CHAPITRE IL
Propriétés et construction. du système complet des sécantes et des tangentes communes à deux sections coniques situées sur un plan. — Des systèmes de sections coniques qui ont des sécantes et des tangentes communes , etc.
358. «I usqu'ici nous nous sommes occupés uniquement des propriétés individuelles des centres et axes d'homologie conjugués des sections coniques 5 il nous reste, pour compléter ce sujet , à rechercher l'ensemble des relations
SECTION m. CHAPITRE II. igi
qui lient entre eux tous les points et droites de cette espèce susceptibles , en général , d'appartenir au système de deux sections coniques données à volonté sur un plan } c'est-à-dire les relations qui embrassent à la fois toutes leurs sécantes communes et tous les points de concours de leurs tangentes communes ; nous en déduirons ensuite des moyens entièrement directs de construire graphiquement ces droites et ces points , quand les sections coniques sont décrites sur un plan , ou seulement données par certaines conditions 5 problème important et dont la solution nous semble renfermer , à elle seule , toutes celles des problèmes des quatre premiers degrés , puisqu'une question quelconque peut toujours être ramenée à la recherche des points d'intersection de deux lieux donnés du second ordre.
Du système complet des sécantes et des tangentes communes à deux
sections coniques situées sur un même plan.
359* Deux sections coniques quelconques , tracées sur un plan , ne peuvent avoir (ao3) plus de quatre points communs sans se confondre , et par conséquent plus de six sécantes communes , lesquelles forment par leurs intersections mutuelles un quadrilatère simple avec ses deux diagonales : or, en combinant , deux à deux , celles de ces sécantes dont le point d'intersection n'appartient à aucune des deux courbes , on obtient évidemment , en tout , trois systèmes de sécantes conjuguées communes, dont les points de concours sont ceux des côtés respectivement opposés et des diagonales du quadrilatère dont il s'agit 3 donc il n'existe pareillement (292) que trois systèmes de points de concours conjugués de tangentes communes correspondais respectivement aux premiers $ c'est-à-dire , en tout 1 six centres d'homolôgie , résultans de l'intersection mutuelle des quatre tangentes communes que possèdent 7 en général et au plus (209) , les deux courbes.
S'il pouvait y avoir plus de trois systèmes de centres d'homolôgie conjugués deux à deux , il y aurait pareillement plus de trois systèmes d'axes d'homolôgie conjugués ou de sécantes communes réelles ou idéales 5 ce qui est absurde , puisque le point d'intersection de deux sécantes , non conjuguées entre elles , est nécessairement (*) un point commun des deux courbes, et qu'elles en
. (*) Cette conséquence , qui résulte immédiatement du principe de continuité y peut se déduire également des propriétés qui doivent appartenir aux deux sécantes dont il s'agit. En
iQ2 PROPRIETES PROJECTIVES.
auraient ainsi plus de quatre de cette espèce. Enfin il est aisé de voir que , quand deux sections coniques ont quatre points communs réels , elles ont nécessairement aussi quatre tangentes communes; nous verrons bientôt que la proposition inverse n'est pas vraie , comme cela résulte d'ailleurs directement de l'examen de ce qui se passe pour deux cercles, et, de plus , nous ferons connaître les raisons pour lesquelles il en est ainsi.
36a. Cela posé y considérons dope le système général de deux sections coniques ayant quatre points communs A , B , C , D (Fig. 48), et quatre tangentes communes A'B', B'C , (7D'7 D'A' ; en joignant deux à deux , par des droites , les quatre points dont il s'agit, pour avoir les six sécantes communes aux deux courbes , on formera le quadrilatère simple ABCD , avec ses deux diagonales AG et BD , qui sera inscrit à la fois à ces courbes , et dans lequel ces deux diagonales et les deux paires de côtés opposés AB et CD , AD et BC seront les trois systèmes de sécantes communes conjuguées 7 concourant respectivement en L , M , K , au dehors du périmètre des deux courbes. Si Pon prolonge pareillement les quatre tangentes communes jusqu'à leurs intersections mutuelles, et qu'on joigne, deux à deux, par de nouvelles droites, les points de cette intersection , on obtiendra le quadrilatère complet PD'A'B'QCT, circonscrit à la fois aux deux courbes , avec ses trois diagonales A'O, BD' et PQ , dont les sommets correspondais sont deux à deux conjugués (292), et forment les trois systèmes de points de concours conjugués des tangentes communes *, or il existe, entre ces systèmes et ceux qui appartiennent aux sécantes communes , une liaison très-remarquable , et que nous allons maintenant examiner.
D'abord il résulte, des propriétés du quadrilatère inscrit aux sections coniques (192)} que
Les trois points L , M , K , ou concourent , deux à deux , les sécantes conjuguées communes , sont tels que Vun quelconque d7 entre eux est à la fois j pour les deux courbes , le pôle de la droite qui renferme les deux autres.
D'un autre côté , il résulte aussi (253) directement des propriétés des centres et axes cThomologie des sections coniques , qui ont été exposées précédemment, que
effet, la chose est évidente pour le cas où les deux sécantes sont réelles ; dans le cas contraire, on peut mettre (121) la figure en projection, sur un nouveau plan , de façon que les sections coniques deviennent des cercles , qui ne sauraient avoir plus de deux sécantes communes (69) , à distance donnée ou infinie,
SECTION m. CHAPITRE H. i©3
Chacun des trois points L , M , K est le pôle de la droite qui renferme les deux centres dhomologie conjugués aux sécantes communes passant par ce pointé
Donc cette droite , qui est une des trois diagonales du quadrilatère circonscrit à la fois aux deux courbes , se confond, pour la direction, avec celle qui passe par les deux autres des points L, M, K dont il s'agît, et par conséquent
Les trois diagonales du quadrilatère complet formé par les quatre tangentes communes aux deux courbes se confondent , pour la direction , avec les trois droites qui joignent^ deux à deux, les points L , M , K ou concourent respectivement les sécantes conjuguées communes à ces courbes.
36 1. Ainsi chacun des trois points L, M, K est le concours unique de quatre lignes droites formant un faisceau harmonique (1 86), savoir : deux sécantes conjuguées communes et deux droites appartenantes à deux systèmes de points de concours conjugués de tangentes communes.
Pareillement chacune des trois droites LM, LK, MK porte quatre points formant un groupe harmonique (186), savoir : deux points de concours de sécantes conjuguées communes , et deux points de concours conjugués de tangentes communes.
Enfin chacune des distances A'Cf , LK , etc. , qui séparent , soit deux points de concours conjugués de tangentes communes , soit deux points de concours de sécantes conjuguées communes, est encore divisée harmoniquement aux deux points où sa direction rencontre Tune ou Pautre courbe (186).
362. L'inspection de la figure donne encore lieu à beaucoup d'autres remarques : par exemple , on aperçoit de suite que , si Pon trace , dans chaque courbe , le quadrilatère inscrit qui a pour sommets les points de contact correspondans des tangentes communes, i°. les diagonales qui joignent ces points de contact se croiseront toutes au point L 5 20. les côtés opposes iront concourir respectivement aux deux autres points K et M j en sorte que chacun de ces trois points sera le concours unique de huit lignes droites appartenantes aux quatre quadrilatères 5 3°. etc.
Toutes ces propriétés résultent immédiatement de celles qui ont été établies, dans la deuxième section , sur les quadrilatères inscrits et circonscrits aux sections coniques 5 mais on peut aussi y arriver, d'une manière directe et simultanée , en considérant (i33) la figure comme la projection du système d'une
iq4 PROPRIÉTÉS PROJECTTVES.
circonférence de cercle et d'une section conique concentriques : la droite KM peut alors être censée à l'infini , le point L , pôle de cette droite , est devenu le centre commun des deux courbes , et tout prend une position symétrique autour de ce point; de sorte que les propositions qui précèdent deviennent évidentes pour la nouvelle figure, et se peignent à Pœil.
363. Ces dernières considérations font voir, de plus, qu'un point quelconque ne peut être à la fois le pôle d'une même droite par rapport à deux sections coniques , à moins qu'il n'appartienne à deux sécantes conjuguées communes, réelles, idéales ou imaginaires, de ces courbes; car, en mettant h, figure en projection, sur un nouveau plan, de façon que la droite passe à Fiafini , le point dont il s'agit deviendra (1 16) le centre commun des deux courbes, dont l'une pourra d'ailleurs être un cercle, comme dans le cas qui précède. Donc aussi,
Quand trois points , situés sur le plan de deux sections coniques, sont tels que chacun deux est le pôle de la droite qui renferme les deux autres , ces points sont nécessairement ceux où concourent deux à deux les sécantes conjuguées communes des ces courbes*
Cas ou les tangentes et les points communs au système de deux sections
coniques , deviennent en partie imaginaires*
364- Quand il arrive que les deux sections coniques , toujours situées sur le même plan , n ont plus que deux points réels communs , et que par conséquent les deux autres sont imaginaires, il n'existe plus qu'une sécante commune réelle ; celle qui lui est conjuguée est nécessairement idéale , quoique toujours constructible (292). Quant aux quatre autres sécantes communes , elles sont toutes imaginaires (35g , note) : dans ces mêmes circonstances , on obtient encore deux points de concours conjugués des tangentes commîmes , correspondais aux deux sécantes communes constructibles ; mais , de ces points , l'un est nécessairement réel et l'autre idéal $ c'est-à-dire que les deux courbes ont alors deux tangentes extérieures communes , et ne peuvent en avoir plus de deux.
Enfin ceux des points L, M, K qui n'appartiennent pas aux deux sécantes en question sont, par cette raison même, devenus également imaginaires ' aussi bien que les quatre autres centres dliomologie appartenans en général aux deux courbes. Les mêmes choses résultent (Tailleurs directement de ce
SECTION m. CHAPITRE IL i95
que les deux courbes 1 ayant une sécante idéale commune 9 peuvent alors (121) être* considérées rigoureusement comme la projection de deux circonférences
de cercle. •
365* Maintenant^ si Ton suppose que les deux sections coniques soient entièrement extérieures Tune à Pautre 9 comme l'exprime la Fïg. 49 j elles cesseront d'avoir des points communs réels , ou ^ si Ton Veut , leurs quatre points d'intersection seront imaginaires ; mais alors même elles auront évidemment 1 ainsi que cela a lieu pour le cas particulier de deux cercles , quatre tangentes communes réelles et par conséquent six centres dliomologie conjugués deux à deux ; donc ces tangentes formeront encore > par leurs intersections mutuelles, un quadrilatère complet PA'QD'CBT circonscrit à la fois aux deux courbes, dont les trois diagonales se couperont aux trois points K, L, M, qui en conséquence seront réels, comme dans te cas général (36o) où les courbes ont quatre points communs 5 mais ces courbes ne sauraient d'ailleurs avoir plus de deux sécantes communes 9 lesquelles sont nécessairement idéales et conjuguées , puisqu'atitrement (359 1 note) eHes posséderaient des points d'intersection réels 9 ce qui est contre l'hypothèse.
