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relation au moyen de laquelle on obtiendra très -facilement le point de contact sur chaque tangente.

On arriverait à des relations analogues pour l'hyperbole , à Paide des articles 217 1 218 et 219.

223. Pour donner d'autres exemples 1 supposons que, dans la figure 28 relative à l'art. 186, le côté ad du quadrilatère abcd1 circonscrit à la section conique , passe à l'infini , et que la courbe soit par conséquent une parabole $ les droites bd et c d , ba et ca , cb et ml deviendront respectivement parallèles , tandis que celles AB , CA et DA seront des diamètres de la courbe ; toutes les autres relations graphiques , énoncées à Fardcle cité , restant d'ailleurs les mêmes, il en résultera autant de propriétés de la parabole 1 qu'il sera facile de reconnaître à priori : ainsi , par exemple ,

Que , (Tun point quelconque P de la corde de contact BD d'un angle BmD circonscrit à une parabole 1 on mène deux parallèles Va et Vd aux côtés de cet angle , elles iront rencontrer , de nouveau 7 ces côtés en deux points c et h, qui appartiendront à une troisième tangente bc de la courbe.

C'est la Prop. 2 1 du livre III du grand Traité des sections coniques de De Lahire.

224* Les segmens qui correspondent aux points a, d, / devenant tous infinis , on déduit pareillement (28), des relations posées, art. 186, les relations nouvelles

bB.cD = bm.cm, ^

PDa &B bm

PBa cD cm^

dont la première exprime que,

Dans tout angle BmD , circonscrit à la parabole ^ les côtés sont dt-

lao PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

visés en segmens inversement proportionnels par une troisième tangente

quelconque bc de la courbe.

Cette proposition, qui revient à la 4*-*» du liv. III des Coniques ïïAppollonius , peut également être considérée comme un corollaire de celle exposée ci-dessus (222) sur le quadrilatère circonscrit à la parabole. On s'en sert or^dinairement pour le tracé des raccordemens de routes , etc. (*).

225. On voit encore que la tangente bc , parallèle à la polaire ML du point P, divise en deux parties égales la distance comprise entre cette droite et ce point , car la figure bmcP est un parallélogramme : ainsi

Dans la parabole , la droite qui divise en deux parties égales toutes les distances comprises entre un point quelconque et sa polaire est une tangente de la courbe.

Pour découvrir ce que devient cette droite dans le cas de l'hyperbole 1 supposons que, dans la figure 28 relative à une section conique quelconque , la droite AD soit placée à l'infini ; la courbe sera ainsi une hyperbole 7 ad et cd seront ses asymptotes auxquelles seront parallèles les droites CPÀ et BPD qui aboutissent aux extrémités de la corde BC concourant elle-même à l'infini avec la polaire ML du point P; mais la figure BMCP sera évidemment un parallélogramme 3 donc la diagonale BC ? parallèle à ML , divisera aussi en deux parties égales la distance MP comprise entre le point P et sa polaire ML : c'est-à-dire que

Dans Vhjrperbole , la droite 7 qui divise en deux parties égales toutes les distances comprises entre le pôle et la polaire, rencontre la courbe en deux points tels qui! en les joignant par de nouvelles droites avec le pôle , ces droites sont toujours parallèles aux asymptotes.

226. Il est évident que , pour l'ellipse et le cercle ? la droite en question cesse de rencontrer la courbe 1 ce qui indique que les asymptotes sont ima-

(*) Sgànzin: Cours de construction. Prony: Xe. cahier du Journal Polytechnique, etc.

Depuis la rédaction de cet ouvrage > il a paru , sur les courbes de raccordement, un mémoire fort intéressant^ de M. Brian chon, qui fera partie du XIX*. cahier du Journal de r Ecole Polytechnique , actuellement sous presse. Il nous serait aisé de faire voir comment les différentes pratiques qui y sont indiquées et celle de Part. 222 , relatives au tracé de la parabole, peuvent s'étendre (i32) aux sections coniques en général, en substituant 9 à l'échelle ordinaire des divisions égales , l'échelle fuyante ou harmonique (27) : on arriverait d'ailleurs directement aux mêmes résultats , à l'aide des propriétés générales établies dans ce qui précède.

ginaires. On voît bailleurs ce que deviendraient les antres propriétés de Part. 186, pour le cas de l'hyperbole.

