CHAPITRE III

Du centre de similitude en général, et de celui de deux cercles en particulier. — Des cercles qui se coupent ou se touchent sur un plan. — Des sections coniques semblables et semblablement placées, en général.

s36. IN ous avons déjà exposé , à la fin du second chapitre de la première section, quelques-unes des propriétés dont jouit le système de deux ou de plusieurs circonférences de cercle tracées sur un plan, en les considérant comme des applications faciles des principes posés dans ce chapitre ; mais il en existe un grand nombre d'autres, non moins dignes de remarque, et qui n'étaient guères susceptibles d'être traitées de la même manière, au moins avec quelqu'élégance , tandis qu'elles sont au contraire des conséquences , on ne peut plus simples , des principes de la projection centrale ; c'est pourquoi nous avons cru devoir les rejeter dans la partie des applications , quoiqu'elles appartiennent réellement à des théories purement élémentaires. On peut d'ailleurs regarder leur exposition comme une introduction nécessaire aux propriétés analogues des sections coniques en général; et, quoiqu'à Faide des principes de la projection centrale il soit possible de traiter les unes et les autres simultanément , nous avons préféré les séparer constamment dans nos recherches , afin d'être plus clairs et de ne point partager inutilement Fattehtion$ nous montrerons au surplus, à la fin de ce chapitre, comment Fon peut étendre immédiatement ces mêmes propriétés aux sections coniques s. et s. p. {semblables et semblablement placées) sur un plan.

237. Considérons donc le système de deux circonférences de cercle (C) et (C1) , Fig. 38 , situées sur un même plan } l'on sait qu'il existe toujours , sût la ligne CC de leurs centres , deux points S et S', par lesquels passent respectivement les faisceaux de droites qui joignent les extrémités de deux rayons parallèles quelconques , selon que ces rayons sont dirigés dans le même sens , ou en sens contraire, par rapport aux centres C et C. Ces points, qui divisent ainsi en segmcns proportionnels , ou harmoniquement , la distance CC des centres , sont en même temps ceux où concourent respectivement , soit les

tangentes extérieures, soit les tangentes intérieures 7 communes aux deux cercles 7 quand ces tangentes sont réelles et possibles. Afin de distinguer ces points entre eux et de tout autre point du plan des deux cercles correspondais, les géomètres ont 7 depuis quelque temps 7 donné le nom de centre de similitude directe au point S où concourent les droites qui joignent les extrémités des rayons parallèles dirigés dans le même sens 7 et celui de centre de similitude opposée au point S' où concourent 7 au contraire 7 les droites qui joignent les extrémités des rayons parallèles dirigés en sens inverse.

a38. Nous ferons 7 sur ces définitions 7 des observations analogues à celles que nous avons déjà présentées (53 et 77) sur les grandeurs graphiques en général et sur les axes radicaux des cercles en particulier 5 quoiqu'elles soient aussi simples que naturelles 7 à cause que deux cercles quelconques 7 tracés sur un plan 7 sont nécessairement s. et s. p. à l'égard de chacun des deux points dont il s'agit, et qu'elles offrent l'avantage d'être absolument indépendantes de l'existence propre des tangentes commîmes ; toutefois elles ont l'inconvénient de ne pouvoir s'appliquer directement 7 et avec exactitude 7 au système de deux sections coniques ou de deux courbes en général 7 lesquelles peuvent cependant avoir 7 dans certaines situations 7 des points jouissant des mêmes propriétés que ceux où concourent 7 dans d'autres 7 les tangentes communes 7 bien que ces* tangentes elles-mêmes soient devenues tout-à-fait impossibles ou imaginaires.

Bien plus 7 ces définitions ne sauraient nullement convenir aux divers points de concours des tangentes intérieures et extérieures communes 7 qui peuvent appartenir au système de deux cercles tracés sur un plan ; lesquels 7 comme nous le verrons bientôt (259) 7 jouissent cependant de certaines propriétés semblables à celles des centres de similitude 7 et qui sont propres à définir et à déterminer les uns et les autres de ces points d'une manière complète et simultanée. Or 7 l'un des objets principaux de ces recherches étant de montrer comment on peut généraliser et étendre immédiatement 7 au moyen du principe de continuité 7 la conception géométrique des figures 7 nous ne croyons pas devoir abandonner entièrement la définition primitive 7 et jusque là généralement admise 7 de points de concours dès tangentes communes 7 laquelle a Pavantage d'être 7 en quelque sorte 7 intuitive 7 et de présenter un caractère purement graphique ou descriptif de l'objet : seulement 7 pour éviter l'espèce de contradiction qui peut avoir lieu7 dans certains cas7 entre les termes et les objets qu'ils, servent à désigner, on peut y si toutefois on le juge

ia8 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

absolument indispensable , employer à l'ordinaire les adjectifs réel et idéal 1 qui ne portent que sur la manière d'être de l'objet défini à l'égard de ceux qu'on rappelle ou dont il dépend , et non sur son existence propre qui est censée demeurer absolue et réelle. D'après cela, nous appellerons indistinctement , selon les vues particulières de l'esprit , les points S et S' , centres de similitude , points de concours des tangentes communes , relativement au système des cercles (C) et (G) auxquels ils se rapportent.

On pourrait , au surplus , justifier , à priori , ces dernières définitions , pour le cas où les tangentes sont imaginaires , de la même manière qu'on l'a fait pour les sécantes idéales communes à deux cercles (69)5 il suffirait, pour cela , de considérer les hyperboles supplémentaires relatives à ces sécantes ; car elles auraient évidemment les mêmes centres de similitude, et ces centres appartiendraient à des tangentes réellement communes aux hyperboles.

