CHAPITRE PREMIER

Du centre d'homologie ou de projection des figures planes en général, et de celui des sections coniques en particulier. — Application à diverses questions qui s'y rapportent.

i*»M»imaÊ*r*iM>Ê**§i*éitma

Propriétés des sécantes communes et des points de concours des tangentes

communes des sections coniques.

290. JLl résulte , en premier lieu, des remarques générales qui précèdent, et des propriétés établies dans la deuxième section (245) pour le cas particulier où Ton ne considère que des circonférences de cercle, que

Deux sections coniques quelconques , tracées sur un plan, peuvent être regardées , de deux manières différentes , comme la projection ou perspective Vune de Vautre par rapport à chacun de leurs points de concours des tangentes communes , pris en particulier pour centre de projection.

291. Dans Tune de ces projections, les arcs que Ton considère ont leur courbure dirigée dans le même sens par rapport au centre de projection , ou point de concours correspondant des tangentes communes , et la projection peut être dite directe ou de première espèce; dans l'autre, ces arcs tournent leur convexité ou leur concavité en sens contraire par rapport à ce point, et la projection peut être dite inverse ou de seconde espèce. Bailleurs, quelle que soit l'espèce de projection que Ton envisage, il est trèsfacile , d'après ce qui a été dit, art. zfô , de reconnaître quels sont les arcs, les lignes et les points qui , en général , sont homologues ou projections les uns des autres 5 et il en résulte que deux points homologues quelconques sont rangés (260) sur une droite , ou projetante , dirigée vers le centre de projection que Ton considère en particulier } et que deux lignes , droites ou courbes, homologues d'une certaine espèce , ou provenant de points homologues de cette espèce , vont concourir sur l'une des sécantes communes aux deux sections coniques proposées , laquelle renferme ainsi tous les points du plan qui

SECTION ffl. CHAPITRE Ier. i5?

ont la propriété de se confondre respectivement avec leurs projections 7 ou d'être leurs propres homologues de respecte que Fon considère. C'est pourquoi , quand Ton n'a à s'occuper , en particulier ^ que de l'un des centres de projection qui appartiennent aux deux sections coniques proposées , on pour^» rait appeler les deux sécantes communes , qui proviennent de points homologues de la première ou de la seconde espèce 7 axes de projection directe ou inverse.

292. On a vu d'ailleurs (a49 et suiv.), pour le cas particulier de deux cercles tracés sur un plan, la liaison intime qui existe entre les deux centres de similitude et les deux sécantes communes ou axes de projection correspondais 5 liaison qui est telle que , quand l'une de ces quatre choses est connue , les trois autres s'ensuivent nécessairement, au moyen de constructions d'une grande simplicité , et qui n'exigent toutes que le tracé de lignes droites indéfinies. D'après ce qui précède, ces constructions , toujours possibles , sont directement applicables au cas général de deux sections coniques quelconques , pourvu qu'on regarde comme concourantes en des points d'une même droite , les lignes qui d'abord étaient parallèles (106 et 107). Mais ici le nombre des sécantes communes , ou axes de projection , peut être plus considérable que pour le cas de deux cercles ; et c'est ce qui arrive , par exemple , quand les courbes se pénètrent en quatre' points réels. Cependant les constructions citées donnent toujours et ne donnent jamais qu'un seul centre ou un seul axe de projection qui corresponde à un centre ou à un axe semblable supposé connu ; nous dirons , pour les distinguer , que ce sont des centres et des axes de projection conjugués; c'est-à-dire des points de concours conjugués de tangentes communes , et des sécantes communes conjuguées : celles-ci ont évidemment pour caractère distinctif de se couper en dehors du périmètre des deux courbes ; ceux-là d'appartenir à des paires de tangentes communes différentes.

293. Quoique ces définitions 5 et les propriétés auxquelles elles se rapportent , se trouvent suffisamment justifiées par ce qui a déjà été dit pour le cas particulier du cercle , il ne sera pas inutile de faire voir comment on peut y parvenir directement 9 sans avoir recours aucunement à cet intermédiaire : et d'abord on pourrait appliquer immédiatement, au cas général de deux sections coniques, le même genre de démonstration que celui employé pour deux cercles ^ car 7 en mettant la figure en projection , sur un nouveau plan , de façon (io5) que l'une quelconque des sécantes communes passe à l'infini, les deux courbes deviendront (ia5) s. et s. p. sur ce plan, et auront pour centre

!58 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

de similitude les points de concours des tangentes communes qui correspondent aux sécantes de la projection. Mais on peut atteindre le même but, d une manière entièrement directe , en employant les considérations les plus simples de l'espace } il suffit , pour cela , de prouver que

Deux sections coniques quelconques , tracées sur un plan , peuvent être considérées comme la projection de deux sections planes d'un cône , dont le sommet est représenté par Vun des points de concours des tangentes communes.

294. En effet, nommons en général (C), (C) les courbes proposées, et S le point de concours de deux, tangentes communes quelconques de ces cour^bes $ considérons la surface de cône qui a (C) pour base et pour sommet un point quelconque de Pespace , il est évident que , si Pon projette ce cône sur le plan de la base , de façon que S soit la projection du sommet , ses deux arêtes extrêmes seront représentées par les tangentes communes aux courbes (C) et (C) qui passent par S. Cela posé , prenons à volonté un point a sur la courbe (C), et projetons-le sur la surface conique, à partir dja centre de projection choisi comme il vient d'être indiqué} projetons-y également les deux points de contact de cette courbe et des deux tangentes communes ; ces points appartiendront aux arêtes extrêmes du cône ; concevons enfin le plan qui renferme les trois points ainsi trouvés , il coupera le cône suivant une section conique, dont la projection, sur le plan de la base, passera par le point a, et touchera les tangentes communes aux mêmes points que celle (C) ; donc elle se confondra en une seule et même courbe, avec elle, puisque (2o3 et 207) une section conique est entièrement déterminée de grandeur et d'espèce , quand on en a trois points et les tangentes en deux de ces points.

Comme au point a , pris sur (C), correspondent toujours deux points , Pun supérieur , Pautre inférieur, sur la surface du cône que Pon considère , il eu résulte qu'il existe aussi deux sections planes de ce cône qui , dans des sais différens , ont pour projection la courbe (C) 5 donc les deux sections coniques proposées peuvent être regardées , "de deux manières différentes , comme représentant les sections planes d'un même cône qui a S pour sommet $ ce qu'il fallait démontrer.

295. Cette démonstration ne supplique il est vrai , en toute rigueur, qu'au cas où le point S appartient à deux tangentes communes réelles } mais on peut en étendre la conséquence à tous les cas , au moyen de la loi de continuité. En effet, quand le point dont il s'agit appartient à des tangentes com-

SECTION III. CHAPITRE Ier. \5g

mûries réelles , on déduit de ces conséquences un moyen de trouver les deux sécantes conjuguées communes, lesquelles peuvent être d'ailleurs réelles ou idéales ] et réciproquement on peut trouver ce point au moyeu des sécantes commîmes , quand ces dernières existent 5 mais la construction est alors toujours possible, et donne toujours (a5i) des points réels } donc ces points doivent jouir, dans tous les cas , du même caractère et des mêmes propriétés , qu'ils appartiennent ou non à des tangentes communes réelles.

296. Il est essentiel de remarquer que réciproquement les droites et les points , qui jouissent , par rapport au système de deux sections coniques tracées sur un plan , des propriétés qui viennent de nous occuper, sont nécessairement des sécantes communes à ces courbes et des points de concours de leurs tangentes communes 5 en sorte qu'il n'existe, sur le plan de deux sections coniques, d'autres droites et d'autres points que ceux dont il s'agit , qui jouissent de ces propriétés.

En effet , si Ton met la figure en projection sur un nouveau plan parallèle à une telle droite, d'après la propriété dont elle jouit à regard du point correspondant et des deux courbes , les lignes que nous avons appelées homologues deviendront parallèles ; et , comme les droites qui renferment deux à deux les points homologues iront encore concourir au point dont il s'agit , ce point sera nécessairement (^3g1 note) un centre de similitude des deux courbes ; lesquelles seront ainsi semblables entre elles de grandeur et de position , et auront le point en question pour concours , réel ou idéal , de deux de leurs tangentes communes. D'un autre côté, la droite située à l'infini sur le plan de ces nouvelles sections coniques a pour projection celle que Pon considère sur la figure primitive} donc (126) celle-ci est, à son tour, une sécante réelle où idéale commune aux sections coniques proposées.

De là , au reste , on déduirait immédiatement , et par la simple application de la loi de continuité (?47)? toutes les propriétés qui constituent la théorie des pôles et polaires des sections coniques , et , par suite , celles qui appartiennent aux asymptotes et au centre de ces courbes.

Des figures homologiques , du centre et de l'axe tfhomologie.

297. Les propriétés dont jouit le système de deux sections coniques, tracées sur un plan , à l'égard de leurs points de concours des tangentes communes, ne sont pas particulières à ces sortes de courbes } €lles ont lieu pour

160 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES. -

des figures planes beaucoup plus générales , quand , ainsi que les premières , elles peuvent être regardées comme la projection ou perspective de deux autres figures semblables de grandeur et de position sur un plan 5 il est évident , en effet , que , dans le premier système , le centre de similitude se trouve représenté par un point qui jouit , à Pégard des figures correspondantes , de toutes les propriétés du point de concours des tangentes commîmes à deux sections coniques : ainsi , par exemple , les lignes homologues vont concourir , deux à deux , sur une droite qui représente tous les points à l'infini du plan des figures semblables , etc.

Nous avons d'ailleurs déjà fait remarquer (246) que ces propriétés ne sont autres que celles de la projection centrale ou perspective ordinaire , mais envisagées sous un point de vue tout particulier ; c'est pourquoi il est à craindre qu'en employant , comme dans ce qui précède , les expressions générales de centre et d'axe de projection, pour désigner le point où convergent toutes les droites qui renferment les points homologues , et les droites où se rencontrent deux à deux les lignes qui leur correspondent , on ne fasse pas suffisamment comprendre quel est Pétat particulier du système que Pon considère , et sa parfaite analogie avec celui de deux figures s. et s. p. sur un plan : ces considérations et l'importance de la chose, nous déterminent à substituer à ces expressions des expressions nouvelles ; d'autant qu'il nous semble extrêmement avantageux , pour la langue géométrique , de pouvoir désigner un même objet par plusieurs mots , quand ces mots correspondent à des vues différentes de Pesprit , ou rappellent des propriétés distinctes de cet objet.

