CHAPITRE PREMIER

Géométrie de la Règle et des Transversales.

1^2 . jL-àA Géométrie de la règle , ou Théorie des points de concours , ne s'occupant , d'une part , que des propriétés descriptives ou de situation des systèmes de lignes droites indéfinies , et la Géométrie des transversales n'ayant pour objet , d'une autre : que les relations métriques relatives aux figures com-

posées également de systèmes de lignes droites indéfinies , coupées d'une manière quelconque par des droites ou courbes , appelées , pour cette raison , transversales; on conçoit, à priori* qu'elles se trouvent toutes deux comprises implicitement dans la définition que nous ayons donnée des relations .et des figures projectiles; et que, par conséquent, tout ce que nous avons pu dire, en général, de ces dernières propriétés s'applique naturellement à celles qui font le sujet ordinaire de la Géométrie de la règle et des transversales. Ce qui suit montrera , en outre , que toutes les relations de la Géométrie des transversales sont de la nature particulière de celles qui ont été définies art. 205 de sorte que nous pouvons dès à présent conclure , d'une manière générale , que les théorèmes des art* 18 et 19 de la première section subsistent pour ces sortes de relations.

i43. M. Carnot avait déjà montré d'une manière directe , dans sa Géométrie de position et son Essai sur la Théorie des transversales , que les relations de cette théorie s'appliquent également aux figures tracées sur la sufface d'une sphère quelconque , en substituant des arcs de grandi cercles aux transversales rectilignes. Le savant rédacteur des Annales de mathémor tiques , M. Gergonne , a depuis fait observer que la même chose avait lieu pour les propriétés de situation des sections coniques et des lignes droites, quand oh les projette sur la surface de la sphère au moyen de cônes et de plans partans du centre de cette sphère , considéré comme centre de projectibn. Ce qui précède est plus général, et fait voir sous quelles conditions Pune «pu l'autre extension est possible.^

i44- On conçoit également , d'après ce qui a été dit art. .11, que quelques-1 unes des propriétés des transversales et des points de concours doivent s'étendre , d'une manière analogue , aux figures situées dans l'espace et dont les premières pourraient être considérées comme des projections* (1 3).

Enfin les relations de la Géométrie des transversales auront nécessairement ' encore lieu pour l'espèce de projections définies art. 14 et i5, c'est-à-dire pour la projection dans un plan et pour la projection sur une droite.

Nous faisons à l'avance toutes ces remarques , pour ne pas être obligés d'y revenir, à chaque pas , dans la suite. Notre objet étant d'ailleurs de nous occuper spécialement des figures décrites, sur, un plan , nous ne donnerons que par aperçu la manière dont certains théorèmes , relatifs aux polygones plans , peuvent s'étendre aux polygones gauches coupés par des plans ou des surfaces du second ordre, etc. ; et seulement afin de faire connaître les beaux

78 PROPRIÉTÉS PROJECnVES.

résultats auxquels est parvenu M. Carnot, dans sa Géométrie de position et

dans sa Théorie des transversales.

i45. Si tous les côtés AB , BC , CD, DE % EA iïun polygone plan ABCDE (Fig. 16) , ou leurs prolongemens , sont coupés par une transversale droite quelconque, mr, aux points respectifs m, n,p, q, r, iljraurasur chaque côté , ou sur son prolongement , deux segmens formés par la transversale} tels que le produit de tous ceux de ces segmens, qui ri auront point d extrémités communes , sera égal au produit de tous les autres : c'est-à-dire qu'on aura (*)

Am.Bn.ty.Dqr.Er = ArJBm.Cn.Bp.Eq.

Cette relation étant projective de sa nature (20) , il suffit de prouver qu'elle a lieu pour l'une quelconque des projections de la figure. Or c'est ce qui est en effet , puisque , si on la projette sur un nouveau plan de façon que la transversale passe à l'infini, c'est-à-dire (io3) sur un plan parallèle à cette transversale , tous les segmens ci-dessus deviendront eux-mêmes infinis , et par conséquent le rapport de deux quelconques d'entre eux sera l'unité (28).

