D'après cela, réciproquement

« Trois cercles quelconques étant donnés sur un même plan , si Ton essaie , à volonté , de construire un hexagone dont les sommets successifs s'appuient alternativement sur chacun de ces cercles , et soient , deux à deux , consécutivement homologues inverses, par rapport à trois quelconques de leurs centres de similitude appartenons à une même droite ou axe , il arrivera que

i°. » Cet hexagone viendra naturellement se fermer au point pris pour sommet de départ. »

a°. « Cet hexagone sera inscriptible à un cercle , ayant Taxe de similitude correspondant pour sécante commune avec les deux cercles tangens qui appartiennent à cet axe. »

3°. « Les diagonales qui joignent les sommets respectivement opposés de cet hexagone, viendront rencontrer Taxe de similitude dont il s'agit aux pôles invariables des cordes qui joignent, sur chaque cercle proposé, les points de contact des cercles tangens relatifs à cet axe. »

275. On a donc un moyen aussi simple que commode pour construire

146 PROPRIÉTÉS PROJECTTVES.

simultanément, et avec la règle seule, les points P, P', P", relatifs à un axe de similitude donné SS'S" et aux deux cercles tangens (c) et (c*) qui lui appartiennent } traçant ensuite les polaires qui leur répondent respectivement dans les cercles proposés (C) , (Cf) , (C") , elles iront déterminer, par leurs intersections avec ces cercles , les six points de contact des deux cercles tangens dont il s'agit , et se rencontreront , de plus , en un point unique s qui , d'après ce qui précède (270) , sera le centre radical de trois cercles proposés.

276. Si Ton se proposait seulement de déterminer le pôle P et la corde de contact qui lui correspond dans le cercle (C) , la description de l'hexagone deviendrait inutile ^ car si , au lieu de tracer cet hexagone tout entier, on s'arrête aux trois premiers côtés AA' , Af A" , AffB , en prenant pour sommet de départ un point quelconque A du cercle que Ton considère , on formera naturellement une portion de polygone AAf A"B , dont les sommets extrêmes A et B, ceux qui correspondent à (C) , appartiendront à Tune des diagonales de l'hexagone ctdessus, et seront par conséquent situés sur une droite passant par le pôle P que l'on cherche } nouvelle propriété qui peut s'exprimer de cette manière :

« Si l'on construit , à volonté , une portion de polygone AAf A"B composée de trois côtés , dont les sommets soient deux à deux et consécutivement homologues inverses par rapport aux centres dé similitude S, S'^ S", placés en ligne droite $ les sommets extrêmes A et B , appartenans au cercle (C) , seront en général distincts entre eux } cela posé , si l'on trace la droite AB qui les renferme à la fois, elle ira sans cesse concourir au pôle P qui correspond à l'axe de similitude et au cercle dont il s'agit. »

277. On pourrait , par un semblable procédé , déterminer les points Pf et P** et les cordes de contact qui leur appartiennent dans les cercles (C) et (C,f ) $ mais il est clair, d'après ce qui précède (273), que, si l'on détermine sur ces derniers cercles les cordes inversement homologues à celle qu'on aura déterminée sur (C), elles joueront, par rapport à eux, le même rôle que celle-ci par rapport à (C)j c'est-à-dire qu'elles seront, pour ces cercles respectifs, les cordes de contact relatives aux cercles tangens (c) et (</).

Cette construction , d'ailleurs moins symétrique que la première , a sur elle l'avantage d'exiger le tracé d'un moins grand nombre de lignes , attendu qu'on n'a à opérer que sur un seul des points P, P\ P", .qui ont les cordes cherchées pour polaires respectives. Uuhe et l'autre , au surplus , sont fort simples , puisqu'elles dispensent . de construire les sécantes communes ou axes radicaux qui appartiennent aux trois cercles proposés , combinés deux à deux. On peut même

éviter entièrement remploi direct des axes de similitude , au moyen du procédé qui suit.

