SA'-SB' = SK-SL

relation qui indique (35) que tous les points A', B' sont sur une conique , puisque la courbe passe d'ailleurs par les poins K et L , et que la suite des points If ,

milieux des cordes A'B', est sur une droite ou diamètre HE (*).

™^ — il. 1 — — — —»

(*) Cette dernière assertion paraîtra évidente, si l'on considère que la double perpendiculaire IF aux cordes AB , A'B' du cercle (P) demeure toujours parallèle à elle-même , et qu'elle est toujours divisée également au point P de son intersection avec la sécante commune mn des cercles (C), (C)....

84. Quand la droite mn est une sécante réellement commune aux cercles de la suite (C) , (G)... , les points limites K et L deviennent imaginaires (76) , et les raisonnemens qui précèdent cessent d'être applicables $ mais , comme la courbe existe toujours , il résulte du principe de continuité qu'elle devra être encore une section conique , ayant la droite CC pour sécante idéale commune avec tous les cercles (P) 5 car, d'après ce qui précède (69 et 75) , cette droite doit jouir des mêmes propriétés dans tous les cas possibles. C'est, au reste, ce qu'on pourrait démontrer d'une manière entièrement directe , quoiqu'un peu plus pénible (*) ; ainsi nous pouvons énoncer généralement la proposition suivante :

Tous les points qui sont réciproques (82) de ceux d'une droite , donnée sur le plan d'un système de cercles ayant une sécante réelle ou idéale commune , sont situés sur une seule et même section conique , passant par les deux points , réels ou imaginaires , qui sont la limite des cercles dont il s'agit^ c'est-à-dire que toutes les courbes pareilles ont la ligne des centres des cercles du système pour sécante réelle ou idéale commune avec la suite orthogonale réciproque de ces cercles.

85 . Du centre C d'un cercle quelconque de la suite proposée , menons la perpendiedaire CA à DE , et concevons la circonférence orthogonale (P) qui passe par le pied A de cette perpendiculaire } elle rencontrera de nouveau CA au point B', qui sera (48 et 78) le pôle de DE par rapport au cercle (C) , et la droite DE au point B qui sera évidemment le réciproque de B', puisque BB' est un diamètre de (P), Donc

La section conique qui renferme tous les points réciproques de ceux d'une droite , donnée sur le plan dune suite de cercles ayant une sécante commune , est aussi le lieu de tous les pôles de cette même droite par rapport aux cercles dont il s'agit.

86. Nous avons déjà observé que la section conique des réciproques passe par les points limites K et L du système des cercles (C) , (C)... 5 il est évident, en outre , qu'elle passe aussi par le point situé à l'infini sur la sécante, commune nui ; car les polaires qui répondent au point D , où la directrice DE rencontre la ligne des centres CC , sont évidemment parallèles à la sécante dont il s'agit, ou concourent à l'infini sur cette sécante en un point qui , étant le réciproque (81, 8a) de D, appartient nécessairement à la courbe. Enfin les

(*) Voyez la note i". placée à la fin de cette section.

46 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

polaires qui correspondent au point à l'infini de DE , étant parallèles entre elles et perpendiculaires à la direction de cette droite , la courbe a deux points à l'infini situés , l'un sur la sécante commune , l'autre sur la perpendiculaire à la directrice DE } c'est-à-dire que c'est une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles à ces mêmes droites.

87. Il suit de là que, si Ton se donne deux droites ou directrices quelconques sur le plan de deux ou de plusieurs cercles ayant une sécante commune , les courbes des réciproques de ces droites passeront à la fois par les deux points limites de ces cercles et par le point à l'infini de leur sécante commune } il est visible d'ailleurs que le point réciproque de celui où se coupent les deux directrices données est aussi un point commun aux deux courbes dont il s'agit , ainsi l'on peut déterminer , à l'avance , les quatre points d'intersection qui leur appartiennent.

