HP-HBAL-CD = HL-HD -AP- CB

LB-MI-PN-AD = LM-NI-PD-AB, analogues aux précédentes.

La relation graphique qui lie entre eux les deux triangles BLM , DNP peut évidemment s'exprimer ainsi :

168. Deux triangles quelconques étant tellement disposés , sur un plan , que leurs sommets respectifs s? appuient , deux à deux , sur trois droites convergeant en un même point , les côtés opposés aux sommets qui se correspondent iront concourir , dans le même ordre , en trois points situés en ligne droite} et réciproquement , si ces côtés concourent , deux à deux 1 en trois points situés en ligne droite , les droites qui joignent , dans le même ordre , les sommets correspondons des triangles iront converger en un même point (*).

Soient, par exemple , ABC, AlFC' (Kg. m et ^3) deux triangles tellement disposés que les droites AA', BB', CCr concourent en'un même point S $ les côtés AB et A'W, BC et B'C, AC et A'C iront concourir respectivement aux trois points I , K 7 L situés en ligne droite ; et réciproquement 7 si ces trois points sont sur une même droite 1 les trois droites AA', BBf 7 CC, concourront en un même point S.

Cette relation nous offre le premier exemple de deux figures qui sont la projection ou perspective Tune de l'autre dans un plan (i4)? et il est bien digne de remarque que , pour l'établir 1 il n'est point indispensable d'avoir recours aux relations métriques des figures ; car elle est évidente 9 à priori , pour le cas où les triangles sont dan4 l'espace , et elle le devient , par là même , pour

(+) Désargues est , je crois , le premier qui ait exposé cette propriété des triangles (Voyez la fin du Traité de perspective, publié par Bosse, en 1648.) Elle paraissait complètement oubliée , lorsque M. Serrais la reproduisit dans un excellent ouvrage publié à Metz , en l'an XII (1804) * sous le titre modeste de : Solutions peu connues de différens Problèmes de Géométrie pratique, pag. a3. On est parvenu depuis à une proposition beaucoup plus générale : voyez la pag. 3a6 du tom. XI des Annales de Mathématiques, et la pag. 69 du tom. XII du même recueil.

9o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

celui où ils sont dans un plan ,' puisque Tune de ces figures peut toujours être considérée comme la projection de l'autre. Nous reviendrons , au reste , pins tard sur ces considérations r en les exposant dans toute leur généralité.

169. Retournons maintenant aux circonstances particulières offertes par la fig. 20 et ses analogues 20 bis elio tiçrce, où les droites PM, LN passent par les points de concours E, F des côtés opposés du quadrilatère ÂBCD.

On remarquera , en premier lieu, que ces droites et les côtés du quadrilatère forment naturellement un hexagone ALNÇMPA dont les côtés de rang impair AL, CN, MP concourent en E , tandis que ceux de rang pair LN, MC9 AP concourent en F } or, d'après ce qui précède (i65), les trois droites LM, AC, PN^ qui joignent les sommets, respectivement opposés de l'hexagone., concourent aussi en un même point I ; donc ou a ce nouveau théorème :

Dans tout hexagone plan , dçnt trois côtés non çontigus quelconques concourent en un même point , tandis que les trois autres concourent également en un point , les trois diagonales qui joignent: les sommets respectivement opposés 'vont aussi se croiser en un seul et même point.

170. On peut remarquer pareillement que la figure ENPFMLE forme un autre hexagone , dont les sommets s'appuient alternativement sur tes deux droites EM et FL , et qui est ce qu'on appelle inscrit à ces droites. : or les côtés EN et FM, NP et LM, PF et LE, qui sont respectivement opposés dans cet hexagone, vont concourir aux trois points C , I , A , placés sur une même droite ; donc on a cet autre théorème , qui a la plus grande analogie avec le premier :

Dans tout hexagone inscrit à deux droites situées sur un pfa**i les points de concours des côtés respectivement opposés sont tous frols sur une même droite (*).

