AB = AB, A'B'=A'B'.2|..^, A"B" = A"B

» et substituant ces expressions à la place de AB, A'B', A"B",. . . dans la relation » proposée.

» En effet, si l'on fait la projection centrale de la figure à partir d'un point quel- » conque S de l'espace, puis qu'on remplace, dans les seconds membres des iden- » lités ci-dessus, les valeurs des dislances qui y entrent en fonction des sinus des » angles projetants de ces distances, etc., conformément encore à ce qui a été indi- » que précédemment (II), il est clair que les résultats ne contiendront plus, comme » facteurs ou diviseurs, que les sinus dont il s'agit et le quotient du produit des » projetantes SA, SB par la perpendiculaire abaissée de S sur AB. Ce quotient dis- » paraîtra donc comme multiplicateur commun à tous les termes de la transformée » qu'on obtient en substituant les valeurs générales ci-dessus de AB, A'B', A"B",. . . » dans la relation primitive, et la réduite sera ainsi purement fonction des sinus des » angles projetants des différentes distances qui entrent dans cette transformée; » ce qui est le caractère des relations projectives qui nous occupent.

» Les mêmes choses s'aperçoivent plus directement encore en observant que, si » l'on réduit au même dénominateur tous les termes de la transformée dont il » s'agit, ces termes se trouveront composés des mêmes lettres et de facteurs » linéaires appartenant aux mêmes droites, chacun à chacun.

» En insistant sur ces transformations, notre objet est d'en bien faire saisir l'es- » prit et d'en montrer la variété. Mais, attendu cette variété même et l'arbitraire » qui règne dans le choix des moyens auxiliaires à employer pour chaque cas, il » est clair qu'on sera conduit, par nos procédés, à un grand nombre de propriétés » ou de relations générales et nouvelles des figures, parmi lesquelles il conviendra » surtout de choisir celles qui offrent le plus de symétrie, d'élégance ou de simpli- » cité; ce qui exigera qu'on mette à profit, avec adresse, la disposition particulière » des points et des lignes de la figure primitive.

B Ainsi, par exemple, dans la dernière des transformations générales qui viennent » de nous occuper, si deux systèmes différents de distances parallèles entrent dans » la relation primitive et se trouvent avoir des extrémités communes, il conviendra » évidemment de faire passer de préférence, par ces extrémités, les droites auxi- » liaires AA', AA", etc.; car, par là, on diminuera nécessairement le nombre de ces » droites et des facteurs infinis qui s'y rapportent, facteurs qui pourront même » disparaître totalement dans certains cas de la relation définitive, ce qui la réduira » à un degré de simplicité plus grand encore.

» V, Transformation des relations descriptives et des relations métriques entre » les aires. — En opérant les diverses transformations qui précèdent, on devra se

Ho PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

» servir, pour ce qui concerne la traduction des relations purement descriptives de » la figure proposée, des principes qui se trouvent exposés, tant dans la Section I » que dans le Supplément du Traité des Propriétés projectives (t. I") : notamment » on devra se ressouvenir que, dans le passage de celte figure à la figure générale » qui en est la projection conique, soit linéaire, soit plane, soit en relief, tous les » points à l'infini de la première se trouvent remplacés dans celle-ci par d'autres » points à distance donnée, situés sur line même droite si les proposés sont com- » pris dans un même plan, ou sur un plan unique s'ils sont arbitrairement distri- » bues dans l'espace.

» Quant au cas où la relation primitive contiendrait, comme facteurs de ses dif- » férents termes, des aires planes quelconques, il nous suffira de montrer d'une » manière générale comment on peut leur appliquer des transformations analo- » gués à celles qui viennent de nous occuper relativement aux simples facteurs n linéaires.

» D'abord je remarque que si, parmi ces facteurs superficiels, il en est qui ap- » partiennent à des quadrilatères, à des pentagones, etc., on pourra toujours les » remplacer par les sommes d'aires triangulaires dans lesquelles ils sont décom- » posables, ce qui, en effectuant les produits, ramènera l'équation à une autre qui » ne contiendra comme facteurs que de simples aires triangulaires, et qui n'en » sera pas moins soumise aux mêmes conditions (I) quant à sa forme générale; en » sorte, par exemple, qu'à chacun des facteurs superficiels ABC de l'un quelconque )) de ses termes, il devra en correspondre d'autres A'B'C, A^B^C", etc., dans les » termes restants qui appartiennent à des plans parallèles. Cela posé, voici en par- » ticulier comment on pourra transformer cette relation, qui est déjà projective » orthogonalement, en une autre qui le soit coniquement.

