SUR LES INVOLUTIONS ET LES RÉSEAUX PARTIELS OU IMPARFAITS

(Note rectificative et complétive des n°'252 et suivants du texte).

Les paragraphes et articles divers de la Section III nous ont offert des exemples plus ou moins remarquables de relations métriques et descriptives qui se rapportent aux réseaux et aux involutions que j'appellerais volontiers simples ou élémentaires .^ parce qu'il n'y entre qu'un seul système ou ensemble de lignes indépendantes entre elles, et par conséquent un seul système de figures polygonales inscrites à ces lignes, contrairement à ce qui a lieu pour les figures des §§ I et II de la Section IV, où les systèmes entre-croisés de lignes ou de surfaces, ainsi que les involutions y afférentes, composées ou multiples, peuvent offrir un caractère particulier de symétrie et de réciprocité parfaites, dîl à ce que les systèmes distincts que l'on y considère sont d'un môme degré, et les groupes de points déterminés par une transversale rectiligne assujettie ou non à des conditions données invariables, sont de môme ordre, c'est-à-dire '.composés d'un nombre égal de points. Mais, entre ces hypothèses extrêmes, il en est une infinité' d'autres non moins intéressantes, et dans lesquelles les systèmes considérés isolément sont d'un degré différent ; c'est ce dont nous avons eu également des exemples au commencement de la Section IV (n™ 2S5 et suiv.), où la ligne de moindre degré est complétée par une autre ou par un système de droites en nombre convenable pour égaliser les degrés.

Par cette considération géométrique fort simple, en effet, le problème qui consiste à mener, par un point arbitrairement choisi sur le plan de la figure, la courbe nodale contenant tous les sommets du réseau ainsi défini, se trouve résolu géométriquement, grâce à nos méthodes relatives aux propriétés de Vinmîution complète, et qui offrent par là même l'exemple de faisceaux de lignes d'égal degré, dont lés intersections communes sont en nombre supérieur à celui des conditions strictement nécessaires (n" 215, p. 200) pour déterminer toute courbe de ce degré à une unité près; genre de questions qui a beaucoup occupé les modernes successeurs d'Euler et de Cramer, comme je l'ai fait remarquer à la fin de V Article 111 ci-dessus, p. 438,

Mais, en recourant aux auxiliaires dont il vient d'être parié, on complique inutilement la so-

lution du problème, et c'est pourquoi, tout en travaillant à réunir les matériaux de la Section IV, je me préoccupais (note de la page 253, n° 281) de l'idée d'ajouter au § II de cette Section un article spécial ayant pour but de rechercher s'il n'existerait pas quelque propriété générale des involutions partielles, qui permît de déterminer directement les points qui , sur chacune des transversales à considérer (261 et suiv.), appartiennent à la nodale correspondante.

Nommons m le degré de l'une des deux lignes ou systèmes de lignes à considérer, «</« celui de l'autre; m — n sera le degré du système complémentaire ou auxiliaire, qu'on peut représenter par l'indice («), les indices [m] et [m — n) représentant les lignes ou systèmes de degrés m et m — n respectivement, d'après les conventions mêmes du texte dont on a supprimé, lors de l'impression, deux Notes qui devaient constituer V Article additionnel du § II, mentionné ci-dessus. Ces Notes étant demeurées dans un état de rédaction fort imparfait, je me contenterai simplement d'en donner ici une idée tant à cause de leur étendue que des lacunes mêmes qu'elles renferment, lacunes que je n'ai nullement l'intention de combler.

