FM* ~~ HM

M&.MF-Hd =

= Mi.MHFi ;

aB.dD am.dm bB.cD bm.cm

al.bl aA.bC dl.cl ~~ dk.cC1

PD* aB.&B am.bm

PB' * cD.dD ■*"" cm.dmy

al.dl ak.dk PC* .

tî — » = -s-» — ^ * -=■ * etc. « etc.

bLcl bC.cC pâ»' 7

SECTION n. CHAPITRE H. 101

On remarquera que les quatre dernières relations expriment des propriétés du quadrilatère complet circonscrit Ibmcdal , et que les trois précédentes apparu tiennent aux cinq points qui résultent, en général, de la courbe , d'un angle quelconque bad circonscrit à cette courbe et de la corde de contact AB de cet angle, quand on les coupe par une même transversale arbitraire bd (182). On voit d'ailleurs qu'on obtiendrait des relations analogues pour les autres diagonales oc, /m du quadrilatère complet circonscrit : la facilité avec laquelle on peut reconnaître toutes ces propriétés nous dispense d'entrer dans de plus grands développemens (*).

187. Quand la courbe est décrite, la figure 28 indique des moyens fort simples de trouver le pôle par la polaire , et réciproquement ; le tout en n'employant que la règle seulement : elle donne donc aussi un moyen , purement linéaire , de mener , d'un point extérieur à une section conique , deux tangentes à la courbe ; car les points de contact se trouvent évidemment à l'intersection de cette courbe et de la polaire du point donné.

Par exemple , voulant mener , du point M , deux tangentes ME , MG à la courbe , on n'aura qu'à tracer les sécantes arbitraires MBA , MCD par ce point 5 joignant ensuite , par de nouvelles droites , les points d'intersection A , B, C , D ainsi obtenus , elles iront se croiser aux points P et L appartenant à la corde de contact ou polaire EG du point M. (**)

188. On voit pareillement que , si l'on se donnait soit quatre points A , B, C , D d'une section conique et la tangente en l'un de ces points , soit quatre tangentes ah, bc^cd, ad et le point de contact de l'une d'elles, on obtiendrait de suite , par des constructions purement linéaires , les tangentes qui appartiennent aux trois autres points , ou les points de contact qui appartiennent aux trois autres tangentes.

(*) Les 4e* et 5e* aes propriétés énoncées en téta de cet article ont été données par De Lakire, dans les deux premiers livres de ses Traités des sections coniques, imprimés à Paris en 16 j3 et i685$ les trois autres appartiennent a Mac-Laurin (Voyez l'ouYrage déjà cité, art. 161 , note) : elles ont élé reproduites ensuite par R. Simson, Muller, etc. Ces différons géomètres n'ont probablement fait que répéter ce qu'avait déjà exposé le célèbre Pascal, dans le 3e. liv. de son Traité inédit sur les sections coniques. D'après les Propos, i54j i55, i56f i5o, 161 du VHe. liv. des Collections mathématiques, qui n'étaient que des lemmes pour les Porismes à'Euclide, il paraîtrait que les anciens ont aussi connu quelques-unes de ces propriétés*

(**) Cette construction se trouve indiquée dans le mémoire de M. Briancbon, déjà cité plus haut, art. 16a , note.

1 03 PROPRIÉTÉS PROJKCTIVES.

189. En général, si l'un des quadrilatères ABCD, abcd est donné v on connaîtra les trois points L , M , P qui lui sont communs avec l'autre 7 et Fou pourra s'en servir pour déterminer linéairement, ou avec la règle, toutes les parties de la figure qui en dépendent directement.

Qu'on se donne , par exemple , le quadrilatère circonscrit abcd et un pomt quelconque de la direction de l'un des côtés du quadrilatère inscrit , ce dernier sera entièrement déterminé de position, comme ci-glessus (188) 9 aussi .bien que les quatre points de contact du premier : il en arriverait de même évidemment si l'on se donnait le quadrilatère inscrit ABCD avec une droite quelconque renfermant l'un des sommets du quadrilatère circonscrit, car ce dernier serait entièrement déterminé de situation.