171. Ces deux théorèmes ne sont, comme on voit, que des manières différentes d'exprimer la propriété de Part. i65, relative au quadrilatère complet coupé par deux transversales passant par deux de ses sommets opposés; ce qui n'empêche pas que , sous cette nouvelle forme , ils ne soient très-importans à considérer , car les figures auxquelles ils se rapportent sont essentiellement distinctes , si l'on ne veut point avoir égard au prolongement indéfini des lignes , ce qui arrive presque toujours dans les recherches géométriques. La figure que l'on considère peut d'ailleurs être tellement disposée qu'il soit difficile de

(*) C'est la 139e. Propos, du livre VII des Collections Mathématiques de Pappus, ou le lemme XIIIe. pour les Porismes tfEuclide.

SECTION ïï. CHAPITRE Ifr. ( 91

reconnaître celle à laquelle elle se rapporte en particulier, et il en est de cela évidemment comme des diverses transformations qu'on fait subir à une même relation métrique appartenante à une figure.

Considérons , par exemple , l'hexagone ABCDEFA (Fig. 24)? inscrit au système des deux droites DB et AE 5 il résulte de ce qui précède que les points de concours I , K , L des côtés opposés sont sur une autre droite $ or il serait très-difficile de reconnaître cette particularité , à priori , si Ton voulait avoir recours à la propriété ci-dessus (i65) du' quadrilatère.

On remarquera , au surplus, que la distinction que nous venons d'établir entre les diverses manières d'énoncer les propriétés d'une même figure ne saurait s'appliquer à des figures qui , quoique présentant un aspect différent , sont pourtant de même nature et composées des mêmes lignes diversement placées entre elles; en un mot, à des figures qui peuvent être censées provenir les unes dés autres par la simple transposition de quelques parties : car ces figures étant corrélatives (53) jouissent absolument des mêmes propriétés , en vertu de la loi de continuité. Ainsi , par exemple , quelle que soit la position respective des sommets A, B,C,D,E,Fde Fhexagone ci-dessus , pourvu qu'ils ne cessent pas d'appartenir aux deux mêmes droites AE et BD , la propriété qui les concerne sera toujours vraie et applicable : la même remarqué devra s'étendre, en général, à tout ce qui va suivre.

172. Soit maintenant ABCD (Fig. ?5) un quadrilatère simple quelconque avec ses deux diagnonales AC et BD , ne une droite ou transversale arbitraire rencontrant les directions indéfinies de ces diagonales aux points e,/et celles des côtés AB , BC , CD , DA aux points a^b^a^d respectivement 5 je dis qu'on aura les sept relations suivantes, dont une quelconque doit nécessairement comporter toutes les autres , c'est-à-dire que , par des transformations convenables , on doit pouvoir les rendre identiques ,

ab.ad cb.cd ba.bc da.de ea.ec fa.fc

ae.af ~ ce.cf ' be.bf ~~ de.df * eb.ed ~fb.fd1

ec.ab.df= eb.qf.dc, ea.cd.bj r= ed.cf.ab , ad.be.cf-zz. ae.bc.df, ad.bf.ce =^ de.qf.bc.

Pour le prouver, On remarquera d*abord que les quatre dernières relations peuvent se déduire des trois autres par voie de multiplication. Cela posé , si

Q2 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

Yqïl met la figure en projection, sur un plan, de façon (io5) que les points de concours E et F des côtés opposés du quadrilatère passent à l'infini , ce quadrilatère se changera en un parallélogramme, pour lequel il sera facile de vérifier les trois premières relations , en comparant les triangles qui sont semblables} et, comme elles sont projectives (20), il s'ensuit qu'elles auront lieu également pour le quadrilatère proposé.

173. Ces relations fort remarquables ont été données , d'une manière analogue , par M. Brianchon , dans son intéressant Mémoire sur les lignes du second ordre, S» VIII. Pappus avait déjà démontré, dans le VIIe. livre des Collections mathématiques (Propos. CXXX), une propriété qui, envisagée sous un autre point de vue , exprime Tune des dernières de ces relations } enfin on trouve également dans la Géométrie de position , pag. 456 , un théorème sur le quadrilatère qui revient encore aux premières d'entre elles : Fauteur Pa déduit comme conséquence particulière d'une proposition beaucoup plus générale , relative aux polygones inscrits aux sections coniques , et que nous ferons connaître par la suite. Il fait observer que cette propriété du quadrilatère est une extension de celle (i55) qui concerne la division harmonique des diagonales du quadrilatère complet, puisqu'il suffit, pour obtenir cette dernière , de supposer, dans les relations ci-dessus , que la transversale ae s'applique sur la troisième diagonale EF du quadrilatère BAEDFCB.

