PC = -(PA-|-PB

» Or, si dans l'équation précédente on remplace les distances PA, PB, PC par les rapports pT' pn» pf » ^^ formule qu'on obtiendra, savoir :

PG^âipÂ'^PBJ'

ne pourra être vérifiée qu'autant que le point C coïncidera, non plus avec le milieu de la droite AB, mais avec un autre point situé sur cette droite, et qui se déplacera en même temps que le point P. Le point C, déterminé comme on vient de le dire, est le centre des moyennes harmoniques des points A et B, relativement au point P pris pour origine. Si plusieurs points consécutifs A, B, C, D, E, . . . sont tels, que l'un quelconque d'entre eux coïncide avec le centre des moyennes harmoniques des deux points les plus voisins, ces différents points formeront une échelle harmonique ; et il est facile de prouver que, pour obtenir une semblable échelle,

les noms des Membres qui, par la nature de leurs travaux, en étaient les juges les plus compétents depuis l'expulsion politique et la mort des illustres Monge et Carnot. Je ferai aussi observer : 1° qu'à l'époque de la présentation de mes Mémoires à cette célèbre Compagnie, on n'y avait point encore, sous le titre de Comptes rendus hebdomadaires, établi un Bulletin d'annonces scientifiques en concurrence avec les feuilletons si souvent inexacts et passionnés des revues et des journaux politiques; Bulletin où, par une faveur spéciale de MM. les Secrétaires perpétuels, chaque auteur peut prendre date par une analyse plus ou moins étendue, et par là même dispenser l'Académie de tout examen ultérieur ; 2° que les Annales de Mathématiques pures et appliquées avec commentaires de M. Gergonne étaient alors l'unique recueil de son espèce, en Europe, sauf \q Tourna de l'École Polytechnique auquel il était bien difficile d'atteindre, même tardivement, sans la recommandation expresse de MM. Binet et Cauchy ; 3° que grâce au but, à la tendance philosophique, à l'étendue même de mes anciens Mémoires de Géométrie si peu encouragés par les vulgarisateurs de l'époque, ils pouvaient bien moins encore recevoir un favorable accueil du public des Écoles et des libraires-éditeurs, alors, comme aujourd'hui, si rares pour un genre d'écrits qui s'adresse bien plus à la raison qu'aux passions des lecteurs.

D'après cela, on conçoit comment j'ai dû attendre avec une impatience anxieuse les jugements en quelques lignes qui terminent les Rapports ci-après de M. Cauchy, qu'il faut bien se garder de confondre avec les textes mêmes de ces Rapports qui expriment les opinions scientifiques personnelles du plus jeune ou du plus actif des Commissaires. On comprend aussi comment, par la revue rétrospective ci-après de mes luttes passées, mon but a été de mettre à nu les appréciations inexactes de quelques savants privilégiés, dont on s'est trop souvent autorisé pour rabaisser, aux yeux des lecteurs mal éclairés, la valeur de quelques-unes de mes doctrines géométriques ou mécaniques. — (Note de i865.)

il suffit de mettre en perspective une échelle de parties égales. Plusieurs des conséquences qui résultent de la division harmonique d'une droite avaient déjà été développées par divers géomètres, entre lesquels on doit distinguer Mac-Laurin. M. Poncelet ajoute de nouvelles propositions à celles qui étaient connues. Les plus remarquables sont celles auxquelles il est conduit en généralisant la définition du centre des moyennes harmoniques. On peut en simplifier la démonstration et les rendre plus faciles à saisir, en substituant aux définitions qu'il présente celles que nous allons indiquer.

» Si l'on suppose que chaque élément d'une droite matérielle homogène, et prolongée de part et d'autre à l'infini, attire un point situé hors de cette droite, suivant une certaine fonction de la distance, ce point sera sollicité au mouvement par une force perpendiculaire à la droite et proportionnelle à une autre fonction de sa distance à cette droite. Si l'attraction entre deux points est réciproquement proportionnelle au carré de leur dislance, la force dont il s'agit sera réciproquement proportionnelle à la simple distance du point donné à la droite vers laquelle il est attiré. Cela posé, soient DE la droite que l'on considère et A, A', A", . , . plusieurs points situés avec elle dans un seul et même plan. Si l'on suppose différentes masses m, m' , /n", . . . concentrées sur les points A , A', A", . . . , ce que M. Poncelet nomme le centre de leurs moyennes harmoniques , par rapport à la droite DE, ne sera autre chose que le centre des forces parallèles qui solliciteront les masses m, m', m" y . . . dans les directions perpendiculaires à la droite.

» Concevons maintenant que les masses m, m', m", . . . soient concentrées sur les points A, A', A", . . . , situés d'une manière quelconque dans l'espace. Ce que M. Poncelet nomme le centre des moyennes harmoniques des points A, A', A",..., relativement à un plan donné DEF, ne sera autre chose que le centre des forces parallèles qui solliciteront ces différents points, dans des directions perpendiculaires au plan, si l'on admet encore que chaque force soil réciproquement proportionnelle à la distance au plan, ce qui revient à supposer l'attraction entre deux points réciproquement proportionnelle au cube de l'intervalle qui les sépare. En partant des définitions qui précèdent, on établit sans peine les diverses propriétés des centres des moyennes harmoniques.

» Ainsi, par exemple, concevons que, les points A, A', A",. . . étant situés dans un même plan avec la droite DE, on joigne un quelconque D des points de cette droite avec les points A, A', A", . . . , et qu'une parallèle de à DE coupe les droites DA, DA', DA", . . . aux points a, a', a" , .... Si, après avoir pris la droite DE pour axe des X, on désigne par h la distance entre les droites DE et de, puis par j, y', y" ,... les ordonnées des points A, A', A", . . . , et si l'on applique à ces points des forces

parallèles P = — » P'= — , P"=: — 7,, • • • , la force P = — pourra être remplacée

m par deux composantes parallèles, l'une égale à y» appliquée au point a, et l'autre

appliquée au point D. Donc le système des forces P, P' V", . . . pourra être rem-

m n\! m" placé par des forces t-» yy» -jt,i" •■> appliquées aux points a, a', a" , . . . , et par la

résultante des forces appliquées au point D. Donc la droite qui joindra le point D avec le centre de gravité G des masses m, m', m", . . . , concentrées sur les points a, a', a!' ,. . . , passera par le centre des forces parallèles P, P', P",. . . , ou, ce qui revient au même, par le centre des moyennes harmoniques des masses m, m',

m",. . ., concentrées sur les points A, A', A", Cette proposition continuera de

subsister si les points A, A', A", . . changent de position sur les droites DA, DA', DA", . . .. Or, on peut imaginer que, par suite du changement de position, ils se rangent sur une nouvelle droite KL, qui soit parallèle à DE, ou qui vienne rencontrer DE en un point donné E; et comme, dans ce dernier cas, le centre des moyennes harmoniques des points A, A', A", . . . restera le même, par rapport à toutes les droites qui passeront par le point E, on pourra le nommer centre des moyennes harmoniques des points A, A', A", . . . , relatif au point L. Les remarques précédentes fournissent les principales propriétés du centre des moyennes harmoniques de plusieurs points situés dans un plan.