190. Supposons encore que l'on connaisse , soit le quadrilatère circonscrit abcd et un point H de la courbe , situé sur l'une bd de ses diagonales , soit le quadrilatère inscrit AËCD et la direction d'une tangente HL passant par l'un L des points de concours des côtés opposés de ce quadrilatère 5 on voit, par la figure, que la tangente au point donné H , ou le point de contact de la tangente donnée HL , seront immédiatement connus. On aura donc cinq tan-f gentes de la courbe et le point de contact de l'une d'elles , dans le premier cas , et cinq points de la courbe et la tangente en l'un d'eux , dans le second $ au moyen de quoi, et de ce qui précède (188), on obtiendra de suite, toujours par des constructions linéaires , soit les points de contact des autres tangentes, soit les tangentes des autres points. - -

Enfin , si l'on se donnait généralement cinq points ou cinq tangentes quelconques de la courbe , on déterminerait encore sans peine et linéairement ^ au moyen des propriétés ac. et 3e. de l'art. 186, soit lies tangentes aux pointa donnés , soit les points de contact des tangentes pareillement donaées (*) $ mais nous exposerons bientôt des moyens plus directs et plus simples pour résoudre ces dernières questions- : . ;

. 191 • Dans les diverses circonstances particulières 4jui viennent de ndas

(*) Ces constructions, aussi bien que celles de l'art. 188, ont été données par Mac- Laurin dans V Appendice placé à la fin dé son Traité d' Algèbre posthume , {. 38, 3ç, 4o et 41. Celles des art. 189 et 190 Pont été par M. Brianchon, partie dans son Mémoire sur les lignes du second ordre 9 partie dans un article imprimé, pag. 383 du tom. II de la Correspondance Polytechnique , lequel renferme, en outre, la discussion des divers autres cas où la section conique peut se construire par points au moyen de la règle seule. I"f oui reviendrons plus loin sur quelques-uns d'entre eux. ~ \

SECTION II. CHAPITRE II. i03

cupér ^ auxquelles il faut joindre celles de Fart. 161 , on pourra construire la courbe, qui est unique , par points , sans employer d'autre instrument que la règle ou de simples alignemens. *

Supposons, en effet, que Fon connaisse les deux tangentes mB, mD, se rencontrant en m , les points de contact B , D de ces tangentes et un troisième point quelconque C de la courbe } la fig. 28 indique un moyen trèssimple et purement linéaire d'en trouver à volonté un quatrième A , et par suite la tangente qui lui correspond : tout consiste évidemment à construire un triangle quelconque AML dont les côtés passent par les trois points connus B, D, m, et dont les sommets M, L s'appuient sur les droites données CB et CD.

Si , au lieu du point C de la courbe , on se donnait une troisième tangente quelconque bc , la figure montre qu'on en obtiendrait également une inusité d'autres ad et les points de contact correspondans A, en construisant une suite de triangles . àSd dont les sommets s'appuient sur les deux premières tangentes données et sur la corde de contact BD qui leur appartient ^ et dont les côtés aP , dP , adjacens au sommet P situé sur cette corde , passent respectivement par les points d'intersection c et b de la troisième tangente donnée bc avec les deux premières toB et nïù ; car les derniers côtés ad des triangles ainsi construits seront évidemment les tangentes demandées (186).

Ces diverses constructions ne sont d'ailleurs que des cas particuliers de celles qui seront exposées un peu plus loin (ao3 et 209).

19a. La relation qu'ont entre eux} et avec les quadrilatères inscrits et circonscrits, les trois points L, M, P et les droites qui les contiennent deux à deux est , comme nous Pavons vu , très-remarquable , et peut s'exprimer ainsi :

i°. Dans tout quadrilatère inscrit à une conique, les points de conrcours des diagonales et des côtés respectivement opposés sont trois points 1 tels que tun quelconque d 'entre eux est le pôle de la droite qui renferme les deux autres.

20. Dans tout quadrilatère complet ? circonscrit à une conique, charcune des trois diagonales est la polaire du point d intersection des deux autres.

D résultç d'ailleurs directement de ce qui précède (186) que

i°. « Quand trois points P, L, M, situés sur le plan d'une section conique , » sont tels 5 que l'un quelconque d'entre eux est le pôle de la droite qui con- » tient les deux autres , tous les triangles ABC , BDC 7 etc. , inscrits à la courbe

io4 PROPRIÉTÉS PROJECnVES.

» de façon que les deux premiers, côtés de ces triangles passent respective- » ment par deux des points donnés , ont naturellement leur dernier côte dirige » vers le troisième ; de plus , chaque côté se trouve divisé harmoniquement » par le point correspondant et par la droite qui renferme les deux autres.

a°. » Dans les mêmes circonstances , il existe également une infinité Je » triangles adm, abl, etc., circonscrits à cette même courbe, dont les som- » mets s'appuient respectivement sur les droites ML, MP, PL qui joignent, » deux à deux , les points en question , et chacun des côtés du triangle LMP » formé par ces droites est divisé harmoniquement par le sommet comespon- » dant du triangle circonscrit et par le côté opposé à ce sommet (*). »

193. Ces propriétés des triangles inscrits et circonscrits s'appliquant ^ d'une manière analogue , aux quadrilatères inscrits dont les côtés opposés et les diagonales concourent aux trois points L, M, P, et aux quadrilatères complets circonscrits dont les sommets opposés s'appuient respectivement sur les droites qui joignent deux & deux ces trois points $ il en résulte que , quand les droites et les points dont il s'agit seront connus , on pourra construire linéairement (i55), et d'une manière très-simple , soit le quadrilatère inscrit quand un de sommets sera donné , soit le quadrilatère circonscrit quand un des côtés sera pareillement donné : or cette circonstance arrivera (19a) toutes les fois qu'on aura, soit un autre quadrilatère inscrit, ou quatre points de la courbe, soit un autre quadrilatère circonscrit , ou quatre tangentes de cette même courbe.