Dans la première de ces Notes, je me proposais de rechercher non-seulement l'équation en x du degré w, analogue à celle de la page 248 (n° 271), et qui est propre à déterminer sur une transversale arbitraire les points qui jouissent, par rapport aux deux groupes d'intersection de celte transversale et des systèmes [m] et («), de relations d'involutions analogues aussi à celle de cette page, mais encore de construire la courbe nodale des points x^ x\ x'\ . . . , qui contient les sommets divers du réseau formé par l'entre-croisement de [m] et de («), et cela même dans le cas oii l'on se dispenserait de recourir au système complémentaire de degré m—-n dont il a été question d'abord : ce système pouvant être remplacé par des conditions diverses, tour à tour essayées dans cette première Note. Mais j'ai dû y renoncer à cause de la longueur des éliminations, me contentant d'observer que la courbe [m] et la courbe inconnue des points .r, étant toutes deux du degré m, constituent par elles-mêmes un réseau complet, dont les m^ sommets doivent comprendre les nm intersections de [m) et de («) plus m — n autres points fixes, réels ou imaginaires, à distance donnée ou infinie. D'ailleurs, ces différents points doivent jouir dans leur ensemble des propriétés d'involution définies aux divers endroits du texte (Sect. III, n~i78 à 210; Sect. IV, n*" 253 et suiv.), et qui concernent non-seulement les sommets dont il s'agit, mais aussi les cordes ou sécantes qui les joignent deux à deux diagonalement et les tangentes simples ou multiples correspondantes ainsi que certains de leurs points singuliers, etc. ; tout consistant à modifier convenablement les constructions du n° 261 [Jig. ^'î.).

A ce dernier égard, je ferai observer que la difficulté que l'on pourrait éprouver à comprendre et appliquer les méthodes que ces numéros indiquent pour déterminer les m — i dernières intersections /•', r",..., d'une transversale arbitraire /v^/r avec la courbe qui contient les sommets d'un réseau complet d'ordre /«, en assujettissant cette transversale à passer par un point r donné à volonté sur le plan des deux lignes fondamentales de ce réseau, je ferai, dis-je, observer que cette difficulté provient uniquement de l'accumulation, de la diversité des méthodes ou systèmes de tracés que le n° 261 et la^fg-. 42 indiquent, et dont les démonstrations ont été supprimées dans le texte comme étant à peu près inutiles d'après le contenu des n"' 181 et 204 ou suivants. Malgré le désir bien légitime d'abréger, je n'en crois pas moins à propos, pour la satisfaction des lecteurs, de reproduire ici [Jîg. 5y) avec les mêmes lettres, mais sur une autre échelle, la partie de la ^g. 4a relative à la dernière des solutions indiquées au n° 261, ainsi que le passage du manuscrit qui lui servant d'explication, est ainsi conçu :

« Supposons, poiu" fixer les idées, que ap et aq soient les transversales distinctes dont il s'agit, et soient » P', P", P'", . . . , Q', Q", Q*", . . . leurs intersections respectives avec les autres transversales sp', sp", sp'", . . . , n et sq', sq", sq"\. . ., issues de j. Par ce dernier point, considéré comme pôle des rayons vecteurs de la » courbe cherchée, menons une suite de transversales dans l'angle des droites aP' et «Q'; soit a& l'une » d'elles rencontrant aP'en b etaQ' en c, c'est-à-dire considérons le triangle abc comme transversal de » la courbe dont il s'agit, et observons que bc contient m — 2 points de cette courbe confondus avec s.

44o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

» plus un autre point x, distinct de s et qu'il s'agit de construire sur chaque transversale, on aura » d'après notre principe fondamental (12) :

(3P')(aQ').« .ex

» équation qui permettra de calculer immédiatement le rapport de ^x à ex, et par suite (i3), de déter- » rainer la position du point x.

» Parmi les différentes manièi'es de construire linéairement x, nous choisirons la suivante, qui est une » des plus simples et des plus symétriques.

» Traçons, une fois pour toutes, les droites P'Q', P"Q", P"'Q"',..., rencontrant aux in—t points » «', n", n"',... la transversale arbitraire bc, points qui seront ainsi connus, on aura, en considérant à » son tour le système de toutes ces droites comme une ligne géométrique transversale du triangle abc,

/' {aV')(eQ')(bn')^

(6P')(aQ')(c«') '

» équation qui, étant comparée à la précédente, donne immédiatement

bs .bx {bx')

— '«— » " fcx')' es . ex ^ '

» laquelle exprime que le système des m —1 points confondus en s, joint ti x, et le système de /n — i » points n', «", «"',..., sont en involution par rapport aux deux points b et c. Donc on obtiendra im- » médiatement le seul point inconnu x par les constructions linéaires du n° 183, en inscrivant, par » exemple, dans l'angle bac ou dans tout autre formé par deux droites issues de b et de c, un polygone » quelconque dont les m. — i côtés de rang pair passent respectivement par les points h', «", h'", ... et dont » les côtés de rang impair passent de même par les m — 2 points s ; car le dernier côté ira naturelle- » ment rencontrer bc au point x demandé.