» Concevons encore que, les points A, A', A",. . . étant placés à volonté dans l'espace, on trace dans un plan donné DEF une droite quelconque DE, et qu'ayant coupé les plans DEA, DEA', DEA", . . . par un nouveau plan def, parallèle à DEF, on prenne, sur les droites d'intersection, des points quelconques a, a', a",.... Si, après avoir choisi le plan DEF pour plan des ^j, on désigne par h sa distance au plan def, puis par z, z', z" , ... les ordonnées des points A, A', A", . . . , et si l'on

ÏYt ITl ÏYt^^

applique à ces mêmes points des forces parallèles P = — , P'= —p, P"=:— ^,."j

la force P = — ? appliquée au point A, pourra être remplacée par deux forces parai-

lèles, l'une égale à -j-t appliquée au point a, et l'autre appliquée au point d'intersection de la droite ka avec la droite DE. Donc le système des forces P, P', P'', . . .

pourra être remplace par des forces -t-j -rft ■j7F'> ""> appliquées aux pomts a, a ,

a", . . ., et par la résultante des forces appliquées à différents points de la droite DE. » Donc le plan qui renfermera la droite DE et le centre de gravité G des masses m, m' , m", . . . , concentrées sur les points a, a! , a", . . . , passera par le centre des forces parallèles P, P', V", . . . , ou , ce qui revient au même , par le centre des moyennes harmoniques des masses m, m', m" , . . . , concentrées sur les points A, A', A", .... Cette proposition continuera de subsister, si les points A, A', A", . . . changent de position dans les plans DEA, DEA', DEiA", .... Or, on peut imaginer que, par suite du changement de position, les points dont il s'agit soient ramenés dans un nouveau plan qui soit parallèle à DEF, ou qui coupe DEF suivant une droite donnée KL, et il est clair que, dans le dernier cas, le centre des moyennes harmoniques des points A, A', A", . . . , relatif au plan DEF, sera aussi le centre des moyennes harmoniques relatif à la droite KL. Observons d'ailleurs que, si l'on suppose les points A, A', A", . . situés sur les droites AD, A'D, A"D, . . . , menées des points A, A', A", . . . au point D, les composantes P, P', P", . . . , précédemment appliquées à divers points de la droite DE, passeront par le point D, et

qu'en conséquence le centre des moyennes harmoniques des points A, A', A", . . . sera silué sur le prolongement de DG, G désignant toujours le centre de gravité des points a, a', a" , ....

» Les divers théorèmes que nous venons d'établir, et quelques autres que l'on déduit facilement des premiers, ont élé démontrés par M. Poncelet, à l'aide d'une méthode très-différente de celle que nous venons de suivre. De plus, après avoir établi les propriétés du centre des moyennes harmoniques, l'auteur en a fait quelques applications ingénieuses, parmi lesquelles nous avons remarqué la construction d'une échelle harmonique, à l'aide d'un procédé fort simple, qui exige seulement l'emploi de la règle.

» En partant de la définition que nous avons donnée du centre des moyennes harmoniques, il serait facile de déterminer analyliquement ce même centre. En effet, supposons les masses m', m", m"',..., respectivement concentrées sur des points {x', f , z'), {x", y", z"), [x'" , f, z'"), . . . , et cherchons les coordonnées X, y, z du centre des moyennes harmoniques de ces masses , par rapport au plan des xy.

» En faisant, pour abréger,

z' "" ~ z" "^ -~ z'" et désignant par P la résultante des forces P', P", P'", . . . , on aura

et, comme on aura de plus, en vertu des formules relatives au centre des forces parallèles,

w Px=2('"-')=2^' p/=2(pr)=22t^'. p.=2(P'.')=2;'«'.

on en conclura

» Ces diverses formules s'étendent au cas même où m, m', m" , . . . représenteraient les masses des divers éléments d'un corps solide divisé en une infinité de parties; alors elles se réduiraient à

(4) n=i Ç Ç C^dxdrdz,

(5) X = ^ fJJP^dxdydz, Y^^JJJ^-^dxdydz, Z = ^ JJJpdxdydz,

p désignant la densité de la molécule située en {x,y,z) et {X,Y, Z) étant le

centre des moyennes harmoniques demandé. Si, pour fixer les idées, on cherche le centre des moyennes harmoniques d'une sphère homogène décrite avec le rayon r, et dont le centre soit placé sur l'axe des z , à la distance h du plan des xy, on reconnaîtra que ce centre est lui-même situé sur l'axe des z à une distance Z de l'origine, la valeur de Z étant

^ :>.lir-^{r'—h')\o^{j~~^

T> Si la valeur de h est très-grande, par rapport au rayon r, la valeur précédente de Z, ou

deviendra sensiblement égale à A, et par conséquent le centre des moyennes harmoniques se confondra sensiblement avec le centre de la sphère, comme on devait s'y attendre.

» Soient maintenant v', v" , v'" , ... les coordonnées des points A', A", A'", . . , relatives à un plan quelconque, perpendiculaire ou oblique au plan des xy\ c'est-àdire, en d'autres termes, les distances des points A', A", A'",. . . au nouveau plan, prises tantôt avec le signe H-, tantôt avec le signe — , suivant qu'elles se comptent dans un sens ou dans un autre. Soit de même v la distance du centre des moyennes harmoniques des points k' , k". A'", . . . , au nouveau plan dont il s'agit. On aura, en vertu des propriétés connues du centre des forces parallèles,

ou, ce qui revient au même,

» Cette dernière formule comprend, comme cas particuliers, les formules (2), et celles que M. Poncelet a établies relativement au centre des moyennes harmoniques de plusieurs points situés en ligne droite.

» Le Mémoire de M. Poncelet est précédé d'un discours préliminaire qui offre une sorte de résumé de ses recherches sur la Géométrie, et d'une Note sur les moyens d'exprimer que quatre points, appartenant respectivement à quatre droites qui convergent vers un point unique, sont compris dans un seul et même plan. Dans le discours préliminaire, l'auteur insiste de nouveau sur la nécessité d'admettre en Géométrie ce qu'il appelle le principe de continuité. Nous avons déjà discuté ce principe, dans un Rapport fait il y plusieurs années sur un autre Mémoire de M. Poncelet, elnous avons reconnu que ce principe n'était, à proprement parler, qu'une forte induction qui ne pouvait être indistinctement appliquée à toutes sortes de questions de Géométrie, ni même en Analyse. Les raisons que nous avons

données pour fonder notre opinion ne sont pas détruites par les considérations que l'auteur a développées dans son Traité des Propriétés projectives.

» Quoi qu'il en soit, nous pensons que le Mémoire de M. Poncelet sur les » centres de moyennes harmoniques fournit de nouvelles preuves de la sagacité » de son auteur, dans la recherche des propriétés des figures, et qu'il mérite, sous » ce rapport, l'approbation de l'Académie. »

Nota.— Ces paroles sentencieuses, soulignées exprès et dont j'ai suffisamment appelé aux pages 563 à 569 du tome II éesJppUcntinns eV Analyse et de Géométrie (1864), ces paroles reproduites tant de fois par des esprits irréfléchis, vaniteux ou peu bienveillants à mon égard, ont fait un véritable tort à ma réputation dans un certain monde scientifique. Rapprochées du but exclusivement géométrique que je me proposais, dans mon Mémoire de mars 1824 (Sect. I"), ainsi que des dissertations algébriques où le Rapporteur se montre, comme d'habitude, enclin à établir sa supériorité sur l'auteur auquel les règlements académiques interdisent toute réplique, ces paroles, ces dissertations, si rigoureusement interprétées et commentées par M. Gergomie dans les Annales de Mathématiques, prouvent, mieux que je n'ai pu le faire à l'endroit précité des Applications, que M. Cauchy ne possédait qu'imparfaitement le sentiment de la véritable Géométrie; j'ajoute que cette réflexion ne s'adresse nullement à MM. Legendre et Ampère qui, je le répète à dessein, n'avaient pas le droit de s'immiscer dans la rédaction du Rapport, mais uniquement dans celle des conclusions soumises à l'approbation de l'Académie.