146. La même relation s'étend évidemment à un polygone gauche quelconque .coupé par un plan transversal arbitraire : pour le prouver , il suffit de mettre la figure en projection sur un nouveau plan parallèle au plan transversal , pourvu qu'on prenne pour centre de projection un point quelconque de ce dernier plan ; car alors tous les segknens deviendront encore infinis et égaux, comme dans le premier cas» D'ailleurs ce dernier théorème se ramène immédiatement au premier , quand on projette la figure sur un plan quelconque , à partir d'un point du plan transversal pris pour centre de projection ; et le premier se réduit à une simple identité , quand on projette la figure qui le concerne sur une droite quelconque de son plan (15), à partir d'un point de la transversale pris pour centre de projection.

147» Si Ton considère une nouvelle transversale mV dans le polygone ABCDE, on aura, comme ci-dessus,

Am'. Bn'. Cpt. D</. Er* = Ar> . Braf . Cn' . D^. Eq'.

Donc, si Ton représente simplement par (km) le produit À/n.Am', par

(*) M. Brianchon a déjà remarqué (Correspondance Polytechnique, tome II, page 25?) que ce théorème et son analogue pour la sphère ont été connus des anciens, quant à ce qui concerne le cas du triangle.. Voye» VAlmageste 9e Ptobmée, liv. 1, chap. 1a.

SIGTÏON IL CHAPITRE Ier. 79

(Bn) le produit Bti*Bk', et ainsi de suite pour les autres, il viendra, en multipliant terme à terme^ ...... .

(Am) (Bn>(Cpj (Dq) (Er) = (Ar) (Bm) (Cn) (Dp) (Lq) h

relation qu'on peut étendre , de la même manière , à un polygone plan coupé par un système de droites arbitraires, en nombre quelconque, et (146) à un polygone gauche coupé pareillement par un nombre quelconque de plans arbitraires. . - ! , :

148. Cette même relation sMtend encore au cas où Ton remplace le système des deux droites par une sectioti conique quelconque , comme cela a déjà été démorïtré par' anticipation '(34) V pour le cas particulier ou Pon ne considéré qu'un simple triangle : c'est-à-dire que

*SÏ tous les côtés dun polygone fiàn quelconque ABCBE^ ou leurs prolongemens, sont rencontrés 'par • ifwj? section conique quelconque^ et qu'on îiomrpe-) comme à-dessus ^ (Am)rÇèm) les produits des segmens interceptés,* Sfir.XR) entre chacun dejS, sqjtff^ets A et H respectivement et les deux branches de la qourbe, pqr. (Bn) et, (On) les produits semblables relatifs au çôrf BÇ etc. , on aura, ...

(Àro) (Bn) (Cp) (Dq) (Er) = (Ar) (B/n) (Cn) (Dp) (Kq).

La démonstration est évidemment la même que celle de l'art. 34 déjà cité (*).

149. Enfin la proposition qui nous occupe peut s'étendre, avec la même facilité , aux polygones gauches coupés par des surfaces quelconques du même ordre. En effet , elle a évidemment lieu pour le cas particulier où le polygone se réduit à un simple triangle , puisque le plan de ce triangle rencontre nécessairement la surface suivant une section conique -, si donc on décompose le polygone ci -dessus en triangles partiels, au moyen de diagonales partant d'un même angle $ puis qu'ayant écrit les relations qui correspondent à ces divers triangles, on les multiplie entfelles dans un ordre convenable : les rectangles des segmens formés sur chaque diagonale disparaîtront tous à la fois

(*) On doit à Pascal un théorème qui revient à celui-ci, pour le cas particulier où l'on ne considère que le système de quatre droites dans le plan d'une section conique. Voyez son Essai pour les Coniques, qui a paru en 1640, et qui se trouve imprimé parmi ses Œuvres, tom. IV, édit. de Lahaye, 1779*

80 PROPRIÉTÉS PROJECHVES.

du résultat , et il ne restera plus qu'une relation entre les segmens relatifs aux

côtés du polygone , identique avec celle qui précède.

