ALLEMANDS, BELGES OU FRANÇAIS

Dans ce qui précède, je n'ai pas mentionné l'honorable accueil qui a été fait au Traité des Propriétés projectiles des figures par l'illustre auteur des Fundamentn nova, dès les premiers volumes du Journal de Crelle (années 1828 et suiv.), parce qu'il en est parlé fort au long soit par moi, soit par mon très-savant et trop modeste ami M. le professeur Moutard, dans l'Article aussi remarquable que profond qui termine le tome \" des Applications d'Analyse et de Géométrie. Je rappellerai seulement que, malgré ses tendances à placer l'Analyse algébrique au-dessus de la Géométrie intuitive, Jacobi n'a pas hésité en diverses occasions à faire remonter l'origine de quelques-unes de ses idées à mes propres travaux. Le même sentiment de loyauté et de franchise le dirige dans le Mémoire de i85o dont il a été question à l'Article II ci-dessus; mais il s'en écarte dans l'espèce àQ post-scriptum (Crelle, t. XL, p. aSg à 260), où, après avoir démontré algébriquement la formule mn[m — \) [n — \) déjà citée, il se sert de \d. théorie des polaires réciproques pour vérifier les résultats de son analyse, en oubliant d'en indiquer l'auteur.

Lorsque Monge, dans son admirable Géométrie descriptive, empreinte du génie de l'inspiration, d'un caractère de simplicité et de généralité qu'elle doit à cette Analyse fonctionnelle créée par lui, mais pour ainsi dire ignorée de nos jours, exposait sans calculs, en quelques lignes incomprises, critiquées même par des esprits étroits et jaloux, les vérités fondamentales de la théorie des sécantes et des cordes réelles ou idéales communes, du pôle et de la polaire, etc., Monge, j'en suis sûr, n'a nullement cédé à un vaniteux sentiment de supériorité ; car il ne pouvait ignorer les lourds et pénibles échafaudages de démonstrations synthétiques employés par Lahire pour masquer ses emprunts à Desargues et à Pascal; mais, pressé par la trop grande rapidité de la diction, il lui répugnait, sans nul doute, de prononcer sans commentaire un nom qu'il trouvait peu digne d'une mention exceptionnelle.

Quels sentiments animaient Descartes et Newton, ces grands géomètres analystes, quand ils témoignaient, dans leurs œuvres impérissables, si peu de déférence pour les découvertes et la mémoire de Copernic, de Tycho, de Galilée, de Kepler, de Snellius? Prétendaient-ils en faire accroire à la postérité comme à leurs contemporains ];^ssionnés ou crédules? Qui croirait de nos jours que la chute inopinée d'une pomme du haut d'un arbre aurait, sans les admirables expériences de Galilée, suffi à Newton pour poser la base de ses principes de la philosophie naturelle; conceptions toutes géométriques que l'on ne comprend plus guère aujourd'hui et où l'on veut apercevoir ce qui n'y est pas, comme si le génie de l'invention résidait tout entier dans l'Analyse algébrique? Qui a jamais cru sérieusement, même en Angleterre, que les travaux des prédécesseurs ou contemporains de Newton, les Huygens et les Leibnitz notamment, lui aient tout à fait été indifférents ou inutiles? Il est bien évident que de telles suppositions ne sauraient plus être admises à l'époque actuelle, et que le doute même sur la bonne foi de cet esprit sublime est une tache indélébile imprimée à sa mémoire par des amis courtisans et indiscrets.

Pour ma part, je m'aftlige sincèrement de la ligne de conduite adoptée par les Collins, les Oldenburg, les Keil, les Fatio et Newton lui-même; je regrette non moins [s'U est permis de comparer les petites choses aux grandes) que, dans des Spéculations purement géométriques, les modernes imitateurs de ce grand homme, surexcités par des sentiments de vaniteuse jalousie et un ardent désir d'une hâtive célébrité, bien qu'avertis par un aussi illustre exemple, aient si peu redouté les jugements équitables mais sévères de l'avenir ou même la critique contemporaine. Comment, en effet, s'expliquer que les Mœbius, les Steiner et les Plucker en Allemagne, les Gergonne et les Chasles en France, se soient, longtemps après l'apparition du Traité des Propriétés

projcctivcs, imposé la tâche pénible et tout au moins chanceuse de se faire passer pour les promoteurs, sinon les créateurs de cette branche de la science qu'ils ont, sans ma participation directe, intitulée Géométrie moderne, mais dont il serait plus exact de faire remonter les principes à Euclide, à Pappus, à Desargues et à Pascal? Je crois en avoir dit assez dans le précédent Article pour mettre en lumière la nature et le caractère propre des travaux des géomètres allemands que je viens de citer; je n'ai pas non plus, je pense, à revenir sur les prétentions étranges du Rédacteur des Anciennes Annales de Mathématiques et de quelques-uns de ses plus ou moins complaisants collaborateurs. Sollicité par des considérations diverses, je m'étais même imposé le pénible devoir de ne rien ajouter aux réflexions et aux revendications, fort circonspectes à coup sûr, que j'ai insérées dans mes Mémoires de i83o à i83i (Sect. IV du présent volume); mais la manière maladroite et toute personnelle, quoique détournée, dont s'expriment dans leurs écrits certains disciples de M. Chasles, me contraint à changer de résolution et à dire ma pensée tout entière sur les travaux d'un savant dont, je le dis hautement, j'estime fort le talent géométrique, et qui a plus qu'aucun de ses successeurs et de ses contemporains, peut-être, contribué à propager les nouvelles doctrines géométriques en France et même à l'étranger, un peu tardivement il est vrai et sous une forme que j'ai déjà critiquée dans le tome I" des Applications d'Analyse et de Géométrie publié en 1862. D'ailleurs, je n'admets nullement qu'une succession de théorèmes et de problèmes, démontrés plus ou moins à la manière d'Euclide et de Legendre, puisse autoriser à se croire seul dans le vrai, seul rigoureux, et à repousser tout autre mode de raisonnement, comme le font aujourd'hui encore quelques algébristes arriérés qui dédaignent de lire et de comprendre cette infime Géométrie.

