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BX-CY'AZ BE'-CF-AG* Ce qui démontre évidemment que les trois nouveaux points X, Y, Z sont en

(*) Algèbre posthume de Mac-Laurin, 1748, Appendice, $. 4*.

(**) Ces propriétés s'étendent, d'une manière analogue, au tétraèdre, sur chacune des arêtes duquel on aurait pris deux points, divisant cette arête en segmens harmonique*» Ainsi ces douse points seront trois par trois sur de nouvelles droites, et six à six sur de nouveaux plans, renfermant quatre de ces droites; ce qui fait en tout seize droites et huit plans pareils, dont les derniers s'entrecoupent tous suivant ces mêmes droites. Voyez à ce sujet le Mémoire de M. Brianchon, sur les surfaces du second degré, inséré au XIII9. caliier du Journal de l'Ecole polytechnique, et fe théorème XII de V Essai sur la Théorie transversales, par M. Carnot.

SECTION H. CHAPITRE Ier. 87

ligne droite , comme les trois premiers L , M , I qui leur correspondait respectivement , puisque d'ailleurs ils sont nécessairement à la fois extérieurs au triangle, A£C, quelle que soit la position de la droite LML

Nou£ ferons; us#ge de ces considérations plus tard j pour le moment , nous nous bornerons à en déduire ce théorème déjà connu : . 164* Dans tout quadrilatère complet 1 les, milieux des trois diagonales sont situas sur. une même ligne droite.

En effet,; daus le quadrilatère complet BAEDFCB (Fig. 17), par exemple, les. trois, <liagoi#les forment un triangle GHI dont les côtés sont divisés harmoniqueanent par les sommets correspondais du quadrilatère (i55), lesquels sont d'ailleurs disposés, trois par trois^ sur quatre lignes droites, comme les six points E, F, G) i, M, I du théorèjne qui précède (162).

i65f Oo peut généraliser, ainsi qu'il suit ^ les théorèmes de Fart. i56, relatifs aux quadrilatères.

Supposons qu'au lieu de mener les transversales EPM, FNL (Fig. 17 et 18) par le point de croisement G des diagonales du quadrilatère ABCD, comme 011 Ta supposé soi mênxe endroit, on leur donne une direction quelconque (Fig. 20) , en les faisant toujours passer par les points de concours E et F des côtés opposés de ce. quadrilatère ; la démonstration employée pour le cas particulier prouve qu'on aura encore, entre les segmens, formés par ces transversales sur les côtés, la relation

AL-BM-CN-DP = ÀP-BL-CM-DN:

c'est-à-dire que

. Si) de chacun des points de concours E, F des côtés respectivement opposés dun quadrilatère ÂBCD , on mène des transversales arbitraires EPM, FNL sur les deux autres côtés, il en résultera, en tout, quatre points L, M, N , P et huit segmens sur ces côtés; or le produit de quatre de ces segmens, non contigus, sera égal au produit des quatre autres.

Je dis, de plus, que

Si Von joint deux à deux, par de nouvelles droites, les quatre points d'intersection L , M , N , P , pour fotmer le quadrilatère simple LMNP , les points de concours I et H des côtés opposés de ce quadrilatère seront situés respectivement sur les deux diagonales du quadrilatère proposé ÂBCD.

166. Pour prouver la chose dans toute la généralité qui lui e& propre ^

88 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

nous considérerons un quadrilatère quelconque ABCD (Fîg. ai), sur les cotés duquel on ait pris respectivement les quatre points L, M , N , P satisfaisant à la relation ci-dessus , sans que , pour cela , les points qui appartiennent à des côtes opposes se trouvent , comme précédemment , sur des droites concourant avec les deux autres côtés du quadrilatère.

Or la figure peut être considérée comme la projection d'une autre , dans l'espace , pour laquelle le quadrilatère plan ABCD serait devenu gauche 5 et, comme la relation ci-dessus aura également lieu (11) pour le nouveau quadrilatère, les quatre points L, M, N, P seront situés (1^6) dans un même plan} ce qui ne peut être évidemment sans que les droites LM. PN , AC , d'une part, et les droites LP, MN, BD, d'une autre, concourent respectivement en un même point , soit dans l'espace , soit sur le plan de la figure primitive (*).

La réciproque s'ensuit nécessairement, et peut d'ailleurs se démontrer de la même manière : c est-àrdire que ,

Si , dun point quelconque I de Vune AC des diagonales dun quadrilatère plan ou gauche ABCD , on mène des transversales IML , INP dans les triangles ABC, ACD formés par cette diagonale, elles iront déterminer, sur les côtés correspondans de ces triangles, quatre points L , M , N , P qui jouiront des mêmes propriétés que les précédons. Ainsi Von aura la relation ci-dessus (i65), et les nouvelles droites MN et LP, qui appartiennent aux triangles formés par Vautre diagonale BD , iront concourir en H sur cette diagonale.

167. Ces diverses théorèmes pourraient encore se démontrer directement, soit au moyen de la propriété (i45) du triangle coupé par une transversale quelconque , soit en mettant la figure en projection , sur un nouveau plan , de. façon que la diagonale AC passe à l'infini. Dans ce dernier cas , les triangles BLM , DNP se changeant nécessairement en deux triangles semblables , semblablement placés et ayant le point H pour centre de similitude , ou point de

(*) Cette propriété du quadrilatère gauche et sa réciproque peuvent servir à démontrer, d'une manière très-simple , la double génération de l'hyperboloïde à une nappe aujnoyen d'une droite (Voyez un article de M. Chasles, pag. 466 du tom. II de la Correspondance Polytechnique). Les propositions des art. 170, 171, celles sur-tout des art. 201, 208, ai5 et 217 conduiraient à ce but d'une manière plus directe encore. Ces propositions et leurs corollaires ont donc entre elles la plus grande analogie , et se rapportent toutes à des propriétés des surfaces gauches du second degré : Voyez à la pag. 332 du tom. I des Annales 4e Mathématiques, une démonstration du principe de l'art. 201 9 par M.' Se r vois.

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concours des trois droites qui joignent, deux à deux , les sommets homologues , toutes les relations ci-dessus se trouveront à la fois satisfaites dans la nouvelle figure. On voit , en outre , que la proportionnalité des lignes homologues donnera lieu aux nouvelles relations