triangle abc tracé à volonté sur son plan, on a, en nommant p,p' les intersections de a 6 avec cette courbe, q et q' celles de bc, r et r' enfin celles de ac,

ap'.ap' . bq.bq' . cr.cr' = bp.bp' . cq.cq' . ar.ar'.

Or, si l'on applique à celte propriété les principes du Mémoire, on arrive à cet autre énoncé :

« Si, des sommets d'un triangle ABC, situé sur le plan d'une section conique, » on mène à la courbe trois couples de tangentes, puis qu'ayant coupé par une » droite arbitraire le système de ces six tangentes et des côtés prolongés du » triangle, on nomme a, 6, c ses intersections respectives avec les côtés opposés

{*) Nous renverrons aux n"' 297, 300, 57G et suiv. du Traité des Propriétés projcctives (t. I"), pour l'intelligence de ces expressions, qui reviennent d'ailleurs à ce que nous avons nommé également Vhomologic des figures.

33o PROPRIÉTÉS PROJEGTIVES DES FIGURES.

» aux sommets A, B, G; /> el p' ses intersections avec les tangentes issues de C; )) q et q' ses intersections avec les tangentes issues de A; r et r', etc., on aura, » entre les divers segments formés sur la transversale, la nouvelle relation

ap . ap' . hq . bq' . cr.cr' = hp . hp' . cq . cq' . ar. ar' ,

» analogue à la première, quoique bien distincte dans le fond. »

Les principes posés dans le Mémoire permettent également de traduire la relation primitive en une autre relation entre les lignes trigonométriques des angles formés par les droites de la dérivée; enfin ils donnent des moyens pour traduire immédiatement cette même relation en d'autres qui appartiennent à des figures situées dans l'espace el dans lesquelles les angles dièdres remplacent les angles plans, etc. Le Mémoire est terminé par quelques applications de la théorie des polaires réciproques aux propriétés métriques des courbes à double courbure el des surfaces géométriques quelconques, ainsi que par l'exposé de la méthode très-simple à l'aide de laquelle on peut transformer toute propriété qui se rapporte à celles que j'ai nommées ailleurs projectives en plusieurs autres très-différentes de la première et non moins générales. La conclusion de ce travail est donc que les principes qu'il contient mettent en étal de doubler et de tripler même le nombre des propositions dont il s'agit, ainsi que celles qui concernent les angles des figures, ce qui comprend toutes celles de la théorie des transversales, de la Géométrie de la règle, el une infinité d'autres plus générales encore.

Permettez-moi, Monsieur, de profiler de l'occasion de cette Notice pour vous adresser quelques réclamations relatives à des articles insérés récemment dans les Annales de Mathématiques, el dont il a été rendu compte dans divers numéros du Bulletin des Sciences mathématiques.

M. le docteur Plucker a donné, t. .XVII, p. 87 et 69 des Annales, divers problèmes et théorèmes sur les contacts des sections coniques fort intéressants en eux-mêmes, mais dont, ce me semble, il aurait dû citer plus scrupuleusement les auteurs : par exemple, le théorème énoncé au bas de la page 71 et la construction qui en dérive pour le cercle osculaleur des sections coniques, sont, si je ne me trompe, bien les mêmes que le théorème du n° 336, p. 180 du Traité des Propriétés projectives, et que la solution donnée au n'' 405, p. 224 et 225 de cet ouvfage; le théorème du n" 404, dont elle a été déduite, est même plus général que celui de M. Plucker, quoiqu'il soit encore un cas particulier de l'énoncé du n° 403 qui, en observant {voyez n" 184 et la fin des n°^ 490 el 407 bis) que le système de deux droites peut être considéré comme une section conique, comprend aussi les problèmes et les théorèmes fondamentaux du Mémoire à deux colonnes, inséré à la page 87 du tome cité des Annales. Que l'on compare également les autres théorèmes de ce Mémoire et les solutions de problèmes qu'il renferme sur les contacts des sections coniques avec ce qui en a été dit du n" 297 au n° 326 du Traité des Propriétés projectives, et spécialement du n° 318 au n° 326; que l'on compare enfin les Jîg. 41, 4^ 6t 43 de cet ouvrage, qui sont relatives à des exemples particuliers, avec celles qui ré-