Nous ajouterons qu'on obtiendrait des résultats analogues pour les droites qui joignent les points E, F au point de croisement G des deux autres diagonales , et qu'on arriverait à des conséquences également dignes de remarque , si Ton supposait que la transversale passât seulement par l'un des points de concours E , F des côtés opposés du quadrilatère ABCD , ou par le point d'intersection G de ses diagonales : le nombre des relations non identiques se réduirait alors à quatre (*) , dont Tune quelconque comporterait les trois autres ; en sorte qu'une seule d'entre elles ayant lieu entre cinq points rangés sur une droite , les dernières s'ensuivraient nécessairement.

174* M. Brianchon, en faisant connaître" les relations générales ci-dessus, remarque qu'elles sont précisément celles qui auraient lieu entre les douze segmens formés sur un quadrilatère complet dont les trois diagonales seraient e/, ac , bd, relations qu'on obtient de suite (**) en considérant la direction de l'un quelconque des côtés de ce quadrilatère comme une transversale (i45)

(*) Voye* Part. 178, plus loin.

(**) Géométrie déposition, pàg. %j% et 279.

SECTION n. CHAPITRE Ier. tf

par rapport au triangle formé par les trois autres. Or cette correspondance découle naturellement du principe de Fart. 1 5 5 car six points rangés sur une même droite , entre lesquels une seule des relations dont il s'agit aurait lieu , pourraient , par cela même, être considérés comme la projection, sur cette droite, des six sommets qui appartiennent à un quadrilatère complet , en supposant que toutes les lignes de la figure et le centre de projection soient dans un seul et même plan.

On voit, par là, que ces considérations pourraient être étendues à un nombre quelconque de points rangés , suivant un certain ordre , sur une même droite , et qu'il en résulterait une infinité de relations analogues à celles qui précèdent 5 lesquelles , comme nous Pavons déjà fait observer. (3a), seraient autant de propositions dans le genre des lemmes analytiques des anciens.

175. Le principe que nous venons de citer conduit à une autre remarque non moins intéressante , et qui donne , en quelque sorte , l'interprétation des sept relations de Part. 172.

Supposons que Pon considère la droite ae comme une transversale par rapport au triangle ÀCD formé avec trois des sommets du quadrilatère simple ÂBCD , on aura la relation (i45)

dA.eC.cD = dD.eA.cC 5

laquelle devient évidemment , d'après le principe cité et en supposant qu'on la projette, du quatrième sommet B du quadrilatère, sur la transversale ae,

ad.be.çf= ae.bc.df,

qui est identique avec la sixième des relations trouvées ci-dessus»

En prenant, à son tour, chacun des trois derniers sommets du quadrilatère pour centre de projection par rapport au triangle formé par les trois autres , supposé coupé par la transversale ae , on obtiendrait évidemment les trois relations analogues à celles qui précèdent. Quant aux relations qui ont lieu entre huit segmens , il est aisé de s'assurer qu'elles sont la projection sur la transversale ae, et par rapport aux points de concours E, F, G des côtés et des diagonales , pris successivement pour centres de projection , de la relation qui existe entre les huit segmens formés par cette même transversale sur la direction indéfinie des quatre côtés du quadrilatère.