298. Il n'est pas possible de conserver, dans le cas général qui nous occupe , au point où concourent les droites qui renferment les points homologues , le nom de centre de similitude } mais on peut fort bien l'appeler le centre cThomologie des deux figures, et dire de ces figures elles-mêmes qu'elles sont homologiques ; la droite sur laquelle concourent , deux à deux , les lignes homologues sera ainsi Taxe de concours ou cThomologie du système 5 et celles qui convergent vers le centre d'homologie seront des rayons cThomologie*

Quoique ces diverses expressions ne soient pas encore usitées, elles sont si simples et si faciles à saisir , que nous ne croyons pas qu'on puisse se refuser à les admettre} d'ailleurs, d'après l'idée qu'on attache d'ordinaire au mot homologue , quand les figures sont s. et s. p. , elles nous paraissent par^ faitement désigner l'espèce de correspondance particulière qui existe entre Jes deux systèmes. Enfin elles ont l'avantage de pouvoir s'étendre immé-

SECTION m- CHAPITRE Ier, 161

diatement , comme nous le verrons plus tard (supplém. art. 576 et suiv.) aux figures situées dans l'espace , en remplaçant alors le mot à? axe par celui de plan (Fhomologie ou de concours* *

399. Quand les figures ont deux axes et deux centres dliomologie , il est inutile de dire que toutes les expressions , jusqu'ici mises en usage pour distinguer entre eux, soit ces axes, soit ces centres, soit enfin les lignes et les points homologues de diverses espèces , subsistent.

3oOr Nous venons d'établir les propriétés des figures homologiques , tracées sur un plan commun , en nous appuyant sur les propriétés connues des figures s. et s. p. ; mais on peut aussi y arriver directement , sans recourir à cet intermédiaire, au moyen des considérations déjà employées ci-dessus (294) pour le cas particulier de deux sections coniques $ car on peut toujours regarder deux pareilles figures comme la projection de deux autres figures dans l'espace , mais situées dans des plans diflerens , et qui seraient la perspective Tune de l'autre , par rapport à un point quelconque de l'espace pris pour centre de projection ou point de vue.

On peut d'ailleurs arriver au même résultat en observant que les conditions , pour que deux figures soient homologiques sur un plan , sont nécessairement analogues et en nombre égal à celles qui établissent la similitude de grandeur et de position de deux figures de même ordre, tracées également sur un plan. Or toutes les propriétés des figures s. et s. p. sur un plan dérivent de celles des triangles s. et s. p. ou à côtés parallèles •, donc toutes les propriétés des figures homologiques , en général , doivent aussi dériver de celles qui appartiennent aux simples triangles homologiques sur un plan.

Bien plus , il est évident que les relations purement descriptives , celles qui ne dépendent que de la direction indéfinie des lignes , doivent dériver uniquement de celles du même genre relatives aux amples triangles 5 et ces relations sont exactement les mêmes (167) pour deux triangles homologiques et pour deux triangles s. et s. p. , pourvu qu'on admette la notion que les lignes parallèles concourent à l'infini. Donc les figures homologiques jouissent des mêmes propriétés descriptives que les figures s. et s. p. sur un plan } et , comme le principe relatif aux triangles est d'une première évidence (168), il en résulte que les propriétés purement descriptives des figures planes homologiques sont tout-à-fait indépendantes de celles des figures semblables , et ne reposent absolument que sur la définition de la ligne droite et du plan , considérés dans leur direction indéfinie 5 ce qui peut également se conclure des raisonnemens déjà établis ci-dessus , au moyen des considérations de l'espace. a 1

x62 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

3oi. Cette remarque est très-importante 5 car, si Ton admet la notion relative aux parallèles , qu'on doit regarder comme un axiome inévitable et fondamental de la Géométrie } qu'on suppose ensuite que Paxe d'homologie des figures ci-dessus s'éloigne à une distance infinie , on en déduira immédiatement , et par réciproque, toutes les propriétés (a4l) des figures s. et s. p. sur un plan, qui ne concernent que la direction indéfinie des lignes et non leur mesure ; lesquelles peuvent ainsi être établies indépendamment d'aucune relation métrique, et sans recourir au principe relatif à la proportionnalité des lignes homologues dans les figures semblables.

Quant aux relations métriques elles-mêmes (*) , on peut les déduire toutes 9 pour le cas de deux figures homologiques en général, de la propriété (i45) appliquée au cas du triangle coupé par une transversale droite quelconque 5 et de là on déduirait immédiatement , comme corollaires , les théorèmes relatifs à la proportionnalité des lignes homologues dans les figures semblables f en admettant que les segmens formés à partir de l'axe d'homologie sont de-avenus infinis et égaux 5 ce qu'on peut regarder comme un autre axiome incontestable : mais la propriété (t45) reposant elle-même (9) sur la théorie des lignes proportionnelles , dont elle n'est véritablement qu'une extension , il ne paraît pas qu'on puisse établir, à priori , les relations métriques des figures homologiques , comme on vient de le faire pour lesjrelations purement des^ criptives} à moins, peut-être, d'admettre, avec M. Legendre (**) , le prîn-cipe des/onctions , qui n'est au fond que le principe de continuité. *

On remarquera d'ailleurs que toutes les relations , soit métriques , soit descriptives, qui ont lieu pour l'une des figures et sont projectives de leur nature, ont nécessairement lieu aussi (i4) pour la figure qui lui est homologique.

Construction de la figure homologique d*une figure donnée , au moyen

de certaines conditions.

3oa. Il résulte des propriétés purement descriptives des figures homologiques que , si l'on se donne seulement un point de l'une d'elles avec son homo-

(*) L'art. 167 offre quelques exemples de ces propriétés pour le cas particulier de deux triangles homologiques ; et, au moyen des considérations mises en usage au même endroit 9 il serait facile d'étendre , de la même manière , les autres relations qui appartiennent en général aux figures s. et s. p.

(**) Elément de Géométrie , note H*.

SECTION m. CHAPITRE Ier. i63

logue sur l'autre, puis le centre et Taxe d'homologie, on pourra décrire entièrement cette figure au moyen de celle qui est donnée , en n'employant que la simple ligne droite. En effet , les lignes homologues devant concourir respectivement sur Taxe dont il s'agit, tout consistera à mener , par le point donné, une suite de droites transversales dont les homologues seront parfaitement déterminées , au moyen du point qui correspond au premier et de Taxe d'homologie 5 projetant ensuite , sur ces droites , les différens points qui répondent à leurs homologues et à la figure donnée , on obtiendra évidemment les points correspondais de la figure non décrite , et par conséquent les lignes mêmes de cette figure* Il serait d'ailleurs facile de mener les tangentes aux points ainsi obtenus , etc.

303. En général , on pourra résoudre graphiquement, sur la figura non décrite et au moyen de ces seules données , toutes les questions qui ne concerneraient que la direction indéfinie des lignes , leur intersection , leur tangçnce , çjc. : voulant 9 par exemple , rechercher l'intersection d'une certaine courbe- avec une droite donnée., on û'aura qu'à déterminer l'homologue de cette droite , et à projeter ses intersections avec la courbe homologue à la proposée sur la droite donnée : pareillement , si , d'un point donné , on veut mener des tangentes à une certaine courbe de la figure non décrite , on cherchera l'homologue de ce point, duquel on mènera des tangentes à la courbe correspondante de l'autre figure ; on projettera ensuite les tangentes et les points de contact , ainsi obtenus , sur la figure non décrite , etc. , etc.

Ces constructions étant tout-à-fait analogues à celles qu'on pourrait déduire de la perspective ordinaire , il est assez inutile de s'y arrêter.

3 04. Si, au lieu d'un point appartenant à la figure non décrite , bn en donnait trois et leurs homologues , c'est-à-dire deux triangles homologues ; comme encore , si l'on se donnait deux droites et un point avec leurs homologues , on aurait , par là même , le centre et Taxe d'homologie ; en sorte que , les figures étant dans un même plan , ou étant seulement planes et dans l'espace , on pourrait j comme précédemment, décrire l'une d'elles au moyen de l'autre, et résoudre les diverses questions graphiques qui lui sont relatives. Mais si , avec le centre d'homologie , on ne se donnait que deux droites et leurs homologues; ou si , avec l'axe d'homologie, on ne se donnait que deux points et leurs homologues, on arriverait encore aux mêmes résultats. En général, on voit qu'on peut varier , d'une infinité de manières différentes , la nature particulière des données , et qu'il s'agit seulement qu'elles soient en nombre

164 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

suffisant pour déterminer complètement le centre , Taxe d'homologie et deux points ou deux droites homologues quelconques de Tune et de l'autre figure ; car se donner deux droites homologues , c'est , par là même, se donner une infinité de paires de points homologues , puisque les points homologues sont rangés sur des droites qui passent par le centre d'homologie.

Cas où la figure donnée est une section conique.

305. Lorsque la figure supposée décrite est une section conique , son homologue en est une aussi } et la question qui précède revient , en général , à déterminer celle-ci au moyen de l'autre, quand on connaît un nombre suffisant de conditions pour la construire. Or cette question peut sa résoudre linéairement , ou avec la règle seule , dans les cas suivans :

i°. Connaissant un centre et un axe dUhomologie conjugués des deux courbes , c'est-à-dire (292) un point de concours des tangentes communes et une sécante commune conjuguée à ce point , on se donne, soit un point 1 soit une tangente de la courbe non décrite.

a°. Connaissant Vun des centres ou Vun des axes dUhomologie des deux courbes , on se donne , soit trois points , soit trois tangentes , soit deux points et une tangente , soit enfin deux tangentes et un point de la courbe inconnue.

3°. Connaissant ou deux axes^ ou deux centres d'homologie conjugués des deux courbes , on se donne , soit un point , soit une tangente de la courbe cherchée.

306. Ces questions présentent en tout quatorze cas, dont deux pour la première , huit pour la seconde et quatre pour la troisième : de ces quatorze cas , les dix premiers seront seuls résolus dans ce qui va suivre $ les quatre autres le seront dans le second chapitre, à Poccasion de recherches particulières , et qu'il serait hors de propos d'entamer ici.

Nous ferons d'ailleurs observer , avant d'aller plus loin , que , les deux centres et les deux axes d'homologie conjugués étant tellement liés entre eux (292) qu'on ne peut obtenir l'un sans obtenir à la fois l'autre , il arrivera toujours que , pour une même courbe inconnue , les solutions seront doubles , soit qu'on cherche un centre, soit qu'on cherche un axe d'homologie. En conséquence , le nombre des courbes cherchées , ou des solutions distinctes du problème, ne sera véritablement que moitié de celui des centres ou axes d'homologie trouvés.