» Telle est la construction simplement énoncée aux n"* 183, 204, etc., et de laquelle il nous serait facile » de déduire un bon nombre de propriétés intéressantes relatives aux lignes géométriques qui ont un » point multiple d'ailleurs de l'ordre le plus élevé ; mais nous ne pouvons nous arrêter ici à ce problème. »

Au surplus, je dois rappeler à cette occasion ( p. 207, n° 223 ) que les constructions géométriques indiquées dans ces solutions fondamentales, bien que toutes linéaires et faciles en apparence, reposent sur des hypothèses rarement réalisables dans les applications, si ce n'est pour les cas les plus simples de chaque espèce. Il ne s'agit là, en effet, que de figures de démonstrations, et les raisonnements, les procédés dont on s'y sert sont entièrement comparables à ceux de l'Analyse algébrique, surtout de l'Analyse fonctionnelle où les équations des courbes d'un degré indéterminé tn, simplement supérieur au deuxième, telles que /'"(a:/) = o, par exemple, sont de purs symboles de raisonnement et de démonstration irréalisables par le calcul ou le tracé, bien qu'on en connaisse certaines propriétés très-remarquables ; équations dont, au point de vue de la perception intellectuelle", de la divination et de l'argumentation, on pourrait comparer \d, puissance virtuelle à ce que les Anciens, Euclide notamment, appelaient les données [data] dans leur Analyse parlée ou écrite consistant véritablement en tableaux mnémoniques dans le genre de ceux de la Géométrie de position de Carnet, comme j'en ai déjà fait la remarque dans un autre endroit. La Géométrie de Descartes ou toutes autres méthodes symboliques et de transformation moins universelle et moins parfaite qu'on a vues apparaître depuis un certain temps, ne sauraient donc, sauf la brièveté et la concision pour certains cas fort rares, offrir aucune puissance, aucune supériorité absolue réelle et constante sur les modes ordinaires de découvrir ou de démontrer à posteriori les vérités géométriques, et je ne prétends aucunement en excepter \ Analyse des transversales, \q% Principes de perspective ou projection centrale, etc., etc.

Après ce préambule indispensable pour les esprits exclusifs ou qui manqueraient de philosophie

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 44i

mathématique, je passe au contenu d'une autre Note manuscrite non moins ancienne et qui fait suite à la précédente que je terminais en me demandant si le réseau formé par la rencontre des lignes ou systèmes différents de lignes, de degrés m et «, ne jouirait pas de quelques-uns des caractères de V involution complète et réciproque par rapport à toute courbe nodale, de degré w, contenant leurs inn points de rencontre ou sommets; notamment si l'on ne pourrait pas se servir des procédés du n° 2G1 pour déterminer séparément chacun des groupes d'intersection r, r", r'",..., ou a.-, x\ x", en nombre ni^n, de cette courbe, avec les diverses transversales issues de l'un quelconque, r ou x, de ces points, censé fixe ou le même pour chacune de ces transversales. Mais, faute de loisir encore, il m'a été impossible en i83o de vérifier ce soupçon fondé, je l'avoue, sur une pure analogie de ce qui doit exister entre les résultats des procédés géométriques d'involution et la très-ancienne et ingénieuse méthode algébrique des coefficients ou multiplicateurs indéterminés, appliquée par exemple aux équations fonctionnelles

(i) F'"(ar,j) = o, il) /"(^,J) = 0,

qui donnent pour l'équation de toute ligne contenant les intersections mutuelles des courbes correspondantes,

nouvelle équation du degré m > n dans laquelle K représente un coefficient numérique arbitraire, tenant lieu ici du point qu'on se donne aussi à volonté dans nos méthodes géométriques pour y faire passer la courbe nodale ou des nin sommets du réseau; car en représentant par x' et r' Tes coordonnées ordinaires de ce point, on a pour calculer le facteur numérique K,

¥'"{x\j-')-Kf"{x',y) = o.