Je ne crains pas d'ajouter qu'en agissant ainsi, en rejetant la forme explicite sinon le bénéfice de la manière de raisonner de nos devanciers, on s'expose à envahir le terrain d'autrui, et, sans le vouloir peut-être, à s'approprier les idées, les points de doctrine fondamentaux, et les plus féconds, de manière à en masquer l'origine philosophique et à faire illusion à bien des personnes prévenues, irréfléchies ou incapables d'établir une exacte et scrupuleuse distinction entre les anciennes et les nouvelles théories.

Mon savant confrère M. Chasles, disciple de Carnot, élève de Poinsot et de Hachette, dont en 1812 et 181 3 il suivait les leçons à l'École Polytechnique, s'est par cela même beaucoup rapproché de leurs idées et de leur doctrine, qui n'étaient ni celles de Lagrange, ni celles de Monge, jadis aussi professeurs dans cette célèbre École. Favorisé à juste titre par le Rédacteur de la Correspondance sur VEcole Polytechnique, il put exposer dans ce Recueil privilégié (t. III, 1814 à 1816, p. 1 1 , 307, 326, 328, 341), sur les courbes et les surfaces du second degré, une succession d'articles analytico-géométriques dont quelques-uns ont déjà été cités aux pages 85, 170 et 416 du tomel" des Propriétés projectives, mais dont les plus dignes d'intérêt, à mon sens, sont relatifs à la transformation du cercle et de la sphère en ellipse et ellipsoïde à trois axes inégaux, par la substitution, dans leurs équations considérées sous la forme la plus simple, je veux dire par rapport au centre, de nouvelles coordonnées proportionnelles aux anciennes. Cette généralisation d'une méthode géométrique fort ancienne lui permit, non-seulement de démontrer avec une remarquable facilité un grand nombre de théorèmes relatifs à l'ellipse et à l'ellipsoïde, mais aussi d'étendre les théorèmes antérieurement connus sur l'enveloppe de la surface sphérique tangente à trois autres, aux théorèmes analogues concernant les surfaces ellipsoïdales du second degré, semblables et semblablement placées entre elles.

Dans ces divers articles, surtout dans le dernier, M. Chasles montre une aptitude particulière à démontrer, à étendre en quelques points, les théorèmes déjà connus; mais, à l'exemple de son maître et ami feu Hachette, il oublie à tort de rappeler les droits justement revendiqués par M. Dupin à la page 420 du tome H de la Correspondance polytechnique .

En citant à plusieurs reprises, dans l'Introduction du Traité des Propriétés projectives (t. I*""), avec les noms de Desargues, de Pascal, de Monge, Livel, Dupin, Brianchon, Servois ou autres, le nom II. 53 .

4i8 PROPRIÉTÉS PROJECTÏVES DES FIGURES.

de M. Chasles comme étant celui de l'un des précurseurs des méthodes de projection, de transformation des figures; en négligeant maladroitement d'y faire valoir mes propres inventions, je ne m'attendais guère que, après quatorze années d'un silence regrettable, ce savant, réveillé enfin par le bruit de mes discussions avec Gergonne, surtout par les belles applications de la théorie des polaires réciproques publiées par l'impatient, mais intelligent Bobillier, dans le numéro de janvier 1828 {Annales, t. XVIII, p. i85), je ne m'attendais pas, dis-je, que M. Chasles, à son tour, viendrait prendre pied sur mon propre terrain, encouragé par cette remarquable et peu amicale conclusion de Bobillier, où la plume de l'irascible Gergonne (p. 202 du volume cité) se laisse deviner, et où on lit entre autres les lignes suivantes :

« Tout ce que nous pouvons affirmer avec certitude, c'est que, en rédigeant l'article qu'on » vient de lire, nous ne nous sommes uniquement aidés que du contenu de la lettre de M. Pon- » celet, déjà citée [voir la copie de cette lettre et la discussion qui l'ont suivie aux pages 824 » à 332, 363 à 376 du présent volume). C'est sans doute un devoir, lorsqu'on s'aide du travail » d'autrui, de citer soigneusement les sources où l'on a puisé; mais on serait évidemment » découragé de toutes recherches si, après être parvenu, par ses propres méditations, à quelque » résultat que l'on croit nouveau, on était tenu, avant de rien mettre au jour, de lire tout ce qui » aurait pu être écrit sur le môme sujet. »

C'est d'après ces faits que je m'explique comment M. Chasles a rédigé hâtivement et a publié, toujours sous les auspices de Gergonne, son Mémoire de mai 1828 (p. 26) sur les sections coniques confoncales, où il expose avec un succès facile des corollaires négligés par d'autres, et qu'on retrouve pour la plupart dans le tome Y" des Propriétés projectives, ou dans le tome II (Sect. II). Mais, jusque-là, je ne vois rien encore qui constate que M. Chasles se soit rendu familières les notions relatives aux systèmes de coniques sur un plan, aux intersections imaginaires, aux points ou aux droites situés à l'infini, etc. C'est dans le Cahier suivant (p. 277) du tome XVllI des anciennes Annales, que le même géomètre prétend faire dériver les propriétés de ces systèmes de* la théorie de la similitude que j'ai rappelée ci-dessus; mais on peut se convaincre que le Mémoire relatif à cette théorie, daté de i8i3 et paru deux ou trois ans plus tard, ne contient absolument rien en ce genre. D'ailleurs, dans ce nouveau Mémoire, M. Chasles s'excuse de n'être point en mesure, à Nice où il résidait, de me citer pour certains points de rencontre entre son récent travail et les miens qui remontent à 181 7 et 18 18.