SECTION IIL CHAPITRE Ier. . x65

307. Premier cas. Connaissant un centre et un axe d'homologie conjugués des deux courbes , on se donne un point de celle qui ri est pas décrite.

Solut. Du centre d'homologie projetez le point donné (*) sur la section conique décrite , ou , ce qui revient au même , menez par ces deux points une droite transversale , elle ira rencontrer la courbe en deux points , dont chacun pourra être pris pour l'homologue du point donné 7 relativement à Taxe d'homologie , et servira (3oa) 7 conjointement avec cet axe , à déterminer complètement Tune des courbes qui résolvent le problème ; lesquelles seront ainsi au nombre de deux seulement*

Rem. Quand le centre d'homologie est extérieur à la section conique donnée , ou que les tangentes qui lui répondent sont possibles ; que , de plus , Taxe d'homologie est une sécante réelle , le problème revient évidemment à tracer la section conique dont on a trois points et deux tangentes*

308. Deuxième cas. Connaissant un centre et un axe d'homologie conjugués des deux courbes 1 on se donne une tangente de celle qui ri est pas décrite.

Solut. Par le point où la tangente donnée rencontre l'axe d'homologie , menez des tangentes à la courbe décrite 5 chacune d'elles pourra être prise pour l'homologue de la première relativement à Taxe dont il s'agit ; projetant ensuite chacun des points de contact sur la tangente donnée, on obtiendra deux points qui seront respectivement les homologues des deux premiers : on aura donc tout ce qu'il faut (3o?) pour décrire les courbes du problème , qui ainsi seront au nombre de deux seulement, comme dans le cas qui précède.

Rem. Le problème revient à décrire une section conique dont on a deux points et trois tangentes , dans les circonstances déjà indiquées ci-dessus.

309. Troisième cas. Connaissant un centre d'homologie des deux courbes 7 on se donne trois points de la courbe non décrite.

Solut. Les points donnés appartiennent à un triangle dont on obtiendra facilement Phomologique en projetant ses sommets sur la courbe décrite ; mais il en résulte en tout huit triangles, dont chacun peut être pris pour l'homologue du proposé , et auquel correspond par conséquent un axe d'homologie particulier 5 donc il y a en tout huit axes d'homologie qui , étant cou-

(*) On concevra très-aisément tout ce que nous allons dire, en suivant, dans chaque cas, les raisonnemens sur une figure > qu'il sera d'ailleurs facile de construire»

i66 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

jugués deux à deux (3o6) au centre d'homologie donné , fournissent quatre

courbes distinctes , faciles à décrire (3os) , et qui sont autant de solutions du

problème.

Rem. Quand les tangentes du centre d'homologie sont possibles , le problème revient , comme celui du premier cas (3o7) , à déterminer une section conique tangente à deux droites et passant par trois points donnés.

3 1 o. Quatrième cas. Connaissant un centre d'homologie des deux courbes , on se donne , en outre , trois tangentes de celle qui ri est pas décrite.

SoluL Les trois tangentes données forment, par leurs intersections mutuelles , un triangle circonscrit , dont il faut trouver l'homologue sur la courbe décrite } car Taxe de concours de ces deux triangles sera aussi Taxe d'homologie des deux courbes ; au moyen de quoi le problème sera ensuite facile à résoudre , puisqu'en projetant les points de contact des côtés du nouveau triangle sur ceux qui leur sont respectivement homologues dans le premier , on aura tout ce qu'il faut (3 02) pour déterminer complètement la courbe inconnue. Mais le triangle homologue au proposé doit avoir ses sommets appuyés respectivement sur les rayons d'homologie qui appartiennent à ceux de ce dernier } donc il s'agira) en définitif , pour l'obtenir , de circonscrire à la courbe donnée un triangle dont les sommets s'appuient sur trois droites connues passant par un même point : question qui sera résolue , par la suite (563) , d'une manière purement linéaire , et qui offre deux solutions distinctes , répondant (3o6) aux deux axes d'homologie conjugués au centre d'homologie donné. Ainsi la courbe cherchée est unique.

Rem. Quand le centre d'homologie donné répond à des tangentes possibles , le problème revient à décrire une conique dont on a cinq tangentes , ce qui peut s'exécuter très-simplement, comme il a été indiqué art. 21 3.

3 1 1 . Cinquième cas. Connaissant un centre d'homologie des deux courbes , on se donne deux points et une tangente de la courbe non décrite*

Solut. En projetant les deux points sur la courbe donnée, on obtiendra quatre points 7 qui , deux à deux , pourront être pris pour les homologues des premiers , et d'où résultera par conséquent quatre cordes , qu'on pourra regarder séparément commj les homologues de celle qui passe par les deux points donnés.

Cela posé , en prolongeant la corde qui passe par les deux points donnés jusqu'à sa rencontre avec la tangente qui lui correspond, il en résultera un point 1 dont l'homologue s'obtiendra en le projetant sur chacune des quatre

SECTION III. CHAPITRE Ier. 167

cordes qui sont les homologues de la première } menant ensuite , de chaque point ainsi trouvé , deux tangentes à la courbe donnée , chacune d'elles pourra être prise pour l'homologue de la tangente proposée , et ira par conséquent la rencontrer en un point qui , étant joint par une droite avec le point d'intersection des deux cordes correspondantes , donnera évidemment un des axes d'homologie cherchés : la seconde tangente donnant un second axe d'homologie nécessairement conjugué au premier', on obtiendra en tout huit axes d'homologie , deux à deux conjugués , et par conséquent quatre courbes distinctes, qu'il sera d'ailleurs facile de construire.

Rem. Quand les tangentes du centre d'homologie sont possibles, le problème revient, comme celui de Part. 3o8, à déterminer une section conique tangente à trois droites et passant par deux points donnés.

3 12. Sixième cas. Connaissant un centre d'homologie des deux courbes , on se donne deux tangentes et un point de la courbe cherchée.

Solut. Si les deux tangentes communes qui correspondent au centre d'homologie sont possibles , on aura quatre tangentes à la courbe cherchée , qui , par leurs intersections mutuelles, formeront un quadrilatère complet, dont une diagonale passera par le centre d'homologie et par le point d'intersection des tangentes données, et aura pour pôle (192) le point où se coupent les deux autres diagonales 5 ce point étant connu , aussi bien que son homologue qui doit être le pôle (2 58) de la même diagonale par rapport à la section conique donnée , on aura ainsi deux points homologues appartenons respectivement aux deux courbes.

Si , au contraire , les tangentes communes correspondantes au centre d'homologie étaient impossibles , on observerait que , dans le quadrilatère ci-dessus , les deux tangentes données , la diagonale ou le rayon d'homologie qui passe pa* leur intersection , la droite qui joint cette intersection au pôle de la diagonale doivent former un faisceau harmonique (186); de sorte que, les trois premières étant connues , la dernière s*ensuit nécessairement (i55) : on trouvera ensuite le pôle lui-même , en projetant , sur la droite dont il s'agit , le pôle qui lui est homologue dans la courbe donnée , et qui est connu.

Ayant ainsi obtenu deux pôles homologues , on projetera le point donné sur la courbe décrite \ les deux points qui en résulteront seront , l'un l'homologue direct, l'autre l'homologue inverse du premier, et par conséquent ils correspondront tous deux aux mêmes courbes , mais à des axes d'homologie différens , en sorte qu'il suffira de s'occuper de l'un d'eux en particulier.

168 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

Le problème se trouve , par là , ramené à la dernière partie de celui qui précède } car les deux systèmes de deux points homologues trouvés déterminent deux droites homologues 1 d'où il est facile de conclure les tangentes qui , sur la courbe décrite ^ correspondent aux tangentes données 3 et par suite les axes d'homologie cherchés , lesquels conduisent évidemment à deux solutions distinctes du problème.

Rem. Quand les tangentes du centre d'homologie sont possibles , le problème revient à déterminer une section conique dont on connaît quatre tangentes et un point.

3i3. Septième cas. On connaît un axe d'homologie des deux courbes, et on se donne trois points de la courbe cherchée.

Solut. Prolongez les côtés du triangle qui a ces points pour sommets jusqu'à leurs intersections avec Taxe d'homologie ; inscrivez à la courbe donnée un triangle dont les côtés passent par les points ainsi obtenus 5 ce problème , comme nous le verrons par la suite (*), aura deux solutions purement linéaires , et donnera par conséquent deux triangles qui seront évidemment les homologues du triangle donné $ partant Ton aura deux centres d'homologie qui 7 étant conjugués (3o6), ne donneront lieu qu'à une seule courbe.

Rem. Quand Taxe d'homologie est une sécante commune réelle 7 le problème revient à celui qui a été résolu directement (ao3) , au moyen de Yhexargramme mystique de Pascal*

3 14. Huitième cas. On connaît un axe d'homologie des deux courbes et trois tangentes de la courbe non décrite.

Solut. Les trois tangentes données forment un triangle par leurs intersections mutuelles ; pour obtenir un triangle homologue quelconque dans la courbe décrite , et par suite un centre d'homologie , on mènera , des points où les côtés du premier rencontrent Taxe d'homologie , trois tangentes quelconques à cette courbe , qui appartiendront au triangle demandé ; et , comme de chacun des. trois points, ainsi obtenus sur l'axe d'homologie , on peut mener deux tangentes à la courbe donnée , on voit qu'il y aura en tout six tangentes 9 qui , prises trois à trois , formeront huit triangles homologues au proposé , aux-

(*) Voyez l'art. 563 du chap. III de la IVe. section. Ces solutions résultent d'ailleurs immédiatement du principe de l'art. 180, d'où il serait facile également de déduire , par la simple application de la théorie des pôles, celles du problème dont il a été fait mention plus haut (3io).

SECTION m. CHAPITRE Icf. 169

quels correspondront par conséquent huit centres d'homologie ^ et par suite (3o6) quatre courbes distinctes , solutions du problème.

Rem. Si , au lieu de trois tangentes , on ne s'en donnait qu'une seule avec le point de contact} qu'on connut , de plus, la droite qui doit renfermer les centres d'homologie cherchés , le problème n'aurait plus évidemment qu'une solution unique , qu'il serait facile d'obtenir , puisqu'en menant deux tangentes & la courbe décrite par le point où la tangente donnée rencontre Taxe , leurs points de contact seraient les homologues de ceux qui appartiennent à cette tangente. On peut appliquer des remarques analogues aux cas qui précèdent et à ceux qui suivent.