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 33i

sultent de plusieurs des énoncés de M. Plucker, el l'on trouvera que ce géomètre n'a pas dû éprouver beaucoup de difficultés à refaire, en parlant des belles propriétés de Pascal et de Brianchon sur les hexagones inscrits et circonscrits aux coniques, les démonstrations des théorèmes el des problèmes contenus dans son Mémoire sur le contact de ces courbes. Je dirai même plus, c'est que les endroits cités du Traité des Propriétés projectiles, malgré leur laconisme, indiquent des solutions plus générales, plus directes et plus complètes des problèmes en question, puisqu'elles permettent de trouver, au moyen de la section conique donnée, tout ce qui appartient à celle qu'on cherche: par exemple, son centre, ses axes et diamètres, ses intersections avec une droite donnée, ses tangentes partant d'un point également donné, etc. (n°* 302 et suiv., 328 et suiv. de cet ouvrage, t. I").

M. le docteur Plucker a bien voulu rappeler, dans une note de la page 52 de son Mémoire, que j'avais énoncé (t. VIII des Annales de Mathématiques) la construction de la section conique osculatrice du second or^re en un point donné d'une autre section conique; je crois à propos de remarquer que cette construction est uniquement relative au contact du troisième ordre, et qu'elle a été justifiée complètement, ainsi que beaucoup d'autres analogues, dans les endroits cités du Traité des Propriétés projectives, que M. Plucker connaît sans doute et qu'il aurait pu citer comme il l'a fait à l'occasion de la construction particulière dont il s'agit. Il me semble d'ailleurs que s'il est louable de développer dans des articles spéciaux les théories qui n'ont pu l'être en détail dans les ouvrages qui embrassent un grand nombre de sujets divers, on n'est pas pour cela dispensé, en aucune manière, d'indiquer les sources auxquelles on a puisé ses principaux résultats ; il ne suffit même pas de dire en termes généraux, comme le fait M. Plucker, que les questions dont on s'occupe ont fait le sujet des recherches de tel ou tel auteur, il convient encore de dire qu'elles nous ont été utiles. Quant à l'usage de mettre en deux colonnes les propositions de Géométrie de la règle, il me semble que c'est un double emploi très-pénible, peu motivé quant aux démonstrations, et qu'il suffira toujours d'indiquer, d'après les principes de la théorie des polaires réciproques, la manière directe de conclure les unes de ces propositions des autres déjà démontrées; du moins ne saurait-on arguer de ce que je n'ai pas employé un tel mode de rédaction dans le Traité des Propriétés projectives, que je n'ai point établi ni justifié les propositions réciproques qui dérivent aussi immédiatement des principes que j'ai posés dans cet ouvrage et que j'y ai rappelés dans tant de circonstances différentes.

J'aurais, Monsieur, plusieurs autres réclamations à vous adresser pour mon propre compte, mais elles trouveront naturellement leur place ailleurs, et la lâche deviendra alors pour moi moins délicate el moins pénible. Permettez-moi, au surplus, d'espérer que la Notice qui précède et les réflexions qui l'accompagnent pourront trouver place dans votre savant recueil, et que vous ne les considérerez pas comme entièrement dénuées d'intérêt pour vos lecteurs.

Agréez, etc.

Metz, le 10 décembre 1826.

Note de i865. — On trouvera dans le paragraphe II ci-après, un extrait des discussions auxquelles cette lettre a donné lieu.

NOTE SUR QUELQUES PRINCIPES GÉNÉRAUX DE TRANSFORMATION DES RELATIONS MÉTRIQUES