278. Ayant choisi, à volonté, trois centres de similitude, situés en ligne droite et appartenais aux trois cercles (C) , (C) , (C") combinés deux à deux 5 prenez sur l'un (C) de ces cercles deux points quelconques; cherchez leurs homologues inverses sur (C) } puis les homologues inverses de ceux-ci sur C", et: ainsi de suite , en procédant constamment dans le même ordre : à la sixième opération , vous retomberez évidemment (274) sur les premiers points. On n'aura donc , en tout , que dix lignes droites à tracer , pour obtenir, sur chaque cercle , quatre points. Cela posé , si Ton trace les quatre cordes qui réunissent , deux à deux , ceux de ces points qui ne proviennent pas d'une même combinaison ou d'un même premier point, ces cordes, ainsi obtenues dans chaque cercle , détermineront , par leurs intersections mutuelles , deux nouveaux points appartenais à la corde qui renferme les deux points de contact demandés $ laquelle sera ainsi parfaitement déterminée , aussi bien que ces points , pour chacun des cercles proposés.

En effet} les premières opérations reviennent à construire deux hexagones semblables à celui de Fart* 274 : or , si Ton traçait les cordes qui , dans chaque cercle , appartiennent aux points d'une même combinaison, elles seraient les diagonales respectives de ces hexagones , et , comme telles , iraient concourir en celui des points P, P', P" qui est le pôle de la corde de contact qu'on cherche sur ce cercle ; doiic les quatre autres cordes, qui sont indépendantes entre elles , ou ne proviennent pas d'une même combinaison , vont se croiser (194) sur I& corde de cobtaCt dont il s'agit.

279. Ainsi, non-seulement cette construction donnera, comme celles qui précèdent, les cordes de contact, et par suite (a 75) le centre radical $, relatifs aux cercles proposés , mais elle donnera aussi chacun des points P, F, P", qui sont les pôles respectifs dé ces cordes sur Taxe de similitude que Ton considère en particulier. '

En répétant les unes et lés autres de ces diverses opérations pour chacun des quatre axes dé similitude , elles donneraient les cordes et points de contact qui appartiennent aux huit circonférences tangentes aux proposées ; mais , si Fon remarque (270, 6°.) que la polaire du centre radical $, par rapport à l'un quelconque de ces derniers cercles, rencontre les quatre axes dont il s'agit aux points qui sont précisément les pôles des quatre cordes de contact relatives à ce cercle , il sera beaucoup plus simple , une fois qu'on aura ob-

148 PROPRIÉTÉS PROJICTTVES.

tenu par les constructions précédentes les premières cordes de contact et le point s , de s'en servir pour déterminer simultanément les systèmes de trois autres. Ces diverses constructions n'exigent d'ailleurs que l'emploi d'une ample règle , pour les circonstances déjà spécifiées plus haut (271).

280. On aura remarqué que les cordes de contact Te , T'a', T"e" (Fig. 39), qui appartiennent à chacun des cercles (C) , (C) , (C") , et jouent un si grand rôle dans ce qui précède , sont non-seulement deux à deux consécutivement homologues inverses par rapport aux centres de similitude correspondais S, S', S", mais encore telles que leurs points respectifs jouissent eux-mêmes, trois par trois , de cette singulière propriété 5 c'est pourquoi Pon peut dire que ces trois droites , et les systèmes de points correspondais , sont périodiquement homologues inverses; pour les distinguer des droites et des points qui ne sont simplement que consécutivement homologues de cette espèce, tels que les trois points A, A', A" et les tangentes qui leur appartiennent.

On pourrait d'ailleurs étendre cette définition à des périodes composées de six droites ou de six points , etc. ; ainsi , par exemple : les six sommets de l'hexagone AA'A'WB" de la fig. 4° sont périodiquement homologues inverses (274) 1 auss* bien (Iue fcs six tangentes qui leurs correspondent. On voit cependant , par cet exemple même et par celui des diagonales AB, A'B', A"B" , que ces diverses définitions comprennent également le cas particulier où trois et six droites forment une période rentrante , sans que , pour cela , tous les systèmes de points qui leur appartiennent soient périodiquement homologues ; on pourrait dire que ces droites sont périodiquement homologues du second genre. Telles sont encore , par exemple , les tangentes aux trois points de contact de l'un des cercles (c) ou (c% etc.