Donc enfin les points de concours des sécantes communes conjuguées peuvent demeurer réels 1 quoique ces sécantes elles-mêmes soient devenues imaginaires : circonstance parfaitement analogue à celle que présentent les points de concours des tangentes communes ; c'est-à-dire qu'il peut aussi, exister des points de concours idéaux de sécantes conjuguées communes.
366. Les trois points L , M , K > dont il s'agit , étant demeurés réels , doivent encore jouir des mêmes propriétés à l'égard des sections coniques $ ainsi 1 par exemple : « chacun d'eux est à la fois , dans ces courbes respectives , le » pôle de la droite qui joint les deux autres (36o) ; et , si l'on trace les deux » quadrilatères inscrits à ces courbes 9 qui ont pour sommets les points de » contact correspondais dés tangentes communes, leurs diagonales et leurs » côtés opposés iront concourir respectivement aux trois points dont il s'a- * git (36a). *
La même chose doit avoir lieu également pour les six centres d'homologie qui sont demeurés réels 1 pourvu qu'on ait égard aux observations de l'art. i369 ou qu'on entende ne parler que des propriétés dont les points et les lignes de construction demeurent possibles ? comme les centres d'homologie qui leur correspondent respectivement. Cette conséquence du principe de continuité est évidente pour les centres d'homologie A' et C où se coupent les
196 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
paires de tangentes commîmes de même espèce , et qui embrassent à la foisr les deux courbes dans le même angle ou dans des angles opposés par le sommet 5 car toutes les démonstrations , jusqu'ici établies pour constater les diverse» propriétés des centres dliomologie , sont précisément relatives au cas dont 91 s'agit , çt à celui où les deux tangentes sont supposées imaginaires , tandis que leur point de concours est demeuré réel»
367, Or on peut démontrer cette proposition directement pour chacun de» quatre autres centres dliomologie B', D'9 P et Q qui appartiennent à des tangentes communes d'espèces différentes , c'est-à-dire intérieures et extérieures : ainsi par exemple , pour choisir une propriété dont les lignes de construction ne deviennent pas imaginaires 1 « si, par l'un quelconque B' de ces points, l'on » mène une droite arbitraire RB'R', son pôle «* à l'égard de Tune des deux » courbes, et son pôle V, à l'égard de l'autre, seront situés sur une noo- » velle droite «V allant concourir réciproquement au point B' (259). »
Remarquons, en effet , que la corde de contact ou polaire ab du point Ft par rappport à la première des deux courbes, doit renfermer le point <r, pôle de RB'R' par rapport à cette même courbe (196), et que par conséquent cette corde est divisée harmoniquement (194) au point «-et au point R ou elle est coupée par la droite RR' $ donc les deux tangentes communes B'â, Vb , la droite BU et celle qui joint le point *r à B' forment un faisceau ^harmonique. On prouverait de la même manière , à l'égard de l'autre courbe , que la droite BV forme avec les deux tangentes en question et la troisième droite RB'R' un faisceau harmonique $ donc sa direction se confond avec celle de la droite BV, et partant les points t, B', *•' sont tous trois en ligne droite*
Ainsi la propriété dont il s'agit appartient à la fois aux six points ou concourent , deux à deux , les tangentes communes aux deux courbes ; ces points forment donc séparément autant de systèmes assujettis & la même loi , et il n'y a de différence entre eux que dans la réalité ou la non réalité des points d'intersection qui .leur correspondent dans ces courbes.
368. La raison pour laquelle les autres propriétés , appartenantes en général aux centres dliomologie , ne sauraient être applicables au cas où les tangentes correspondantes sont d'espèces différentes , c'est qu'elles feraient trouver d'autres sécantes communes que celles MA , MC qui proviennent des centres dliomologie A' et C, et qui sont, comme nous l'avons dit (365), idéales et conjuguées , en sorte qu'il en résulterait des points d'intersection réels pour les deux courbes , ce qui est contre l'hypothèse. Aussi arrive-t-il que , quand on mène ,
par an semblable centre dliomologie, une sécante arbitraire , elle ne saurait rencontrer à la fois ces courbes et donner des points homologues. Les sécantes conjuguées communes , que ce point est , en général 9 susceptible de construire , sont donc tout-à-fait imaginaires, en vertu même des propriétés (a5o) qui lui appartiennent : cet état particulier du système , k regard du centre dTÛ>mologie que Ton considère , pourrait d'ailleurs s'exprimer en disant que Fhomologie des deux figures est idéale ou imaginaire»
Cas où les tangentes et points communs au système de deux sections
coniques sont à la fois imaginaires*
36g. D nous reste maintenant , pour compléter cet examen des riroon»tances générales que présente le système de deux sections coniques quelconques tracées sur un plan , à voir ce qui a lieu pour le cas ou , les quatre points de leur intersection commune étant-toujours imaginaires, ces courbes ell&mêmes sont entièrement renfermées l'une dans l'autre*
Dans ce cas , il n'y a plus de tangentes communes possibles, et Ton ne voit pas de moyen direct de prouver qu'alors les courbes ont encore des centres et des axes d'homologie 5 cependant , comme dans des circonstances pareilles la chose a lieu pour le système de deux cercles tracés sur un plan commun, et qu'un tel système a pour projection, en général, deux sections coniques indépendantes de conditions particulières (tai), ^ ^ naturel d'en conclure qu'elle a lieu également pour le cas dont il s'agit.
Ainsi deux sections coniques , renfermées Tune dans Pautre sur un même plan , ne sont pas entièrement indépendantes ; elles peuvent avoir des centres et des axes dTiomologie conjugués , et jouir à cet égard des nombreuses propriétés qui sont le sujet du précédent chapitre , mais on voit en même temps , que ces' centres et ces axes doivent appartenir à des tangentes communes et à des points communs imaginaires.
Pour obtenir les axes ou les sécantes idéales communes dont il s'agit , et , par suite (29s), les centres dliomologie correspondais, on pourrait, dans le cas actuel , avoir recours £U procédé direct qui résulte de la définition même établie pour ces sortes de sécantes (57) \ mais la construction serait beaucoup trop laborieuse , et aurait le grave inconvénient de ne point éclairer la discussion. Celle que nous allons donner , outre qu'elle est exempte de ces défauts , offre encore l'avantage d'être générale et de pouvoir s'appliquer à toutf
198 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
les cas que peut présenter le système des deux courbes données , en même temps qu'elle réduit l'objet de la question au degré dé simplicité dont il paraît susceptible $ mais il est essentiel que nous développions auparavant les principes sur lesquels cette construction se trouve nécessairement fondée.
Nouvelles propriétés et construction générale des points de concours des
sécantes conjuguées communes.
370. On a dû s'apercevoir , d'après tout ce qui a été dit sur les trois points K , L , M (Fig. 48 et 49) où se coupent, deux à deux , les sécantes conjuguées communes au système de deux sections coniques , que ces points sont entièrement analogues à ceux K , L (Fig. 1 o) que nous avons appelés (76) les cercles ou points limites d'une suite de circonférences ayant une sécante idéale commune sur un plan. En effet, ces points, en y joignant celui où se cou* pent , à l'infini , les deux sécantes communes aux cercles dont il s'agit , sont les seuls (80) qui, comme les précédens, jouissent de la propriété d'être tels c que la droite qui joint deux quelconques d'entre eux est la polaire du troi- » sième , et se trouve divisée barmoniquement par chacune des deux courbes. »
Or il résulte , de cette identité parfaite de nature entre les uns et les autres de ces points, que, dans le cas particulier du cercle, les points limites K et L peuvent être considérés réciproquement comme la mutuelle intersection de sécantes communes conjuguées nécessairement imaginaires j et , comme ces points sont projectifs , de leur nature , étant liés aux deux cercles et à leurs sécantes communes par des relations projectives, il en résulte encore que leurs analogues , pour le cas général de deux sections coniques quelconques tracées sur un plan, doivent jouir (i38) de toutes les propriétés projectives qui ont été développées dans les art. 83, 84 et suiv.
Ainsi, par exemple , en conservant aux points réciproques du plan commun de deux sections coniques la définition admise (82) pour le cas de deux circonférences de cercle , il résultera de Fart. 84 que
Tous les points réciproques de ceux d'une droite , donnée sur le plan de deux sections coniques quelconques , sont situés sur une autre section conique passant par les points où se coupent , deux à deux f les sécantes conjuguées communes aux premières } en sorte que , si Von fait varier , d'une manière quelconque , la droite dont il s'agit sur le plan des courbes proposées , les sections coniques des réciproques auront.
SECTION m. CHAPITRE H. 199
pour sécantes réelles ou idéales communes , les droites qui renferment deux à deux les trois points dont il syagiL
371. II sait de là que, quand deux sections coniques sont données à volonté sur un plan , on peut déterminer directement les points où se coupent , deux à deux, leurs sécantes conjuguées communes, en prenant arbitrairement deux droites sur ce plan et traçant les sections coniques des réciproques qui leur correspondent respectivement 5 ce qui peut s'exécuter très-simplement, au moyen de la règle , en déterminant , pour chaque droite , les réciproques de cinq points quelconques de leur direction (81) , puis en faisant passer, au moyen de rhexagramme mystique de Pascal (201), une section conique par les points ainsi obtenus j car les deux nouvelles sections coniques viendront se couper , en général , en quatre points dont trois seront les points demandés.
Le quatrième point d'Intersection étant précisément (87) le réciproque de celui où se coupent les deux droites ou directrices arbitraires , pourra se déterminer, à l'avance, au moyen de la règle seulement, et par conséquent il sera toujours réel et constructible. Or de là nous déduirons cette conséquence inévitable :
Quelles que soient la position et la grandeur relatives des deux sections coniques données sur un plan , elles ont , au moins , un de leurs points de concours de sécantes conjuguées communes , réel
372. Tout consiste, en effet, à prouver que les deux réciproques qui correspondent aux droites données , et qui ont déjà un point réel commun , en ont nécessairement un second ; et c'est ce qui résulte évidemment , et sans intermédiaire, de ce que ces deux courbes sont continues de leur nature* D'abord on peut toujours ramener Fétat de la question au cas où les courbes sont fermées , en les projetant convenablement sur un nouveau plan ; . ensuite, si on les imagine, Pune et Pautre, engendrées par les extrémités de deux rayons vecteurs placés sur une droite mobile tournant autour du point de l'intersection commune, comme pôle (196, note), l'examen attentif des circonstances du mouvement fera voir que l'un des points générateurs , après avoir été en-deçà de celui qui lui correspond sur la même droite par rapport au pôle, devra enfin passer au-delà 5 ce qui ne peut avoir lieu', par un mouvement continu, sans qu'il y ait eu une position intermédiaire de la droite mobile , pour laquelle les deux points en question se trouvaient nécessairement confondus en un seul , commun à la fois aux deux courbes proposées.
aoo PROPRIÉTÉS PROJECHVES.