239. L'existence du centre de similitude n'est point particulière au cas de deux cercles tracés sur un plan, elle a lieu pour deux figures quelconques, s. et s. p. (4a , note) , soit sur un plan , soit , en général , dans l'espace. Le centre de similitude n'est autre chose , dans ces divers cas , que le point vers lequel convergent toutes les droites ou rayons de similitude qui joignent , deux à deux, les points homologues de l'une et l'autre figure, et qui divise toutes ces droites , ou leurs prolongerons , en deux segmens proportionnels (*) : c'est d'ailleurs un centre de similitude directe ou opposée , selon que les deux segmens en question sont dirigés dans le même sens ou en sens contraire par rapport à ce point.

z^o. Deux figures s. et s. p. n'ont évidemment , en général , qu'un centre de similitude , soit directe , soit opposée ] mais , quand elles ont , comme le cercle ,

(*) Il est évident réciproquement que, lorsque deux figures quelconques ont un tel point, ces figures sont nécessairement s. et s. p. ; et qu'il en est de même du cas où , ayant leurs lignes homologues parallèles, elles ont, en outre, un point de concours unique des droites joignant les points homologues ; c'est-à-dire un centre de projection (9). Toutes cet notions sont tellement simples , et dérivent si immédiatement des premiers principes de In Géométrie, qu'on pourrait, en quelque sorte, les considérer comme des axiomes , ainsi qua le propose lui-même l'auteur de la Géométrie de position , (pag. 481, note.) La dernière, sur-tout, mérite d'être remarquée, en ce qu'elle ne repose uniquement que sur l'idée de direction indéfinie des lignes, idée fondamentale et qui n'a rien de commun avec celle de leur grandeur, malgré ce qui en a été dit, à l'endroit cité, par M. Carnot. Nous donnerons , dans la section suivante, quelques éclaircisçemens sur cet objet.

SECTION D. CHAPITRE TOL i±9

la sphère, les lignes et les surfaces du second ordre, un centre de figure ou de symétrie;, elles ont nécessairement aussi deux centres de similitude, soit directe, soit inverse} il est, au reste, bien évident que, dans tous les cas, quand Pune des figures est. plane, celle qui lui correspond Pest aussi. Enfin, Hdée de similitude de grandeur et de position de deux figures quelconques, tracées ou non dans un même plan, emportant avec die celle de la proportionnalité et du parallélisme des droites homologues (i4* j note) , les notions ijui précèdent et celles qui suivent en découlent comme corollaires trèssimples.

a4t* Considérons deux figures quelconques s* et s. p. $ il est clair que les droites et les plans qui appartiennent à des points homologues sont eux-mêmes homologues et parallèles , ou concourent à Finfini , comme aussi les points et les droites qui sont Pintersection mutuelle de droites ou de plan homologues, sont eux-mêmes homologues; d'ailleurs les points homologues quelconques sont sur des droites dirigées vers le centre de similitude, et il en est de même des plans qui renferment les droites homologues, quand la figure est dans Pespace} donc on peut conclure immédiatement que,

i°. c Si un certain point de Pune des figures se meut sur une droite, une courbe ou une surface quelconque, son homologue, dans Pautre, décrira aussi une droite , une courbe ou une surface homologue à la première , c'està-dire une ligne ou surface semblable de grandeur ;et de position, et par conséquent du même ordre ou degré. »

a0. « Si une certaine ligne ou surface de Pune des figures est assujettie , soit à pivoter sur un point fixe, soit à rouler autour d'une autre ligne ou d'une autre surface quelconque , son homologue pivotera aussi sur le point homologue au premier , ou roulera autour d'une courbe ou surface homologue à la première, c'est-à-dire semblable de grandeur et de position, et par conséquent du même ordre. »

3°. « Les lignes et les surfaces homologues des deux figures ont nécessairement leurs branches et leurs nappes infimes parallèles ou asymptotiques (io3 et io4) ; c'est-à-dire qu'il n'existe aucun point ou aucune ligne à l'infini de Pune des deux figures qui n'appartienne en même temps à Pautre. »

4°* * Les lignes et surfaces de Pune des figures s'entrecoupent en des points et des lignes qui ont pour homologues ceux ou celles qui appartiennent aux lignes et surfaces homologues de Pautre figure , etc. »

En général , on voit qjje toutes les constructions , ou opérations quelconques,

!3o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

que l'on pourra effectuer sur Ftme des figures , se répéteront , de la même manière , sur l'autre , et produiront de nouvelles figures s. et s. p» , soit entre elles , soit à l'égard des premières. Il est d'ailleurs évident que le centre de similitude sera un point de concours , réel ou idéal 7 des tangentes communes, pour chaque couple de lignes homologues qui se trouvent décrites dans un seul plan , et un sommet de surface conique enveloppante , pour chaque couple de surfaces ou de lignes homologues situées dans l'espace.

242V Revenons maintenant au cas particulier de deux cercles (C)et(C), Fig. 38, tracés sur un même plan ; ce que nous pourrons dire , des deux centres de similitude S et S' qui leur appartiennent , s'appliquera immédiatement à] ceux de deux sections coniques quelconques s. et s. p. sur un plan $ or il est essen* tiel de remarquer qu'à chaque point À, pria à volonté sur l'un des cercles^ et pour un même centre de similitude S , correspondent en général , sur l'antre, deux points A' et E* placés sur la droite qui joint le premier an centre de similitude; mais il ny en a évidemment qu'un seul A' qui soit homologue |ttr sim&tude avec À ; c'est celui dont l'arc a sa courbure dirigée dans le même sens, par rapport an centre de similitude S, que Par c qtri appartient «u point A" : pour le distinguer du point Ef , nous dirons qu'il estVhomologiie direct du point A, et que le point E' est ïhomologue inverse du même

pOBlt.

- *43« Ï&* conséquence de ces définitions , deux arcs,, deux cordes, deux tangentes, etc. , appartenans respectivement à deux cercles , seront directement ou inversement homologues , suivant que leurs extrémités ou points de contact; seront des points de l'une ou àp l'autre espèce; et cette définition de¥r*tf&teâdre en général à des points, des droites, des courbes quelconques qui pourraient provenir des premiers points ou des premières droites. .. • " ■

On voit d'après cela qu'à un point, un arc, une corde , une tangente , etc* donné par rapport à l'un des deux cercles, il ne correspond jamais, sur Pautre, qu'un seul point, un seul arc, une seule corde, etc. , duquel on puisse dire qu'il est son homologua de l'une ou de l'autre espèce , du moins relative^ ment au même centre de similitude.

a44< Kous avons exposé, dans ce qui précède, les nombreuses propriétés dont jouissent les points, droites, etc. homologues directs 5 et il en résulte, en particulier, que les lignes droites ou courbes, homologues de cette espèce, sont parallèles ou concourent sur la sécante idéale, à l'infini, commune aux deux cercles (94 et 107); or je dis que toutes ces propriétés ont lieu, d'une

SECTION II. CHAPITRE m. i3i

manière analogue, pour les points, droites, etc. homologues inverses, relativement à l'autre sécante, à distance finie, commune à ces mêmes cercles, c'est-à-dire relativement à leur axe radical.

