REMARQUES PRÉALABLES

Qu'on me permette de faire remarquer ici que le but de ce paragraphe se trouve partiellement rempli par la Note des pages 332 à 345, ainsi que par la discussion de divers points de doctrine contenus dans la Section II (p. m, n° 131) et les Sections III et IV [Transformations diverses et développements des théorèmes de Newton, de Cotes, de Mac-Laurin^ de Carnot, etc.)

Toutefois, je rappellerai que la Section F* de ce volume, qui remonte à l'hiver de 1828 et 1824, et a précédé de longue date tout ce qui a été écrit par d'autres sur ces matières , contient en germe les Sections III et IV que je viens de citer, et qui, dans mes intentions premières, n'ont jamais dû comprendre les relations métriques étrangères à celles que l'on peut proprement nommer linéaires et projectives. Celles-ci en effet sont les seules qui, par leur élégante symétrie et homogénéité, soient dignes, à mes yeux, de l'École des Lagrange, des Monge, des Euler et des Clairaut, parce que, susceptibles d'être immédiatement traduites, par la théorie des polaires réciproques^ en d'autres relations de segments ou de lignes trigonométriques analogues, elles laissent aux très-habiles disciples des Lahire, des Robert Simson, des Carnot, des Goudin ou à ceux de leurs modernes successeurs qui ne craignent ni l'arbitraire des transformations ni la complication des relations métriques et descriptives, une entière latitude pour appliquer des méthodes plus ou moins faciles à la recherche toujours épineuse de certaines catégories de théorèmes, de propriétés non immédiatement projectives. Parmi ces métiiodes mixtes, en soi d'ailleurs très-recommandables, je distinguerai, à cause de leur simplicité et de la fertilité des applications, celles qui se rattachent

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 43i

à la transformation polaire, relatives au cercle et à la sphère, transformation dont j'ai moi-même, le premier, offert dans mon Mémoire de 1824 (Sect. II), quelques exemples qui ont depuis attiré l'attention toute spéciale de MM. Bobillier et Mannheim.

Le premier de ces géomètres, M. Bobillier [Annales de Montpellier, janvier 1828, t. XVIII, p. i83), a eu l'idée mère d'un genre de transformations métriques à coordonnées polaires, nommées depuis par rayons vecteurs réciproques, et dont il a été fait de belles, de nombreuses applications soit en France, soit en Angleterre [voyez noi Applications d'Analyse et de Géométrie^ t. I, note de la page 490)-

Le second, M. Mannheim, a publié, en i85i et iSSy, sur la transformation des propriétés métriques des figures à l'aide de la théorie des polaires réciproques^ deux intéressants écrits oîi il s'est principalement proposé pour but d'opérer cette transformation sans faire subir à la relation métrique donnée aucune préparation spéciale ; c'est-à-dire en exprimant directement la distance, le segment rectiligne compris entre deux points sur une droite donnée, en fonction des grandeurs linéaires ou Irigonométriques qui se rapportent au centre, au pôle et à la polaire relatifs à une circonférence choisie à volonté sur le plan de la figure. Par là, en effet, l'auteur est arrivé à divers résultats remarquables, les uns déjà connus, les autres tout à fait inconnus.

RÉFLEXIONS SDR LA FRÉQUENCE ET l'iNOPPORTUNITÉ DES CHANGEMENTS DE NOMS ET DE DÉFINITIONS EN MATHÉMATIQUES, PRINCIPALEMENT EN GÉOMÉTRIE.

Je n'ai pas le dessein de m'étendre sur cette délicate et importante question philosophique, déjà traitée fort au long, mais incomplètement, par Biaise Pascal ; je me serais même contenté des rares et timides observations critiques répandues dans le § II de cette Section supplémentaire, et dans les n°* 327 et suivants de la Section IV du texte, si les lettres confidentielles des auteurs dont j'ai quelque droit de me plaindre, à cause des changements de définitions, des suppressions de dates et de citations qui se laissent apercevoir dans les articles publiés par eux aux Anciens Recueils de Mathématiques, sur des sujets dont je m'étais occupé longtemps auparavant, si ces lettres, dis-je, ne m'avaient en vain fait espérer pour ces mêmes articles, tous antérieurs à i83o, une rectification ou erratum très-important pour mon amour-propre d'initiateur dans la nouvelle branche de Géométrie. Car c'était là un déni de justice d'autant plus capable d'égarer l'opinion publique, que le talent des géomètres dont j'entends parler, le mérite, au moins apparent, des modifications ou altérations apportées par eux à mes propres doctrines, enfin les réticences dont je ne puis me rendre compte, étaient éminemment propres à séduire, illusionner les esprits non encore initiés et familiarisés avec les doctrines, le but et les intentions du Traité des Propriétés projectives des figures publié par moi en 1822.

