II

» ces hexagones ont une situation générale, par rapport à la section conique, qui » sert de directrice des pôles et polaires. Or, c'était un pas de fait dans la théorie » de la dualité ou de la réciprocité des relations de situation. Déjà d'ailleurs » M. Brianchon avait démontré (X^ et XIIP Cahier du Journal de V École Poly- » technique) que, « quand un point se meut sur une surface du second degré, le » plan polaire de ce point, par rapport à une autre surface de ce degré, en touche » constamment une même troisième,» et que,« quand une droite se meut, en tou- » chant une section conique, le pôle de cette troisième droite, par rapport à une » autre section conique, demeure continuellement sur une section conique. » Mais il » restait à démontrer les propositions corrélatives, qui seules pourraient établir la » réciprocité des relations de situation des lignes et des surfaces du deuxième » degré.

» Voilà, ce me semble, où en étaient les choses au commencement de 1818, » lorsque, résumant [Annales de Mathématiques, t. VIII, p. 21 1) en ce peu de mots » les propriétés essentielles du pôle des sections coniques, « la polaire de tout » point d'une droite passe par le pôle de cette droite, et vice versa, » j'établis, sans » autre préambule, la théorie des pôles et polaires réciproques, c'est-à-dire la réci- » procité parfaite qui existe, non pas seulement entre les relations de situation des » points et des droites, mais entre celles des courbes planes quelconques, po/aiVe* » par rapport à une section conique prise à volonté pour directrice, ou qui sont » telles que les points de l'une ont pour polaires les tangentes respectives de l'autre, » et vice versa. Me servant de cette réciprocité, ainsi justifiée en général, je déter- » minai le degré et les affections principales des lignes polaires de courbes don- » nées, et je fis voir que cette doctrine pouvait s'étendre aux figures dans l'espace, » notamment aux surfaces du deuxième degré. Enfin, j'annonçai tout le parti qu'on » en pouvait tirer pour la démonstration et la recherche des propriétés des figures, » en prenant pour exemple la réciprocité des relations existantes entre les points » d'intersection et les tangentes communes de deux courbes quelconques tracées » sur un même plan.

» D'après ces diverses recherches, d'après tout ce qu'on savait d'ailleurs de la » dualité des propositions de la Géométrie de la règle, on concevra aisément que » M. Gergonne ait pu énoncer, dès 1819 et sans beaucoup d'hésitation, le théorème » sur les intersections de lignes droites, qu'il cite dans l'une des notes de la » page 127 du tome XVIII de son recueil (*), comme étant le corrélatif d'un autre

(*) « M. Gergonne y cite aussi, en faveur de ses idées sur la dualité, l'article de la page 821 » du tome IX des Annales, relatif aux polyèdres conjugués; tout ce que cet article prouve, c'est » que ses vues sur la dualité de l'espace étaient alors bien restreintes, et qu'il ne savait pas encore » se servir de la théorie des polaires réciproques, comme il le fit beaucoup plus tard (t. XV, » p. iSy, novembre 1824), en reprenant ses recherches sur les polyèdres. Du reste, le mot de » dualité n'est pas même prononcé dans un seul de ces endroits, et rien n'y constate les droits » de M. Gergonne à la découverte du principe de celte dualité, pas plus que toutes les autres » propositions doubles, antérieurement connues, ne constatent ceux des géomètres qui les ont, les » premiers, signalées ou démontrées. »

» beau théorème dû à M. Coriolis ; mais ce qu'on ne saurait lui accorder sans » preuves, c'est que ses idées sur la dualité aient été, à cette même époque, com- » plétement fixées, ainsi qu'il le prétend dans la note en question et qu'on le » répète à la page 21 3 du précédent Bulletin. Car il ne s'agit là que d'une appli- » cation fort simple de la théorie des pôles et polaires, comme le prouvent les » considérations par lesquelles il a justifié son théorème réciproque, deux années » plus tard, dans un article inséré à la page 335 du XP volume des Annales, sans » dire un seul mot, du reste, qui ait trait à la dualité en général. La fin de cet » article démontre même que M. Gergonne ignorait alors le moyen très-simple » d'établir cette dualité pour le cas de l'espace : en effet, dans ce cas, les points » des énoncés, au lieu d'être remplacés par des droites, devaient l'être par des plans, » pour passer aux figures corrélatives; ce qui choquait probablement les idées bien » fixées qu'il avait de la dualité.