i5o. M. Carnot, en exposant, dans sa Géométrie de position, ces théorèmes d'une élégance et d'une simplicité vraiment admirables , a fait voir, en outre, qu'ils s'étendent, d'une manière analogue, à toutes les courbes géométriques prises pour transversales, lorsque le polygone est plan,, et à toutes les surfaces dont les sections faites par des plans quelconques sont des courbes géométriques , lorsque le polygone est gauche* Or , d'après le raisonnement qui vient d'être établi pour les surfaces du second ordre , on voit que tout consiste à démontrer la proposition dans le cas particulier du triangle et d'une courbe géométrique , de degré quelconque , prise pour transversale : c'est-à-dire qu'en adoptant les conventions déjà admises ci-dessus (i45 et *47) j il s'agit simplement de prouver qu'on a

(Am) (Bn) (Çp) = (Ap) (Bm) (C/i).

Supposons , en effet , qu'on mette la figure en projection sur un nouveau plan, de façon que l'un des sommets, C par exemple, passe à l'infini, ce qui est possible d'une infinité de manières (101)} tous les segmens, qui se mesurent à partir de ce point, deviendront infinis et par conséquent égaux (a 8) $ et , comme la relation ci-dessus est nécessairement projective (20) , il s'agira finalement de prouver que , dans la nouvelle figure , on a

(Am) (Brc) = (Ap) (Bm) , ou

(Am):(Bm)::(A/?):(Bn):

c'est-à-dire que « le produit des abscisses Am, Am'.... est au produit des abs- » cisses Bm, Bm'..., formées sur la même droite AB, comme le produit des » appliquées A/?, Ap'.... correspondantes aux premières, est au produit des » appliquées parallèles Bn, Bn'.... qui appartiennent aux secondes: » or cette propriété des courbes géométriques est connue , et a été donnée par Newton dans son Enumération des lignes du troisième ordre.

i5i. Ces divers théorèmes prouvent, dans leur généralité, que les lignes et surfaces géométriques des divers ordres doivent jouir de certaines propriétés qui leur sont communes avec les systèmes analogues de lignes droites et de surfaces planes ; il nous serait d'ailleurs facile d'en déduire , dès à présent , un grand nombre de conséquences particulières $ mais notre objet ici est seulement de faire voir comment on peut arriver directement aux diverses

SECTION n. CHAPITRE Ier. 81

* Iations connues de la Géométrie des transversales , au moyen des principes de projection posés dans la première section ; et nous réservons pour un autre travail de faire connaître les résultats auxquels nous ont conduits ces mêmes relations 1 quant à ce qui concerne les lignes et les surfaces courbes géométriques d'un ordre quelconque.

1 5a. Il est d'ailleurs évident que ces relations, ayant été établies d'une manière générale , s'appliquent aux divers cas particuliers qui peuvent se présenter $ pourvu qu'on y introduise les modifications que nécessite le nouvel état du système , et qu'indique toujours la loi de continuité : ainsi plusieurs des points d'intersection peuvent se réunir en un seul , ou s'éloigner à l'infini , etc.

Supposons par exemple , avec M. Carnot , que la section conique ou . la surface du second ordre , transversale d'un polygone plan ou gauche , devienne tangente à tous les côtés de ce polygone , les segmens qui appartiennent à un même sommet et à un mêmp côté seront évidemment égaux $ en sorte qu'on a la proposition suivante , qui est une extension de celle déjà établie à , l'art. 36, pour le cas du triangle et des sections coniques :

Un polygone, plan ou gauche, ayant tous ses côtés tangens à une même ligne ou à une même surface du second ordre 7 il existe , à partir de chaque point de contact, deux segmens sur le côté correspondant; et le produit de tous les segmens non contigus , ou qui n'ont point d'extrémités communes , est égal au produit de tous les autres.

