Réciproquement

Si Von projette une section conique sur un nouveau plan quelconque , son centre aura pour projection le pôle de la ligne droite qui est la représentation, ou la projection, de celle à V infini du plan primitif.

H résulte d'ailleurs directement , des définitions admises (48 et 49) pour le pôle et la polaire, que le centre d'une section conique quelconque a pour polaire la droite située à l'infini sur son plan ; en sorte que , dans l'espèce de projection qui précède (1 16) , le pôle de la droite dont il est question demeure, en projection , le pôle de la droite à l'infini, qui correspond à la première ; mais on peut démontrer, plus généralement, que la polaire et le pôle sont projectifs : c'est-à-dire que ,

1 1 8. Si Von projette une section conique quelconque sur un plan arbitraire , le pôle de toute droite , située sur le plan de cette section conique, demeurera, en projection , le pôle de la droite qui représente la première.

En effet , supposons que l'on coupe la surface conique projetante par un plan quelconque , parallèle au plan projetant qui renferme la droite donnée et sa projection ', d'après ce qui précède , le centre de la nouvelle section conique aura à la fois pour projections , sur les deux premiers plans, les pôles des droites qui leur correspondent respectivement , ce qui exige nécessairement que ces pôles soient projections l'un de l'autre. On déduirait, au reste, la même conséquence de la propriété qu'a le pôle d'une droite quelconque d'être le point de concours , réel ou idéal , des tangentes qui lui correspondent dans la courbe , mais elle ne pourrait recevoir toute son extension qu'à l'aide du principe de continuité.

119. Les conséquences qui précèdent étant indépendantes de l'espèce de sections coniques que l'on considère , elles demeurent - toutes applicables au cas particulier de la circonférence du cercle : ainsi , par exemple , « un cercle » et une droite étant donnés sur un plan, on peut , en général , mettre la figure » en projection sur un nouveau plan , de façon que la droite passe à l'infini., » et que le cercle demeure toujours un cercle. »

Au reste , si nous nous sommes autant arrêtés à ces conséquences , c'est qu'elles sont élémentaires et servent de base à toutes ceDes qui vont suivre.

120. Une figure plane quelconque, qui renferme une certaine section conique et un point, peut, en général, être regardée comme la projection

60 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

dune autre , pour laquelle la section conique est devenue un cercle , ayant

précisément pour centre la projection du point que Von considère.

Ce principe est un corollaire très-simple des théorèmes qui précèdent.

En effet , (C) et 0? (Fig. 9) étant la conique et le point que Pon considère , si Pon détermine la droite MN qui est la polaire de 0', elle sera évidemment telle que , en lui appliquant , ainsi qu'à la section conique (C) , la question résolue art. 1 10, le cercle de projection aura précisément pour centre (1 16) la projection du point donné Of.

Ainsi le principe qui nous occupe est assujetti , en tout , à des conditions et à dés limitations semblables à celles du principe de Part. 1 09 ; comme lui , il s'applique à toutes les sections coniques possibles 1 et le lieu des centres auxiliaires de projection demeure toujours un cercle.

îai. Une figure plane quelconque, qui renferme deux sections coniques , peut, en général , être regardée comme la projection d'une autre ^ pour laquelle les sections coniques sont devenues des circonférences de cercle (*).

Ce principe peut être regardé comme un corollaire immédiat et presqu*évident de ce qui précède 5 car, deux sections coniques quelconques ayant , en général (59) , des sécantes idéales communes, tout comme elles en ont de réelles également communes , il est clair, d'après Part. 1 1 o, que , si Pon met une de ces sections coniques en projection sur un plan , de façon qu'elle devienne un cerde , et que Pune des sécantes idéales en question passe en même temps à l'infini , Pautre de ces sections coniques deviendra nécessairement aussi un cercle sur le plan de projection. De plus 7 il est visible qu'il n'y a que les cordes idéales communes aux deux sections coniques proposées qui puissent remplir les conditions prescrites ; en sorte qu'en rapprochant ces conséquences de celles de Part. 110 déjà cité , on peut conclure la proposition suivante :