281. Cela posé, revenons aux trois cordes de contact Te, TV, Ve" (Fig. 39) 5 on peut aisément démontrer , sans rien emprunter de ce qui précède, et en ne se fondant que sur les propriétés générales du centre de similitude , qu'il n'existe sur le plan des trois cercles (C) , (C) , (C") , et relativement à l'axe de similitude SS'S" de ces cerclç? , que les seules cordes de contact dont il s'agit qui soient périodiquement homologues du premier genre , et que tous les systèmes de trois points semblables appartiennent nécessairement à ces cordes.

En effet , si l'on considère deux systèmes quelconques de points périodiquement homologues, les triangles qui leur correspondent respectivement, ou qui ont pour sommets respectifs ces deux systèmes de points , sont évidem-

ment tels que les cotés qui se correspondent vont concourir , deux à deux , aux centres de similitude S , S', S" des trois cercles } donc (168) les droites qui joignent , dans le même ordre , les sommets opposés à ces côtés , c'est-à-dire celles qui appartiennent à chaque cercle respectif, vont concourir toutes trois en un seul point. Mais ces droites , réunissant des points deux à deux homologues inverses , sont elles-mêmes homologues de cette espèce ; donc leur point d'intersection mutuelle doit se trouver à, la fois (?45) sur les sécantes communes ordinaires des cercles proposés , c'est-à-dire qu'il doit se confondre avec le centre radical de ces cercles.

Il suit de là évidemment qu'un seul système de points périodiquement homologues inverses suffit pour déterminer complètement les trois droites dont il s'agit , et que ces droites comprennent par conséquent tous les autres systèmes de points semblables , tels que les trois pôles * , *', *■" de Taxe de similittyle SS'S", et les systèmes T , T', T", e , e', e" des points de contact des cercles tangens (c) et (cT) aux proposés ; lesquels jouissent évidemment (a58 et 261) de la propriété en question. Or c'est ce qu'il s'agissait précisément de démontrer 1 sans recourir en aucune manière aux principes de l'art. 270.

282. En partant de là d'ailleurs, on déduit facilement des moyens d'obtenir autant de points que Ton voudra des droites ou cordes de contact dont il s'agit.

Supposons qu'on choisisse , à volonté , une corde, nommée L y sur (C) 5 soit L' celle qui lui est inversement homologue sur (C) ; L" celle qui est inversement homologue à celle-ci sur (C") 5 soit pareillement M l'homologue inverse de L" sur (C) , M', etc. ; je dis que les cordes L et M de (C) , 1/ et W de (G) , L" et M" de (C") , se coupent respectivement en trois points périodiquement homologues inverses , et , comme tels , appartenant aux trois droites ci-dessus désignées, que j'appellerai H, H', H".

En effet , quel que soit le point où la première corde L rencontre la droite H qui lui correspond , son homologue inverse sur L' sera nécessairement aussi sur H'} et pareillement l'homologue inverse de celui-ci sur L" appartiendra en même temps à H" ; mais , d'après la propriété qu'ont les droites H , H', H", l'homologue du dernier point obtenu sur H" doit se confondre , sur H , avec le point de départ ; et, selon ce qui précède , il doit aussi se trouver sur M , qui est homologue inverse de L" sur (C) ; donc il est à l'intersection de L et de M , c'est-àrdire que le point de rencontre de ces deux cordes appartient nécessairement à la droite H , quelle que soit la position de la corde L d'où

t5o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

Ton est parti en premier lieu. Or de là suit immédiatement la proposition qu'il s'agissait de démontrer, et qui revient évidemment à Tune de celles exposées ci-dessus (278).