- Il suffit, pour cela, dé démontrer que le premier de ces systèmes peut être envisagé comme la projection ou perspective de l'autre et réciproquement; et c'est ce qui a Heu en effet, puisque \\m jpeut, en général (119 et im), mettre la figure en projection , sur un nouveau plan, de façon que les cercles proposés y demeurent encore des cercles pour lesquels la sécante commune à l'infini sera devenue la sécante commune à distance finie (127) et vice à>ersdf il est, ep, outre, bien évident qu'a se sera .fiât un pareil échange entre les deux points de concours des tangentes intérieures ou extérieures communes», tqui ainsi seront encore des centres de similitude dans la nouvelle figure , et comme tels, par conséquent, jouiront des propriétés ci-dessus exposées (241)* Mais, dans cette nouvelle figure , les points et lignes homologues directs sont évidemment remplacés par les points et lignes homologues inverses , et pareille chose a lieu, dans la figure primitive , à f égard de ja projection 5 donc leurs systèmes jouissent des mêmes propriétés projectives par rapport aux sécantes communes qui leur correspondent respectivement.

Cette démonstration, il est vrai, ne s'applique en toute rigueur (îai) qu'au cas ou. la sécante à distance finie, commune aux cercles proposés , est idéale^ mais il est facile de la rendre entièrement générale, en supposant que Tom mette la figure en projection, sur un nouveau plan, de façon (ia5) que les deux cercles deviennent des sections coniques quelconques s. et s. p. , pour lesquelles les raisonnemens qui précèdent demeurent rigoureusement applicables, sans restriction» j>

Enfin il est évident, d'après les principes des art. ia5 et 137, que tes •mèmea raisonnemens et les mêmes conséquences sont applicables à des sections coniques quelconques s* et s. p. sûr un plan (24?)? *na*} comme cette remarque subsiste, à quelques restrictions près, pour tout ce qui va être dit touchant lé cas particulier de ht circcwiférenee du* cercle, il devient inutile de la répéter à chaque fois , et nous pouVoos renvoyer à la fin de ce chapitre ce qui est essentiekà dire sur le cas générai* Ainsi dorénavant il ne <sera plus question que der~l» circonfiiretace du cercle* !

«45* D'après te qui précède, deux circonférences de cercle, tracées sot im même plan, peuvent être regardées (1 4) 5 de deux manières différentes, comme la projection ou perspective Tune de l'autre , par rapport à chacun

!3a PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

de leurs centres de similitude pris pour centre de projection , selon que lès points , arcs et lignes que Ton considère sont homologues directs on inverses': dans la première , les lignes homologues sont parallèles et concourent sur la sécante à l'infini commune aux deux cercles ; dans l'autre , les lignes homologues concourent , au contraire, sur la sécante, à distance finie, commune aux mêmes cercles; en sorte que les figures qui résulteraient de là cesseraient d'être (340 semblables de grandeur et de position, et jouiraient simplement des propriétés de la projection plane (1) ou perspective ordinaire.

246. On voit qu'ici le mot de projection a un sens beaucoup plus res* treint que celui que nous lui avons accordé , art. g et 14 ^ puisque les lignes homologues, qui sont la projection les unes des autres, au lieu d'être quelcon^ ques, sont nécessairement, ou parallèles, ou concourantes sur une droite dpnne'e dans le plan de la figure ; droite que , pour cette raison , on pour* rait appeler Y axe de projection ou de concours des deux figures.

Pour en avoir une idée entièrement exacte, on pourrait, dans l'un ou l'autre des cas dont il s'agit , regarder les deux cercles comme représentant 4 de deux manières différentes , deux sections planes d'une surface conique dont le sommet serait le centre de similitude que l'on considère en particulier: dans le premier cas , les sections seraient parallèles ; dans le second , elles concourraient en une droite représentée par la sécante, à distance finie, com-* anune aux deux cercles*

a47« Toutes ces propriétés, sur lesquelles nous nous proposons de revenir d'une manière générale dans la section suivante , pourraient s'établir , au surplus , directement et sans avoir recours aucunement aux considérations . dé l'espace } elles subsisteraient évidemment encore , en tout bu en partie et aveé des modifications convenables, si l'on venait à supposer, en vertu du principe de continuité, que l'un des deux cercles proposés, ou tous deux, de* vinssent infiniment petits, infiniment grands, ou se rapprochassent Pun de l'autre jusqu'à une distance insensible } c'est-à-dire si l'on supposait que -ces cercles se réduisissent, soit séparément, soit ensemble, à des points (76) j des droites (95), ou, se confondissent*

. Dans- ce dernier cas, en admettant que, pousse confondre avec l'autre } l'un des cercles ait glissé, en variant de grandeur, entre les deux tangentes qui lui sont communes avec ce cercle, ou, ce qui revient au même, s'en soit rapproché en conservant le même centre de similitude qu'auparavant ^ la sécante commune , à distance finie , sera devenue évidemment la sécante ou

SECTION H. CHAPITRE HI. r33

corde de contact des' deux tangentes communes et du cercle fixe, c'est-à-dire la polaire du point de concours de ces tangentes ou du centre de similitude ; les lignes et les points , que nous avons appelés homologues directs , se seront confondus deux à deux, tandis que les lignes homologues inverses concourront , comme auparavant , sur la sécante de contact ou polaire dont il s'agit.

348. Ainsi les propriétés du pôle et de la polaire , et par conséquent celles des quadrilatères inscrits et circonscrits (186) ^ ne sont que des conséquences fort simples et des cas particuliers de celles des sécantes communes* fct des points de concours des tangentes' communes ; or il résulte , de ce rapprochement et de ce qui précède, que , relativement à. un point quelconque ou pèle pris pour centre de projection , deux arcs opposés d'un même cercle , ou d'une même section conique (zfo et ^44) 9 peuvent être regardés comme la projection ou perspective l'un de l'autre , dans le sens ci-dessus indique (246)* Quand , en outre, le point que Ton considère se confond avec le centre de la courbe, la projection devient similitude , ou , plus exactement encore, symétrie ; la sécante commune ou axede concours passe à l'infini : c'est par conséquent la polaire du centré dé la courbe (117).