88. La courbe des réciproques dégénère en deux lignes droites dans les circonstances suivantes :

i°. Quand la directrice DE se confond avec la ligne des centres CC. Lès polaires des points qui s'y trouvent deviennent, en effet, toutes parallèles entre elles et à la sécante commune m/z; elles concourent donc toutes à l'infini sur cette sécante , en sorte que la courbe des réciproques semblerait se réduire toujours à un point unique ; mais , comme il jr a des cas où il existe deux points K et L de CC pour lesquels les polaires correspondantes se confondent (80) , ou plutôt n'ont aucun point d'intersection distinct , la courbe se réduit véritablement alors à deux droites , parallèles à la sécante commune , et passant par les points limites K et L dont il s'agit.

2°. Quand la .directrice DE passe pair Vun h des points limites du système. Les points A, D , L se confondant à la fois en un seul L (Fig. 12) , les angles BLB' , LK A' , sous-tendus par les diamètres BB' , A'L , sont droits 7 et par conséquent les réciproques B' des points B de la directrice LE sont constamment sur la perpendiculaire B'L , tandis que ceux A' du point L demeurent , d'un autre côté , sur la parallèle KA' à la sécante commune mn. Ainsi la courbe dégénère elle-même en ces deux droites.

Si d'ailleurs la directrice LE se confondait avec la ligne des centres CC, B'L deviendrait parallèle à mn et par conséquent à A'K 5 et , au contraire , si la directrice était parallèle à mn, la droite B'L se confondrait avec la ligne des centres CC.

3°. Enfui , quand la directrice DE (Fig. 1 1), sans passer par aucun des"

points limites K et L du système , est d'ailleurs parallèle à la sécante commune mn. La section conique des réciproques dégénère évidemment encore en deux lignes droites , dont l'une , polaire du point à l'infini de la directrice DE se confond entièrement avec 1a ligne des centres CC , et dont l'autre , parallèle à la directrice , se trouve symétriquement placée de l'autre côté de la sécante commune mn , qui ainsi forme avec elles (29) les trois premières droites d'un faisceau harmonique dont la dernière est à l'infini.

Si, d'ailleurs , la directrice se confondait avec la sécante commune mn, la droite des réciproques ? qui lui est symétrique d'après ce qui précède , ^j confondrait nécessairement aussi 5 ce qui revient évidemment à la proposition de l'art. 82.

89. Ces remarques nous seront très-utiles pour la partie des applications 5 mais c'est assez nous arrêter , pour le moment , sur les propriétés dont jouissent les sétantes communes au système de deux ou plusieurs cercles tracés sur un plan , et il est temps que nous revenions aux sections coniques en général. Or les diverses considérations présentées , dans le cours de ce chapitre , sur les sécantes réelles ou idéales communes au système de ces courbes , conduisent immédiatement à quelques notions nouvelles 7 que nous allons ejqposer 1 en nous bornant à celles qui peuvent présenter le plus d'intérêt par leur généralité.

Considérons d'abord le système de deux ou plusieurs hyperboles s. et s. p. (c'est-à-dire semblables et semblablement placées) sur un plan 5 ces hyperboles Ont évidemment (4a rnote) leurs asymptotes parallèles $ donc elles ont deux points communs situés à l'infini sur ces asymptotes (4 , note) 5 ou , en d'autres termes , elles ont une sécante commune à V infini.

90. Pareillement , quand deux ou un nombre quelconque d'ellipses sont s. et s. p. sur un {dan , il existe une infinité de systèmes d'hyperboles supplémentaires (54) à ces courbes , relativement à des directions données quelconques 1 dont les diamètres de contact sont parallèles ou concourent à l'infini 5 or, pour chacun de ces systèmes pris en particulier , les hyperboles supplémentaires sont évidemment (43) toutes s. et s- p. } et, d'après ce qui précède , elles ont une corde ou sécante réelle commune à l'infini , qu'on peut supposer parallèle à la direction donnée ; donc aussi (56) les ellipses proposées ont une sécante idéale 'commune à l'infini, ou , en d'autres termes, elles ont deux points imaginaires communs à lfinfini»

