II

» fesseur s'est proposé de rechercher, d'une manière directe et purement analy- » tique, ce qui, dans les surfaces du second degré, peut être l'analogue du foyer et » de la directrice des lignes du même degré. Avec sa fécondité ordinaire, notre » savant confrère a montré, soit dans le texte même du Rapport, soit dans une » série de notes qui s'y trouvent annexées, que la démonstration des nouveaux » théorèmes découverts par M. Amyot pouvait être généralisée et étendue, à cer- 1) tains égards, au moyen de considérations analytiques d'un ordre élevé et qui lui » sont propres. Les amateurs de cette branche de Mathématiques regretteront » néanmoins que, sous ces développements, auxquels je suis le premier à rendre » justice, les idées de l'auteur du Mémoire et le caractère de sa méthode aient à » certains égards disparu; car, il est bon ici de le répéter, ce qui intéresse le plus » dans l'histoire et la philosophie des sciences, c'est la route par laquelle l'esprit » humain est*parvenu à la découverte des vérités fondamentales.

» Quoi qu'il en soit, le Rapport de notre savant confrère ayant donné lieu, de la » part de M. Chasles, à une réclamation de priorité ou à des observations scienti- » fiques qui ont conduit l'auteur à venir protester, dans la séance suivante, contre » toute interprétation qui tendrait à priver ses recherches du mérite de la nou- » veauté qui les caractérise, et en ferait remonter l'idée à des théories antérieures, » je crois de mon devoir de déclarer, dans cette occasion, comme je l'ai fait pri- » mitivement en encourageant M. Amyot à présenter son travail à l'Académie': » 1° que ses théorèmes sur les foyers, \es focales, les directrices et les plans direc- » leurs des lignes et surfaces du second degré me semblent tout à fait neufs, et » par la marche qui les lui a fait découvrir, et par le caractère même des énoncés; » 2° que les propriétés des lignes du second ordre, citées, par M. Cauchy, comme » appartenant à M. Chasles, et qui se trouvent exposées aux pages 898 et suivantes » du tome III de l'intéressant Journal de notre confrère M. Liouville, n'ont pu » servir de point de départ aux nouvelles doctrines, aux nouvelles définitions de » M. Amyot, dont même elles n'offrent aucune trace ; 3° que ces propriétés et leurs » correspondantes, pour les surfaces du second degré, mentionnées dans les ob- » servations de M. Chasles, ne sont que des corollaires, des cas particuliers de » propriétés plus générales et déjà anciennement connues.

» Pour se convaincre de la vérité de la première de ces assertions, il suffît de » remarquer que la proposition revendiquée par M. Chasles et citée dans le Rapport » de M. Cauchy se réduit à ceci :

a Un cercle quelconque étant tracé dans le plan d'une section conique, le carré

droits de priorité, et qui fut bientôt après appelé à l'honneur de soutenir ses doctrines au Collège de France, mais dont je n'ai plus entendu parler depuis.

D'ailleurs, la Note ci-dessus ne serait pas en soi d'un intérêt assez puissant pour mériter d'être insérée dans cette Section supplémentaire, si elle ne contenait quelques indications historiques et un passage où je me proposais de rappeler mes anciennes recherches sur la théorie de l'involution généralisée et appliquée aux courbes ou surfaces d'ordre quelconque. C'est par des motifs tout autres qu'ont été supprimées dans ce § V" les rares communications que j'ai eu occasion de faire à l'Académie des Sciences, sur des matièi-os purement géométriques. — (Note de i865.)

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. Hf

s> de la tangente à ce cercle, méfiée par un point quelconque de la conique, sera » au produit des perpendiculaires abaissées de ce point sur les deux lignes con- » jointes, dans un rapport constant. » (Tome IV, p. 4oo> du Journal de M. Liou- » ville.)