Ici commence en réalité l'empiétement : mais, quoique M. Chasles mentionne mes derniers écrits et se serve même avec habileté de la théorie des polaires réciproques et des centres cVhomologie^ il n'aperçoit pas encore que les sécantes communes, qu'il nomme axes de symptose (axes de rencontre) , peuvent passer tout entières à l'infini. Or, c'est là précisément le cas d'un système de cercles quelconques sur un plan, de sphères quelconques dans l'espace, que l'on croyait à tort, chose remarquable mais non remarquée avant 1822, posséder (sauf leur similitude) la plus grande indépendance possible relative à la situation dans le plan ou dans l'espace : les courbes et les surfaces du second degré homothétiques jouissant elles-mêmes de la propriété d'avoir une sécante commune à l'infini et une certaine indépendance mutuelle, non de forme, mais de position relative. Évidemment M. Chasles avait horreur de l'infini ou n'osait pas encore s'y fier, tout en se perdant dans une série de corollaires censés jusque-là inconnus.

Enfin, dans un dernier article du tome XVIII (p. 3o5), et dans le tome suivant (p. i57), où Bobillier se montrait d'une fécondité remarquable, M. Chasles expose sur \es perspectives ou projections stéréographiqucs divers théorèmes qui rappellent ceux de MM. Dandelin et Gergonne, et ont pour principal but de parvenir indirectement à divers corollaires relatifs aux axes de symptose [sécantes communes) des coniques homothétiques sur un plan, etc. Ici encore M. Chasles ne s'aperçoit pas qu'en détournant les yeux du Traité des Propriétés projectives, il reste de beau-

coup au-dessous do sa tâche, et jette la confusion dans l'esprit des personnes qui ne connaissent pas encore ce Traité.

Au point de vue où je me suis exclusivement placé, les Mémoires insérés par M. Chasles dans les Annales de Montpellier (1828 à 1829) n'offrent donc qu'un intérêt secondaire. Mais ce savant, désormais averti par moi sinon entièrement éclairé et convaincu, devancé d'ailleurs par Bobillier dans l'application de la théorie des polaires réciproques qui préoccupait beaucoup d'autres géomètres, et redoutant peut-être des discussions scientifiques auxquelles il était insuffisamment préparé, M. Chasles recourut au bon vouloir du Rédacteur de la Correspondance mathématique et physique de Bruxelles^ qui alors, comme il nous l'apprend lui-même à la page 27 du tome IX de son Recueil, consentit, en s'en excusant, à prendre sous son patronage la moderne Géométrie, alors fort dédaignée par les partisans exclusifs de l'Analyse algébrique. Là donc (t. V, p. 6, 1829), sans peut-être s'en rendre compte ni le déclarer explicitement, M. Chasles se propose de démontrer divers théorèmes appartenant à l'illustre Sturm ou à d'autres qu'il ne juge pas à propos de citer, tout en mentionnant Bobillier pour ses études originales sur les coniques confocales, recherches insérées dans le tome in (1827) du même Recueil (*).

Mais ce qu'il y a de particulièrement remarquable, à mon point de vue, dans le Mémoire inséré par M. Chasles à la page 6 du tome V (1829) de la Correspondance de Bruxelles, c'est qu'on y rencontre (n° 14) cette phrase abréviative et tout à fait insolite : « On sait que, quand deux coniques » sont semblables et semblablement placées (ou homothétiques), elles ont deux points réels ou » imaginaires à \infini. » Si je ne me fais illusion, cela valait bien un renvoi à mon Traité de 1822, ou, tout au moins, un léger commentaire.

Dans l'analyse rapide, mais sans démonstrations [ihid., p. 85), d'un autre Mémoire sur les principes des transformations polaires des coniques, des cônes, etc., qui manque d'originalité en quelques points, M. Chasles s'abstient religieusement de toutes notions de cette espèce; enfin, à la page 235, encouragé par M. Quetelet dans ses études sur les courbes des troisième et quatrième degrés, il observe que VÉnumération faite par Newton de ces courbes n'est point complète ; ce qui n'a rien d'étonnant, puisque ce grand géomètre ignorait les doctrines aujourd'hui encore à peine comprises de la moderne école. Or, M. Chasles se sert de ces doctrines dans l'énoncé de quelques théorèmes relatifs aux points d'inflexion des courbes du troisième degré, également inconnus à l'illustre auteur de VÉnumération, par le motif fort simple qu'ils sont la déduction des découvertes postérieures de Mac-Laurin sur ces courbes, découvertes dont j'ai (Sect. III du présent ouvrage, p. i54, n"* 457 et suiv.) présenté le commentaire et le développement relatif aux quadrilatères et aux hexagones inscrits, qui, longtemps après, ont attiré l'attention de M. Plucker (Crelle, t. XXXIV, p. 339), et de M. Chasles {Aperçu historique, p. 149) sans qu'ils en comprissent l'importance et la fécondité, et sans même remarquer que, tous deux, ils avaient été devancés par moi dans leurs prétendues découvertes.