Une longue et décevante attente m'ayant appris qu'il ne faut pas compter sur des rectifications volontaires de la part d'écrivains dont, par un motif quelconque, on ne s'est pas mis en devoir de combattre immédiatement les erreurs et empiétements, cette attente m'a obligé, après bien des années d'impatients soucis, à m'imposer, sur le déclin de ma vie, la lourde tâche d'une réédition entière de ce que je n'oserais appeler mes œuvres édites ou inédites, et encore moins mes œuvres posthumes; tâche rendue indispensable cependant par l'oubli de plus en plus marqué de mes droits de priorité dans des livres de Géométrie justement appréciés de nos jours.

Du reste, je suis d'avis avec l'auteur des Pensées, qu'en Mathématiques on est le maître d'imposer des définitions, des noms nouveaux aux idées et aux choses inconnues, pourvu qu'en se soumettant aux règles du bon sens et de la logique naturelle, on n'en change ou n'en altère jamais l'acception première. J'ajoute, comme conséquence, ce que Pascal ne dit pas et ce que notre illustre géomètre et philosophe Ampère soutenait en pleine Académie avec une persistante

ardeur : c'est qu'il n'est, en aucun cas et sous aucun prétexte, permis, même en fait de Chimie et de Mécanique, de substituer à des définitions ou appellations déjà établies et reçues, d'autres définitions, d'autres noms, à moins de démontrer les erreurs, les non-sens ou l'insuffisance radicale des premières; autrement ce serait introduire dans la langue qui devrait être la plus claire de toutes, une confusion inextricable. Or, c'est là un abus dont on ne se fait pas faute de nos jours, môme en France, où, à l'exemple des nations étrangères, on commence à faire usage, sans scrupule, d'un néologisme que repousse notre langue, naguère encore si lucide, parce qu'elle fuyait ces amphibologies de mots, ce vague et ces non-sens qui ne peuvent êlre la pâture que des hommes faciles à satisfaire.

C'est pourquoi aussi, ancien élève de ce bon et spirituel Andrieux, notre professeur vénéré de grammaire et de littérature à l'École Polytechnique, en 1808, je repousse de toutes mes forces l'introduction, dans la langue géométrique, d'expressions hybrides, telles que axes de symptose, substituée aux mots français de sécantes ou cordes communes, si anciennement connus, si facilement compris et saisis par tous ceux qui ont une légère teinture des Mathématiques; substitution qu'on est en droit d'attribuer au désir, sinon d'effacer entièrement, du moins de jeter un blâme indirect sur les doctrines du Traité des Propriétés projectives des figures, que toutefois on se gardait bien d'attaquer directement, ouvertement.

En effet, feu Gaultier, de Tours, en 1812 ou i8i3, et Steiner, de 1826 à i83o, avaient adopté pour la corde commune à deux cercles, la seule dont ces savants s'occupassent alors, les dénominations A'axe radical, ^axe d'égales tangentes, qui paraissent admissibles dans ce cas particulier parce qu'elles ont l'avantage de ne dépendre en aucune manière de la réalité ou nonréalité de l'intersection de ces cercles. Mais ces dénominations ne pouvaient s'étendre au système de deux coniques s'entrecoupant ou non sur un plan, dont Gaultier, de Tours, n'avait nullement à s'inquiéter, et pour lequel Steiner, dans son Mémoire de 1825 ou 1826 [Journal de Crelle, t. I, p. 38), ne propose aucune dénomination spéciale et évite même de s'occuper des sécantes communes que, d'après ce qu'on a vu (p. 4f>fi), M. Plucker appelait simplement chordales, sans distinction des cas de réalité et d'imaginarité : dans ces cas, en effet [voyez nos Applications, t. II, W Cahier) les quantités et formules algébriques conservent le même signe ou symbole expUcite dans les transformations diverses qu'on leur fait subir.