» Pour comprendre cet énoncé, il faut savoir que les lignes conjointes dont il » s'agit, nommées dans d'autres circonstances, par M. Chasles, axes de symptose, » ne sont autres que les sécantes, réelles ou idéales, communes à la section co- » nique et au cercle proposés; sécantes dont je me suis d'abord occupé, soit dans » un Mémoire présenté en 1818 à l'Académie des Sciences, soit dans le Traité des » Propriétés projectiles des figures, publié en 1822. Il faut observer, en outre, que » les propriétés de pareilles sécantes, celles qui en définissent le caractère le plus » général, sont indépendantes de la réalité de leurs communes intersections avec » les courbes proposées, et demeurent, en vertu d'un principe fondamental de » Géométrie posé pour la première fois dans ces deux écrits, applicables à tous les » étals par lesquels peuvent passer les grandeurs de la figure, comme, par exemple, » lorsque l'une des coniques ou toutes deux se réduisent à des points, à de simples » droites ou deviennent complètement imaginaires. C'est ainsi, en particulier, qu'à » l'endroit cité du Journal de M. Liouville, M. Chasles, après avoir déduit l'énoncé » ci-dessus de la considération des sections sous-contraires dans le cône du second » degré, en conclut la propriété corrélative pour le cas où le cercle considéré » devient infiniment petit ou se réduit à un point.

» Or, quoiqu'il n'y ait, pour ainsi dire, qu'un pas à faire pour passer, de la pro- » priété de ce point et de ses droites conjointes, à la définition générale des foyers » et des couples de directrices des coniques, qui font l'objet du Mémoire de » M. Amyot, quoique M. Chasles ait pu apercevoir directement, dans le cône, que » la coïncidence des deux lignes conjointes faisait retomber sur la définition ordi- » naire de la directrice et du foyer ; cependant, cette généralisation et les consé- » quences qui en dérivent ne lui sont pas venues à la pensée ; et, sans aucun doute, » la proposition ci-dessus, relative aux lignes du second degré, serait longtemps » encore restée stérile et inaperçue au milieu de tant d'autres exposées dans le » Mémoire de M. Chasles, si M. Amyot n'était venu, de prime abord, se poser cette » question purement analytique : Existe-t-il, dans l'espace, des points tels, que le » carré de leur distance à un point quelconque d'une surface donnée du second » degré soit décomposable en deux facteurs des coordonnées de ce dernier point, » purement linéaires et, par conséquent, susceptibles de représenter deux plans » conjugués à la surface et aux premiers points?

» En second lieu, on peut se convaincre, tout aussi facilement, que le Mémoire » de M. Chasles renferme encore moins de traces des définitions et des théorèmes » relatifs aux foyers et plans directeurs des surfaces dont il s'agit; tout ce qui a » été exposé à ce sujet, dans les pages 83 1 et 832 du Compte rendu de la précédente » séance, étant déduit de propriétés dont rien même ne peut faire soupçonner » l'énoncé dans ce Mémoire.

» Ainsi, de quelque façon qu'on envisage les choses, l'idée des nouvelles défini- » lions et des nouveaux théorèmes sur les foyers des lignes et des surfaces du

» deuxième degré appartient, sans aucune réserve, à M. Amyol. Mais, en venant » ici soutenir ses droits à toute priorité, la justice me fait un devoir de déclarer » que, dans ma conviction, basée sur une lecture attentive des observations de nos » savants confrères, rien n'autorise à croire qu'ils aient eu la pensée d'amoindrir » ou d'obscurcir, en quoi que ce soit, le mérite des recherches géométriques dont » il s'agit, bien que les apparences aient fait craindre à leur estimable auteur que » les expressions dont s'était particulièrement servi M. Chasles pussent induire » en erreur les personnes peu au fait de la matière.

» Trop souvent, d'ailleurs, il arrive, au détriment du progrès des sciences, que » des mots nouveaux servent à cacher des vérités anciennes, et que les inventeurs » de ces mots essayent de donner le change à certains lecteurs ; mais ce n'est point » ici le cas; et, quelle que soit la facilité avec laquelle MM. Cauchy et Chasles sont » parvenus à démontrer, à étendre même les bases des nouvelles doctrines de » M. Amyot, elle ne saurait, je le répète, en diminuer le mérite scientifique : car » il n'est pas moins vrai de dire qu'une simple définition, quand elle renferme une » idée nouvelle, un point de doctrine demeuré jusque-là inaperçu, peut devenir » la source des plus fécondes découvertes.