La démonstration cesserait pourtant d'être applicable , si les deux courbes no se croisaient pas en faisant un angle au point pris pour pôle des rayons vecteurs ; mais alors les deux tangentes en ce point cesseraient également de (aire un angle, et par conséquent se confondraient en une seule ; donc les deux courbes se toucheraient au point commun 5 donc elles auraient deux points communs confondus en un seul (*).
Ainsi deux sections coniques quelconques , tracées sur un plan 1 ont toujours au moins un point de concours de sécantes conjuguées communes } et , s'il arrivait qu'elles en eussent deux, elles en auraient nécessairement (3ôo) un troisième, qui serait le pôle de la droite qui contient les deux autres.
Construction des sécantes conjuguées communes dont le point de
concours est donné.
3j3. Voyons maintenant comment, étant donné un tel point, on peut construire les deux sécantes conjuguées communes qui lui appartiennent} et, pour cela, remarquons d'abord que la section conique des réciproques d'une droite donnée sur le plan de deux autres sections coniques , dégénère elle-même en deux droites (88) , quand la directrice passe par l'un des points de concours des sécantes conjuguées communes , dont l'une , qui se confond avec la polaire de ce point , commune aux courbes proposées , renferme les deux points analogues au premier , et dont l'autre , au contraire , passe par le point dont il s'agit , et forme avec la directrice et les deux sécantes conjuguées correspondantes un faisceau de quatre droites harmoniques (**).
Il suit de là que , quand un point de concours de sécantes conjuguées communes est donné , on peut très-facilement , et en ne faisant usage que d'une simple règle , trouver deux systèmes de deux droites qui forment , avec les
(*) Ces raisonnemens s'appliquent évidemment à deux courbes quelconques , dont l'une est fermée ou susceptible d'être mise en projection suivant une courbe fermée. L'on peut même démontrer, en suivant cette marche, qu'en général, pour deux pareilles courbes, le nombre de points communs réels est nécessairement toujours pair. Enfip on prouverait encore, à l'aide de la loi de continuité , qu'il n'y a que les courbes de degré pair qui soient susceptibles d'être fermées ou d'être projetées suivant des courbes fermées.
(**) Ceci se rapporte spécialement au troisième cas indiqué art. 88 , attendu que dans les autres, les sécantes communes, relatives aux points qtte l'on considère, sont impossibles.
SECTION m. CHAPITRE IL aoi
sécantes en question ^ deux faisceaux de quatre droites harmoniques. Il ne s?agit donc plus que de savoir comment , ces deux systèmes étant connus , on pourra déterminer les deux sécantes communes correspondantes; question qui revient évidemment (a4) 9 en coupant toutes ces droites par une transversale arbitraire > à la suivante :
374. Trouver,, sur une droite indéfinie, deux points P et M (Fig. 28) , qui divisent à la fois harmoniqiiement les distances FH , FIT formées par deux autres systèmes de deux points donnés Sur cette même droite.
Par les deux points F et H , qui correspondent à la plus grande des deux distances , on fera passer , à volonté , une circonférence de cercle , à laquelle on mènera les deux tangentes EL, FL en ces points ; on joindra ensuite le point d'intersection L de ces tangentes avec les deux autres points donnés Fr et H'7 par les droites LF, LHf, lesquels iront rencontrer respectivement la circonférence aux quatre points B et C , A et D, tels qu'en les joignant deux à deux, dans un autre ordre , par de nouvelles droites, les unes iront concourir au point M , les autres au point P demandés (1 86). Les points M et P, ainsi trouvés , appartenant respectivement aux sécantes conjuguées communes qu'on cherche , on aura ces sécantes elles-mêmes, en joignant les deux points dont il s'agit avec celui où elles doivent concourir et qui , par hypothèse , est donné.
375. Cette construction n'est applicable qu'autant que les deux distances FH , FH' se trouvent comprises l'une dans l'autre j cependant on peut prouver que les deux points P et M , et par suite les deux sécantes conjugées communes qui leur correspondent , sont encore réels quand ces distances sont tout-à-fait extérieures entre elles; il est évident, en effet, que , dans ce cas, le faisceau des quatre droites convergentes, qui renferment (373) les extrémités de ces distan- • ces , pourrait encore être coupé, par une transversale, de façon que les distances qui correspondent aux deux premières soient renfermées l'une dans l'autre , comme dans le cas qui précède $ c'est-à-dire que la construction demeurera applicable toutes les fois que les angles , formés respectivement par les deux systèmes de droites trouvées , ne se croiseront pas entre eux , en se superposant en partie.
Dans le cas contraire , la construction sera tout-à-fait impossible , et les deux sécantes communes seront par conséquent imaginaires. En effet, la distance F'H' couvrira nécessairement une partie de FH , quelle que soit la transversale qu'on ait choisie ; l'un des points F, Hf sera donc au dehors du cercle décrit sur FH , et l'autre au dedans } l'un des systèmes de points correspondais B et C ,
aoa PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
A et D sera imaginaire et Pautre réel ; ce qui exige , de toute nécessité, que
les points P et M soient eux-mêmes imaginaires, sans quoi les droites AB,
AC , etc. qui les donnent devraient être réelles , ce qui est absurde.
. La même conséquence ne saurait plus avoir lieu quand les points F et H' sont à
la fois extérieurs au cercle auxiliaire , parce: que alors les quatre points A ^
B, G, D deviennent à la fois .imaginaires 5 et qu'on ne peut plus affirmer,
comme dans le premier cas, que celles qui les joignent deux à deux , et qtd
donnent les points P et M, soient réellement impossibles*
376. Cette discussion n'est pas inutile; elle est un nouvel exemple de ce qui a été avancé à la fin de la première section (137) que, par cela Seul qu'une construction graphique est impossible, on ne peut pas affirmer que l'objet final de cette construction le soit également 5 il faut que Ton puisse dot*» ner des raisons manifestes pour prononcer sur cette impossibilité, si elle a lieu* Au reste , on aurait pu éviter toute espèce de difficultés, dans le cas qui précède , en ayant recours à une solution suffisamment générale du problème. >
Supposons, en effet, que bd et FH soient les distances données ; des ex» trémités b et d de la plus grande des deux, menons deux paires de tangentes au cercle, de rayon arbitraire, qui passe par F et H ; en joignant deux à deux, par des droites, les points de contact qui n'appartiennent pas à une même paire de tangentes, ces quatre droites viendront évidemment se croiser aux points P et M demandés (186). Cette construction a même Pavantage de s*ap-> pliquer au cas où Pune des distances données est imaginaire, pourvu qu'on connaisse la section tonique qui en renferme les extrémités avec la droite des deux autres points donnés : ces derniers points étant nécessairement alors extérieurs à la courbe, on voit, dé plus, que là solution est toujours réelle et possible.
Nous montrerons bientôt (38s) comment on peut résoudre le problème quand les deux distances sont à la fois imaginaires.
Recherche des diamètres conjugués parallèles des sections coniques , et construction directe des points de concours des sécantes conjuguées communes , quand Vun d'entre eux est donné*
377. La question que nous venons de résoudre revient évidemment à la suivante :
« Etant donnés , sur un plan , deux systèmes de deux droites convergeantes
SECTION m. CHAPITRE H. ao3
» en un point commun , déterminer un autre système de deux droites telles » qu'en menant une transversale quelconque parallèle à Fane d'elles 1 les dis- » tances interceptées sur cette transversale par chacun des premiers systèmes , » soient divisées en parties égales au point de leur intersection commune avec » l'autre. »
Orr si l'on regarde les deux systèmes de droites données comme deux sections coniques (184 j note), cette question pourra être envisagée comme un cas particulier de cette autre beaucoup plus générale :
Trouver les diamètres conjugués parallèles de deux sections coniques tracées sur un même plan f*
Cette question revient évidemment à trouver , sur le plan des deux courbes , deux points à l'infini , tels que lès polaires de l'un passent réciproquement par l'autre : or tous |es points à l'infini d'un plan pouvant être censés (107) appartenir k une même droite, on voit qu'il s'agit, en définitive, de rechercher les deux points où cette droite est rencontrée par la section conique lieu de ses points réciproques (370) j ce qui est facile (344)? en déterminant , à volonté , cinq points dé cette sectiorf" conique çvec la règle.
Présenté ainsi, ce problème paraît rager la règle et le compas réunis ; mais nous ferons voir plus loin (389 , note) qu'en se servant du tracé des deux sections coniques proposées, la construction peut être remplacée par une autre' purement linéaire , quelle que soit d'ailleurs la position de la droite donnée sur le plan de la figure*
378. Quand il arrive que la droite donnée , d'ailleurs quelconque , se trouve avoir même pôle dans les deux courbes, ou, si cette droite étant à l'infini, les courbes ont même centre, les deux points cherchés et le pôle dont il s'agit doivent, par là même, être tels (196) que chacun d'eux soit le pôle de la droite qui contient les deux autres ; donc (363) ils se confondent nécessairement avec les trois points de concours des sécantes conjuguées communes aux deux courbes. Dans cette circonstance, la- construction ci-dessus de la réciproque ne donne plus évidemment (igS) qu'un seul point de son périmètre ; c'est-à-dire le centre commun dont il s'agit , ou le pôle qui le remplace. Enfin cette réciproque elle-même dégénère (88 , 1 er. cas) en deux droites, que la construction précédente laisse ainsi indéterminées de situation sur le plan de la figure.
La question proposée ne peut donc être résolue , dans le cas particulier qui nous occupe, qu'en la ramenant à la suivante , dont l'énoncé rentre évidemment dans celui du problème déjà exposé ci-dessus (371) :
jo4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
379. Etant donnés Vun des trois points de concours des sécantes conjuguées communes à deux sections coniques 1 et par conséquent aussi la droite qui renferme les deux autres et qui est la polaire commune du premier par rapport aux deux courbes , construire directement ces deux autres points P
Il est facile dé voir que cette question n'est que du second degré , et doit par conséquent pouvoir se résoudre avec la règle et le compas. En effet , si Ton construit , comme dans le cas général de Fart. 371 , les deux sections coniques réciproques à deux droites quelconques du plan do la figure , elles devront, d'après ce qui a été dit au même endroit, passer à la ibis par le point donné et par celui qui est le réciproque du point commun à la fois aux deux directrices j donc on connaîtra , à l'avance , une de leurs cordes communes et la direction- de la sécante qui lui est conjuguée 5 au moyen de quoi il sera facile (344) de construire les deux points cherchés qui se trouvenLà l'intersection commune de cette sécante et des deux réciproques.
