II

SUITE DU PRÉCÉDENT ARTICLE; CONFESSION Et PROFESSION DE FOI RELATIVES AUX COURBES

GÉOMÉTRIQUES DANS l'eSPACE.

J'aurais volontiers supprimé le n° 163 du tome I" dans la deuxième édition de ce Traité, à cause des erreurs qu'il renferme et qui offrent un exemple des inconcevables illusions qui peuvent nous surprendre dans la recherche des vérités et des problèmes jusque-là inexplorés ; car rien ne démontre que la courbe à double courbure que l'on se propose d'y construire soit véritablement du troisième ordre, ni qu'elle passe réellement par les points indiqués. Lorsque mon ami Steiner me fit remarquer cette inconcevable bévue, il était trop tard pour y porter le seul remède efficace : la suppression entière de l'article malheureusement reproduit en deux endroits déjà dans le Journal de Crelle et dans la Correspondance de Bruxelles, imprimés loin de mes yeux et à une époque oîi j'étais occupé de choses bien plus sérieuses pour ma réputation d'ingénieur et de savant. En laissant subsister dans cette nouvelle édition ce même art. 163, j'ai voulu ne rien dissimuler aux yeux du lecteur, et conserver à l'ensemble le caractère de franchise et de véracité auquel je tiens avant tout, sans recourir à de vains palliatifs ou subterfuges qui ne peuvent tromper que les ignorants; notamment en montrant les corollaires, les conséquences plus ou moins remarquables qui peuvent découler de pareilles conslructions. Mais j'eusse négligé ainsi de donner un exemple utile aux jeunes gens dont l'esprit, trop souvent aventureux, est en général pressé de jouir du fruit d'un premier travail géométrique ou algébrique, et dont les écrits hâtifs viennent ainsi inutilement accroître le bagage déjà si lourd des problèmes, des théorèmes, des lemmes ou scolies dont les Mathématiques sont aujourd'hui encombrées, mais auxquels les futurs progrès de la science sont rarement intéressés.

Au fait, à l'époque de i83o-i83i où notre malencontreux article fut si précipitamment conçu, rédigé et publié, il régnait, comme je l'ai montré (IV, p. 4^3 et suiv.), une grande incertitude relativement à la nature des courbes gauches définies géométriquement, d'après les principes posés dans le Supplément du tome I" {Annotations, p. 4i6), et il était naturel, utile même de chercher à les construire sans l'intervention di> calcul ou de l'intersection directe des surfaces. Or, c'est véritablement à M. Chasles que revient, pour les courbes gauches du troisième ordre, l'honneur d'une pareille détermination basée au fond sur les notions qui dérivent du principe de continuité [Aperçu historique, 1837, Note XXXIII, p. 4o3 et 4o4), bien que les conséquences qu'il en tire relativement au lieu des sommets des cônes du second degré assujettis à contenir sept points arbitraires de l'espace renferment quelques inadvertances nées aussi de trop de précipitation : ces erreurs, que des savants anglais lui ont dernièrement reprochées [Cambridge and Dublin Journal, t. V, i85o, note de la page 69), ces erreurs, notre confrère les a largement réparées depuis [Comptes rendus , t. XLV, p. 189, août iSSy, ou Journal mathématique de Liouville, t. II, 2^ série, 1857, p. 897); d'autant que la Note ancienne de M. Chasles a tout au moins été un trait de lumière mis à profit par ses habiles successeurs.

