SECTION IV

PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES GÉOMÉTRIQUES D'ORDRE QUELCONQUE.

N" - Pag.

Remarque préalable » 235

§ P'". — De l'involution dans les systèmes de points en ligne droite, de courbes ou de surfaces à intersections communes.

Observations générales 252 236

Préliminaires relatifs à des cas simples d'involution et d'intersection mutuelle de lignes géométriques sur un plan 2b3 237

De l'involution complète de trois groupes de m points en ligne droite. — Construction linéaire de l'un des groupes par les deux autres T 2S8 240

Théorèmes relatifs à l'involution des lignes ou surfaces de môme degré à intersections communes 266 246

Transformation des relations d'involulions et corollaires divers relatifs aux sécantes, des courbes ou surfaces de même degré, parallèles à des directions fixes 271 247

Problème antique des lieux résolu par Descartes, par Waring, par Carnot 279 262

§ II. — Extension des théories précédentes .

Des relations d'involution à plusieurs termes et à coefficients indéterminés 281 253

Détermination des constantes sous diverses conditions 283 255

Analogie entre les nouvelles et les anciennes relations d'involution 28b 257

Démonstration directe de la projectivité des nouvelles relations d'involution et corollaires sur les rencontres des lignes ou des surfaces 289 259

Sur la représentation des lieux par des procédés analytiques ou géométriques divers . . . 299 265 Réciprocité polaire appliquée aux propositions de cette section et démontrée par une

analyse directe et nouvelle (année i83o) 302 267

§ III. — Des axes, des plans et des centres de moyennes harmoniques ou de moyennes distances des lignes ou surfaces géométriques.

Généralisation des théorèmes de Newton, de Côtes et de Mac-Laurin, relatifs aux

courbes planes 306 271

Théorèmes correspondants pour les lignes à double courbure et les surfaces 309 273

Propriétés diverses des axes, des plans et des centres de moyennes harmoniques des lignes ou surfaces géométriques, conjugués à des faisceaux de tangentes ou de plans

tangents, etc .. . 315 276

Remarques et documents divers relatifs aux théorèmes précédents 327 281

Des pôles et polaires successives des courbes et des surfaces géométriques.

Remarques concernant les axes conjugués de centres et d'origines contre-harmoniques. 332 284

Lieu des points d'origine ou contre-harmoniques d'un point donné ou pôle sur le plan

d'une courbe géométrique ; polaires par contact 334 285

Propriétés diverses de la polaire de contact quand le pôle se meut sur une droite fixe ou

mobile •.••• 338 288

Leur extension et généralisation pour le cas de l'espace ou plan ; théorèmes de Bobillier. 340 289 Degré de l'enveloppe des axes harmoniques dont l'origine polaire ou contre-harmonique se meut sur une courbe donnée ; théorème correspondant relatif aux diamètres linéaires des courbes, envisagés par Newton et Waring 343 292

TABLE DES MATIÈRES. 45i

§ IV. — Application de V Analyse des transversales à l'osculation mutuelle des courbes et des surfaces géométriques.

N" — Pag.

Des coniques osculatrices du second ordre en un point donné d'une courbe géométrique tracée sur un plan 3S1 296

Conséquences particulières relatives aux courbes du second degré, au tracé des osculatrices, etc 354 ^97

Des coniques osculatrices du troisième ordre aux courbes géométriques 364 3oi

Corollaires et théorèmes divers relatifs aux paraboles osculatrices 36S 3o2

Des osculatrices du quatrième ordre ; tracé et propositions diverses 373 3o5