Si donc on se donne , en outre , soit un nouveau point , soit une tangente , on obtiendra immédiatement trois autres points ou trois autres gentes de la courbe ; laquelle ne pourra néanmoins se construire tout entière par ce procédé , qu'autant qu'on se serait donné à la fois cinq points ou cinq tangentes ; car , si Ton avait au contraire quatre tangentes et un point, ou quatre points et une tangente, on obtiendrait bien trois nouveaux points ou trois nouvelles tangentes , ce qui ferait en tout quatre points et quatre tangentes , mais il serait impossible évidemment d'en obtenir d'autres de la même manière (**).

(*) Cet diverses propriété* ont été indiquées par M. Brianchon, aux $. ao, si 9 sa et a3 du Mémoire sur les lignes dm secomd ordre ; elles sont (18a) des corollaires fort simples du théorème (177) «ur 1* quadrilatère inscrit } coupé par une transversale quelconque*

(**) Cette constructiony pour le cas de quatre tangentes et un point) revient à celle du f • *3 du Mémoire sourent cité de M. Brianchon : voyei aussi le f. 43 de V Appendice de l'Algèbre de Mac-Laurin.

SECTION H. CHAPITRE IL io5

194* Les propositions de Fart. 186 donnent encore lien aux énoncés qui suivent:

Si Von inscrit, à une section conique , une suite de cordes AB, AV, A"B"... (Fig. 29) , toutes dirigées vers un même point P choisi à volonté sur le plan de la courbe, il arrivera que

i°. Tous les points Ç, C'..., qui sont, par rapport à ces cordes, les quatrièmes harmoniques conjugués du point P, seront situés sur une seule et même ligne droite , polaire ou corde de contact de P (*)•

20. Tous les points de croisement L et fâ, V et M\„. des nouvelles cordes qui joignent , deux à deux , les extrémités appartenantes pux différens couples des premières , seront encore situés sur la polaire dont il s? agit.

3°. Il en est de même de tous les points de concours 11, T..% des paires de tangentes menées aux extrémités de chaque corde J^B, AF...

4°« Réciproquement si, des différens points 1, T... dune droite prise arbitrairement sur le plan dune section conique, on mène des paires de tangentes à cette courbe, les cordes de contact ABVA*B'..., qui leur correspondent respectivement , iront toutes concourir en un point unique t, pôle de la droite dont il s'agit.

195. Ces deux dernières propriétés peuvent s'énoncer ainsi, d'une manière beaucoup plus générale et plus simple, en remarquant que les points T, T... sont les pôles des cordes de contact AB, AU'... qui leur correspondent :

Si une tigne droite , mobile sur le plan dune section conique , est assujettie , dans toutes ses positions , à pivoter autour et un point fixe quelconque , le pôle de cette droite parcourra successivement tous les points de la polaire du point fixe dont il s? agit.

Si un certain point mobile est assujetti à demeurer sur une ligne droite quelconque, tracée dans le plan dune section conique, la polaire de ce point pivotera constamment autour dun point fixe , pôle de la droite dont il s'agit.

196. Toutes ces propriétés pourraient s'établir directement , de la même manière que celles de Part. 186 d'où elles dérivent : ce sont elles qui ont fait donner au point P le nom de pôle de la droite TT', et à cette droite le

(*) C'est la XXXVH«. Propos, du lîv. JE des Coniques V Apollonius. De Lahire y a joint le* trois suivantes, dans les deux premiers livres de son Traité in-fa des sections co-

ioo PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

nom de polaire du point P (*) 5 leur ensemble constitue ce qu'on appelle la théorie des pôles , laquelle est presque tout entière renfermée dans la proposition suivante :

*SÏ un certain point est situé sur une ligne droite tracée dans le plan {Tune section conique , sa polaire passera par le pôle de cette même droite*

197. On peut remarquer, au surplus, que les propriétés ire. et aa. cidessus (194) s'appliquait (184 j note) au cas particulier où la section conique dégénère en deux lignes droites MA , MB (Fig. 3o), ou est remplacée par le système de ces droites ; la droite ML, qu'on peut continuer à appeler la polaire du point P, concourt alors avec les deux droites MA, MB au point M; elle est, par rapport à ces droites,, la conjuguée harmonique (?4) de ceHe qui passe par le point M et par le point P. Ces propriétés font partie de celles du faisceau harmonique , et peuvent se déduire immédiatement des principes de l'art. 1 54 : elles fournissent une solution bien simple et bien connue (**) du problème suivant:

• Par un point donné L tirer une droite LU au point de concours de deux lignes droites ÀA", BB", dont les directions sont données ^ en ne faisant usage que de la règle ou de simples jalons P

Cette solution s'applique,. comme on voit, au cas où le point de rencontre M est inaccessible , et par conséquent à celui où les droites données sont parallèles. Elle conduit immédiatement à celle de cet autre problème , non mon» intéressant, et qui nous sera utile par la suite :

198. Par un point L (Fig. 3t), donné à <volonté sur le plan d'un parallélogramme ÂBCD , mener , avec la règle , une parallèle à la droite EF située également dans ce plan P

Soient E et F les points où la droite donnée rencontre les côtés adjacens

(*) Peut-être serait-il plus convenable d'appeler le point P le conjugué harmonique de la droite TTf, et cette droite la conjuguée harmonique du point P ; en réservant, comme on le fait d'ordinaire, les expressions beaucoup plus générales de pâle et polaire pour le cas où l'on aurait à considérer des systèmes de droites mobiles autour de points donnés ou fixes. Le conjugué harmonique d'un point situé sur le plan d'une section conique étant d'ailleurs celui qui divise harmoniquement, avec le premier, une corde quelconque de la courbe, il en résulterait que a tous les conjugués harmoniques d'un point donné sont sur » la conjuguée harmonique de ce point. » '

(**) Perspective de Lambert, a«. partie, pag. 17*1 (Zurich 1774). Voyez aussi lia art. de M* Hachette, imprimé pag. 3o5 du tom. I de U Correspondance Polytechnique*

à l'angle A du parallélogramme ; par ces points et par un point quelconque K de la diagonale appartenante au même angle , menons les droites EK , FK 5 elles rencontreront les côtés respectivement opposés à ceux d'où elles proviennent aux nouveaux points G , H , et la droite GH sera parallèle à la droite donnée EF$ car le triangle AEF sera évidemment semblable au triangle CGH et semblablement placé. Le problème. se trouvera donc ainsi ramené à celui qui précède 9 et s'exécutera, comme lui, en ne faisant usage que de la règle seulement.

La figure ABCD pourrait être un quadrilatère quelconque , dont la troisième diagonale représenterait celle à l'infini du parallélogramme ; et , en la supposant toujours inaccessible comme auparavant , les constructions qui précèdent donneraient , comme on voit , des moyens fort simples pour trouver autant de points que l'on voudrait du prolongement de cette droite , de même qu'elles donnent aussi autant de systèmes de parallèles qu'on le désire au moyen des deux premières (*)•

Au surplus , quand on a, sur le plan d'une figure r une droite quelconque et le point milieu de cette droite, on peut immédiatement mener des parallèles à cette droite , passant par des points donnés , au moyen de la propriété (i55) du quadrilatère complet } tout consiste à observer que le conjugué harmonique du point milieu de la droite est situé (27) entièrement à l'infini. Si donc on se donnait deux distances semblables et leurs points milieux , on aurait tout ce qu'il faut pour déterminer deux systèmes quelconques de parallèles ou un parallélogramme , et par conséquent on aurait en sa possession deux points de la droite à l'infini du plan de la figure ; au moyen desquels , et de ce qui précède r on en obtiendrait ensuite autant d'autres qu'on voudrait : on pourrait donc aussi déterminer des quatrièmes proportionnelles à des lignes données , diviser des lignes en un nombre quelconque de parties égales, etCé (**).

199. Lambert , qui a donné, à la fin de la seconde partie de son Traité de perspective (197, note), des réflexions très-judicieuses sur le même sujet, observe, en outre, que la conjuguée harmonique d'une droite, qui divise en deux parties égales l'angle formé par deux autres , est perpendiculaire à cette

(*) Voyez plusieurs solutions élégantes de ce problème, pag. 38 de l'ouvrage de M. Servois, déjà cité (167, note).

(**) Même ouvrage, pag. fyj.

108 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

droite et divise en deux parties égales le supplément de cet angle (a5) } de sorte que , trois quelconques des quatre droites dont il s'agit étant données , la dernière s'ensuit nécessairement (i55) par une construction purement linéaire. Mais la solution de Lambert est fautive pour le cas où l'un des côtés de Pangle est à déterminer.