Quant à l'avenir réservé au principe de la continuité ou permanence des relations mathématiques relatives à la grandeur figurée, principe, sans lequel les applications du calcul algébrique demeurent sans base logique et certaine, comme je l'ai montré tout au long dans le IV' cahier du volume précité des Applications ; quant à cet avenir, je n'en désespère nullement, et il s'écoulera peu d'années sans doute, avant que les esprits réfléchis comprennent parfaitement ce principe et se l'approprient, comme l'ont fait déjà, d'une manière plus ou moins ostensible et heureuse, quelques géomètres d'un mérite réel et d'un sens véritablement philosophique.

Pour montrer, par un exemple d'autant plus frappant que je ne doute en aucune façon de la bienveillance de l'auteur, combien M. Cauchy a fait illusion, même à des savants qui passent avec raison pour de très-habiles algébristes, je citerai l'un de mes confrères déjà célèbre , de l'Académie des Sciences, qui, dans un séduisant article, en apparence très-flatteur pour moi, sur le Traité des Propriétés projectives (Cahier de novembre i865 du Journal des Savants), est venu néanmoins soutenir les jugements irréfléchis portés par M. Cauchy sur la partie philosophique, à mes yeux la plus importante de cet ouvrage et que cet illustre académicien n'a pas comprise ni voulu comprendre en refusant de m'accorder une heure d'audience avant la rédaction de son Rapport de 1820. Ce Rapport a été transcrit tout au long dans la première édition du Traité cidessus afin d'appeler spécialement l'attention sur ces jugements hasardés, injustifiables et trèssuffisamment rétorqués aux pages xv et suivantes de l'Introduction du tome P"" de cet ouvrage où il s'agit non d'intégrales ou de séries, mais de relations exclusivement géométriques dans leur point de départ et assujetties par là même à la loi de continuité et des signes de position que Cauchy ne connaissait pas.

Dans cette entrevue, en effet, j'aurais, je l'espère du moins, fait revenir mon Rapporteur de ses préventions en lui démontrant, par des arguments tirés d'un examen approfondi de cette loi des signes en Géométrie, combien était grande son erreur relative à ce que je nommais abréviativement le principe de continuité^ c'est-à-dire de permanence des relations de la grandeur figurée ; erreur dans laquelle M. Bertrand persiste aujourd'hui avec une confiance qui semble prouver qu'il n'a pas lu avec une suffisante attention les IIP et IV* cahiers du tome II de mes Applications d'Analyse et de Géométrie, où se trouvent réfutés par avance (p. 180, n" 17, p, 219, n° 47, p. 238, n°* 76 et suiv., p. 565-566) les objections et les exemples qu'il m'oppose pour affirmer le pré-

tendu manque de rigueur d'un fait primordial que je considérais simplement, je le répète, dans ses applications à la Géométrie pure, mais non aux formules di' intégration; manque de rigueur que M. Bertrand étend hardiment aux démonstrations et aux résultats qui en sont les conséquences nécessaires, en s'exclamant, après avoir cité textuellement un long passage mal compris et qui n'y a qu'un rapport fort indirect :

tf Nous sommes bien loin, on le voit, de la rigueur géométrique! »

L'exemple relatif à l'attraction d'une couche sphérique sur un point matériel tour à tour situé à l'extérieur ou à l'intérieur de cette couche prouve, non pas, comme l'entend M. Bertrand, que le principe de continuité avancé et démontré dans mes ouvrages souffre des restrictions en Géométrie, mais bien qu'il y a ici entre la loi des signes et les changements de position un véritable désaccord, dû [voyez les endroits précités du tome II des Applications) à ce que les forces attractives, supposées proportionnelles à Vinverse du carré de la distance, ne peuvent algébriquement changer de signe en même temps que de sens ou de direction.

Voilà, ce me semble, un fait qui aurait dû faire réfléchir un esprit aussi sagace que celui de M. Bertrand, d'autant que dq telles restrictions étrangères au principe établi par moi se présentent dans des circonstances analogues en Mécanique et même en Géométrie analytique, comme j'en ai donné la preuve ailleurs (p. 241, n°*79 et suiv. du tome II précité), afin d'avertir les professeurs (note de p. 243) chargés de cette branche d'enseignement, des méprises que l'on risque alors de commettre, même en employant toutes les ressources du calcul algébrique; méprises ou erreurs dont les solutions et énoncés de problèmes proposés aux concours généraux des lycées et collèges offrent souvent de fâcheux exemples.

En 1820, date du Rapport de M. Cauchy sur les propriétés projectiles, comme en 1828 oii il fit son dernier Rapport sur la théorie ùe?, polaires réciproques, l'Analyse algébrique, qui, de même que l'Analyse géométrique des Anciens harcelés par l'école des ergoteurs ou sophistiques rhéteurs d'alors, avait horreur de l'infini et de toute mutation dans les signes de position ; l'Analyse algébrique, disons-nous, malgré ses notations symboliques trop souvent abusives et stériles, se trouvait débordée par les développements de la nouvelle Géométrie, posés dans le Traité des Propriétés projectiles des figures. Et cet état de choses, nonobstant l'extension donnée à la méthode ingénieuse des multiplicateurs indéterminés., des déterminants, etc., etc., devait continuer jusqu'à nos jours, malgré les efforts souvent heureux des Plucker, des Jacobi, des Dirichlet, des Otto Hesse, des Cayley, des Sylvester, des Salmon, etc. ; ce dont M. Bertrand, peu au courant de ces matières, ne paraît pas jusqu'ici s'être encore aperçu,' si l'on en juge par les objections qu'il m'adresse et le récent appui qu'il vient donner aux anciennes critiques de Cauchy et de Gergonne que je croyais à jamais détruites du moins pour les esprits tant soit peu attentifs, d'après les anciennes recherches des tomes I et II de mes Applications de 1862 et 1864, invoquées dans l'Introduction même du tome 1" du présent ouvrage, etc.

Après cela, est-il bien nécessaire de relever des assertions telles que celles qui concernent MM. Terquem, Servois et Brianchon, dont le dernier, véritable géomètre initiateur en fait de Géométrie, s'est refusé à signer la lettre, aussi décourageante que peu réfléchie, due à la plume du premier de ces savants, que je ne refuse cependant pas de considérer comme mes amis scientifiques et mes maîtres en Mathématiques, si M. Bertrand l'exige absolument? Que dire encore de l'interprétation défavorable donnée par mon jeune confrère à une phrase trop réservée d'une note de la page 297 du tome II des Applications, etc., dans laquelle je témoignais le déplaisir d'avoir été mal compris par le Rapporteur Président de la Société Académique de Metz, qui contenait . alors très-peu de juges compétents dans la matière? Ce Président, M. Bergery, journaliste moralisant et vulgarisant, esprit faux quand il marchait sans guide, de plus mathématicien médiocre, avait, il est vrai, rendu des services incontestés à la population messine, dont il fut adoré pour ses leçons du soir et ses publications sur la Géométrie industrielle qui lui valurent, dans un but facile à deviner de la part du Ministre puritain Guizot, le titre rétribué de Directeur de l'École

Normale primaire; avortement regrettable, à mon sens, des cours véritablement gratuits et publics de Metz, devenus depuis i83o le modèle de tant d'autres à Paris et ailleurs, mais que l'Université impériale s'efforce aujourd'hui en vain de remplacer en France par l'enseignement prétendu professionnel, faute d'éléments indispensables. De plus, notre Président disert qui, pour ses petits livres in- 12, ne tarda pas à être couronné et nommé Membre correspondant de l'Académie des Sciences morales et politiques de l'Institut, où siégeaient les Guizot et les Dupin, maître Bergery, dans un discours, lu avec aplomb en 1822 devant un brillant auditoire messin qui l'applaudit pour la chaleur du style et la hardiesse des pensées, s'était avisé de généraliser et dénaturer à un tel point la portée et les applications du principe de continuité établi dans mon Mémoire («), que, plein de confusion de tant de ridicules excentricités philosophiques et humanitaires, je me hâtai de le retirer en me rappelant ces vers de la Fontaine :

Rien n'est si dangereux qu'un ignorant ami, Mieux vaudrait un sage ennemi.