Cette construction exige le tracé d'un grand nombre de lignes auxiliaires , mais on peut lui en substituer d'autres qui, quoique moins générales, sont beaucoup plus directes et plus simples : or nous ne devons pas oublier que otre but véritable est (369) d'examiner les différens cas d'impossibilité du problème qui consiste à rechercher les sécantes communes au système de deux sections coniques données sur un plan ; problème dont la solution complète et générale se trouve , il est vrai , déjà renfermée dans ce qui précède, mais n'éclairé pas suffisamment l'objet de la discussion.
En effet, nous avons bien fait voir, art. 37a , que deux sections coniques, tracées sur un plan , ont toujours au moins un point de concours de sécantes conjuguées communes; nous avons même donné (373 et suiv.) les moyens de construire , dans tous les cas , les sécantes communes qui appartiennent à un tel point 5 mais il nous reste à rechercher dans quelles circonstances les deux autres points de concours semblables subsistent aussi bien que les sécantes qui leur correspondent respectivement : or la première de ces questions revient précisément à celle qui a été posée ci-dessus , en regardant comme donné celui des trois points qui est nécessairement réel dans tous les cas. Cela posé , voyons donc comment , au moyen de celui-là , on pourra déterminer directement les deux autres.
380. Supposons d'abord que le point dont il s'agit soit extérieur à la fois aux deux sections coniques proposées , il est évident que sa polaire rencontrera
SECTION m. CHAPITRE IL ao5
en même temps les deux courbes ; la question reviendra donc (36i) à trouver, sur la direction de cette polaire, les deux points qui divisent à la fois harmoniquement les deux cordes qui lui correspondent 5 problème qui peut être résolu par Pun des moyens ci-dessus indiqués (374, 375 et 376), et qui est toujours possible (375) , sauf le cas particulier où les deux cordes se superposent en partie j circonstance qui n'a lieu évidemment que pour le cas où les deux courbes se coupent en deux points seulement , puisque d'ailleurs , lorsqu'elles se coupent en quatre , les deux points cherchés sont nécessairement réels en même temps que le point donné (359)*
Ainsi les trois points de concours des sécantes conjuguées communes sont nécessairement réels quand , Pun d'eux étant à la fois extérieur aux deux sections coniques proposées 9 il arrive que ces courbes ont, ou quatre points d'intersection réels , ou sont entièrement extérieures , ou sont renfermées Pune dans l'autre.
Dans tous ces cas , la construction pourra s'exécuter avec la règle seulement , pourvu que , dans la construction générale $76) rappelée ci-dessus , on substitue , au cercle auxiliaire dont on s'est servi pour déterminer les deux points cherchés, Pune ou l'autre des sections coniques qu'on suppose données et décrites sur le plan de la figure. Si -elles n'étaient données que par certaines conditions, la solution cesserait évidemment d'être linéaire, et exigerait au moins (344) k t***^ d'un cercle auxiliaire , comme dans le cas général.
38 1. Supposons maintenant que le point donné soit seulement extérieur à l'une des courbes proposées , mais intérieur k l'autre ; alors la polaire commune de ce point cessera de rencontrer & la fois les deux courbes , et n'en rencontrera qu'une seule $ Pune des cordes correspondantes deviendra par conséquent imaginaire.
Dans ce cas , en appliquant à la section conique qui détermine cette corde la construction indiquée art. 376, on obtiendra évidemment toujours deux points réels, sans employer autre chose que la règle, quand la section conique dont il s'agit sera entièrement décrite sur le plan de la figure. On peut aussi mener, du point donné, deux tangentes à la section conique pour laquelle il est extérieur *, elles iront déterminer , sur l'autre , quatre points qui , étant joints deux à deux par de nouvelles droites , donneront lieu à un quadrilatère inscrit , dont les points de concours des côtés opposés seront (363) les deux points demandés.
Cette conséquence résulte, en effet, de la théorie des pôles, pour le cas
2o6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES-
ci-dessus ou le poiqt donné est à la fois extérieur aux deux courbes, et où ces courbes sont comprises Tune dans Fautre; car alors les cordes réelles, interceptées par la polaire de ce point ,' sont divisées à la fois harmoniquement (i55 et 186) par les deux points trouvés 5 donc, en vertu de la loi de Continuité, il en doit être de même aussi du cas qui nous occupe où l'une des deux cordes devient . imaginaire. .
Ain^i les trois points de concours des sécantes conjuguées communes sont nécessairement réels , quand Fun de ces points est à la fois intérieur à Tune des courbes et extérieur à l'autre 5 ce qui ne peut avoir lieu évidemment qu'autant que ces deux courbes n'ont aucun point commun réel, puisque les sécantes communes du point donné sont essentiellement imaginaires.
Cas où le point de concours lionne est à la fois intérieur aux deua:
sections coniques , ou leur sert de centre commun.
38a. Il nous reste à examiner le cas où le point donné est à la fois intérieur aux deux courbes proposées , et ^uqvtel par conséquent aucune des constructions qui précèdent ne peuvent; être applicables , puisque les cordes qui correspondent à la polaire commune de ce point sont à la fois imaginaires. Bfais alors on peut construire facilement deux cercles auxiliaires qui aient pectivemeçt dette polaire pour sécante idéale commune avec les sections niques proposées } car tout consistera à Rechercher (54) les cordes idéales communes Relatives à cette sécante ; au moyen de quoi on aura , de suite, les dçux cercles. Cela posé , ayant cherché la sécante commune ordinaire de ces cercles , elle ira rencontrer la polaire ci-dessus en un point qu'on prendra pour le centre d'un cercle orthogonal aux proposés , dont la circonférence , toujours possible, reiifermera évidemment (7$ et 38ô) les deux points réels demandés Ç*).
(+) La construction devient très-simple quand on remplace les cercles auxiliaires par le* pOtnts limites (j6) des suites qui les renferment \ en effet, pour ces points , les hyperboles supplémentaires, qui appartiennent respectivement aux deux cordes idéales trouvées (54) » se réduisent à des systèmes de droites rectangulaires^ décrivant donc des cercles sur ces cordes | comme diamètres, ils rencontreront les perpendiculaires élevées sur leurs milieux respectifs aux points limites demandés; quant au cercle orthogonal qui renferme les points cherchés , il sera facile à construire , puisqu'il doit avoir son centre sur la polaire donnée etpasier par les deux point* limites trouvés.
SECTION ffl. CHAPITRE H. 207
Mais on peut aussi, dans le cas actuel, opérer directement sur les courbes proposées.
En effet, si ces deux courbes ont des points communs, ces points doivent évidemment être au nombre de quatre-, car les sécantes conjuguées communes qui passent par le point donné sont nécessairement réelles et possibles ; donc les deux derniers points cherchés le seront alors également , et pourront se déterminer à priori et d'une manière très-simple, au moyen du tracé des deux courbes.
Dans le cas contraire, les deux courbes seront nécessairement intérieures Pune à Fautre (Fîg. 5o) 5 et alors , si Ton conçoit (63) une nouvelle section conique qui ait avec Pune d'elles , celle intérieure par exemple , la polaire MK du point donné L pour sécante commune de contact idéal, et par suite ce point pour concours idéal des tangentes communes, il est évident, d'après la théorie des pôles, qu'il existera (322), sur la sécante de contact dont il s'agit, une infinité de systèmes de deux points qui , avec le point donné , seront tels, que Pun quelconque d'entre eux sera le pôle de la droite qui joint les deux autres, par rapport aux sections coniques qui ont un double contact} donc le système des points, K et M, qu'on cherche devra être commun à h fois à la nouvelle section conique et à la section conique extérieure proposée : if est-à-dire (3(&) que les points L , M , K seront , pour celles-ci , des points de concours de sécantes conjuguées communes*
Tout consiste donc à déterminer la section conique auxiliaire, de façon que, sans la tracer,' on puisse aisément obtenir les trois points L, M, K qui lui sont relatifs ainsi qu'à la section conique extérieure ABCD.
À cet effet, on se donnera, à volonté, un point A de la section conique extérieure pour y faire passer fa nouvelle section conique j la droite AL , con^ duite par ce point et par le point L déjà donné , sera évidemment une sécante commune à ces courbes , laquelle ira déterminer, sur celle qui est donnée, un nouveau point commun C; D'un autre côté , d'après ce qui précède , là polaire MK du point L doit (36o) renfermer les deux centres d'homologie, ou points de concours P, Q des tangentes communes aux mêmes courbes, conjugués (292) à la sécante AC dont il s'agit $ si donc on connaissait un autre point quelconque X de la section conique auxiliaire et la tangente XY en ce point', on pourrait déterminer immédiatement les centres d'homofogte P et Q (3i4 Rem.)r et par suite le quadrilatère formé par Tmterse&km des tangentes communes correspondantes, dont les diagonales doivent d'ailleurs
ao8 PROPRIÉTÉS PROXECTIVES.
renfermer (366) les deux points cherchés. Or cette section conique doit avoir un double contact avec la section conique intérieure suivant MK, c'est-à-dire qu'elle doit avoir, avec elle , le point donné L et sa polaire MK pour centre et axe d'homologie conjugués (3m) j de plus, on connaît le point À de son périmètre 5 donc enfin il sera facile (3oa) d'en obtenir un autre quelconque X et la tangente XY qui lui correspond , le tout sans employer autre chose que la règle»
383, Le problème que nous nous étions proposé à Part. 379 se trouve donc ainsi complètement résolu , par des méthodes qui nous paraissent également simples , et il en résulte qu'il n'y a qu'un seul cas où deux des trois points de concours des sécantes conjuguées communes à deux sections coniques soient imaginaires : c'est celui (38o) où ces courbes ont deux points d'intersection réels , et n'en ont que deux ; chose que l'on connaissait déjà , d'après le cas particulier du cercle (76)-
On remarquera , d'ailleurs , que la plupart des constructions qui précèdent deviennent évidentes , dans le cas où la polaire* MK du point donné est à Pinfini , et où par conséquent (363) ce point lui-même est le centre commun des deux courbes ; or cette évidence peut servir à justifier les constructions dont il s'agit d'une manière entièrement directe , en supposant qu'on ait mis les courbes proposées en projection , sur un nouveau plan , de façon que la polaire du point donné passe à l'infini»
U en résulte aussi que, quand deux sections coniques tracées sur un même plan sont concentriques, on peut déterminer de suite, et par de simples intersections de lignes droites , soit les points où concourent deux à deux les sécantes conjuguées communes , dont un est donné à l'avance , et par suite ces sécantes elles-mêmes (373) , soit (292) les tangentes communes , ou au moins leurs points de concours , quand ces tangentes cessent d'exister.
Construction générale des sécantes et des tangentes communes au système de deux sections coniques ; récapitulation des cas de possibilité et d } impossibilité du problème, et de ceux où il s'abaisse au second degré.