1 76. Les sept relations qui viennent de nous occuper se rapportent évidemment à celles qui auraient Heu entre les segmens formés , sur une trans-

94 PROPRIÉTÉS PROJEÇTIVES.

versale arbitraire , par les directions indéfinies des six distances qui séparent deux à deux quatre points A, B , C , D , pris à volonté sur un même plan : par où Ton voit que , si ces quatre points étaient situés d'une manière quelconque dans l'espace, auquel cas les six distances qui les séparent , deux à deux , formeraient naturellement un tétraèdre quelconque , les sept relations doùt il s'agit devraient également avoir lieu entre les douze segmeris correspondons formés, sur ces distances ou leurs prolongement par un plan transversal arbitraire $ car cette dernière figure peut être considérée comme ayant pour projection la première , par rapport à un point quelconque du plan transversal pris pour centre de projection. Et , comme d'ailleurs les relations dont il s'agit peuvent s'établir directement , en considérant successivement les quatre faces triangulaires et les trois quadrilatères gauches qui appartiennent an tétraèdre comme coupés par le plan transversal (i45 , i^fy , il en résulte 7 à priori^ une nouvelle démonstration fort simple de la proposition de Part. 1 72 .

177. Enfin les sept relations qui nous occupent peuvent encore être considérées comme exprimant la propriété cPtin quadrilatère plan quelconque ABCD, inscrit aux systèmes de deux droites BD, AC, (c'est-à-dire dont je» sommets s'appuieraient alternativement sur ces droites) relativement à une* transversale ae tracée arbitrairement dans le plan de la figure 5 or je dis que ces mêmes relations auront lieu aussi , quand on remplacera le système des deux droites AC et BD par une section conique quelconque ABCD (Fig. 26).

En effet , si Ton met la figure en projection, sur un nouveau plan, de façon: que cette section conique devienne un cercle, et que les points de concours des côtés opposés E et F du quadrilatère passent à l'infini (109), ce quadrilatère se changera (io5) en un rectangle inscrit, coupé, ainsi que le cercle, par la transversale ae , et dans lequel on aura évidemment , d'après la propriété connue des sécantes ,

ae.qf aA.aB ce.cf — cD.cC*

Mais, à cause des triangles semblables, on aura aussi

donc

ah.

ad

ab

cD

cC~

cb'

ae.qf

ab.ad

ce.cf"

cb.cd

SECTION II. CHAPITRE Ier. 95

relation qui revient évidemment à la première des sept relations de Part. 1 72 , lesquelles par conséquent ont (tlieu , à la fois , pour un quadrilatère inscrit à une section conique, coupé par une transversale quelconque. '

1 78. Ce beau principe fait la base du mémoire , souvent cité , de M. Brianchon : d'après un passage de V Essai sur les coniques de Pascal (*) , il paraîtrait que Dés argues avait connu quelques-unes des relations qui le concernent \ ce que confirme également une lettre de Beaugrand, publiée en 1639. Cette lettre , vraiment digne de Zoile , contient la critique d'un écrit de Désargues , imprimé la même année , et ayant pour titre : Brouillon projet d'une atteinte aux évènemens des rencontres du cône avec un plan 1 etc. Selon Beaugrand , le tiers de cet écrit était employé à examiner les propriétés qui résultent de l'assemblage de six points rangés sur une même droite, entre lesquels auraient lieu les trois premières relations de Part. 172 ; il ajoute que Désargues nommait cette liaison remarquable : Involution de six points ; laquelle se réduit simplement à une de cinq , quand deux de ces six points (qui sont conjugués ou jouent le même rôle par rapport aux quatre autres) se confondent en un seul , et à une de quatre , quand la même chose arrive pour deux autres points également conjugués , ce qui donne alors lieu à ce que nous avons déjà nommé la relation harmonique.

Supposons , par exemple, que les points e,f(f\%. 2 5), qui sont évidemment conjugués , se confondent en un seul g, les relations (172) se réduiront simplement aux quatre suivantes :

ab.ad cb.cd ba.bc da.dc

âg% cg* ty? àg\

gc.gd.ab = ga.gb.cd , gb.gc.ad = ga.gd.bc ,

lesquelles constituent ainsi une involution de cinq points.

La plus grande partie du surplus de l'ouvrage de Désargues aurait été consacrée , d'après ce qu'en dit le même Beaugrand , à établir la proposition suivante , ainsi que ses corollaires : Un quadrilatère étant inscrit à une section conique quelconque, toute transversale détermine , par ses intersections avec la courbe et les côtés du quadrilatère, six points qui sont en involution (**).