(a) f^ojrez, dans le Recueil de la Société Académique de Metz (iSai-iSaa), le Discours du Président Bergery, le Résumé, par M. Herpin, du Rapport sur le Principe de la continuité , et le Procès-verbal de la séance, où, en présence de l'illustre Arago, je lus l'Introduction historique et un extrait de mon Analyse des transversales. Dans ce discours, fausse interprétation de mes idées, on lit des phrases telles que celle-ci (page i8) : « La continuité est une loi de la nature. — La conservation de l'univers re- » pose sur la continuité ; — elle n'est pas moins en nous qu'elle est hors de nous, etc. » Dans des écrits subséquents, Bergery parle également de mes travaux, entre autres de ma roue à aubes courbes, qu'il fit valoir à sa manière; puis, après avoir ainsi ébruité mes timides essais, il finit, comme Gergonne, cet autre Correspondant de l'Institut de France, par me traiter d'ingrat, alors que las de tant d'outrecuidance, je voulus revendiquer mon bien, et, comme Gergonne aussi, il s'éteignit dans le marasme de l'orgueil et du ridicule. A Dieu ne plaise que, à ces célébrités d'une époque déjà loin de nous, mais dont les écrits propagateurs ont pourtant été utiles, je veuille comparer notre spirituel confrère, M. Bertrand, interprète trop peu convaincu, peut-être, des œuvres de Lagrange, de Poinsot et de Cauchy ; seulement je regrette qu'il se soit fait gratuitement, et sans le comprendre apparemment, le contempteur du principe de la continuité géométrique et infinitésimale qui ne devrait être une pierre d'achoppement que pour les esprits étroits ou mal assurés. Pour tout dire enfin, j'éprouve un vif déplaisir à voir notre savant Académicien se constituer, selon la mode du jour, un juge d'abord élogieux, puis sévère et parfois tranchant dans ses appréciations des hommes et des choses; cap je n'ai point encore oublié l'estime que m'avait inspirée le brillant examen qu'il a subi naguère devant moi à la Sorbonne, pour l'agrégation universitaire, cette rêverie allemande d'un autre célèbre Ministre philosophe, demeurée, hélas! sans suite ni résultats connus, parce qu'en France on est fort peu enclin à rétribuer et faire vivre, en dehors du budget de l'État, des professeurs agrégés (privât docent), qui, même en Allemagne, faute de savoir-faire et de talent oratoire, meurent trop souvent de besoins et de fatigue.

RAPPORT A l'académie DES SCIENCES DE l'iNSTITUT SUR UN MÉMOIRE RELATIF A LA THÉORIE DES POLAIRES RÉCIPROQUES, LU DANS LA SÉANCE DE JUIN 1824, PAR M. PONCELET (*).

(Commissaires : MM. Legendre, Poinsot, et Cauchy rapporteur dans la séance du 8 février 1828.)

ce L'Académie nous a chargés, MM. Legendre, Poinsot et moi, de lui rendre compte d'un Mémoire de M. Poncelet sur la théorie des polaires réciproques; ce Mémoire,

(*) Ce Rapport, où se laisse apercevoir l'influence favorable de MM. Legendre et Poinsot, obtenu après quatre ans d'un silence, j'ose le dire, immérité, est arrivé beaucoup trop tard pour réparer

36o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

destiné à faire suite au Mémoire sur le centre des moyennes harmoniques dont il a été rendu compte à l'Académie, est divisé en cinq parties dans lesquelles l'auteur traite successivement : i° des figures polaires réciproques dans un plan; 2" des figures polaires réciproques dans l'espace; 3° des relations d'angles qui ont lieu, dans certains cas, entre les figures polaires réciproques; 4° et 5° des relations projectives entre les sinus d'angles et les distances des figures polaires et réciproques dans un plan ou dans l'espace. Pour donner une idée du travail de M. Poncelet, il est d'abord nécessaire de rappeler ici quelques définitions relatives à ce que l'auteur nomme les pôles des courbes et surfaces courbes du second degré.

» Le pôle et la polaire d'une section conique ne sont autre chose que le sommet de l'angle circonscrit à une telle courbe, et la direction indéfinie de la corde comprise entre les points où la courbe touche les côtés de cet angle. De même, le pôle et le plan polaire d'une surface du second ordre sont le sommet d'un cône circonscrit à cette surface et le plan de la courbe suivant laquelle le cône touche la surface. Cela posé, on démontre aisément que si le pôle d'une section conique se meut sur une certaine droite, la polaire passera constamment par un point unique qui sera le pôle de cette droite; et l'on en conclut que, si un point se meut sur une certaine courbe, la polaire correspondante à ce point sera constamment tangente à une seconde courbe dont les différents points seront les pôles correspondants aux

le tort scientifique que les opinions tranchantes émises par M. Cauchy, dans ses précédents Rapports, m'avaient occasionné; ce qui m'a finalement conduit à adresser au Bulletin des Sciences mathématiques de M. de Férussac les réclamations dont on lira le texte dans ce qui suit.

Quant au passage souligné dans le présent Rapport, j'y ai suffisamment répondu dans le Mémoire sur V Analyse des transversales (Sect. III, p. 212, n" 229 et suiv.).

Enfin je crois indispensable de faire observer que, par une confusion d'idées, une légèreté d'esprit habituelle, le Rapporteur semble attribuer à MM. Livet et Brianchon la découverte d'une réciprocité polaire [dualité) dont certes ils n'avaient pas conscience, môme pour les lignes et les surfaces du second degré, et dont le sentiment général explicite ne s'est révélé que beaucoup plus tard, dans un Mémoire adressé par moi, en 1817, au rédacteur des Annales de Montpellier [i. VIII), Mémoire qu'on trouve reproduit littéralement aux pages 476, 483 à 5oo (art. i à xx) du tome II de mes Applications d^ Analyse et de Géométrie (1864). C'est à tort aussi que les auteurs anglais de notre époque prétendent donner à M. Mœbius un droit quelconque de priorité relatif à la doctrine dont il s'agit, puisque son Calcul harycentrique n'a été publié qu'en 1827, longtemps même après le Traité des Propriétés projectiles (t. I"", 1822). Co sont là des erreurs qui témoignent l'ignorance ou un manque d'érudition géométrique regrettable, par lequel, comme je l'ai dit ailleurs, on confond trop souvent la découverte des vérités avec leur mode de démonstration à posteriori (algébrique ou synthétique). Ce qu'il y a de vrai seulement, c'est que la démonstration algéhrico- statique de la dualité de Gergonne par l'astronome Mœbius a précédé celles des Plucker, des Bobillier et autres, fondées sur des systèmes particuliers. D'ailleurs, les mômes savants, prenant Mœbius pour un esprit initiateur q\. profond [scharfsinnige Mœbius! Steiner, i832), lui attribuent la moderne découverte de la relation à deux termes, que M. Chasles, en 1837, a nommée anharmonique, qu'avait remarquée Brianchon dès 1818, et dont la propriété projectile avait été parfaitement établie par les Anciens, Euclide et Pappus d'Alexandrie [voyez \e §111 ci-après).