Quand Taxe d'homologie est une sécante commune réelle, le problème revient ^ comme celui des deuxième et cinquième cas , à déterminer la section conique dont on a trois tangentes et deux points.

3i5. Neuvième cas. On connaît un axe d'homologie des deux courbes, et Von se donne deux points et une tangente de la courbe non décrite.

Solut. Far les deux points donnés faites passer une ligne droite; elle ira rencontrer Taxe d'homologie en un point qui doit être tel (82 et 2 5s) que les polaires correspondantes , dans les deux courbes , aillent concourir réciproquement en un autre point de cet axe : le point de concours en question étant déjà connu , puisqu'on peut obtenir , pour la courbe décrite , la polaire qui le donne , il sera facile de trouver un second point de la polaire relative à la courbe cherchée , et par conséquent cette polaire elle-même } car elle doit rencontrer la droite qui renferme les deux points donnés de cette courbe, en un nouveau point quatrième harmonique (194) des deux premiers et de celui qui se trouve sur Taxe d'homologie 5 ainsi Ton aura deux droites homologues , appartenantes respectivement aux deux courbes. Cela posé, par le point où la tangente donnée coupe l'axe d'homologie, menez des tangentes à la courbe décrite ; chacune d'elles pourra être prise pour l'homologue de la première , et par conséquent , en n'en considérant qu'une seule , on aura , pour les deux courbes , deux paires de droites homologues qui donneront, par leurs intersections respectives, deux points homologues ou un rayon d'homologie.

Pour en avoir un autre : joignez , par une droite , celui de ces deux points homologues qui appartient à la courbe non décrite, avec l'un des points donnés de cette courbe ; l'homologue de cette ôVoite , pour la courbe donnée ,

i7o PROPRIÉTÉS PROJECTTVES.

sera parfaitement connue , et ira rencontrer cette courbe en deux points , dont chacun pourra être pris pour Phomologue du point donné que Pon considère en particulier; on aura donc deux nouveaux rayons d'homologie, lesquels rencontreront le premier eii des points qui seront deux centres d'homologie appartenons à deux courbes distinctes } et , comme il y a sur la courbe décrite deux tangentes qui correspondent à la tangente donnée, il en résultera eu tout quatre centres d'homologie , dont les derniers seront conjugués respectivement aux deux autres , et ne produiront ainsi que deux courbes distinctes pour la solution du problème proposé.

Rem. Dans les circonstances déjà mentionnées ci-dessus (3 î/Q^ le problème revient à déterminer une section conique dont on a quatre points et une tangente.

3 16. Dixième cas. On connaît un axe d'homologie des deux courbes, et Von se donne deux tangentes et un point de celle qui ri est pas décrite» *

Solut. Les deux tangentes viennent couper Taxe d'homologie en deux points , auxquels correspondent quatre tangentes sur la courbe donnée , et par conséquent quatre paires de tangentes provenant de deux points différera de Taxe d'homologie. Considérons, à volonté , une de ces paires de tangentes; on pourra la regarder comme l'homologue de celle formée par les tangentes données \ donc , en joignant par une droite les points d'intersection respectifs qui leur appartiennent , ce sera déjà un rayon d'homologie , et il suffira de chercher un autre rayon pareil pour avoir le centre d'homologie correspondant.

A cet effet , joignez , par une droite , le point donné de la courbe non décrite avec celui où se coupent les deux tangentes correspondantes, eOe ira rencontrer Taxe d'homologie en un point qui appartiendra à l'homologue de cette droite , laquelle sera par conséquent connue , puisqu'elle passe d'ailleurs par le point d'intersection des tangentes homologues aux premières : or cette droite ira rencontrer la courbe décrite en deux points , et chacun de ces points pourra être pris évidemment pour l'homologue du point donné } donc on aura deux nouveaux rayons d'homologie , lesquels rencontreront celui déjà trouvé , en deux points qui seront des centres d'homologie appartenans à des courbes distinctes du problème.

Ainsi chaque paire de tangentes de la courbe décrite donne deux centres d'homologie et deux solutions correspondantes $ mais la paire de tangentes restantes donnerait évidemment les centres d'homologie conjugués aux deux premiers ; donc ils répondent , deux à deux , à la même combinaison , et il n'y a en tout que quatre solutions distinctes du problème.

SECTION IH. CHAPITRE .Ier, !7i

Rem. Quand Taxe tfhomologie est une sécante réelle , le p blême revient , comme dans le premier et le troisième cas, à déterminer une s. ttion conique dont on a deux tangentes et trois points.

. 3 1 7. H est sans doute inutile de faire observer que, dans les diverses questions qui précèdent, les tangentes ou les points donnés peuvent se confondre deux à deux , sans que tes solutions cessent de rester les mêmes 5 poufvu qu'on assigne encore^ soit la direction de la droite qui renferme les deux points confondus en un seul , soit le point d'intersection des deux droites qui sont également censées confondues en une droite unique. Dans quelques-unes de ces circonstances, le nombre des solutions peut devenir moins considérable que dans le cas général ; et c'est ce qu'il sera toujours facile de reconnaître par la discussion directe, établie sur chaque espèce de données. Ce qui va suivre montrera , en outre , comment la même remarque peut s'étendre également aux axes et aux centres d'homologie des deux courbes.

Application à la théorie dfis contacts des sections coniques.

3 18. La théorie des propriétés des sécantes communes et des points de concours des tangentes communes des sections coniques , que nous avons en-* visagée , jusqu'ici , sous le point de vue le plus général , conduit encore sans peine , comme conséquence particulière , à celle des contacts et des oscillations de divers ordres des mêmes lignes $ et fournit ainsi , d'une manière aussi directe que simple , la solution de la plupart des questions qui s'y rapportent.

Pour y parvenir, il suffit de remarquer que , quand deux points communs au système de deux sections coniques viennent , par un mouvement continu , à se réunir en un seul , ces deux courbes se touchent nécessairement en ce point ; que ces mêmes courbes deviennent osculatrices du second et du troisième Ordre y lorsqu'un ou deux nouveaux points , communs à ces courbes , viennent pareillement à se réunir en un seul avec les deux premiers. Deux sections coniques ne pouvant d'ailleurs (ao3) avoir plus de quatre points communs sans se confondre , on voit qu'il est également impossible qu'elles soient osculatrices d'un ordre plus élevé que le troisième*

319. Dans le premier de ces trois cas, la sécante commune Ssf (Fïg.40i qui referme les deux points confondus en un seul S, devient à la fois tangente aux deux courbes, et représente ainsi deux tangentes Communes de ces courbes , confondues en une seule $ le point S étant lui-même devenu un

172 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

centre cPhomologie , doit évidemment encore jouir , à l'égard des deux courbeset de la sécante commune MN conjuguée à celle de contact, de toutes les propriétés développées dans ce qui précède ; mais on n'a plus alors que des lignes et des points homologues directs à considérer , et MN est Taxe de concours de ces lignes.

Quant au centre dliomologie S', conjugué au premier S ou au point de contact, on peut également l'obtenir, comme dans le cas général (292) , au moyen de la sécante commune de contact , ou de celle MN qui lui est conjuguée 5 ainsi les deux courbes peuvent avoir deux autres tangentes communes S* s , SY, et deux autres centres dliomologie s , s? ; lesquels sont nécessairement placés sur la tangente commune de contact , et sont conjugués aux sécantes communes SM , SN qui joignent le point S avec chacun des deux autres points M et N d'intersection des courbes proposées.

320. Pour le contact du second ordre, il faut, d'après ce qui précède, que l'un N des points M, N d'intersection des deux courbes vienne de nouveau se confondre avec le point de contact S déjà commun à ces courbes ; c'est-à-dire que la sécante MN conjuguée à celle Ssf du contact , au lieu d'être entièrement arbitraire, comme ci-dessus, doit passer par le point S (Kg. 4 2) qui appartient. à la première.

Dans ce cas, le point de contact S conserve toujours, en vertu du principe de continuité , ses propriétés primitives à l'égard des deux ^courbes et de la sécante SM dont il s'agit ; c'est-à-dire qu'il est encore un centre d'homologie de ces courbes : quant au centre d'homologie S' qui lui est conjugué , il se trouve nécessairement sur la tangente du point de contact S , et c'est le seul qui puisse alors exister avec le premier ; en sorte que les courbes n'ont plus qu'une tangente commune ST, outre celle SS' du point de contact, qui en représente trois confondues en une seule.

321. Enfin , pour qu'il y ait , au point donné S , contact du troisième ordre , il suffit évidemment que la sécante commune , conjuguée à la tangente en ce point, se confonde avec elle dans toute son étendue (Kg. 43). Le point S demeurant toujours un centre d'homologie des deux courbes , la condition du contact sera remplie , si les droites homologues AB , AT? des deux courbes vont

se rencontrer , deux à deux , sur la tangente SS' du point de contact (*) .

(+) Cette construction, appliquée à une courbe géométrique d'un degré quelconque , donnera évidemment une courbe du même degré , osculatrice du. 3 e. ordre au point de contact de la «tangente. On peut faire des remarques analogues pour les cas ci-dessus des contacts du premier et du second ordre.

SECTION m. CHAPITRE Ier, i73

Dans ce même cas , il est visible que tous les centres cThomologie seront confondus en un seul au point de contact S, et que toutes les sécantes et tangentes communes seront pareillement confondues en une seule avec la tangente au même point. Oserait d'ailleurs facile de déduire, de ce qui précède , les diverses propriétés et notions relatives au contact du troisième ordre des . sections coniques : ainsi , par exemple , on voit que le diamètre passant par le point de contact, ou qui est conjugué à la tangente commune de ce point , doit avoir même direction dans Tune et l'autre courbes , etc.

3a2. Nous n'avons encore rien dit du cas particulier où les sections coniques ont un double contact S, S' (Fig. 44) i ma^ A est évident , d'après ce qui précède , que les deux points S , S' et les tangentes qui leur correspondent seront toujours des centres et des axes dlxomologie conjugués par rapport aux deux courbes ; que pareillement le point de concours P de ces tangentes , qui sont les seules qui puissent alors appartenir à ces courbes , sera à la fois et le pôle et le centre dliomologie conjugué à la sécante commune de contact SS' : or de là résulte immédiatement une infinité de propriétés particulières des sections coniques an double contact : que par exemple , on mène une sécante arbitraire AB par le pôle P de la corde de contact, on voit qu'elle aura même pôle Q par rapport aux deux courbes , et que ce pôle sera sur la corde dont il s'agit ; de telle sorte que les droites PB, PQ, SS' auront chanoine pour pôle le point d'intersection des deux autres (196), etc. ; mais nous nous proposons de revenir plus tard , et par une voie différente, sur les diverses propriétés des sections coniques au double contact.