Quant à M. Chasles, excité par le bruit et les succès des Bobillier, des Gergonne, etc., rompant enfin le silence qu'il gardait depuis quatorze ans (1814 à 1828), repoussant d'ailleurs le principe de continuité à l'imitation de Cauchy, et interprétant mal l'adjectif idéal dont je me servais pour caractériser la circonstance où une sécante porte des intersections imaginaires tout en conservant dans sa direction indéfinie une existence réelle et distincte, qui peut devenir impossible, imaginaire, même lorsque cette direction contient un point réel à distance donnée ou infinie; quant à M. Chasles, désireux, je le crains fort, de montrer sa supériorité sur l'auteur des Propriétés projectives, et comprenant bien que l'expression abréviative ^axe radical est ici inadmissible, il est venu en 1828, avec une précipitation et des intentions que j'ai déjà qualifiées, proposer, six ans après la publication de mon Traité, l'expression ci-dessus ^axe de symptose, en conservant, faute de mieux sans doute, l'épithète de centres d'homologie aux points de concours des tangentes communes du système de deux coniques qui s'entrecoupent ou non sur un plan. Or, cette dernière épithète, M. Chasles veut bien l'accepter à cause de sa correspondance avec celle de centre de similitude des coniques semblables et semblablement placées sur un plan, dont il s'était particulièrement occupé à l'École Polytechnique.

De là, dans son Mémoire inséré à la page 277 du tome XVIII des Anciennes Annales de Mathé^ matiques, sont sortis une série de corollaires sur lesquels je n'ai point à revenir et où les expressions û'axe de symptose, de centre d'homologie et de coniques homothétiques jouent un rôle facile à deviner quand on a lu ou seulement parcouru mon Traité de 1822, dont ce géomètre s'excuse d'être, à Nice, hors d'état de consulter le texte pour en confronter les résultats avec les siens propres ;

excuse que je veux bien admettre pour quelques énoncés de problèmes, de corollaires ou théorèmes isolés, mais non quant au fond des doctrines, pas plus que je ne l'ai fait pour MM. Gergonnc, Plucker et Steiner, qui, il est vrai, ont agi avec moins de circonspection que M. Chasles et se sont écartés, dans leurs écrits, de la loyauté, de la franchise intelligentes dont mes amis Sturm et Bobillier avaient donné auparavant l'honorable exemple.

M. Chasles, provoqué d'ailleurs par les réclamations, à coup sur fort réservées, que je lui adressai, dès le printemps de 1828, au sujet de ses empiétements, ne parut comprendre ni le véritable sens de ces réclamations ni le désir que j'éprouvais de ne point entrer dans de nouvelles et pénibles discussions avec un savant moins philosophe, moins rhéteur, il est vrai, que Gergonne, mais en revanche plus érudit, plus disert et plus géomètre, qualités qui l'ont fait surnommer, par M.Cremona XArchimède, par M. de Jonquières le La Fontaine de la Géométrie moderne. M. Chasles donc, bien averti, mais aussi difficile à combattre qu'à convaincre, adressa au rédacteur des Anciennes Annales (t. XIX, p. 26) une sorte û' erratum qu'il m'avait annoncé dans sa réponse officieuse du i5 juillet 1828, et où il maintint, sous le patronage du journal, ce qu'il considérait comme un droit dûment acquis de substituer ses théories et dénominations aux miennes propres, que cette fois il blâme sans ménagement, assuré désormais que, discret par nécessité et exclusivement occupé de Mécanique, je ne me risquerais pas à rétorquer des arguments tout aussi peu valables d'ailleurs que ceux dont Gergonne s'était servi envers moi.