Ce sont là d'autre part des faits, des vérités irrécusables , qu'on ne saurait trop répéter pour l'édification des jeunes amis de la science géométrique. — (Note de i865.)

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 36i

tangentes de la première. On prouvera de même, comme l'ont fait MM. Monge, Livet et Brianchon, que, si le pôle d'une surface du second ordre décrit une surface courbe donnée, le plan polaire correspondant touchera constamment une seconde surface courbe dont les différents points seront les pôles correspondants aux plans tangents de la première. Ces remarques justifient la dénomination de polaires réciproques, appliquée par M. Poncelet aux deux courbes ou aux deux surfaces courbes dont nous venons de parler. Il est d'ailleurs évident que si la première courbe ou surface courbe se transforme en un polygone ou en un polyèdre, la seconde se transformera en un polygone ou polyèdre correspondant. Ajoutons que, dans le cas où une surface courbe devient développable, cette surface courbe et son arête de rebroussement peuvent être considérées comme ayant pour polaires réciproques : i° une seconde courbe; 2° une seconde surface dont l'arête de rebroussement est précisément la nouvelle courbe.

» Les figures polaires réciproques, construites comme nous venons de le dire, offrent un grand nombre de propriétés dont quelques-unes se reconnaissent immédiatement d'après leur construction, tandis que d'autres paraissaient plus difficiles à découvrir. Parmi ces dernières on doit citer celle que MM. Livet et Brianchon ont démontrée par l'analyse : l'un pour un cas particulier, l'autre généralement, dans le XIIP Cahier du Journal de l'École Polytechnique, et qui consiste en ce que la polaire réciproque d'une courbe ou surface courbe du second degré est encore une courbe du même degré. Les considérations géométriques dont M. Poncelet a fait usage l'ont conduit à un théorème plus général, savoir : que la polaire réciproque d'une courbe ou surface courbe du degré m est une autre courbe du degré m{m — i) ou une autre surface courbe du degré m {m — \f.

» Nous allons indiquer en peu de mots les raisonnements à l'aide desquels l'auteur s'est proposé d'établir ce théorème, en nous bornant, pour plus de simplicité, au cas où il s'agit d'une courbe plane. On sait que le nombre des tangentes que l'on peut mener d'un point quelconque à une courbe donnée du degré m, c'est-à-dire à une courbe représentée par une équation du degré m, est, au plus, égal au produit m{ni — i). D'ailleurs, il résulte des principes ci-dessus rappelés que, si l'on désigne par n le nombre des points d'intersection d'une droite avec la polaire réciproque de la courbe donnée, on pourra, par le pôle de cette droite, mener n tangentes à cette courbe. Donc le nombre n ne peut surpasser le produit m{ni — i). Donc la polaire réciproque d'une courbe de degré m ne peut être coupée par une droite en plus de points qu'il n'y a d'unités dans ce produit. M. Poncelet en conclut que la polaire réciproque est du degré m{m — i). Mais, pour mettre cette conclusion hors de doute, il nous paraîtrait nécessaire de substituer à la démonstration géométrique de M. Poncelet une démonstration analytique. Une démonstration du même genre s'appliquerait aux raisonnements dont l'auteur s'est servi pour faire voir que la polaire réciproque d'une courbe du degré m est une surface développable dont le degré ne surpasse pas le produit m{m — i).

» Parmi les propriétés que présentent les figures polaires réciproques et qui résultent immédiatement de leur construction, on doit remarquer celles qui sont relatives aux points singuliers des courbes et surfaces courbes. M. Poncelet fait voir U. 46

362 PROPRIÉTÉS PROJECïlVES DES FIGURES.

comment ces points singuliers changent de nature, quand on passe d'une courbe donnée à sa polaire réciproque, et comment le degré de la polaire réciproque s'abaisse dans le cas où la courbe donnée offre des points conjugués.

fi Les deux premières parties du Mémoire de M. Poncelet sont particulièremeni consacrées à l'établissement des principes et des théorèmes que nous venons de rappeler, ainsi qu'à la recherche des conséquences qui s'en déduisent. Parmi ces conséquences, nous en citerons plusieurs qui nous paraissent dignes de remarque. Elles sont renfermées dans les propositions suivantes :

» Le nombre des tangentes communes à deux courbes dont les degrés sont représentés par les nombres in et n est en général et au plus égal au produit mn[m — \){n — i). — Le nombre des plans que l'on peut mener par un point unique, de manière qu'ils touchent à la fois deux surfaces, l'une du degré m, l'autre du degré n, est en général et au plus égal au produit mn{m — i)M^ — O^* — ^^ surface développable circonscrite à deux surfaces quelconques du second ordre offre en général quatre lignes de striction planes et du second ordre seulement. — Lorsque plusieurs surfaces du second degré ont une même développable circonscrite, un plan quelconque a pour pôles, dans ces surfaces respectives, une suite de points rangés sur une môme droite. — Lorsque plusieurs surfaces du second ordre ont les huit mêmes plans tangents communs, un plan quelconque a pour pôles, dans ces surfaces respectives, une suite de points rangés dans un nouveau plan, qui jouit de la propriété réciproque à l'égard du premier.

» Les diverses propositions qui précèdent se déduisent, par la théorie des polaires réciproques, d'autres propositions déjà connues; et en général, ainsi que l'observe M. Poncelet, on peut, à l'aide de cette même théorie, déduire d'une propriété graphique commune à toutes les surfaces du second ordre, ou à toutes les surfaces représentées par des équations algébriques, une seconde propriété des mêmes surfaces aussi générale que la première. On doit seulement excepter le cas où la première propriété serait elle-même sa réciproque.

» Dans les trois dernières parties de son Mémoire, M. Poncelet expose, non plus les propriétés graphiques ou descriptives des figures polaires réciproques, c'est-à-dire celles qui concernent les directions indéfinies, l'intersection ou le contact des lignes et des surfaces, mais les propriétés qu'il nomme métriques et qui sont relatives aux rapports de grandeur des parties rectilignes des figures dont il s'agit. Ces propriétés consistent, soit dans les relations d'angles qui ont lieu, dans certains cas, entre les figures polaires réciproques, soit dans les relations projectives qui peuvent exister entre les sinus d'angles et les distances. Pour en donner une idée, nous citerons les propositions suivantes :

» Deux droites étant situées à volonté dans l'espace, si entre ces droites on fait mouvoir un angle droit dont le sommet soit en un point fixe de l'espace et dont les côtés s'appuient respectivement sur ces droites, la suite de celles qui appartiennent à la fois aux paires de points de rencontre des droites fixes et des côtés de l'angle mobile sera une surface gauche du second degré ou un hyperboloïde à une nappe. — Une figure quelconque étant donnée sur un plan, s'il existe entre les diverses distances de ses points une relation métrique projective, la même relation existera

aussi dans la polaire réciproque de celte figure, prise par rapport à un cercle auxiliaire quelconque, entre les distances correspondantes formées sur une droite arbitraire par les intersections de cette droite avec les polaires des extrémités respectives des premières, et réciproquement.

» En résumé, le Mémoire de M. Poncelet nous a paru offrir de nouvelles preuves » de la sagacité que l'auteur avait déjà montrée dans les recherches des propriétés » des courbes et des surfaces courbes. Nous pensons, en conséquence, que ce » Mémoire est digne de l'approbation de l'Académie. »

NOTE SUR DIVERS ARTICLES DU BULLETIN DES SCIENCES DE 1826 ET 1827, RELATIFS A LA THÉORIE DES POLAIRES RÉCIPROQUES, A LA DUALITÉ, ETC. ; PAR M. PONCELET.

