DP BF BL DN AP#CF~AL#CN

cette relation pourra servir à construire , soit le point de contact P, quand les cinq tangentes seront données , soit une tangente quelconque de la courbe , quand on en connaîtra quatre autres et le point de contact de l'une d'elles.

On voit ce qu'il y aurait à faire si de nouveaux côtés de l'hexagone cidessus venaient à se confondre en un seul ? en demeurant tangens à la courbe.

221. Les relations générales des art. 2i5 et 217 s'étendraient même au cas où la section conique que l'on considère se réduirait au système de deux droites ou d'un point, ce qui arrivera évidemment toutes les fois que trois des points de la courbe se trouveront placés en ligne droite, ou que trois de ces tangentes passeront par un même point } la fig. 20 7 où les droites LN et PM passent par les points respectifs F, E , fournit à la fois l'exemple des deux

nS PROPRIÉTÉS PROJECTTVES.

cas , et Ton retombe ainsi sur les propriétés particulières exposées directement

aux articles i56 et i65.

Enfin il résulte encore du principe de continuité que ces mêmes relations, et toutes celles que nous avons établies dans ce qui précède , subsistent , avec des modifications convenables, quand on vient à supposer qu'au lieu de se] confondre deux à deux , certains points ou certaines droites s'éloi-*» gnent à l'infini sur le plan de la figure 5 or de là découle une série de propriétés extrêmement intéressantes sur les coniques à branches infinies, dont nous nous contenterons de donner quelques exemples , en renvoyant , pour plusieurs autres., au mémoire souvent citç de M. Brianchon, et à celui de M. Coste , sur la parabole , qui se trouve inséré au VIIIe. volume des Annales de Mathématiques , notre objet n'étant ici que de nous occuper des rapports les plus généraux des figures.

222. Supposons, en premier lieu, que, dans le théorème de Fait. 2i5j la* courbe que Ton considère soit une parabole, il existera (i3s) une position de la tangente LN ou cette droite sera tout entière à Finfini , et pour laquelle par conséquent les segmens correspondais seront infinis et égaux}

donc (216) le produit constant Trppïj sera l'unité} c'est-à-dire que, pour

la parabole, on a

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quels que soient le quadrilatère ABCD et les tangentes LN et MP j ou , en d'autres termes,

Dans tout quadrilatère circonscrit à une parabole , les côtés opposés sont divisés en segmens proportionnels par une cinquième tangente quelconque.

Théorème dû, je crois, à Hallejr (*), et qui donne un moyen fort simple de tracer la parabole par ses tangentes, lorsque quatre quelconques d'entre elles sont données 5 tout consiste, en effet, à diviser en un même nombre quelconque de parties égales les côtés opposés du quadrilatère formé par ces tangentes, en prolongeant la division de part et d'autre de leurs extrémités 5 joignant ensuite, par des droites, les points de divisions qui se

(*) Appoîionii Pergœi de sectione, etc. > Oxonii (1706); De sectione rationis, lib. 1 f pag. 64,

correspondent sur ces côtés 7 on aura autant de tangentes de la courbe cherchée.

ABCD étant toujours un quadrilatère circonscrit à la parabole , soit P le point de contact du côté AD, on aura de même (220) 1