(*) La question à laquelle donne lieu ce principe a déjà fixé l'attention des géomètres; je ne sache pas que, depuis Pappel qui leur a été fait à ce sujet dans les Annales de mathématiques (tome VU, pag. 128)9 personne soit encore parvenu à une solution bien satisfaisante ; Pébauche purement algébrique qu'on en trouve , dans le volume déjà cité de cet intéressant recueil, est plutôt propre, en effet, à faire sentir la difficulté de la question qu'à la résoudre. Au reste , cette difficulté tient au fond même des choses; carie calcul doit naturellement conduire , pour l'expression du lieu des centres auxiliaires de projection , à des équations du ia«. degré, composées de six facteurs représentant autant de cercles, et inséparables d'une manière explicite et rationnelle.

SECTION I. CHAPITRE m. 61

Tous les points de V espace, susceptibles de projeter à la fois , suivant des cercles, deux sections coniques quelconques situées sur un même plan , sont distribués sur autant de circonférence de cercle qui il y a de cordes idéales communes aux deux courbes proposées. Ces circorférences sont décrites du milieu de chaque corde , comme centre , avec un rayon égal à la demi-corde , et dans un plan perpendiculaire à cette même corde. Enfin le plan qui donne des sections circulaires est parrallèle à celui qui passe par le centre de projection et la corde idéale que Von considère en particulier

122. On pourrait énoncer cette proposition d'une manière moins restreinte et plus conforme à Pesprit de l'Analyse , en disant qu'il y a autant de circonférences, lieux des centres auxiliaires de projection, qu'il y a de sécantes communes aux deux sections coniques proposées , pourvu qu'on ajoutât que le carré du diamètre de chacune de ces circonférences est égal à celui de la corde commune correspondante , mais pris avec un signe contraire ; car cette condition détermine quelles sont celles de ces circonférences , dont les diamètres étant imaginaires , sont par là même impossibles à construire : on voit, en effet, que ces circonférences appartiennent aux cordes'réelles communes.

En adoptant cette généralité dans les expressions , généralité qui ne saurait induire en erreur , d'après ce qui précède , et faisant attention que ce que Pon a dit de deux sections coniques s'applique naturellement à un nombre quelconque de sections coniques qui ont une sécante idéale commune , on pourra énoncer ainsi , d'une manière plus générale , le principe de projection qui fait le sujet de Part. 121 :

Deux ou plusieurs sections coniques , situées sur un même plan et -qui ont une sécante ou corde commune , peuvent, en général, être regardées comme la projection d!un égal nombre de circonférences de cercle , pour lesquelles la droite dont il s'agit est passée tout entière à V infini, et est devenue par conséquent (94 et 107) la sécante idéale commune, à V infini , à tous ces cercles.

ia3. En cherchant ainsi à étendre le sens et Pénoncé des divers principes qui se présentent , notre objet est de généraliser leà conceptions de la simple Géométrie , et de les rapprocher de celles qui découlent de PAnalyse algébrique. Cette extension se trouve justifiée , d'une manière en quelque sorte rigoureuse, par l'identité de nature qui règne (66) entre les sécantes réelles et idéales communes; si, de plus, nous prouvons qu'elles répondent aux mêrr"«

6a PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

questions , qu'elles se déterminent et se construisent de la même manière , il devra paraître évident qu'il n'y a aucune distinction à faire entre elles , et qu'on peut appliquer aux unes ce qu'on a dit des autres , pourvu qu'on ait soin de ne pas prononcer sur la réalité ou la non réalité des points qui en dépendent 9 et qu'on n'entende s'occuper que de leur direction indéfinie sur le plan des deux courbes : or c'est , en effet , ce que nous ferons plus tard , dans la partie des applications*

Nous reviendrons au reste , à la fin de ce chapitre , d'une manière générale sur ces diverses remarques , en nous attachant à les éclaircir davantage et à en faire sentir le véritable but } on nous permettra jusque-là de poursuivre , sans plus de réflexions, l'objet particulier de nos recherches.