91. On remarquera que les propositions réciproques ne sont pas toujours

48 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

vraies , quant aux hyperboles qui ont une sécante commune à l'infini , c'està-dire que ces courbes ne sont pas nécessairement s. et s. p. 5 il est évident, en effet , que , pour que des hyperboles aient une sécante commune à l'infini , il suffit que leurs asymptotes soient parallèles ; or elles ne seront nullement semblables , si elles se trouvent comprises dans des angles d'asymptotes différens. 11 n'en est plus ainsi des ellipses qui ont une sécante idéale commune à l'infini , parce qu'elles doivent avoir nécessairement des hyperboles supplémentaires à asymptotes parallèles et dont les diamètres de contact avec les ellipses , ou les diamètres réels, soient également parallèles (56) 5 c'est-à-dire que des ellipses qui ont une sécante idéale commune à l'infini sont nécessairement semblables de grandeur et de position.

92. Maintenant, si l'on suppose que les courbes, déjà s. et s. p., soient en outre concentriques , les hyperboles se toucheront évidemment toutes aux deux points communs à l'infini , ou auront une sécante réelle de contact à F infini; donc aussi (63) les ellipses auront une sécante idéale de contact à V infini , ou , si l'on veut , un double contact imaginaire à t infini.

93. Ces considérations ne sauraient s'appliquer directement à la parabole, à cause que la supplémentaire d'une telle courbe est nécessairement aussi une parabole (54) ; mais , toutes les paraboles étant des courbes semblables (44) * pour qu'elles soient semblablement situées entre elles, il suffit qu'elles aient leurs axes parallèles ; si donc on les considère comme des ellipses infiniment alongées , on pourra supposer qu'elles aient même extrémité de grand axe à l'infini avec une tangente commune également à l'infini 5 c'est-à-dire que des paraboles semblablement situées se touchent en un point réel dont la tangente est à Vinfinu

Nous ne chercherons pas à justifier directement ces notions relatives aux sections coniques s. et s. p. , notre intention étant d'y revenir, plus tard , d'une manière générale et qui ne laisse rien à désirer sous le point de vue géométrique \ il nous suffit , pour le moment , d'avoir donné une idée des conséquences auxquelles conduisent les principes posés dans ce chapitre ; c'est pourquoi nous terminerons par dire quelques mots du cas particulier où les sections coniques sont remplacées par des cercles.

<)4« Deux ou un nombre quelconque de circonférences de cercles, situées arbitrairement sur un plan, sont évidemment des courbes s. et s. p. sur ce plan ; donc elles ont une sécante idéale commune à l'infini, et, si elles sont à la foi* concentriques , cette droite sera pour elles une sécante idéale de contact , la seule commune alors à ces cercles*

Des cercles places arbitrairement sur un plan ne sont donc pas tout à fait indépendans entre eux , comme on pourrait le croire au premier abord ; ils ont idéalement deux points imaginaires communs à l'infini , et 7 sous ce rapport 7 ils doivent jouir de certaines propriétés appartenantes à la fois à tout leur système 7 et analogues à celles dont ils jouissent quand ils ont une sécante commune ordinaire : ainsi , par exemple , les tangentes issues d'un point quelconque de la sécante commune à l'infini sont égales entre elles (28) , et les cordes de contact ou polaires correspondantes sont parallèles, ou concourent réciproquement en un autre point de la sécante dont il s'agit ; propriétés qui se rapportent à celles déjà trouvées ci-dessus (70 et 83).

95. Par conséquent 7 deux cercles quelconques 7 situés sur un plan, ayant toujours une autre sécante commune , réelle ou idéale , à distance donnée et finie 7 sauf les cas où ils sont concentriques et où cette sécante passe ellemême à l'infini en se confondant avec la première 5 et ? de plus , ces deux cercles n'en ayant qu'une seule de cette sorte (69) , on peut les considérer idéalement comme deux sections coniques qui ont quatre points communs , dont deux sont nécessairement imaginaires et à l'infini 7 tandis que les deux autres, à la fois réels ou imaginaires , sont , en général , situés à distance donnée et finie.