» J'en viens maintenant à prouver que les théorèmes de Géométrie qui servent » de base aux démonstrations à posteriori de M. Chasles ne sont que de purs co- » rollaires, des cas particuliers d'autres propriétés générales déjà bien connues.

» En effet, notre savant confrère, M. Sturm, dans un intéressant Mémoire inséré » aux tomes XVI et XVII des Annales de Mathématiques (années 1826 et 1827), a » démontré analytiquement, parmi beaucoup d'autres propositions du même genre, » cet élégant et nouveau théorème, qui doit être considéré comme fondamental » dans la théorie des coniques :

a Lorsque trois lignes du second ordre, tracées sur un même plan, ont les mêmes » intersections communes, soit réelles, soit imaginaires, toute transversale recti- » ligne les rencontre en six points qui sont en involution, suivant l'expression de » Desargues; c'est-à-dire tels que, si l'on forme les rectangles des segments com- » pris, sur cette transversale, entre l'un quelconque de ces points, appartenant à » l'une des trois courbes, et les couples respectifs de ceux qui appartiennent aux » deux autres, le rapport de ces rectangles sera égal à celui que l'on obtiendrait » en substituant, au premier point, son conjugué dans la première courbe. »

» Menant, d'ailleurs, de l'un quelconque des deux points d'où se mesurent les » segments, dans les courbes qui ne leur appartiennent pas, des sécantes parallèles » à des directions fixes arbitraires et distinctes pour chacune de ces courbes, » M. Sturm conclut immédiatement, en s'appuyant sur un théorème bien connu » relatif aux appliquées parallèles des coniques, cet autre principe non moins » fécond que le précédent, et qui renferme, comme cas particulier, le théorème » des Anciens concernant les quadrilatères inscrits aux coniques :

c Etant données, dans un plan, trois lignes du second ordre ayant les mêmes » points d'intersection, si par un point A, pris à volonté sur l'une d'elles [c), on » mène des parallèles à des droites données de position, l'une coupant la courbe {<?') » en deux points c, d, et l'autre coupant la courbe {c") en deux points e, f, les

» produits de segments k ex kd, key^kf, seront toujours entre eux dans un » rapport constant (*). »

» Substituez, à l'une des trois courbes, le système de deux droites devenues les » sécantes réelles ou idéales communes aux deux autres; supposez, de plus, que » l'une de ces dernières courbes se réduise à un cercle ou à un point, et vous » retomberez sur le théorème particulier de M. Chasles, rappelé au commencement » de cette Note : car, dans la proposition ci-dessus, on peut toujours remplacer » les segments obliques, relatifs aux sécantes communes, par des perpendicu- » laires abaissées, du point A de la courbe (c), sur leurs directions respectives.

» M. Slurm n'a pas fait connaître, dans la partie de son Mémoire qui a été mise » au jour, l'extension dont sont susceptibles les théorèmes ci-dessus pour le cas de » trois surfaces du second degré qui ont les mêmes intersections planes ou à » double courbure ; mais, outre que cette extension est, par elle-même, évidente » et comporte identiquement le même genre de démonstration, elle a encore été » indiquée, d'une manière très-explicite, dans divers Mémoires de Géométrie, » publiés peu d'années après celui de M. Sturm.

» Supposez donc que l'une des trois surfaces proposées se réduise à deux plans » de sections, réelles ou imaginaires, communes aux deux autres surfaces, auquel » cas celles-ci seront inscriplibles à un même cône du second degré, dont le som- » met, toujours réel, conservera, par rapport à la direction indéfinie des plans » dont il s'agit, des relations indépendantes de la réalité de leurs intersections avec » les surfaces proposées (**j; supposez, plus particulièrement encore, que l'une » des deux surfaces restantes soit une sphère, ce qui exige que ses sections planes, » communes avec la troisième, soient circulaires, et que le cône droit, circonscrit » à toutes deux, ait son sommet situé dans l'un des plans principaux de cette troi- » sième surface, et vous retomberez sur les théorèmes énoncés, en dernier lieu, » par M. Chasles, pour le cas de l'espace; théorèmes dont, comme on l'a vu, son » Mémoire sur les lignes conjointes des coniques ne laisse aucunement pressentir » la démonstration, à cause de la manière restreinte avec laquelle leurs analogues, » pour le cas du plan, y sont tirés de la considération directe du cône.