» D'ailleurs, ceux qui connaissent l'activité infatigable de la plume de M. Ger- » gonne pour tout ce qui tient à la philosophie des sciences croiront difficilement » que, s'il avait eu alors sur la dualité des idées aussi complètement fixées qu'il veut » bien le faire supposer, il les eût gardées par devers lui jusqu'en 1826, malgré la » haute importance qu'il leur accorde maintenant. Ils admettront volontiers, au a contraire, que l'existence de la dualité n'était encore, pour ce géomètre, qu'un de » ces sentiments vagues, de ces aperçus obscurs, tels qu'il s'en présente quel- » quefois à l'esprit, et qu'une étude un peu sérieuse ne vient pas toujours con- » firmer; en un mot, tout prouve que, même longtemps après 1819, les vues de » M. Gergonne ne s'étendaient guère au delà de celles que pouvaient faire naître » les faits déjà bien connus, et ce que j'avais dit d'un peu général, dès 1818 et » surtout en 1822, dans les Annales de Mathématiques et dans le Traité des Pro~ » priétés projectives des figures. Voilà sans doute pourquoi il ne juge pas indispen- » sable d'en entretenir le public avant l'époque de 1826.

» Au surplus, M. Gergonne ne disconvient pas de la priorité de mes recherches » sur les siennes, et son système de réplique paraît se borner à la revendication » des mots dualité de situation, mots, selon moi, vides de sens en philosophie B mathématique, et absurdes, qu'on me passe l'expression, lorsqu'on entend en » faire le type d'un principe général indépendant de la théorie qui seule les justifie, » et ne point en borner l'application aux faits antérieurement connus et rigoureu- » sèment démontrés.

» Je passerais donc volontiers condamnation sur de pareilles subtilités et j'accor- » derais, selon le désir de M. Gergonne, que le premier il a signalé la dualité, que » le premier il l'a proclamée dans ses Annales, s'il ne se montrait aussi habile à » profiter des moindres concessions de ses adversaires, et s'il n'était évident d'ail- » leurs que cette dualité n'est que la réciprocité telle que nous l'avons entendue » dans nos propres recherches, déguisée sous un nom un peu plus séduisant peut- » être. Car, puisque nous y avons démontré qu'en vertu de la théorie des pôles et » polaires, convenablement étendue, toute relation, toute propriété descriptive ou » de situation d'une figure a nécessairement sa réciproque dans une autre figure, » il faut bien aussi que de telles relations soient doubles ou marchent par couples,

372 PROPRIÉTÉS PROJECïIVES DES FIGURES.

» comme le dit M. Gergonne. Conçoit-on, d'après cela, qu'il continue à soutenir » dans ses dernières observations que mes idées n'ont presque aucune analogie » avec les siennes, que j'ai tout à fait pris le change sur le sujet de ses recherches, » que la dualité des relations de situation est une conception toute nouvelle et qui » date seulement de 1826, qu'elle n'est que très-faihlement indiquée dans le Traité » des Propriétés projectives, qu'elle n'est g"Mère />/a5 apparente dans l'ouvrage que » dans l'introduction, ce qui pourrait faire croire que j'en ai à peine parlé, puisque » je suis convenu précédemment qu'elle n'est point mentionnée d'une manière » spéciale dans ce dernier endroit?

» Cette affectation de M. Gergonne à reproduire, sans aucune preuve, des asser- » tions que je croyais avoir suffisamment réfutées dans mon premier article du » Bulletin d'août 1827, me force de citer ici quelques passages du Traité des Pro- » priétés projectives, qui prouveront, j'espère, sans réplique, que si la dualité n'est » pas apparente dans V introduction, elle l'est du moins très-suffisamment dans le » texte de l'ouvrage, et qu'ainsi je n'ai pas même besoin de recourir à mes recher- » ches de 1824, encore peu connues, pour prouver mes droits à la priorité qu'on » me conteste.

» Dans le n" 235, IP Section, p. 124, après avoir exposé, avec de nouveaux » développements, la Théorie des polaires réciproques, ébauchée dans mon Mé- » moire de 1818, je fais remarquer en général que cette théorie s'étend à des » figures quelconques tracées sur un plan, et quelle donne lieu à une foule de con~ » séquences et de rapprochements curieux concernant la réciprocité et l'analogie » de certaines figures et de certaines propriétés ; j'en cite divers exemples, puis » j'ajoute : « On peut même dire qu'il n'existe aucune relation descriptive d'une » figure plane (ou de situation, suivant l'acception de M. Gergonne) qui n'ait sa » réciproque dans une autre figure, etc., » ce que je confirme par de nouveaux » exemples. Enfin, j'annonce que cette doctrine et ses conséquences s'étendent » sans peine aux figures dans l'espace, et j'établis, dans les n°* 689, Sgo et Sgz » du Supplément, les hases de cette extension; je donne également des exemples » très- généraux relatifs à ce cas dans les n*" 592-602, et principalement à la fin » du n° 610, où je fais voir comment la théorie des pôles et polaires réciproques » peut servir à passer des relations de situation de figures inscrites aux surfaces » du second degré, à celles qui appartiennent aux figures circonscrites à ces » mêmes surfaces.