Ainsi, dans ce soi-disant erratum, non-seulement M. Chasles conserve l'épi thète û'axes de symptose pour désigner ce que je nommais cordes ou sécantes communes au système de deux coniques sur un plan, mais encore il critique vivement l'emploi des mots centres d'hontologie, pour les circonstances diverses où la direction correspondante des rayons vecteurs ne rencontre pas simultanément les deux courbes. De là, d'ailleurs, il tire divers corollaires et conséquences qui prouvent qu'en 1828 il n'avait pas compris ou lu avec une attention sufiBsante le contenu de la Section III du Traité des Propriétés projectives, et qu'imbu alors des idées étroites des géomètres de l'École d'Alexandrie, il n'entendait rien ou ne voulait rien entendre au principe de continuité, aux imaginaires, à l'infini de l'espace, dont la notion peut s'étendre même aux centres d'homologie et aux soi-disant axes de symptose supposés même indéfinis. Évidemment ses anciennes études sur la similitude [homothétie) de certaines figures, et celles de MM. Gergonne, Queteletet Dandelin sur les projections stéréograp/iiques, entreprises en 1826 et 1827 à propos de la discussion relative à la dualité et à la théorie des polaires réciproques, ces éludes qui servent de base unique aux démonstrations de M. Chasles, excellentes à certains égards quoique insuffisantes et arriérées sous d'autres, ne pouvaient, comme j'en ai déjà fait la remarque expresse, conduire directement aux notions exposées dans mon ouvrage de 1822. En cela donc, notre savant confrère commettait une inadvertance que l'on peut comparer à celle de certains auteurs pressés de produire, et qui veulent se faire chefs de doctrine avant d'avoir lu avec une attention suffisante les ouvrages de leurs prédécesseurs. Mais, par cela même que l'on s'affranchit de la sévère logique des Anciens, que l'on démontre peu et qu'on suppose beaucoup, on se trouve à la portée d'un plus grand nombre de lecteurs et l'on obtient des succès brillants et faciles.

Pour apercevoir en particulier combien M. Chasles se trompe dans ses critiques relatives aux centres d'homologie (points de concours des tangentes communes au système de deux coniques sur un plan), il suffit d'observer que, dans le cas même où les rayons vecteurs émanant de certains d'entre eux ne rencontreraient que l'une des deux courbes, ce n'est nullement un motif pour affirmer qu'il n'existe plus de rapports homologiques à l'égard de tels centres et de tels rayons; car, à chacun de ceux-ci correspondent, dans les deux courbes, deux pôles et deux points milieux des cordes réelles ou imaginaires correspondantes, outre une infinité d'autres couples de points déterminés par certaines relations métriques et descriptives, sur lesquelles il serait fort inutile d'insister puisqu'elles sont admises aujourd'hui.

Récemment, dans son Traité des Sections coni{/ues (i865), qui mériterait bien le nom de IL 55

Compendium ou Collection de synthèses géométriques, M. Chasles, persistant à refuser aux intersections des tangentes communes l'épithète de centre d'homologic, les a nommées (p. 228), par abréviation, les ombilics des coniques, expression vieillie du mol foyer (Desargues, etc.), qui n'a sa raison d'être, comme celle adoptée par Monge pour les surfaces du second degré, qu'en ce que de tels points conservent certaines des propriétés du centre commun à un système de cercles concentriques (t. P", n°' 453 et suiv.) ; or, cela s'accorde peu avec l'application qu'on tente aujourd'hui d'en faire aux points cycliques de l'infini.

Pour compléter ce que- je voulais dire des axes de symptose proposés par M. Chasles en vue de tenir lieu des cordes ou sécantes communes, je rappellerai : 1° que symptose, mot dérivé du grec, signifie rencontre, comme asymptote signifie sans rencontre, expression abréviative qui, si je ne me trompe, a empêché nos prédécesseurs, avant 1822, de deviner l'existence des divers ordres d'asymptotismes ou de contacts de l'infini, réels ou imaginaires, entre les courbes; 2° que les points de rencontre d'un axe de symptose avec une courbe plane continue peuvent cesser d'être réels et passer même à l'infini, bien que la direction et la position de cet axe conservent une existence géométrique distincte ; ce qui ne permet pas de dire, dans l'esprit de la nouvelle Géométrie, que cet axe est complètement impossible ou imaginaire. D'après cela donc il nous faudra employer quelque épithète caractéristique, telle que axe de symptose idéal ou idéale, etc., ambiguïté à laquelle je préférerais , comme plus française , plus claire et tout aussi abréviative , celle d'axe de concours idéal, ou, ce qui est plus simple encore et rentre tout à fait dans la dénomination que j'ai proposée en 1820 et 1822, et dont je n'ai jamais changé, celle de sécantes idéales, pouvant, selon la remarque ci-dessus, devenir à son tour tout entière imaginaire ou passer à l'infini : l'adoption d'un pareil langage n'ayant d'inconvénient que celui de rappeler les préliminaires du Traité des Propriétés projectiles, que M. Chasles ne veut point admettre.

