CHAPITRE IIL

Théorie des doubles contacts des sections coniques, et solutions des problèmes qui s'y rapportent.

4o8. JLiViŒ des applications les plus intéressantes de nos principes est la théorie des doubles contacts des sections coniques, que nous n'avons point encore eu l'occasion de développer de la manière convenable , dans ce qui précède , et qui a , comme nous le verrons bientôt , une liaison on ne peut plus intime avec les propriétés des foyers des sections coniques , et celles de certaines figures inscrites ou circonscrites aux mêmes courbes. Quoique cette application ne présente aucune sorte de difficultés , et qu'elle soit une conséquence extrêmement ample des propriétés générales établies dans le précédent chapitre , nous avons pense qu'à cause du grand nombre de considérations neuves et piquantes qu'elle offre, ce ne serait pas trop faire que de consacrer un chapitre tout entier à son exposition, d'autant plus qu'il n'est presqu'aucune de ces considérations qui ne soit indispensable pour les recherches dont nous aurons à nous occuper par la suite*

Nous avons d'ailleurs déjà fait connaître, art; Z22 et suiv., les propriétés dont jouit le système de deux sections coniques qui ont un double contact , réel ou idéal , relativement aux axes et centres d'homologie qui peuvent leur appartenir 5 il ne peut donc plus être question de ces sortes de propriétés , que nous supposerons désormais bien connues, non plus que des moyens graphiques de construire l'une des courbes par l'autre , quand on se donne, avec certaines conditions , soit un centre , soit un axe d'homologie.

409. Cola posé, considérons le système de deux sections coniques quelconques ayant un double contact, et supposons qu'on ne connaisse ni U sécante de contact , ni le pôle de cette sécante , et qu'il s'agisse de les déterminer , soit immédiatement , quand les deux sections coniques sont tracées , soit , au contraire , quand on ne se donne qu'une seule de ces courbes y et que l'autre doit être assujettie à certaines conditions, comme de passer par des points donnés , etc. Il est évident que ces sortes de questions sont d'un tout autre ordre que celles qui ont été résolues aux articles cités , et qu'elles

M8 propriétés projectives.

exigent aussi des principes différens 5 or il convient que nous examinions d'abord le cas où Ton suppose les courbes décrites ou données (34 1) par certaines conditions. Et comme , jusqu'à présent , nous avons constamment fait usage des principes de la projection centrale pour établir les bases de nos diverses constructions, nous continuerons à en agir de même dans tout ce qui va suivre.

Propriétés générales et construction de la sécante de contact commune au système de deux sections coniques doublement tangentes et données sur un plan.

4io. Deux sections coniques au double contact pouvant, en général, être regardées (f3i) comme la projection de deux cercles concentriques , pour lesquels la sécante de contact est passée tout entière à Pinfini, tandis que son pôle est devenu le centre commun des deux courbes, il ne sera pas difficile de découvrir les propriétés projectives qui peuvent appartenir à leur système.

Supposons , en effet (Kg. 56) , qu'au travers des deux cercles on mène une transversale arbitraire AB , rencontrant ces cercles aux points A et B , A' et B' respectivement ; qu'ensuite on détermine les pôles P et F de cette transversale, par rapport à chaque courbe, il est visible que la droite PF ira passer par le centre commun 0 , pôle de la sécante de contact à l'infini ; ce sera donc la direction commune à deux diamètres des cercks , dont le pôle & l'infini L sera le même , et appartiendra à la sécante de 4pntact de ces cercles.

Si Pon observe , en outre , que chacune des cordes AB, A'B' est divisée harmoniquement (27) par le point I de son intersection avec la direction commune des diamètres dont il s'agit , et par le point L qui se trouve sur la sécante de contact 7 on aura , au besoin (3y4) , un nouveau moyen de construire directement ces deux points indépendamment de la connaissance des pôles P etP'.

Pareillement encore, en traçant les tangentes aux extrémités des cordes AB et A'B', elles formeront , par leurs intersections mutuelles , un quadrilatère complet dont une diagonale PP' sera la direction commune des diamètres ci-dessus , et dont les deux autres concourront évidemment , à l'infini , au point L.

Mais, d'après le principe de Part. i38, toutes ces constructions demeurent immédiatement applicables aux sections coniques proposées , dont les cercles sont censés les projections } donc , en les répétant sur ces courbes pour deux transversales arbitraires 9 on aura , à la fois , et la sécante de contact qui leur

SECTION m. CHAPITRE ffl. 22g

appartient , et le pôle commun de cette sécante : le tout par des opérations qui n'exigent que l'emploi de la règle , quand les courbes sont entièrement décrites.

4n. Supposons encore que, d'un point quelconque P (Fig. 57) du plan de nos deux cercles , on leur mène respectivement deux paires de tangentes 5 les cordes de contact ou polaires correspondantes AB, AU' seront évidemment parallèles , et donneront par conséquent un point L de la sécante de contact, à l'infini , commune à ces cercles ; de plus , si elles rencontrent à la fois les cercles auxquels elles correspondent , c'est-à-dire si ce sont des cordes réelles , et qu'on joigne , deux à deux, leurs extrémités par de nouvelles droites, ces droites iront s'entrecouper respectivement aux points I et K, qui appartiendront à la direction commune de deux diamètres passant par le point P. Ainsi l'on aura obtenu , à la fois , et un point de la sécante de contact des deux courbes, et une droite passant par le pôle 0 de cette sécante»

H ne serait pas difficile , au surplus , de trouver d'autres points ou d'autres alignemens propres à construire la sécante dont il s'agit et son pôle : la symétrie des figures que nous venons de considérer nous dispense d'entrer dans de plus grands développement

Ainsi , quand deux sections coniques, au double contact, sont données et décrites sur un plan , rien n'est plus aisé que de déterminer, à l'aide de constructions purement linéaires , leur sécante commune de contact et le pôle de cette sécante ; mais il n'en est plus de même du cas où , une seule de ces sections coniques étant donnée et décrite, l'autre est seulement déterminée par certaines conditions. En effet , la seule hypothèse que les courbes aient entre elles un double contact comporte déjà deux conditions distinctes , et il n'en reste que trois d'entièrement arbitraires , et qu'on puisse se donner explicitement. Il n'est donc plus possible d'opérer directement , sur la courbe que déterminent ces conditions , comme on le ferait (344) & ces conditions étaient au nombre de cinq et de la nature de celles de l'art. 34 1.

Néanmoins les considérations qui suivent peuvent encore conduire au but , d'une manière également simple , dans plusieurs des cas principaux.

Des sections coniques doublement tangentes à une section conique donnée , et assujetties à passer par deux points aussi donnés.

4lj2a Continuons, comme ci- dessus , à, ne nous occuper que des cercles

*3o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

concentriques, projections des deux sections coniques qui, par hypothèse, doivent avoir entre elles un double contact ; et remarquons qu'il ne peut «"*«» être question que des propriétés qui appartiennent individuellement î l'un des systèmes de celles qui remplissent les conditions du problème j nous nous occuperons ensuite du nombre des solutions dont peut être susceptible ce même problème.

Soient À et B (Fïg. 58) deux points de la circonférence extérieure, supposée non décrite ; de chacun de ces points , menons une paire de tangentes à la circonférence intérieure , pour former le quadrilatère ample MNPQ circonscrit à cette circonférence ; traçons les deux diagonales NQ et MP , ainsi que la droite ÂB qui joint les points de concours des côtés opposés du quadrilatère. Il est évident, d'après la symétrie de la figure, que Tune, NQ, des diagonales passera par le centre commun 0, et divisera la distance ÂB en deux parties égales en I $ qu'en outre l'autre diagonale MP sera parallèle à cette même distance , et ira concourir avec elle en un point L de la sécante de contact , à l'infini, commune aux deux cercles*

Ainsi, au moyen des deux points donnés A et B, on aura, à la fois , et un point de la sécante dont il s'agit , et une droite renfermant le pôle 0 de cette sécante. Si donc on se donnait un troisième point de la courbe extérieure , on obtiendrait directement , au moyen de ce qui précède , la sécante de contact et le pôle qui lui correspond) le tout par des constructions purement linéaires.

4i3. Supposons maintenant que Ton trace le quadrilatère inscrit mnpq, qui a pour sommets les points de contact des côtés du premier , il aura évidemment (186) I et L pour points de concours de ses côtés opposa, et le point K sera l'intersection commune de ses diagonales et de celles du quadrilatère MNPQ 5 en sorte que les points I, K, L seront tels (192) que « chacun d'eux » sera , par rapport à la courbe donnée , le pôle de la droite qui contient les » deux autres. » Donc on pourra se dispenser de construire les tangentes qui répondent aux points A et B, et se contenter simplement de tracer les polaires ou cordes de contact nq et mp qui appartiennent à ces points.