A cause de ces diverses propriétés de la droite qui vient de nous occuper , on pourrait la nommer F indicatrice de la section conique correspondante»

Ainsi, tandis que la polaire est le lieu des points du plan d'une section conique dont les distances au pôle sont moyennes harmoniques (22) entre les segmens formés sur les cordes correspondantes de la courbe par ce pôle , l'indicatrice est , de son côté , le lieu des points dont les distances au pôle sont les moyennes géométriques (3 1) entre les segmens forma , sur ces mêmes cordes , par les points dont il s'agit.

Mais c'est assez nous arrêter sur ces circonstances particulières , qu'au moyen de la loi de continuité il sera toujours facile de reconnaître et de discuter ; et je reviens maintenant aux propriétés générales de situation des lignes droites et des sections coniques, sur lesquelles il me reste encore quelque chose à dire, pour compléter l'objet de ce chapitre.

227. Il résulte directement de la théorie des pôles exposée ci-dessus, et en particulier de la proposition de Part. 196, que,

Si deux hexagones, situés sur le plan dune section conique , sont tels que les sommets de Yun soient respectivement les pôles des côtés de r autre , réciproquement les sommets de celui-ci seront les pôles des côtés du premier.

228. D'après cela , il est évident que deux côtés opposés quelconques de Pun d'entre eux auront pour pôles deux sommets opposés de l'autre , et vice versé ; donc le point de concours de ces côtés sera précisément (196) le pôle de la diagonale qui joint les sommets opposés dont il s'agit , et partant ,

Si les trois points de concours des côtés opposés de Vun des hexagones ci-dessus sont situés en ligne droite, les diagonales qui joignent les sommets opposés de Vautre et qui sont les polaires de ces trois points concourront en un même point , pôle de Ut droite dont il s'agit , et réciproquement.

En combinant cette remarque avec les propriétés (201, 208) des hexagones inscrits et circonscrits aux sections coniques , on en conclut , de suite , que ,

Si Vun quelconque des hexagones ci-dessus est inscriptible à une section conique , Vautre sera , par là même , circonscriptible à une telle courbe, et réciproquement.

229. Ces théorèmes , qui ont été donnés , par M. Brianchon , à la pag. 379

im PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

du tom. IV des Annales de Mathématiques , sont susceptibles d'une extension beaucoup plus grande } on peut, en effet, observer que le principe de Part. 337 s'applique immédiatement à deux polygones d'un nombre quelconque de côtés} polygones que, pour-cette raison, il convient d'appeler polaires réciproques par rapport à la section conique qui sert de directrice ou d? auxiliaire.

Deux: semblables polygones étant d'ailleurs tels (228) , que les points de concours des cotés de lun sont les pôles respectifs des diagonales qui appartiennent aux sommets correspondais de-Fautre, et vice versa; on voit que les droites , qui renfermeraient , deux à deux , trois à trois , etc. , ces points de concours, auraient encore pour pôles les points de rencontre des diagonales qui leur correspondent respectivement dans l'autre polygone. :- a3o. 11 résulte en outre , des art. ao3, 209 et de ce qui a été dit pour le cas de l'hexagone (228), que , si , ayant deux sections coniques quelconques sur un plan , on prend à volonté , sur Tune d'elles , cinq points ou cinq tangentes quelconques, leurs polaires ou leurs pôles, par rapport à l'autre, détermineront une troisième section conique, à laquelle appartiendra la polaire: ou le pôle , soit d'un sixième point , soit d'une sixième tangente pris à volonté sur la première section conique : or de là on conclut en général que ,

Si un polygone quelconque , placé sur le plan d'une section conique , est inscriptible à une autre section conique , son polaire réciproque sera , par là même , circonscriptible à une telle courbe , et vice versa.

a3 1 • Donc aussi on a ces théorèmçs :

*Sï un point ou pôle , pris sur le plan d'une section conique quelconque , se meut sur une autre section conique , sa polaire en enveloppera une troisième dans son mouvement.

Et réciproquement,

Si une droite ou polaire , située dans le plan d'une section conique , se meut en touchant continuellement une autre section conique , son pôle parcourra successivement tous les points dune troisième section conique.