» D'un point quelconque situé à l'infini dans l'espace, on projettera les triangles » A'B'C, k"W(y',.., sur le plan du triangle ABC; il en résultera de nouveaux » triangles a'b'c', a"h" c" ,. . . donfles aires pourront être substituées à celles des » premiers dans l'équation proposée, puisqu'elles leur seront respectivement » égales. Maintenant, ayant tracé les droites Aa', B6', Ce', Aa", B6", Ce", etc., et » nommant p', q' et r', p", q" et r" , etc., les points situés à l'infini sur ces droites » respectives, on aura identiquement, dans ces suppositions particulières,

» substituant ces expressions dans l'équation proposée, elle se changera en une » autre qui aura lieu de la même manière, pour toutes les projections centrales de » la figure sur un plan quelconque, ou pour ses projections en relief; car on s'as- » sure aisément qu'elle satisfait aux conditions spécialement énoncées dans le n° 45 » du Traité des Propriétés projectives des figures.

» Pour compléter l'objet des considérations qui précèdent, il nous resterait à » exposer une suite d'exemples propres à familiariser le lecteur avec l'emploi de » la méthode, et à en démontrer la bonté et l'importance ; mais ces détails nous » entraîneraient beaucoup trop loin, et seront facilement suppléés par quiconque

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 34i

» est déjà initié aux doctrines de la Géométrie que nous cherchons à faire prévaloir » dans nos écrits. C'est pourquoi, satisfait d'avoir mis chacun sur la voie de dé- » couvertes nouvelles, nous nous contenterons de tirer quelques conséquences » générales des considérations qui viennent de nous occuper.

» VI. Transformation polaire des relations précédentes, et spécialement de leur n transformation parabolique. — Remarquons d'abord que, puisque toute relation » métrique projective orthogonalement, peut être transformée de différentes ma- » nières en une autre qui le soit coniquement, et qui satisfasse notamment aux » conditions indiquées à l'art. II ci-dessus, ces mêmes relations pourront aussi être » converties immédiatement et de plusieurs manières, en d'autres entièrement » distinctes et jouissant du même caractère, au moyen des principes de la théorie » des polaires réciproques qui se trouvent exposés dans les n°* 120 et suivants de » notre Mémoire sur cette théorie. Or, ces dernières relations conduiront, à leur » tour et comme simples corollaires, à une infinité de relations ou de propriétés » particulières relatives au cas où certains points, certaines droites, certains plans » de la figure s'éloignent entièrement à l'infini, et parmi lesquelles se trouvent » comprises toutes les relations ou propriétés qui ont été examinées par M. Chasles, » dans ses deux Mémoires^ déjà cités, sur la transformation parabolique des rela- » tions métriques des figures.

» Pour le prouver, nous considérerons avec ce géomètre, dans l'espace ou sur un » plan, une figure entre les distances de laquelle il y ait une certaine relation mé- » trique telle, qu'en abaissant, des différentes extrémités de ces distances, des plans » perpendiculaires à un axe fixe donné, et par conséquent parallèles entre eux, la » même relation ait lieu entre les distances qui, sur cet axe, peuvent être censées » la projection orthogonale des premières; il est clair qu'on pourra faire subira » cette relation les diverses transformations indiquées dans ce qui précède, et en » vertu desquelles elle devient applicable désormais aux projections coniques les » plus générales de la figure proposée. Passant ensuite, au moyen des principes de » la théorie des polaires réciproques, à la figure inverse de ces projections, dans » lesquelles les points à l'infini de la figure primitive sont remplacés (V) par des » points, à distance donnée, situés sur une même droite ou sur un même plan, on » conclura en particulier, des théorèmes exposés aux n"* 122 et 138 du Mémoire » qui contient cette théorie, que les relations ainsi généralisées ou transformées » ont lieu sans changements quelconques, dans cette dernière figure, quand aux » différentes distances qui entrent dans lesdites relations on substitue les seg- » ments formés, sur une droite ou axe arbitraire, parles intersections de ce même « axe avec les polaires ou plans polaires des extrémités respectives de ces diffé- » rentes distances.

B Maintenant on remarquera que les différents points situés à l'infini dans la » figure primitive sont ici remplacés par des droites ou des plans polaires conver- » géant en un point unique, qui lui-même remplace le lieu de tous les premiers » points, et représente le pôle de ce lieu dans la nouvelle figure réciproque de la » proposée. Supposant donc que l'axe transversal dont il a été question ci-dessus

» soit conduit en particulier, par ce même pôle, dont la position peut d'ailleurs être » censée quelconque puisqu'elle ne dépend que de celle de la directrice des po- » laires, il arrivera que les distances auxiliaires, introduites dans la relation pro- » posée pour la rendre projective coniquement, et qui sont infinies sur la figure » primitive (II et suiv.), il arrivera, dis-je, que ces distances seront représentées, » dans la figure réciproque, par d'autres qui auront pour origine commune le point » de concours ou pôle dont il vient d'être parlé. Supposant en outre que ce pôle, » au lieu d'être pris d'une manière quelconque sur l'axe transversal, y soit censé à » l'infini, de sorte que les droites et plans polaires correspondants deviennent tous » parallèles à l'axe, il est évident que les distances, comptées de ce même point, » deviendront infinies dans la nouvelle figure comme celles qui leur sont corréla- » lives dans la première; donc elles devront être censées égales entre elles (II), et » elles disparaîtront comme facteurs communs aux différents termes de la relation » générale à laquelle elles se rapportent; donc enfin celte relation se réduira pré- » cisément à la forme particulière de celle d'où l'on est parti ; corollaire qui » constitue précisément l'objet des transformations paraboliques de M. Chasles, et » qu'on peut énoncer ainsi :