384* Pour en revenir maintenant à Fobjet du problème général que nous nous étions proposé , et qui consiste (369) à déterminer le système complet des sécantes communes à deux sections coniques données sur un plan , nous ferons observer que , d après tout ce qui en a été dit dans ce qui précède ,
SECTION m. CHAPITRE H. 309
il ne doit plus guères être question que de discuter les difFérens cas que peut présenter ce problème , et le nombre des solutions dont il est susceptible ; or cet objet se trouve déjà rempli par les art. 359, 364 et s\m* 9 sauf pour un seul cas, qui nous a semblé mériter exception à cause des doutes qu'il a pu laisser : c'est celui où les deux sections coniques sont intérieures l'une i l'autre (36g)*
Considérons donc le système de deux coniques ainsi disposées sur un plan ; et proposons-nous de rechercher si elles ont véritablement deux sécantes idéar les communes , ainsi que cela a été annoncé à l'endroit cité.
D'abord il résulte de ce qui précède (38s) que les deux courbes ont alors nécessairement trois points de concours réels K, L, M (Kg. 5i) de sécantes conjuguées communes , dont deux extérieurs et Pautre intérieur à la fois à ces courbes. Or, pour trouver les deux sécantes communes qui correspondent à Pun quelconque de ces points , à M par exemple , il faudra (373) chercher deux systèmes de deux droites passant par ce point , qui , avec les sécantes dont il s'agit , forment séparément deux faisceaux de quatre droites harmoniques } mais le système des droites MK et ML est déjà dans ce cas (36i) 5 donc il He s'agit plus que de trouver un autre système de droites pareilles.
Cela posé, si l'on prend, à volonté, un quatrième point P pour y faire passer l'une des droites cherchées, dont la direction est toujours arbitraire ; qu'on détermine ensuite le réciproque F de ce point par rapport aux deux courbes, c'est-à-dire (82) le concours des polaires qui lui correspondent, MF sera la droite conjuguée ou la réciproque (373) de MP ; de telle sorte que , si Fangle PMF est compris dans celui des deux autres droites MK, ML, ou renferme entièrement cet angle, il sera très -facile d'obtenir les deux sécantes communes qui passent par le sommet M de ces angles , lesquelles existeront toujours (375) dans l'hypothèse dont il s'agit , et seront imaginaires dans l'hypothèse contraire.
Maintenant , si l'on joint pareillement , au moyen de ligne» droites , les points P et F avec chacun des deux autres points , K et L, de concours des sécantes communes, on obtiendra évidemment à la fois les systèmes de droites réciproques qui sont relatifs à ces points ; or je dis que , dans lé cas actuel où Ton suppose les sections coniques intérieures Fune à Pautre , il existe toujours un des points K, L, M qui remplit la condition ci-dessus prescrite , ou qui répond à deux sécantes communes non imaginaires. En effet , si l'on suppose que l'on ait pris le point arbitraire P dans l'intérieur du triangle KLM , il est évident
a io PROPRIÉTÉS PROJECTIVES,
que son réciproque Pr sera nécessairement au dehors de ce même triangle, puisqu'autrement les sécantes commîmes seraient , toutes six , constructibles , selon ce qui précède ; ce qui est absurde (359) c[a:m^ fes courbes n'ont , comme on le suppose , aucun point commun. D'un autre coté , on voit que nécessairement Tune des droites PTC, FL/FM, qui joignent ce point aux sommets du triangle, mais seulement une de ces droites, traversera la surface de ce triangle 9~ de sorte que l'angle qu'elle formera avec sa réciproque sera compris entièrement dans l'angle des côtés correspondons -, donc il existera réellement un système de sécantes conjuguées commîmes, mais il n'en existera qu\in seul de cette Sorte, dont les sécante* seront nécessairement idéales; comme ïl s'agissait de fe démontrer- *
Cette démonstration s'appliquerait évidemment , mot à mot , au cas où le» deux courbes proposées seraient entièrement extérieures , puisqu'alors elles auraient également (383) -trois points de concours réels de sécantes conji*jguées communes $ ainsi l'on est dispensé d'avoir recours k la considération des tangentes communes, comme on l'a fait (365) pour démontrer, dans ce cas, l'existence des deux axés d'homologie.
385. Quand une fois l'on a trouvé les divers systèmes de sécantes conjnguées communes on d'axes d'homologie qui appartiennent à deux sections coniques , on en déduit , sans peine (292) 9 les points de concours conjuguai des tangentes commîmes et ces tangentes elles-mêmes (*)$ ainsi nous avons complètement résolu ce problème difficile :
Couver les sécantes et tangentes communes au système de deux seo+ tions coniques données sur un plan?
' Concluons aussi de tout ce qui précède que
Deux sections coniques quelconques , tracées sur un plan , ont en géné~ rai, ou six sécantes communes réelles, ou deux sécantes communes dont une idéale et Vautre réelle , ou enfin deux sécantes communes idéales.
Dans le premier cas , les deux courbés ont quatre tangentes et quatre points communs réels , et par conséquent six centres d'homologie véritable (368). '
Dans le second , elles ont deux points communs réels et deux imaginaires j* avec deux tangentes communes et deux centres d'homologie conjugués aux
(*) On pourrait également obtenir ces tangentes, on au moins leurs points de contact ETec l'une des deux courbes > en recherchant les points d'intersection de cette courbe et de celle qui est la polaire réciproque de l'autre (^3 1) , par rapport à la première, prise pour directrice.
8ECTI0N m. CHAPITRE II, *u
deux sécantes') dont l'un réel et Fautre idéal 5 dans le même cas, un seul des points de concours des sécantes conjuguées communes subsiste , les deux autres sont devenus imaginaires*
Enfin dans le troisième cas , les quatre points d'intersectiob des deux courbes sont imaginaires ; et quoiqu'elles n'aient plus que deux sécantes communes idéales 7 elles n'en conservent pas moins , comme dans le premier cas, trois points de concours de sécantes conjuguées communes ; mais alors deux de ces points de concours appartiennent à des sécantes communes imaginaires» Si , en outre , les deux courbes sont totalement extérieures , les quatre tangentes communes et les six centres d'homologie subsistent} mais, de ces six centres, il y en a quatre dont fhomologie n'est qu'idéale ou imaginaire (368) ; au contraire , si Fùne des courbes est comprise dans Fautre , les quatre tangentes communes et les quatre derniers centres d'homologie sont à la fois imaginaires, mais les deux autres centres d'homologie subsistent*
386. Le mode de construction , auquel nous sommes parvenus dans là solution du problème général ci-dessus , a cela de remarquable , qu'il revient à ce que l'on a coutume d'appeler , en Algèbre , la réduction des équations du quatrième degré k celles du sixième , résolubles au moyen de celles du second et du troisième degré ; et l'on aura sans doute aperçu que ces mêmes constructions s'appliqueraient très-bien au cas où les sections coniques. ne serraient pas décrites , mais données seulement par certaines conditions (338 et suiv.) 5 ce qui doit s'entendre également de toutes les solutions de problèmes qu'on a données jusqu'ici ou qu'on pourra donner par la suite.
"H résulte aussi , tant de ces constructions que de celles qui font le .sujet du précédent chapitre, que la recherche deà sécantes et tangentes, communes au système de deux sections coniques données sur un plan , se réduit simplement à un problème du second degré, qui peut se résoudre par conséquent , avec la règle et le compas quand les courbes ne sont pas décrites , ou simplement avec la règle quand Tune d'elles ou toute» deux sont tracées , toutes les fois qu'on a soit une sécante commune , ou seulement un point de cette sécante (a5i et 292), soit un centre (Fhomologie, ou seulement une droite passant par ce centre, soit enfin un point de concours de berçantes conjuguées communes aux deux courbes; circonstances qui arrivent., en particulier (3a8 et 383) , quand les deux courbes sont s. et s. p. ou conr centriques : nous verrons, par la suite , d'autres circonstances également générales où la même chose a lieu.
ai a PROPRIÉTÉS PROJECTCVES.
Enfin Ton voit encore que , si deux cercles quelconques étaient décrits sur tin plan, sans qu'on en connût le centre , il serait possible , au moyen de ce qui précède , de déterminer graphiquement; et en ne faisant usage que de la règle ou de simples alignemens, soit les points limites de ces cercles, soit leurs sécantes communes , soit enfin leurs centres de symétrie ou de figure : au moyen de quoi , on aurait tout ce qu'il faut (a55 et 353) pour résoudre linéairement tous les problèmes du second degré. Or cette question , lorsque les cercles n'ont aucun point commun , ni aucune tangente commune possibles , n'est pas aussi simple qu'on pourrait le croire au premier abord.
Solution du dernier des problèmes énoncés art 3o5 ^ etde quelques autres qui sy rapportent ; des points réciproques dans le plan d'un système de sections coniques ayant mêmes sécantes communes.
387. Sous les différens points de vue qui viennent d'être signalés, la question générale de Fart. 385 comprend implicitement toutes celles de Part. 3o5 j car tout revient , en définitive, à déterminer les centres et les axes d'homologie de deux sections coniques, qui sont conjugués i un centre ou à un axe d'homologie supposé donné. Il reste d'ailleurs à résoudre (3o6) celles de ces questions qui sont relatives au cas où Ton se donne , soit deux centres , soit deux axes dliomologie conjugués des deux courbes; or la solution de ces dernières questions résulte immédiatement et très-simplement des principes qui précèdent.
En effet, si, dans le premier cas, les tangentes communes qui correspondent à l'un des centres dliomologie donnés sont possibles, on pourra les construire au moyen de Fune des deux courbes ; et alors la question sera ramenée à quelqu'une de, celles qui ont été résolues art. 3io et 3i2.
Dans l'hypothèse contraire , les centres d'homologie étant à la fois intérieurs aux • deux courbes proposées, on pourra déterminer, sans peine, les trois points où concourent deux à deux les sécantes conjuguées communes ; car l'un de ces points sera (36o) le pôle de la droite qui renferme les deux centres d'homologie donnés , les deux autres diviseront à la fois harmoniquement (36i) la distance de ces centres et la corde interceptée , dans la section conique supposée décrite , par la direction de la droite qui les renferme : appliquant donc à cette corde et à cette distance les constructions de Fart. 376, qui alors sont possibles et n'exigent le tracé d'aucune autre courbe que de celle qui est donnée,
SECTION m. CHAPITRE IL 21S
on aura obtenu les trois points de concours des sécantes conjuguées communes , et, par suite (36o), les diagonales du quadrilatère circonscrit à la fois aux deux courbes ; au moyen de quoi, connaissant une tangente ou un point de la courbe non décrite , on pourra (193) en déduire, sur-le-champ , trois autres, et par suite (3 10 et 3 12) les deux axes d'homologie conjugués dont dépend la construction de cette même courbe.