283. On peut au surplus démontrer , d'une manière également directe, qu'après la cinquième opération , les mêmes choses reviendront dans le même ordre 5 c'est-à-dire qu'on retombera continuellement sur les mêmes cordes L, Lf.... et que ces cordes seront périodiquement homologues inverses (280). Tout consiste, en effet, à prouver (278) que cela a lieu pour Pune quelconque des extrémités de la première corde L, ou pour un point pris arbitrairement sur le cercle (C)$ ce qui d'ailleurs résulte immédiatement des principes déjà posés art. 274 , et dont ce qui suit offrira ainsi une démonstration directe et nouvelle.

Or si , dans les raisonnemens et les opérations ci-dessus , on substitue des tangentes aux cordes que l'on y considère , il paraîtra évident qu'à la sixième opération, en rapportant la tangente M" sur (C), on devra retomber sur b première tangente L , puisqu'elle doit nécessairement passer par le point commun à celle-ci et à la tangente M déjà obtenue à la troisième opération; autrement, en effet, il y aurait plus de deux tangentes possibles au même cercle (C), passant par un point donné , ce qui est absurde. D'ailleurs la dernière tangente M" devra se confondre avec la première L , et non avec l'autre M; car, si elle se confondait avec celle-ci, les points de contact des, trois tangentes M , M', M" seraient périodiquement homologues $ ce qui est également absurde , ou au moins ne peut avoir lieu que pour les seuls points (281) où les droites H , H', H" rencontrent respectivement les cercles proposés. Donc les six tangentes qui nous occupent sont périodiquement homologues inverses } et par conséquent il en est de même des six points de contact qui leur appartiennent respectivement, dont le premier est d'ailleurs arbitraire.

284. On remarquera, de plus, que les six tangentes qui viennent de nous occuper forment, en les prenant dans leur ordre naturel de succession, et en supposant chacune (Telles terminée à celle qui la précède et la suit immédiatement , un hexagone fermé , dont deux côtés opposés quelconques , et qui appartiennent par conséquent à un même cercle , vont , d'après ce qui précède (282), concourir en un point de celle des cordes de contact H , H', H" qui est relative à ce cercle , tandis que les diagonales qui joignent les sommets opposés de cet hexagone se confondent respectivement , pour la direction (a5o), avec les trois sécantes communes ordinaires ou les axes radicaux des

SECTION IL CHAPITRE Iïï. i5i

cercles proposés, combinés deux à deux. Or de là résulte évidemment ce théorème : -

« Trois cercles quelconques étant donnés sur un plan, si Ton construit, à volonté, un hexagone dont les côtés successifs touchent alternativement chacun de ces cercles , et soient deux à deux consécutivement homologues inverses, par rapport à trois quelconques de leurs centres de similitude appartenans à un même axe , c'est-à-dire à une même droite , il arrivera que

i°. « Les six côtés de cet hexagone formeront naturellement un système de tangentes périodiquement homologues , c'est-à-dire un système tel que le sixième côté sera lui-même Phomologue inverse de celui d'où Ton est parti , et qu'on suppose avoir été pris au hasard. »

2°. « Les diagonales qui joignent les sommets opposés de cet hexagone se confondront respectivement , pour la direction , avec les trois sécantes communes ordinaires des cercles proposés , combinés deux à deux. »

3°. « Les trois points de concours des côtés opposés de cet hexagone , c'està-dire des côtés qui appartiennent à un même cercle , se trouveront situés respectivement sur les trois cordes invariables qui, dans chaque cercle proposé , renferment les points de contact des deux cercles tangens relatifs à Taxe de similitude que Ton considère en particulière »

