DT DT

»I = OT . — - . «T=CTf. — ;

i^ . OTOT' = »I. *T = DP — *D\

D'un autre côté , D» est égal à DO , car leur rapport à la même ligne HO', ou HO, est évidemment égal, pour les deux, au rapport des diamètres conjugués DT, HP que l'on considère; donc la relation à démontrer devient simplement,

ôf— vp*=ôPa— fr=Dr— DO' 5

laquelle a lieu , en effet, à cause que les triangles rectangles OPD, PDI ont l'hypothénuse ^ commune DP.

Donc enfin la ligne des centres CCr des cercles proposés est une sécante idéale, commune à la fois à tous les cercles (P) et à la section conique des réciproques de la droite donnée DE; comme il s'agissait de le prouver directement, d'une manière entièrement géométrique et rigoureuse.

Cet exemple et celui que renferme la note suivante peuvent servir à donner une idée des avantages qui résultent de l'admission du principe de continuité en Géométrie : nous aurons Poccasion d'en rencontrer un grand nombre d'autres, dans le cours de ces recherches, et il ne serait pas difficile de les multiplier davantage, si cela pouvait être nécessaire à notre objet* Nous nous contenterons d'en citer un, d'autant plus frappant qu'il est dû à l'un des plus célèbres disciples de Monge dans la science de l'étendue : c'est celui qui est offert par M. Dupin , dans son beau Mémoire sur la description des lignes et des surfaces du second degré, inséré au XIV0. cahier du Journal de F Ecole Polytechnique; l'auteur part, en effet, d'un mode de génération qui ne saurait s'appliquer qu'aux courbes et aux surfaces du second ordre entièrement fermées ; mais il n'en étend pas moins les conséquences auxquelles il parvient à toutes les lignes et surfaces de cet ordre, et par conséquent au cas où ce même mode de génération est impossible ou imaginaire. A la vérité , ce savant géomètre s'appuie sur les considérations offertes par l'Analyse algébrique pour justifier cette extension du cas réel au cas imaginaire, mais il reste toujours à démontrer que l'Analyse a la singulière faculté de traiter les êtres de non existence comme les êtres absolus ; et, si elle ne lui vient précisément que parce qu'on y admet

74 PROPRIÉTÉS PROJECIÏVES.

le principe de continuité, U n'y aum aucune, raiaoa de ne pas admettre, dans les recherche» géométriques de même nature, le principe lui-même, d'une manière entièrement directe et «ans recourir aucunement à l'Analyse algébrique.