323. Il nous reste maintenant à examiner comment, dans les divers cas qui viennent de nous occuper , l'une des courbes et son point de contact avec l'autre étant donnés , on peut tracer celle-ci au moyen de certaines conditions suffisantes pour la déterminer complètement. Or, dans le contact du premier ordre, on connaît déjà (3 19) , soit un centre d'homologie , soit une sécante commune , qui ne peuvent concourir simultanément à déterminer la section conique tangente ; ainsi trois conditions nouvelles sont nécessaires (3o5) pour décrire complètement la courbe.

Pour le contact du second ordre, on connaît (3ao) un centre d'homologie et un point de la sécante commune qui lui est conjuguée } en sorte que deux conditions peuvent suffire pour déterminer complètement l'osculatrice.

Pour le contact du troisième ordre, on connaît (3,2 1) un centre dliomo-t logie des deux courbes et la sécante commune qui lui est conjuguée} et par

i74 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

conséquent une seule condition , autre que celle du contact , peut suffire pour

déterminer complètement Fosculatrice.

Enfin, pour le double contact, on connaît (3aa) un centre d'homologie , et on sait que la sécante commune conjuguée à ce centre, qui ne se confond pas avec la tangente du point de contact donné , doit être une tangente commune à la fois aux deux courbes ; de sorte que deux conditions nouvelles sont suffisantes pour tracer la courbe qu'on cherche^

3?4* Si, au lieu d'un point de contact, on se donnait, dans ce dernier cas , la sécante de .contact et par suite le pôle de cette sécante , on aurait à la fois un centre d'homologie, et la sécante commune qui lui est conjuguée ; pat* conséquent une seule condition pourrait suffire pour décrire Pune des deux courbes au moyen de Fautre.

3a5. On voit pareillement ce qui arriverait, dans le cas du contact simple du premier ordre , si , à la place du point de contact des deux courbes qu'on supposerait alors être inconnu , on se donnait , soit une sécante tommune , soit un centre d'homologie conjugués à ce point et à la tangente qui lui correspond. Il est évident que dans ces diverses circonstances, comme dans celles qui précèdent , Ton pourra toujours décrire Tune des deux courbes , au moyen de Fautre et de certaines données , par quelqu'un des procédés généraux qui font le sujet des art. 3 07, 3o8 et suiv. $ le tout sans employer autre chose qu'une simple règle ou des jalons , si Fon opère sur le terrain.

Cas où, soit le centre, soit F axe dhomologie , soit tout autre objet des

deux figures , est situé à t infini.

3^6. Voyons maintenant ce que deviennent ces diverses considérations , et toutes celles qui font le sujet de ce chapitre , en général , quand on suppose , en vertu de la loi de continuité , que certains points ou certaines droites s'écartent à l'infini sur le plan de la figure.

Supposons , en premier lieu , que ce soit Fun des centres d'homologie de deux sections coniques , d'ailleurs quelconques et situées sur un même plan , qui passe ainsi à l'infini ; les deux tangentes communes correspondantes deviendront parallèles , aussi bien que tous les rayons d'homologie appartenant à ce centre ; l'une des deux courbes pourra être considérée ^ de deux manières différentes (290) , comme la projection de Fautre par des parallèles quelconques : les droites homologues concourant d'ailleurs toujours sur les axes d'bo-

SECTION m. CHAPITRE Ier- i75

mologie respectifs , conjugués au point à l'infini , il est visible que la distance , coipprise entre deux points homologues d'une certaine espèce , sera par-tout divisée en deux segmens proportionnels par la sécante commune correspondante des deux courbes 5 die sorte que Pune d'elles pourra également être censée provenir de l'autre par l'augmentation ou la dinrinutioay dans un certain rapport cônstapt, des ordonnées de celle-ci prises par rapport à «me droHb fixe qui leur sert de sécante commune.

327. Pareillement si, par deux points homologues d'une certaine espèce, ou mène^ à volonté, deux droites vers un point quelconque de la sécante commune correspondante, et que, par deux autres points homologues de la même espèce , on mène deux nouvelles droites parallèles aux premières , on verra sans peine qu'elles se couperont encore , ainsi que toutes leurs semblables, sur la sécante commune que Ton considère 5 en sorte que les deux courbes proposées peuvent aussi être regardées, d'une infinité de manières différentes, comme provenant Tune de l'antre , par finclinaison , sous un même afrgle, des ordonnées de la première, {Mises par. rapport k un axie fixe qui ièrt de sécante commune à toutes deux, et en faisant en même temps glisser, sur de$ directions parallèles quelconques , les différais points d'application de ces ordonnées sur la courbe. Enfin, si cette inclinaison est. telle que les nouvelles ordonnées conservent la même grandeur, l'opération reviendra amplement à faire balancer ou osciller , suivant la même quantité angulaire , celles des différais points de la courbe proposée.

3a8. Dans ces diverses déformation*, qui reviennent identiquement à la même, comme on voit, on connaîtra donc les, propriétés- qui sont communes à la courbe primitive et' à sa transformée (47,289, etc.)} et l'on pourra, d'après les considérations générales qui précèdent, non-seulement construire l'une d'elles au moyen de l'autre et de certaines données , mais encore déterminer directement les sécantes et tangentes communes qui leur appartiennent , puisque l'on est censé connaître le centre dliomologie qui est à l'infini.

Si , de plus , on exige que la nouvelle courbe ait un double contact suivant un diamètre, ou un contact du premier ou du second ordre en un point donné de la première , on le pourra , en choisissant convenablement le mode de transformation : par exemple 7 si l'on, suppose le centre dliomologie à Finfini, sur la tangente en un point donné de la courbe décrite , prise pour axe fixe ou sécante commune , les transformées de cette courbe auront (3ao) un contact du second ordre en ce point, etc.

i76 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

Les mêmes choses s'appliquent évidemment (397) aux lignes courbes en général , qui ont un centre d'homologie à l'infini 5 si ce n'est toutefois qu'il est impossible d'obtenir alors d'autres points de la commune intersection des deux courbes , que ceux qui sont sur l'axe d'homologie correspondant. - Comme les modes de déformation qui viennent de nous occuper sont souvent employés dans les arts graphiques 9 et qu'on s'en est servi quelquefois pour découvrir certaines propriétés des lignes courbes (*) , nous avons cru qu'il ne serait pas inutile de nous y arrêter quelques instans , et de montrer comment leurs propriétés dérivent toutes de la théorie des figures homologiques en général , théorie qui , comme on voit , donne même beaucoup plus que ce qu'on a coutume de considérer.

3a<). Revenons au système de deux sections coniques quelconques situées dans un plan , et supposons qu'au lieu d'un centre d'homologie , ce soit une sécante commune qui passe à l'infini $ les deux courbes deviendront s. et s. p. : donc , si l'on admet que l'on puisse tracer des parallèles à des droites données , on aura immédiatement un axe d'homologie dont on pourra se servir , soit pour déterminer entièrement Tune des deux courbes au moyen de l'autre et de certaines données , ainsi que cela a été fait dans ce qui précède pour le cas général où l'on se donne une sécante commune quelconque de deux sections coniques , soit pour construire directement (292) les sécantes et tangentes communes à la fois aux deux courbes, etc.

Si , maintenant , l'on suppose que la sécante à l'infini devienne une tangente commune 9 ou que les deux points communs à l'infini se confondent en un seul , les courbes deviendront des paraboles à diamètres parallèles 5 et , si l'on admet , en outre 9 que la sécante commune conjuguée à celle-là passe par le point de contact à l'infini , ou soit parallèle à la direction commune des axes , les deux paraboles deviendront osculatrices du second ordre (32o) au point dont il s'agit. Enfin elles deviendront osculatrices du troisième ordre en ce point (3a 1), si la sécante conjuguée dont il s'agit passe tout entière à l'infini f et se Confond par conséquent avec la tangente du point de contact.

Le point de contact demeurant toujours un centre d'homologie des deux

(*) DipiN 1 développements de Géométrie, Ier. Mémoire , pag. 1 9 et suiv. ; Brianchon f Correspondance Polytechnique, tom. 3, pag. 1 \ Ckaslbç, même volume, pag. 3a6. Nom donnerons, dans le Supplément , les moyens d'étendre ces considérations aux figures tracées en général dans l'espace.

SECTION m. CHAPITRE Ier. r77

courbes , si Fon mène , dans ce dernier cas , deux sécantes arbitraires parallèles aux axes , c'est-à-dire deux rayons d'homologie , ces rayons viendront déterminer sur les courbes deux cordes homologues parallèles, puisqu'elles doivent concourir sur la sécante commune à l'infini : or il suit de là que les portions de parallèles , comprises entre les deux courbes , seront par-tout égales entre elles; donc

Deux paraboles , osculatrices du troisième ordre à T infini , sont parfaitement égales , ont même direction (taxes , et sont tournées dans le même sens*

330. En général , toutes les propriétés qui peuvent appartenir au système de deux sections coniques, osculatrices d'un certain ordre en un point donné, s'appliquent directement au cas où ce point se trouve placé à l'infini 5 et il en est de même des constructions qui seraient aptes à donner Tune de ces courbes au moyen de l'autre et de certaines conditions. Or il n'est nullement indispensable , comme dans le cas précédent de la parabole , que la tangente en ce point passe elle-même à l'infini*, elle peut demeurer quelconque , et alors elle devient évidemment une asymptote commune aux deux courbes , qui par conséquent sont des hyperboles.

Etant donc donnée une hyperbole , on peut , au moyen des constructions relatives au cas général , déterminer la courbe de même espèce , qui aurait avec- elle un contact d'un certain ordre à l'infini, et remplirait, en outre, d'autres conditions également assignées; comme de toucher des droites ou de passer par des points donnés.

33 1. Enfin, aucun axe, ni aucun centre d'homologie des deux courbes n'étant supposé à l'infini , on peut exiger que cette circonstance ait lieu pour une certaine tangente ou pour certains points de la courbe non décrite : or , pourvu qu'on regarde comme parallèles les droites qui concourent en des points à l'infini , les constructions resteront les mêmes que dans le cas général , en vertu du principe de continuité. Mais , se donner un ou deux points à l'infini d'une section conique , c'est par là même se donner la direction d'une ou de deux asymptotes de la courbe , qui par conséquent est une hyberbole j et si Ton assigne , en outre, la tangente en l'un ou l'autre de ces points , on aura par là même l'asymptote correspondante de la courbe.