124. Dans la proposition de l'art. 121, nous n'avons envisagé que le cas où il s'agirait de projeter deux sections coniques données suivant des circonférences de cercle 5 mais 7 si l'on demandait , plus généralement , que les courbes de projection fussent d'autres sections coniques semblables entre elles et à une section conique quelconque donnée , non-seulement la projection serait possible, en général, comme dans le cas particulier du cercle, mais encore t au lieu d'être simplement une ligne , le lieu des centres auxiliaires de projection serait une surface tout entière, engendrée (11 3 et 11 4) par la révolution d'un cercle, qui aurait une corde, réelle ou idéale, commune avec "les sections coniques proposées , et tournerait autour de cette corde comme axe. Le nombre des surfaces annulaires , ainsi formées , étant d'ailleurs égal à celui des cordes communes aux sections coniques proposées , c'est-à-dire en général six , on voit que le centre de projection pourra être pris par-tout où l'on voudra sur l'une de ces surfaces , pourvu que le plan de projection correspondant soit parallèle à celui qui passe par ce point et par la sécante commune à laquelle appartient la surface que l'on considère en particulier. Le problème présente , du reste , des restrictions analogues à celles observées pour le cas particulier des cercles ; et l'on peut remarquer que non -seulement les deux sections coniques de projection seront semblables entre elles et à celle prise pour terme de comparaison , mais qu'encore elles seront semblablement placées sur le nouveau plan.

Cette dernière circonstance peut être établie d'ailleurs , d'une manière beaucoup plus générale , quand on n'exige point que les sections coniques deviennent précisément semblables à une autre section conique choisie en particulier.

12 5. Concevons, en effet, que, d'un point quelconque de l'espace, on projette deux ou plusieurs sections coniques, situées sur un même plan et ayant une sécante commune , sur un nouveau plan parallèle à celui qui renferme cette sécante et le centre de projection } toutes les sections coniques seront nécessairement devenues des courbes s. et s. p. sur le nouvel plan ; car , si Ton mène une droite par le sommet commun des cônes projetans et par le centre de la corde, réelle ou idéale , qui répond à la sécante dont il s'agit , cette droite et la demi-corde seront parallèles et proportionnelles (67) à deux diamètres conjugués de Tune et de l'autre des sections faites dans les cônes projetans par un plan parallèle à ces droites } ces sections auront donc ellesmêmes un système de diamètres conjugué» parallèles et proportionnels , ce qui exige nécessairement (4^ , note) qu'elles soient toutes s. et s. p. entre elles (*).

Dans cette projection , la sécante commune aux courbes primitives est devenue évidemment (89, 90 et 107) la sécante, à l'infini, commune à toutes celles du nouveau système 5 de sorte que,

Quand on met deux ou plusieurs sections coniques, situées sur un même plan et ayant une sécante commune , en projection sur un nourveau plan , de façon que cette sécante passe à F infini ; ces sections coniques deviennent^ en général , toutes semblables entre elles, semblablement placées et ayant pour sécante commune, à T infini, la projection de la première.

Il est évident que la même chose aurait encore lieu si les sections coniques proposées avaient toutes un point de contact avec une tangente commune en ce point ^ car elles deviendraient , en projection , des paraboles à diamètres parallèles , lesquelles seraient , par là même , des courbes s, et s. p. ayant un point de contact commun à l'infini (93).

1 26. On prouverait réciproquement , et de la même manière , que ,

(*) Il y a cependant un cas d'exception, c'est celui où y la corde commune étant réelle y les hyperboles de la projection se trouvent situées dans des angles difFérens d'asymptotes \ ce cas arrive nécessairement (91) quand, parmi les diamètres des sections coniques proposées , conjugués à la direction de la corde commune , il en est qui sont réels tandis que d'autres ne le sont pas ; alors les sections coniques qui ont leurs diamètres à la fois réels, et celles qui ont leurs diamètres à la fois imaginaires , sont , en projection , les seules qui soient s. et s. p. entre elles. Quant au système complet des unes et des autres, elles n'en conservent pas moins une corde commune à l'infini et des diamètres conjugués parallèles et proportionnels , pourvu qu'on substitue, à chacun des diamètres imaginaires, le diamètre idéal qui lui correspond. En un mot, la similitude est devenue imaginaire*

64 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

Qutond on met deux ou plusieurs sections coniques , semblables et semblàblement situées sur un plan , en projection sur un nouveau plan quelconque , les sections coniques qui en résultent ont une sécante commune, qui est la projection de celle à V infini du premier système.