Arrêtons-nous un instant à l'examen de quelques-unes de$ conséquences qui découlent du cas général 0*45) , où Ton envisage deux circonférences de cercle quelconques (C) et (G% Fig. 38 , situées dans un même plan*

^49- n en résulte en premier lieu que , l'un quelconque S des centres de similitude de ces cercles jetant donné , on en peut déduire simultanément , et par une construction très-simple, les. deux sécantes communes qui leur appartiennent. En effet, si, du point S dont il s'agit, on mène deux transversales arbitraires SA, SB rencontrant ces cercles, la première en A et E, A' et E' respectivement, la seconde aux points B et D, V et IV correspond dans aux premiers , puis qu'on trace indéfiniment les cordes qui joignent , deu* à deux, les points qui appartiennent à un même cercle;

i°. Les cordes AB et MV , DE et DU' , etc. , qui sont homologues directes (243)7 seront parallèles et concourront sur la sécante , à F infini, commune aux deux cercles.

a0. Les cordes AB etJVW, DE et A'F, etc. , qui sont homologues inverses (afflî iront, au contraire, concourir sur la sécante commune à distance finie, ou sur Taxe, radical des deux cercles*

*5o. On pourrait ne tracer ou ne se donner qu'une seule transversale SA , et alors, en menant les tangentes aux points A et E, A' et Er qui lui correspondent respectivement sur les deux cercles , il arriverait encore que

134 PRÔPlSÊFÊS projïctives.

ï°. Celles tâ rtA'P, HP et WF, qui sont homologués directes, se» raient parallèles ou iraient concourir sur Ut sécante, à V infini, commun» aux doux cercles.

a°. Celles AP et ET*, EP et A'P^ qità sont homologues inverses , iraient, au contraire, se rencontrer sur la sécante commune ordinaire des deux eercki, ou leur axe radical* ' ' •

35*. Ces dernier relations , jtetfaitenient analbgùes à celles qui ont lieu pour Ie< ^âs ôù féfe cëtcles sont dans Tespace y et ont une sécante commune réelle on idéale (66), conduisent immédiatement à la réciproque suivante :

Si, Sun point quelconque de Vune ou de Vautre sécante commune au fystèmé de deux cerclés quelconques tracés sur un plan, on mènq des tangentes à chaque cercle respectif? qu'on joigne ensuite deux à deux, par des lignes' droites, les points de contact qui appartiennent à des cercles diffërens, les unes iront concouru' ait centre de similitude directe, les autres au centre de similitude opposée des deux cercles dont il s'agit. ' . - /

25a. Ainsi , non-seulement Ob' petit construire leâ sécantes communes à deux cercles décrits sur un plan ", quapid on se donne un de leurs centres de similitude , ou simplement ube droite quelconque passant par es centre , mais on peut aussi déterminer simultanément les deux centres dont il s'agit , au moyen d'un setU point appartenant à Tune de ces sécantes. \ '

Où petit même obtenir directement un second point de cette sécante , lit par conséquent sa direction iùdéfime , sans avoir recours nullement aux centres de similitude donnés par la construction qui précède. Il est évident , en effet , que les cordes de contact qui sont , sur chaque cercle respectif, les polaires du point pris à volonté sur funë des sécantes communes , sont des droites k la fois homologues par rapport aux deux centres de similitude , dont l'espèce est indiquée par la nature de la sécante que Ton considère en particulier; c'est-à-dire qu'elles sont -directes , si le point donné' est pris sur la sécante commune à l'infini, et inverses dans le cas contraire; donc, ces deux cordes ou polaires étant homologues , vont concourir réciproquement (249) en un point de la sécante même d'où elles proviennent.

Cette conséquence revient d'ailleurs au théorème de Fart. & , dont elle offre ainsi une démonstration simple et nouvelle.

a53. On remarquera que , quand le point d'où partent les tangentes est précisément celui qui appartient k la fois aux deux sécantes communes des cercles ,

SECTION H. CHAPITRE HI. i35

lequel est placé à l'infini, la construction ci-dessus cesse d'être possible , ou plutôt die devient illusoire dans son objet) il est évident, en effet , que les cordes de contact ou polaires correspondantes cessent de ^'entrecouper et se confondent, pour la direction ,• avec la ligne. GGr des centres des deux cercles proposes.

la même remarque doit Rappliquer air «cas où l'on se donne seulement (aSo) une transversale SA , passant par lun S des -centres de similitude, des deux cercles, pour déterminer leurs sécantes commîmes ^ car , 6Î cette transversale se confond avec la Kgn& des centres CCf , les tangentes AP, EF, etc. , qui loi correspondent sur les deux ^cercles , deviendront évidemment à la fî)i^ parallèles entre elles et à k sécante commune ) ordinaire: c'esfrà-dire qrteltet ne donneront que le point qui appartient à la fois & cette sécante. et à celle qui est à l'infini. Nous verront d'ailleurs bientôt ;(â58) commeitton peut, dans 4e cas -général, détérmiiBSF directement le centre de similitude S, au moyen de la. transversale SA qui y passe , sans .recourir' nullement à la , construction des sécantes communes. :

- a 54- Quoi qu'il en soit, il résulte de ce qui précède , et de ce que les deux centres de symétrie ou de figure des deux cercles sont lés pôles (^48) de la sécante qui leur , est commune à l'infini, qu'une seule de ces six choses étiqat donnée ; les deux centres de symétrie , les deux centres de similitude, on deux droites pasaantrespectivement par ces centres(a5o), les deux sécantes communes, ou deux-points appartenais respectivement à ces sécantes (aâ?)} les cinq antres s'ensuivent nécessairement par des constructions très-simples., et qui n'exigent toutes que l'emploi de la simple ligue droite on de la régie, quand les deux cercles sont: donnés et décrits sur un plan. â. ■ . .