Après cet exemple, est-il bien nécessaire d'examiner un à un les autres changements, les autres altérations que ce savant a prétendu faire subir à un langage que je croyais très-logique, très-intelligible même pour des esprits ordinaires, dans ses écrits postérieurs à 1828, publiés en Belgique sous le patronage du journaliste et Secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences de Bruxelles? A cet égard, je ne puis que renvoyer au tome P" des applications d'Analyse et de Géométrie, ainsi qu'à tout ce que j'en ai dit dans le cours de cette Section supplémentaire, où j'ai peut-être trop laissé percer l'amer déplaisir que m'avaient causé les tentatives d'empiétements et les critiques, si peu motivées, d'un géomètre dont j'estime fort le talent et les travaux d'érudition, mais auquel je n'ai pu m'empêcher de reprocher d'être en partie le promoteur, du moins en France, de ce néologisme, de cette confusion d'idées et de méthodes qui, en nous envahissant de toutes parts, ont autorisé quelques jeunes célébrités scientifiques, nationales ou étrangères, à remplir nos Comptes rendus académiques et nos autres journaux, hebdomadaires ou mensuels, d'une multitude d'articles où les excentricités et les altérations du langage mathématique ont pris une trop grande extension, sans que je prétende néanmoins méconnaître la valeur de certains théorèmes ou aperçus de Géométrie supérieure, qui sont comme la généralisation transcendante d'autres théorèmes, d'autres points de doctrine antérieurement connus.

Dans les ouvrages remarquables de i852 et i865 que j'ai souvent cités, plutôt synthétiques qu'analytiques, à la manière d'Euclide, de Legendre, de Carnot, dont je ne pourrais approuver entièrement l'esprit de philosophie et de critique mathématique, où l'intuition géométrique entre pour une bien faible part, où l'on maintient, comme dans VJperçu historique, les mots vagues, à double sens, tels que: corrélatif, employé dans un but très-différent par Carnot, et qui remplacerait désormais le mot réciproque, dont je fais usage depuis 181 7 ; dualité pour réciprocité ; contingence (principe) y>out permanence ou continuité, et autres dénominations, changements de mots déjàcri'tiqués ci -dessus ou qui mériteraient de l'être; M. Chasles paraît s'être efforcé ainsi de restreindre, de changer la signification des anciens mots, sinon de les supprimer tout à fait, de manière à rendre en quelque sorte méconnaissables les ouvrages qui ont précédé les siens, du moins pour les lec-

leurs, nationaux ou étrangers, peu au courant de la matière. Quel sens logique et grammatical, je me le demande, comportent les mois an/inrmonùjue, homographique, dont M. Chasles a tiré un si habile parti dans ses ouvrages classiques, et qu'on a prétendu récemment dériver û' un principe de transformation plus général que ceux du tome I" du Traité des Propriétés pmjectives?

Je ferai observer d'abord que, d'après l'analogie et le sens attribué aux mots français anarchie [an-harchie selon Proudhon), anhydre^ selon les chimistes, etc., il serait, comme j'en ai déjà fait la proposition, préférable de substituer à l'abréviatif anharmonique^ auquel je suis loin de contester le mérite d'à-propos, l'épithète toute française de surharmonique, dans le sens même que M. Chasles a en vue, ou ce qui vaudrait mieux encore pour se rapprocher de l'école allemande des Mœbius et des Steiner [voyez l'Article II du §111, p. 4ii)î o" pourrait pour l'exactitude se servir du mot double-harmonique auquel il ne manquerait ainsi que le complément de perspectif on pmjectif. Car, non-seulement ces composés sont aussi acceptables que l'hybride homofocal, moitié grec et moitié latin, employé par de très-savants géomètres, mais encore il y a lieu de ne pas s'en tenir au rapport de double section, comme le veulent les auteurs précités qui prétendent interpréter, continuer synthétiquement Pappus et Desargues dans leurs admirables Lemmes porismatiqucs et inuolutifs, tous projectifs à notre manière et que, dans le présent Traité, nous avons cherché à étendre à des relations beaucoup plus complexes et non moins remarquables. Quant au mot homographie, signifiant même description, comme homologie signifie même discours ou langage, cette expression abréviative, d'une valeur incontestable puisqu'elle sert de base à une très-utile série d'énoncés et de démonstrations élémentaires, n'a d'autre inconvénient que d'être en soi fort vague et de remplacer la locution allemande de projectivischer gebilde, employée par Steiner dans son livre de i832, sans croire emprunter à mes propres écrits.