Toutes les constructions qui précèdent demeurant immédiatement applicables au cas où les deux courbes sont des sections coniques ayant un double contact , on en déduit , sur-lenchamp , la proposition suivante :

àSï Von fait varier une conique , assujettie à passer par deux points connus A, B (Fig. 59), et à toucher, en deux points T,T', une autre section

SECTION m. CHAPITRE m. a3i

conique mnp donnée de position, la sécante de contact TTf, qui peut d'ailleurs être idéale , changera de situation en pivotant constamment sur un point fixe L, placé sur la droite qui renferme les points A et B.

4i4* Dans le cas particulier où la section conique donnée mnp dégénère en deux lignes droites, la proposition subsiste toujours, et revient à celle qu'a démontrée M. Brianchon , à la pag. ùo de son Mémoire sur les lignes du second ordre , et dont nous avons déjà dit quelques mots à Tait* 402 du précédent chapitre. On peut, au surplus, les établir directement, Tune et l'autre , sans recourir aux considérations particulières ci-dessus , et en leur donnant toute la généralité dont elles sont susceptibles.

En effet , toute les sections coniques qui passent par A et B ayant une sécante commune , réelle quand ces points le sont eux-mêmes , et idéale quand 3s sont imaginaires, on pourra, en général (122), considérer la figure comme la projection d'une autre, pour laquelle toutes les sections coniques seront devenues des circonférences de cercle , dont la sécante commune sera passée tout entière à l'infini. Or , par hypothèse , ces cercles doivent toucher, en deux points , la section conique projection de celle qui est donnée ; donc toutes les cordes ou sécantes de contact seront parallèles entre elles et à l'un des axes principaux de la courbe ; c'est-à-dire qu'elles iront concourir en un point de la droite, à l'infini , projection de celle où se trouvent les points A et B qui , d'ailleurs , peuvent être réels ou imaginaires , aussi bien que la corde de contact, sans que la proposition cesse de subsister.

4 1 5. On remarquera qu'il existe deux systèmes de cercles tangens à la section conique de projection , auxquels correspondent deux systèmes de cordes ou de sécantes de contact parallèles , mais dont l'inclinaison est différente d'un système à l'autre ; les unes étant parallèles au grand axe de la courbe , les autres à son petit axe. Il y a donc aussi, dans le cas générai (4*3), deux systèmes distincts de sections coniques doublement tangentes à la proposée , et passant par les points A et B ; or il est aisé de voir que , tandis que les cordes ou sécantes de contact des unes pivotent sur le point L , celles des autres doivent pivoter , au contraire , sur le point I déjà défini ci-dessus , et qui divise , avec le premier , la distance AB et la corde qu'elle intercepte dans la section conique donnée, en segmens harmoniques.

De là , au reste , on déduirait immédiatement tout ce qui a déjà été démontré d'une autre manière (4 1 3 et 4 1 3) 5 car si , de chacun des points A et B , on mène une tangente à la courbe donnée, le système de ces deux tan-

33a PROPRIÉTÉS PROJECTIYES.

gentes représentera une section conique ayant un double contact avec cette courbe , et la corde ou sécante de contact correspondante 1 faisant partie de Tune des séries de cordes en question , devra concourir en, celui des points I et L auquel elle correspond en particulier.

Cas pour lesquels Fun des points de contact est donné ou se confond

avec Vautre.

4 16. Si Ton se donnait Fun, T, des deux points où la section conique, passant par A et B , doit toucher la proposée , on aurait immédiatement celui, P, qui lui correspond , par l'intersection de la droite LT ou IT avec cette dernière courbe. Ainsi le problème, où Ton se propose de mener 1 par deux points Ae<B, une section conique ayant un double contact avec une section conique donnée, et dont un des points de tangence soit assigné, est susceptible de deux solutions distinctes , qui n'exigent Pune et l'autre que Pemploi de constructions linéaires , quand la courbe donnée se trouve en même temps décrite.

C'est , au reste , ce quVm déduirait immédiatement des considérations exposées , art. 3?3 , puisque le point de contact donné peut être regardé comme un centre d'homologie. Car , en recherchant , sur la courbe proposée, la corde qui est l'homologue de celle donnée AB, par rapport à ce centre , elle rencontrera celle-ci en un point qui devra appartenir à Taxe d'homologie conjugué à ce centre 5 or cet axe n'étant ici autre chose (3aa) que la tangente commune au second point de contact des deux courbes, ce point sera parfaitement déterminé , et il en sera de même de la courbe cherchée.

417* Si Ton exigeait que la section conique , passant par A et B , fût osculatrice du troisième ordre de la proposée , les deux points de contact T, T devraient se confondre en un seul , et la sécante qui lui correspond deviendrait une tangente à cette dernière section conique, passant par Fun ou par l'autre des points L et 1 5 le point d'osculation pourrait donc se déterminer aisément, par des constructions purement linéaires , si la courbe donnée était en même temps décrite 5 au moyen de quoi Fon obtiendrait ensuite (3a3) tout ce qui concerne Fosculatrice , en ne se servant également que de la règle. Enfin on voit qu'il existe , en général , quatre osculatrices distinctes satisfaisant également bien aux conditions du problème.

SECTION fil. CHAPITRE III. a33

Des sections coniques doublement tangentes à une section conique donnée , et assujetties à passer par trois points aussi donnés.

4 1 8. Si , au lieu des conditions qui précèdent , on se donnait , à volonté , un troisième point C, par lequel dût également passer la section conique ayant un double contact avec la proposée ; en joignant ce point avec les deux autres A et B , on obtiendrait deux nouvelles droites AG et BG qui , traitées comme la première AB , donneraient quatre points analogues à ceux I , L , appartenons deux à deux à ces droites ; ce qui formerait , en tout , six points rangés deux par deux, comme on vient de le dire , sur les côtés du triangle ABC , et divisant harmoniquement chacun de ces côtés; ainsi donc il y aurait , entre ces six points et ceux A , B , G , les diverses dépendances qui ont déjà été signalées art. 162.

La corde ou sécante de contact , relative à Tune des sections coniques cherchées , s'obtiendrait ensuite en joignant à volonté , par une nouvelle droite , deux quelconques de ces six points, qui ne proviennent pas d'une même combinaison ou d'un même côté ; ce qui donnerait évidemment , en tout , quatre droites distinctes , renfermant, trois à trois, les six points en question, et formait, par leurs intersections mutuelles , un quadrilatère complet dont ces six points seraient les sommets , et dont les droites AB , BG , CD seraient , en direction , les trois diagonales.

Quant aux pôles 0 des sécantes de contact TF, ils se trouvent évidemment (4 ia et 4*5), deux à deux, sur chacune des trois paires de droites analogues à celles LK, IK qui correspondent à AB et ont, pour point d'intersection, le pôle K de cette dernière droite et , pour pôles , les points I et L qui appartiennent à sa direction. Enfin , chacun des points 0 dont il s'agit s'appuyant à la fois sur trois des suc droites LK , IK provenant de combinaisons différentes , ces six droites doivent former un quadrilatère simple avec ses deux diagonales ordinaires , aux sommets duquel se trouvent situés les quatre pôles des sécantes de contact.

419. L'ensemble de toutes ces relations est exprimé dans la Fig. 60 : A, B , C sont les trois points donnés , par lesquels il s'agit de faire passer une section conique doublement tangente à la proposée $ ANP et AMQ, BN'T" et BM"Q", CNT' et CM'Q1 sont les trois paires de tangentes issues des points A , B, C et formant par leurs rencontres mutuelles , <en les combinant deux à deux ,

a34 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

trois quadrilatères circonscrits MNPQ, MWQ', M"N'T''Q", analogues à ceux dont fl a été question précédemment (4ia et 4i3) j enfin ITL", IP'L', ITfL et LL'L" sont les quatre sécantes de contact cherchées , et 0, 0* , 0", 0"' les pôles qui leur correspondent respectivement. L'usage des autres lignes et des autres points de la figure est facile à reconnaître , d'après ce qui a été dit sur la Fig. 59 , puisque on a eu soin d'employer les mêmes lettres , différemment accentuées, pour indiquer les points qui remplissent des fonctions analogues à Pégard de chacune de s trois droites AB , BC et CD,

On remarquera que les trois paires de tangentes issues des points A, B, C forment en outre, par leurs rencontres mutuelles, quatre hexagones distincts, tels que NQ,/N'QN"Q'N, circonscrits à la courbe donnée, dont les trois diagonales NQ, N'Q', N"Q", qui joignent les sommets opposés et appartiennent respectivement aux quadrilatères ci-dessus mentionnés, vont concourir (208 et 4*8) en l'un 0'" des quatre pôles des sécantes de contact cherchées, et rencontrent celles des droites AB, AC, BG qui leur correspondent respectivement ou renferment les points de concours des tangentes (fou elles proviennent , en trois points I, F, I" situés, deux par deux , sur trois des sécantes dont il s'agit.