» Au surplus, ces observations n'ont aucunement pour but de prouver que » M. Chasles ait ignoré l'extension dont sont susceptibles les théorèmes cités par » lui dans sa dernière Note à l'Académie, comme étant propres à servir de base » aux nouvelles doctrines sur les foyers (***), mais bien qu'il l'avait perdue de vue, » ou ne lui avait pas accordé le degré d'attention et d'importance qu'elle mérite, » importance qui, à fortiori, ne pouvait être soupçonnée par M. Amyot beaucoup » moins au fait des récents progrès de la Géométrie. Car, si ce jeune professeur

{ * ) Fo/ez la page 178 du tome XVII des annales de Mathématiques. En vertu de la théorie des polaires réciproques, ces propositions ont leurs analogues évidentes pour les cas où l'on substitue la considération des tangentes à celle des points d'intersection.

(**) Traité des Propriétés projectives des figures, 1. 1", Supplément, p. 878, 38o et 4o4- ( *** ) Foyez notamment les Mémoires insérés par ce géomètre dans le tome V de la Correspondance mathématique et physique de M. Quetelet.

35o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

p avait fait une étude spéciale des écrits originaux que nous avons précédemment » cités, s'il n'avait tout tiré de son propre fonds, il eût puisé plus largement dans » ces écrits, et n'aurait pas manqué de déduire des théories qui s'y trouvent expo- » sées beaucoup de propriétés curieuses et caractéristiques des nouveaux foyers, » indépendamment même de celles qui ont été indiquées en dernier lieu, par » M. Chasles, dans sa Note à l'Académie ; propriétés qui sont une suite nécessaire » de ce que ces foyers sont les points de l'espace d'où l'on verrait la surface pro- » posée sous l'aspect d'une sphère dont les sections circulaires représenteraient » ainsi, perspectivement, les sections planes correspondantes de cette surface (*). 0- B En terminant cette Note déjà si étendue, je ferai remarquer que les théoî) rèmes de M. Sturm, relatifs aux lignes du second degré qui ont les mêmes inter- » sections, réelles ou imaginaires, sur un plan, s'étendent, ainsi que leurs » corrélatifs dans les surfaces de ce degré, aux systèmes analogues de courbes » planes ou de surfaces géométriques d'un degré quelconque, et qui peuvent » d'ailleurs être formées de la réunion de plusieurs courbes ou surfaces distinctes » de degrés inférieurs. J'ai annoncé cette extension dans l'introduction d'un » Mémoire sur V Analyse des transversales, publié dans le tome VIIÏ du Journal de » M. Crelle: sa démonstration purement géométrique se trouve exposée dans la » partie de ce Mémoire encore inédite, et qui renferme d'autres théorèmes analo- » gués, ainsi que leurs réciproques polaires. Pour l'établir, j'ai dû, au préalable, J) étendre la définition même et les propriétés de Vinvolution, telle que l'avait d'a- » bord envisagée Desargues, au système de trois groupes (A), (B), (C), de m points » chacun, rangés en ligne droite et qui jouissent de ce caractère remarquable :

a Si l'on forme, respectivement, les produits de m segments interceptés entre » l'un quelconque des points du groupe (A), par exemple, et les m points apparte- » nant respectivement à chacun des deux autres groupes (B) et (C), le rapport de » ces produits restera le même pour un autre point choisi à volonté dans le pre- » mier groupe. De plus, cette égalité de rapports aura lieu pareillement si l'on » substitue aux points du groupe (A), qui servent d'origine aux segments, ceux de » tout autre groupe. »