4°« « Pareillement, si Pon se bornte !à construire les quatre premiers côtés de cet hexagone , c'est-à-dire un quadrilatère dont les côtés soient consécutivement homologues inverses , ou dont les trois premiers sommets s'appuient respectivement sur les sécantes communes correspondantes des cercles proposés , le quatrième sommet , qui • appartient aux tangentes d'un même cercle , sera situé constamment sur la corde de contact relative à ce cercle. »

a 85. De ces propriétés on déduirait immédiatement , par la simple application de la théorie des pôles , celles dés art. 273, 274 et 276, auxquelles elles se rapportent : tout consiste , en effet , à considérer l'hexagone qui a pour sommets les points de contact des côtés de l'hexagone ci -dessus, et à observer que les diagonales qui joignent les sommets opposés de cet hexagone, et sont des cordes respectives des trois cercles proposés, ont pour pôles les points' de concours correspondais des côtés opposés de l'autre. L'on arrive donc ainsi directement, et en se fondant simplement sur les propriétés générales du centre de similitude et sur celles du pôle qui en dérivent (248) , à toutes les cons^ tractions qui nous ont occupés précédemment , et qui sont relatives aux différens cercles qui en touchent trois autres donnés sur un plaïi. Il résulte en

i5a PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

outre , des propriétés qui viennent d'être exposées en dernier lieu , une nouvelle solution , aussi simple qu'élégante , pour résoudre cette sorte de problèmes, et qui a sur les autres l'avantage particulier de ne dépendre directement que des seules sécantes communes aux trois cercles proposés.

286. Il ne serait pas difficile , au surplus , d'étendre les diverses considérations qui précèdent à un nombre quelconque, de circonférences de cercle tangentes à deux autres sur un plan ; on serait ainsi conduit à des théorèmes sur les polygones , dont ceux qui précèdent ne sont que des cas très-particuliers. En remarquant ensuite que tout ce que nous avons pu dire ^ dans ce chapitre , s'applique immédiatement aux cas où certains cercles deviennent infiniment petits, infiniment grands ou se rapprochent à des distances insensibles , c'est-à-dire se réduisent à des points , dégénèrent en des droites (76 et 95) ou se confondent deux à deux (247) 1 etc- 1 ^ en résultera une infinité de nouveaux théorèmes et de nouvelles figures , qu'il sera facile de reconnaître par la simple application de la loi de continuité.

287. Considérons, par exemple, le système de trois cercles quelconques situés sur un plan , aussi bien que l'un des quatre axes de similitude qui leur appartiennent, ou plutôt les trois points de concours des tangentes communes à ces cercles , pris deux à deux , et qui sont relatifs à cet axe. Cela posé , imaginons que l'un des cercles dont il s'agit glisse entre les deux tangentes qui lui sont communes avec l'un des deux autres , jusqu'à s'en rapprocher à une distance d'abord infiniment petite, et ensuite nulle, c'est-à-dire jusqu'à se confondre avec le cercle fixe ; concevons que , par suite du même mouvement, la dernière circonférence glisse également entre les deux tangentes qui lui sont communes avec le cercle fixe , mais de manière cependant que le centre de similitude qui lui appartient , ainsi qu'au premier cercle variable , reste toujours à la même place , ce qui est évidemment possible $ il arrivera nécessairement que cette circonférence se rapprochera sans cesse de celle qui est fixe , et finira par s'y confondre en même temps que l'autre qui en dirige le mouvement.

Or, dans ce nouvel état du système , les divers objets de la figure devront jouir entre eux fles mêmes propriétés que dans la figure primitive, pourvu qu'on ait égard aux modifications qui auront pu s'y opérer j donc, si l'on observe que les trois centres de similitude des cercles primitifs peuvent- être remplacés par trois points quelconques situés en ligne droite j que pareillement les sécantes communes ordinaires de ces cercles , combinés deux à deux ,

SECTION ïï. CHAPITRE IH. i53

deviennent trois droites quelconques se coupant en un point unique, pôle de celle qui précède , etc. , on déduira immédiatement de ces considérations 1 et sans qu'il soit besoin de nouveaux raisonnemens , toutes les propriétés descriptives des figures inscrites et circonscrites au cercle et aux sections coniques , qui nous ont déjà occupés dans les deux précédais chapitres»

En considérant un plus grand nombre de cercles tangens, il serait d'ailleurs facile d1en découvrir beaucoup d'autres relatives aux polygones en général $ mais, comme nous aurons occasion de revenir sur la plupart d'entre elles par la suite , cette discussion , outre qu'elle ne serait pas ici à sa place , ne présenterait qu'une répétition inutile. Il nous suffira , pour le moment , d'avoir montré comment les propriétés générales du centre de similitude , non-seulement conduisent à celles de la théorie des pôles et polaires , mais encore à toutes les autres propriétés qui font le sujet ordinaire de la Géométrie de la règle.

