SECTION III
ANALYSE DES TRANSVERSALES APPLIQUÉE AUX COURBES ET SURFACES GÉOMÉTRIQUES.
N" — Pag.
Introduction historique commune aux Sections III et IV » 122
§ [". — Exposé de la méthode dans son application aux lignes planes
des trois premiers degrés.
Application de la méthode aux lignes du second ordre.
Quadrilatère inscrit au système de deux droites ou aune conique; relations projectives d'involulion {Desargues et Brianchon) 143 i4i
Tracé des coniques par points; tracé des tangentes et remarque relative à l'élimination
des segments nuls ou mfinis d45 i43
Hexagone inscrit aux coniques et remarques générales 148 146
Système de coniques à intersections communes et involution généralisée ; cas des inter- ' sections imaginaires ou coïncidentes ; théorèmes réciproques ~ 150 148
Application de lu méthode aux lignes du troisième ordre.
Théorème principal ; théorème relatif aux tangentes accouplées et aux asymptotes \M iSa
Théorèmes relatifs aux points d'inflexion, aux quadrilatères et aux hexagones inscrits dans les courbes; revendication en faveur de Mac-Laurin ; théorèmes généraux.. ... ISô i53
Corollaires relatifs aux osculatrices de divers ordres en un point donné d'une ligne plane du troisième degré, etc. [voyez, au sujet du n" 163, la page 4^0 de la Section supplémentaire) ICI 1 56
§ II . — Des différents modes par lesquels on peut combiner entre elles et traduire graphiquement les relations métriques relatives aux transversales des lignes géométriques .
Observations préalables -164 160
Exposé de la relation métrique à deux termes fondamentale .
Application directe et numérique de la relation fondamentale 166 161
Possibilité de tracer une ou deux des branches d'une courbe au moyen de toutes les
autres. — Remarques générales 1 67 162
Élimination des segments nids, infinis ou imaginaires 169 164
Exemples généraux de pareilles éliminations; applications; théorème qui en découle. . 170 i65 Manière d'amener certains sommets du triangle transversal en des points donnés de la
courbe géométrique 173 167
Traduction de V équation fondamentale en relations linéaires ou descriptives ,
Exemple relatif aux courbes du quatrième degré 175 168
Réflexions concernant les constructions graphiques 177 170
Réduction du système de trois transversales à deux.
Cas d'identité; théorème de Waring relatif aux asymptotes; théorème général 178 171
Système simple de points en involution sur une droite par rapport à deux points donnés; énoncé explicite et théorème relatif aux polygones inscrits; applications 181 178
Nouveau tracé des tangentes ; faisceaux de droites en involution simple.
Propositions réciproques et remarque générale 185 1 76
§111. — Du changement complet de forme subi, dans certains cas, par la relation métrique fondamentale. Théorèmes qui en résultent.
Remarques préliminaires ;. . . . 187 177
Substitution des sommes de réciproques aux produits de segments 188 178
Justification de ces résultats par voie géométrique '. 189 179
Autres transformations de la relation fondamentale! 190 1 80
Réduction des équations d'involution simple quand les deux points d'origine de segments se confondent en un seul 1 91 181
Déductions relatives aux centres de moyenne distance et de moyenne harmonique 192 182
Cas singulier où les transversales convergent en un point de la courbe 194 i83
Méthodes et équations relatives à ce cas [Jîg. 41 et non 40 selon le texte) 19o 184
Cas des intersections imaginaires et manière de se débarrasser, par couples, des segments de transversales 196 i85
§ IV. — Détermination des lignes géométriques planes définies par leurs intersections avec certaines transversales rectilignes, etc.
Préliminaires relatifs au cas où l'on se donne un point multiple quelconque de la courbe.. 198 187 Tracé linéaire des courbes dont on possède un point multiple de l'ordre le plus élevé ; natures diverses des points multiples 203 191
Relations qui lient les tangentes des points multiples aux systèmes d'intersections en ligne droite. — Tracé des courbes au moyen de ces tangentes 206 194
Équations fondamentales dont dépendent le tracé effectif des courbes géométriques et
la détermination de leurs intersections par des droites données; théorèmes 210 196
Problème général sur la division des lignes droites en segments dont les rapports composés sont donnés 216 201
Première solution générale 217 202
Deuxième solution générale, plus simple 220 204
Troisième et dernière solution générale 222 206
Conclusions générales et principales conséquences relatives aux intersections mutuelles des lignes de même degré, au système des asymptotes et aux points multiples .... 223 207
§ V. — Des lignes géométriques en tant que définies ou construites par les faisceaux convergents de leurs tangentes. — Recherches et éclaircissements sur divers points de la théorie des polaires réciproques.
Remarques et réflexions critiques préalables 229 212
Transformation particulière des courbes, appliquée à la recherche du nombre des tangentes issues d'un même point; loi qui les lie aux points singuliers 233 216
Exemples particuliers; recherche du degré et du nombre des intersections mutuelles des courbes et des surfaces 238 221
Généralisation du mode de transformation des courbes géométriques 242 225
Du rôle joué par les tangentes singulières des points multiples dans toutes les relations métriques ou descriptives des courbes. — Remarques nouvelles sur la théorie
des polaires réciproques 244 226
Questions et transformations inverses relatives à la loi qui lie le degré des courbes à leur classe ou au degré de leurs polaires 247 23o
Indication d'un nouveau mode de transformation des figures, analogue à celui des pôles et polaires 250 282
