AB.CD.EF A'B'.C'D'.E'F

■pA.PB.PC.PD.PE.PF"^P'A'.P'B'.P'C'.P'D'.P'E'.P'F'

» Passant à la polaire réciproque générale de cette figure, et nommant a le pôle

» de la projetante ou du plan projetant du point A, pôle qui se trouve situé sur la polaire ou le plan polaire de ce point; b le pôle de la projetante ou du plan projetant de B, et ainsi des autres ; enfin p le pôle de la droite ou du plan qui contient tous les points à l'infini de la figure primitive, on observera: i° que les points a, b, c,. . .p, sont sur une même droite polaire de l'intersection qui, à l'infini, doit être censée commune à toutes les projetantes ou plans projetants considérés; 2° que tous les points A, B, C, . . ., P de la transversale servant d'axe de projection ont pour polaires des droites ou des plans qui concourent en un même point ou suivant une même droite quelconque pôle ou polaire de cette transversale ; d'où l'on conclura, d'après les principes exposés dans les n"' 120 et suivants ou 131 et suivants de notre Théorie des polaires réciproques, principes qui ont lieu généralement quand on prend pour directrice des pôles une ligne ou surface quelconque du second ordre, on en conclura, disons-nous, que la relation ci-dessus aura lieu pareillement, soit entre les sinus des angles formés par les polaires des extrémités respectives des distances que concerne celte relation, soit entre les distances correspondantes interceptées par ces angles sur une transversale arbitraire; ce qui donne, en particulier, pour la transversale recliligne

» qui contient les points a, b, c, . . .,p, la relation métrique suivante

ab.cd.ef a'b'.c'd'.e'f a"b" .c"d\e"f"

pa.pb.pc.pd.pe.pf pa'.pb' .pc'.pd'.pé .pf pa''.pb".pc".pd" .pe".pf" '

» conformément à ce qui a été avancé ci-dessus.

» VIII. Moyens directs de parvenir aux résultats généralisés de la transforma- » tion parabolique. — En terminant ce sujet, nous ferons remarquer que les » relations du genre de celles qui précèdent peuvent toujours être mises sous » cette forme

[pb

' ^V ' --L-^f ' --i-UfJ^--^U-i^-J-^^ • '

pb pa]\pd pcj \pf pe ) ' \pb' pa')\pd' pc'j\pf' pe '" '

j) dans laquelle — ;' ~T7' — 7' ^^c., représentent les valeurs inverses ou réciproques

» des segments pa, pb, pc, etc., mesurés du point p, et qui supposent ce point M placé à gauche et en deçà de tous les autres, les différents groupes de ceux-ci » étant eux-mêmes censés disposés dans V ordre abcdef, a'b' c' d'e'f ... respecti- » vement. Or, sous cette nouvelle forme, la relation proposée est une conséquence » très-simple de la loi qui lie le pôle et la polaire d'une ligne du second ordre au » centre même de cette ligne, ou le pôle, le plan polaire et les polaires conjuguées » des surfaces de cet ordre au centre même de ces surfaces.

» En effet, il est évident que, dans les suppositions précédentes, le point p n'est » autre chose que le centre de la ligne ou surface directrice des pôles et polaires; » que la transversale qui porte les points a, b, c, d,... n'est elle-même que le » diamètre de cette directrice, conjuguée à la direction des projetantes ou plans » projetants parallèles considérés; qu'enfin, A étant l'intersection de ce diamètre

» avec la projetante ou le plan projetant qui a pour pôle a, B celle de ce môme » diamètre avec la projetante ou le plan projetant qui a b pour pôle, et ainsi de » suite, on aura d'abord

AB.CD.EF-f-A'B'.C'D'.E'F'H-A"B".C"D".E"F"+ . .. =o,

» et ensuite, par les propriétés connues des pôles et polaires,

M = -' />B = ^, pD = ^,...,

0 relations dans lesquelles r désigne la demi-longueur du diamètre dont il s'agit, » et qui, étant combinées avec la précédente, conduisent immédiatement à l'équa- » lion rapportée plus haut, sans employer aucune considération étrangère à la » théorie des pôles et polaires réciproques.

» On remarquera sans doute que les relations de l'espèce dont il s'agit, devien- » nent purement identiques ou se réduisent à la forme 0 = 0, quand le point p est » censé à l'infini ; mais en réduisant au même dénominateur les quantités com- » prises entre chaque parenthèse, effectuant la soustraction des lignes du numé- » râleur, et observant que tous les dénominateurs infinis sont égaux comme ne » différant entre eux que de quantités finies, on pourra supprimer tous ces déno- » minateurs comme diviseurs communs aux différents termes, ce qui fera retomber » sur des équations de la forme même de celles d'où nous sommes partis.

» Les équations les plus simples et les plus remarquables parmi toutes celles » dont il s'agit appartiennent à la doctrine du centre des moyennes harmoniques, » et elles se convertissent toutes en d'autres qui se rapportent à la définition ordi- » naire du centre des moyennes distances, quand on suppose Torigine commune p » des segments à l'infini.

» Nous n'insisterons pas sur ce sujet, pour lequel nous renverrons à notre B Mémoire sur les centres de moyennes harmoniques, déjà cité au commencement » de cette Note. »

Metz, le 29 octobre i83i. .

NOTE RELATIVE A UNE RÉCLAMATION DE M. AMYOT ET AUX OBSERVATIONS DE MM. CHASLES ET CAUCHY QUI Y ONT DONNÉ LIEU ; PAR M. PONCELET.

[Extrait des Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. XVI, i843, p. 947 à 964 (*)•]

a L'Académie, dans l'une de ses précédentes séances, a entendu, avec intérêt, » le Rapport que M. Cauchy lui a fait, en son nom et en celui de M. Liouville, sur » un Mémoire de Géométrie présenté par M. Amyot, et dans lequel ce jeune pro-

(*) Je ne rapporte point ici un autre passage du même volume des Comptes rendus, p. 11 10, dans lequel j'ai pris la parole en vue de clore une discussion où j'avais pour principal but d'appuyer, à sa demande, les réclamations d'un jeune professeur dont on paraissait méconnaître les