En effet, nous avons enseigné , dans le chapitre précédent, les moyens de construire linéairement , soit (187, 906) des tangentes passant par des points pris au dehors ou sur le périmètre d'une section .conique donnée, et Récrite n soit (19^} des droites parallèles à des parallèles déjà tracées , c'est-à-dire, allant concourir avec elles à Finfini sur le glande la %ure« D'ailleurs , le centre d& Vxm des deux cercles proposés étant donné , on en déduit , sans peine , autant de systèmes de droites parallèles qu'on veut y ou de droites concourantes , deux A deux, sur la sécante it Tinfini commune, aux cercles dont il s'agit} car tout consiste évidemment à mener, par ce centre, des diamètres quelconques, et «ijonadre ensuite leurs ; extrémités par des; deaites, dont les opposées seraient nécessairement parallèles.. .r !

a55. IL arrive, fort souvent^ que deux dreonférenœ^ r données et décrites

i36 PROPRIÉTÉS PROJECTILES. *

sur un plai^ s'entrecoupent en deux points ou se touchent; on pourra donc alors déterminer leurs centres de similitude et de symétrie , au moyen . des constructions qui précèdent , le tout sans employer d'autre instrument qu'une règle 5 on pourra même construire des parallèles ou des perpendiculaires à *les droites données, partager en parties égales des arcs et des angles donnés-, etc. r en observant que le diamètre , perpendiculaire à une droite donnée sur le plan d'un cercle, renferme le pôle de cette droite, divise en deux parties égales la corde et Tare qui lui correspondent, et que les tangentes à ses extrémités sont parallèles à cette même droite , etc.

Ces choses auraient encore lieu si, les cercles ne se rencontrant pas, Ton se donnait un point de la sécante commune à Pinfini ou deux parallèles quel-r conques, puisqu'on en déduirait aisément (2 54) les centres de symétrie de ces. cercles. Mais il n'en serait plus ainsi évidemment du cas ou l'on n'aurait à sa disposition* que la circonférence d'un seul cercle avec un système de parallèles quelconque; car il serait impossible d'obtenir, avec la règle seule ^ d'autres diamètres que celui qui a pour pôle le point à Pinfini de ces parallèles. Pour en obtenir un second , il faudrait un nouveau système de parallèles différemment inclinées; c'est-à-dire que, même avec un cercle donné et décrit sur un plan, dont le centre est d'ailleurs inconnu , il est impossible de construire des droites parallèles à des droites données , ou d'obtenir des points de la droite à l'infini du plan, autrement qu'en se donnant un parallélogramme sur le plan de ce cercle , ou deux points quelconques de la droite dont il s'agit (198).

Sous ce rapport donc, on n'est guères plus avancé avec un cercle que si l'on n'en avait point du tout; mais aussi , le centre étant une fois connu , on pourra résoudre, avec ce cercle , des questions qu'on ne résoudrait pas avec le simple parallélogramme, questions déjà indiquées ci-dessus, et dont quelques-unes ont occupé , d'une manière spéciale , l'ingénieux Lambert à la fin de son Traité de perspective (197, note). Nous nous proposons, au surplus, de revenir dans le chapitre suivant , d'une manière générale , sur ces diverses réflexions, en donnant des moyens de construire 'linéairement tous les problèmes du second degré , au moyen d'un seul cercle dont le centre est assigné et le périmètre tracé.

a56. Retournons maintenant aux considérations d'où nous sommes partis (;*49) et & la fig* 38 qui les concerne. D'après la théorie des pôles (194 et a4S)r\es points H, I où se croisent, deux à deux, respectivement les cordes

SECTION H. CHAPITRE lïï. i37

ÂB et DE, AD et BE, et le point P où concourent les tangentes AP et EP du cercle (C), c'est-à-dire le pôle de SA, sont situa sur la polaire HP du centre de similitude S d'où ces cordes et ces tangentes proviennent : il en est de même évidemment des points H', Y et F qui sont les croisemens des cordes et des tangentes du cercle (C,)1 homologues aux premières} ces points sont pareillement sur la polaire du centre de similitude S , relative à ce cercle. Mais chacun des premiers points est évidemment à la fois homologue direct et inverse par rapport à celui qui lui correspond dans Fautre cercle , puisque les deux systèmes de cordes ou de tangentes dont ils proviennent sont euxmêmes dans ce cas ($43) î de plus , les deux séries de points semblables comprennent évidemment tous ceux qui jouissent de cette propriété par rapport au centre de similitude S. Donc

Tous les points du plan de deux cercles , qui sont à la fois homologues directs et inverses par rapport à Vun de leurs centres de similitude r pris en particulier 1 sont distribués respectivement sur deux droites , polaires de ce centre de similitude , lesquelles sont ainsi elles-mêmes à la fois homologues de Vune et de Vautre espèce.

a57« Les deux droites HP, HT* sont évidemment parallèles et concourent à l'infini au point de l'intersection; des d$utx sécantes communes aux cercles (C) et (O) ? je dis , de plus , qu'elles sont symétriquement placées de part et d'autre de cette KM de ces sécantes qui est à distance finie. En effet, les quatre tangentes aux points A , E , A', E* appartenais à la, transversale SA, forment , par leurs intersections mutuelles, ma parallélogramme PKP'L, dont une diagonale KL se confond (o5o), pour la direction, avec la sécante en question, et dont Fautre , terminée aux points P et F appartenais aux polaires du centre de similitude S 7 se trouve ainsi divisée en deux parties égales par cette sécante. 11 suit de là évidemment (88 , 3° .) que ... .

Les polaires de Vun quelconque des centres de similitude de deux cercles sont réciproques Vuhe de Fautre ) dans le sens de tort. 84, et forment avec les deux sécantes communes à ces cercles un faisceau de quatre droites harmoniques. .

a58* Enfin, si l'on remarque que les pbmts P et P', pôles de la transversale SA par rapport à chaque cetele Respectif, sont nécessairement, d'après ce qui précède , à la fob homologues de l'une et de ('autre espèce, quelle que soit la position de cette transversale, on en conclura que

Les pâles de toute droite passant par Vun des centres de similitude

i38 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

de deux cercles sont homologues et se trouvent , comme tels , placés sur

une droite concourant réciproquement en ce centre.

Cette propriété est tellement caractéristique que , lorsqu'elle a lieu pour deux cercles et un point situés dans un plan commun , il faut nécessairement que ce point soit un de ceux où concourent les tangentes communes à ces cercles. Il est, en effet , évident que la transversale qui passe par ce point ne peut devenir tangente à Pun des cercles, sans le devenir en même temps à Pautre ; car les deux pôles correspondais se trouvent alors à la fois sur cette transversale.