En second lieu, pour quiconque a médité convenablement sur le contenu des n"^ 8 à 21 , 45, 46 et 47 du tome I" des Propriétés projectives, dont l'application s'étend aux figures sphériques et aux aires, il est évident que les relations anharmoniques et homographique s sont dans leurs conséquences d'une nature essentiellement projective ou peuvent le devenir par transformation. Car, d'après les propres remarques et les démonstrations de M. Chasles [Géométrie supérieure, n" 363, p. 4c5 et suiv.), deux figures homographiques quelconques peuvent être placées de manière h être homologiffies ou perspectives Vune de Vautre; ce qui suppose un simple déplacement relatif comme pour les figures semblables mais non semblablement situées dans l'espace ou dans un plan, en offrant certains avantages, que j'ai déjà signalés ailleurs [Applications d^ Analyse et de Géométrie, t. I", note de la page 493). On le voit, l'homographie n'est qu'une transformation géométrique limitée aux plus simples relations métriques /^/•o/'ecf/ceA-, tandis que la nôtre comprend toutes celles de la Géométrie de la règle, des transversales, etc.

SUR CERTAINES PROPRIÉTÉS DES RÉSEAUX FORMÉS PAR LE CROISEMENT MUTUEL DE DEUX LIGNES OU SYSTÈMES DISTINCTS DE LIGNES CONTINUES SUR UN PLAN.

Lorsque, dans l'hiver de i83o à i83i, je m'occupais de rédiger, pour les présenter à l'Institut, les Mémoires qui contiennent M Analyse des transversales (Sect. III et IV), je me vis obligé de laisser de côté plusieurs points de doctrine ou d'application relatifs aux systèmes de lignes et de surfaces géométriques à intersections communes, notamment ce qui concerne les osculations mutuelles de ces surfaces, par lesquelles je comptais terminer la IV* Section, et dont s'était occupé M. Plucker dans un intéressant Mémoire de 1829 (Crelle, t. IV, p. 342), où, cependant, il a eu le grand tort [ibidem^ p. 5o) de nier l'influence exercée par le principe de continuité sur la direction de ses idées analytico-géométriques. Mais, ce qui m'a plus particulièrement donné des regrets, c'est de n'avoir pu développer davantage les applications (Sect: IV), qui concernent le cas de

deux systèmes indépendants de lignes, droites ou courbes, tracées sur un même plan et dont le croisement réciproque sous des formes ou figures polygonales plus ou moins élémentaires, constitue un groupe, un ensemble qu'il ne faut pas confondre avecles figures propres à chaque ligne ou système de rencontres mutuelles en particulier. D'après un usage généralement adopté parmi les géomètres astronomes, les ingénieurs et les artistes fabricants de tissus et d'ornements divers, un tel ensemble peut être nommé réseau^ sauf à conserver, d'après l'usage, le nom de faisceau à une série indéfinie de lignes ou de systèmes de lignes à points de rencontre communs. Les canevas géodésiques formés de méridiens et de parallèles terrestres, le double système des lignes de courbure d'une même surface, des génératrices croisées de l'hyperboloïde à une nappe, etc., offrent tous, comme le canevas à jour des brodeuses, les tulles et les dentelles, le tissu plein, à chaîne et trame, des étoffes les plus simples et les plus riches, l'échiquier même du jeu de dames ou d'échecs, autant d'exemples de réseaux quadrillés dont les points de croisement anguleux sont les nœuds ou sommets.

