Réciproquement

Une figure plane quelconque , qui renferme un nombre arbitraire de systèmes de lignes, droites ou courbes, respectivement parallèles ou asymptotiques , c'est-à-dire qui concourent à l infini dans chaque système respectif, a , en général , pour projection sur un plan quelconque , une autre figure , dans laquelle les points de concours à F infini de la première se trouvent rangés sur une seule et même ligne droite , à distance donnée et finie.

107. Ces dernières considérations, déduites uniquement des principes élémentaires de la projection centrale , donnent l'interprétation de cette notion métaphysique que nous avons déjà fait connaître (96) :

Tous les points situés à l'infini sur un plan peuvent être considérés idéalement comme distribués sur une ligne droite unique, située ellemême à l'infini sur ce plan.

On voit en effet , par ce qui précède , que tous ces points sont représentés , en projection , par ceux d'une ligne droite unique située , en général , à distance donnée et finie.

Cette notion paradoxale reçoit ainsi un sens fixe et naturel, quand on rapplique à une figure donnée sur un plan , et qu'on suppose cette figure mise en projection sur un autre plan quelconque. L'indétermination , observée dans la direction de la droite à l'infini,, vient précisément de l'indétermination même

54 PROPRIÉTÉS PROJECTTVES.

tjui existe dans celle du plan qui projette cette droite , au moment où il va devenir parallèle au plan de la figure donnée ; mais on voit aussi que cette indétermination n'a lieu que parce qu'on persiste à donner mentalement une existence réelle à la droite de leur intersection commune / quand ils sont devenus tout à fait parallèles. Au reste l'indétermination ^'existe véritablement que dans la loi ou la construction primitive , qui donnait cette droite lord-* qu'elle était à distance finie , et non dans sa direction même , puisque réellement elle cesse d'exister d'une manière absolue et géométrique.

108. Dans tous les principes qui précèdent, rien ne fixe la position du centre de projection dans l'espace ; elle est tout à fait arbitraire , et v pour un point quelconque donné , on pourra toujours remplir l'une ou l'autre des conditions prescrites. Il n'en est pas ainsi des principes qui suivent $ ils ne peurvent avoir lieu que pour une série de positions particulières du centre de projection ; et , comme la démonstration en est assez difficile , et n'est pas encore connue des géomètres , il est à propos que nous nous y arrêtions quelque temps 1 et que nous la donnions d'une manière complète.

. 1 09. Une figure plane quelconque 7 où entre une certaine droite et une section conique , peut, en général ^ être regardée comme la projection d'une autre , pour laquelle la droite est passée entièrement à F infini , et la section conique est devenue une circonférence de cercle.

Pour démontrer ce principe d'une manière qui ne laisse absolument rien à désirer sous le point de vue géométrique , nous supposerons qu'il s'agisse de résoudre la question suivante :

110. Etant données une section conique (C), Fig. 9, et une droite MN située , à volonté \ sur son plan, trouver un centre et un plan de pro^ jection tels 1 que la droite donnée MN soit projetée à V infini sur ce plan , et que la section conique y soit en même temps représentée par un cercle.

Soit S le centre inconnu de projection ] d'après les conditions du problème , le plan qui passe par ce point et par la droite MN doit être parallèle au plan de projection , et ce dernier doit couper la surface conique , dont (C) est la base et S le sommet ^ suivant une circonférence de cercle \ or de là résulte ^ en premier lieu , que la droite MN doit être entièrement extérieure à la section conique (C) , c'est-à-dire sécante idéale de cette courbe.

En second lieu, si l'on détermine (54) la corde idéale MN qui répond à cette droite et à la conique (C) , puis qu\>n joigne son milieu 0 au centre S de projection par la droite SO , cette droite devra être égale (67) à la demi-

corde idéale OM , et faire avec elle un angle. MOS qui soit droit : c'est-àdire que

Le centre auxiliaire de projection doit se trouver sur une circonférence de cercle , décrite du milieu de la corde idéale qui répond à la droite donnée, comme centre , avec un rayon égal à la moitié de cette corde (*) r et dans un plan qui lui soit perpendiculaire.

Comme il n'y a aucune autre condition à remplir , on peut en conclure qu'il existe une infinité de centres et de plans de projection qui satisfont aux données de la question $ mais , pour cela , il faut que la droite MN ne rencontre pas la courbe , car autrement la distance 0$ ou OM deviendrait imaginaire.

m. Ainsi la proposition énoncée ci-dessus (109) est vraie pour une série de positions générales et indéterminées de cette droite , et elle cesse de l'être pour une autre série de positions semblables de la même droite j ou 7 si l'on veut 7 elle devient purement idéale pour les positions qui correspondent à cette dernière série. C'est dans ce sens seulement que nous avons entendu dire, dans Fénoncé , que le principe avait lieu en général : à peu près comme Ton pourrait dire que « d'un point donné sur le plan d'un cercle , on peut 7 en » général, mener deux tangentes à ce cercle. » Cette manière de s'exprimer étant universellement admise dans F Analyse des coordonnées , nous ne croyons pas qu'on puisse la récuser en Géométrie , ni par conséquent avoir des doutes su* le sçns que nous, lui attribuerons dans ces recherches.