D'autre part, M. Chasles, familiarisé désormais avec la théorie des polaires réciproques, s'en sert ici [Correspondance de Quetelet, t. V, p. 281) pour établir ce qu'il nomme la transformation

(*) Dans ce journal belge, ué en iSîô, mais qui a éprouvé des interruptions diverses, brillent, entre autres, les noms de MM. Dandelin, Gergonne, Hachette, Garnier, Olivier, Quetelet, esprits imitateurs dont le premier néanmoins a découvert un fort beau théorème relatif au foyer des sections planes du cône de révolution, et qui, avec Bobillier, ne se faisaient pas, comme M. Chasles, scrupule d'adopter les notions et les idées empruntées au Traité des Propriétés projectiles, notamment sur les sécantes réelles OH idéales, les intersections imaginaires, Vinfini, etc. C'est là aussi, pour le dire en passant (t. III, p. igS de la Correspondance), que feu Olivier attaque le principe de la loi de continuité qu'il ne comprenait pas, et dont il avait précédemment fait de fausses applications; c'est là enfin que M. Quetelet, le savant astronome statisticien de Bruxelles, adresse à M. Ch. Dupin (note de la page 378) quelques réclamations de priorité sur divers points relatifs aux coniques confocales, etc.

parabolique des relations métriques des figures, et veut bien me citer pour les relations « d'angles et de longueurs qui sont de la nature de celles qu'on rencontre dans la théorie des transversales. » M. Chasles use de cette périphrase, sans doute pour ne pas prononcer le mot de projectile, adopté au commencement de la Section II du tome I" de mon Traité de 182-2 et comportant un sens beaucoup plus étendu, plus général, quoi qu'en dise ce savant géomètre, qui, peu au fait alors de la véritable et invariable tendance de mes anciens écrits, confond ici encore, par une préoccupation d'esprit exclusive, l'homologie avec Vliomothétie: La dernière suppose en effet des relations métriques spéciales et purement élémentaires d'égalité, de proportionnalité des figures, au lieu de relations projectives coniquement, telles que le comportent les divisions harmoniques simples ou composées; ce qui revient à confondre, par exemple, les "^vo^Tiélés un centre de moyenne distance avec celles du centre de moyennes harmoniques^ la convergence des lignes en un point avec leur parallélisme, etc., bien que la considération en soit séparée par l'abîme de l'infini : de semblables rapprochements se rattachent, en effet, à la philosophie des sciences dont M. Chasles ne s'était point encore, paraît-il, suffisamment occupé en 1829 ou i83o; ses idées le reportant sans cesse-en arrière, vers l'époque oîi, en 1812 et i8i3, il cultivait avec prédilection les ouvrages de Carnot et du professeur Hachette.

C'est en vertu de cette manière restreinte de voir que M. Chasles croyait avoir devancé mes écrits de 1817, 1822, 1824, de même, sans doute, qu'en 1829 et i83o il se croyait l'auteur des beaux théorèmes de Sturm sur les propriétés d'involution des coniques inscrites ou circonscrites au même quadrilatère. Pensant d'ailleurs avoir suffisamment satisfait mon amour-propre d'auteur en citant quelques points de mon Mémoire sur les centres de moyennes harmoniques (Sect. F" de ce volume), où il pouvait lire en toutes lettres (p. 8, Préliminaires) que « les propriétés fondameny> taies démontrées dans ce Mémoire pour les systèmes de droites et de plans s'étendaient aux » courbes et aux surfaces géométriques en général. » M. Chasles, conséquent avec lui même dans ses récents écrits, attribue à M. Lamé des théorèmes auxquels ce géomètre n'avait jamais songé dans son original ouvrage analytique de 1818, où, comme tous ses prédécesseurs, Monge même, il était resté dans les idées géométriques anciennes sans être en mesure encore de donner à ses énoncés la généralité qui leur manque essentiellement, ni de combler une lacune devenue, depuis 1822, en apparence du moins, très-facile à remplir.

En se montrant, jusque dans ces dernières années, aussi gratuitement généreux envers notre confrère, dont auparavant il n'avait jamais cité les travaux analytico-géométriques, M. Chasles m'a suffisamment autorisé à poursuivre l'examen critique de ses écrits antérieurs à i852. J'ajouterai que si, à son exemple, j'avais cédé à l'attrait de multiplier les corollaires et les théorèmes, j'aurais pu grossir indéfiniment, mais à mon sens peu utilement, le Traité des Propriétés projectives ; car, je le répète, le tome P de ce Traité avait pour but principal d'indiquer la route à suivre aux esprits intelligents, et si j'insiste sur ces réflexions, cela prouve seulement l'importance que j'attache aux derniers écrits du professeur du Cours de Géométrie supérieure.