Pareillement demander que la section conique ait une de ses tangentes tout entière à IJinfini, c'est-à-dire (i3a) ait pour tangente la droite à l'infini du plan de la figure, soit qu'on assigne ou non le point de contact de cette tangente,

i78 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES,

c'est , par là même, exiger que la courbe soit une parabole, dont la direction de Paxe est ou n'est pas donnée. Donc on pourra également résoudre toutes les questions analogues à celles qui viennent de nous occuper, en exigeant que la courbe non décrite soit d'une espèce déterminée ; c'est-à-dire une hyperbole ou une parabole.

Cas où la section conique, homologique d'une autre , doit être s. et s. p.

relativement à une troisième section conique.

33 2. Les considérations qui précèdent semblent ne pouvoir être facilement appliquées au cas particulier du cercle , par la raison que trois conditions quelconques suffisent pour déterminer entièrement une telle courbe , sans que , en apparence , il y ait d'autres conditions accessoires à celles-là j comme il aitive dhns le cas de la parabole , qui est toujours censée avoir une tangente donnée à l'infini. Mais on ramené facilement encore ce cas particulier au cas général-^ en traçant, à volonté, une circonférence de cercle quelconque sur le plan de la figure; car elle aura (94) en commun, avec celle qu'on cherche, une sécante à l'infini parfaitement déterminée , puisqu'elle est la polaire du centre de ce cercle ; et par conséquent , indépendamment des trois conditions que doit remplir en général le cercle cherché , il sera encore assujetti à passer par deux points définis par le système de cette sécante et du cercle tracé à volonté sur le plan de la figure $ ce qui ramène évidemment les questions dont il s'agit aux circonstances particulières xles problèmes qui précèdent.

333. En général on peut demander que la section conique, non décrite, soit s. et s. p. relativement à une section conique quelconque donnée sur le plan de la figure; car on aura, par là même, deux points à l'infini de cette section conique. H y a cependant ici une difficulté, qui n'a pas lieu lorsque les deux points dont il s'agit sont immédiatement donnés : c'est que ces points peuvent être entièrement imaginaires , pour le cas où la courbe cherchée doit être une ellipse ou un cercle.

Voyons , par un exemple particulier , comment on pourra la résoudre ; il sera très-facile d'étendre ensuite ce que nous dirons au cas général où les deux points imaginaires , au lieu d'être à l'infini , seraient quelconques , et appartiendraient ainsi à une sécante idéale , à distance finie , commune à la section conique qu'on cherche et à une troisième section conique donnée prise pour auxiliaire.

SECTION ffl. CHAPITRE 1er. i79

334* Supposons donc qu'en un point donné S (Fig. 45) d'une section conique , il s'agisse de mener le cercle oscillateur , et , afin de simplifier, prenons, pour cercle auxiliaire r l'un quelconque de ceux qui touchent la section conique en S ; ce point sera (3 1 9) un centre d'homologie commun à la fois aux trois courbes : or toute la question consiste à trouver un seul point de la sécante commtme à la section conique et au cercle oscillateur, conjuguée à la tangente en S \ car on sait (3ao) que cette sécante doit , en outre , passer par le point dont il s'agit.

Traçons , à volonté , deux cordes AB et BC dans la section conique ? et soient A'B', B'C leurs homologues dans le cercle auxiliaire ; ces dernières devront être parallèles aux cordes correspondantes du cercle oscillateur , c'està-dire qu'elles concourront avec elles sur la sécante commune à l'infini à ces cercles. Ainsi , sans connaître le cercle oscillateur , on peut déterminer directement les points où les cordes qui lui appartiennent , et qui sont homologues à celles AB et BC , rencontrent la droite à l'infini du plan de la figure ; projetant donc ces points sur les cordes AB, BC par les parallèles SK et SL à A'B' et B'C' 3 les points K et L, ainsi obtenus, seront, pour la section conique 7 les homologues de ceux dont il s'agit ; et par conséquent KL sera , pour cette même courbe , la droite qui est l'homologue de celle à l'infini relative au cercle oscillateur. Mais les droites homologues doivent concourir (3a o) sur la sécante commune conjuguée à la tangente au point S ; donc SR , parallèle à KL , est la sécante commune dont il s'agit , et partant le point R , où elle rencontre la section conique, est un des points du cercle oscillateur 5 ainsi Ton aura tout ce qu'il faut pour le déterminer complètement , soit par points , soit directement, en menant par R un cercle tangent en S à la section conique.

* 335. On remarquera que toutes ces constructions peuvent s'effectuer au moyen de la règle seule, quand une fois le cercle auxiliaire est tracé ainsi que son centre 0*55), ce qui a lieu même pour le cas où Ton n'aurait que trois points quelconques A , B , C de la section conique et la tangente au quatrième point S 5 car au moyen de Yhexagramme de Pascal (207), on en obtiendra immédiatement autant d'autres qu'on voudra.

Au reste , on amplifiera beaucoup les constructions qui précèdent , en faisant attention que , si Ton prolonge les cordes A'B', B'C du cercle auxiliaire jusqu'à leurs rencontres en K' et L' avec celles qui leur sont respectivement homologues sur la section conique, la droite K'L', qui passe par ces deux

180 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

points , devra nécessairement être parallèle à celle KL , déterminée ci-dessus ; car les triangles KLS , K'UB', qui ont déjà deux côtés respectivement parallèles , ont, par construction, le point B pour centre d'homologie ou de similitude.

336. Si Ton observe que la droite K'L' est , à son tour , la sécante commune au cercle auxiliaire A'B'C et à la section conique , conjuguée à la tangente commune du point de contact S , on en déduira , en passant , ce théorème dont nous donnerons plus tard une démonstration entièrement directe et générale :

Les sécantes communes à une section conique et à une suite de cercles tangens en un point donné de cette section conique , qui sont conjuguées à la tangente en ce point , sont toutes parallèles entre elles, ou vont concourir en un même point situé à Vinftni.

337* Quand le point de contact S est l'extrémité d'un des axes principaux de la courbe, la sécante commune KL et toutes ses semblables deviennent évidemment parallèles à la tangente en S ; donc celle SR , qui appartient au cercle oscillateur, se confond alors avec cette tangente, et partant (3ai)Ie cercle oscillateur a un contact du troisième ordre avec la section conique. Or cette nouvelle condition détermine entièrement le cercle oscillateur; en effet , la corde de ce cercle , homologue à une corde quelconque ÂB de la courbe , doit couper cette corde en un point de la tangente en S ; de plus , selon ce qui précède, elle doit être parallèle à ATB' 5 donc sa position est entièrement déterminée et , par suite , celle du cercle oscillateur lui-même.

Usage des théories précédentes pour la construction des sections coniques

assujetties à certaines conditions.

338. L'un des grands avantages de la théorie des centres et axes d'homologie , c'est de permettre de ramener directement les questions graphiques qu'on peut avoir à résoudre sur les sections coniques en général , à de simples questions du même genre sur la circonférence du cercle. Tout consiste en effet (3on , 3o3) à tracer , sur le plan de cette section conique , un cercle dont le centre et L'axe dTiomologie avec elle soient connus : or c'est ce qui est très-facile dans bien des cas.

Par exemple , si la section conique est décrite , on lui mènera un cercle tangent en un point quelconque , en déterminant , au moyen de Vhexagramme de Pascal (2 06), la tangente en ce point, qui d'ailleurs sera un centre d'ho-

SECTION M. CHAPITRE I» rôi

mologie des deux courbes. Dans le cas où Ton n'aurait que cinq points ou cinq tangentes , etc. de la section conique , on obtiendrait encore sans peine , au moyen du théorème cité et de son analogue (212) , soit la tangente en l'un des points donnés, soit le point de contact de Tune des tangentes données } d'où s'ensuivrait , comme ci-dessus , le cercle homologique à la courbe proposée.

339. En général , si la section conique , au lieu d'être décrite , n'est donnée que par cinq conditions , il faudra se servir de ces conditions pour déterminer un cercle dont le centre et Taxe d'homologie avec la courbe proposée soient connus. Or, en n'admettant parmi ces conditions que celles où Ton se donne des points et des tangentes de la courbe , la question se ramènera , de suite, à quelqu'une de celles qui font le sujet des art. 307, 3o8 et suiv. , soit en menant un cercle par deux des points donnés , soit en traçant , au contraire, un cercle tangent à deux des droites données»

Dans le cas où Pon demanderait que la courbe fut s. et s. p. par rapport à une autre section conique donnée , le cercle auxiliaire deviendrait inutile , et Ton pourrait se servir Me la section conique donnée elle-même , puisqu'elle devrait avoir avec celle qu'on -cherche , la droite à l'infini du plan pour sécante idéale commune ; droite qui est toujours censée connue , en admettant qu'on puisse tirer des parallèles, ou qu'on ait seulement (198) un parallélogramme quelconque tracé dans le plan de la figure , ou enfin , ce qui revient au même (248) ? qu'on ^ Ie centre de la section conique qui sert de comparaison. Dans ces mêmes circonstances, trois conditions nouvelles suffiraient évidemment (3o6) pour déterminer entièrement la section conique.

Il y aurait un cas beaucoup plus général à considérer , c'est celui où l'on demanderait que la courbe cherchée fut semblable, de grandeur, à une section conique donnée , sans être semblablement placée ; mais , excepté le cas où la courbe doit être une parabole ou un cercle , la question paraît présenter des difficultés toutes particulières, sur lesquelles je crois assez inutile d'insister (*).

34o. Si l'on remplaçait les données générales qui précèdent par d'autres , telles que les diamètres conjugués , les axes , les asymptotes , etc. de la courbe , la recherche du cercle auxiliaire deviendrait encore plus simple et plus facile }

(*) Voyez à la page 2o5 du tome XI des Annales de Mathématiques, un article sur la Détermination de l'hyperbole équUatète au moyen de quatre conditions données.

18a PROPRIÉTÉS PROJÇCTIVES,

je me dispenserai d'entrer, dans des détails à ce sujet. Cependant la question ou Ton se donnerait le centre de la courbe et certains points ou certaines tangentes , an nombre de trois seulement, mérite particulièrement d'être remarquée , tant à cause de la simplicité de là solution dont die est susceptible , qu'à cause des conséquences qu'on en peut déduire pour des questions plus générales.