En m'occupant, au printemps dernier (i865), de l'impression de mes notes manuscrites de i83o-i83i, je remarquai que les propriétés projectiles, les relations d'im>olution simple ou multiple dont jouit l'ensemble ou réseau géométrique dont j'entends exclusivement parler, permettent de construire, sous certaines conditions, les lignes qui en contiennent les nœuds ou points de croisement mutuels que, pour ce motif, on peut nommer lignes nodules. Or, pendant la révision de la partie de ces anciennes notes et des souvenirs qui s'y rattachent, j'ai éprouvé le vif regret, pressé par le temps, l'encombrement des matières et un excès de fatigue, de ne pouvoir donner aucun développement à mes premières idées. A cette occasion j'avais, hors de propos je l'avoue, songé à substituer dans l'impression de la IV* Section dont il s'agit, le mot de réseau au mot banal de système, afin de mieux caractériser le genre particulier de figures que j'avais prétendu considérer dans le manuscrit de i83o, figures auxquelles le nom de faisceau ne pouvait convenir. Mais j'ai renoncé à ces changements ou perfectionnements tardifs, grâce aux observations de mes amis scientifiques, MM. Moutard et Mannheim, qui ont bien voulu soumettre à un contrôle sévère le texte de cette Section restée manuscrite et à laquelle, moi-même, je répugnais d'apporter une modification aussi essentielle. Or, j'ai d'autant plus lieu de me féliciter aujourd'hui d'avoir déféré à leur avis que l'emploi du mot réseau, inusité en Géométrie, rappelant celui de netz dont se servaient justement Steiner et Mœbius dans leurs ouvrages allemands, aurait pu me donner fort gratuitement les apparences d'un néologisme et de réminiscences que j'ai souvent reprochés à d'autres, avec d'autant plus de motifs ou d'apparence que certains écrits publiés pendant l'impression même de la IV* Section de ce volume en ont donné un nouvel et fâcheux exemple.

Les premiers numéros de cette Section, et plus particulièrement les n°' 261 et suivants {fig. 42 et 43), nous ont offert des procédés généraux aussi simples que remarquables pour construire une infinité de courbes nodales d'un réseau formé par les rencontres mutuelles de deux systèmes distincts de transversales rectilignes ou curvilignes de même degré : le but qu'on se propose d'atteindre dans de pareilles questions offre, si je ne me trompe et sauf la forme, la continuité des lignes, des routes à déterminer ou à parcourir, beaucoup d'analogie avec le problème de situation et d^analjse combinatoire relatif au jeu d'échecs, que s'était proposé le grand Euler dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Berlin pour 1759, problème au fond identique à celui qui consiste à faire franchir à un cavalier différents ponts jetés sur les replis, les méandres d'un fleuve, sans jamais repasser deux fois sur le même pont, et dont Euler avait déjà tenté la solution dans les Mémoires de l'Académie de Saint-Pétersbourg pour 1786 {*), mais que Vandermonde a résolu à son tour (1771) par des procédés plus simples, comme M. Poinsot en a

(*) Vojez la traduction française de cet écrit par M. E. Coupy, insérée à la page 106 du tome X, i85i, des Nouvelles Annales de Mathématiques.

fait la remarque dans son Mémoire de 1809 sur les polygones et les polyèdres étoiles [Journal de l'Ecole Polytechnique, X* Cahier, p. 16).

Ce genre de questions, les remarques de Vandermonde sur les problèmes de situation, imprimées dans les Mémoires de notre ancienne Académie des Sciences pour 1774» remarques que j'ai eu l'occasion de citer dans mon Rapport historique sur les machines-outils à l'Exposition universelle de Londres (t. II, 1867, p. 410, 466 et 467), et qui concernent la route suivie par le fil d'un tissu au travers d'un réseau quadrillé plan et rectangulaire ou parallélipipédique; enfin les études de notre célèbre Laplace sur le métier à dentelle du sieur Leturc, professeur à l'ancienne École militaire de Paris [ibid., p. 466 et suiv.); ces problèmes, dis-je, n'ont d'affinité avec celui dont il s'agit qu'en ce qu'ici le point mobile doit parcourir indistinctement tous les nœuds ou sommets du réseau sans prescription particulière relative à la forme de la courbe à conduire par ces sommets, tandis que dans notre cas, la courbe nodale est continue et l'on ne pourrait lui imposer aucune des autres conditions que comporte le jeu d'échecs ou la fabrication des tissus, si ce n'est de passer en outre par un point arbitrairement donné sur le plan du réseau.

Le problème ainsi entendu géométriquement n'offre en réalité aucune difficulté sérieuse, parce que nous supposons donnés à priori^ sur un plan, les deux systèmes de lignes distinctes qui fixent, par leurs rencontres mutuelles, les points obligés du passage de la courbe à décrire graphiquement ou à déterminer par points au moyen du calcul.