Le même auteur donne , à Pendroit cité (pag. 169, art. III), une solution très-directe du problème ci-dessus (198) , lequel a aussi été résolu , d'une autre manière , par S*Gravesende (*), de même que quelques-unes des questions qui précèdent. La solution de Lambert est sur- tout remarquable en ce qu'elle s'obtient très-simplement au moyen des considérations de la perspective. Elle est exprimée (Fig. 3a) ot EF, ABCD et L sont toujours la droite , le parallélogramme et le point donnés : tout consiste , comme on voit , à former un nouveau quadrilatère A'FCT)', qui ait le point donné L pour concours de deux côtés opposés , et dont les points de rencontre des côtés et de la diagonale A'C , avec la droite donnée EF , soient les mêmes que ceux des côtés et de la diagonale qui leur correspondent , dans le parallélogramme ABCD , et portent les mêmes lettres différemment accentuées ; car le second point de concours M des côtés opposés du quadrilatère A'B'C'D7 devra se trouver sur la parallèle LM demandée.

En effet , d'après la construction , le quadrilatère AD'CD' peut être considéré comme la perspective , ou projection , du parallélogramme ABCD sur un autre plan, dont EF représente la trace avec le plan ABCD, et qui aurait été rabattu ensuite sur ce dernier. Or , dans cette projection , LM représente la droite qui renferme les points de concours des côtés respectivement opposés du parallélogramme ; elle doit donc concourir à l'infini , avec elle , sur la droite EF, c'est-à-dire qu'elle doit être parallèle à EF.

2oo. On voit , d'après cela , que les figures qui viennent d'être considérées rentrent dans la définition que nous avons donnée de la projection ou perspective dans un plan (i4)î il est visible, en effet, que, si l'on joint par des droites les sommets homologues des quadrilatères ABCD , A'B'C'iy , ces droites iront concourir (168) en un même point S, qui est ainsi leur centre commun de projection ; mais nous avons déjà promis de revenir , par la suite , d'une manière générale sur les propriétés de cette espèce de projection.

(*) Œuvres philosophiques} Amsterdam, «774» P*« partie, Perspective, pag. 1741

On remarquera également que les constructions précédentes ont la plus grande analogie avec celles ci-dessus (179) relatives au quadrilatère inscrit à une section conique ; et , en effet , elles sont une suite évidente de la propriété (172) du quadrilatère inscrit à deux droites , c'est-à-dire du quadrilatère avec deux diagonales , coupé par une transversale arbitraire , qui , dans le cas actuel , est représentée par EF.

20i. Revenons maintenant aux sections coniques , et soit ABCDEF (Fîg. 33) un hexagone quelconque inscrit à une telle courbe $ prolongeons, deux à deux, les côtés opposés AB et DE , BC et ÈF , CD et AF jusqu'à leurs rencontres respectives en L, K, 1} concevons qu'on mette (109) la figure en projection 5 sur un nouveau plan , de façon que la droite qui renferme les deux premiers points L , K passe à l'infini 3 et que la section conique devienne en même temps un cercle} les côtés opposés AB et DE, de concourans qu'ils étaient, deviendront parallèles, et il en sera de même des côtés BC et EF. Or cela ne peut avoir lieu , pour un hexagone quelconque (convexe ou non convexe) inscrit au cercle , à moins que les deux derniers côtés CD et AF , qui sont opposés , ne soient également parallèles (*) ; car l'angle en B étant égal à Fangle en E , puisqu'ils ont , par hypothèse , les côtés parallèles , Parc ABC sera nécessairement égal aussi à l'arc DEF. Donc (106) les points de concours 1 , K , L de la première figure sont tous trois rangés sur une même ligne droite 5 c'est-à-dire que,

Dans tout hexagone inscrit à une conique , les points de concours des côtés respectivement opposés sont tous trois situés sur une même droite.

202. Cette propriété , qui subsiste quelle que soit la position respective des six sommets A, B, C, D, E, F de l'hexagone sur la courbe, et qui s'applique (1 70), comme cas particulier, au système de deux lignes droites quelconques AE, BD (Fig. ?4) tracées dans un même plan , est une des plus fécondes qui existent sur les sections coniques : elle a été énoncée , pour la première fois , par Pascal, dans son Essai sur les Coniques (i4&, note). Au rapport du célèbre Leibnitz (**) , cette propriété n'est autre que celle de Vheocagrammum

(*) M. Gergonne a donné, de la propriété de l'hexagone inscrit et de celle de l'hexagone circonscrit qui sera exposée un peu plus loin (208), une démonstration fondée sur des principes de projection analogues à ceux qui viennent d'être mis en usage : Annales de Mathématiques, tom. IV, pag. 78."