Dès l'époque de 1829 et i83o, en effet, ce savant, dans le Mémoire précité du tome V de la Correspondance de Bruxelles (p. 281), entrevoyait le moment où il pourrait se passer tout à fait Aq?, polaires réciproques, comrûQ- i\ se figurait déjà avoir mis de côté cette vaine, spéculation de Vhomologie ou pj-ojcctivité centrale. Mais j'en ai dit assez sur ce sujet, dans les Sections III et IV de ce tome II pour ne plus être obligé d'y revenir ici, en entretenant le lecteur des articles du tome VI de la Correspondance de Bruxelles, où se trouvent soit les revendications de M, Chasles envers M. Plucker (p. 81 ), soit son second Mémoire sur la transformation parabolique des relations métriques des figures (p. i à 25), soit divers autres articles (p. 92, ii3, 289, 3i2), où l'auteur entre de plus en plus dans la voie des généralisations qu'il avait d'abord trop négligée ; articles dignes d'intérêt, sans aucun doute, mais qui m'ont contraint d'abandonner momentanément la Mécanique, de rédiger mes Mémoires de i83o-i83i, et d'adresser à M. Quetelet les extraits tardivement parus dans le tome VII, i832, du Hecueil précité (p. 78, 118, r4i, i43, 146, 149, i5i, i53

et 167, art. l" à VIII) sur les courbes du troisième degré et les principes généraux rie transformation des relations métriques des figures^ extraits rapportés tout au long dans le présent volume (p. iSa et 332 à 35 1).

La prodigieuse activité de M. Chasles lui a fait rédiger un grand nombre d'autres Notes ou écrits géométriques avec ou sans doubles colonnes, imprimés en 1829, i83o et i83i dans les Mémoires de l'Académie de Bruxelles dont il a bien voulu, tardivement il est vrai, me communiquer les extraits, où se trouvent de beaux corollaires relatifs aux cônes cycliques et aux surfaces du second degré, aux coniques sphériques avec un ou deux foyers communs, etc., corollaires presque tous tirés de la théorie des polaires réciproques^ ici nommée transformation polaire^ mais où se trouve aussi évitée avec soin toute notion empruntée au principe de continuité, sauf quand il s'agit de descendre des coniques sphériques aux coniques planes avec ou sans asymptotes. Comme on le voit, d'ailleurs, M. Chasles n'avait point encore songé à refondre, sinon supprimer, les définitions et les procédés soi-disant de transformation qui constituent la base fondamentale et vraiment philosophique du Traité des Propriétés projectives, mais il s'y enhardit de plus en plus dans le pays de contrefaçon et de malfaçon dont j'ai à me plaindre à divers titres ; car je ne saurais en conscience être de l'avis des personnes qui, exemples de tels soucis et appartenant à l'école usurpatrice de Gergonne, se montrent moins soucieuses que la loi protectrice du travail, en prétendant qu'il y a bénéfice pour les consommateurs.

En présentant ses divers Mémoires à l'Académie de Bruxelles et non à celle de Paris, M. Chasles s'évitait l'ennui des discussions scientifiques, répandait promplement à l'étranger, en Angleterre et en Belgique surtout, et cela au détriment de ses concurrents, ses propres travaux, et obtenait d'un seul coup, en i83o, le titre de lauréat et de membre de la jeune Académie de Bruxelles, alors dirigée par M. Quetelet. C'est ce qui, sept années après, donna lieu à ce volumineux Aperçu historique sur l'origine et le déi>cloppemcnt des méthodes en Géométrie, imprimé en 1 837 aux frais de l'Académie de Bruxelles, Aperçu dont j'ai assez parlé à la fin du tome II des Applications d'Analyse et de Géométrie (1862) pour n'avoir point à y insister beaucoup ici ; car je n'ai rien à retrancher relativement aux droits de priorité justement acquis par MM. Mœbius, Steiner et Plucker quant au mode d'exposition et de démonstration des principes généraux qui touchent à la théorie de la réciprocité ou dualité, et à celle des faisceaux projectifs; démonstration et exposition qui n'offrent (art. II, ci-dessus) que des déductions particulières et faciles de la formule générale de transformation métrique exposée aux n°' 9 et suiv. du tome P'' du présent Traité. Or c'est précisément pour justifier ce que j'en ai dit en 1862 que je me suis livré à l'examen consciencieux, et pour moi fort pénible, des écrits de ces géomètres en les comparant aux miens propres.

Je ferai cependant observer qu'à défaut des explications qui nous avaient été promises lors de l'appaiition du tome P'' de mes Applications, etc., sur les circonstances qui ont précédé la publication de \ Aperçu histoj'ifjue, j'ai dû recourir au tome IX (année 1837, p. 28) de la Correspondance mathématique de M. Quetelet, auteur lui-même d'un autre Aperçu fort écourté sur Vétat des sciences en Belgique, écrit à la demande de V Association Britannique réunie en i835 à Dublin, pour obtenir quelques renseignements bien insufiisants sans nul doute et qui m'ont appris : d'une part, que l'Académie de Bruxelles avait, au concours de i83o, proposé Vexamen philosophique des différentes méthodes employées dans la Géométrie récente et particulièrement des polaires réciproques ; d'une autre, que « M. Chasles, à qui la médaille d'or a été décernée, a traité » ce sujet avec beaucoup de talentj et a fait voir, dans un écrit qui ne tardera pas à paraître, » que la plupart des théories nouvelles peuvent être déduites de quelques principes fondamentaux » d'une fécondité remarquable, et qui sont pour la Géométrie à peu près les analogues du pria- » cipe des vitesses virtuelles pour la Mécanique (*). »

C) Cette dernière phrase semble prouver que l'honorable Secrétaire perpétuel de l'Académie royale de Bruxelles ignorait beaucoup en fait de Géométrie moderne. En la prononçant à la réunion scientifique

A cet égard, qu'il me soit permis de faire observer que l'auteur du grand ouvrage dont il est ici question, M. Chasles, n'a pas justifié complètement les éloges de M. Quetelet, et qu'en s'appuyant dans la partie historique presque exclusivement sur ses propres recherches, il a trop oublié celles de ses devanciers, dont il ne suffisait point de citer, çà et là, quelques théorèmes ou problèmes pour donner une idée de la partie originale et philosophique de leurs méthodes ; de même aussi avant de terminer, en iSSy, cette volumineuse collection historique, rien ne le dispensait d'accorder au moins une courte mention aux écrivains allemands ou français dont, même avant 1 835, les travaux géométriques étaient justement appréciés dans l'Europe savante.