La question qui vient de. noua, occuper donne liçu à quelques observations intéressantes , auxquelles il né sera pas hors de propos de s'arrêter.

.lia. Nous venons de remarquer que, quand la droite donnée rencontre la section conique (C), telle que celle M'N' par exemple , la projection de cette courbe , suivant un cercle 7 devient impossible ou imaginaire ; on peut alors demander que cette projection soit une hyperbole équilatère , dont le diamètre parallèle à la droite donnée soit Taxe idéal 7 or on voit que le problème aura encore une infinité de solutions 7 et que la suite des centres auxiliaires de projection se trouvera , comme précédemment (67) , sur une circonférence de cercle , décrite du milieu 0' de la corde M'N' qui correspond à la droite donnée ,

(*) Algébriquement, cela revient à dire que le carré de ce rayon est égal au carré de la demi-corde interceptée dans la section conique par la droite correspondante , mais pris avec un signe contraire ; en sorte que ce rayon est réel ou imaginaire, selon que , au contraire, la, -courbe sera imaginaire ou réelle*

56 PROPRIÉTÉS PROJECTTVES.

comme centre , avec un rayon égal à la moitié de cette corde , et dans un plan perpendiculaire à sa direction- Plus généralement , si Ton demande que la projection soit une hyperbole cquilatère quelconque , le lieu des centres auxiliaires de projection ne sera plus simplement un cercle , mais une sphère qui aura la corde ci -dessus pour diamètre.

En effet , puisque la section conique de projection doit être une hyperbole équilatère , ses asymptotes doivent comprendre entre elles un angle droit ; mais , si Ton conçoit par le sommet du cône projetant un plan parallèle à celui de cette hyperbole , il le coupera suivant deux arêtes SM', SN' parallèles aux asymptotes (4 •> note) , et passant par les deux points M', N' d'intersection de la droite donnée avec la base (C) 5 donc la corde qui correspond à ces deux points sera le diamètre d'une sphère , sur la surface de laquelle devront se trouver tous les centres auxiliaires de projection.

11 3. Si Ton demandait, plus généralement encore , que la courbe de projection fut une hyperbole quelconque semblable à une^hyperbole donnée , ses asymptotes devraient , de même , comprendre entre elles ,un angle égal à celui qui correspond aux asymptotes de cette dernière (43 , note) } par conséquent la surface , lieu des centres auxiliaires de projection , ne serait plus simplement une sphère , mais une surface annulaire , engendrée par un arc de cercle capable t)e l'angle donné , et qui , s'appuyant par ses extrémités sur les deux points M', N', communs à la droite et à la section conique proposées , tournerait autour de cette droite comme axe de révolution.

L'arc générateur dont il s'agit pouvant être prolongé au-dessous de la corde correspondante , on voit que la surface annulaire se trouve réellement compose de deux nappes continues, dont l'une appartient aux hyperboles comprises dans l'angle même donné, et Pautre à celles qui seraient comprises dans le supplément de cet angle. En outre , si Ton joint , par une droite , le milieu de la corde commune à tous les cercles générateurs et un point quel- ^ conque de ce cercle, l'angle qu'elle formera avec cette corde représentera évidemment (67) l'angle de deux diamètres conjugués de Pbyperbole correspondante , et le rapport de cette droite elle-même à la demi-corde sera prérinément le rapport de ces diamètres. Or il est aisé de conclure de là que ? ni Ton mène par le centre de la corde une droite quelconque terminée de part et d'autre au cercle générateur, ce centre y interceptera deux segmens, dont Pim miu égal au produit de la demi-corde par le rapport des diamètres

SECTION I. CHAPITRE Iïï. 57

conjugués correspondons , et l'autre au produit de cette même demi -corde par le rapport inverse du précédent.

1 14. Enfin , si Ton demandait que la section conique de projection, au lieu d'être une hyperbole , fut une ellipse semblable à une ellipse donnée , la droite MN devrait être entièrement extérieure à la courbe (C) , comme dans le cas ci-dessus du cercle , et par conséquent la corde correspondante et les asymptotes deviendraient imaginaires ou impossibles à construire. Or il est trèsfacile de prouver que , malgré cela , il existe encore une infinité de centres de projection , remplissant les conditions du problème 7 tous situés sur une autre surface de révolution , ayant toujours la droite donnée MN pour axe.