Dans son Mémoire d'août 1867, notre savant géomètre affirme de nouveau, comme chose bien connue, que, par un point quelconque de tespace on peut toujours mener une droite, et l'on n'en peut mener qu'une qui s'appuie en deux points sur une courbe gauche du troisième ordre. Ceci est évident d'après les indications des pages 417 à 419 du précédent volume, puisqu'une telle courbe peut avoir une 'wiïvmié A' annexes rectilignes^ et que tout plan mené dun point arbitraire de l'espace à une droite, rencontre et ne peut rencontrer la courbe gauche qu'en un troisième point nécessairement réel, propre à déterminer la droite unique dont entend parler M. Chasles ; or, de là on infère, en toute raison, que la perspective sur un plan arbitraire de cette même courbe essentiellement continue a toujours un point double ou conjugué, qui abaisse à quatre, au lieu de six, le

nombre des tangentes issues d'un point quelconque de son plan, et par conséquent à pareil nombre les plans tangents à la courbe de l'espace, issus d'une droite également arbitraire; ce qui abaisse aussi de deux unités (Sect. II et III, n"' 68, 84 et suiv.) le degré de la réciproque polaire de ces courbes, réciproque qui, par conséquent, ne saurait être simplement de la troisième classe, comme l'entendent les géomètres dualistes, MM. Schrœter et autres, ce qui offre une véritable confusion d'idées et de langage.

Enfin, dans un dernier Mémoire de 1862, également paru dans les Recueils précités de M. Liouville et de l'Académie des Sciences , sur les courbes à double courbure du quatrième ordre intersections de deux surfaces quelconques du second degré, M. Chasles développe de plus en plus ses idées; et c'est seulement là qu'il indique, pour la première fois je pense, cette démonstration incomplète et peu satisfaisante même au point de vue des idées algébriques ou d'intuition géométrique, mentionnée dans le précédent article et qui concerne l'existence des deux points doubles ou conjugués de la projection-perspective de cette même intersection sur un pian arbitraire; proposition qu'on pourrait aussi conclure de la considération des cônes du deuxième degré qui la renferme, d'après nos propres théorèmes (t. I, p. 382, et t. II, p. 89). M. Chasles, en renvoyant dans le Mémoire précité aux recherches de MM. Cayley et Salmon ( t. V du Journal de Cambridge et Dublin), fait acte de probité scientifique, ce dont on doit lui savoir gré; mais cela ne nous éclaire pas suffisamment, et, quelles que soient l'importance et la prodigieuse fécondité des corollaires ou conséquences, nous voudrions plus de lumière et de franchise dans les démonstrations. Toutefois, en prévenant qu'il existe des courbes de quatrième ordre d'une nature plus générale et provenant de l'intersection possible de deux surfaces du deuxième et du troisième degrés, il nous prémunit contre une confusion rendue facile par l'absence de toute explication authentiquement connue ou dûment notifiée aux ignorants de mon espèce.

Malheureusement encore, pendant que M. Chasles complétait avec son talent de rédaction habituel la classification monographique des courbes du quatrième ordre de MM. Salmon et Cayley, ce dernier géomètre insérait dans le même volume de nos Comptes rendus (t. LIV, p. 55, janvier 1862) un Mémoire intitulé : Considérations générales sur les courbes en espace, principalement fondé sur des données algébriques pour moi difficiles à saisir sans commentaires à cause des réserves, sous-entendus, pétitions de principes et néologismes même qu'il renferme à notre point de vue tout français, et qui proviennent, je le crains, d'un trop faible désir de convaincre ses lecteurs, tout en prenant date, d'une manière hâtive, vis-à-vis d'un public qui n'a pas suffisamment médité les excellents ouvrages de M. Salmon ; mais surtout parce que M. Cayley, partisan des nomenclatures et des classifications, prétend embrasser à la fois les cas généraux et les cas particuliers dans une même démonstration analytico-géométrique. Or, c'est là une autre source de confusion et d'obscurité regrettable, dont la large adoption du principe de continuité et les procédés si clairs de l'École de Monge l'auraient facilement débarrassé, et n'eussent pas permis à une aussi forte tête mathématique d'écrire ce que nous lisons à la page i52 du tome XXXIY {1847) du Journal de Crelle, à propos des hyperdé terminants algébriques et de la classification des courbes à double courbure; car une telle courbe, si elle est continue [Annotations an tome !"■, p. 416), peut être placée tout au moins sur une infinité de cônes de même degré, ou d'un degré moindre d'une unité en prenant leur sommet sur le périmètre même de la courbe.