Qu'il me soit plus spécialement permis de rappeler que, dans cet important ouvrage de 1887, qui a obtenu tant de succès en Angleterre, en Belgique et en France, l'auteur confond trop souvent les plagiaires et les butineurs, anciens ou modernes, tels que Lahire, Cousinery, etc., avec les véritables créateurs : Desargues, Pascal, Monge ou ses successeurs (p. 126 à 187, ig4 à 204, 255 à 268, etc.); qu'il rabaisse à tort la Géométrie intuitive qui prend sa source dans la généralité même de l'Analyse fonctionnelle, par rapport au mode de démonstration restreint des Anciens (p. 204 à 210); que notre érudit et savant auteur ne paraît guère se ressouvenir non plus ou faire un cas suffisant des Mémoires qui constituent le fond des trois premières Sections du tome II du présent Traité (1824 à i83i) ; qu'enfin, sous le rapport de la démonstration et de l'application des principes àe réciprocité polaire ou dualité^ àQ continuité, de projectii'ité, etc., l'auteur s'était laissé devancer par Bobillier, par cela même que celui-ci ne répugnait point à adopter, appliquer des doctrines aujourd'hui familières à beaucoup de jeunes géomètres qui, par ignorance peut-être de mes anciens écrits, en reportent l'origine et les démonstrations rigoureuses au Traité ou au Cours de Géométrie supérieure, et croient d'après M. Chasles [Aperçu historique, p. 269), que, à l'aide de ces principes, peut qui voudra généraliser et créer en Géométrie, le génie n'étant plus indispensable pour ajouter une pierre à l'édifice; ce qui est de toute vérité, pourvu qu'on ne confonde pas trop le maçon avec l'architecte et l'accumulation sans ordre des matériaux, je veux dire des théorèmes et des corollaires, avec la conception première de l'édifice.

En réalité, notre savant professeur et ceux dont j'ai rappelé ci-dessus les noms justement célèbres se recommandent par d'autres titres à l'estime et à la reconnaissance de la postérité, comme cela est prouvé dans les Articles précédents et comme cela résulte, pour M. Chasles, de ses récentes études relatives au tracé des courbes et des surfaces sous certaines conditions, où, qu'on me permette de le rappeler, il s'est, diiprès l'exemple de quelques-uns de ses prédécesseurs [Comptes rendus de l'Académie des Sciences), livré avec succès à cette branche épineuse de questions que j'ai nommée ailleurs Géométrie combinatoire, mais dont, à mes yeux, la culture ne saurait conduire à des résultats qui puissent compenser la découverte des vérités simples, saisissables par tous, et en cela même utiles aux sciences et aux arts.

Du reste, ne l'oublions pas, dans cette succession remarquable de travaux qui datent de l'apparition de la Géométrie supérieure en i852, M. Chasles et ses disciples se sont de plus en plus enhardis dans la voie des idées géométriques qu'ils avaient jusque-là trop négligées, et qui se rattachent, quoi qu'on fasse, à la notion de l'infini et de la continuité dont aujourd'hui on prétendrait en vain s'affranchir à l'aide de certains artifices de raisonnement ou de calcul sur lesquels je reviendrai dans les Articles suivants, au risque de répétition.

de Dublin, cette phrase a dû produire en Iriande une sensation très-vive, qui, de là, par les moyens de propagande familiers à la mère patrie de l'industrialisme baconien, dont à notre tour nous goûtons les fruits, se sera promptement répandue dans les autres villes universitaires de la Grande-Bretagne.

DONNÉES HISTORIQUES SPÉCIALES RELATIVES A l'aBAISSEMENT DU DEGRÉ ET DE LA CLASSE DES COURBES ET DES SURFACES GÉOMÉTRIQUES, SIMPLES OU POLAIRES.

Il ne s'agit point ici de revenir sur le prétendu paradoxe (art. II, p. 409) que M. Plucker aurait le premier éclairci, résolu dans son ouvrage allemand de i835 [Système de Géométrie analytique)^ et qui n'est au fond que la constatation de l'erreur obstinée de Gergonneetde quelques-uns de ses disciples algébrisles, voulant à tout prix lui faire honneur d'un principe de dualité ou réciprocité polaire que ce savant n'avait ni saisi ni compris dans sa double étendue, puisqu'il ne l'appliquait qu'aux relations descriptives linéaires ou de situation et nullement aux relations métriques des figures ; ce qui laissait complètement en dehors les lignes et les surfaces supérieures aux deux premiers degrés. Je ne reviendrais pas sur ces réflexions si la mauvaise foi et l'ignorance n'étaient venues prendre parti dans cette misérable querelle, et si M. Plucker lui-même n'avait pas négligé maladroitement de mentionner dans ses écrits tout ce qu'il avait emprunté à des études antérieures aux siennes propres (Sect. II et III, n°' 67, 97, 244, 247 et suiv.). A moins donc d'avoir affaire à des mathématiciens de la trempe de l'illustre Jacobi, il paraît difficile d'obtenir que les algébristes lisent et comprennent des raisonnements et des vérités qui n'ont pas été préalablement traduites dans la langue à laquelle ils sont exclusivement familiers.