Si, au lieu des trois points A, B, C et des paires de tangentes qui leur appartiennent , on considérait les polaires et les points de contact correspondais , on arriverait à des conséquences analogues et que nous aurons occasion de reproduire (4?4) ? lorsqu'il s'agira du cas où Ton se donne trois tangentes dé la section conique qui doit avoir un double contact avec là proposée. Nous verrais, en effet, que les deux questions ont entre elles une analogie telle qu'on peut toujours les ramener l'une à l'autre au moyen de la théorie des pôles* - . Au surplus, toutes ces considérations deviennent, en quelque sorte ^ évidentes , et peuvent se démontrer à priori en supposant , ainsi qu'on Fa fait art* 4l2i la fignre mise en projection, sur un nouveau plan , de façon que la section conique proposée et l'une de celles qu'on cherche deviennent A la fois des circonférences de cercle concentriques.

4^o. Les constructions, par lesquelles nous venons d'obtenir les sécantes de contact des sections coniques doublement tangentes à une section conique donnée, et passant par trois points., connus de position sur son plan , cessent d'être applicables quand ces trois points sont*, en tout on en partie , compris -dans l'intérieur de la courbe donnée ; il en est encore de même , à plus forte raison, du cas où dçux de ces points doivent être imaginaires} c'estrà-dire

SECTION m. CHAPITRE IÏÏ. a35

lorsque la droite correspondante doit être une sécante idéale commune (34a) à la section conique cherchée et à une autre section conique quelconque donnée. Mais , excepté le cas où les points donnés se trouvent partie au. dedans , partie au dehors de la courbe proposée , lequel ne peut évidemment être susceprtible d'aucune solution réelle 7 on ne doit pas conclure que , la construction devenant illusoire , la section conique cherchée doive , par là même , cesser d'être possible (376). En effet , dans le cas ou deux des points donnés sont imaginaires, on peut toujours (110) mettre la figure en projection 7 sur un nouveau plan , de façon que la section conique cherchée devienne une circonférence de cercle ; le problème se trouve donc ramené , d'une manière directe et purement géométrique, à celui où il s'agit de mener , par un point donné sur le plan d'une section conique , une circonférence de cercle qui soit doublement tangente à cette section conique : problème qui est évidemment toujours susceptible d'une solution réelle , quelle que soit la situation du point donné sur le plan de la courbe.

421. Quant au cas où les trois points donnés sont à la fois intérieurs à 1a section conique , on peut 9 comme dans Tait. 412 ^ supposer la courbe donnée et celle qu'on cherche remplacées par des circonférences de cercles concentriques 5 or il n'est pas difficile de prouver qu'on peut encore dans ce cas , de même que dans celui qui précède , déterminer directement 9 et par des constructions purement linéaires 9 la se'cante'de contact à l'infini et le centre commun des deux cercles , c'est-à-dire le pôle de cette sécante.

Soient, en effet , À et B (Fig. 61) deux points donnés de la circonférence intérieure , K le pôle de la droite AB par rapport au cercle extérieur 5 joignons ce pôle aux deux points donnés par les sécantes indéfinies KA , KB 1 rencontrant en D et F , E et G respectivement le cercle extérieur dont il s'agit , les cordes DE , GF seront évidemment parallèles à AB , et concourront par conséquent avec elle en un point L de la sécante de contact à l'infini ; celles DG, EF se couperont, au contraire 7 an point I milieu de AB , en sorte que Kl passera par le centre commun 0 des deux cercles* Ainsi on aura obtenu, pour le système des points A et B, les deux droites IK, KL analogues à celles qui nous ont occupés dans l'art, 41? 5 et l'on remarquera que les nouvelles constructions ont , sur les premières , l'avantage de s'appliquer indistinctement aux deux cas*

Il est sans doute inutile de dire que la même opération , répétée sur chactQie des trois droites qui joignent deux à deux les points donnés , produira

a36 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

les trois systèmes de lignes dont les intersections respectives appartiendront (4*8) aux pôles des sécantes de contact cherchées , lesquelles seront évidemment encore an nombre de quatre , aussi bien que les courbes qui leur correspondent respectivement (*). Nous avons donc résolu complètement et d'une manière assex simple, ce semble, le problème général qui suit:

Par irais points , donnés à volonté sur le plan dune section conique décrite , mener , avec la règle seulement, une autre section conique qui ait un double contact avec la première ?

4m. H est bien digne de remarque que nous n'ayons employé que le tracé de simples lignes droites pour résoudre ce problème , quand la section conique donnée se trouve décrite , tandis que nous avons été obligés (3c>9 et 339) d'employer le tracé d'un cercle auxiliaire , pour résoudre la même question dans le cas où cette section conique dégénère en deux lignes droites. La raison ai paraîtra simple et évidente, si Ton considère qu'on ne peut et qu'on ne doit pouvoir résoudre linéairement, sur un système de lignes droites données , que les problèmes qui ne sont susceptibles que d'une seule solution , ou dont les solutions multiples sont entièrement séparables de leur nature ; et qu'il faut nécessairement le tracé d'une courbe du second degré, donnée et décrite sur le plan de la figuré, pour obtenir les solutions qui ne peuvent être séparées autrement que par la pensée.

Des sections coniques doublement tangentes à une autre, et qui touchent,

de plus, trois droites données.

4?3. La question qui vient de nous occuper, dans ce qui précède, se ramène directement à la suivante , et vice versa :

• Trois droites étant données à volonté slcr le plan dune section conique décrite, mener, avec la règle seulement , une autre section conique qui touche ces trois droites, et ait un double contact avec la première f -

'En effet, il est facile de voir, soit à l'aide de la théorie des polaires réciproques , soit directement au moyen du principe de Part 1 3 1 , que

La réciproque polaire (?3i) dpne section conique doublement tangente à une autre, prise pour directrice , doit toucher celle-ci aux mêmes

(*) Il serait aisé de reconnaître, d'après cela, le système des relations qui lient toutes ces droites et tous ces points, soit entre eux, soit avec les données dû problème.

SECTION ffl. CHAPITRE m. 237

points que la première , ou , plus généralement , doit avoir même sécante de contact et même pôle relatif à cette sécante.

Si donc trois tangentes quelconques de Tune des sections coniques au double contact étaient données, il suffirait, pour avoir la sécante de contact correspondante , de déterminer les pôles qui appartiennent aux trois tangentes par rapport à la section conique supposée donnée et décrite , puis de se proposer, sur ces trois points , la question qui a été résolue ci-dessus.

Réciproquement , trois points étant donnés , on recherchera leurs polaires par rapport à la courbe décrite , et la question sera ramenée à celle où Ton se donné trois tangentes de la courbe au double contact.

Mais on peut aussi opérer directement dans le cas de trois tangentes , et la solution qu'on obtient , quand ces tangentes rencontrent à la fois la section conique donnée , offre l'avantage d'être trèa-élégante , et de n'exiger , en quelque sorte , le tracé d'aucune des lignes auxiliaires qui compliquent l'autre.

4?4» Soient , en effet , mp^ nq (Fig. 58 et 5g) deux quelconques des tangentes dont il s'agit , rencontrant en m et p , n et q respectivement la courbe qui est donnée , et se coupant mutuellement au point K ^ en joignant , deux à deux, leurs extrémités par de nouvelles droites, ces droites détermineront, par leurs intersections respectives, deux autres points I et L qui, avec le premier K, seront tels (192) que la droite qui joint deux quelconques d'entre eux aura pour pôle le troisième , par rapport à la courbe donnée 5 or il est aisé de prouver, par les considérations déjà mises en usage , art. 4 12 et suiv. , que les points I et L, ainsi obtenus, appartiendront à la mutuelle intersection de deux paires de sécantes de contact, tandis que les droites correspondantes IK et KL renfermeront , deux à deux , les pôles de ces sécantes.