(*) Voyez la note de Part, 148.

(**) On retrouve aussi quelques-unes de ces propriétés du quadrilatère inscrit dans le Ve. livre du Traité des sections coniques , par Robert Simson (2«. édition ; Edimbourg, 1750), mais étendues au cas où la transversale touche ou cesse de rencontrer la courbe.

g6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

1 79. On voit , d'après cela , que l'ouvrage de Dés or gués , qui ne nous est point parvenu , devait contenir plusieurs des intéressantes propriétés du quadrilatère inscrit qui sont aujourd'hui généralement connues j et , en effet , le théorème de Part. 177 est un des plus féconds qui existe sur les coniques, comme on peut le voir par l'excellent parti qu'en a su tirer M. Briançhon, dans le mémoire déjà plusieurs fois cité.

Supposons , par exemple , que Ton connaisse cinq points A , B , C , D exj d'une section conique ; et qu'ayant mené arbitrairement , par le point J\ une transversale indéfinie Je qui coupe , en a et c , b et d , les deux couples de côtés respectivement opposés du quadrilatère ABCD , formé au moyen des quatre autres points donnés pris pour sommets , on demande le second point d'intersection e de la transversale et de la courbe.

On construira le nouveau quadrilatère ATJ'CD' dont la diagonale À'O passe par f^ et dont les couples des côtés opposés concourent respectivement , çn a et c, b et d, avec les côtés opposés du premier quadrilatère; la seconde diagonale B'D' ira (172 et 177) rencontrer la transversale au point e demandé 5 et ce procédé , comme le remarque M. Brianchon (*) , s'appliquera même an cas où , étant situés sur le terrain , les quatre points A 7 B 7 C 9 D seraient inaccessibles , quoique visibles dans les directions AB, BC , CD et DA.

Cette construction ingénieuse donne , comme on voit , le moyen de résoudre linéairement^ c'est-à-dire avec la règle ou des jalons, le problème qui suit :

Par cinq points , donnés à volonté r faire passer une section conique P

180. Supposons encore qu'ayant rendu fixes les trois points a, b, c de la transversale ci-dessus 7 on fasse mouvoir le quadrilatère ABCD 7 de façon que 7 demeurant toujours inscrit à la courbe , ses trois premiers côtés passent , dans le même ordre , par les points dont il s'agit 5 le quatrième côté CD pivotera évidemment sur un dernier point fixe d , situé sur la droite qui renferme les trois autres 5 théorème qu'on peut énoncer ainsi :

Si Von inscrit à une section conique une suite de quadrilatères dont les trois premiers côtés aillent concourir sans cesse , et dans un ordre assigné , en trois points pris à volonté sur la direction et une même droite 7 le quatrième côté pivotera également sur un quatrième point fixe , placé sur la droite dont il s'agit.

(*) Mémoire sur les lignes du second ordre, $• XXX.

SECTION H. CHAPITRE Ier. 97

181. Cette propriété , qui subsiste évidemment quand on remplace la section conique par le système de deux lignes droites quelconques 1 n'est qu'un cas très-particulier d'une proposition beaucoup plus générale qui sera démontrée par la suite. Il serait d'ailleurs aisé de l'établir directement à l'aide de nos principes 5 car , en mettant la figure en projection de façon que la section conique devienne un cercle et que la transversale des points fixes passe à l'infini (109), les trois premiers côtés du quadrilatère demeureront sans cesse parallèles à eux-mêmes ; donc il en sera de même aussi du quatrième : c'est-à-dire que ce côté concourra sans cesse en un point de la transversale à l'infini.

18a. On pourrait encore déduire , comme l'a montré M. Brianchon , beau-* coup d'autres cqpséquences du théorème de l'art. 1 77 5 en supposant , par exemple , que la transversale touche la courbe , passe par l'un des points de concours des côtés opposés du quadrilatère , ou les renferme tous deux à la fois, et enfin en supposant qu'un ou deux côtés opposés de ce même quadrilatère deviennent infiniment petits ou tangens à la courbe , auquel cas les deux autres côtés se confondent en un seul qui est la corde de contact même des deux premiers. Dans ces divers cas , les relations établies ci-dessus se réduisent à quatre (178)5 ou seulement à une seule , et expriment les propriétés qui lient entre eux les points correspondais de la transversale 5 lesquels , d'après Désargues , forment alors des involutions de cinq ou de quatre points.