[Extrait du tome VIII (1827), p. 109 à 117 de ce Bulletin, publié, sous le patronage du B°" de Férussac, par M. Gergonne, sous le pseudonyme de M. Saigey.]

« On lit, à la page 275 du Bulletin de, mai 1827, que, dans un Mémoire présenté

» récemment à l'Académie royale des Sciences , M. Poncelet a repris, avec de plus

» amples développements, les recherches de M. Gergonne sur la dualité des pro-

j» priétés de situation, dualité que ce dernier géomètre a signalée (*) dans les pre-

» miers numéros des Annales de Mathématiques de l'année 1826, et dont il a été

» rendu un compte fort détaillé à la page 112 du Bulletin de février de la même

» année. Or il m'importe beaucoup que les géomètres qui n'ont pas l'avantage

» d'assister aux séances de l'Académie des Sciences sachent : 1° que le Mémoire

» sur la théorie générale des polaires réciproques, dont il s'agit, a été présenté à

» cette Académie dans sa séance du 12 avril 1824 (**), par conséquent deux années

» avant l'époque où M. Gergonne a publié ses idées sur la dualité de certains

» théorèmes de Géométrie; 2° qu'il a été lu, dans cette même séance, une Notice

» étendue qui avait pour but de signaler fortement à l'attention des géomètres,

» non-seulement la réciprocité des relations descriptives ou de situation des

» Ogures, mais encore celle des relations métriques de distances, d'angles et de

» lignes irigonométriques ; 3° que ce Mémoire a été renvoyé à l'examen d'une

» Commission composée de MM. Legendre, Poinsot et Cauchy rapporteur, qui en

» possède encore (1827) le manuscrit. S'il était nécessaire d'appuyer des faits aussi

» authentiques, il me suffirait d'invoquer le témoignage des personnes présentes à

» la séance du 12 avril 1824, lesquelles se rappelleront très-bien m'avoir entendu

(*) a Le lecteur remarquera que ces recherches de M. Gergonne ne comprennent que les rela- » lions de situation du point, de la ligne droite et du plan, dont la réciprocité ou la dualité est » de première évidence, et que c'est par erreur que l'auteur de l'article cité du Bulletin men- » lionne aussi tous les théorèmes de la Trigonométrie sphérique, puisque M. Gergonne ne s'en » est point occupé. »

{**) a Voyez le résumé de cette séance dans les divers journaux du temps, et notamment p. 74 » du tome II du Bulletin des Sciences de 1824- »

» lire la Notice dont l'extrait a paru dans le numéro de mars 1827 des Annales de » Mathématiques, Notice dont la singularité des vues a même fait dire plaisamment » à d'illustres académiciens que c'était de la Géométrie romantique, de la Géomé- » trie à quatre dimensions.

» On ne me reprochera pas, sans doute, d'avoir attendu jusqu'ici sans réclama- » lions le jugement de MM. les Commissaires de l'Institut; mon silence prouve, » tout au plus, le prix que j'attache à ce jugement, le respect que je professe pour » la personne des Commissaires, enfin le peu d'empressement que je mets à tirer » avantage de mes recherches géométriques.

» Le fait est que le Mémoire sur la théorie des polaires réciproques et celui qui » a pour objet la théorie générale des centres des moyennes harmoniques , dont il » a été rendu compte, l'année dernière, à l'Académie, par M. Cauchy, composent » les préliminaires d'un grand travail sur les propriétés des lignes et des surfaces » géométriques, déjà annoncé dans le Traité des Propriétés projectives des figures. » Les occupations de mon service militaire ne m'ont pas permis, jusqu'à présent, » de perfectionner et de mettre au jour ce travail, et je suis encore moins à même » de le terminer depuis que Son Excellence le Ministre de la Guerre m'a chargé » de créer le cours de Mécanique appliquée aux machines, à l'École spéciale d'ar- » tillerie et du génie, à Metz. Mais si, dans cette position, j'ai dû renoncer à l'idée » de poursuivre et de publier prochainement mes recherches géométriques, je » n'en dois pas moins être jaloux de m'assurer la possession de celles qui ont pu » arriver à la connaissance des géomètres. Comme j'ai eu d'ailleurs occasion de » communiquer, depuis longtemps, quelques-uns des résultats de ma théorie à dif- » férentes personnes, je crois pouvoir déclarer ici que l'objet de ces recherches » embrasse les propriétés descriptives et métriques les plus générales de Yinter- » section, de Vosculation des lignes et des surfaces de divers ordres, et que c'est » en prenant principalement pour base les deux Mémoires ci-dessus, les principes » de la projection centrale ou perspective et ceux de la théorie des transversales, » que je suis parvenu aux résultats de mon travail ; je crois devoir déclarer, en » outre, que la méthode par laquelle j'applique la théorie des transversales à la » découverte des propriétés des lignes et des surfaces, présente les caractères d'une » véritable analyse qui permet de combiner les relations des figures et de recon- » naître ce qui leur appartient, même quand ces relations prennent \a forme de l'in- » détermination, ou que certaines grandeurs deviennent imaginaires, infinies, etc. » J'ajouterai que, pour faciliter l'intelligence de cette méthode, j'ai commencé par » l'appliquer aux sections coniques, et que je suis ainsi parvenu à établir, en quel- » ques pages, les propriétés les plus fécondes, les plus générales de ces courbes, » notamment celles des hexagones inscrits et circonscrits, celles du contact des » divers ordres, celles enfin que Desargues a nommées involutions : ces dernières » relations, comme on sait, ont été étudiées spécialement par M. Brianchon, dans » son intéressant Mémoire sur les lignes du second ordre ; elles se trouvent repro- » duites dans le Traité des Propriétés projectives, et elles ont servi de base à » M. Slurm pour établir, dans les Annales de Mathématiques (t. XVI et XVII; Bul- » letin des Sciences, mai 1826 et février 1827), plusieurs des propriétés des sec-

» lions coniques considérées isolément ou combinées entre elles. On conçoit aussi » que la démonstration de l'hexagone de Pascal donnée par M. Gergonne, t. XVII » Aes Annales de Mathématiques, n° 5, en partant des propriétés des sécantes du » cercle, démonstration mentionnée p. gS du Bulletin des Sciences de février 1827, » que cette démonstration, dis-je, doit se trouver comprise nécessairement dans » l'application particulière que j'ai faite de la théorie des transversales aux sections » coniques; et, s'il fallait à ce sujet un témoignage plus spécial, j'invoquerais celui » de M. Brianchon, auquel, depuis nombre d'années, j'ai fait part de ma méthode » avec cette confiance qu'on doit à un ami, à un savant modeste, assez riche de » son propre fonds pour n'avoir rien à envier à ses émules.

» En entrant dans ces développements, mon intention n'est pas de revendiquer » pour mon compte toutes les propositions sur les courbes et surfaces qui ren- » trent dans l'objet spécial de mes recher<îhes; à Dieu ne plaise 1 Je prétends seu- » lement qu'on m'accorde que je n'ai pas emprunté aux autres les principes et les » méthodes qui en constituent la base essentielle.