» Dans le corps de l'ouvrage, je suis revenu à plusieurs reprises sur les consé- » quences delà théorie des polaires réciproques (*) pour doubler les propositions » connues et de manière à en devenir presque ennuyeux, attendu l'évidence de la

(*) « Foyez les n°* 897 et suivants; le n° 400, la fin des n°' 401 et 406, le n° 4^3, la fin des » n°* 439, 441 et 5o2, enfin les n°' 624, 535 et 549. Je ne cite pas, en faveur de mes opinions, la » foule des propositions doubles ou réciproques qui se reproduisent à chaque pas dans l'ouvrage, » parce que je ne soutiens pas, avec M. Gergonne [voyez plus haut), que la découverte de quelques » propositions isolées de ce genre suffise pour établir des droits à celle du principe qui les domine » toutes. »

» chose ; cependant, M. Gergonne me reproche de n'en avoir point encore traité » assez au long. Je le répète, la dualité de situation dont il est question dans son » Mémoire de 1826 est une conséquence tellement nécessaire, tellement simple » de la théorie des polaires réciproques, que je ne me serais jamais imaginé qu'à » moins de vouloir travailler pour les commençants ou pour les personnes qui » ne liront pas le Traité des Propriétés projectives, il fut nécessaire et utile d'écrire » de longues pages sur cette matière, ni qu'on pût songer sérieusement à en faire » une doctrine toute nouvelle, indépendante de la théorie des pôles et polaires, » comme l'a tenté sans succès M. Gergonne, qui vient aujourd'hui me demander » dans quel ouvrage la dualité de situation avait été signalée avant la publication » de son Mémoire de 1826.

» Loin de moi, au surplus, la pensée que M. Gergonne ait puisé dans mon livre » ses principes et ses idées sur la dualité ; j'aime mieux supposer qu'il n'avait donné » aucune attention sérieuse aux passages qui les concernent et qu'il y a été con- » duit par ses propres méditations, pourvu qu'à son tour il m'accorde, sans restric- » tion, que la dualité des relations de situation, je veux dire leur réciprocité, ne » date pas précisément de 1826, mais bien de iBiS, 1822, et particulièrement de » mon Mémoire de 1824, lequel en traite fort au long et avec une extension, une » généralité que M. Gergonne n'a point encore atteinte.

» Je n'ai pas accusé ce savant d'emprunt envers moi, j'ai revendiqué des droits » qu'on ne saurait me contester; je me suis plaint du peu d'attention qu'il avait » donné à mes réclamations du commencement et de la fin de 1826, de la manière » dédaigneuse et tant soit peu cavalière dont il les a traitées, dans ses Réjlexions » du n° 3 de mars 1827, sur V analyse de mon dernier Mémoire. Quand bien » même les termes dans lesquels je réclamais eussent été peu convenables quant » à laformCy l'essentiel était surtout que j'eusse raison quant au fond, et l'on en » va juger par l'exemple qui concerne en particulier M. Plucker, dont M. Gergonne » cherche à défendre la cause comme la sienne propre, en soutenant, contre mon » opinion, que ce géomètre ne connaissait pas le Traité des Propriétés projectives.

» Supposant même que je me fusse trompé à ce dernier égard, il n'en résulterait B pas moins, des citations et des preuves irrécusables que j'ai apportées, que les » théorèmes et problèmes du docteur Plucker, insérés p. 87 et 69 du tome XVII » des Annales, étaient, pour la plupart, loin d'avoir le mérite de la nouveauté. C'en » était assez, par conséquent, pour rendre obligatoire l'insertion ou la mention de » mes réclamations dans les Annales; mais elle eût fait écrouler l'échafaudage des » doubles colonnes du docteur allemand, auxquelles M. Gergonne attachait beau- » coup d'importance, sans doute par esprit de prosélytisme pour la dualité. Que » penseront donc les lecteurs si, les Mémoires de M. Plucker à la main, nous prou- » vons clairement qu'il avait une parfaite connaissance du Traité des Propriétés » projectives?