Donc , si Pon opère de la même manière sur chacune des paires de tangentes données, supposées au nombre de trois , on obtiendra simultanément les quatre sécantes de contact dont il s'agit et les quatre pôles qui leur correspondent respectivement. En se bornant à exécuter les opérations relatives à deux paires de tangentes , on voit que tout se réduira à tracer douze lignes droites indéfinies \ autrement , il en faudrait dix-huit : mais alors les points I , L et leurs analogues seront , trois par trois , en ligne droite , et les droites IK , KL, prises dans un certain ordre, concourront , trois à trois , en un même point, comme l'indique déjà la Fig. 60 ; d'ailleurs les droites et les points, ainsi obtenus, ^ont les quatre sécantes de contact cherchées et les quatre pôles qui leur 0011 oondent respectivement.

a38 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

L'ensemble de ces relations est exprimé par la Fig. 62 , dans laquelle mp , nq, rs sont les trois tangentes données, terminées aux points de leur intersection avec la section conique qne doit toucher celle qu'on cherche. Les douze droites , qui joignent deux k deux ces extrémités , forment , comme on le voit , quatre hexagones inscrits , analogues à celui mnrpqsm dont les diagonales, joignant les sommets opposes, sont précisément les trais tangentes données , • et dont la droite LL7L" qui renferme les points de concours des cotés pareillement opposés (soi) est évidemment , d'après ce qui précède , une des sécantes de contact cherchées. On voit, en outre, qu'au moyen de l'un quelconque de ces hexagones, on obtiendra directement les quatre pôles 0, 0*, 0", 0'" , de ces sécantes : en effet , en joignant chacun des points de concours L , L', L" des côtés opposés de cet hexagone avec celui des points d'intersection K , K', K" des tangentes dont il provient , on formera un triangle OO'O" dont les trois sommets feront partie des pôles dont il s'agit ; en joignant ensuite chaque sommet avec celui des points K , K', K" qui appartient au côté opposé , on obtiendra trois droites qui , d'après ce qui précède , viendront concourir au quatrième pôle 0'", lequel appartient précisément à la droite LL'L" que Ton considère en particulier»

Au surplus, l'analogie qui règne entre la figure qui nous occupe et la figure 60 est facile à saisir 5 et, en les rapprochant entre elles, on aura, comme on voit , l'ensemble des propriétés qui peuvent appartenir & trois points A , Bt C , donnés! à volonté sur le plan d'une section conique , et aux polaires mp, nq , rs de ces trois points.

Cas où , les droites données étant au nombre de deux seulement , tun des points de contact des deux courbes est assigné , se confond avec Vautre, ou est variable avec lui sur lune de ces courbes.

4^5. Les considérations qui viennent de nous occuper, relativement an cas général où Ton se donne trois tangentes de la section conique au double contact , s'appliquent également bien aux questions analogues à celles qu'on s'est proposées art. 4*6 et 417 • supposons, par exemple, qu'on ne se donne que deux tangentes mp et nq (Fig. 59) de la section conique cherchée, et qu'on demande que cette section conique soit osculatrice du troisième ordre avec la proposée ; tout consistera évidemment (4*4) 1 pour avoir les points d'or culation et , par suite , les différentes courbes qui résolvent le problèir ' *

SECTION ffl. CHAPITRE in. 339

mener , des points I et L obtenus comme il a été dit ci-dessus , deux paires de tangentes à la courbe donnée , lesquelles auront pour points de contact les points demandés , qui seront par conséquent , en général , au nombre de quatre , aussi bien que les osculatrices qui leur correspondent respectivement $ et , comme les droites LK , IK sont les polaires des points I9 L dont il s'agit , les quatre points d'osculation se trouveront précisément à l'intersection de ces deux droites et de la courbe donnée.

On voit d'ailleurs , d'après ce qui a été dit ci-dessus (4*3) , ce qu'il y aurait à faire dans le cas où les tangentes mp et nq ne rencontreraient plus cette courbe. Ainsi , excepté le cas où les tangentes données ne sont qu'en partie extérieures à la section conique proposée , on pourra toujours résoudre graphiquement ce problème , qui est , en quelque sorte , le réciproque de celui qui nous a déjà occupés, art. 4*7 :

Mener Mine section conique osculatrice du troisième ordre à une autre section conique décrite , et qui touche, de plus, deux droites données de- position sur son plan , le tout en ri employant que la règle.

4*6. • On déduit encore , des considérations qui précèdent , ce théorème analogue à celui de Fart. 4*3 :

Si Ton fait varier une conique , assujettie à toucher deux droites données mp, nq (-FXgr. 5g)et à avoir un double contact arec une autre section conique quelconque mnp donnée de position sur le plan de ces droites , la sécante de contact TT', réelle ou idéale, pivotera sans cesse sur un point fixe L 1 placé sur Id polaire dw point d intersection K des tangentes mp et nq; de plus , le point L sera aussi celui autour duquel pivote la corde de contact relative à ces tangentes.

Comme il y a deux séries distinctes de sections coniques au dotible contact, il existe aussi deux points I et L , placés snr la polaire de K qui renfermé les pôles A et B des tangentes données, autour desquels pivotent respectivement les deux séries de sécantes de contact d'espèces différentes 5 or il est aisé de reconnaître (4i? etsuiv.) que ces points divisent & la fois en segmens harmoniques, soit la distance AB comprise entre les deux pôles dont il s'agit, soit celle comprise entre les tangentes mp et nq qui* leur correspondent, soit enfin la corde interceptée par la section conique proposée sur la droite AB, lorsque cette corde est possible.

On voit, ce qu'il y aurait à foire pour résoudre cet autre problème:

Inscrire dans un angle donné , une conique doublement tangente à une conique décrite , et dont Fun des points de contact soit assigné.

24<> PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

Des sections coniques doublement tangentes au système de deux sections

données sur un plan.

427. Les théorèmes qui précèdent sont susceptibles d'une extension beaucoup plus grande , en remplaçant les deux tangentes données par une section conique quelconque.

Soient M^, N, P, Q (Fig. 63) les quatre points où se coupent, en général, les deux sections coniques proposées que doit envelopper ou toucher doublement celles qui sont variables $ soient K , L , I les trois points où se coupent , deux à deux (36o), les sécantes conjuguées communes passant par les points M, N, P, Q$ considérons d'abord Tune quelconque 1YF des sections coniques enveloppes, touchant en T et T', t et t respectivement les proposées, et soient R et r les pôles des cordes de contact TF, t(. Si Pon met la figure en projection , sur un nouveau plan, de façon (110) que la section conique enveloppe devienne un cercle et que la droite Rr, qui renferme les deux > pôles en question, passe à l'infini, les cordes de contact TTf, t£ deviendront des diamètres de ce cercle , communs aux sections coniques proposées, et p?r conséquent le point d'intersection de ces diamètres sera à la fois le centre de ce cercle et de ces sections coniques $ ce sera donc aussi (363) l'un des trois points de concours K des sécantes conjuguées communes qui appartiennent à ces dernières, et* partant la droite Rr, qui est la polaire de ce point,' renfermera les deux autres points de concours I et L (3 60). Or de là résulte immédiatement ce théorème :

Si une section conique quelconque a un double contact avec deux autres fections coniques données , les sécantes de contact iront concourir en tun des trois points de concours des sécantes conjuguées communes à ces sections coniques , et par conséquent leurs pôles respectifs seront placés sur la droite qui renferme les deux autres de ces trois points.

428. Cette proposition a été démontrée, d'une autre manière, par M. Chasles, à la pag. 338 du tom. m de la Correspondance Polyteclmique : il s'en est servi , avec succès , pour établir un théorème de Monge sur les surfaces du second degré qui en enveloppent une troisième (*). Au reste, si Ton joint à cette proposition tout ce qui a été dit (186) sur les quadrilatères inscrits et

(*) Voyez le Supplément, à la £n de l'ouvrage, art. 601.

SECTION III. CHAPITRE m. ^i

circonscrits aux coniques et sur le pôle et la polaire ; si Ton y ajoute aussi le* propriétés des articles 36o et 36a , on aura à peu près le système de celle? qui appartiennent à une ou plusieurs sections coniques qui en enveloppent à la fois deux autres, ou ont un double contact avec chacune d'elles.

Toutes ces propriétés se déduisent d'ailleurs directement de la projection de la figure dont il a été fait mention ci-dessus , puisque tout y est symétrique par rapport au point K , devenu centre commun des trois courbes.

Comme il y a trois points de concours I , K , L des sécantes conjuguées communes aux deux sections coniques proposées , il existe aussi trois systèmes distincts de sections coniques doublement tangentes , dont les points de contact appartiennent à des combinaisons d'arcs différemment situés , et qui sont faciles à reconnaître , pour chacun des points I , K , L , puisque les cordes de contact appartenantes à ces arcs doivent concourir au point dont il s'agit. Maintenant , si Ton suppose que Ton fasse varier les sections coniques d'un même système , il en résultera cet énoncé général que nous avions en vue dans ce qui précède :

Les trois systèmes distincts de sections coniques, à la fois doublement tangentes à deuoc sections coniques données de position sur un plan, sont tels que , pour chacun cCeux , les cordes de contact correspondantes pivotent sur un point fixe , placé à T intersection de Vun des trois systèmes de sécantes conjuguées communes des sections coniques proposées.