25g. Cette démonstration n'est, il est vrai, satisfaisante pour tous les cas qu'autant que Pon admet le principe de continuité; mais, d'après la remarque à laquelle elle donne lieu , le point que Pon considère doit être , ou tout-à-fait extérieur, ou tout- à -fait intérieur aux deux cercles proposés : dans le premier cas , ce point est réellement un point de concours des tangentes communes ; dans le second , la discussion directe apprend que ce point est nécessairement placé sur la ligne des centres de figure; et, si Pon abaisse alors de ces centres deux perpendiculaires sur une transversale quelconque dirigée vers le point donné, elles passeront par les pôles correspondais de cette, transversale ; or on conclut immédiatement des triangles semblables , et de ce que chaque rayon est moyen proportionnel entre la distance du centre au pôle et à la transversale , que ces rayons sont entre eux comme les distances des deux centres au point donné; propriété qui ne convient évidemment qu'aux seuls centres de similitude des deux cercles.

La difficulté que nous venons de rencontrer provient de ce qu'il existe d'autres points que les centres de similitude directe et inverse , qui jouissent de la propriété examinée ; car on peut démontrer , et nous démontrerons plus tard directement, que chacun des six points de concours des tangentes en général communes à deux cercles jouit, à Pégard de ces cercles , de la propriété énoncée ; propriété que nous n'avons encore établie que pour les seuls points de concours des tangentes intérieures et des tangentes extérieures communes , c'est-à-dire pour les centres de similitude des cercles.

260. Nous avons beaucoup insisté sur ce théorème réciproque , parce qu'il nous sera utile par la suite, et afin de montrer, par un nouvel exemple, combien l'admission ouverte du principe de continuité en Géométrie peut abréger et rendre faciles les démonstrations et les recherches. Dans des. cas plus compliqués , l'avantage de cette admission est bien autrement évidente , et ce serait à ne plus finir , ce serait vouloir poser des bornes aux progrès

SECTION IL CHAPITRE III. i39

ultérieurs de la Géométrie, que de s'astreindre à recommencer ainsi, dans chaque cas , la démonstration des diverses propriétés qui se présentent*

Au surplus , la propriété qu'ont les pôles d'une transversale quelconque , passant par le centre de similitude de deux cercles1, d'être homologues et , comme tels, plaça sur une autre droite passant réciproquement par ce centre , n'est point particulière à ces sortes de points ; elle appartient évidemment (24 * et r*44) aux points où se coupent respectivement deux systèmes de cordes ou de droites homologues de Fune ou de Tautre espèce, aux pôles respectifs de ces droites , etc. , lesquels sont nécessairement eux-mêmes homologues de l'espèce que Ton considère 0*43)} c'est-à-dire que

Les points homologues quelconques, soit directs, soit inverses, sont nécessairement sur des droites dirigées vers le centre de similitude correspondant des deux cercles»

261. Nous terminerons ce sujet par l'examen de quelques-unes des propriétés, déjà connues, du système de deux cercles et de leur centre de similitude, en faisant voir comment elles se rattachent toutes à celles qui précèdent.

Puisque deux cordes homologues inverses quelconques, telles que AB et DT, DE et AT?, etc. (Fig. 38), vont concourir sur la sécante commune ordinaire MN des deux cercles (C) et (C) ; les quatre extrémités de ces cordes appartiennent à un autre cercle (71) , qni devient tangent à la fois aux proposés, quand ces cordes sont nulles ou infiniment petites} et réciproquement, quand un cercle touche à la fois les cercles (C) et (C), les tangentes aux points de contact concourent sur la sécante MN; et par conséquent (a5i) ces tangentes et'ces points sont nécessairement homologues inverses par rapport à l'un des deux centres de similitude, dont l'espèce est d'ailleurs déterminée par la nature du contact (*)•

262. Il résulte de ces théorèmes une propriété remarquable du centre de similitude de deux cercles, et qui consiste en ce que le rectangle des distances SE et SA' de ce centre à deux points homologues inverses quelconques E et A', appartenons aux deux cercles, est constant) ce qui peut, au reste,

(*) H est visible (24*) cpe9 quand le contact est de même espèce, ou que le cercle en question touche à la fois extérieurement ou intérieurement les proposés, le centre de similitude correspondant est direct \ et qu'il est opposé) ou inverse, quand le contraire arrive.

140 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

se déduire directement de la similitude des deux cercles; car , pour detùt points homologues directs A et A', on a SA' : SA = conste. , d'ailleurs on a aussi SA'SE = constc. ; donc SA'-SE =5 const*.

a63. De cette propriété du centre de similitude on déduirait immédiatement toutes celles qui précèdent; elle montre en particulier que, bien qu'un cercle quelconque, tracé dans le plan de deux cercles donnés (C) et (C% détermine deux cordes qui concourent (71) sur la sécante commune ordinaire de ces cercles , ces cordes ne sont cependant point en général homologues inverses; et que , pour qu'elles le soient, il est nécessaire encore que le produit constant des segmens formés , à partir de Fun des centres de simiiknde , sur une sécante quelconque dé ce cercle, soit égal à celui ci-dessus $es segmens qui correspondent à deux points homologues inverses quelconques tolatifs à ce même centre. C'est ce qui aurait lien , par exemple , si ce cercle passait déjà par deux points de cette espèce : c'est-à-dire que,

« Si7 par deux points E et A' homologues inversés par rapport à l'im des » centres de similitude S de deux circonférences de cercle (C) et(C), on mèiié » une autre circonférence quelconque , elle ira rencontrer les premières en » deux nouveaux points D et B', qui seront eux-mêmes homologues Inverses » par rapport à ce centre. »

264. Pareillement, tout cercle qui coupe orthogonalement les cercles (G) et (C) ayant son centre sur la sécante commune MN (73) , ses points' d^intçrsection avec les proposa sont les points de contact des tangentes égales iàtott de ce centre , et par conséquent , pris dans un certain ordre, ces pointa dp contact sont (?5i) deux à deux homologues inverses, soit par rapport -à S, soit par rapport à S'.

a65; Supposons que, du point S , comme centre , avec un rayon moyen proportionnel entre les segmens SA', SE relatifs à deux points homologuai inverses quelconques A' et E de deux cercles , on décrive un nouveau cercle que j'appelle (S) , il coupera à angles droits tous ceux qui viennent de nouf occuper et que je désigne en général par (c) ; donc (264) il fera partie delà suite que déterminent les cercles (C) et (C) : c'est-à-dire qu'il aura même sécante commune ordinaire MN avec eux. . . . - *66.. Réciproquement tout, cercle qui coupera orthogonalement le cercle (S) fera: nécessairement partie (a63) du système des cercles (c) , c'est-à-dire qu'il ira déterminer en général, sur les proposés (C) et (C% quatre points qui, pris dans un certain ordre, seront deux à deux homologues inverses, par rapport à S.