Lorsque n — m, la courbe nodale, représentée par l'équation (3), constitue avec celles des équations fondamentales (i) et (2) du réseau un système en involution triple, c'est-à-dire complète, réciproque et jouissant, par cela même, de toutes les propriétés métriques ou descriptives que nous avons longuement étudiées dans la Section IV, et dont la plus remarquable concerne les différents groupes de 3 m intersections relatives aux mêmes transversales rectilignes arbitraires; transversales parmi lesquelles se distingue celle qui répond à l'infini du plan des courbes (i), (1) et (3) : les tangentes relatives aux points de rencontre de cette transversale constituant un réseau de 3 m asymptotes déterminables, constructibles par nos méthodes ou celles de l'Analyse des coordonnées (vofcz les n"* 178 et suiv. de ce volume et la Théorie des Polaires réciproques avec réflexions et additions, p, 483 à 5o3 du tome II de nos applications, etc.).

Mais, ce qu'il y a de particulièrement remarquable ici, c'est que le triple faisceau de droites rayonnantes ou projetantes allant d'un point quelconque du plan de la figure aux 3 m points de contact des tangentes aux points de l'infini, c'est-à-dire parallèles aux asymptotes respectives dont il s'agit, constitue lui-même une involution complète entre les sinus des angles projetants ou entre les trois groupes de m segments formés sur toute transversale rectiligne, par les faisceaux correspondants de parallèles.

Les articles que je viens de citer, faute d'une suffisante compréhension des notions infinitésimales de \infini relatif [ihid., t. II, p. SgS), ces articles, je le redis à regret, n'ont été [voyez p. 4i3, 419, etc.) compris, goûtés que longtemps après 1828 par les géomètres algébristes ou non algébrisles, si ce n'est par mon excellent ami Bobillier, lui aussi mort avant l'âge dans les angoisses d'une vie troublée par les dénis cruels de l'injustice et de bien légitimes espérances trompées. Si je ne fais pas la même exception en faveur du savant professeur de l'Université allemande de Bonn, c'est qu'en suivant les traces de Bobillier, il n'est arrivé, comme on l'a vu (III), que lentement et péniblement à la conception des idées philosophiques ou métaphysiques dont il s'agit, dans ses œuvres in-4° de 1828, i83i et môme de i835 et 1839, où il n'était guère, plus que d'autres, II. 56

autorisé à blâmor les tentatives de classification des courbes par Newton, Léonard Euler, etc., privés qu'ils étaient, j'en réitère ici l'observation expresse, des éléments de cette métaphysique de l'infini qu'on repoussait naguère encore, et qui, même aujourd'hui, est à peine comprise par les successeurs de M. Plucker : c'est ainsi notamment que, dans son ouvrage de 1889 (p. 17 et suiv. ), il n'est arrivé que par une succession de transformations algébriques pénibles, à notre théorème du n° 2:28 (p. 217 et 218 de la Section II de ce volume), concernant le système entier des asymptotes d'une courbe plane géométrique, ainsi qu'aux diverses autres notions et propriétés relatives à Vasymptotisme de divers ordres ou natures d'une telle courbe : je veux (W'cq parabolique, elliptique, lijperbolique ; notions bien évidentes d'après les principes du Traité des Propriétés projectives des figures, et auxquelles on n'a ajouté depuis, j'ose le dire, que de simples développements de calculs algébriques.