Ainsi , dans l'espèce de projection qui précède, la sécante commune à toutes les courbes de Fun des systèmes demeure la sécante commune à toutes les courbes de Fautre , que cette sécante soit d'ailleurs réelle ou idéale 5 mais on peut démontrer, plus généralement , que les sécantes réelles ou idéales communes sont proj écrives : c'est-à-dire que

127. Les sécantes réelles ou idéales , communes au système de deux ou de plusieurs sections coniques situées sur un même plan , demeurent aussi des sécantes communes à leur projection sur un plan quelconque.

En effet, concevons un plan quelconque parallèle à celui qui projette la sécante commune à toutes les courbes primitives, il coupera (ia5) toutes les surfaces coniques projetantes suivant des courbes en général s. et s. p. entre elles , et qui auront pour sécante idéale commune, à l'infini, la projection de la première 5 mais on peut considérer, à leur tour, ces courbes semblables comme ayant pour projection les sections coniques qui résultent des mêmes surfaces projetantes coupées par un plan quelconque; donc (126) ces sections coniques ont une sécante commune à tout leur système , qui est à la fois la projection de celle à l'infini des courbes semblables , et de celle qu'on suppose commune aux courbes primitives.

138. D'après cela, il est permis de dire que, quand deux ou plusieurs sections coniques ont deux points réels ou imaginaires communs , leur projection sur un plan quelconque jouit de la même propriété; en sorte que Ton peut considérer , à leur tour , les deux nouveaux points comme la projection des deux premiers : c'est-à-dire , en d'autres termes , que les points imaginaires sont projectifs , de même que les points réels 5 et il en est évidemment ainsi de tous les autres objets décrits ou figurés qui , appartenant à ces points, seraient réels ou imaginaires.

D'ailleurs ces considérations sont indépendantes de l'espèce particulière des Sections coniques , qui peuvent être par conséquent , en tout ou en partie , des paraboles ou des circonférences de cercle.

129. Quand les sections coniques proposées auront deux sécantes réelles ou idéales communes réunies en une seule , c'est-à-dire , quand elles auront une sécante, réelle ou idéale, commune de contact, ou enfin un double

contact réel ou idéal, les projections de ces courbes sur un nouveau plan quelconque jouiront aussi de la même propriété } car il suffit que la sécante commune à ces projections ait même pôle dans toutes (63) : or c'est ce qui a évidemment lieu , de même que pour les sections coniques proposées , puisque , d'après ce qui précède (i 18 et 127) , les sécantes communes , les polaires et les pôles sont projectifs.

i3o. Si Ton suppose , en outre , que la projection se fasse de manière que la sécante commune passe à l'infini sur le nouveau plan , les sections coniques seront devenues (ia5, 116), en général , s. s. p. et concentriques } elles auront une sécante de contact commune, à l'infini, projection de la première (92).

i3i. Si enfin, sans changer cette hypothèse, le centre de projection, au lieu d'être entièrement arbitraire , était pris parmi ceux qui sont susceptibles de projeter l'une des sections coniques données suivant un cercle , toutes les autres sections coniques deviendraient également des circonférences de cercle concentriques à la première ; d'où ce nouveau principe :

Une figure plane , qui renferme deux ou un nombre quelconque de sections coniques ayant un double contact commun , peut , en général , être regardée comme la projection dune autre , dans laquelle les sections coniques sont devenues des circonférences de cercle , toutes concentriques entre elles, et ayant Une sécante idéale de contact commune, à U infini, projection de celle qui appartient à la figure primitive.

i3a. Les divers principes de projection , exposés dans ce qui précède, peuvent servir à interpréter et à justifier , d'une manière entièrement rigoureuse , les notions établies par une voie directe , dans le second chapitre , sur les sections coniques s. et s. p. et sur les circonférences de cercle ; ils donnent lieu à beaucoup d'autres principes également propres à étendre les conceptions géométriques, et à interpréter certaines notions abstraites de l'infini. Ainsi, par exemple , nous avons déjà eu l'occasion de remarquer (1 15) que , si l'on met une section conique quelconque en projection sur un nouveau plan parallèle à une tangente quelconque de la courbe , on obtient nécessairement une parabole, qui est touchée, par la droite à l'infini de son plan, en un point appartenant à la fois à tous les diamètres parallèles de cette parabole.