(**) Voyez une lettre de Leibnitz à M. Perrier , imprimée dans le tom. V des Œuvres de Pascal.

no PROPRIÉTÉS PROJECTIYES.

mysticum, sur laquelle Pascal composa ensuite un traité complet des sections coniques , qui ne nous est pas parvenu. Depuis lors , elle a été reproduite , sous différentes formes , par un grand nombre de géomètres , notamment par Mac-Laurin , R. Simson , etc. , et en dernier lieu par l'auteur de la Géométrie de position. M. Brianchon , à qui Ton doit ces remarques historiques ? a établi, sur le principe de Pascal 9 toute la théorie des pôles et polaires des sections coniques et des surfaces du second ordre (XIIIe. cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique).

203. Lorsque cinq points A, B, C, D, E d'une section conique sont donnes sur un plan , les figures 33 et 34 indiquent un moyen fort simple d'en trouver • à voloQté , un sixième F, et successivement autant d'autres qu'on voudra r en ne faisant usage que de la règle seulement ; mais , comme on peut varier cette construction de la courbe , par points , d'autant de manières différentes que l'on peut former d'hexagones distincts dont les cinq premiers sommets soient les points donnés , il est bon de remarquer qu'on n'obtiendra jamais qu'une seule et même courbe ; car tous les hexagones distincts ? formés au moyen des six mêmes points pris à volonté sur une section conique 1 étant corrélatifs entrç eux (171)? jouissent également de la propriété d'avoir les points de concoure des côtés opposés placés en ligne droite : ainsi ,

Par cinq points , donnés à volonté sur un plan , on ne peut faire passer qu'une seule section conique.

204. Les figures qui nous occupent montrent encore comment l'on peut trouver, toujours avec la règle 7 le second point d'intersection F d'une droite quelconque AF passant par l'un , A 9 des cinq premiers qu'on suppose donnés. Enfin l'on en déduit , sur-le-champ , le corollaire suivant dû , ainsi que ce qui précède , à Mac-Laurin (*) :

*Sï les côtés d'un triangle mobile FEK 1 situé sur le plan de deux droites ICD, KCB, sont assujettis à pivoter autour des trois points fixes A3 Ej Lf comme pôles (196, note), et qui en même temps les deux premiers sommets I , K soient astreints à parcourir les droites données DCI, BCK, comme directrices j le troisième sommet F parcourra 7 par suite du même mouvement, une section conique.

(*) Voyez, dans les Transactions philosophiques de. la société royale de Londres, pour 1735, la dispute qui s'est élevée, au sujet de ce théorème et de plusieurs autres, entre Braikenridge et Mac-Laurin.

SECTION IL CHAPITRE IL m

ao5. La discussion directe apprend , en effet, que la ligne du second ordre, ainsi décrite, passera par les cinq points connus A, B, C, D, E. Elle se réduirait, selon la remarque de Mac-Laurin , à une du premier, si trois quelconques de ces cinq points se trouvaient en ligne droite ; ce qui arrive dans 'deux cas distincts :

1 °. Lorsque les trois pôles A , E , L sont disposés en ligne droite , la ligne des points F passe alors évidemment par le sommet C de V angle des directrices. (C'est aussi le corollaire (*) de la propriété de fart. 168).

a°. Lorsque la droite, qui renferme les pôles ou points fixes A, E, renferme en même temps (Flg. a4) le sommet C de V angle des deux directrices. (C'est aussi le corollaire de la propriété (170) de l'hexagone inscrit à deux droites , due aux anciens.)

206. Supposons que, dans Fhexagone ABCDEF (Fig. 33 et 34) 7 inscrit à une section conique, Pun des côtés EF devienne infiniment petit, ou que sa direction soit tangente à la courbe ; la propriété de l'hexagone subsistera toujours (**) : étant donc donnés cinq points A , B , C , D , E (Fig. 35) d'une section conique , on peut , en l'un d'eux E , mener une tangente KF à la courbe, en ne faisant usage que de la règle seulement.

207. La même construction sert aussi à donner, à volonté, un cinquième point A de la courbe , quand on en connaît quatre autres B , C , D , E et la tangente KF en l'un d'eux E ^ au moyen de quoi il devient facile de décrire la courbe tout entière*, par points (***) , par un procédé analogue à celui qui

(*) D'après la préface du VIIe. livre des Collections Mathématiques de Pappus, ce même corollaire faisait partie des Porismes KEuclide.

Il a été démontré ensuite par il. Simson, dans un mémoire sur les Porismes, et étendu à un nombre quelconque de pôles et de directrices, comme l'indique Pappus à l'endroit cité ; nous reviendrons sur ce sujet intéressant dans la quatrième section.