i53. On voit que ce théorème a la plus grande analogie avec celui (î/fG) qui est relatif au polygone gauche coupé par un plan transversal arbitraire; et il résulte en particulier , de ce rapprochement , que , si tous les points de contact , moins un , des côtés d'un polygone gauche quelconque , circonscrit à une surface du second ordre , étaient situés dans un même plan , le dernier s'y trouverait nécessairement aussi ; pourvu toutefois que la disposition des points soit telle qu'il y en ait un nombre pair ou impair sur le prolongement des côtés 7 suivant que le polygone est lui-même d'un ordre pair ou impair. Cette circonstance ayant lieu , en particulier , pour le cas d'un quadrilatère circonscrit à une surface du second ordre , il en résulte ce corollaire déjà connu (*) :

Dans- tout quadrilatère gauche circonscrit à une surface du second ordre , les quatre points de contact sont dans un même plan.

(*) Mémoire sur les lignes du second ordre, par G. J. Brknchon , page i4> note.

fe PROPRIÉTÉS PRO JECTIVES-

Mais en voilà assez sur ces considérations générales} revenons maintenant aux propositions élémentaires delà Géométrie des transversales, relatives aux figures décrites sur un plan.

i54- Soit ABCD (Fig. 17 et 18) un quadrilatère simple quelconque , dont les cotés opposés, AB et CD, AD et BC, prolonges jusqu'à leurs rencontres, respectives en E et Fv forment ce qu'on appelle le quadrilatère complet BAEDFCB avec les troii diagonales ACr BD etEF7 dont les- deux premières ^ appartenantes au quadrilatère simple ABCD, se rencontrent en G et rencontrent la troisiëtaë en î et H respectivement* Traçons les: droites indéfinies 6E j GE^ qui joignent le point G dlnt erse ction des diagonales avec les points.de con*^ cours E et F des côtés opposa du quadrilatère simple ABCD y ces deux droites iront rencontrer les côté* de, ce quadrilatère., auxquels elles n'appartieimenr pas , en quatre ùouwâux points : lfi,pFeqrière aux points P et M de AD* et BGy la seconde au* points L et N de AB et CD. On aura .ainsi. formé une figura composée de neuf lignes droites^ sur chacune desquelles se trquveront quatre points: or je dis que ce$ ctiffërens systèmes de quatre' points formeront autant de groupes harmoniques (aif)* 1 '

En effet 7 si Pdn met la figure en projection sur un nouveau plan , de façon (1 o5) que Tune des trois diagonales du quadrilatère complet , EF par exemple, passe à l'infini , les droites dirigées vers le point E deviendront parallèles entre elles 1 et il en sera de même de celles qui aboutissent au point F 5 le qua-n drilatère simple ABCD sera transformé mun paraUélogranpne avec ses deux diagonales AG et BD , se croisant au centre 6 : or toutes les lignes de la nouvelle figure porteront trois points , indépendamment de celui qui est à l'infini , dont les deux extrêmes seront à égale distance de celui du milieu 5 donc (27) ib pourront être regardés , avec le point à l'infini , comme autant de. groupes de quatre points harmoniques , et par conséquent il en sera de même dès lignes et des points correspondais de la figure primitive.

Il reste à démontrer que la troisième diagonale EF est aussi divisée harmoniquement aux points H et I j or, c'est ce qui paraîtra évident, à priori , si Ton considère que les quatre droites GE, GF, GH et GI, qui se croisent au point G et appartiennent aux quatre points harmoniques E , N , D<, G forment naturellement un faisceau harmonique (a5) : il suit de là évidemment , et de ce qui précède, que

i55. Dans tout quadrilatère complet ayant ses trois diagonales, charcime {Telles est divisée harmoniquement , ou en segmens proportionnels , par les deux autres*

SECTION IL CHAPITRE Ie*. 83

Ce théorème a été connu des anciens , comme il paraît d'après la Propos. CXXI du livre VII des Collection? mathématiques de Pappus. Il a été reproduit depuis par Grégoire de St.-Vincent (*), et De Lahire s'en sert (**) pour détérmoCier 9 avec la règle seule, le quatrième harmonique I de trois peint* Ey F, H donnes sur une même droite : il suppose qu'on forme , à volonté , un quadrilatère ABGD dont une des diagonales passe par H , et dont les côtés opposés concourent en E , F respectivement. La même construction est employée par Schooten (***) pour mesurer la distance d'un point inaccessible I à ta point donnée F, sur le terrain.

