Réciproquement

Zfne figure plane qui renferme un système de lignes droites ou courbes , parallèles ou concourantes à F infini , a en général pour projection , sur un plan quelconque , une figure du même genre , dans laquelle les lignes correspondantes concourent en un point commun à distance finie , projection de celui du premier système.

Quand le plan de projection est parallèle à la droite qui joint le point de concours au centre de projection , les lignes du système demeurent évidemment parallèles ou concourantes à l'infini ^ et , si l'on suppose , de plus , qu'il soit parallèle au plan de la figure primitive , la projection devient semblable à cette figure et semblablement placée (art. 65 , note).

ip3. Ces propositions donnent l'interprétation géométrique de cette notion généralement admise : Les lignes parallèles concourent en un point unique à r infini. On voit, en effet, que les points de concours à distance infinie et à distance donnée s'échangent réciproquement par l'effet de la projection.

io4* Si le point de concours que l'on considère était, en même temps, un point de contact pour certaines lignes de la figure primitive, il serait également , d'après la nature de la projection centrale , un point de contact de la projection de ces mêmes lignes ; de sorte que , ce point passant à l'infini , les lignes en question deviendraient tangentes à l'infini , au lieu d'avoir leurs branches correspondantes simplement parallèles : ce qu'on exprime ordinairement en disant qu'elles sont asymptotiques.

D'ailleurs elles seraient asymptotiques du premier, du second.. .. ordre, si les primitives étaient eUes-mêmes oscidatrices de cet ordre»

Ainsi les lignes asymptotiques et les lignes dont le cours est simplement parallèle dans certaines régions , ou qui ont des droites asymptotes parallèles , jouissent des mêmes propriétés projectives que les lignes du même genre qui se coupent ou se touchent en un point donné ; en sorte qu'elles ne diffèrent de celle-ci qu'en ce que leur point de concours ou de contact est situé à l'infini.

io5. Une figure plane quelconque , oîi entre une certaine ligne droite , peut être considérée comme la projection (Tune autre , dans laquelle la droite correspondante est passée tout entière à V infini y en sorte que tout système de droites ou de courbes concourant en un point de la première , sur la figure primitive , est devenu un système de lignes parallèles ou concourantes à l'infini dans la projection qui en dérive.

Il suffit évidemment , pour que cela ait lieu, que le plan de projection soit pris parallèle à celui qui renferme la droite de la figure primitive et le centre, d'ailleurs arbitraire, de projection.