» Revenons à la dualité dont le Bulletin des Sciences attribue uniquement la » découverte à M. le rédacteur des Annales de Mathématiques. Je ne manquai pas » de faire remarquer à cet estimable géomètre l'analogie de ses idées avec les » miennes, dès l'apparition, en janvier 1826, de son Mémoire sur la dualité; et, » d'après la demande qu'il voulut bien me faire ensuite de lui donner une idée » plus étendue de mes dernières recherches concernant la théorie des polaires » réciproques, je me hâtai de lui en adresser l'analyse au mois de décembre 1826; » j'y joignis un article de réclamations qui me paraissait assez intéresser la philo- » Sophie de la science. pour mériter une place dans les Annales de Mathématiques, » et. que par la même raison je crois utile de publier à la suite de cette Note (*). » Je respecte les motifs qui ont empêché M. Gergonne d'insérer, avant le numéro » de mars 1827 de son recueil, l'analyse dont il s'agit, et qui lui ont fait supprimer » entièrement ma réclamation. J'ignore d'ailleurs pourquoi il a cru devoir ré- » pondre à cette réclamation, dans ce même numéro, sans la citer et sans mettre » ses lecteurs en état d'apprécier ses propres observations. Enfin, je ne comprends » pas davantage pourquoi il a totalement négligé de mentionner mes recherches » dans ses deux Mémoires de janvier et de février 1827, sur les lois générales qui » régissent les lignes et les surfaces courbes, Mémoires dont l'analyse a été donnée » dans les cahiers de mars et d'avril derniers du présent Bulletin. J'ai d'autant plus » lieu d'en être étonné, que la publication de ces Mémoires est postérieure à l'en- » voi de ma réclamation, et qu'ils sont entièrement basés sur la partie de la théorie » des polaires réciproques que j'ai le plus d'intérêt à revendiquer pour mon » compte, puisqu'elle concerne !a réciprocité ou, si l'on veut, la dualité des pro~ » priétés des lignes et des surfaces courbes, réciprocité que j'ai étudiée d'une ma- » nière toute spéciale, soit dans mon Mémoire d'avril 1824, soit dans le Traité des » Propriétés projectiles, et dont j'avais même déjà exposé les principes fondamen-

(*) « Le manque d'espace nous oblige à la renvoyer au Bulletin suivant. »

» taux et signalé l'importance, dès janvier 1818, dans un article inséré au tome VII » des Annales de Mathématiques.

» Quoique les deux Mémoires de M. Gergonne, que nous venons de citer en der- » nier lieu, renferment, quant à l'objet en discussion, beaucoup de conséquences » qui, suivant nous, sont plus que sujettes à controverse, et dont la publication » peut faire tort aux vues philosophiques de l'auteur sur le principe de dualité, on » avouera que, d'après l'importance même qu'il leur accorde, nous avions quelque » droit d'espérer qu'il ne tairait pas ce que nous avons fait dans ce genre de re- » cherches. Nous professons au surplus, envers sa personne et son caractère, une » trop haute estime pour ne pas croire qu'il serait revenu, dans les numéros sui- » vants des Annales, sur ce qui nous concerne, et nous eussions gardé presque in- » définiment le silence sur l'objet de la présente réclamation, si l'article inséré à la » page 276 du Bulletin des Sciences de 1827 n'était pas rédigé de manière à laisser » croire aux géomètres qu'en effet nos recherches sont postérieures à celles de » M. Gergonne. L'auteur de cet article est d'autant plus excusable d'ailleurs que » l'omission, dans les Annales de Mathématiques, de la date de la présentation à » l'Académie des Sciences du Mémoire sur la théorie générale des polaires réci- » proques, la suppression d'une partie de la lettre d'envoi de l'analyse de ce Mé- » moire, enfin les réflexions mêmes dont M. Gergonne a jugé à propos d'accom- » pagner cette analyse, ne sont pas très-propres à éclairer la conscience des lec- » leurs sur l'objet en discussion.

» Par exemple, tout en avouant (*) que les points principaux de la nouvelle doc- » trine se trouvent indiqués dans le Traité des Propriétés projectiles, il avance « que c'est d'une manière si fugitive, qu'il n'en est fait aucune mention, ni dans le » Rapport des Commissaires de l'Académie, ni dans la préface de l'auteur, ni même » dans son introduction de trente pages ; » puis il ajoute : a N'est-on pas fondé, » d'après cela, à penser que M. Poncelet avait d'abord regardé cette partie de son » ouvrage comme très-accessoire, surtout lorsqu'on lui voit recommander les élé- » ments d'Euclide, et qu'on le voit débuter par des proportions et des calculs. » » Un peu plus loin il nous accuse d'avoir laissé glisser parmi les doctrines qui a font l'objet du Traité des Propriétés projectiles des doctrines qui sont au moins » sujettes à controverse. Or, rien n'est plus facile que de réfuter ces assertions; et » sans parler de l'omission qui a pu être faite dans l'avertissement de deux pages » du Traité dont il s'agit, ne paraît-il pas évident que les Commissaires de l'Acadé- » mie ont dû se borner, dans leur Rapport, à parler de ce qui était contenu dans la » première Section de l'ouvrage, la seule qui ait été soumise à leur jugement, à » quelques propositions près relatives au contact et à l'intersection des cercles. » Quant à l'introduction de trente pages, nous ferons observer que, indépendam- » ment de ce qu'elle a été rédigée fort à la hâte, à l'instant même où l'on terminait » l'impression du texte, cette introduction n'est point une analyse et n'a pour » objet que de signaler le but et l'esprit général de l'ouvrage, mais non pas son

« Annales de Mathéniatkjues, mars 1827, p. 274 et 275. »

» contenu. Tout ce qu'avance à ce sujet M. Gergonne ne saurait donc prouver que » nous n'avons pas donné une attention très-sérieuse à la théorie des polaires réci- » proques et à la dualité qui en dérive, dès la publication du Traité des Propriétés » projectiles, en 1822, et même avant cette publication. Il est vrai qu'à l'époque » dont il s'agit nous n'avions point fait de cette théorie l'objet d'un Mémoire ou » d'un chapitre spécial, et que nous nous réservions d'y revenir avec plus de détails » dans la partie de nos recherches relative aux propriétés générales des lignes et » des surfaces courbes; toujours est-il que nous en avons traité à toute occasion, » et avec assez de développements pour être à l'abri des reproches que nous » adresse M. le rédacteur des annales de Mathématiques.

» Au surplus, cette discussion doit paraître bien superflue, et l'importance que » nous attachions à la chose bien démontrée, d'après l'empressement que nous » avons mis à faire suivre, presque immédiatement, le Traité des Propriétés pro- » jectives du Mémoire sur la théorie des polaires réciproques {*); il est seulement » surprenant que l'apparition de ce Traité n'ait pas stimulé davantage l'esprit d'in- » vesligation des géomètres, et que l'année 1823 tout entière se soit écoulée sans » qu'on ait songé à rien publier qui ait trait à cette théorie. Cela nous prouve que » les idées répandues dans notre ouvrage auront quelque peine à s'établir, et qu'il » se passera encore des années avant qu'on en ait saisi le véritable esprit et qu'on » lui rende le degré de justice qui peut lui être dû : les Rapports qui en ont été » faits à l'Académie royale des Sciences n'ont malheureusement que trop servi à » reculer cette époque, en jetant une sorte de défaveur sur les principes d'où nous » sommes parti, et en donnant à penser qu'il s'agit d'une espèce de Géométrie où » l'on remplace la rigueur du raisonnement par des inductions hasardées, des aper- » eus de pur sentiment. Le fait est que ce reproche a été reproduit vaguement par » divers géomètres et par M. Gergonne lui-même, sans motifs plausibles, disons » plus, sans en avoir suffisamment approfondi le sujet. Nous aurions bien mal em- » ployé notre temps et nos peines, si nous n'avions pas réussi, aux yeux des per- » sonnes non prévenues, à mettre le résultat de nos démonstrations à l'abri de » toute attaque ; peut-être même n'en saurait-on dire autant de beaucoup d'écrits » géométriques de notre époque, où la logique sévère des Anciens est quelquefois » négligée, par suite de l'habitude acquise, assez généralement, d'accorder aux » symboles et aux opérations de l'Algèbre une rigueur mathématique presque indé- » finie.