:i56. Les figures 17 et i89 qui viennent de nous occuper, appartiennent évidemment-aussi au système des six distances qui joignent, deux à deux, les quatre points A , fi , C, D, et des trois ligues droites qui réunissent , dans le même ordre, les nouveaux points d'intersection E, F, G des premières : or ces figures dotincrit lieu à Beaucoup d'autres relations faciles à reconnaître.

Par exemple, on peut remarquer que les quatre points L, M, N, P déterminent deux ségméns sur les côtés de chacun des trois quadrilatères simples ABCD , ÀFCE , BEDF, et que le produit de quatre de ces segmens , qui ne tout pas contigus et appartiennent aux côtés d'un même quadrilatère , est égal au produit des quatre autres : c'est-à-dire qu'on a , pour le quadrilatère simple^ ABCD pris en particulier,

AL-BM-CNDP = APBLCM-DN.

Pour le prouver , il suffit de se reporter à la projection ci-dessus de la figure , pour laquelle cette telatûm , qui d'ailleurs est projective , devient évidemment identique.

On voit pareillement que les côtés opposés du quadrilatère LMNP , qui a pour sommets les qùatte points que l'on considère , devenant respectivement parallèles aux diagonales AG et BD du parallélogramme de la projection , doi-

(*) Opus geometricum (1647)9 p*go 67 Propos. 10.

(**) Sectiones conicce, in-fbl°. i685 , page 9 , Propos, ao.

(***) Exercitaûonum mathematUarum lib. II: De constructione problematum simpliciumgeometricorum, seu quce solvi possunt, ducendo tantum rectos lineas, 1 656 $ Appendix, Propos.V. Dans cet Appendice; on traite les cas où certains points sont inaccessibles ; il y est fait aussi mention d'un écrit intitulé : Geomeiria peregrinans , qui a le même objet, et que Sckooun attribue à un noble polonais 5 on y résout,. dit-il, seize problèmes relatifs aux points et lignes inaccessibles sur le terrain , sans autre instrument que des jalons.

il*

84 PROPRIÉTÉS PROJECTTVES.

vent nécessairement, dans la figure primitive , concourir aux points I et H où ces

mêmes diagonales rencontrent la droite EF.

157. Soit D (mêmes Fig.) un point situé quelque part sur le plan d'un triangle ABC ; parle point D, et des sommets du triangle , abaissons des droites ÂF, BG et CE sur les côtés opposa à ces sommets $ joignons deux à deux , par de nouvelles droites, les points F, G, E ainsi obtenus sur ces côtés , il en résultera un second triangle EFG inscrit ou exinscrit au premier. Or l'ensemble de toutes ces lignes , au nombre de neuf et prolongées jusqu'à leurs intersections respectives, produira une figure entièrement identique avec celles qui nous ont occupés dans ce qui précède , et qui jouira par conséquent des mêmes propriétés. Ainsi chacune de ces neuf lignes portera quatre points 7 qui formeront autant de groupes harmoniques (*) } et les six nouveaux points H, I, L, M, N, P, obtenus par le croisement de ces lignes, seront, trois & trois, sur quatre droites LPH, MNH, PNI, LMI, dont la dernière appartient aux points de concours des cotés respectivement opposés des deux triangles ABC et EFG. Je dis, de plus, qu'on aura, dans le triangle ABC,

AE-BF-CG = BE-CF-AGi

propriété qui peut s'énoncer de cette manière :

i58. iSï, par un point quelconque pris dans te plan d'un triangle , on abaisse, de chaque angle , une droite sur le côte opposé, on obtiendra* ^ sur cltacun de ces côtés , deux segmens , tels que le produit de trois seg— mens quelconques, non contigus, sera égal au produit des trois autres (**)•

En effet, cette relation est projective, et devient évidemment identique dans lu projection ci-dessus (i54) du quadrilatère ABCD suivant un parallélogramme.