(**) il. Simson est, je crois, le premier qui ait fait cette remarque d'une manière ostensible : voyez la Prop. 48 du V*. livre de son Traité des sections coniques (ap. édition) ; cependant il a recours ensuite à la propriété des quadrilatères inscrit et circonscrit , comme le fait lui-même Mac-Laurin (190, note), pour mener la tangente en l'un des cinq points donnés d'une conique , et c'est à M. Brianchoa qu'on doit le moyen de solution qui suit (Correspondance Polytechnique, tom. I, pag. 3 10).

(***) Cette construction et celle de l'art. 1 91 ont été déduites comme corollaires particuliers de la Propos, ci-dessus (204) » par Braikenridge, dans l'ouvrage intitulé : Exercitatio geometrica de descriptions Hneartitn curvarum'.

lia PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

précède (204): les art. 188 et 191 offrent une autre solution de ce même

problème.

Enfin la propriété de l'hexagone inscrit s'appliquerait encore , suivant k remarque de M. Carnot (Géométrie de position , pag. 455 et 456), au cas ou Ton supposerait que deux ou trois côtés , non contigus, devinssent à k fois infiniment petits ou tangens à k courbe ; ce qui ferait retomber sur quelques-unes des propriétés et des constructions exposées ci-dessus , rekûvement au quadrilatère et au triangle inscrits aux sections coniques , et conduirait , de suite , à toutes celles de la théorie des pôles et polaires.

208. Revenons à l'hexagone inscrit ABCDEF (Fig.33), et supposons qu'on circonscrive à k courbe le nouvel hexagone abcdef dont les points de contact sont les sommets du premier; d'après la .construction, les sommets opposés a et d de l'hexagone circonscrit ont , pour polaires , deux côtés opposes AF et CD de l'hexagone inscrit; donc k diagonale ad est k polaire du point d'intersection I de ces côtés (196); donc elle renferme le pôle P de la droite ILK qui appartient aux points de concours des côtés-opposés de l'hexagone inscrit , et par conséquent le point P est, à k fois, le croisement des iras diagonales qui joignent les sommets opposés de l'hexagone circonscrit. C'est, au reste , ce qu'on aurait pu démontrer , d'une manière directe , sur la projection circulaire de la courbe (201); car, puisque les côtés opposés AF et CD de l'hexagone inscrit sont parallèles dans cette projection , les sommets a et d de l'hexagone circonscrit appartiennent à un diamètre du cercle , et , comme la même chose arrive pour deux autres sommets opposés quelconques, les diagonales qui joignent , deux à deux , ces sommets passent toutes par le centre P du cercle. Donc enfin,

Dans tout hexagone circonscrit à une section conique , les diagonales qui joignent , deux à deux, les sommets respectivement opposés se croisent toutes trois en un même point.

209. Ce principe, non moins élégant et non moins fécond que celui de Pascal , et qui subsiste également quelle que soit k position respective des côtés de l'hexagone autour de la courbe , appartient à M. Brianchon , qui l'a démontré dans le i3c. cahier du Journal de V Ecole Polytechnique : voici les principales conséquences qu'il en a déduites , tant dans l'endroit cité , qu'à k page 387 du 2e. volume -de k Correspondance sur k même Ecole.

Supposons qu'on ait cinq tangentes quelconques d'une section conique , la figure 33 ou 36 indique un moyen très-simple d'en déterminer à volonté , et

SECTION II. CHAPITRE II. n3

avec la règle seulement , une sixième et successivement autant d'autres qu'on voudra. Tout consiste évidemment à faire un hexagone quelconque abcdef dont la direction des cinq premiers côtés soit celle des tangentes données , et dont les trois diagonales des sommets opposés se croisent en un même point P, car le dernier côté sera la tangente demandée.

On peut d'ailleurs remarquer que la courbe ainsi construite est nécessairement unique , et la raison en est (20 3) que la proposition de Fart. 208 s'applique à la fois à' tous les hexagones distincts formés par six lignes droites tangentes à une même section conique. Donc

Il ri existe qu'une seule section conique qui soit tangente à cinq lignes droites données, à volonté, sur un plan.

aïo. On déduit encore , de ce qui précède, ce théorème ;

Si les sommets dun triangle aPf sont assujettis à parcourir respecti- . cernent trois droites fixes be, bg, eg, tandis que les deux premiers côtés aP , Pf , ou leurs prolongemens , pivotent autour de deux points invarriables ce/d, comme pôles , le troisième côté af roulera , dans toutes ses positions, autour dune même section conique.

aiatLa courbe ainsi construite touche évidemment les droites connues bg, eg, cd, bc, de, et se réduit à un point, quand trois de ces droites, ou tangentes, concourent elles-mêmes en -un seul point, ce qui présente les deux cas suivans :

i°. Lorsque les trois droites fixes , ou directrices , se croisent toutes en un même point.

2°. Lorsque la droite cd, qui Joint les deux points fixes, ou pôles, passe par le point de concours des deux directrices bg et eg qui comprennent tous les derniers côtés af du triangle mobile.