» -Nous n'en dirons pas davantage, pour le moment, sur ce qui concerne le » manque de rigueur dont M. Gergonne accuse quelques-unes des doctrines qui » entrent dans le Traité des Propriétés projectiles; quant au reproche qu'il nous » adresse d'avoir recommandé, dans l'introduction de ce Traité, les éléments d'Eu- » clide, en lisant la page 26 de cette introduction, on comprendra, de reste, que

(*) « Nous avions déjà annoncé les conséquences étendues de ce Mémoire, pour la démonstra- » tion des théorèmes de Géométrie, dans l'introduction qui accompagne le Mémoire sur la tliéorie » des centres de moyennes harmoniques , c'est-à-dire avant la fin de l'année 1823, époque à laquelle » nous remîmes à M. Arago la copie de ce dernier Mémoire, pour en faire hommage à l'Académie » royale des Sciences. »

I) nous avons entendu parler, en général, de tous les traités élémentaires où l'on emploie la synthèse pour établir l'enchaînement des propositions, et dans lesquels on prétend se borner aux considérations les plus simples sur chaque objet. Cette recommandation de la Géométrie synthétique sera, si l'on veut, une concession faite aux idées du siècle, un moyen détourné de faire goûter les nouvelles doctrines, et de ne point effrayer les géomètres qui tiennent à l'ancienne forme des éléments; mais, à coup sûr, on n'en conclura pas, avec M. Gergonne, que nous n'ayons point senti l'importance de ces mêmes doctrines, au développement desquelles nous avons consacré presque entièrement un volume de 4oo pages. Pareillement on comprendra, sans difficulté, qu'en débutant par des proportions et des calculs, nous avons cherché à éviter le reproche que nous adresse ce géomètre, dans ses réflexions du numéro de mars 1827 de son recueil, d'avoir voulu brusquer une révolution; on reconnaîtra que, toute nécessaire que cette révolution ait pu paraître à nos propres yeux comme à ceux de M. Gergonne, nous avons agi prudemment en prenant d'abord un vol moins élevé, et procédant d'après la manière ordinaire d'envisager la science de l'étendue, dans un ouvrage dont les derniers chapitres devaient s'en éloigner considérablement, et qui devait contenir une multitude de relations métriques ou de longueurs, qui rentreront nécessairement, et quoi qu'on fasse, dans le domaine de la science du calcul.

» Le savant rédacteur des Annales de Mathématiques, qui ne paraît pas avoir été frappé, comme nous, de l'existence de la dualité de ces dernières relations, et qui n'a eu jusqu'à présent en vue que les propriétés de situation les plus simples, a donc tout à fait méconnu le but véritable de nos recherches; peut-être même s'en est-il exagéré, à ses propres yeux, l'importance, quand il a prétendu (numéros de janvier et de février 1827 des Annales, p. 214 et 22g) soumettre indistinctement au principe de dualité toutes les propriétés descriptives des figures; car nos propres méditations nous prouvent que, si cette dualité est exactement appliquable aux lignes et aux surfaces des deux premiers degrés, il s'en faut qu'elle le soit aux lignes et aux surfaces des degrés supérieurs, du moins de la manière dont il l'a entendu dans ses derniers Mémoires : nous n'oserions, par exemple, affirmer avec lui que, de ce que deux lignes de degrés w et n s'entrecoupent en général, sur un plan, en mn points au plus, de pareilles lignes n'ont aussi, en général, que mn tangentes communes, ni que la réciproque polaire d'une ligne d'un certain ordre soit elle-même de cet ordre, etc. En nous occupant des mêmes questions dans un article déjà cité plus haut [Annales de Mathématiques, t. VIII, p. 211 et suiv., année 1818}, nous sommes arrivé à des résultats très- différents et que nous avons reproduits, avec l'extension convenable, dans notre dernier Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques ; or, nous ne pensons pas qu'on puisse attaquer l'exactitude de ces résultats, bien qu'ils conduisent à des conséquences qui ne sont pas entièrement d'accord avec celles que M. Gergonne a déduites des siens propres, dans ses Recherches sur les lois qui régissent les lignes et surfaces algébriques. »

Signé : Poncelet (date omise, pour cause, dans le Bulletin de Férussac).

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. SGg

SUR LA DUALITÉ DE SITUATION ET SUft LA THÉORIE DES POLAIRES RÉCIPROQUES, SeCOnd

article en réponse aux observations pseudonymes du Bulletin des Sciences de Férussac.

[Extrait du tome IX (1828), p. 292 à 32o de ce Bulletin.]

a Comme il s'agit ici d'une discussion relative à la priorité de vues et de recher- » chesje crois indispensable de donner une notice succincte des découvertes des » géomètres relatives à la matière, ainsi que je l'ai fait dans l'introduction de mon » Mémoire de 1824 sur la Théorie générale des polaires réciproques. Cette notice, » pour le développement de laquelle je renverrai à la IIP Section du Traité des » Propriétés projectiles des figures, servira à faire la part de chacun et mettra un » terme, j'espère, à une polémique qui, sans cela, deviendrait interminable.

» En lisant, dans les Annales, les nombreuses Notes de M. Gergonne, on s'aper- » cevra que, dans la vue d'être court, j'ai négligé de répondre à beaucoup des » assertions, des inculpations ou des personnalités qu'elles contiennent, et je me » suis contenté de réfuter ce qui intéresse directement l'objet en discussion.

» Les propriétés fondamentales du pôle et de la polaire des sections coniques » sont dues, comme on sait, à de Lahire. Monge, Livet et Brianchon les démon- » Irèrent depuis par des méthodes plus générales, et les étendirent au pôle, au plan » polaire et aux droites polaires des surfaces du second degré. M. Brianchon s'en » servit le premier pour déduire, du théorème de Pascal sur les hexagones inscrits » aux sections coniques, le théorème corrélatif sur les hexagones circonscrits, » dont les conséquences ne sont ni moins étendues ni moins remarquables; il » mit ainsi les géomètres sur la voie des applications de la théorie des pôles et » polaires.

» On a reproduit depuis les propriétés fondamentales de cette théorie, par divers » moyens plus ou moins recommandables; leur énoncé s'est simplifié et a pris un » peu plus d'extension par l'emploi des mots pôles et polaires. A l'exemple de » M. Brianchon, on s'en servit pour établir la corrélation de situation entre les » polygones inscrits et circonscrits aux mêmes points d'une section conique (*). » Mais jusque-là les figures que l'on considérait avaient une relation Intime et » toute particulière avec la courbe.

» C'est encore M. Brianchon qui, le premier, fit y o'w {Annales de Mathématiques, » t. IV, p. 196 et 379) la corrélation de situation qui lie entre eux, par rapport à » une section conique quelconque, deux hexagones dont chacun a réciproquement » pour sommets les pôles des côtés de l'autre. A la vérité, il ne s'agit encore là que » d'hexagones inscriptibles ou circonscriptibles aux lignes du second ordpe; mais

(*) « Voyez ces diverses recherches dans les premiers yolumes àes Annales de Mathématiques, » et notamment la page 122 du tome I", où M. Encontre établit la corrélation ci-dessus, à l'oc- » casion de l'inscription et circonscription à un cercle, d'un polygone dont les côtés passent par » des points donnés, ou dont les sommets sont sur des droites données. »