Réciproquement , si Ton projette une parabole quelconque sur un nouveau plan également quelconque , la section conique qui en résultera aura , pour une de ses tangentes, la droite à l'infini du plan de la parabole : c'est la conséquence

06 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

nécessaire de la définition même de la parabole , en tant qu'on la considère comme issue du cône (4) 5 or il résulte de là , plus généralement , et de ce que tous les points à l'infini d'un plan doivent être considérés comme appartenans k une même droite (107), que,

Deux ou plusieurs paraboles quelconques , situées sur un même plan , sont touchées , à la fois 9 par la droite à V infini de ce plan^ en sorte que , si on les met en projection sur un nouveau plan arbitraire , il en résultera un égal nombre de sections coniques ayant une tangente commune , avec des points de contact differens , si les axes des paraboles ne sont pas parallèles (i25).

La proposition réciproque est également vraie , et résulte , à priori , de la définition même de la parabole.

i33. Pareillement encore,

Deux sections coniques 1 tracées sur un même plan , peuvent , en général , être mises en projection sur un nouveau plan , de façon que Vune quel^ conque d'entre elles devienne une circonférence de cercle , concentrique à la section conique , cT ailleurs quelconque , qui répond à Vautre.

En effet , deux sections coniques quelconques ont , en général 1 quatre points communs ; par conséquent , si on les met en projection sur un nouveau plan , de façon que l'une d'elles devienne un cercle ayant pour centre (120) le point d'intersection de deux des sécantes communes à ces sections coniques , en les choisissant parmi celles qui ne *se coupent pas à la fois sur les deux courbes , ce centre sera commun au cercle et à la section conique de projection , puisqu'il divisera en parties égales deux cordes qui leur appartiennent à la fois.

i34. D deviendrait fastidieux de multiplier davantage le nombre des exemples } ce que nous venons de dire suffira pour mettre sur la voie propre à en faire trouver d'autres , quand cela deviendra nécessaire pour faciliter une recherche sur une certaine figure. On voit d'ailleurs qu'il dépendra tout-àfait de la sagacité du géomètre de choisir dans chaque cas particulier , parmi tous les principes que peut fournir la doctrine des projections , ceux qui seront susceptibles de conduire plus directement ou plus facilement au but qu'il se propose d'atteindre : la partie de ces recherches que nous destinons aux applications pouita tenir lieu de préceptes généraux à cet égard. Dans ce qui nous reste à dire sur la doctrine des projections 1 nous nous bornerons à présenter quelques réflexions propres à résoudre certaines difficultés 7 et à étendre les conséquences géométriques auxquelles l'emploi de ces mêmes principes peut faire parvenir.

i35. La plupart des théorèmes , ou principes , qui viennent de nous occuper sont susceptibles d'une plus ou moins grande limitation ; c'est-à-dire qu'ils sont vrais pour une série de positions indéterminées des parties de la figure que chacun d'eux concerne 1 mais qu'ils peuvent cesser de l'être , d'une manière absolue et géométrique , pour une série d'autres positions également indéterminées de ces parties ; nous avons vu , en effet , que la projection d'une figure , selon des conditions données , pouvait devenir , dans certains cas 1 impossible ou imaginaire , quoique dans d'autres , non moins généraux , elle fut possible et réelle.