En remplaçant , dans ces énoncés , les noms de pôle et polaire par ceux de sommet d? angle circonscrit et de corde de contact , qui leur sont équivalent (49) ^ on retombe directement sur la propriété démontrée , par M. Brianchon , à la pag. 1 4 du Xe. cabier du Journal de l'Ecole Polytechnique (*)*

(*) On doit au même géomètre d'avoir étendu cette propriété des sections coniques , ou plutôt sa réciproque , aux surfaces du fécond ordre en général : voyez le mémoire qu'il * fait insérer au XIII'*. cahier du Journal de V Ecole Polytechnique.

SECTION IL CHAPITRE IL iàî

2 3a. Nous avons donné ailleurs (*), de ces mêmes théorèmes , une démonstration beaucoup plus générale que celle qui précède , et qui s'étend au cas où Ton remplacerait la section conique donnée , que décrit le pôle ou qu'en- * veloppe la polaire dans son mouvement, par une courbe d'un ordre quelconque. Voici, pour y arrive* , la première des propositions à établir :

SU deux courbes quelconques , situées sur le plan d'une section conique donnée ^ sont telles que les points de Vune soient respectivement* les pôles des tangentes de F autre ; réciproquement les points de celle-ci seront les pôles des tangentes de la première ; de sorte que chacune (Telles pourra être considérée , à la fois , comme V enveloppe des polaires des points de Vautre , ou comme le lieu des pôles des tangentes de cette autre* En effet , les deux courbes dont il s'agit peuvent être considérées comme la limite de deux polygones inscrits ou circonscrits 1 d'un nombre infini de côtés infiniment petits , qui se trouvent dans la situation de ceux de Part. 229 par rapport à la section conique auxiliaire ? et pour les élémens desquels , par conséquent , le théorème est évidemment vrai. D'après cela, on peut donc dire que les deux courbes sont polaires réciproques l'une de l'autre , de même que les polygones dont elles sont les limites.

233 • On arriverait d'ailleurs directement aux mêmes conséquences , au moyen de la théorie des pôles et de la loi de continuité , en observant que , si un certain point se déplace infiniment peu sur la première courbe , sa polaire qui , par hypothèse , est une tangente de l'autre., tendra à tourner autour du point de contact de cette tangente, lequel est évidemment (196), à son tour, le pôle de l'élément ou de la tangente qiu correspond au point que l'on- considère sur la première : c'est-à-dire que ?

Si, en un point quelconque de Vune des deux courbes , on mène une tangente à cette courbe , la polaire de ce point touchera Vautre courbe en un point qui sera réciproquement le pôle de cette tangente.

Ces systèmes de points et de tangentes peuvent s'appeler polaires réciproques , comme les courbes mêmes dont ils' font partie $ et cette définition doit s'étendre à des figurés quelconques qui auraient entre elles la même corrélation par rapport à la section conique auxiliaire (**).

(*) Tome VIII des Annales de Mathématiques, pag. aoi et suivantes. (**) D'après la note de Part. 196, on pourrait dire aussi que ces figures sont réciproquement conjuguées harmoniques, relativement à la section conique auxiliaire.

i*4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

234. Pour en venir maintenant à notre objet, supposons qu'on trace une droite arbitraire dans le plan de la polaire réciproque d'une courbe donnée ; cette droite la rencontrera , en général , en autant de points qu'il est marqué par son degré. Or, d'après ce qui précède, chacun de ces points est le pôle d'une certaine tangente à la courbe donnée , et , par la théorie des pôles (196) , cette tangente passe nécessairement par le pôle de la droite arbitraire } donc cette dernière rencontrera la polaire réciproque dont il s'agit en autant de points qu'on pourra , par son pôle , mener de tangentes à la courbe donnée : c'est-à-dire que

Le degré de la polaire réciproque d'une courbe donnée est, au plus, égal au nombre qui exprime combien, d'un point arbitraire, on peut mener de tangentes à cette dernière courbe.

Ainsi , dans le cas particulier où la courbe donnée est une section conique , sa polaire est elle-même une ligne du second ordre , comme il s'agissait de le démontrer directement , et sans rien emprunter aux propriétés des hexagones inscrits et circonscrits aux sections coniques.