Satisfait d'avoir le premier, quoique indirectement, déterminé le nombre 3/i(« — 2) des points

d'inflexion ou de rebroussement des courbes planes algébriques et celui - (« — 2) («' — 9) des

tangentes doubles qui s'en déduit immédiatement d'après la formule «^(« — 2) tirée de mes études de i83o, où m est changée en n (comparez notamment les n°' 298 et 330 du livre publié en i835 par M. Plucker, avec les n°' 247 et suiv. du présent volume); satisfait surtout d'avoir pu interpréter, dans la langue algébrique et symbolique qui lui était propre, les notions intuitives de la nouvelle Géométrie relatives au cas du plan, M. Plucker n'a pas songé à étendre ses investigations à celui de l'espace; cas d'autant plus épineux pour les courbes à double courbure qu'il semble se soustraire à l'emploi direct de la méthode ordinaire des coordonnées ( voyez les Annotations du tome I" de ce Traité, p. 4i5 à 419) ; ce qui n'ôte rien d'ailleurs au mérite des laborieuses études que l'auteur a faites sur les affections singulières des courbes planes des troisième et quatrième ordres, dans ses volumes de i835 et 1839.

Moi-même, dans les endroits précités du tome II des Propriétés projectiles (n"' 240 à 245), je n'ai fait qu'indiquer généralement ce qu'il y aurait à faire pour passer du cas du plan à celui de l'espace, et, par la note du n" 103, j'ai prévenu que le degré de la développable circonscrite à deux surfaces du second ordre, que nos formules de réciprocité polaire élevaient au douzième degré ^ comme limite supérieure il est vrai, devait être abaissé : dans une lettre, en date du i5 juillet 1828, que M. Chasles m'avait fait l'honneur de m'adresser de la ville de Chartres, et qui contenait d'autres remarques intéressantes dont je ne pouvais faire usage, ce savant, en effet, m'affirmait, sans démonstration, que ce degré de la développable devait être réduit de deux unités, preuve que l'auteur, au courant de ma théorie des polaires réciproques de 1818, savait la mettre à profit indépendamment du principe de dualité^ qui n'a absolument rien à faire ici.

D'autre part, la correspondance échangée entre MM. Chasles et Quetelet dans le tome V du Journal dQ ce dernier, publié à Bruxelles en 1829 (vojrzplus particulièrement les pages igS, 232, 234 et suiv.), me fait penser que c'était principalement par l'Analyse ordinaire des coordonnées que M. Chasles était parvenu au résultat ci-dessus, concernant la réduction du degré de la développable enveloppe de deux surfaces du second ordre ; et, quoique le contenu de cette correspondance relative à la nature et au degré de la projection plane de la courbe gauche commune à de telles

surfaces témoigne, sinon d'erreurs manifestes, du moins d'une grande incertitude dans les idées et les résultats du calcul, cela prouve cependant que MM. Chasles et Quetelet avaient, dès 1829^ et sans en faire l'aveu explicite, prêté une attention sérieuse à mes objections et revendications envers M. Gergonne. De plus, ce que ces savants affirmaient et niaient tour à tour relativement aux courbes du troisième degré m'a conduit, comme malgré moi, à rechercher la solution géométrique du problème ébauché à la page iSg de la Section II, en me fondant exclusivement sur la définition la plus générale de ces courbes par V Analyse des transversales, d'autant plus qu'il m'était bien démontré qu'il existe des lignes planes du troisième ordre qui, ne possédant aucun point double, offrent par là même six tangentes distinctes et réelles issues d^un point arbitrairement donné sur leur plan.

Enfin dans le § 51, p. 248, du grand ouvrage belge intitulé : Aperçu sur Vorigine des méthodes en Géométrie^ après une série d'articles historiques, l'auteur, à mon sens, s'est trop complu à rabaisser le but et la portée réelle de mes théories relatives à la projection centrale, à l'homologie, à la réciprocité polaire, nommées ici méthodes de transformation, et qu'en sa manière restreinte de voir et de sentir il compare à des procédés fort anciens déjà, mais étrangers au Traité des Propriétés projectives des figures et à la Géométrie de Descaries et de Monge. Néanmoins, dans le même ouvrage, M. Chasles veut bien, pour l'invention de quelques théorèmes, me donner rang entre ses deux amis scientifiques, MM. Hachette et Quetelet, Rédacteurs de deux célèbres recueils mathématiques français et belge, comme m'étant occupé en 1822 des propriétés des courbes d'intersection de deux surfaces quelconques du second degré [voyez les Annotations du tome I", p. 4i5 à 419) ; ce que j'avais fait, je pense, sans erreurs ni hésitations. Je dis sans erreurs, parce que M. Chasles affirme, il est vrai encore contre l'opinion de M. Quetelet, que la projection ou perspective plane d'une telle intersection n'est pas la courbe la plus générale possible du quatrième degré, et qu'elle a généralement deux points doubles; ce qui réduit de douze à huit le nombre des tangentes issues d'un point quelconque de son plan, et produit un pareil abaissement dans le degré de la développable du système des deux surfaces polaires réciproques des proposées (Sect. II, n" 103) ; ce qui no veut pas dire pourtant que j'aie commis là une bévue, comme le donne à entendre M. Chasles à la page 258 de son Aperçu historique.