Il résulte de là que les propriétés projectives qu'on pourra déduire de la considération de ces principes , selon ce qui a été enseigné au commencement de ce chapitre , ne seront elles-mêmes des conséquences absolues et rigoureusement nécessaires des raisonnemens établis que pour une série de positions indéterminées de la figure , comprises entre certaines limites ; tandis que ? pour une autre série de positions pareillement renfermées entre ces limites , mais qui sont au-delà , quand les autres sont en-deçà et réciproquement ? la même chose ne saurait plus avoir lieu , à cause que la projection correspondante aura elle-même cessé d'exister d'une manière absolue et purement géométrique. Ainsi les propriétés examinées ne seront démontrées , d'une manière rigoureuse et absolue, que pour les premières de ces positions, et elles cesseront de l'être pour les autres.

Toutefois on ne doit pas conclure que , l'objet des raisonnemens primitifs étant devenu illusoire , la propriété ait par là même cessé de subsister ; car les deux séries de positions que Ton considère renferment toutes celles que peut prendre la figure , sans changer les conditions qui la déterminent} et, par hypothèse , ces positions sont telles qu'on peut regarder , à volonté , les unes comme provenant des autres par le mouvement progressif et continu de certaines parties de cette figure , sans violer la liaison et les lois primitivement établies entre elles. Or, quand deux figures géométriques* sont ainsi liées entre elles, les propriétés de Tune sont directement applicables à l'autre , sauf les modifications qui peuvent arriver dans les signes de position, ou dans la réalité et la grandeur absolue des parties; modifications qu'il est toujours facile de reconnaître à Pavanée , à la simple inspection de la figure. C'est là ce qui constitue en effet, pouf la Géométrie, le principe de continuité, généralement admis dans toutes les recherches qui se fondent sur l'Analyse algébrique ; principe que nous avons déjà mis en usage , plusieurs fois , dans le

68 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

cours de cette première section , mais seulement dans des circonstances où son application devenait conforme aux idées reçues , et pouvait se justifier, d'une manière naturelle et entièrement rigoureuse , par des principes directs.

136. Son admission ouverte en Géométrie ne saurait donner lieu à aucune difficulté sérieuse 5 car, si la propriété qu'on examine et qui , par hypothèse , a été établie pour une situation non singulière , mais indéterminée , des parties de la figure , ne concerne que des objets actuellement réels et constructibles y elle aura lieu d'une manière entièrement absolue et géométrique ; dans la supposition contraire, elle cessera d'être applicable à ces objets d'une manière absolue , sans pour cela devenir ni fausse ni absurde à l'égard des objets demeurés réels ; en sorte que, si l'on conserve mentalement une existence de signe ou d'expression aux objets impossibles , la propriété devient purement idéale à l'égard de ces objets. C'est précisément dans ce sens que nous avons entendu dire , jusqu'ici , qu'une propriété ou une relation quelconque est vraie, en général , alors même qu'elle l'est pour une série indéfinie de positions de la figure , tandis qu'elle cesse de l'être pour une autre série de positions assujetties à la même loi et aux mêmes conditions.

137. D'ailleurs il est essentiel de remarquer que certains objets, qui ont avec d'autres , devenus impossibles , une dépendance connue et donnée , ne deviennent pas pour cela eux-mêmes inconstructibles ; car ces objets peuvent être liés aux autres parties de la figure par des dépendances plus générales , et qui demeurent toujours réelles.

Ainsi la sécante indéfinie , qui passe par les deux points de contact d'une section conique et de deux tangentes issues d'un certain point, demeure toujours constructible et réelle (48) , quoique les tangentes elles-mêmes puissent devenir imaginaires lorsque le point passe dans l'intérieur de la courbe : la même chose a lieu, comme nous l'avons vu, à l'égard de la sécante commune de deux cercles ou de deux sections coniques situées sur un même plan , etc. En général , on peut poser, pour principe propre à faire reconnaître , à l'avance , les objets figurés qui peuvent demeurer réels , quand les parties qui les construisent deviennent imaginaires, que ces objets doivent nécessairement dépendre , d'une manière symétrique et simultanée , d'un nombre pair de ces dernières. La considération de 'ces sortes d'objets est extrêmement importante en Géométrie ; et nous ne craignons pas d'avancer qu'elle seule peut parvenir à donner une interprétation satisfaisante de certains résultats étranges de l'Analyse algébrique , concernant les grandeurs qui sont imaginaires.