388. Quant au cas où Ton se donne deux axes d'homologie conjugués des deux courbes , sa solution générale et complète dépend du théorème suivant , qui est une*conséquence évidente (12a , 127) du principe établi, art. 81, pour le cercle :
Si Von considère ? ensemble des polaires qui correspondent à un point quelconque du plan d? une suite de sections coniques ayant mimes sécantes communes , c'est-à-dire ayant quatre points réels ou imaginaires communs, toutes ces polaires iront concourir en un point unique, qui jouira réciproquement de la même propriété à V égard du premier, àest-àdire qu'il sera son réciproque par rapport à toutes les courbes du système.
Or de là résulte immédiatement la solution de ce nouveau problème , qui conduit sans peine à celle de la question proposée :
.389. Deux sections coniques étant données à volonté sur un. plan , décrire une autre section conique qui ait mêmes points communs avec les deux premières, ou , plus généralement , qui ait mêmes sécantes communes réelles ou idéales, et passe, déplus, par un autre point donné, ou touche une droite quelconque également donnée P
D'abord on peut facilement trouver la tangente au point donné : en effet , la polaire de ce point , pour la courbe qui y passe , se Confond évidemment avec cette tangente ; mais , d'après le théorème ci-dessus , cette polaire et celles du même point relatives aux courbes données doivent concourir toutes trois au point qui est le réciproque du premier ; traçant donc ces dernières , elles détermineront, par leur intersection mutuelle, un point qui appartiendra à la tangente cherchée, dont la direction sera ainsi parfaitement connue.
Si Ton avait , au contraire , la tangente , on déterminerait le point où elle touche la courbe correspondante , en recherchant , comme à Fart. 377 , celui ou. plutôt ceux où elle est rencontrée par la section conique de ses réciproques , relative aux courbes données ; car , selon ce qui précède , chacun de
*i4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVEÔ.
ces points pourra être pris pour le point de contact demandé. Dans ce cai
donc , le problème pourra être susceptible de deux solutions distinctes (*);
La tangente et son point de contact étant ainsi connus , on trouvera , sans peine , autant d'autres points qu'on voudra de la courbe demandée , eh n'employant que la règle*
En effet, AÀ' (Fig. 5a) étant la tangente en question , A son point de con^tact , on prendra , à volonté, un point T sur sa direction , et sa polaire pour la courbe cherchée devra passer par A; mais elle doit aussi passer , d'après les conditions du problème, par le point T1, réciproque de T & regard des sections coniques données , point facile à construire au moyen des polaires qui correspondent à ces courbes et au point T ; traçant donc AT, ce sera la polaire ou sécante de contact du point T relativement à la section conique cherchée.
Actuellement , pour trouver le second point X , qui appartient à la sécante de contact AT et à la courbe cherchée , on prendra un point quelconque B sûr la direction de cette droite ; sa polaire devra , d'après la théorie des pôles (196), passer par T; mais elle doit aussi passer par le point Br réciproque de B et qu'il est facile de construire j traçant donc TF, ce sera la polaire de B par rapport à la courbe cherchée.
Le point B, le point T et le point E où Tff rencontre AB, obtenus comme il vient d'être expliqué, étant évidemment tels (196) que chacun d'eux est le pôle de la droite qui joint les deux autres, par rapport à la courbe cherchée, il s'ensuit que la corde de contact AX devra (194) être divisée harmoniquement aux points trouvés E et B ; il sera donc facile d'obtenir le point inconnu X, au moyen des trois autres, en exécutant (i55) les constructions indiquées sur la figure j de plus , la droite TX sera en même temps la tangente au point dont il s'agit.
Ainsi on obtiendra , par ce procédé , non-seulement autant de points qu'on
• . (*) Nous avons observé} à l'endroit cité (377)} que les deux points pouvaient se cens? traire linéairement, au moyen de deux des courbes données qu'on supposerait décrites ; et, en effet, ces points étant réciproques, ou tels (82) que les polaires de l'un quelconque d'entre eux, par rapport aux deux courbes, passent par l'autre, doivent évidemment diviser à la fois harmoniquement (19$ les cordes interceptées par ces courbes sur la distance qui les renferme 5 or ce problème, présenté ainsi, a été résolu linéairement, et pour les divers cas, auxfcrt. 38o, 38i et 38a.
SECTION m. CHAPITRE H. ai 5
voudra de la courbe, mais encore la tangente en chacun de ces points, lç tout en n'employant que la règle.
390. Ces diverses constructions sont d'ailleurs immédiatement applicables au cas où les sections coniques proposées sont remplacées , soit en tout > soit en partie, par des systèmes de deux lignes droites. Dans ce dernier cas, les quatre points , réels ou imaginaires, par lesquels doit passer (389) la courbe cherchée , se trouvant définis par le système d'une section conique et de deux droites , la question revient immédiatement à celle qu'on s'était proposé, de résoudre art. 388 ; puisque ces droites peuvent être considérées comme des sécantes , réelles ou idéales , communes à la courbe inconnue et à la courbe donnée , sekm que les points communs correspondais sont réels ou imaginaires. Dans l'autre cas , les deux sections coniques étant remplacées par deux systèmes de deux droites, les quatre points en question sont nécessairement réels et places à l'intersection commune dé ces systèmes ; or il résulte de la, en'ye autres, une nouvelle solution (206) assez simple de cet intéressant problème :
Cinq points dune section conique étant donnés , mener ^ avec la règle , ta tangente en Vun de ces points f '
Tout se réduit , en effet , à tracer (Fig. 53) deux paires de droites RAD et RBC , SBA et SCD, qui renferment à la fois les quatre autres points donnés A, B, Ç, D ; puis à construire , pour ce$ paires de droites , les polaires (1 97) RL et SK qui correspondent au cinquième point donné P 5 car elles viendront se couper au point F réciproque de P, qui sera un! second point de la tangente cherchée, en sorte que PP' sera cette tangente (*). .,
Il est sans doute inutile de dire que la plupart des théorèmes jusqu'ici démontrés et de ceux qui suivent subsistent , de même 9 quand on remplace lés sections coniques par des systèmes de deux droites , et donnent ainsi lieu £ un grand nombre de considérations aussi neuves qu'intéressantes ; c'est une
mm
(*) D'après ce qui a été dit (389, note} pour le cas général où les paires de droites données sopt remplacées par des courbes, on voit quet si c'était, au contraire, la tangente PP* qui fut connuey on obtiendrait} de suite, les points de contact correspondans P et P par quelqu'un des procédés décrits art. 3^4 et siriv. , en observant que ce* peints doivent diviser à la fois narmoniquement les distances* comprises respectivement sur la tangente pa* chaque paire de droites données. Une autre solution de ce problème se trouve implicitement; renfermée dans ceHe. que nous avons, donnée du problème générai de l'art. 34? * le même problème a aussi été résolu, par M. Briaocbout art» 45 du Mémoire sur fa lignes du sgz cond ordre* »; ■« , * *■• * *.t *».. -,, '■ ♦•.
2 \6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
remarque qui a été faite d'une manière générale , art* 184 de la IIe. section, et que nous avons déjà eu occasion de reproduire dans diverses circonstances k particulières \ c'est pourquoi nous ne croyons pas devoir insister davantage pour le moment*
Propriétés des diamètres conjugués parallèles des sections coniques qui ont quatre points communs , réels ou imaginaires « sur un plan.
391 . La théorie des points réciproques , dont nous avons déjà tiré un parti si avantageux dans ce qui précède , conduit à beaucoup d autres conséquences également remarquables*
Supposons , par exemple , que , dans Fénoncé du théorème de Fart* 388 , l'un des points* réciproques dont il y est question passe à l'infini, on arrivera directement à ce corollaire, dû à M. Lamé (*), et qui s'étend, d'une manière analogue, aux surfaces du second ordre qui ont mêmes points ou mimes courbes d'intersection :
Lorsque plusieurs sections coniques ont quatre points communs , leurs diamètres , conjugués à des diamètres parallèles , concourent tous en un même point.
Or de la on conclut immédiatement cet autre corollaire :
Les directions des diamètres conjugués parallèles, pour deux des Sections coniques proposées , sont en même temps communes à toutes les autres.
3q2. Mais, parmi toutes ces sections coniques, il en est trois qui se trouvent réduites au système de deux lignes droites : savoir les trois systèmes de sécantes conjuguées communes à toutes les courbes; donc
La direction des diamètres conjugués parallèles dun système de sections coniques ayant quatre points communs , est aussi celle des diarmètres conjugués parallèles (377) des trois systèmes de sécantes conjuguées communes à toutes les courbes du système; c'est-à-dire que, si Von mène , par chacun des points de concours des sécantes conjuguées communes , deux droites parallèles à ces diamètres , elles formeront , avec les sécantes communes qui lui correspondent , un faisceau de quatre droites harmoniques.
393. Cette liaison remarquable offre, comme on voit, un nouveau moyen
(+) Epamen de* différentes méthodes, etc. Paris, 1818 y pag. 34 et suit.
SECTION ffl- CHAPITRE H. a 17
fort direct et fort simple de « trouver le système des diamètres conjugues parallèles de deux sections coniques, » quand on connaît les trois systèmes de sécantes conjuguées communes qui leur appartiennent} car, en menant, par l'un quelconque des points de concours de ces derniers systèmes , deux droite* parallèles aux sécantes communes de l'un des deux autres , la question sera évidemment ramenée à celle (377) déjà traitée ci-dessus.
Cette solution montre, eu outre, que les diamètres en question ne sont imaginaires que dans le seul cas où les quatre points communs ne sont pas susceptibles d'appartenir aux sommets d'un quadrilatère convexe 5 circonstance qui n'a lieu évidemment que lorsque les deux courbes sont à la fois des hyperboles , et que le nombre des points d'intersection n'est pas le même pour les deux branches*
394* Quand, des deux sections coniques que l'on considère , Tune se trouve être un cercle , les diamètres conjugués parallèles ont alors , pour direction , celle des grands axes de Fautre ; c'est-à-dire que ,
Etant donnée une section conique quelconque, si Von trace , à volonté, un cercle sur son plan, et qui on détermine les sécantes communes correspondantes, les axes principaux de cette section conique seront parallèles aux droites qui divisent à la fois , en parties égales , l angle formé par deux sécantes conjuguées communes quelconques et le supplément de ce même angle*
On a donc , par là , un nouveaumoyen bien simple de déterminer , à priori (345),. la direction des deux axes principaux dune section conique, et, par suite., la position et la grandeur de ces axes eux-mêmes ; puisque chacun d'eux est la polaire du point situé à l'infini sur l'une des directions trouvées au moyen des sécantes communes*
Cette solution suppose que la courbe donnée soit entièrement décrite ; dans le cas contraire, il faudrait en connaître au moins cinq points, et alors, en faisant passer une circonférence de cercle par trois quelconques de ces points , la question serait ramenée à la suivante , qui se rattache immédiatement au sujet de ce chapitre :
396. Une section conique, non décrite , étant donnée par cinq points , dont trois appartiennent à une circonférence de cercle , trouver directement le quatrième point d intersection des deux courbes , en n'employant que la règle f
Soient À , C , E (Fig. 54) les points déjà communs aux deux courbes , B et D
ai8 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES* l
leà deux derniers points de la section conique ; traçons les droites indéfinies BC et CD et celles AB et DE qui se rencontrent en I : d'après la propriété de Fhexagramme de Pascal (201), tout triangle FKL dont les côtés passeront respectivement par les trois points A, E, I, et dont les deux sommets K, L appartiendront aux droites ou directrices indéfinies CD et BC , aura son dernier sommet F sur la section conique proposée. Pareillement, si Ton prolonge les directrices dont il s'agit jusqu'à leurs rencontres avec le cercle donné en D* et B' respectivement, qu'ensuite on trace les droites ABr et ED' allant concourir en F, tout triangle KFL, dont les côtés s'appuieront sur les points À, I', E, et dont les sommets K et L seront sur les directrices CDD*, CBTB, aura son dernier sommet F placé sur le cercle ; donc ce sommet sera à la fois sur le cercle et sur la section conique, si le côté KL, qui lui est opposé, passé luimême à la fois par les deux pôles I, I'} ainsi rien ne sera plus aisé que d'obtenir ce sommet, en achevant le triangle KLF comme l'indique la figure.