Quand on suppose qu'une ou deux des coniques proposées dégénèrent en lignes droites , on retombe évidemment sur les propriétés des art. 4oa et 426.

429. Les considérations de la projection centrale conduisent également à la proposition suivante , qui est une extension du théorème de Fart. 4 1^ :

« Supposons que, deux sections coniques, que je nommerai (0) et (0') , ayant » une sécante commune , on en trace une infinité d'autres qui , passant par deux » mêmes points quelconques A , B de la direction de cette sécante , aient un » double contact de même espèce , soit avec (0), soit avec (0') 5 je dis que » les cordes de contact , relatives à Fun et à l'autre de ces systèmes , pivoteront » toutes sur les mêmes points de la direction de AB. »

Pour le démontrer , il suffit de supposer la figure en projection, sur un nouveau plan, de façon (122) que les sections coniques des deux systèmes dont il s'agit deviennent des cercles , pour lesquels la sécante commune AB passe à rinfini ; car , celles (0) et (0'), qui sont données de position et ont aussi AB pour sécante commune, devenant en même temps (ia5) s. et s. p. , les cordes de contact des deux séries de cercles tangens à F une et à l'autre de ces sections

-ufs PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

coniques seront respectivement parallèles à leurs axes principaux , ou concourront aux mêmes points de la droite , à Pinfini , qui représente ÂB dans la première figure.

Cette proposition , qui s'applique évidemment , comme les précédentes , au cas où Ton remplacerait une ou plusieurs sections coniques par des systèmes de lignes droites indéfinies , aurait pu s'établir directement , sans recourir aux principes de la projection centrale , en remarquant que les points , autour des* quels pivotent les sécantes de contact de l'un et l'autre systèmes , doivent diviser à la fois harmôniquement (4*5) la corde AB commune à ces systèmes et celle qui , sur la direction de AB, est également commune aux deux sections coniques proposées.

Considérations relatives au cas où Von connaît , soit un point et deux tangentes, soit une tangente et deux points, de la section conique doublement tangente à une autre*

43o. Je reviens maintenant au problème où il s'agit de déterminer une section conique doublement tangente à une section conique donnée , et assujettie à remplir, en outre, certaines conditions.

D'après ce qui en a déjà été dit dans ce qui précède , il ne reste plus évidemment qu'à s'occuper des cas où Ton se donnerait , soit deux points et une tangente , sôk deux tangentes et un point de la section conique cherchée : or ces cas ne peuvent Se traiter directement comme ceux des art. 421 «t 4m, ou, au moins, (exigent de* principes essentiellement différons. :

A la vérité, au moyen du système des deux tangentes OtT dès deux points donnés, on trouve encore (4îa,4âi, etc.) deux points I et L (Fig; 59),par lesquels doivent passer les sécante* de contact , et deux droites DC et KL renfermant les pôles correspondais de ces sécantes^ mais U est împôs&ble d'obtenir^ de la même manière et parles mêmes considérations, soit d'autres droites, soit d'autres points appartenais à ces pôles ou à ces sécantes.

Toutefois, s'il est impossible de déterminer, à pïiori , ces sécantes et leurs pôles , on peut au moins trouver, soit un second point de chacune dès courbes qui résolvent le problème , quand un seul est donné , soit une seconde tangente de cette courbe, quand une seule tangente est donnée.

En effet , ayant obtenu les deux points I et L ainsi que les droites KL et IK qui leur correspondent, on remarquera que, le point L étant, en par-

SECTION ffl. CHAPITRE SI. *&

ticulier, celui autour duquel pivotent les sécantes de contact de Pune des séries de coniques doublement tangentes à la proposée mnp^ qui remplissent les deux premières conditions du problème , celle de toucher deux droites ou de passer par deux points donnés} on remarquera, dis-je, que IK est à la fois (4i2 et 4?4) k polaire du point L , soit par rapport à la courbe proposée , soit par rapport à l'une quelconque de celles qui font partie de la série dont il vient d'être parlé ; de sorte que toute transversale passant par ce point rencontrera , soit chacune des deux courbes, soit deux tangentes quelconques de l'une d'elles, qui auraient leurs points d'intersection sur IK, en deux points dont la distance devra être divisée hannoniquement (194) au point L et au point de sa rencontre avec IK.

Supposant dons qu'on ait soit un point , soit une tangente quelconque de lune des deux courbes , il ne sera pas difficile d'obtenir linéairement un second point ou une seconde tangente de cette courbe, au moyen du point L et de sa polaire K : toutes ces remarques et ces constructions deviennent d'ailleurs évidentes ^ à priori , quand on considère la. projection des deux courbes suivant deux cercles concentriques (Fïg.,58).

Ainsi, par ce qui précède, on aura à la fois deux points et deux tangentes de celles des courbes cherchées dont les sécantes de contact passent par le point L, et Ton en obtiendrait tout autant pour celles dont les sécantes de contact passent, au contraire, par le point 1} mais on remarquera, sans doute, que, pour avoir trouvé un nouveau point ou une nouvelle tangente de chacun des systèmes distincts des sections coniques cherchées, on n'a pa» pour cela avancé de beaucoup la solution du problème ; car il est viable qu'on n'aura encore aucun moyen d'obtenir d'autres points des sécantes de contact que ceux I et L.

Il n'en serait plus de même si , au lieu de deux tangentes et un point ou de deux points et une tangente , on s'était donné , à la fois , soit trois tangentes, soit trois points 5 car chaque paire de ces tangentes ou de ces points fournissant , au moyen des points I et L qui lui correspondent , deux nouvelles tangentes ou deux nouveaux points, on aurait, en tout, neuf tangentes ou neuf points qui, pris six à six dans un certain ordre, appartiendraient aux quatre sections coniques distinctes qui résolvent le problème. On aurait donc ainsi une nouvelle solution des problèmes déjà résolus aux art. 4 * 8 et 4?4 ? laquelle donnerait lieu à des remarques non moins intéressantes que celles que nous avons eu occasion de faire alors. Comme il est facile d'y arriver au

344 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

moyen de tout ce qui précède , nous les supprimerons , dans la crainte d'alonger

par trop ce chapitre , où il nous reste beaucoup de choses essentielles à dire.

Nouvelles propriétés de la section conique doublement tangente à une autre , et description de cette courbe par F intersection continuelle de ses tangentes.

43 1 . Les considérations qui viennent de nous occuper ne pouvant suffire pour résoudre les questions où Ton se donne deux tangentes et un point ou deux points et une tangente de la section conique ait double contact , nous sommes naturellement amenés à exposer quelques nouveaux principes touchant les lignes du second ordre qui ont une sécante de contact commune 5 nous verrons , dans la suite , comment ces mêmes principes peuvent conduire simplement aux propriétés des foyers des sections coniques et à celles des polygones variables qui leur sont inscrits et circonscrits.

Soit 0 (Fig. 64) le centre commun des deux cercles concentriques , projections des deux sections coniques au double contact que Pon considère } soit ÂB une corde quelconque inscrite à celui qui est extérieur, et touchant Pautre au point t , milieu de ÂB 5 soit enfin ACB un angle inscrit à la circonférence extérieure , et dont les côtés s'appuient aux extrémités A et B de la corde dont il s'agit ; il est évident que , si Pon fait mouvoir cet angle de façon qu'il demeure toujours inscrit , et que ses côtés restent constamment parallèles à euxmêmes , ou pivotent sur des points fixes P , P' placés sur la sécante de contact , à l'infini , commune aux deux cercles , il est évident , dis-je , que la corde AB roulera , de son côté , sur la circonférence du cercle qui lui correspond. *

Ces conséquences pouvant s'étendre, d'une manière analogue, au cas de deux sections coniques doublement tangentes (1 38), il en résulte un moyen très-simple de construire l'une des courbes par Pautre et par Pintersectibn continuelle de ses tangentes. Car AB (Fig. 65) étant Pune de ces tangentes , terminée à la courbe extérieure, TT' la sécante commune de contact , réelle du idéale , si , d'un point quelconque C de cette courbe , on mène les droites CA et CB aux extrémités de la corde AB, elles couperont la direction de TT aux points P et F, qui seront tels qu'en faisant mouvoir l'angle inscrit ACB de façon que ses côtés pivotent respectivement sur chacun de ces points , la corde AB , qui le sous-tend , demeurera , dans toutes ses positions , tangente à la section conique intérieure. Ce théorème, qui ijous sera utile, peut s'énoncer ainsi :

SECTION m. CHAPITRE m. 345

Un triangle ABC étant inscrit à une section conique quelconque , si on vient à le faire varier de façon qui étant toujours inscrit , deux de ses côtés CA , CB pivotent constamment sur les points fixes P et F, pris arbitrairement sur leurs directions respectives; le côté libre AB enveloppera , dans toutes ses positions , une autre section conique , ayant avec la première un double contact , réel ou idéal, suivant la droite PF qui renferme les deux points fixes dont il s9 agit.