i5<). On arriverait d'ailleurs directement à cette relation (16), en remarquant qu'elle a lieu , également d'une manière identique , entre les sinus des angles formés autour du point D , pris pour centre de projection des six segmet»* eorresponduns ; et , comme cette remarque s'applique à un polygone quelconque! d'tiu nombre impair de cotés, des sommets duquel on aurait ubttM des droites sur les côtés respectivement opposes, en les faisant toutes

(*) UûmJiri* d* position, pag. 187 et a88| Application de la Théorie des tnuuver- *#/**, */c, pur C J. BrUmchon. Paris, 1811, f. 53. *

(*+) Nul va nt la remarque faite par M. Serrais, ce théorème appartient à Jean Bernomilli: W7«* U« (MÙêïnn de oe dornlor, tome IV, n«. CLV.

SECTION IL CHAPITRE Ier. 85

passer par un même point pris à volonté sur le plan de la figure , on voit que la relation ci -dessus a encore lieu, d'une manière analogue, entre les différens segmens formés, par ces droites, sur les côtés du polygone ; donc on a ce théorème général , qui n'a , je crois , encore été établi nulle part :

âSï, par un point pris à volonté dans le plan d'un polygone quelconque d'un nombre impair de côtés , on abaisse , de chaque angle, une droite sur le côté opposé^ on obtiendra sur chacun de ces côtés deux segmens , et le produit de tous les segmens non contigus sera égal au produit de tous les autres.

160. Cette proposition s'e' tendant , en vertu du principe de continuité, au cas où un ou plusieurs des côtés deviennent nuls en conservant une direction donnée , a lieu , comme on voit , également pour un polygone d'un nombre pair de côtés $ pourvu qu'en menant par l'un quelconque de ses sommets une droite arbitraire , on la considère comme la direction d'un côté nul ou infiniment petit du polygone.

Il est , au surplus , à remarquer que la réciproque de cette proposition n'aura lieu en général que pour le cas particulier du triangle } c'est-à-dire que , si la relation ci-dessus (i5^) subsiste entre les segmens formes par trois points E , F , G pris convenablement sur les côtés d'un triangle ABC , ou sur leurs prolongemens , les trois droites ÂF, CE , BG se croiseront en un même point D.

Je dis que les trois points E , F, G doivent être pris convenablement sur les côtés, parce qu'en effet, suivant la remarque déjà faite par M. Brianchon, ils doivent toujours être en nombre pair sur les prolongemens de ces côtés. S'il en était autrement , ces trois points appartiendraient à une même droite , d'après le théorème de l'art. i45, appliqué au cas particulier du triangle.

161 • Quand un triangle quelconque ABC (Fig. 19) est circonscrit à une section conique , les trois points de contact E, F, G déterminent sur les côtés de ce triangle six segmens , qui ont entre eux (36 et 1 5a) la relation de position et de grandeur que nous venons de définir ; donc toutes les propriétés démontrées aux articles 1 54 et 1 56 lui sont applicables directement (*) : ainsi , par exemple , les droites AF, BG et CE iront se croiser en tm même point D.

Il suit de là que , si l'on se donnait trois tangentes d'une section conique et les points de contact de deux de ces tangentes , ou trois points et les tangentes en deux de ces points, on obtiendrait de suite, avec la règle seule, soit le

w^mm^m^t

(*) Géométrie de position, pages aç3 et 453.

86 PROPRIÉTÉS PROJECttVES.

troisième point de contact , soit la troisième tangente de la courbe (*). Nom verrons bientôt (191) comment, d'après ces données, on peut décrire entièrement cette courbe par points.

162. Enfin si; sur la direction des côtés d'un triangle ABC (Kg. 17 et 18) , on^rend, à volonté, trois points L, M, I , situés en ligne droite , pub les quatrièmes barmoniijueà E , F, G des pruniers par rapport aux côtes ou aux sommets correspondais du triangle, ces Six points jouiront encore des propriétés qui viennent d'être énoncées. Ainsi , par exemple , les trois droites AF, B6 ^<X se croiseront en un même point D, et Ton aura la relation