Une pareille manière de raisonner, de démontrer, même en Géométrie, est bien propre, en effet, à jeter les esprits dans le doute sur la certitude des Mathématiques, et elle explique comment divers autres Mémoires remarquables de ce savant ont amené des revendications, des commentaires de la part de certains géomètres algébrisles : cela est arrivé par exemple pour le Mémoire qui a paru à la page 21 3 du tome XXXI du Journal de Crelle [sur quelques théorèmes de la Géométrie de position), et qui a provoqué, tout comme celui de Steiner sur les courbes planes du troisième orr/re (t. XXXII, p. 182), les tardives observations de M. Plucker (t. XXXIV, p. 829 et 337), principalement dirigées contre la prétentieuse et complexe généralisation du célèbre

théorème de Pascal, au moyen de laquelle M. Plucker, oublieux à son tour, ne se fait pas scrupule d'englober comme simples corollaires quelques beaux théorèmes sur les hexagones inscrits aux courbes planes du troisième ordre^ compris parmi ceux qu'on trouve exposés au commencement de mon Mémoire sur l'Analyse des transversales (Sect. III). C'est, comme j'en ai déjà fait la remarque dans l'article précédent, ce dont M. Chasles lui-même avait le premier donné un fâcheux exemple à la page 149 déjà citée de \ Aperçu historique; aperçu de 85o pages grand in-4'', qui n'est pas, redisons-le, une histoire impartiale de la Géométrie moderne, mais bien un traité où se trouve jeté, comme à plaisir, un voile sur les noms et les écrits de certains auteurs; ce qu'on peut voir p. 643, 657, 680, 687, 695, où les mots figures corrélatives, bien définis par Carnot, signifient au fond polaires réciproques, mais où l'on n'a pas craint, si ce n'est pris à tâche, de dépouiller le Traité des Propriétés projectives de ses meilleures inspirations. Tout est dans tout, selon le célèbre apophthegme de Jacotot, qui, avec Pestalozzi, n'a pas peu contribué à répandre le désordre dans les jeunes esprits.

Mais je ne me propose nullement ici de multiplier ces citations, tendant seulement à justifier non à démontrer la vérité des réflexions qui terminent les Annotations du volume précédent (p. 419) sur la confusion introduite depuis un certain temps dans le domaine de la Géométrie; confusion à laquelle MM. Steiner et Plucker, fort capables comme on l'a vu, contribuaient entre tous par des suppressions de dates et de noms propres, qu'on ne saurait mettre complètement sur le compte de l'ignorance ou de l'oubli.

Je tiens, comme on voit, à me disculper de plus en plus des sévères et injustes reproches qui m'ont été adressés par quelques écrivains journalistes sur les signes de mécontentement et de mauvaise humeur qu'ils auraient entrevus dans mes publications de ^862, 1864 et i865. Mais ces reproches peu fondés ne doivent pas m'empêcher de poursuivre la tâche pénible que je me suis imposée dans cette Section supplémentaire , et que je me propose de poursuivre dans le § IV ci-après, avec la même franchise. Seulement, qu'on me permette auparavant de joindre à ce qui précède de courtes observations relatives au contenu des n"' 84 et 85 de la Théorie des polaires réciproques (Sect. II, p. 78-79); écrites en i865 à titre di' Annotations, elles pourraient faire partie du § IV dont je viens de parler, mais elles trouveront mieux ici leur place, parce qu'elles se rattachent intimement aux matières que nous venons de traiter.

Addition relative aux numéros 85 et 86 de la Section II de ce volume.