» Or, c'est lui-même qui, dès la première page du premier de ses Mémoires » nous en informe en ces termes ( t. XVII, p. 37) : « Ces considérations donnent nais- » sance à une série de problèmes curieux qui ont fait le sujet des recherches de » M. Poncelet, dans son Traité des Propriétés projectives des figures. Ce que nous

» nous proposons ici est de considérer quelques cas de celle ihéorie qui reposent sur » des considéralions fort simples et conduisent à des démonstrations qui ne le sont » pas moins. »

» J'ai prétendu seulement prouver que ces mêmes constructions se trouvaient » nettement et pour la plupart indiquées dans mon ouvrage, et que M. Plucker » n'avait pas eu beaucoup de peine à les reproduire sous une nouvelle forme, en » leur faisant perdre même leur caractère primitif de généralité.

» Je n'ai jusqu'ici relevé que la première partie des allégations et des assertions » mentionnées à la page 23 du présent volume du Bulletin, j'en viens maintenant » à la partie la plus délicate de ma réplique, parce qu'elle ne pourra manquer, » quelle qu'en soit la forme, de mettre en jeu la susceptibilité de M. Gergonne : » je veux parler des erreurs qui se sont glissées dans les derniers Mémoires de 1827 » sur les lois générales qui régissent les courbes et les surfaces algébriques de tous » les ordres, et que j'ai déjà signalées vers la fin de mon précédent article (p. 117), » erreurs d'autant plus graves qu'elles entachent plus universellement sa théorie » de la dualité, et qui ne peuvent s'expliquer, de la part d'un tel géomètre, que par » la précipitation avec laquelle il a rédigé ses Mémoires et les a livrés à la publicité.

» En se rappelant ce que nous avions démontré, dès 1818, dans le tome XIII » des Annales, il n'eût pas commis des inadvertances aussi capitales et il n'eût » pas été obligé de les rectifier après coup. Dans tous les cas, ces inadvertances ne » sauraient certes prouver, qu'à l'époque de janvier 1827, pas plus qu'en 1819, » M. Gergonne ait eu sur la dualité de situation des idées complètement fixées ; sans » cela, s'excuserait-il en disant que « le principe de dualité ne date que d'hier, » qu'on peut se méprendre quelquefois dans les applications, qu'on est forcé » de parler une langue qui n'a point été construite pour les idées qu'il fait » naître, etc. (*) »

» Enfin, peut-on expliquer d'une autre manière le pressentiment qu'il manifeste, » tout en terminant les Mémoires, des inexactitudes qui pouvaient les entacher, » attendu, dit-il, la nouveauté des recherches, V imperfection du langage, etc. » Selon M. Gergonne, c'est s'être simplement mépris dans les applications que » d'avoir érigé en autant de principes généraux les propositions fausses qui con- » stituent et qui dominent toute la théorie de la dualité des courbes et surfaces; » de telle sorte que, pour en rectifier les nombreuses conséquences, il ne s'est » agi de rien moins que de torturer le sens des mots, en admettant simultanément » deux classifications essentiellement distinctes pour ces courbes et surfaces, chose » jusqu'alors inusitée en Mathématiques et qu'on ne saurait justifier par aucun » prétexte.

» Dans ses notes et dans son article de rectification du 5 novembre 1827, M. Ger- » gonne traite de vagues et d'insinuations obliques les assertions qui ont provoqué » celte rectification un peu tardive, parce qu'elles sont rédigées dans ce style de » modération que nous avons voulu employer envers un des doyens de la science, » comme une marque de notre déférence ; modération que, dans un autre endroit

(*) « Jnnales, t. XVIII, p. i4r, note. »

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. SyS

» de ces mêmes notes, il nous reproche, comme on l'a vu, de n'avoir pas mise éga- » lemenl en usage envers M. le docteur Plucker, qui nous est tout à fait inconnu. » Cette même modération va jusqu'à lui faire dire [Annales, p. i4i et i34, notes) : » Voici ce qui semblerait prouver que la/of à la dualité des propriétés de situation » n'est pas encore très-vive chez M. Poncelet. — S'il n'avait pas autant dédaigné » l'étude de la dualité de situation, il pourrait prendre ici un ton plus décisif. — » S'il n'est pas sûr de son fait, pourquoi accuse-t-il ? S'il l'est, au contraire, pour- » quoi ne montre-t-il pas où est la faute? Cela serait beaucoup moins désobligeant » que des insinuations obliques.... »