En effet 7 au moyen de chacune des tangentes et de chacun des points donnés , au nombre de trois seulement, on obtiendra directement une nouvelle tangente et un nouveau point placés symétriquement à l'égard du centre de fa courbe ; par quoi le problème sera de suite ramené à quelques-uns de ceux qui' précèdent. Or il résulte de là (120) que j quand on se donne , outre trois points ou trois tangentes , etc. d'une section conique, un quatrième point quelconque de son plan et la polaire qui lui correspond , on peut tracer directement la courbe avec la règle seule.

34t* Les questions que nous venons de résoudre se rapportent au problème général qui suit, dont les cas, dépendans purement de la -Géométrie de là règle , ont déjà été résolus dans le deuxième chapitre de la précédente section :

Etant dorme n points (n ne pouvant surpasser 5) et 5-n tangentes cPune section conique 7 tracer la courbe P

Ce problème , envisagé dans toute sa généralité , a été traité d'une manière complète, par M. Brianchon , dans son excellent Mémoire sur les lignes du second ordre déjà souvent cité ; mon dessein n'est pas de revenir en détail sur chacun des cas dont se compose le problème , je ne ferais que répéter ce qui a déjà été dit plus généralement dans ce qui précède ; il. me suffit d'avoir montré comment la théorie des sécantes et des tangentes communes aux sections coniques peut y conduire sans, peine et d'une manière tout-à-fait directe. On remarquera, au surplus, que cette même théorie donne deux et trois manières différentes de résoudre graphiquement chacun des cas compris dans l'énoncé , selon que le cercle auxiliaire passe par deux des points donnés ou touche deux des droites données } elle offre , en outre , l'avantage d'étendre le sens de cet énoncé à des questions intimement liées à la première , et qui semblent en différer sous tous les rapports , en considérant les choses sous le point de vue purement géométrique.

34^. Ainsi nos constructions s'étendent au cas où deux des points ou des droites données sont à la fois imaginaires , pourvu que le système de ces points ou

SECTION ni. CHAPITRE Iw. »83

de ces droites soit défini d'une manière convenable : les deux points par le système d'une droite et d'un cercle pu d'une section conique quelconque, les deux droites par celui d'une courbe pareille, considérée comme tangente à ces droites , et à\m point qui en serait le concours idéal. Il serait même possible , et il ne serait guères plus difficile, de trouver des constructions qui s'éten-r dissent an cas où, soit quatre droites, soit quatre points, deviendraient imaginaires 5 dans tous ces cas, le nombre «des solutions est toujours le même. Comme nous devons revenir, dans lé chapitre suivant , sur les questions dont elles dépendent immédiatement (3o6) , nous nous contenterons , pour le moment , d'un seul exemple.

343« Supposons donc qu'on se donne une tangente et quatre points imaginaires de la courbe ; ces quatre points pourront être définis par le système de deux droites et d'une autre section conique décrite sur le plan delà pre-r mière :> or,ces droites pouvant et devant être regardées comme les sécante? conjuguées commîmes aux deux courbes, oucompie deux axes d'homologie conjugués, la polaire de leur point d'intersection, dans la courbe donnée, devra évidemment (a53) passer, par les deux centres d'homologie correspondans ; de sorte qu'il ne s'agira r pour avoir l'un ou l'autre de ces deux centres, que de trouver de nouvelles droites qui les renferment,

A cet effet y de chacun des points où la tangente donnée rencontre les axes d'homologie, on nïenera deux tangentes & la courbe décrite 5 Tune sera l'homologue directe (£5o et 39a), et l'autre l'homologue inverse de la première ; et par conséquent (a&\} les- droites ,- réunissant les points de contact qui n'appartiennent pas à des tangentes partant d'un même axe , iront rencontrer le rayon d'homologie déjà trouvé , en quatre points qui seront autant de centres d'homologie, au moyen desquels on décrira sans peine chacune des sections coniques distinctes qui résolvent le problème j lesquelles ne sont évidemment (3o6) qu'au nombre de deux seulement.

Construction graphique du centre , des axes , des asymptotes , etc. d'une

section conique donnée par certaines conditions.

* 344* Il arrive fort souvent, dans les questions qui tiennent aux arts graphiques : la perspective , ^es ombres, etc; , qu'une section conique étant dpn7 née par. certaines conditions 1} telle? que celles énoncées, art. 339ej34o, on -ait besoin >de déterminera wk Jes points où la coupe une droite tracée sur

184 PROPBIÉTÉS PROJECTTVES.

son plan , soit les tangentes partant d'un point donné , soit ses axes principaux , son centre , etc 5 il conviendrait peu d'avoir recours au tracé de la courbe par points 9 souvent aussi long que pénible , et qui pourrait ne rien donner de bien exact $ on se verra donc obligé , la plupart du temps , d'attaquer chaque question d'une manière directe et indépendamment des objets donnés dans l'espace ; or je ne pense pas qu'aucune théorie puisse fournir des solutions à la fois plus directes et plus simples que celles auxquelles conduit la théorie des figures homologiques.

En effet , ayant décrit 9 comme fl a été explique 338 et 339 , un cercle auxiliaire , on aura tout ce qu'il faut pour opérer directement sur la courbe non décrite , et résoudre (3o3) les diverses questions graphiques qui lui sont relatives et sont analogues à celles qui précèdent. On remarquera même que ces constructions ? si l'on en excepte celle du cercle auxiliaire, sont toutes linéaires et peuvent s'exécuter par conséquent avec la règle seule ou de amples alignemens ; d'où il suit que , dans le problème général de l'art. 3o5 , il est inutile que la section conique donnée soit décrite 1 et qu'il suffit qu'on connaisse cinq des conditions qu'elle doit remplir.

345. Voyons maintenant comment ces constructions si faciles conduisent immédiatement à la détermination du centre , des asymptotes et des axes de la section conique. En observant que le centre d'une section conique est précisément le pôle de la droite à l'infini de son plan ; que les asymptotes ellesmêmes sont les tangentes qui passent par ce pôle et touchent la courbe aux points où la rencontre la droite dont il s'agit; qu'enfin les axes principaux de la courbe ne sont eux-mêmes autre chose que les droites qui divisent en deux parties égales l'angle et le supplément de l'angle des asymptotes , on toit que tout revient finalement à trouver , pour le cercle auxiliaire , la droite qui est l'homologue ou la projection de celle à l'infini du plan de la figure , considérée comme appartenante à la section conique j ce qui est facile , en recherchant les points où la droite à l'infini rencontre deux autres droites quelconques relatives à cette courbe , et projetant ces points sur celles qui leur sont homologues dans le cercle , par de nouvelles droites évidemment parallèles aux premières et partant du centre d'homologie.

346. Supposons qu'ayant tracé (Eig. $6) un cercle auxiliaire dont S soit le centre dliomologie avec la cotarbe non décrite , on détermine 7 ainsi qu'il vient d'être expliqué , la droite mn qui , pour ce cercle , est l'homologue de celle à l'infini relative à la section conique ; il pourra arriver que cette droite

SECTION ffl. CHAPITRE Ier. i85

rencontre le cercle en deux points a: , y, la touche en un seul , ou n'ait aucun point commun avec elle»

Dans le premier cas , la courbe aura deux points à l'infini , placés sur les rayons d'homologie Sx et S^, qui seront évidemment parallèles aux deux branches de la courbe 5 laquelle sera par conséquent une hyperbole , dont on obtiendra les asymptotes en recherchant les droites qui , par rapport à elle 1 sont les homologues des tangentes Px , Yjr, aux points x et y du cercle.

Dans le second cas , la section conique n'aura qu'un seul point à l'infini , mais la tangente qui lui correspond sera elle-même tout entière à l'infini ; ce sera donc une parabole 7 ayant pour direction commune à tous ses diamètres le rayon d'homologie correspondant au point de contact de mn avec le cercle. Or on obtient de là aisément le grand axe de la courbe , puisqu'il est la polaire du point situé à l'infini sur les directions perpendiculaires à celle de ces diamètres.

Enfin , dans le dernier cas , la section conique n'ayant aucun point à l'infini , sera entièrement fermée et par conséquent une ellipse , dont on aura le centre en recherchant le point qui, par rapport à elle, est l'homologue du pôle P de la droite mn du cercle. -

347* Dans le cas où la courbe est une hyperbole , on obtient aisément des parallèles aux axes principaux , en divisant en deux parties égales l'angle et le supplément de l'angle formé par les deux rayons d'homologie Sx et Sjr parallèles aux asymptotes. Or on peut obtenir directement ces deux parallèles aux axes , par une construction indépendante des rayons d'homologie dont il s'agit , et qui s'applique par conséquent au cas de l'ellipse, pour lequel ces rayons n'existent plus.

Pour plus de simplicité , prenons que le centre d'homologie S soit un point de contact (3 19) commun au cercle auxiliaire et à la courbe 5 traçons le diamètre HK du cercle , qui passe par le pôle P de la droite mn , lequel est toujours possible $ menons par ses extrémités et par le point S les droites SH et SK , elles seront évidemment les droites demandées. Cette construction , étant toujours possible , servira , dans tous les cas , à faire connaître la position et par suite la grandeur des axes de la courbe , puisque Ton en a déjà obtenu le centre qui est homologue à P.

Si le centre d'homologie S n'appartenait pas au cercle auxiliaire , il faudrait faire passer un autre cercle par ce point , et qui eût mn pour sécante , réelle ou idéale , commune avec le premier , ce qui est facile ; après quoi la

186 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

construction s'effectuerait sur ce nouveau cercle , comme dans le premier cas ,

au moyen du diamètre qui passe par P.

348. La question qui vient de nous occuper n'est évidemment qu'un cas très-particulier de celle où il s'agit de trouver un système de diamètres conjugués formant un angle de grandeur donnée ; question qui peut encore se résoudre , d'une manière très-ample , à l'aide des considérations suivantes.

Soit toujours mn (Fig. 47) la droite qui , pour le cercle auxiliaire , représente celle à l'infini du plan de la section conique , ou est son homologue ; soit P son pôle, lequel est homologue au centre de cette section conique; menons à volonté, du point P, la sécante PAB dans le cercle, elle représentera un diamètre de la section conique , ou , si l'on veut , elle sera homologue à un certain diamètre de cette courbe 5 traçons enfin les tangentes aux points A et B où cette sécante rencontre le cercle auxiliaire , elles représenteront les tangentes parallèles aux extrémités du diamètre de la section conique, et le point N de leur instersection , qui appartient nécessairement (194) à la polaire mn de P, représentera le point à l'infini de ces mêmes parallèles.