Il existe d'ailleurs entre la courbe donnée et sa polaire réciproque , en général , des dépendances extrêmement remarquables , et qu'il est facile de reconnaître au moyen de ce qui précède ; ainsi , par exemple :

« Les points de rebroussement de l'une ont pour réciproques les points » d'inflexion de l'autre , et vice versa ; les points multiples de l'une sont les » pôles des tangentes communes à la fois à plusieurs brandies de sa réci- » proque , et précisément à un nombre de branches marqué par l'ordre de » multiplicité des points dont il s'agit , etc. (*)• »

235. Nous pourrons faire usage de la théorie des polaires réciproques par la suite ; pour le moment , nous nous contenterons de remarquer , en général, que les -considérations qui précèdent peuvent s'étendre à des figures quelconques , composées de points , de droites et de courbes quelconques tracées sur le plan d'une section conique ; ce qui donne lieu à une foule de conséquences et de rapprochemens très-curieux concernant la réciprocité et

• l'analogie qui existent entre certaines figures et certaines propriétés. Ainsi l'on voit , par exemple , qu'à chaque propriété des polygones inscrits aux sections coniques , doit correspondre une certaine propriété des polygones circonscrits de même espèce, et vice versa; on peut même dire, en général, qu'il

(*) Voyez, pour plus de développemens , l'article des Annales de Mathématiques déjà cité ci-dessus (a3a, note).

SECTION n. CHAPITRE II. i*5

n'existe aucune relation descriptive d'une figure donnée sur un plan, qui n'ait sa réciproque dans une autre figure \ car tout consiste à examiner ce qui se passe dans sa polaire réciproque par rapport à une section conique quelconque prise pour directrice : si , par exemple , Ton soumet à cette épreuve les figures relatives aux théorèmes des art. 170 et 201 1 on retombera évidemment sur les propriétés des art. 169 et 208 , qui, sous ce point de vue , peuvent être envisagées comme les réciproques des premières.

Au reste 1 la théorie des polaires réciproques , qui n'est , comme on l'a vu , qu'une extension fort simple de celle des pôles, s'étendrait sans peine aux figures dans l'espace , en remplaçant la section conique auxiliaire par une surface du second ordre quelconque (*) 5 mais il n'entre point dans l'objet de ce chapitre de nous arrêter longuement *à ces diverses recherches , quelqu'intérêt qu'elles puissent d'ailleurs présenter.

Nous terminerons ici l'exposition des principales propriétés de la Géométrie de la règle et de la théorie des transversales , en remarquant qu'il n'est aucun des principes établis qui ne puisse servir à résoudre , soit à l'aide de jalonnemens., soit à l'aide de chaînages plus ou moins multipliés 7 quelques-uns des problèmes qu'on se propose d'ordinaire sur le terrain , lorsqu'il s'agit de tracer des alignerons à travers des obstacles qui bornent la vue , ou de mesurer des distances inaccessibles , ou enfin de décrire des sections coniques et d'opérer directement sur elles , comme cela est nécessaire , par exemple , dans le tracé des raccordemens de routes 7 ou de canaux , etc. Nous regrettons de ne pouvoir entrer dans plus de détails sur ce* sujet intéressant qui , au reste 1 a déjà été traité , d'une manière spéciale , par M. Servois, dans ses Solutions peu connues de differens problèmes de Géométrie pratique, et par M. Brianchon dans son Application de la Théorie des transversales , et dans son Mémoire sur les courbes de raccordement (22^ 7 note). Nous avons voulu seulement établir les divers principes de solution, en les réunissant tous sous un même point de vue , ce qui n'avait point encore été fait , jusqu'ici , d'une manière complète. Nous reviendrons , au surplus , sur cet objet par la suite 7 ainsi que sur quelques autres propriétés projectives connues , à mesure qu'il se présentera des occasions favorables de le faire } pour le moment 3 il convient que nous reprenions la théorie des sécantes réelles ou idéales communes au système de deux ou de plusieurs cercles ? et que nous lui donnions toute la généralité dont elle peut être susceptible.

(*) Voyex le supplément à la fin de l'ouvrage, art. 59a.

ia6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.