43a. H résulte de ce théorème, qu'ayant une fois construit , au moyen des deux points donnés P, P', un triangle quelconque ABC , on trouvera autant d'autres systèmes de points fixes que Ton voudra , qui donneront tous lieu à la même courbe 5 car , en formant , à volonté, un nouveau triangle inscrit ABC qui ait le côté AB en commun avec le premier , ses- deux autres côtés AC, BCf iront rencontrer la droite indéfinie PP' aux points p et //, qui pourront être pris pour les nouveaux pôles ou points fixes , sans que la courbe , ainsi construite , varie } .puisqu'en touchant AB comme la première , elle aura encore les points de contact T et V en commun avec elle (191). La même chose résulte d'ailleurs de la projection ci-dessus de la figure.

H est clair que l'un des points p^p peut être choisi, à volonté, sur la droite PF, et que Pautre s'ensuit nécessairement au moyen de la construction qui précède. Or cette remarque conduit immédiatement au théorème, sur les quadrilatères inscrits , déjà démontré , de plusieurs manières différentes , dans la section II (180, 276 et 287), et sur lequel il devient ainsi inutile d'insister davantage pour le moment.

433. Si Ton voulait, dans le cas ci-dessus, déterminer, pour chaque position de la tangente mobile AB, le point t où elle touche la courbe d'enveloppe , on y parviendrait aisément au moyen des points fixes P, F qui dirigent le mouvement de l'angle ABC ; car, dans la projection (Fig. 64) de cette courbe et de la proposée suivant des cercles concentriques, le point t occupant le milieu de la corde AB, si Ton mène , par les extrémités de cette corde , les droites BP, AP' parallèles aux côtés AC et BC de l'angle correspondant C , et concourant par conséquent avec eux sur la sécante de contact à l'infini, elles donneront lieu au parallélogramme ACBR, dont la diagonale CR passera par le point t dont il s'agit. Tirant donc , dans la Fig. 65 , les droites AF et BP, elles se croiseront en un point R de la droite Ct qui renferme le point de contact de AB avec l'enveloppe.

434* La proposition de Fart. 43 1 donne évidemment lieu à la réciproque suivante , qui pourrait d'ailleurs se démontrer de la même manière :

246 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

Un triangle ABC étant inscrit à une conique, si on vient à le faire varier de telle sorte que, demeurant toujours inscrit à la même courbe , Tun, AB, de sçs côtés enveloppe continuellement une autre conique , ayant un double contact avçc la première suivant la direction de TT, tandis qui un autre côté quelconque AG pivote sans cesse sur un point fixe P placé sur cette direction; le dernier côté BG du triangle pivotera aussi constamment sur un troisième point fixe F placé, de même que le premier, sur la direction TT dont il s'agit.

Description de la section conique doublement tangente à une autre par

le mouvement continu dun point.

435. Supposons maintenant qu'on circonscrive à la courbe proposée un triangle abc, dont les cotés touchent cette courbe aux sommets du triangle inscrit ABG ; il est visible que , dans le mouvement de ce dernier triangle , les sommets a et b , qui sont les pôles respectifs des cordes dç contact AG et BC, décriront des droites OMet OM'^ polaires (195) des. points fixes P et P',et sç rencontrant au point 0 , pôle de la sécante de contact TT' des deux sections coniques ci-dessus; quant au dernier sommet c, il décrira évidemment une troisième section conique , polaire réciproque (?3 1) de celle qu'enveloppe AB dans son mouvement , et ayant même sécante de contact TT avec la prCK. posée»

On s'en rendra raison à priori, en se reportant à la Kg. 64 , projection de celle qu'on considère ; car j tandis que h corde mobile AB roule sur un cercle concentrique au propose', les sommets a et b du triangle circonscrit abc décrivent des diamètres OM , OW, et le dernier sommet c parcourt , en vertu du même mouvement , un troisième cercle concentrique aux deux autres.

Comme les points fixes P, P' (Fig. 65), qui dirigent le mouvement des côtés de l'angle inscrit ACB, sont arbitraires, les directrices OM et OM', polaires de ces points par rapport à la courbe donnée , le sont également $ on peut donc déduire, de ce qui précède, ce nouveau théorème :

Si un triangle abc , perpétuellement circçnscrit à une section conique quelconque, est assujetti à avoir constamment deux de ses sommets a et b sur deux directrices droites OM et OM' , d'ailleurs arbitraires, le troisième sommet c parcourra, dans toutes ses positions, une autre section

SECITON m.. CHAPITRE IIL a47

conique , ayant un double contact avec la première 1 suivant la droite qui est la polaire' du point d? intersection Odes deux directrices»

Cette proposition est évidemment susceptible d'une réciproque analogue à celle de Fart. 434 ? dont elle pourrait d'ailleurs se déduire directement an moyen de la théorie des pôles.

436. De même qu'il y a une infinité de systèmes de points directeurs P et F, p et //} etc. , à Faide desquels on peut tracer la courbe enveloppe de AB , de même aussi il y a une infinité de systèmes de directrices correspondantes OM et OM'j propres à construire une même courbe par le mouvement du sommet c 9 mais tous ces systèmes ont évidemment le point 0 commun. On voit , au surplus 1 ce qu'il y aurait à taire si , une directrice quelconque étant donnée , on voulait trouver celle qui lui est conjuguée 5 et Ton remarquera , à çç sujet , qu'à une même directrice OM, ou à un même pôle P. il en correspond toujours deux autres qui lui sont respectivement conjugués, selon la façon dont on construit les triangles ABC , abc au moyen de ce premier pôle et de cette première directrice.

Cas oà la courbe décrite se réduit à un point ou dégénère en des droitet.

437. Ta section conique qu'enveloppe le côté AB du triangle inscrit ABC se réduira évidemment (192) au point 0, pôle de PF, quand les deux points P et P* seront tels que « la polaire de l'un quelconque d'entre eux passera » par l'autre. » Pareillement , quand les deux directrices OM, OM' auront été choisies de façon que chacune d'elles passe réciproquement par le pôle de Fautre , la section conique , parcourue par le sommet c du triangle mobile et circonscrit abc, dégénérera en une simple ligne droite (192)5 qui sera la sécante de contact elle-même , ou la polaire du point d'intersection 0 de ces directrices.

Il résulte de là des paradoxes assez étranges ; car , puisque l'une et Fautre des deux courbes engendrées , soit par la droite AB 9 soit par le point c , doivent avoir un double contact , suivant la ligne PF, avec la section conique proposée , on est conduit à admettre qu'une droite et un point peuvent avoir un double contact avec une section conique j ce qui paraît tout-à-fait absurde*

Mais , en premier lieu 1 on peut très-bien concevoir qu'une section conique , doublement tangente en T et T à une autre, se réduise & une portion finie ou infinie de ligne droite , quand c'est 191e ellipse ou une parabole , et à deux

*48 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

portions infinies et non contiguës dWe pareille droite , quand c'est une hyperbole : il suffit , pour cela , de supposer que , l'un des axes de la courbe demeurant le même , l'autre devienne infiniment petit , de façon que la courbe s'applatisse le long du premier.

En second lieu , un point se trouvant dans rintérieur d'une section conique , peut très-bien être censé avoir un double contact idéal avec elle , suivant la polaire qui lui correspond , pourvu qu'on le considère lui-même comme une section conique infiniment petite ; au contraire , s'il est extérieur à cette courbe , la sécante de contact ou polaire correspondante donnant deux points d'intersection réels, il faudra nécessairement le regarder comme le sommet d'une hyperbole qui s'est confondue avec les deux tangentes issues de ce point , ou avec ses asymptotes ; et en effet , dans ce cas , toutes les tangentes à l'hyperbole passent (1 84, note) par le sommet de l'angle de ces asymptotes , qui représente ainsi les deux sommets réels de la courbe , réunis en un seul.

Quand le système des tangentes qui enveloppent une section conique vient à passer par un même point , on ne doit donc pas toujours regarder la courbe comme une section conique qui s'est elle-même réduite à ce point} car ce qui précède prouve qu'elle peut , dans certains cas , se réduire aussi au système de deux droites passant par ce point , et qu'il n'y a de différence entre les deux cas, qu'en ce que, dans le premier, ces droites sont imaginaires et qu'elles sont réelles dans le second : les conditions particulières du système primitif et la loi de continuité suffiront d'ailleurs pour lever les doutes dans chaque cas.