(*) Fojezles endroits déjà cités du Supplément du Traité des Propriétés projectiles; notamment ceux qui concernent la perspective ou projection centrale des reliefs, que nous avons généralement nommée homologie des figures. Je saisirai cette occasion pour présenter, au sujet de la théorie de la perspective des reliefs donnée dans ce même endroit, une remarque concernant la prétendue conformité qui existerait entre cette théorie et les méthodes pratiques exposées dans la Perspective des reliefs, pubUée à Magdebourg, en 1798, par J.-A. Breysig, conformité que je me suis trop empressé de reconnaître dans une Note insérée à la page 897 du tome VIII du Journal mathématique de M. Crelle (1832). Une traduction exacte de cet ouvrage diffus, entreprise à ma recommandation par M. Polke, sous la direction de M. Bardin, ancien professeur aux Écoles d'artillerie, a convaincu cet estimable professeur que l'analogie des méthodes n'existe absolument que dans le titre. J'ai d'autant plus de regret d'avoir commis à mon préjudice cette erreur, qu'elle a été depuis reproduite dans V Aperçu hictorique sur l'origine des méthodes en Géométrie, publié par M. Chasles, lequel, je dois le reconnaître ici, se trouvait, moins que moi, à même d'en constater l'existence. — (Note de 1 843.)

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 35i

» Cela posé, on peut énoncer ces théorèmes généraux :

« Quand trois courbes, de même degré m, situées sur un plan, ou trois surfaces, » de même degré m, situées dans l'espace, ont les mêmes points ou les mêmes lignes » d'intersection, réels ou imaginaires, toute transversale rectiligne les rencontre » en trois systèmes de m points, qui constituent une involution. Supposant, d'ail- » leurs, que cette transversale soit dirigée tangentiellement à l'une quelconque des » courbes ou surfaces proposées, le point de contact correspondant deviendra un » centre de moyennes harmoniques, commun aux groupes respectifs de m points » appartenant aux deux autres courbes ou surfaces.

» Supposant encore que, de l'un quelconque des points appartenant à nos trois » courbes ou surfaces, on mène respectivement et sous des directions fixes arbi- » Iraires, des transversales rectilignes dans chacune des deux autres courbes ou » surfaces, on conclura, du théorème de Newton sur les appliquées parallèles, que » les produits de segments formés, sur ces transversales respectives, entre le point » considéré et chacune des intersections correspondantes, seront entre eux dans » un rapport invariable; propriété analogue à celle qui, pour des cas beaucoup » plus simples, a été l'origine du fameux problème des lieux, résolu dans la Géo- » métrie de Descartes, et dont, selon Pappus, la solution avait été vainement tentée » par les Anciens.

» Je pourrais étendre ces mêmes énoncés à des cas plus généraux encore, et » montrer qu'ils suffisent pour tracer les courbes et surfaces géométriques sous » certaines données ; mais je craindrais, en insistant, d'abuser des instants de » l'Académie. »

§ II. — Rapports académiques et articles divers de critique ou de polémique rétrospectives .

RAPPORT A. l'académie ROYALE DES SCIENCES DE l'iNSTITDT SUR UN MÉMOIRE RELATIF AUX PROPRIÉTÉS DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES, PRÉSENTÉ EN MARS 1824 PAR M. PONCELET.

[Commissaires (*) : MM. Legendre, Ampère, et Cauchy rapporteur, dans la séance du lundi 23 janvier 1826.]

a L'Académie nous a chargés, MM. Legendre, Ampère et moi, de lui rendre compte d'un Mémoire de M. Poncelet sur les centres de moyennes harmoniques. Pour donner une idée succincte de l'objet de ce Mémoire, il est d'abord nécessaire

(*) Je remarque, non sans regret, que, par suite d'une confusion introduite à l'origine, dans les titres ou attributions des deux premières Sections de l'Académie des Sciences, la liste des Commissaires ci-dessus désignés pour l'examen de mes Mémoires de Géométrie pure, ne renferme pas

de rappeler en quoi consiste la division harmonique d'une droite AR, par rapport à un point pris sur cette droite ou sur son prolongement. Si l'on désigne par la lettre C le point milieu de la droite dont il s'agit, la dislance d'un point quelconque P de la même droite au point C sera évidemment la moyenne arithmétique entre les distances PA et PB ; en sorte qu'on aura