CHAPITRE IL

Continuation du même sujet. — Desjigures inscrites et circonscrites aux sections coniques. — Questions qui s'y rapportent. — Théorie des Pâles et Polaires réciproques.

i85. UN quadrilatère quelconque étant inscrit à une conique , soit tracée la droite qui passe par les deux points de concours des côtés opposés } on pourra regarder la figure comme la projection d'une autre , pour laquelle la droite en question sera passée à l'infini , en même temps que la section conique sera devenue un cercle (ioq) $ le quadrilatère inscrit à cette section conique sera lui-même converti en un quadrilatère inscrit au cercle , et ayant les côtés opposés parallèles (io5)$ c'est-à-dire que ce sera un rectangle.

Soit donc ABCD (Fig. 27) le rectangle dont il s'agit} toutes les propriétés projectives qui lui appartiendront , ainsi qu'au cercle correspondant, seront aussi des propriétés de la figure primitive.

Cela posé , par chacun des sommets A , B, C, D menons une tangente au cercle pour former le parallélogramme circonscrit abcd, dont les côtés opposés vont par conséquent concourir à l'infini $ traçons les diagonales AC et BD , ac etbd, • elles passeront par le centre P, et , de plus , les deux dernières seront parallèles aux côtés du quadrilatère ABCD, ou concourront avec eux à l'infini. Menons enfin des tangentes aux points E et G, F et H où ces mêmes diagonales coupent la circonférence , elles seront , deux à deux , parallèles entre elles et aux côtés du rectangle inscrit , et iront par conséquent concourir avec eux en deux points à l'infini ; de plus , toutes les droites , partant du centre P et terminées à la circonférence ou aux côtés opposés des deux quadrilatères ABCD , àbcd , sont divisées en parties égales en ce point , et peuvent être regardées comme coupées harmoniquement par ce même point et par celui qui est à l'infini , etc.

Si l'on se reportç maintenant à la figure primitive , les droites parallèles entre elles seront devenues concourantes en des points de là droite (106) qui représente celle à l'infini 5 le centre P $era devenu, (11 7) le pôle de cette droite, et tout le reste sera le même de part et d'autre 5 donc, cm, a ce théorème :

186. *Sï on inscrit, à une section conique, un quadrilatère quelcon-

ioo PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

que ABCD (Fig. 28), et qiùon lui en circonscrive un autre abcd, don

les côtés touchent la courbe aux sommets du premier,

1 °. Les quatre diagonales de ces deux quadrilatères se croiseront en

un même point P.

20. Les points de concours, L et M, 1 et ta, des côtés opposés du quar-

drilatère inscrit et du quadrilatère circonscrit , seront tous quatre rangés

sur une même droite polaire de P.

3°. Les diagonales du quadrilatère circonscrit iront concourir respectivement aux points L et il où se coupent, deux à deux, les côtés opposés du quadrilatère inscrit.

4°. Chacun de ces derniers points est le pôle de la droite , ou diagonale , qui passe par Vautre et par le point P 5 ou, ce qui revient au même , c'est le point de concours des tangentes qui correspondent à cette diagonale.

5°. Toute ligne droite , passant par le point P et terminée à la section conique ou à deux côtés opposés de Vun des quadrilatères , est divisée harmomquement en ce même point et en celui où la droite rencontre sa polaire LM $ et pareille chose a lieu à F égard des points L , M par rapport aux droites PM et PL dont ils sont les pôles.

La figure 27 étant symétrique , donne une infinité d'autres relations et d autres alignemens , et chacun d'eux fournit un théorème : ainsi , par exemple , en appelant F et H' les points où la diagonale bd rencontre les côtés opposa AD et BC du quadrilataire inscrit , on a (20 et 28) les relations projectives suivantes :