SECTION I. CHAPITRE m. 69

i38. En ayant égard à ces diverses remarques, ainsi qu'à toutes celles qui se trouvent répandues dans le cours de cette section , nous regarderons comme générales, et applicables à tous les cas possibles, les propriétés géométriques qu'il sera possible de déduire des principes de projection qui viennent d'être exposés , quand bien même ces principes pourraient cesser d'avoir lieu géométriquement pour certaines dispositions de la figure , et qu'en conséquence sa projection pût devenir imaginaire.

Ainsi , par exemple , toutes les propriétés projectives , qui appartiennent au système de deux circonférences de cercle concentriques , appartiennent aussi (i3i) au système de deux sections coniques qui ont un double contact , que ce contact soit d'ailleurs réel ou idéal 5 nous avons vu , en effet (63) , quç l'un de ces cas ne diffère pas essentiellement de l'autre , et qu'ils sont assujettis à la même loi ; de sorte que , sans violer cette loi et sans particulariser les deux courbes , on peut faire coïncider celles d'un système avec celles de l'autre par un mouvement progressif et continu.

Pareillement toutes les propriétés projectives , dont jouit le système général de deux circonférences de cercle situées sur un même [dan , appartiennent aussi au système de deux sections coniques quelconques situées également sur un même plan 5 et ces propriétés demeureraient applicables au cas même où les deux courbes se pénétreraient en quatre points réels 5 circonstance pour laquelle leur projection, suivant des cercles, serait évidemment impossible* Nous en dirons tout autant des autres principes exposés dans le cours de ce chapitre ; et c'est pour cette raison principalement que nous les avons tous énoncés sous une forme générale , qui ne puisse rappeler , en aucun cas , la restriction dont ils peuvent être susceptibles.

139. Nous le répétons encore avant de terminer: en regardant comme générales , et applicables à tous les cas , les propriétés qui peuvent découler de ces principes , nous n'entendons pas , pour cela , dire qu'elles ont toujours un sens absolu et réel, mais seulement qu'elles ne peuvent , à proprement parler , devenir fausses , ni entraîner par conséquent, dans leur adoption et dans leurs conséquences , à des erreurs véritables , à des absurdités manifestes et contraires aux axiomes incontestables de la raison. Ainsi ces propriétés pourront bien ne conserver , dans certains cas , qu'une signification purement idéale dans ce qu'elles expriment , à cause qu'une ou plusieurs des parties qu'elles concernent auront perdu leur existence absolue et géométrique 5 elles deviendront , si l'on veut , illusoires , paradoxales , dans leur objet 5 mais elles n'en

7o PROPRIÉTÉS PROJECTTVES.

seront pas moins logiques , et propres , à on les emploie d'une manière convenable , à conduire à des vérités incontestables et rigoureuses , d'ailleurs susceptibles des mêmes limitations et des mêmes restrictions que les premières.

i4o. U me paraît actuellement inutile de développer davantage ces idées 1 d'autant plus que , la suite de ce travail ayant spécialement pour objet d'appliquer les notions qui précèdent à la recherche des propriétés projectives des seotions coniques , cette application servira d'éclaircissement naturel à tout ce que ces notions pourraient encore conserver d'obscur ou de difficile à comprendre. On verra, au reste, avec quelle simplicité ces notions conduisent aux propriétés déjà connues et à une infinité d'autres que la Géométrie ordinaire semblerait 'he pouvoir facilement atteindre} et cela, sans employer aucune construction auxiliaire , et en ne se fondant que sur les propositions les plus simples , celles qui , ne concernant que la direction et la grandeur des lignes des figures élémentaires , n'exigent, la plupart du temps, qu'un léger coup d'oeil pour être aperçues et senties. Aussi me contenterai-je , fort souvent , de citer ces propositions , sans m'astreindre à les démontrer , lorsqu'elles seront évidentes par elles-mêmes , ou des conséquences faciles d'autres propositions déjà généralement connues.