» Ce qui prouve que j'en avais assez dit pour mettre sur la voie M. Gergonne, » c'est qu'avec très-peu de réflexions il lui a été possible de rectifier sa théorie. » D'ailleurs, la fin de mon précédent article ne contient rien de vague ni d'équi- » voque. Ce géomètre avait avancé en principe, parmi beaucoup d'autres choses » fausses, conséquences nécessaires de ses idées trop étendues sur la dualité, que » la réciproque polaire d'une courbe ou surface d'un certain ordre était elle-même » de cet ordre; que le nombre des tangentes ou des plans tangents communs à » deux courbes ou à trois surfaces était constamment égal au produit des degrés » de leurs équations, etc. (*). Or, en citant mes recherches dei8i8 et celles de 1824 » sur la théorie des polaires réciproques, j'annonçais être arrivé à des résultats très- » différents et que je croyais inattaquables, aussi bien que tous leurs analogues; » c'était dire, en termes honnêtes, que ceux de M. Gergonne étaient erronés, » c'était lui indiquer du doigt l'erreur qui entachait ses recherches. Il est donc » bien évident que la forme de mes critiques, présentées comme des doutes, a » entièrement fait prendre le change à M. Gergonne, et qu'il est injuste à mon » égard quand il taxe d'insinuations obliques des indications aussi expresses, aussi » positives, des erreurs qu'il avait commises en donnant trop d'extension à ses » idées sur la dualité de situation. En insinuant de plus, au même endroit, que » cette dualité ainsi entendue ne pouvait s'appliquer aux lignes et surfaces en » général, comme elle l'est à celles du deuxième degré, c'était une autre manière » de l'avertir de l'universalité de son erreur; c'était annoncer que je ne l'avais pas » commise dans mon Mémoire de 1824; mais ce n'était pas affirmer, comme il le

(*) « Annales, t. XVIII, p. 216, 218, 282, 234, etc. Dans notre Mémoire de 1818, souvent » rappelé, nous avons prouvé que ce nombre est mn[m~ i) (« — i), m et n étant les degrés des » courbes. C'est d'ailleurs ici le lieu de remarquer que, des deux théorèmes de M. Vallès, men- » tiennes à la page 27 du tome VI du Bulletin des Sciences, celui qui concerne les courbes a été » donné dans le Mémoire susdit, et l'autre se trouve indiqué dans V application de V analyse à la » Géométrie, par Monge, 2* partie, p. 14. Nous rappelons ces faits parce que les propositions qu'ils » concernent se rattachent à la théorie des polaires réciproques, et ont été attribuées uniquement à » M. Vallès, par MM. Gergonne et Bobillier, dans les Annales de Mathématiques. En les démon- » trant, ainsi que plusieurs autres sur les pôles des courbes et surfaces, M. Bobillier s'est servi » [Annales, t. XVIII, p. gS et suiv.) des mêmes principes de projection que nous avions mis en » usage dans notre Mémoire de 181 8, principes démontrés dans la première section du Traité des » Propriétés projectives, et dont l'emploi eût également pu épargner à M. Bobillier les calculs pro- » lixes de la page ïSj du volume cité des Annales. »

» prétend dans les notes déjà citées plus haut, que la dualité n'avait pas lieu pour » les courbes et surfaces en général ; car je démontre expressément le contraire » dans ce Mémoire (n°* iOO et 101), quant à ce qui concerne les relations de situa- » tion indépendantes de leur degré.

» Il résulte aussi de là qu'une infinité de théorèmes généraux relatifs aux courbes » et surfaces peuvent être réciproques, dans le sens même que l'entendait primiti- » vement M. Gergonne, sans qu'il soit nécessaire de recourir à la double définition » si mal à propos adoptée par lui en dernier lieu, et que c'est bien à tort qu'il les » a confondus avec tous les autres dans son article de rectification.

» Dans le fait, je suis bien loin de trouver les rectifications de M. Gergonne satis- » faisantes et même suffisantes; de plus, elles ne sont pas les seules qu'il faudrait » faire subir au Mémoire sur les lois générales qui régissent les courbes et sur- » faces. En traitant des mêmes matières dans mon Mémoire de 1824, je n'ai pas » reculé devant la difficulté de conserver aux classifications des courbes et sur- » faces leur définition légitime et universellement admise; et je crois pouvoir dire » que MM. les Commissaires de l'Académie royale des Sciences, chargés de l'exa- » men de ce Mémoire, y trouveront, sur la double existence des relations de » l'étendue, plus de données positives et surtout moins d'erreurs qu'on n'en » rencontre dans ceux de M. Gergonne. Tout le monde pourra y voir que, même » avant 1824, la dualité de situation, comme les autres dualités, n'était pas pour » moi une doctrine obscure et qui ne datât que de la veille.