Il résulte en particulier des aperçus rapides des articles xvi et suivants, p. 496 du tome II de nos Application. , etc.^ articles continués p. 5oo, que « toute courbe plane du degré /«, représentée par » une équation en x et r, a généralement un nombre m d'asymptotes dont les tangentes d'incli- » naison sur l'axe des abscisses sont données par une équation de même degré, obtenue en posant, » par exemple, y — Ox, substituant, divisant par la plus haute puissance de x, et supposant fina- » lement x — co ^ équation qui, par la discussion des racines, permet de découvrir les propriétés » essentielles des points situés à l'infini sur la courbe, soit réels, soit imaginaires, simples ou » multiples ; le dernier cas se rapportant à celui des racines égales où certains de ces points se » confondent en un seul sur l'asymptote correspondante, et non simplement à un système d'asymp- » totes parallèles selon la note première de la page 497 du volume cité, etc., etc. »

Quant au cas des courbes [m] et [n) de degrés différents, mentionné au commencement du présent article et défini par les équations (i) et (2), d'où se déduit l'équation (3) de degré m, il est évident que des considérations précédentes découlent un grand nombre de conséquences relatives aux osculations mutuelles des courbes en des points qui leur sont communs (*).

Le système des lignes représentées par les trois équations distinctes

m'a beaucoup préoccupé anciennement, sans que je fusse arrivé à des conclusions bien certaines, à des résultats entièrement satisfaisants, que pourtant je résumerai ainsi brièvement :

1" Quand n = /n, et que, dans les équations (1) et (2), les sommes de termes de plus haute puissance y sont, à un facteur constant près, identiques, les courbes correspondantes sont semblables et semblablement placées, et acquièrent ainsi à l'infini m points communs auxquels correspondent, dans chaque courbe, m asymptotes respectivement parallèles : ces mêmes courbes coïncident entièrement quand elles ont en outre un autre point commun quelconque à distance donnée ou finie. 2° Dans le cas de n </«, les lignes (i) et (2) peuvent acquérir à l'infini un contact de l'ordre p < mn — i quand les équations en 6, mentionnées plus haut, et qui correspondent à j? == 00 dans chaque courbe, sont, dans leurs dérivées respectives de divers ordres, susceptibles de devenir identiques; ce qui fixe pour chaque ordre les équations de condition entre les données ou coefficients de (2). 3° La courbe nodale de (i) et (2), représentée par l'équation (3), ne peut pour n<Cm avoir d'autres asymptotes ou points communs à l'infini que ceux qui appartiennent

(*) Ces résultats s'étendent évidemment aux surfaces géométriques en général, et l'on y arrive également, au moyen des notations, symboles et transformations algébriques connus, en rendant les équations homogènes par l'introduction d'une nouvelle coordonnée censée implicitement infinie, et dont lo rapport aux coordonnées naturelles correspondantes n'a de signification, de valeur déterminée qu'autant que ces variables convergent simultanément vers un infini du même ordre. Mais en ne s'appuyant qu'implicitement sur le principe de continuité, on double ainsi et l'on complique singulièrement, sinon inutilement, le domaine déjà si encombré et si aride de la Géométrie analytique.

à la courbe (i); ce qui constitue des courbes (3), une catégorie très-distincte et toute particulière relativement à la ligne nodnle appartenant au cas de « = m, puisque alors les asymptotes ou points de l'infini peuvent être tout autres que ceux des courbes individuelles (i) et {2). 4" Si, pouf comparer directement entre elles les lignes (i) et (3) d'égal degré, on multiplie cette dernière équation par un coefficient numérique K' distinct de K, puis qu'on retranche le produit de cette même équation de (3), on obtient

(4) (i-K')F"'{.r,r)^KK7''(x-,r),

équation d'une nouvelle courbe nodale de degré /«, qui se confond avec (i) et (3) quand K'= -

Or, cela arrive aussi lorsqu'on donne à ces dernières courbes un seul point commun distinct des mn nœuds ou intersections communes de m et de «, et provient, sans nul doute, de ce que les courbes (i) et (3) de même degré sont en involution complète et réciproque. 5° Etc.

J'abrège pour ne pas dépasser sans motifs les limites imposées à ce second volume.

Inutile aussi d'ajouter que, d'après les remarques des pages 483 et suivantes du tome II de nos Applications, tout ce qui précède est susceptible d'être étendu plus ou moins directement au cas des surfaces d'ordre quelconque; il me suffit de faire observer que ces investigations, bien qu'imparfaites, laissent un beau champ d'étude aux partisans des nouvelles doctrines géométriques.

FIN DE LA SECTION SUPPLEMENTAIRE DU TOMK II Ea' DERNIER DES PROPRIETES PROIECTIVES.