Ces propositions sont les réciproques de celles de l'art. 2o5 , et par conséquent des corollaires des théorèmes 168 et 170.

212. Supposons- encore que, dans l'hexagone circonscrit abcdef (Fig. 36 et 33), deux des côtés af elfe, ou leurs points de contact E, F, viennent à se réunir en un seul E (Fig. 37) , le sommet y coïncidera aussi avec E , et la figure se réduira au pentagone circonscrit abc de. Donc

Dans un pentagone quelconque abcde circonscrit à une conique , deux diagonales ad et be, qui ne partent pas d un même angle, se croisent en un point P , situé sur la droite qui joint le cinquième angle c avec le point de contact E du côté opposé ae.

! i4 PROPRIÉTÉS PROJECTÏVES.: .

2 13. Ainsi , quand on a cinq tangentes d'une section conique , du un pentagone circonscrit à la courbe, non-seukifcent on peut trouver directement, et en ne faisant usage que de la règle, une infinité de nouvelles tftngentes de la courbe, mais on peut aussi déterminer linéairement le point de cctntact de chacune d'elles et des premières. Les mêmes constructions peuvent: aussi servir à tracer la courbe, quand on a seulement quatre tangentes quelconques de cette courbe et le point de contact de l'une d'elles} la figure 37 montre , en effet , comment , ayant les quatre tangentes de , ae , ob\ ho et le point de contact E de œ, on peut en trouver, à volonté, uns cinquième cd, et successivement autant d'autres que l'on voudra (*).' • x

Enfin , on déduirait des conséquences également Remarquables du principe de l'art. 28, en supposant que de nouveaux cotés, ûûn cojgûgus aux premiers, vinssent à se confondre en un seul*, ce qui ferait retomber directement sur quelques-unes des propriétés du triangle et du quadrilatère circonscrits déjà exposés précédemment , propriétés qui Se déduisent également du théorème de Pascal, comme on l'a remarqué, art. 307. . v '

214. Nous avons résolu, dans ce qui précède, les cas principaux où la section conique peut se construire linéairement par points ou par l'enveloppe de ses tangentes, quand on se donne un certain nombre de c& ppints et de ces tangentes, ou des conditions équivalentes (189); et il résulte de cette discussion que tous les cas , pour lesquels la courbe est unique , sont comprit, implicitement dans celui où/l'on se donne à la fois soit cinq tangentes r soit cinq points quelconques de la courbe} car (207 et 21 3), au moyen du prît*cipe de continuité , on peut immédiatement passer de ceux-ci aux autres , en supposant que certains points ou certaines droites données se réunissent ou se confondent deux à deux. Pour compléter cet objet, il nous resterait à examiner les autres cas de la question qui nous occupe, pour lesquels la construction de la courbe cesse d'être linéaire, ou d'appartenir à la Géo-^métrie de la règle; mais cette discussion exigerait des considérations nouvelles qui ne seraient pas ici à leur place, et pour lesquelles nous renverrons au chapitre premier de la IIIe. section.

21 5. On peut, au surplus, se proposer d'opérer directen-:nt au moyen du calcul , ce qui devient souvent indispensable dans certaines circonstances particulières; or les principes dès art. 148, 177 et t86, joints aux diverses

(*) Les art. 188 et 191 offrent une autre manière de résoudre ce même problème.

SECTION H. CHAPITRE IL n5

remarques répandues dans la présente section , notamment celles de l'art. 182, .pourraient très-bien servir pour cet objet , ainsi que Ta déjà fait voir M. Brianchon, dans son Mémoire sur les lignes du second ordre; mais il ne sera pas inutile d'y ajouter les principes suivans , qui peuvent être considérés comme de nouvelles conséquences des propriétés des hexagones inscrit et circonscrit, et offrent l'avantage de conduire à des procédés très-simples pour le .tracé des sections coniques par points 7 ou par l'enveloppe des tangentes, lorsqu'il s'agit d'opérer sur le terrain.

Soit ABCD (Fig. ai , ai bis et ai tiercé) un quadrilatère circonscrit à une conique ; LN et MP deux autres tangentes quelconques de la courbe , dont la première rencontre les côtés opposés AB et CD du quadrilatère en L et N respectivement , et la seconde , les deux autres cotés opposés en M et P } la figure APMGNLÀ sera un hexagone circonscrit à la section conique , et par conséquent les trois diagonales NP, ÀC 1 LM iront concourir (a 08) en un même point I, qui est aussi un point de Tune des diagonales du quadrilatère ABCD. Or il résulte de là (166) que Ton a7 entre les segmens formés par les tangentes MP, LN sur les côtés dé ce quadrilatère , la relation