SECTION H. CHAPITRE m. 141

267. Enfin deux cercles quelconques de la suite (c) sont évidemment tels que leur sécante commune ordinaire vient passer par le centre de similitude correspondant S ; car, d'après ce qui précède , le cercle (S) , qui a ce point pour centre de figure , est à la fois orthogonal k ceux dont il s'agit (74)*

268. Le cas particulier où les deux cercles (c) que Ton considère sont tangens (2161) aux cercles (C) et (O) est sur-tout remarquable , en ce qu'il y a réciprocité complète entre le système qu'ils forment et celui de ces derniers 5 car les cercles (C) et (Ç) sont, à leur tour , tangens de la même espèce par rapport à ces cercles : il en résulte, par exemple , que le centre de similitude, relatif aux deux cercles tangens (c) et à l'espèce particulière du contact de ces cercles , est situé réciproquement sur la sécante commune aux deux antres (C) et (C% etc.

- On remarquera, au surplus, que toutes les propriétés qui précèdent sont indépendantes de Fespèce particulière du centre de similitude que Ton con- } c^est-à-dire qu'elles ont lieu , de la même manière, pour le centre de illitude inverse S'.

269. Les considérations qui viennent de nous occuper conduisent, d'une manière si naturelle et si' simple , aux propriétés connues du cercle tangent à trois antres sur uh plan, que nous ne pouvons nous refuser au plaisir de les rapporter ià1 quoiqu'elles appartiennent à un sujet tant de fois traité par de sa vans et profonds géomètres (*). D'ailleurs, comme ces, propriétés se rattachent d'une matière intime à la théorie des sécantes et tangentes communes, et qu'elles peuvent détendre, ainsi que nous le verrons par la suite, aux sections coniques eqt général, à Faide des principes de projection posés ■ 1 1 1. ni ■ i ,1,1 » » 1 ' ■ i. ■ 1 1 ' 1 1 1 ; 1 1 1 1 ■ 1 % 1 1

(*) La théorie des contacts des cercles et des sphères, et la solution àea problèmes .qui s'y rapportent, ont été le sujet des recherches à'Appollonius, de Viète, de Fermât, de Newton, KEuler, de Fusse, etc. ; elles ont été reprises ensuite et traitées dans toute leur généraHté, par MM. Monge, Carnot, Dupuisj Lançret, Dupin, Hachette, Cauchy, Gaultier, Poisson, Français, Gergonne, J. Binet, etc., qui, pour la plupsrt1 sont anciens élèves ou professeurs de l'Ecole Polytechnique : voyez plus particulièrement , à ce sujet , les jAntiaU* de^f^thématiques, la Correspondance et le Journal de V Ecole Polytechnique.

Voici ce que Pascal écrivait, en i654, à une société de sa vans, qui avait pria le titre & Académie de Paris, en lui rendant compte de quelques ouvrages dont il s'occupait :

« Promotus Appollokzus GjtLzus : Idest tactiones circulares, non solùmquales veteribus notas, et à Vietârepertœ,sedetadeà ulterius promôtœ ut vixeumdem patienter tituktm. »

« TjtCTfOwÉs Sphericje, pari amplitudine dilates ♦ quippe eâdem methodo tractaite, etc. , etc. * (GEafrcs de Pascal, Vota. 4* &lit. de 1779)»

i4a PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

dans la première section , leur examen rentre essentiellement dans l'objet de

cet ouvrage.

Considérons donc le système de trois cercles quelconques (C), (C), (C'% Fig. 39, situés dans un même plan, ainsi que le système complet des six centres de similitude qui leur appartiennent, deux à deux , et divisent harmoniquement (287) les cotés respectifs du triangle CC'C", qui a pour sommets les centres de figure des trois cercles. On prouve facilement, et de plusieurs manières , cette propriété , due à Monge , que les six points dont il s'agit sont distribués, trois par trois, sur quatre lignes droites appelées, pour cette raison, axes de similitude des trois cercles proposés : c'est-à-dire que ces six points jouissent exactement des propriétés indiquées art. 16a.

Par exemple , si Ton considère deux triangles ayant pour sommets respectifs les centres et les extrémités de trois rayons parallèles quelconques des trois cercles , les points de concours des côtés opposés aux sommets qui appartiennent au même rayon seront tous trois situés sur une même droite ( 1 68) ; or ces points font évidemment partie (287) des six centres de similitude qui correspondent aux trois cercles proposés.

270. Cela posé, considérons, en particulier, celui des quatre axes de similitude de ces cercles , dont la direction renferme à la fois les trois centres de similitude directe S, S', S", et correspond évidemment (261 , note) aux cercles (c) et (d) qui ont à la fois un contact de même espèce avec les cercles proposés ; ce que nous dirons de cet axe et de ces cercles , en particulier, sera immédiatement applicable à chacun des trois autres axes et au système des deux cercles tangens qui lui correspondent respectivement : or on conclut, sans plus de raisonnemens , des principes établis dansée qui précède, que

i°. « La sécante commune ordinaire des cercles tangens (c), (c*)? ou TTT", ee'e", passe à la fois (267) par les centres de similitude S , S', S% et se confond par conséquent avec Taxe de similitude SS'S"des cercles proposés. »

20. « Si Ton trace les cercles (S), (S*), (S"), qui appartiennent (aGSpwxx. proposés , pris deux à deux , ils couperont à la fois ortbogonalement les cercles (c) , (cT) , et auront la ligne cd de leurs centres , laquelle est perpendiculaire à SS", pour sécante commune (74)* »

3°. « Les trois points de contact T , T', T", ou e , e', e", qui appartiennent & chaque cercle tangent (c) ou (cf) , sont (261) deux à deux et consé-

SECTION n. CHAPITRE m. 143

cutivement homologues inverses par rapport aux centres de similitude S, S', S", et par conséquent il en est de même des cordes de contact Te , T'a', T"e", qui leur correspondent sur chaque cercle proposé. »

4°. « Ces trois cordes vont concourir (368) au centre de similitude s des cercles tangens (c) et (</); lequel, devant se trouver aussi à la fois (249) sur les trois sécantes communes ordinaires des proposés , n'est autre chose que le point d'intersection mutuelle de ces sécantes , ou le centre radical des cercles (C), (C), (C") dont il s'agit. »