En effet , soit S un tel centre de projection , s'il existe ; concevons la droite SO qui passe par ce centre et par le milieu de la corde idéale MN répondant à la droite donnée ; tout plan , parallèle à celui qui renferme le point S et la droite MN , coupera le cône , dont ce même point est le sommet et la conique (C) la base, suivant une ellipse dont deux diamètres conjugués seront parallèles (67) aux droites SO , MN, et tels que leur rapport sera précisément égal au rapport de SO à OM. Or, pour que cette ellipse soit semblable à une ellipse donnée , il suffit que les diamètres en question soient proportionnels à deux diamètres conjugués de cette dernière , et fassent entre eux le même angle (43). Prenant donc SO de façon que l'angle SOMsoit celui de deux diamètres conjugués quelconques de l'ellipse de comparaison , et que le rapport de SO à la demi-corde OM soit précisément celui de ces diamètres , le point S sera un centre de projection tel qu'on l'a demandé } et il en sera de même de tous ceux (*) qui appartiennent au cercle engendré par ce point dans la révolution de l'angle SOM autour de MN comme axe,

La suite des cercles pareils , relatifs aux divers systèmes de diamètres conjugués de l'ellipse de comparaison , formera la surface de révolution lieu des centres de projection cherchés , laquelle , existant aussi bien que pour le cas où la courbe de comparaison est une hyperbole , devra être nécessairement encore une surface annulaire engendrée par un arc de cercle, qui alors aura MN pour corde idéale commune avec la section conique proposée (C) : c'est au

(*) Cette remarque se trouve consignée dans le rapport de M. Cauchy. Quoique je fusse, depuis long -temps, parvenu à la proposition générale qui fait l'objet du présent article et de ceux qui précèdent , je n'avais pas jugé à propos d'en faire mention dans le mémoire présenté à l'Institut, parce que, en effet, elle est en quelque sorte étrangère au but que l'on s'y propose , « la projection des sections coniques suivant des cercles. »

58 PROPRIÉTÉS PROJECTIYES.

moins ce qui résulterait facilement de l'application du principe de continuité , et ce qu'on peut démontrer , d'une manière tout à fait directe , par les seuls principes de la Géométrie rationnelle (*).

1 15. 11 resterait à examiner le cas où la courbe de projection de la section conique (C) doit être une parabole , d'ailleurs quelconque , car toutes les paraboles sont nécessairement des courbes semblables (44) ; mais alors il est nécessaire et il suffit que le plan de projection soit parallèle à une certaine arête du cône projetant (4 , note) , ou que celui qui lui est mené parallèlement par le sommet de ce cône , et qui projette la droite donnée MN , soit tangent à la surface de ce cône ; ce qui exige simplement que cette droite , au lieu d'être quelconque comme dans ce qui précède , soit elle-même tangente à la section conique donnée (C) : cela étant , tous les points de l'espace seront aptes à projeter la courbe donnée suivant une parabole } c'est-à-dire que le problème sera entièrement indéterminé.

Revenons maintenant au cas général où la courbe de projection est quelconque/

1 1 6. Le pôle 0' (49) de la droite MN et de la section conique proposée (C) jouit d\mc propriété trèwremarquable , c'est qu'il est la projection invariable , sur le plan de cette conrbe * de tous les centres des sections qu'on obtiendrait dans tu surface d un cône projetant dont le sommet serait en un point quelconque S de l'espace , et qui , ayant la courbe (C) dont il s'agit pour base <, gérait eoupê par des plans parallèles à celui qui renferme ce sommet et la droite doluico MN \ car (65 et 67) tous les diamètres de ces sections , conjugués à là direction de MN, sont parallèles entre eux et à la droite SO, et se trouvent termines nux deux arêtes projetantes SA, SB partant des extrémités du diamètre correspondant AD de la base. D'une autre part, les quatre droites SA, SO', SU , SO formant un faisceau harmonique (48 et 24), chacun des diamètres dont il s'agit se trouve partagé en deux parties égales (27) au point de soti intersection avec 80', lequel est par conséquent & la fois le centre de la courbe rnnr*poiHlimtc et lu projection du point 0* sur le plan de cette courbe. Ainsi

(jmmd, d'un point quelconque de r espace, on projette une section conique et une liffne droite, situées dans un même plan, sur un nouveau plan pnrullMe au plan projetant de cette droite, ou, en <¥ autres termes (io5), ///< mtmiïre que la droite passe entièrement à lirifini, le pôle de cette

(♦) Voyw h* finit) II', jtUic4o b U fin do cette tection,

SECTION I. CHAPITRE Iïï. 5g

même droite a précisément pour projection, sur le nouveau plan, le centre de la section conique projetée.