2 88. Enfin il est essentiel, pour compléter l'objet de ce chapitre , de revenir sur cette remarque , déjà faite à la fin de Fart. *44 1 <ïue tous Ie8 ra*~ sonnemens dont nous nous sommes servi pour établir les diverses propriétés des cercles situés sur un même plan , s'appliquent directement ? à quelques restrictions près, au cas général où l'on remplace ces cercles par des sections coniques quelconques s. et s. p. sur un plan ; ce qui peut également s'observer à l'égard des propriétés exposées à la fin 4% chap. II de la Ire. section.

Les restrictions ne portent évidemment que sur ce qui concerne explicitement ou implicitement des grandeurs absolues et déterminées $ c'est-à-dire que cela se réduit uniquement à ce qui a été dit sur la relation d'égalité des rectangles correspondais aux sécantes du cercle , et sur Forthogonalité de deux cercles qui ont réciproquement pour rayons les tangentes égales issues de leurs centres respectifs. Or, pour que les raisonnemens subsistent lorsqu'il s'agit de sections coniques quelconques s. et s. p., il suffit de remplacer chaque rectangle par son rapport avec le carré du diamètre qui , dans l'une quelconque des courbes 7 est parallèle à la sécante d'où provient ce rectangle , et de remarquer que la considération de Forthogonalité est entièrement inutile à ces raisonnemens , et n'y est amenée que pour la simplicité des énoncés.

On peut d'ailleurs, pour le cas des sections coniques s. et s. p. , la remplacer par la condition , beaucoup plus générale , que les directions , sous lesquelles ces courbes se rencontrent respectivement , soient celles des différens systèmes de diamètres conjugués qui leur appartiennent $ ce qui pourrait s'exprimer d'une manière plus simple , en disant que ces sections coniques se coupent sous des

i54 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

angles conjugués : deux sections coniques ainsi appariées, sont , comme on voit, non-seulement s. et s. p. , mais encore telles que le centre de Tune est, relativement à l'autre , le pôle de la sécante commune à toutes deux.

289. On arriverait encore à ces diverses conséquences , mais seulement pour le cas particulier d'ellipses s. et s. p. sur un plan , en observant qu'un tel système de courbes peut toujours être censé provenir d'un système pareil de cercles, au moyen de la projection ordinaire de l'une des figures , sur le plan de l'autre, par des droites parallèles. Il est évident, en effet, que, dans cette projection , les propriétés de la figure primitive demeurent applicables à sa dérivée , ou du moins se modifient de la manière déjà ci-dessus indiquée. Quant aux autres relations qui subsistent individuellement entre chaque cercle et son ellipse de projection, on peut consulter Fart. 47 de la première section et le rapport de M. Cauchy ^ placé en tête de cet ouvrage.

Pour étendre immédiatement ces dernières conséquences au cas où lés sec-' tions coniques, au lieu d'être simplement des ellipses, sont quelconques, il faudrait nécessairement avoir recours à la loi de continuité ; mais, à l'aide des principes de la projection centrale , nous démontrerons les mêmes choses , dans la section suivante, d'une manière entièrement directe et générale} bien plus, nous ferons voir, dans le supplément, comment les propriétés des cercles, qui nous ont occupés dans ce qui précède , peuvent s'étendre , d'une ma* riière analogue , à des cercles quelconques tracés sur la surface d'une même sphère , à des sphères et des surfaces quelconques du second ordre s* et s. p. dans l'espace, etc. ; ce qui a déjà été établi, pour plusieurs d'entre elles, par les géomètres dont les noms ont été rappelés dans le cours de ce chapitre.