Supposez en particulier, dans le n° 84, p. 78, que la ligne à double courbure (/«)» d'une nature essentiellement continue par hypothèse, soit tout entière située sur la surface même du second degré qui sert de directrice aux pôles et polaires, les relations descriptives dont il est parlé ne cesseront pas d'avoir lieu, si ce n'est que les points de (m) auront pour polaires les plans tangents en ces points respectifs; de sorte que sa développable réciproque se confondra avec l'enveloppe de la surface du second ordre directrice des pôles le long de {m). Or de là résulte cette conséquence remarquable que, d'un point quelconque A de l'espace, il pourra être mené à cette développable, ou réciproque, un nombre de plans tangents égal à celui des intersections de la courbe (m) par le plan polaire du point donné A, c'est-à-dire précisément (m).

Pour s'en convaincre à priori, il suffit de remarquer que le plan polaire de A se confond ici avec le plan de contact du cône circonscrit à la surface directrice du second degré ayant son sommet en ce point; ce plan, d'après les définitions admises, coupe en effet la courbe gauche considérée en un nombre m de points réels, imaginaires, etc. En adoptant le langage des géomètres dualistes, on peut donc énoncer ce théorème : la développable circonscrite à une surface du second degré quelconque, le long d'une courbe gauche continue du degré m, située tout entière sur cette surface, appartient à la classe m; ce qui ne veut pas dire pourtant que cette courbe soit à la fois de l'ordre m et de la classe m ; car la classe d'une courbe gauche continue, de degré m, est généralement m{^m — i), et non simplement m, contrairement au prétendu principe de dualité; car tel est aussi le nombre des plans tangents qui peuvent (84) lui être menés, en général, par une droite située d'une manière arbitraire dans l'espace; ce

nombre étant susceptible (67 et suiv.) de s'abaisser de plusieurs unités quand la projection conique de la courbe sur un plan arbitraire contient des points multiples, de rebroussement, etc., le cône de projection ayant lui-même des génératrices analogues.

C'est là une question qui n'a point jusqu'ici été suffisamment approfondie. Sans vouloir insister sur ces considérations bien évidentes, on me permettra cependant de remarquer qu'il y a une grande distinction à faire entre le cas où le nombre m est pair et celui où il est impair; par exemple, entre les courbes continues du quatrième et du troisième degré, comme l'ont récemment fait observer divers géomètres. En effet, celle-ci (note des pages 417 à 4'9 du précédent volume) ne saurait appartenir à une surface quelconque du second degré non réglée, et comporte une droite conjuguée, annexe ou complémentaire, qui, avec la courbe gauche principale, forme une ligne discontinue du quatrième degré, susceptible d'appartenir à une infinité de surfaces réglées ainsi que la première, et offre d'ailleurs cela de particulier que sa développable réciproque ou polaire comporte elle-même une droite isolée et conjuguée à sa surface essentiellement continue.

En général, il est permis d'avancer qu'il ne saurait exister, sur une surface non réglée du second degré que je représente par le symbole (2), aucune courbe gauche (m) distincte et continue, c'est-à-dire assujettie à un mode unique de génération dans toutes ses parties, et qui soit véritablement d'ordre impair m. Car, d'après les principes généraux de l'Analyse algébrique ou géométrique, une telle courbe devrait pouvoir résulter directement de l'intersection de sa surface d'appui ou de base (2) par une autre surface

d'un degré « = -/«, incompatible géométriquement avec l'hypothèse de m impair, ce qui revient à supposer que l'imparité de m disparaisse par l'adjonction d'une ou de plusieurs droites, elles-mêmes en nombre impair, servant à'annexes à la courbe (m) par là élevée au degré pair : la surface d'appui se changeant alors en l'une des surfaces du deuxième degré, dite gauche ou réglée (t. I, p. 4'7)'