Cette solution s'applique évidemment au cas où les deux courbes sont des sections coniques quelconques , pourvu que l'une d'elles soit entièrement décrite ; autrement il faudrait trouver les points d'intersection K et D* des directrices BC et CD avec la seconde courbe, ce qui s'exécuterait encore très-amplement, avec là règle (204) 7 si l'on connaissait deux autres points quelconques de cette courbe , indépendamment des trois points A , C , E qui lui sont communs avec la première. On atteindrait encore, dans ces différens cas, le but proposé,, mais d'une manière plus générale , en se servant des propriétés des sécantes communes dont trois ici sont supposées connues; car, quelles que soient les conditions par lesquelles on se donne les deux courbes , on pourra toujours ramener le problème à quelques-uns de ceux qui ont été résolus art. 807 et suivans.
Du lieu des pôles dune droite donnée sur le plan cPune conique variable assujettie à certaines conditions} du lieu du centre de cette conique; de r enveloppe de ses polaires relatives à un point quelconque de son plan.
396. Reprenons la théorie des points réciproques, et observons que , d'après les propositions 84 et 85 relatives au cas particulier du cercle , le théorème de l'art. 3yo peut s'étendre , de la manière suivante , à un nombre quelconque de sections coniques :
SECTION ffl. CHAPITRE IL *lQ
Quand plusieurs sections coniques ont quatre points communs , réels
ou imaginaires , le lieu des points réciproques de ceux d'une droite quelconque , donnée sur le plan de la figure , est une seule et même section conique qui passe par les trois points de concours des sécantes conjuguées communes aux premières, et contient à la fois tous les pôles de ta droite dont il s'agit , par rapport à ces différentes courbés.
Or, en supposant que cette même droite passe à l'infini, il résultera de là, entre autres, ce corollaire: *'
Les centres de toutes les sections coniques , assujetties à avoir mêmes sécantes ou mêmes points communs , sont situés sur une autre section conique passant par les points où se coupent, deux à deux , celles de ces sécantes qui sont conjuguées entre elles. En outre , cette section conique est aussi le lieu des points de concours (391) des diamètres conjugués à la fois à une même direction donnée , mais variable (*)•
397. Les propriétés qui viennent de nous occuper en dernier lieu , et celles de Fart. £91 , se rattachent évidemment aux questions générales qui suivent :
Quel est le lieu des pôles d'une droite donnée , par rapport à une Section conique variable assujettie à quatre conditions quelconques ?
Quelle est la courbe enveloppe des polaires dun point donné, par rapport à une section conique variable assujettie à quatre conditions quelconques ?
Quand on n'admet , parmi les conditions qui déterminent le système des seotions coniques proposées , que celles où Ton exige que ces sections coniques touchent des droites ou passent par des points donnés, les deux problèmes peuvent facilement être ramenés Pun à Pautre, au moyen de la théorie des polaires réciproques exposée à la fin du IIe* chapitre de la II0. section.
En effet, en supposant qu'on cherche le système des sections coniques (F) qui sont (?3i) les polaires des proposées (P) par rapport à une section conique auxiliaire quelconque (0), il est évident (a3a et a33), i°. que, si les sections coniques proposées (P) sont assujetties à toucher une même droite donnée, leurs polaires réciproques (Pf) auront un point commun, pôle de cette droite par rapport à la directrice (0)} 20. que, si les sections coniques (P) ont, au
contraire , un point commun , leurs réciproques (P) auront une tangente com-
(*) D'après celàj la courbe des pointa O de l'art. 5j est néceagflirement une sectioâ conique. , - <
Mo PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
mune , polaire de ce point par rapport à la directrice (0) ; 3°. enfin que , si ton
prend , à volonté , un point A sur le plan des sections coniques proposées (P) j
Penveloppe de ses polaires , par rapport à ces sections coniques , aura pour ré-,
ciprpque le liai des points qui , par rapport aux sections coniques (F), sont
les pôles de la droite réciproque ou polaire de A relativement i la directrice
auxiliaire (0) , et vice versa : or de là résulte évidemment ce qu'il s'agissait de
démontrer.
398. Supposons, par exemple, que Pon traduise, de cette manière, l'énoncé du. théorème de Part. 388 , on en conclura , sur-le-champ, la réciproque suivante :
Le lieu des pôles d'une ligne droite donnée , par rapport à une suite de sections coniques tangentes à quatre droites quelconques , est luirnéme une autre droite.
Dans le cas particulier où la droite donnée passe à Finfini, cet énoncé se change évidemment en celui-ci :
Le lieu des centres des sections coniques tangentes aux quatre mêmes droites est lui-même une autre ligne droite»
Les quatre droites proposées forment , par leurs intersections mutuelles , un quadrilatère complet dont chacune des diagonales peut être regardée , en vertu de la loi de continuité , comme le diamètre d'une section conique tangente aux côtés du quadrilatère , et qui a ses deux branches superposées suivant cette diagonale} or de là suit cet élégant théorème qui, selon la remarque de M. Brianchon (*) , résulte aussi immédiatement de celui de Newton (**) , relatif an quadrilatère simple à deux diagonales :
Dans tout quadrilatère complet circonscrit à une conique, les points , milieux des trois diagonales , appartiennent à un même diamètre*
399. La proposition de Part. 396 conduit pareillement à cette réciproque, quand on lui applique les considérations déjà mises en usage ci-dessus :
Les polaires dun point , donné sur le plan d'une suite de sections, coniques tangentes à quatre droites quelconques , enveloppent une autre section conique, touchant à la fois les trois diagonales du quadrilatère } complet formé par ces quatre droites.
(*) Mémoire sur les lignes du Second ordre, art. 41*
(**) Principes mùthèmatteqûes , etc. Kv. I9 Lem. XXV. Nous avons donné , dans bs Annales de Mathématiques, tdtn; Xn> jfeg. 109, une autre démonstration directe et géométrique de ce théorème de Newton*
On voit (Tailleurs ce que deviendrait cet énoncé dans le cas où le point donné serait supposé à l'infini*
Ces exemples nous semblent suffire pour faire apercevoir comment , à Paide des seuls principes posés dans cet ouvrage , il serait possible d'arriver à la solution des divers autres cas du problème général dont il a été question cidessus ; ceux qui désireraient de plus grands détails sur cet objet pourront consulter plusieurs articles insérés aux annales de Mathématiques (*) , dont quelques-uns , purement analytiques , appartiennent à M. Gergonne , rédacteur de ce recueil.
4oo. La théorie des polaires réciproques , dont nous venons de faire usage dans ce qui précède , offre , comme on voit et comme cela a été avancé (235) , de grandes ressources dans la recherche des propriétés des figures ; or c'est ici le lieu de remarquer qu'il n'est aucune des propositions que nous avons énoncées sur les sécantes commîmes au système de deux sections coniques , qui ne puisse se traduire , de la même manière , en une autre sur .les points de concours de leurs tangentes communes , et vice versa.
En effet , d'après la remarque déjà faite ci-dessus (397) , si l'on trace , sur le plan des sections coniques proposées , une nouvelle section conique quelconque 5 qu'ensuite on s'en serve , comme de directrice , pour trouver les réciproques polaires des proposées j il paraîtra évident que , puisque tout point commun à l'un de ces systèmes de sections coniques est le pôle d'une tangente commune du système réciproque par rapport à la directrice , et vice versa , il paraîtra évident , dis-je , que les sécantes communes de l'un de ces systèmes seront (i$5) les polaires des points de concours des tangentes communes de l'autre , et que les points de concours des sécantes conjuguées commîmes de ce système auront pareillement , pour polaires , les droites qui renferment, deux à deux, les points de concours conjugués des tangentes communes du système réciproque ; c'est-à-dire , en un mot , que les quadrilatères complets, formés respectivement par les sécantes et les tangentes communes , seront réciproques polaires de l'un à l'autre système. D'ailleurs tout point de Tune des sécantes communes est remplacé par une droite passant par le point de concours réciproque de deux tangentes communes , et vice versa ; donc il sera facile de passer directement , des propriétés purement descriptives de celui-ci , aux propriétés pareilles de celle-là, en s'appuyant d'ailleurs sur les autres relations de réciprocité établies par la théorie des pôles et polaires.
(+) Tome XI, pag. 20S et 379$ tome XII, pag. 1091 a33 et 249.
aaa PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
Ou doit enfin remarquer qu'en vertu de la loi de continuité, toutes ces conséquences s'appliquent, de même, au cas où la sécante et le point de concours , que Ton considère , cessent d'appartenir réellement à des points communs ou à des tangentes commîmes des sections coniques.
4oi. Supposons , par exemple, que Ton applique ces considérations à la propriété énoncée art. 82, qui s'étend à toutes les sections coniques, on retombera évidemment sur celle de l'art. 2 58 ; pareillement , la question de Fart. 3 12 se ramène immédiatement à celle de Fart. 3i5, et les constructions qui leur sont relatives jouissent entre elles de la même réciprocité , etc. , etc.
D'après cela , nous aurions pu aisément réduire et simplifier tout & la fois l'objet de nos diverses recherches} mais nous avons préféré être un peu plus longs , pour rendre l'exposition des vérités plus claire et plus complète ; d'autant mieux qu'il s'agit d'exposer , dans cet ouvrage , les relations projectives des figures, et que la seule doctrine des projections suffit pour y parvenir d'une manière simple et directe. Nous continuerons à en agir de même , par la suite , toutes les fois qu'il n'y aura aucune raison d'adopter la marche contraire.
Nouvelles propriétés des sections coniques assujetties à certaines conditions sur un plan, des sections coniques s. et s. p. et du cercle oscu^ lateur en un point donné d'une telle courbe.