Relativement à la suite des cercles que déterminent les deux proposés et leur sécante commune ordinaire (73) 7 cette sécante et la sécante idéale qui leur est , en outre 7 commune à l'infini , d'après ce qui précède , sont évidemment les limites de tous ces cercles par rapport à F infiniment grand, de même que les points que nous avons appelés K et L (76) en sont les limites par rapport à V infiniment petit ,• c'est-à-dire que le cercle de la suite que l'on considère , dont le rayon est infini 7 se confond exactement avec l'une et l'autre des sécantes dont il s'agit.

Ainsi, qoand une circonférence de cercle quelconque devient infinie 7 elle dégénère en deux lignes droites , l'une à distance donnée , et l'autre à distance infinie. Cette notion est plus générale et plus exacte que celle communément admise par les géomètres , et elle laisse apercevoir comment la ligne du deuxième degré, peut se convertir en une autre du premier degré seulement.

96. Au surplus on peut remarquer que la sécante à l'infini , commune à plusieurs cercles ou à plusieurs ellipses, est nécessairement indéterminée de situation à l'égard des autres objets de la figure 9 puisqu'il n'y * aucune direction , donnée sur le plan de ces courbes 7 pour laquelle le système d%jr~

5o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

perboles supplémentaires correspondantes n'ait \ine sécante commune réeDe à Tinfini. La même indétermination subsiste évidemment dans la direction de la sécante à Tinfini , commune à plusieurs hyperboles tracées dans un jnême plan ou dans des plans parallèles ; car rien n'indiqne, à priori, si la corde correspondante fait plutôt partie de tel système de cordes parallèles , que de tel autre. Enfin elle a encore lieu pour la sécante de contact commune, à Tinfini , au système de plusieurs sections coniques concentriques , s. et s. p.

En général , quand une ligne droite se transporte d'un mouvement continu , mais d'ailleurs quelconque , jusqu'à une distance infinie , sans quitter le plaii de la figure à laquelle elle appartient, elle de vient nécessairement indéterminée de direction à l'égard des autres objets de la figure 5 c'est du moins ce qui résulte de l'admission du principe de continuité, qui veut que tous les points à l ) infini d'un plan puissent être considérés idéalement comme distribués sur une droite unique , située elle-même à F infini sur ce plan.

97. Les considérations qui viennent de nous occuper peuvent servir, dès à présent , à justifier cette notion purement métaphysique ; nous ta verrons se reproduire, sous plusieurs formes, dans diverses circonstances particulières, et nous aurons même occasion de TétatbKr d'une manière générale, et «Feu donner une explication satisfaisante au moyen des considérations propres à la perspective. Au surplus cette notion et toutes celles établies dans ce qui précède pourraient se justifier directement par les principes reçus dans l'Analyse des coordonnées; mais nous croyons la chose pour le moins peu utile, si ce n'est superflue ; car là , comme en Géométrie , les notions abstraites et puretoent figurées ont pour principe unique la volonté qu'on a d'étendre la conception d'une figure , où tout est actuellement géométrique et possible , aux divers états par lesquels peut passer cette figure, même à ceux ou certains objets perdent leur existence absolue et réelle.

98. II nous paraît d'ailleurs assez inutile d'examiner ce que deviennent ces notions et les propriétés des sécantes réelles ou idéales, communes aux sections coniques et aux circonférences de cercle , dans les diverses circonstances particulières que ces courbes peuvent présenter } comme il arriverait, par exemple, si une ou plusieurs d'entre elles se réduisaient à des points , ou dégénéraient tn des droites (54 , 76 et 95) : il est évident que ces notions et ces propriétés subsisteront d'une manière analogue ^ et avec des modifications qu'indiqueront toujours la loi de continuité et Te*artien attentif de ce qui arrive dans le passage de la figure générale k la figure particulière.

SECTION I. CHAPITRE III. 5i

Dans ce qui suit , nous nous occuperons spécialement des principes de projection à Faide desquels on peut ramener la recherche des propriétés générales des sections coniques à celle des propriétés du cercle. En nous appuyant sur les diverses considérations qui précèdent, nous établirons ces principes d'une manière entièrement géométrique et bien simple , si on compare nos démonstrations à celles qu'on pourrait déduire de la Géométrie analytique.