Du reste, selon sa constante habitude, notre savant confrère énonce cette dernière proposition sans la démontrer; mais, quand bien même il ne l'aurait établie rigoureusement que pour le système des surfaces réglées du second degré, en en étendant les conséquences au cas des surfaces fermées, par une pure induction ou translation du réel à l'imaginaire que n'autorise rigoureusement ici ni le principe de continuité ni l'Analyse algébrique, ce n'en est pas moins une preuve q\ie M. Chasles avait, dès 1837, devancé les géomètres qui se sont occupés depuis de semblables questions ; d'autant plus qu'il ne s'est point borné là, et prévient qu'il s'occuperait plus tard des conséquences, en observant (p. 261) que la perspective d'une courbe à double courbure du troisième degré ne saurait donner toutes les courbes planes de ce degré; ce qui concorde avec la détermination d'une telle courbe au moyen de points donnés (p. 4o3 à 407 (^QVApej-çu historique), déduite de considérations qui ont un rapport très-intime, comme corollaire, avec les théorèmes généraux sur l'intersection des surfaces du second degré, exposés dans le Supplément du tome P'' de ce Traité (2* édition, p. 416 à 417).

Évidemment, en feignant de confondre mes recherches de i83o avec celles de MM. Hachette et Quetelet, qui ont si peu ajouté à la nouvelle branche de Géométrie, en gardant dans ses derniers écrits relatifs aux courbes gauches des troisième et quatrième ordres les mêmes réserves et le même silence sur certaines particularités historiques (voyez Journal de Liouville et Comptes rendus, vol. de 1857 et 1861), mais surtout en négligeant d'entrer dans aucune des explications et des démonstrations qui eussent servi à initier les lecteurs aux doctrines de cette moderne Géométrie, M. Chasles, non-seulement en a retardé et compromis les progrès ultérieurs, mais encore il s'est fait à lui-même un tort considérable, attendu que, dans ces dernières années (i85o à i865),

on a, sans sa participation directe, beaucoup ajouté à ses précédentes études sur les courbes gauches, et qu'il s'est ainsi laissé devancer par les géomètres algébristes des pays voisins qui, ignorant les belles méthodes de l'École de Monge, sont allés rechercher dans l'obscur ouvrage de Mœbius, publié seulement en 1827, les premières" traces de l'existence des lignes à double courbure et de leurs réciproques polaires, soi-disant de même classe pour ne pas démentir le dualisme géométrique rêvé par un journaliste philosophe [voyez la note de la page 241 de l'ouvrage de M. Salmon intitulé : Anal^-tic Geometry of three dimensions, 1862).

C'est ainsi encore que les nouvelles doctrines, après être allées tardivement de la France à l'Angleterre, en passant par la Belgique, reviennent de l'Angleterre à la France par la voie officielle la plus sûre et la plus directe. Parmi ces doctrines je range, pour une très-grande part, celles qui servent de base à la classification des courbes à double courbure exposée dans le Journal mathématique de Lioupille (t. X, i845, p. 245) par M. Arthur Cayley, qui paraît tenir aujourd'hui le sceptre des Mathématiques en Angleterre, puisque M. Sylvester l'appelle notre grand géomètre dans un article, en bon français, des Comptes rendus de notre Académie des Sciences. Cette tentative de classification, on doit bien s'y attendre, est fondée principalement sur les résultats de la théorie algébrique des points singuliers, dont il a été précédemment parlé à propos de M. Plucker, résultats ici appuyés de considérations géométriques qui, au fond, offrent beaucoup d'analogie avec celles que fournit le principe de continuité, et conduisent l'auteur à cette proposition particulièrement remarquable, que <t la projection perspective d'une courbe à double courbure, sur un plan arbitraire, résultant de l'intersection de deux surfaces de degrés m et «, supposée de l'ordre /««, contient en général un nombre de points doubles

Imn [m — i) [n — ï) ,

la classe de la courbe étant au plus

mn [m -\- n — 2 ) ; »

résultats sur lesquels M. Cayley n'insiste guère ici et promet de revenir dans une autre occasion, ce qu'il a fait dans le Cambridge and Dublin mathematical Journal de Thomson (t. V, i85o, p. 18 ), avec quelques rectifications utiles, mais sans plus mentionner les formules ci-dessus que M. Salmon, dans l'article suivant, s'efforce de justifier au moyen de l'Analyse algébrique, sans élucider, ce me semble, complètement la question au point de vue géométrique. D'ailleurs, cet article de M. Salmon est à son tour suivi d'un troisième où M. Cayley s'occupe, toujours par la voie géométrico-analytique, de la développable circonscrite à deux surfaces du second degré, sans arriver à des conclusions bien explicites et sans prendre garde que cette dernière question avait été traitée géométriquement avant lui (Sect. II de ce volume) ; ce qui arrive également à l'honorable et docte Salmon dans sa Géométrie analytique à trois dimensions [voyez les articles relatifs à la classification des courbes gauches, aux développables, etc.). Depuis l'époque de i85o, d'autres tentatives ont été faites en France ou ailleurs pour justifier la

formule - mn[m — \)[n — i), abstraction faite de toute application à la théorie de la réciprocité

polaire; mais je ne sache pas qu'on y ait jusqu'à présent complètement réussi, du moins par la voie exclusivement algébrique que suivait surtout Jacobi, ou par la voie exclusivement géométrique fondée sur le principe de continuité. Or, c'est là une lacune que je considère comme trèsfâcheuse pour l'honneur de la science, mais je n'ai aucune envie de la combler, quoique de là résulte le complément, à mes yeux fort désirable, des théories géométriques qui se trouvent exposées dans le présent Traité des Propriétés projectives (t. II, Sect. Il et III).