402 • Les propriétés qui nous ont occupés , depuis Part. 388, font partie de celles qui appartiennent , en général , aux systèmes de sections coniques variables assujetties à certaines conditions sur un plan ; or un grand nombre de ces propriétés dérivent immédiatement des divers principes établis , dans ce qui précède , pour le cas de deux sections coniques données sur un plan.
Supposons , par exemple , que Ton considère une suite de sections coniques ayant en commun, sur un plan, ou quatre tangentes, ou quatre points , ou trois tangentes et un point , ou une tangente et trois points , ou enfin deux points et deux tangentes} soit que ces points et ces tangentes soient tous réels , ou seulement en partie réels et en partie imaginaires , les théorèmes des articles 36o et 36 1 feront découvrir, de suite, plusieurs des propriétés communes aux courbes de ces différens systèmes* Ainsi Ton voit que , dans le premier et le dernier cas, les cordes de contact des sections coniques avec les tangentes que Ton considère , ou , si Ton veut , les polaires des points d'intersection de ces tangentes, pivoteront respectivement sur des points
SECTION m. CHAPITRE IL aa3
fixes (*) appartenons à la fois à deux des sécantes conjuguées communes <, et à deux des diagonales du quadrilatère formé par les tangentes communes de ces courbes , combinées, deux à deux ou prises dans leur ensemble , etc«
Mais il n'est pas nécessaire de recourir aux propriétés déjà établies pour le cas particulier où Ton ne considère que le système de deux sections coniques situées sur un plan , pour en déduire celles qui concernent un nombre quelconque de semblables courbes ; on peut, comme nous l'avons dit (4oi), y arriver directement , dans chaque cas , au moyen des principes de projection si x souvent mis en usage dans le cours de ces recherches; c'est-à-dire en ramenant la figure à quelqu'une de celles qui sont élémentaires.
4o3. Pour en offrir un dernier exemple qui puisse nous conduire à quelques conséquences nouvelles et faciles, nous considérerons le système d'un nombre quelconque de circonférences de cercle, ayant une sécante commune ordinaire sur un plan , outre celle qui leur appartient en général (94) à l'infini. Cela posé , il est évident que , si Ton trace un dernier cercle quelconque sur le plan des premiers , et ayant par conséquent la sécante à l'infini commune avec eux , il est évident , dis-je , que ce cercle ira déterminer, sur chacun de ceux-ci, une nouvelle sécante commune conjuguée à la précédente , qui concourra (73), ainsi que tentes ses semblables, en un point unique de la sécante commune ordinaire des cercles dont il s'agit 5 donc on aura le théorème général qui suit (122) :
Si un nombre quelconque de sections coniques , tracées sur un plan , ont mêmes points d? intersection ou mêmes sécantes conjuguées communes (ab) et (cd), réelles ou idéales, et qu'on en trace,. à volonté, une nourvelle qui ait F une quelconque (ab) de ces sécantes en commun avec les premières , elle ira déterminer, sur chacune de celles-ci , une seconde sécante commune conjuguée à (ab); or cette sécante et toutes ses semblables concourront en un point déterminé et unique de celle (cd), qui appartient à la fois à toutes les sections coniques proposées.
On traduirait de même évidemment toutes les autres propriétés des cercles, consignées & la fin du second chapitre de la première section.
404. Supposons maintenant que Ton remplace le système des sections co-
(*) Ces relations particulières ont été déduites., par M. Brknchon, comme conséquences des propriétés (186 et suiv.) des quadrilatères inscrits et circonscrits aux sections coniques : ▼oyes son Mémoire sur Us lignes du second ordre, art. i5 et 1 9.
224 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
niques proposées , excepté la dernière , par des circonférences de cercle ayant une sécante commune avec elle ; la sécante commune , conjuguée à celle-ci et relative aux cercles , passera tout entière à l'infini (94) ; donc on pourra énoncer ce corollaire , auquel nous sommes déjà parvenus , d'une autre manière (336) , pour le cas particulier ou les cercles touchent la section conique proposée :
Si, sur le plan cT une section conique quelconque, on trace une suite de cercles ayant, avec elle, deux points communs ou , plus9 généralement , une sécante commune, toutes les autres sécantes, communes à cette section conique et aux différens cercles , qui sont conjuguées à la première, seront parallèles ou iront concourir en un même point à F infini.
La proposition subsiste évidemment (90) , quand on remplace les cercles dont il s'agit par des sections coniques quelconques s. et s. p. sur le plan de la première 5 et il en résulte un moyen de mener , par deux points d'une section conique donnée et décrite , ou un cercle , ou une section s. et s. p. à une autre section conique quelconque , qui soient tangens à la première. En partant de là d'ailleurs , on déduirait immédiatement tous les théorèmes qui font le sujet des art. 392 , 3p3 et 3p4«
4o5. La même proposition va nous donner un nouveau moyen , très-direct et très-simple , de mener le cercle oscillateur en un point quelconque A (Kg. 55) d'une section conique donnée et décrite sur un plan.
En effet , par le point A faites passer, à volonté , une circonférence de cercle rencontrant , de nouveau , la courbe aux trois autres points B , C , D ; la sécante BC sera (292) conjuguée à celle AD ; et par conséquent , si par le point A on mène, dans la section conique, la corde AA' parallèle à BC , son extrémité A' appartiendra au cercle qui , passant par A et D , toucherait cette section conique en A ; car la corde AB sera devenue nulle , et sa direction tangente à la courbe : rien n'est donc plus facile que de mener , en un point donné A d'une section conique décrite, un cercle qui soit tangent à cette section conique.
Pour trouver maintenant le cercle oscillateur au même point , on observera, toujours d'après le théorème cité , que ce cercle doit faire partie de ceux qui touchent la courbe en A , et que par conséquent sa corde commune , conjuguée à la tangente en ce point , doit être parallèle à celle AD , et passer par le point A (3ao) ; menant donc par ce point la corde AD7 parallèle à celle DA', sa nouvelle extrémité D', dans la courbe , appartiendra au cercle
SECTION m. CHAPITRE II. m5
culateur , qui ainsi sera facile à tracer. Ou voit , au surplus , ce qu'il y aurait à faire dans le cas où la section conique ne serait pas décrite , mais donnée seulement par un certain nombre de points (3g5).
Si roEÈ connaissait Pun des axes principaux de la courbe , on pourrait se dispenser de décrire le cercle auxiliaire ABCD ; car (394) la direction de cet axe devant former le même angle avec les cordes conjuguées AD et BC , la direction de AA' serait par là même connue , et par suite celle de AD' parallèle k AD. Si) en outre , Ton se donnait la tangente en A, conjuguée à A'D, tout reviendrait évidemment à mener, par ce point, une droite AD' formant le même angle qu'elle avec Taxe de la courbe ; autrement on pourrait encore déterminer le point symétrique de A par rapport à cet axe , car le diamètre passant par ce point serait parallèle à D'A , et la construction reviendrait alors à celle qu'a donnée , du même problème , R. Simson , dans son Traité des sections coniques (liv. V, Prop. 39).
Réflexions générales sur Vobjet du présent chapitre et sur les moyens d'étendre, auoc sections coniques en général, les propriétés des cercles qui se coupent ou se touchent sur un plan , etc.
4 06. Nous n'insisterons pas davantage sur ces exemples et ces applications ; notre objet ici est moins, en effet, de multiplier le nombre des vérités particulières , quelqu'intéressantes qu'elles puissent d'ailleurs paraître , que de faire pressentir la fécondité qui est propre à chaque théorie, et de donner une idée exacte de l'étendue et de» la généralité des conséquences qui peuvent résulter des principes qui ont été posés dans la première partie de cet ouvrage. C'est pourquoi nous nous contenterons d'observer en général , pour terminer le sujet qui nous occupe , que , puisque les sécantes communes réelles ou idéales, les polaires, les pôles, etc. sont projectifs (118, 127), toutes les propriétés et constructions établies, soit à la fin du second chapitre de la première section, soit dans le dernier chapitre de la seconde, et qui sont relatives aux cercles qui se coupent ou se touchent sur un plan , etc. , subsisteront, d'une manière analogue (i38), pour des sections coniques quelconques qui auraient déjà une sécante commune , réelle ou idéale , représentant celle à l'infini des cercles , ou pour des sections coniques s. et s. p. sur un plan, dont la sécante commune serait , de même , placée à l'infini sur ce plan.
Ainsi , par exemple : étant données , sur un plan , trois sections coniques
326 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
ayant une sécante commune, on pourra déterminer , par des constructions purement linéaires (270 à 286) , une nouvelle section conique qui leur soit - à la fois tangente , et qui ait cette sécante en commun avec elles , etc. , etc.
D'un autre côté 1 il résulte (4oo), de la théorie des polaires réciproques , qu'il tfest aucune des propriétés des sections coniques 1 ayant une ou plusieurs sécantes communes sur un plan , qui ne puisse se traduire en une propriété analogue des sections coniques ayant un ou plusieurs points de concours de tangentes communes 1 et vice versa; donc il sera facile de découvrir les diverses propriétés et solutions relatives , en général 9 à des sections coniques assujetties à toucher les mêmes droites , ou à passer- par les mêmes points , donnés au nombre de deux , au moins , pour Tune quelconque des espèces.
407. Si maintenant on ajoute que toutes les propriétés et solutions ainsi obtenues demeurent applicables , en vertu de la loi de continuité , à tous les états particuliers par lesquels peut passer le système que Pon considère ; comme , par exemple, lorsque certains points ou certaines droites deviennent imaginaires 9 se confondent deux à deux , ou passent à l'infini , tandis que dés sections coniques dégénèrent elles-mêmes en des points , en des droites , ou se rapprochent (287) l'une de l'autre jusqu'à se superposer entièrement , on concevra sans peine l'immensité des conséquences qui peuvent découler, de ce qui précède, pour la simple Géométrie.
Il semble d'ailleurs qu'après les divers exemples présentés , soit dans ce chapitre , soit dans tout le reste de l'ouvrage , on ne pourra concevoir aucune espèce de difficultés dans l'application de nos principes ; en sorte que nous pourrions terminer ici la tâche que nous nous étions proposé de remplir. Mais notre but ayant été aussi de développer les germes de chaque théorie particulière , lorsqu'elle peut avoir des applications utiles aux arts qui reposent sur le dessin linéaire , il nous reste encore beaucoup à faire sous ce rapport ; l'on sait , en effet 9 que l'essentiel et le difficile , en pareil cas 1 n'est pas de poser des principes , mais de multiplier le nombre des applications et des exemples : nous poursuivrons donc la marche que nous avons déjà suivie , sans toutefois nous arrêter plus longuement sur les propriétés qui viennent de nous occuper en dernier lieu 7 lesquelles ne sont que des extensions faciles et , en quelque sorte , évidentes des divers principes déjà établis , dans la première et la seconde section 1 pour le cas particulier des circonférences de cercle.
SECTION m. CHAPITRE m. 327