En particulier, il est visible que l'on peut, d'une infinité de manières différentes, placer la courbe (m) en question sur un cône ayant pour sommet un point quelconque de l'espace, et dont le degré sera, au plus, m, puisque sa base, sur un plan donné, est susceptible d'être rencontrée en ce même nombre m de points par une transversale arbitraire contenue dans un autre plan qui, renfermant le sommet du cône, coupe, d'après notre hypothèse fondamentale, la courbe [m) en m points réels, imaginaires, etc. Or cette proposition, vraie même quand le sommet du cône est pris en un point quelconque de la surface d'appui du deuxième degré, établit des modifications essentielles dans la constitution de la courbe d'intersection des deux surfaces, généralement composée de deux branches de degré 2 m, séparées et distinctes quand la courbe (m) est assujettie à une loi continue donnée à priori, mais formant une seule ligne inséparable, aussi continue dans toutes ses parties, quand le cône, de degré m, est entièrement arbitraire. Dans l'un et l'autre cas, en effet, le sommet de ce cône, en se rapprochant indéfiniment de la surface d'appui jusqu'à s'y confondre, donne naissance à un point singulier elliptique, hyperbolique, etc., tout à fait indépendant, ou simplement conjugué à la courbe (m) par voie de continuité, selon que la branche {m) est ou n'est pas donnée à priori.

La modification dont il s'agit devient plus remarquable encore quand le sommet du cône, au lieu d'être supposé en un point quelconque de la surface du m'""' degré, est pris n'importe où, sur le péri ■ mètre même de la courbe ('«); car tout plan transversal mené par le sommet du cône ne rencontrant alors cette courbe qu'en un nombre m — i de points distincts de ce sommet, le cône lui-même, d'après les raisonnements d'où nous sommes partis, se trouvera réd uit au degré m — i, et il en existera évidemment une infinité de cette espèce. D'ailleurs cette proposition et les précédentes, qui ont leurs réciproques polaires, sont applicables à des courbes gauches continues quelconques appartenant ou non à une surface ou à des systèmes de surfaces du second degré.

Mais je ne pousserai pas plus loin ces considérations que l'on doit envisager comme une suite naturelle des remarques contenues dans la Note déjà citée des pages !\\b à [\\<^ du précédent volume, sinon comme une émanation directe des larges méthodes, des doctrines fécondes de l'École de Monge, dont, selon moi, on s'est beaucoup trop écarté depuis quelques années, pour se rapprocher de plus en plus de ces procédés mixtes ou analjtico-géométriques, qui ont été souvent reprochés aux anciens géomètres, notamment à l'École de notre illustre Carnot.

43o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

g IV ET DERNIER. — Anuotations spéciales et développements relatifs a différents passages du texte.

En corrigeant les épreuves des Sections là IV de ce second volume, je me proposais de les accompagner ou faire suivre immédiatement de diverses notes et développements qui eussent servi de commentaires, sinon indispensables, du moins utiles, aux matières, déjà bien anciennes, traitées dans ces mêmes Sections. Ainsi, par exemple, en corrigeant l'épreuve de la feuille 7, j'avais le dessein [voyez au bas de la page 56) de donner un assez grand développement à la partie de la Note II (Section I") qui concerne la transformation et la généralisation des propriétés métriques relatives à la théorie du centre des moyennes distances ou des moyennes harmoniques de figures considérées dans le plan ou sur la surface sphérique; les n°* 84 et suivants, plus particulièrement encore le n° 163, dont je me suis déjà occupé dans le paragraphe précédent (art. IV, p. 423), et tant d'autres passages du texte de ce second volume eussent exigé diverses explications non moins utiles, même à l'époque de vulgarisation et de progrès où nous sommes; mais l'étendue exorbitante qu'a prise à l'impression le contenu des §§ I, II et III de la présente Section supplémentaire me force à renoncer à de telles notes ou développements, qui devraient comprendre une variété de questions ou de sujets tout aussi intéressants pour certaines catégories de lecteurs, que ceux sur lesquels j'ai déjà appelé et voudrais mieux encore appeler leur attention.