Remarques relatives aux théorèmes qui précèdent , et extension de ces

mêmes théorèmes.

438. Puisque, dans le théorème ci-dessus (43 1), la courbe qu'enveloppe le côté variable et mobile AB (Fig. 65) a un double contact avec la section conique proposée à laquelle est inscrit ce côté , elle doit jouir , à l'égard de celle-ci , de toutes les propriétés exposées dans les précédens articles sur les section^ coniques au double contact : ainsi , par exemple , si l'on considère un second côté A'B' tangent à la courbe d'enveloppé 7 les droites ABf, BAf, qui joignent les extrémités , d'espèces différentes , de ces côtés , devront concourir constamment en un point L de la sécante de contact TT' (4^4)-

J'ai dit d espèces différentes^ car 41 est facile de voir, en se reportant à

SECTION III. CHAPITRE III. r*49

la Fig. 64 projection de celle que Ton considère , qu'en effet , il n'y a que les droites qui appartiennent à des extrémités différentes , quant au mode particulier de génération de la courbe enveloppe , qui puissent jouir de la propriété dont il s'agit. Les deux autres droites AA', BB', qui joignent des positions homologues des sommets A et B, concourent évidemment en un point I , qui , conjointement avec le point K d'intersection des deux côtés générateurs AB9 Â'IP, appartient à la polaire de L passant par le pôle commun 0 de la sécante de contact des deux courbes.

Des remarques analogues sont évidemment applicables au théorème de Tait. 435.

439. Les considérations qui viennent d'être présentées , en dernier lieu , sur les sections coniques à double contact , conduisent immédiatement aux théorèmes suivans , qui sont des extensions de ceux des art. 43 1 , 434 et 435 :

Si un triangle , variable de forme , est assujetti à demeurer inscrit à une même section conique , tandis que Vun de ses côtés pivote constamment autour d? un point fixe quelconque , et qu'un autre de ces côté* roule en enveloppant une seconde section conique doublement tangente à la première , le dernier côté du triangle enveloppera lui-même^ dans son mouvement , une troisième section conique ayant un double contact avec la première.

Pareillement , ■ Si un triangle , variable déforme , demeure perpétuellement circonscrit à une section conique , et qu'en même temps , Vun de ses sommets soit assujetti à parcourir une droite quelconque donnée , tandis qu'un autre sommet parcourt une seconde section conique doublement tangente à la première , le troisième sommet décrira également une troisième section conique ayant un double contact avec la première.

La démonstration de Tune de ces propriétés se ramenant immédiatement à celle de l'autre , au moyen de la théorie des pôles (435), il suffira simplement de s'occuper de celle de la première.

Soit abc (Fig. 66) le triangle , variable de forme , assujetti à demeurer inscrit dans Tune des deux sections coniques dont il s'agit ; soit p le point sur lequel doit pivoter le côté 06, tandis que le côté bc roule sur fautre section conique , avant un double contact avec la première suivant ML ; il s'agit de prouver que, dans le même mouvement, le dernier côté ac du triangle mobile enveloppera une troisième section conique doublement tangente à celle abc dans laquelle il est inscrit. 3s

a5o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

Traçons la droite indéfinie 0/?, qui passe par le point fixe p et par le pôle 0 de la sécante de contact ML , commune aux deux courbes directrices ; par le sommet b du triangle mobile , opposé au côté ac , menons bb1 passant par le point L , pôle commun (3aa) de Op par rapport aux deux courbes , et rencontrant , de nouveau , celle à laquelle est inscrit le triangle abc en V / le troisième côté ab1 du triangle abV sera constamment dirigé (437) vers un troisième point fixe P, pôle de la droite L/?, et qui se trouve placé sur la direction de Op, polaire du point L.

Maintenant , si Ton achève le triangle inscrit ab'c, il sera facile de prouver que , dans le mouvement auquel il est assujetti , le côté b'c devra se diriger constamment vers un dernier point fixe F situé sur la sécante de contact ML commune aux deux courbes proposées. En effet , le triangle beb', inscrit à Tune de ces courbes , a déjà un de ses côtés bV assujetti à pivoter sur un point fixe L placé sur cette sécante, et son second côté bc demeure , par hypothèse , tangent à l'autre de ces mêmes courbes 5 donc (434) le troisième côté b'c de ce triangle doit aussi pivoter* sur un point F dé la sécante de contact ML. Or il suit de là que le triangle ab'c , en demeurant inscrit à la courbe extérieure, aura constamment deux de ses côtés àkt, b'c dirigés vers deux points fixes P et F 5 donc enfin (43 1) le troisième côté ac de ce triatigle roulera en enveloppant une section conique doublement tangente à cette courbe suivant la droite qui joint les deux points fixes P et F , comme il s'agissait de le démontrer.

44o. Supposons que, du point fixe p, Ton mène deux tangentes pB , pï> à la section conique qu'enveloppe bc dans son mouvement, elles rencontreront la section conique extérieure aux points respectifs B et A , C et D : or, en suivant attentivement le mouvement de l'angle b du triangle mobile abc, on verra qu'il existe deux positions , C et B , de son sommet , pour lesquelles cet angle devient nul ainsi que le côté ac qui lui est opposé; donc alors ce côté est tangent en D et en A à la section conique abc , et par conséquent la droite AD est la sécante de contact de cette section conique et de ceHe qu'enveloppe ac; laquelle, d'après ce qui précède, doit renfermer nusA les points P et F.

D'après la remarque déjà faite art. 438, on obtiendrait d'ailleurs immédiatemment autant de points qu'on voudrait de la sécante de contact AD dont il s'agit , en considérant le côté ac dans deux de ses positions quelconques •, car, en joignant , par des droites , les extrémités de ces côtés qui sont d'espèces dif-

SECTION m. CHAPITRE III. a5t

fer en tes, ou qui ne proviennent pas des mêmes côtes ab , bc du triangle mobile abc , ces droites Iraient concourir constamment en des points appartenais à cette sécante de contact.

Gomme à une même position du sommet fe, sur la courbe extérieure , correspondent toujours deux tangentes bc, bd à l'autre, il existe nécessairement aussi deux sections coniques distinctes relativement à ce sommet, l'une enveloppée par la droite ac , l'autre par la droite ad $ la première touchant la section conique extérieure aux points A et D , la seconde la touchant aux points B et C opposés à ceux-ci sur les tangentes AB et CD ; on voit, en effet , que, dans aucune de ses positions, le triapgle mobile abc ne pourra se confondre avec celui, abdy qui répond à la seconde tangente bd, de sorte qu'il appartient nécessairement à un autre mode de génération et à une autre courbe $ c'est ce qu'on pourrait , au reste , démontrer directement en répétant , sur ce triangle , le raisonnement qui a déjà été fait sur le premier. Ainsi donc il est très-essentiel , lorsqu'il s'agit de décrire les sections coniques enveloppes , de ne point confondre entre eux ces deux modes de génération, et de bien suivre attentivement le mouvement de l'angle abc.

44 1 • Supposons que , dans le premier des théorèmes de Fart. 439, le point p , au lieu d'être quelconque , se trouve placé (Fig. 67) sur la section conique que touche ab dans le mouvement du triangle abc y alors les points A et D (Fig. 66} se confondront en un seul A (Fig. 67), et la sécante de contact PF deviendra une tangente commune aux deux courbes qui lui correspondait ; donc la section conique , enveloppe du côté ac , sera osculatrice du troisième ordre de celle acb au point A où elle est coupée par la tangente en p à l'autre section conique donnée ; et, comme il y aura encore deux séries distinctes de triangles variables abc , il y aura aussi deux sections coniques oseulatrices, L'une au point A dont il s'agit , l'autre au second point B d'intersection de la tangente eh p avec la courbe qui contient déjà A.

Je crois assez inutile d'entrer dans de nouveaux détails relativement au second des théorèmes de l'art. 4^9? lequel donne lieu à des remarques entièrement analogues , et qui peuvent se déduire immédiatement des premières à l'aide de la théorie des pôles et polaires réciproques. Si l'on suppose par exemple , dans le théorème cité , que la droite qui dirige le mouvement de l'un des sommets du triangle mobile , au lieu d'être entièrement arbitraire , soit tangente à la courbe que décrit le deuxième sommet , la section conique parcourue par le troisième , ou par le sommet libre , sera également oscula-

aS* PROPRIÉTÉS PROJECIWES.

trice du troisième ordre de celle sur laquelle s'appuient les cotés du triangle ,

en un point qu'il est très-facile de reconnaître , etc.

Construction de la section conique doublement tangente à une autre , quand on se donne , soit un point et deux tangentes , soit une tangente et deux points appartenons à son périmètre.