Je n'entrerai point dans le détail de cette discussion , qui est facile , et des diverses conséquences qui peuvent s'en déduire relativement aux figures inscrites aux sections- coniques , mon but n'étant ici que de montrer comment la doctrine des projections peut conduire , d'une manière simple et directe aux principales relations de la théorie des transversales.

i83. C'est d'ailleurs le cas de remarquer la facilité avec laquelle les principes de cette théorie conduisent immédiatement aux propriétés de situation des systèmes de lignes droites ; nous en avons présenté , à dessein , plusieurs beaux exemples dans ce qui précède ; et il serait aisé de les multiplier davantage , en montrant , avec MM. Carnot , Servois et Brianchon , qu'il n'est aucune des propriétés des points de concours ,-qui ne puisse être considérée comme un corollaire de quelque relation de la Géométrie des transversales 5 mais ce n'est pas ainsi que nous nous sommes proposé de parvenir aux propriétés descriptives des figures } et , de même que nous avons cherché à établir les premières d'une manière pour ainsi dire isolée , de même aussi nous voulons arriver à celles-ci directement et indépendamment de la connaissance des autres. Ce n'est pas

98 PROPRIÉTÉS PRQJECTIVES.

qu'au fond, en y réfléchissant bien, on puisse réellement séparer ces deux genres de spéculations 1 si ce n'est peut-être en admettant , à priori et dans toute son étendue , le principe de continuité ; toujours est-il , et nous pensons ainsi avec M. Gergonne (*), qu'on doit^ le moins qu'il est possible, faire intervenir les unes de ces propriétés dans la démonstration des autres.

1 84. Et , comme les propriétés générales des systèmes de lignes droites indéfinies ne sont encore, ainsi que nous en avons déjà vu quelques exemples, que des cas particuliers des propriétés beaucoup plus générales appartenantes aux sections coniques (**) } que ces dernières propriétés sont souvent plus faciles à établir; que d'ailleurs on peut passer immédiàtejnent de celles-ci aux premières par la seule application de la loi de continuité , il entre dans le plan de cet ouvrage d'exposer d'abord les cas généraux, et d'en déduire ensuite les autres comme simples corollaires } d'autant plus que , par-là , on peut éviter bien des longueurs et des répétitions inutiles. C'est ainsi que nous procéderons, désormais ,- soit dans le chapitré suivant , soit dans tout le reste de l'ouvrage : sent-* vent même il nous arrivera , d'indiquerrapidement les conséquences , sans nous y arrêter; plus souvent encore il nous arrivera,: à mesure que* bous avance* rons , de les négliger tout à fait pour les abandonner à la sagacité du lecteur»

Enfin il serait pareillement inutile de s'arrêter , à chaque pas , pour examiner ce que deviennent les propriétés des figures générales, quand, leur appliquant le principe de continuité, on suppose que certains points, certaines lignes se réunissent ou se confondent , disparaissent entièrement ou s'éloignent à l'infini, et nous nous bornerons là-dessus, comme pour ce qui précède, à donner quelques exemples et à indiquer rapidement les autres. -

Après ces explications qui nous paraissaient indispensables , nous pouvons passer aux autres propriétés de la Géométrie de la règle.

(*) Annales de Mathématiques, tom. VIII, pag. 160.

(**) Pour apercevoir comment cette conséquence résulte immédiatement de la loi de continuité, on peut supposer que la courbe, étant d'abord une hyperbole , se soit confondue ensuite avec ses asymptotes, en restant ainsi (43 f note) s. et s. p. par rapport à elle-même; il est évident que, dans ce nouvel état, elle aura conservé le même centre, la même direction et le même rapport de diamètres conjugués. Quant aux tangentes , elles passeront toutes alors par le centre devenu le sommet de l'angle des deux droites.

SECTION n. CHAPITRE IL 99