Mais la difficulté est tout autre quand les nœuds ou points donnés de passage sont indépendants entre eux, et qu'on se propose de tracer par ces points une courbe géométrique d'un degré approprié, c'est-à-dire le moins élevé possible; comme, par exemple, quand il s'agit de faire passer une courbe continue du troisième ordre par neuf points donnés arbitrairement sur un plan; problème diversement résolu par les géomètres, et dont, selon ce qui précède, la véritable difficulté réside dans le choix de deux systèmes de lignes élémentaires dont les rencontres mutuelles comprennent les points assignés, à priori, en nombre nécessairement inférieur à celui de ces rencontres, nœuds ou sommets du réseau.

Ainsi, notamment, le réseau quadrillé de \difg. 56 [PL /^/), formé par la rencontre de deux systèmes distincts de trois transversales rectilignes à neuf sommets, permettra, d'après le n" 262, de construire linéairement une infinité de lignes du troisième ordre contenant à la fois ces sommets, mais dont une seule sera susceptible de passer par un dernier point /?, absolument indépendant des neuf autres assujettis à la condition toute spéciale d'être trois par trois en ligne droite; condition qui, en réalité, n'équivaut qu'à six données entièrement distinctes, telles, par exemple, que d'appartenir à l'hexagone au' b' b" c" c' a , dont les côtés joignent deux à deux, dans un certain ordre, six des neuf sommets du réseau qui peuvent ainsi représenter sept points choisis à volonté avec le point p sur le plan du réseau.

Notre système de construction des lignes planes géométriques serait donc seulement apte à tracer une courbe du troisième ordre passant par sept points entièrement arbitraires, y compris le point p, mais non davantage, à moins que les neuf points donnés soient eux-mêmes assujettis à certaines conditions, comme d'en offrir trois en ligne droite ou six sur une ligne du deuxième degré, etc., etc.; circonstances pour lesquelles le contenu des Sections III et IV offre différents moyens de solution. Si l'on voulait aller au delà, il conviendrait de recourir à d'autres réseaux formés par la combinaison de lignes mieux appropriées encore à la nature intime des courbes géométriques de chaque espèce.

Dans le cas, par exemple, des courbes du troisième degré dont il s'agit ici, on pourrait remplacer les systèmes distincts de transversales rectilignes par deux autres formés respectivement d'une conique et d"une droite, déterminés, tracés convenablement au moyen des points donnés; ce qui permettrait tout au plus d'utiliser huit sur neuf de ces points en laissant l'un quelconque d'entre eux complètement en dehors, etc.

Toutefois, ce n'en est pas moins un fait mathématique digne d'attention que celui qui nous est

offert par la propriété des réseaux formés de lignes géométriques droites ou courbes, tracées sur un plan et dont les nœuds, sommets ou points de rencontre en nombre déterminé, sont tels qu'on puisse toujours y faire passer une infinité d'autres lignes géométriques distinctes, bien que ce nombre soit, à partir du troisième degré, généralement supérieur au nombre strict des conditions nécessaires pour déterminer algébriquement l'équation de la courbe.

Ainsi, par exemple, on arrive à ce corollaire remarquable énoncé dans le Journal de Crellc (t. XXXIV, année 1847, p. SSg) :

Trois ou plusieurs courbes du troisième ordre passant par les mêmes huit points donnés vont se couper toutes dans un même nemnème point.

Mais, malgré la facilité apparente avec laquelle M. Plucker arrive à cette conséquence et à plusieurs autres non moins intéressantes, relatives aux figures rectilignes inscrites dans les courbes du troisième ordre, ce savant professeur n'aurait pas dû oublier que j'avais moi-même, vingt-trois ans auparavant, établi plusieurs de ces théorèmes au commencement de mon Mémoire sur \ Analyse des transversales (Sect. III, p. i5a, n°' 1S4 et suiv.).

Je n'insisterai pas davantage sur un genre de questions qui se rattachent de la manière la plus intime au porisme réciproque de la page 4o4 [fi^- Sa), ainsi qu'au paradoxe d'Euler et de Cramer élucidé par MM. Plucker et Jacobi au point de vue de la Géométrie analytique; je me contenterai de faire observer en général, que les mn points d'intersection de deux courbes de degrés quelconques OT et « n'équivalent pas toujours à mn points arbitraires, pas même à m [n — 1).