5°. « Les tangentes communes aux extrémités de chaque corde respective Te, Te*, T'e", étant inversement homologues (268) par rapport aux cercles (c), (cT) et à leur centre de similitude s , vont se rencontrer , deux à deux , en des points P,P', F' de la sécante commune SS" (a5o) de ces cercles} c'est-à-dire que ces points , qui sont les pôles des cordes de contact dont il s'agit par rapport aux cercles proposés (C), (C), (C"), sont rangés sur l'axe de similitude SS'S" de ces cercles. »

6°. « Les polaires ou cordes de contact AB, AD', A"B", relatives aux trois cercles proposés et à leur centre radical s , tendent (196) aux pôles respectifs P, F, F' des cordes Te, T'e', Ve" qui passent (4°.) par ce centre } leurs six extrémités appartiennent , en outre , au cercle qui a s pour centre , et rencontre à la fois orthogonalement les proposés 5 et ce cercle coupe , en même temps (264 , a65) , à angles droits ceux (S) , (Sf) , (S") désignés ci-dessus 5 c'està-dire (a0.) qu'il fait partie de la suite des cercles tangens (c) , (V) qui ont la droite SS" pour sécante commune. »

70. « Enfin les pôles *-, «rf, t" de l'axe de similitude SS'S", par rapport à chacun des cercles proposés , sont deux à deux homologues (a58) relativement aux centres de similitude S, S', S", et se trouvent d'ailleurs placés (196) sur les cordes de contact Te, Te', T"e", polaires (5°.) des points P, F, P" qui leur correspondent respectivement sur l'axe de similitude dont il s'agit. »

371. Voilà, à peu de chose près, tout ce qu'on connaît d'intéressant sur les cercles tangens à trois autres sur un plan ; les propositions 4e* , 5e. et 6e. donnent une solution du problème correspondant , analogue à celle qu'on doit k M. Gaultier de Tours (*) , et qui a sur elle l'avantage d'être plus générale et de n'exiger que l'emploi de la règle, quand les cercles donnés sont décrits et qu'on a seulement (a54) , soit un point de l'une des sécantes corn-

et) Seizième cahier du Journal de F Ecole Polytechnique, peg. 20*

144 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

mîmes , ou deux parallèles quelconques , soit une droite passant par l'un des centres de ^similitude , soit enfin le centre de figure de l'un des cercles proposes. Les propositions 4e» et 7e. donnent une autre solution très-élégante, qui revient, quant au fond , à celle qu'a présentée , du même problème , M. Gergonne (*) , et qui mérite d'autaàt plus d'être remarquée que la marche purement algébrique qu'a suivie ce géomètre est entièrement neuve , et paraît susceptible de s'appliquer à un grand nombre de questions réputées difficiles dans l'état actuel de l'Analyse. Enfin la propriété de l'art. 257, combinée avec celles que nous venons de citer en dernier lieu , fournirait encore une troisième solution fort ample du problème du cercle tangent à trois autres , également due à M. Gergonne.

Les considérations générales qui précèdent vont nous conduire à de nouvelles propriétés du cercle tangent à trois autres sur un plan , et qui ne 1e cèdent en rien aux premières , sous le rapport de l'élégance et de la simplicité des constructions qui en dérivent.

27a. Nous venons de voir que les cercles (c) et (c/) , tangensà la fois aux proposés, et le cercle (s) qui leur est orthogonal et a son centre au point s, avaient Taxe de similitude SS'S" pour sécante commune ordinaire ; mais , au moyen des art. a63, 264 etsuivans, on peut facilement déterminer un cercle quelconque de la suite qu'ils forment sans la connaissance préalable du centre radical s*

Soit pris arbitrairement un point A (Fig. 4<>) sur la circonférence de (C) $ soit Af le point inversement homologue à A sur (C) } soit A" le point inversement homologue à A' sur (C")} par les points A, Af, A", ainsi obtenus, faisons passer une circonférence de cercle (c"), elle rencontrera de nouveau les proposées aux points respectif B, B', B", et appartiendra nécessairement à la suite des cercles (c) et (V) qui ont SS'S" pour sécante commune* En effet , d'après la construction , ce cercle coupe orthogonalement (a63 et a6S) les cercles (S) et (S"), de même que le font déjà les cercles (c) et (</} dont il s'agit} ce qui ne peut être, à moins (73) qu'il n'ait la droite SS' pour sécante commune avec eux; on voit, de plus, qu'il devra couper aussi à angles droits le troisième cercle (S') qui appartient à la même suite (270) que • les deux autres 5 c'est-à-dire que le cercle (c") joue , à l'égard des cercles (C) et (C"), le même rôle qu'à l'égard des cerclçs Ç et C', C et C" respectivement.

(*) Tom. IV des Annales de Mathématiques, pag. a53.

SECTION II. CHAPITRE ffl. 145

273. Il résulte de là immédiatement et de la construction du cercle dont il s'agit que,

« Si l'on trace les droites BA", BB', BTB", F'A, ainsi que les cordes AB, AT? et A"B" qui sont communes à ce cercle et à chacun des proposés ,

i°. « Chacune des premières ira concourir (a63 et 266) au centre de similitude S, S' ou S" des deux cercles auxquels cette droite correspond ; en sorte que les trois autres droites ou cordes AB, A'B', A"B" seront , deux à deux , inversement homologues par rapport à ces centres respectifs. *

2°. € Ces trois cordes et toutes leurs semblables , appartenantes aux différens cercles de la suite (c), (c*), ($), (c") qui ont Taxe de similitude SS'S" pour sécante commune , vont concourir respectivement (7 1) aux points invariables P, F, F', pôles (270, 5°.) des cordes de contact qui, sur chaque cercle proposé , appartiennent aux deux cercles tangens (c) et (</). »

3°. « La figure AA'A"BB'B"A , inscrite au cercle (c") que Ton considère en particulier et dont les sommets opposés s'appuient , deux par deux , sur les cercles proposés , forme naturellement un hexagone fermé , qui , d'après ce qui précède , a les centres de similitude S, S', S" pour points de concours des côtés respectivement opposés , et dont les diagonales AB , AD', A"B" des sommets pareillement opposés, vont sans cesse concourir aux trois points P, F, F' déjà désignés ci-dessus. »