442. Les corollaires qui précèdent nous fournissent un moyen très-simple de résoudre les questions dont il a été parlé art. 4^0.

Par exemple : qu'il s'agisse de mener une section conique doublement tangente à une section conique décrite , qui, touchant deux droites données , passe en outre par un point donné. En admettant que abc (Fïg. 67) soit la section conique décrite , et p le point donné , tout consistera évidemment (4^4) à trouver la tangente AB qui correspond à ce point } or c'est à quoi l'on parviendra aisément , au moyen de ce qui précède.

En effet , par hypothèse , on a deux tangentes ab , dV de la section conique qui doit avoir un double contact avec la proposée et passer par le point p,) et, par suite , on a deux positions abc, dVd d'un triangle mobile, dont le côté ac ou a!d enveloppe (44 l) une section conique oscuJa trice de la proposée au point À qui appartient à la tangente cherchée ; donc enfin tout se réduit à trouver le point d'osculation À au moyen de ac, aV; ce qui est facile , puisque les droites ad , cd, qui joignent leurs extrémités d'espèces différentes, doivent concourir (438) en un point / de la tangente ou sécante» de contact relative à ce point.

Au point /, ainsi obtenu, correspondent en général deux tangentes de la ' section conique proposée abc ; donc il existe aussi, en général, deux tangentes AB pour le point donné, et par conséquent deux sections coniques distinctes remplissant les conditions du problème ci-dessus proposé , lesquelles correspondent aux deux triangles abc , dVd qu'on vient d'examiner en particulier , et qui sont formés au moyen des tangentes ab , dV et du point donné p.

Cela posé , puisqu'il y a deux triangles analogues à abc , pour chaque tangente donnée , selon qu'on joint le point p avec l'une ou l'autre de ses extrémités , on aura quatre triangles pareils à considérer, et , en combinant , deux par deux, ceux de ces triangles qui ne correspondent pas à une même tangente , il en résultera quatre paires de triangles et par conséquent quatre paires de

SECTION III. CHAPITRE ffl. a53

côtés <xc, dd ; d'où il semblerait naturel de croire qu'il existe aussi quatre paires de sections coniques touchant doublement la proposée} mais il est évident que^ tandis qu'une paire de triangles, tels que ceux abc, db'd, donne l'extrémité A de la tangente en;?, la paire des deux triangles restans doit donner aussi l'autre extrémité B de cette tangente (4405 en sorte T16 *e nombre total des solutions distinctes du problème se réduit , en dernière analyse , à quatre7 seulement , puisqu'on sent bien d'ailleurs qu'à une même tangente en p , il ne peut correspondre qu'une seule section conique ayant un double contact avec la proposée , et qui touche en même temps les droites ab , dV.

Pour déterminer entièrement la section conique dont il s'agit , il faudra appliquer , aux troi$ tangentes ab , db\ AB et à la section conique donnée abc, les constructions relatives au problème de l'art. 424* Mais , comme les sections coniques qui en résultent , en général , sont au nombre de quatre , et qu'il n'y en a qu'une seule d'entre elles qui touche réellement la tangente AB au point p , il sera nécessaire de distinguer : à cet effet , on remarquera que l'on connaît déjà un point L de la sécante de contact ML qui lui correspond } car, d'après ce qui a été dit ci-dessus (439), le point L (Fig. 66 et 67) est, par rapport à la section conique donnée, le pôle de la droite PM qui passe par le point donné p et par le point P devenu , pour le cas actuel , le pôle de la tangente AB. Ainsi on ne devra admettre , parmi les quatre sécantes de contact que donnent (4^4) Ie8 tangentes ab , db' et AB , que celle qui passe par le point L dont il s'agit.

On obtiendra d'ailleurs , de suite , un second point L' (Fig. 67) de cette sécante de contact , en réunissant (44°) 1 Par de nouvelles droites b'a , bd, chacune des extrémités b', b des tangentes données avec les extrémités a , d qui leur sont opposées ; mais il faudra avoir soin de prendre , pour les premières extrémités , celles b , V qui ont servi à tracer les droites bpc , Vpd de la combinaison dont on s'occupe (*) : l'intersection des droites Va , bd , obtenues de cette manière, donnera le point L' demandé, lequel évidemment appartiendra à la fois aux deux sécantes de contact des sections coniques doublement tangentes à la proposée , et qui sont relatives à cette même combinaison.

m*mhhm«m4mi

(*) En effet, tous les raisonnement qui précèdent et sont relatifs à cette combinaison supposent que les points a et a', d'une part, b et V de l'autre, sont de mime espèce (438), ou appartiennent au même mode de mouvement continu de 1a tangente ab autour de la courbe qu'on cherche.

*5£ PROPRIÉTÉS PRO JECTIVES. :

Enfin, en traçant lès nouvelles drdkes ad, bbf qui joignent, dans un autre ordre ^ les extrémité» qui appartiennent abx deux tangentes proposées , elles, donneront, par leur intersection en L", un point appartenant à la fois aux sécantes de contact des deux sections coniques qui répondent aux triangles de la seconde; combinaison» ■ : > ;• \ \ .,-,.•

443. Si ^ au lieu de deux tangente? et d'un point ., on se donnait deux points et une tangente dé la section conique au double contact j o» pourrait rechercher d'abèrd une seconde tangente de la courbe (4fo) \ m moyen de quoi le problème serait. ramené directement à. celui qui précède ^pourvM qu'on: ait: soin ensuite ' d& fi'adnie ttre ! que les . systèmes de solutions qui répondent çgactefeeitt aux donwées primitive*, ce qui est assez: fecile pour que nous pui*siobs nous dispense} Centrer dans de plus longs dévéloppemens à. ce sujet* , On pourrait également, dans le cas ou, l'on se donne un pjofeat et deux tangentes 7 se procurer de nouvelles .tangentes au moyen de celles AB déjà trouvées comme il à été expliqué dnlessus^ car on aurait tout ce qu'il faut pour construire immédiatement , par là règle seule (a 1 3) , les quatre sections coiliques distinctes qui: reçoivent le problème.

Réflexions sur les diverses constructions Qui précèdent.

'444* Toutes les solutions qui viennent jdè nous occuper en. dernier lieu^ ne sont applicables qu'au cas où les taûgentçs et les points donnés sont intérieurs à la courbe proposée; s%iuiétaiçnj:à la fois extérieurs^ il faudrait avoir recours à d'autres procédés , faciles à découvrir au moyen de,, ce qui précède et dé la théorie des pôles (4a£)* Le problème ne cesie, suivant h remarque déjà faite plus haut (4*o)* d'avoir dés solutions réelles 7 qu'autant que certaines tangentes ou certains points donnés sont entièrement extérieurs à Ja section conique proposée 7 tandis que le contraire a lieu pour d'autres $ et , comme nous n'avons constamment, employé que des constructions purement linéaires pour le cas où la section donnée est supposée en même temps, décrue, il en résulte que nous avons complètement résolu ce problème général :

Une section conique étant donnée et décrite sur un plan , mener, avec la pègle seulement^ une-aiUre section conique qui ait un double contact avec elle , et, de plus , touché des droites , ou passe par des points , les uns et les autres donnés déposition sur le plan de la figure , e{ au nombre de trois seulement.

SECTION m. CHAPITRE m. a55

445. Enfin , les observations déjà plusieurs fois faites dans le cours de ces recherches, et notamment celles de l'art. 4P7? étant directement applicables aux diverses propositions , qui font le sujet de ce chapitre , les constructions auxquelles nous sommes parvenus embrassent , dans leur généralité , la solution de toutes les questions particulières 1 analogues à celles qui précèdent , qu'on pourrait avoir à se proposer sur les sections coniques qui ont un double contact ou qui sont osculatrices du troisième ordre : ainsi elles conviennent parfaitement au cas où les sections coniques cherchées doivent être des hyperboles ou des paraboles , dont on se donné soit des asymptotes 7 soit des parallèles aux diamètres , concourant avec eux en un point de la courbe situé à l'infini , etc.

Cependant ces mêmes constructions cessent d'être applicables aux cas particuliers de la question générale ci-dessus, pour lesquels deux des tangentes ou des points donnés doivent être à la fois imaginaires; et il resterait également à résoudre celui où, la courbe cherchée devant être osculatfice du troisième ordre de la proposée , on, se donne seulement un point et une tangente pour la déterminer. Mais ces différens cas exigeraient de nouvelles recherches et des principes tout autres, que ceux mis ai usage jusqu'ici pour résoudre la question générale \ ce qui alongerait singulièrement; ce chapitre , et ne présenterait pas d'ailleurs un assez grand intérêt.