« S'il existe entre les distances d'une figure quelconque, située dans un plan ou » dans l'espace, une relation métrique telle, quelle subsiste dans toutes les pro- » jections orthogonales de cette figure sur une droite arbitraire, la même relation » aura lieu aussi, dans sa polaire réciproque prise par rapport à une parabole ou à » un paraboloïde quelconque, entre les distances formées, sur l'axe de cette paraît bole ou de ce paraboloïde, par ses intersections avec les polaires ou plans po- » laires des extrémités respectives des distances qui appartiennent à la première » relation. »

» En effet, dans la parabole ou le paraboloïde, toutes les polaires et plans po- » laires des points à l'infini de l'espace sont autant de diamètres ou plans diamé- » traux parallèles à l'axe principal. Mais ce qui précède montre que la même » relation a lieu aussi pour les intersections relatives à des diamètres quelconques » pris pour axes transversaux, et conduit d'ailleurs à des modes de transformations » dont la transformation parabolique n'est, comme on va le voir, qu'un cas très- » particulier.

» VU. Généralisation des résultats particuliers à la transformation polaire » parabolique. — Supposons, entre autres, que la relation qui concerne la figure » primitive soit, de sa nature, tellement générale qu'elle subsiste, sans conditions » quelconques, pour toutes les projections coniques ou centrales de la figure; il est » clair qu'il en sera de même de celle qui se rapporte à la figure polaire, dont la » directrice pourra aussi être une courbe ou surface auxiliaire quelconque du » second degré, conformément aux principes des n°* 122 et 128 de notre Mémoire » sur la théorie de la réciprocité ; la transversale de cette dernière figure pourra » donc être quelconque, et non plus simplement parallèle à une direction donnée. » Si, au contraire, la relation appartenant à la figure primitive ne subsiste que dans » les projections orthogonales de/ cette figure, la môme restriction aura évidem-

» ment lieu à l'égard de celle qui appartient à la dérivée parabolique de celte » dernière figure, de sorte qu'on devra la considérer comme un cas particulier » d'une autre plus générale, et à laquelle On remontera facilement au moyen des » considérations exposées dans le n° II de cette Note. » Par exemple, la relation primitive étant généralement de la forme

AB.CD.EF-l-A'B'.G'D',E'F'+A''B".C"D".E''F''+ .... = o,

» si l'on passe à la réciproque polaire parabolique, dans laquelle «, b, c, d, e, /; » a', b', c', d', e',f';a", b" , c" , d", e" , f" , etc., sont les intersections respectives » des polaires de A, de B, de C,. . . ; de A', B', C, ... ; de k!' , B", C", . • . , etc., avec B l'axe ou un diamètre quelconque de la directrice, on aura également

ab.cd.ef-\- a'b'.c'd'.e'f 4- a"b".c" d".e"f" +.... = o,

» relation qui n'est qu'un cas particulier de celle qu'on obtiendrait en prenant les » pôles et polaires par rapport à une directrice quelconque du second ordre.

» En effet, nommant/? le point qui a pour polaire la droite ou le plan qui con- » tient tous les points à l'infini de la figure primitive, et remplaçant le diamètre » ci-dessus par une transversale quelconque passant par p, on aura généralement, » selon nos principes de transformation (II),

ab.cd.ef a'b'.c'd'.e'f a".h'' .c" .d".e''.f"

pa.pb.pc.pd.p'e.pf pn'.pb' .pc'.pd'.pe'.pf pa" .pb" .pc" .pd" .pe". pf''

» relation qui est projective coniquement, de sorte qu'elle a lieu, soit entre les » sinus des angles projetants des distances qui y entrent, considérés par rapport à » un point arbitraire de l'espace, soit entre les sinus des arcs de grands cercles qui » leur correspondent sur une sphère quelconque dont le centre serait pris pour » centre de projection de la figure proposée.

» Pour démontrer généralement et directement cette relation qui, d'après l'ob- » servation déjà faite plus haut, n'est elle-même qu'un cas particulier de relations » beaucoup plus générales encore, bien qu'elle comprenne implicitement toutes » celles de la transformation parabolique, il n'y a qu'à supposer qu'on projette, par » des droites ou des plans parallèles quelconques, les points A, B, C,. . . de la figure » primitive, sur une transversale entièrement arbitraire; on aura, par hypothèse (I) » et en désignant par les mêmes lettres les points de la projection qui correspon- » dent aux premiers, l'équation

AB.CD.EF. -H A'B'.C'D'.E'F. -{- A"B".C"D".E"F"+ ... =o,

ou identiquement, en nommant P le point situé à l'infini sur la transversale,