Or il suit de cette construction que PN, qui joint le point N au pôle P, sera l'homologue du diamètre qui, dans la section conique, est conjugué à celui que représente ÂB ; donc les rayons tfhomologie SM et SN, répopdans aux points M, N où les droites PB, PN rencontrent m/i, seront respectivement parallèles aux diamètres conjuguée dont il s'agît, et partant l'angle MSN est égal à l'angle formé par ces diamètres. ;

349* Supposons maintenant que l'on se donne l'angle MSN formé par deux diamètres conjugués , et qu'il s'agisse de trouver k position de ces diamètres ; tout consistera évidemment à trouver celle des droites PM , PN qui lies représentent dans le cercle , et à les projeter sur la section conique. On remarquera , à cet effet , que les trois points P^ M, N doivent être tels (196) , d'après ce qui précède, que chacun d'eux soit le pôle de la droite qui joint les deux autres 5 de sorte que , en essayant d'inscrire au cercle un quadrilatère RSTU qui ait P et N pour points de concours des côtés opposés , et le centre d'homologie S pour un de ses sommets, ce quadrilatère devra se fermer, de lui-même (193) , sur le cercle , et avoir le point M pour intersection de ses diagonales 5 donc la corde TU, qui sous-tend l'angle donné MSN dans le cercle , doit passer par le point P, pôle de la droite connue mn; mais cette corde est donnée de grandeur en même temps que l'angle dont il s'agit 5 donc la question est ramenée à celle d'insaire au cercle proposé une corde, de longueur donnée, qui tende au point P 5 problème on ne peut plus facile à résoudre.

SECTION El. CHAPITRE Ier. 187

Ayant ainsi la position de la corde TU, on en déduira de suite , par une construction purement linéaire , celle des droites PM et PN, et partant la grandeur et la position des diamètres conjugués qui leur correspondent dans la section conique.

350. Ce problème a , comme on voit , deux solutions distinctes , qui se réduisent à une seule quand l'angle des diamètres doit être droit. Dans Ce cas , on retombe évidemment sur la solution déjà donnée plus haut (347) 5 mais les considérations générales qui précèdent offrent , de plus 7 l'avantage de faire connaître simultanément et la position et la grandeur de ces axes , en ne faisant usage que de la règle seulement , quand le cercle auxiliaire est une fois décrit et que son centre est assigné. D'ailleurs les constructions qui en résultent s'étendent à toutes les sections coniques , même à la parabole , et elles mettent en évidence la loi que suivent les angles formés par leurs systèmes de diamètres conjugués. Ainsi l'on voit très-bien que , dans la parabole et l'hyperbole, ces angles peuvent croître depuis o jusqu'à 2000; tandis que, dans l'ellipse , ces mêmes angles sont susceptibles d'un maximum et d'un minimum.

Réflexions sur la possibilité de résoudre linéairement tous les problèmes du second degré , au moyen d'un seul cercle une fois tracé, ou d'un angle Couverture donnée.

35 1. Dans ce qui précède , on a vu comment, ayant deux droites homologues à deux diamètres conjugués d'une section conique donnée seulement par certaines conditions, on pouvait déterminer directement, au moyen du cercle auxiliaire, l'angle formé par ces diamètres et la direction des côtés de cet angle ; les mêmes constructions s'appliquent évidemment à la détermination de l'angle de deux droites quelconques appartenantes à la section conique , en recherchant , pour le cercle , celles qui sont leurs homologues. Or il suit de là qu'on pourra ramener immédiatement toutes les questions d'angles qu'on se proposera sur les sections coniques , en général , à d'autres questions semblables sur le cercle ; pourvu , toutefois , que les autres conditions du problème ne concernent que la direction indéfinie des lignes et leurs concours (*).

(*) On pourrait aussi admettre les relations métriques, pourvu qu'elles fussent projectives, ou qu'au moins, en les étendant d'une manière convenable, on pût les considérer comme telles j car ces sortes de relations subsistent évidemment (3oi) pour le cercle et la section conique qui lui est homologique.

188 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

35a. Les problèmes qui ne concernent purement que les relations projectives , sont sur-tout remarquables en ce que , ramenés à d'autres sur le cercle auxiliaire , ils conduisent précisément à des questions du même genre que celles qu'on s'était proposées sur la section conique correspondante ; ce qui n'a pas lieu pour le cas qui précède , où l'on considère des relations d'angles. H est à remarquer d'ailleurs que, sauf le tracé du cercle auxiliaire tangent à la section conique , tout doit s'exécuter sans l'intervention du compas , quand la solution n'est que du second degré seulement : on en a rencontré de nombreux exemples dans ce qui précède , et il ne serait pas difficile de les multiplier davantage ; mais , au lieu de nous arrêter longuement à l'examen des cas particuliers , il vaudra beaucoup mieux que nous présentions , sur ce sujet , quelques réflexions générales.

353. Nous avons déjà vu (a55) que, quand un cercle est donné et décrit sur un plan, et qu'en outre on en a le centre, il est possible de mener, avec la règle seule , des parallèles à des droites données sur son plan , d'abaisser ou d'élever des perpendiculaires sur ces mêmes droites , ou de mener d'autres droites qui fassent avec elles des angles donnés , etc. , etc. ; or je dis qu'il en sera ainsi , en général , de tous les problèmes du second degré qu'on pourrait se proposer sur certaines figures.

En effet , tout problème du second degré doit se ramener finalement à des intersections de lignes droites connues et de cercles donnés par trois conditions : comme de passer par certains points , et de toucher certaines droites. Mais chacun de ces cercles aura de plus, avec le cercle supposé donné et' décrit , une sécante idéale commune à l'infini , polaire du centre de ce cercle , et par conséquent connue ; donc on obtiendra , par quelqu'un des procédés généraux précédemment décrits , et toujours avec la règle , le centre de similitude qui appartient à ce cercle et au cercle donné par certaines conditions , et finalement on obtiendra, avec la règle et au moyen du premier cercle, tout ce qui peut appartenir au second (344)»

354. Ce qui précède nous a déjà fourni des exemples qui montrent combien le choix du cercle auxiliaire a d'influence sur la simplicité des résultats auxquels on doit parvenir : la même chose aura lieu pour toutes les questions qu'on pourra avoir à résoudre 5 car il est visible que , plus le cercle auxiliaire sera lié intimement aux données et aux inconnues du problème , plus la détermination de ces dernières sera facile , et moins elle exigera de lignes droites à tracer. On voit d'ailleurs comment il faudrait agir 1 si l'on se trouvait , de

SECTION ffl. CHAPITRE Ier- 1,89

toute nécessité , borné à l'emploi d'un cercle quelconque tracé sur le plan de la figure } car , d'après ce que nous venons de dire , on trouvera de suite , à L'aide de ce cercle et en ne faisant usage que de la règle , ce qui pourrait concerner tout autre circonférence de cercle non décrite , qui aurait une dépendance plus intime avec les objets de la figure , et des dépendances connues avec les objets qu'on cherche.

355. Je n'ajouterai rien de plus sur ce sujet qui d'ailleurs en vaudrait bien la peine , et je me contenterai de conclure , d'une manière générale , que tout problème du second degré qu'on a jusqu'ici résolu ou qu'on pourrait résoudre , par la suite, avec la règle et le compas sur un plan, ou avec une chaîne et un graphomètre sur le terrain , devra , par là même , pouvoir se résoudre avec la règle seulement , ou par de amples alignemeus au moyen de jalons , toutes les fois que , parmi les données , se trouvera une seule circonférence de cercle dont le centre sera connu et le périmètre tracé.

356. Véquerre d arpenteur ou même là fausse équerre (c'est-à-dire un apgle quelconque d'ouverture donnée) qu'on peut se procurer par-tout à si peu de frais , au moyen de deux traits de scie faits en croix sur la tête d'un piquet , ou seulement de trois épingles qui y seraient fixées perpendiculairement , présentera le moyen bien simple , non-seulement de faire passer un cercle par deux points assignés sur le terrain , ce qui est assez peu utile , mais encore de déterminer à priori, par un tâtonnement facile et souvent usité pour l'équerre d'arpenteur , les deux points où ce cercle rencontre un alignement quelconque donné sur le terrain.

On connaît d'ailleurs les moyens de mener directement , à l'aide de la fausse équerre, des parallèles ou des perpendiculaires à des lignes accessibles et données ; donc il sera facile de déterminer , une fois pour toutes , le centre du cercle dont il s'agit ; ce qui , d'après les fonctions que remplit l'instrument , ne sera indispensable que dans quelques circonstances particulières ] comme lorsqu'il s'agira , par exemple , de porter une distance donnée sur une direction également donnée , etc. Ainsi, à l'aide d'une fausse équerre, on sera à même de résoudre tous les problèmes du second degré sur le terrain , sans mesurer aucun angle, ni aucune distance; et, comme on <*père linéairement sur les droites et les points inaccessibles, donnés au moyen de certaines conditions, comme on opère sur les droites et les points situés à l'infini (197 , 198) , on voit qu'on pourra aborder directement toutes les questions qui font le sujet ordinaire de la Géométrie pratique*

igo PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

357* Ces diverses réflexions doivent faire sentir l'importance des ressources que peut offrir la fausse équerre , pour résoudre certains problèmes sur le terrain, et l'influence qu'elle peut exercer sur la simplicité des opérations qu'on pourrait y faire : l'une et l'autre se trouvent d'ailleurs confirmées par les résultats auxquels est déjà parvenu l'ingénieux et savant auteur des Solutions peu connues, etc. (168, note). Quant à ce qui touche la possibilité de résoudre linéairement tous les problèmes du second degré , à l'aide d'un seul cercle dont on a le centre , elle nous semble également confirmée , et par les réflexions générales qui précèdent , et par les diverses solutions de problèmes données dans le chapitre m de la deuxième section.

On peut prendre, d'après cela, une idée de l'étendue immense des développement que peut recevoir , un jour , la Géométrie linéaire ou de la règle , mais ce qui paraîtra sur-tout digne de remarque , c'est que cette même Géométrie, si simple dans ses principes et dans* sa marche, donne les solutions à la fois les plus élégantes et les plus directes que l'on connaisse ; c'est qu'elle conduit à ces solutions d'une manière naturelle , et non par des tours de fore*, comme il arrive pour la Géométrie du compas j en sorte qu'il semble de la nature même des problèmes du second degré de pouvoir être ramenés , dans leurs solutions , à des combinaisons d'une seule ligne de ce degré avec des systèmes de lignes droites indéterminées de grandeur et de direction , et non, au contraire, à des combinaisons plus ou moins complexes, plus ou moins multipliées , de circonférences de cercle ou , en général , de courbes du même degré.