CHAPITRE PREMIER

Des angles constans ou variables suivant certaines lois, dont le sommet s'appuie au foyer, au périmètre des sections coniques, ou en un point quelconque de leur plan.

44& \J uoiQUE les propriétés des foyers , et celles des angles d'une ouverture donnée ou constante, semblent ne pas faire partie de celles que nous avons appelées projectiles 1 et qu'elles soient , en quelque sorte , étrangères au but

réel de cet ouvrage 7 elles découlent néanmoins d'une manière si ample des principes qui en font la base , et particulièrement de ceux qui ont été exposés dans le précédent chapitre , que je ne crois pas qu'aucune autre théorie géométrique puisse y conduire dune manière à la fois plus directe et plus facile.

On n'en sera nullement étonné 1 si Ton considère que les propriétés projectives des figures sont nécessairement les plus générales de celles qui peuvent leur appartenir ; en sorte qu'elles doivent comprendre , comme simples corollaires 7 toutes les autres propriétés ou relations particulières de retendue : déjà on en a rencontré un grand nombre d'exemples dans le cours de cet ouvrage , et notamment à la fin du premier chapitre de la troisième section». En nous occupant spécialement ? dans celui-ci, des relations d'angles qui peuvent appartenir aux figures , relations non moins importantes et non moins nombreuses que celles qui concernent la simple disposition des points et des lignes , nous en déduirons des méthodes , souvent utiles dans les arts , pour la description des sections coniques , et nous serons ainsi amenés à exposer quelques-uns des beaux résultats auxquels sont parvenus d'anciens géomètres ; résultats presqu oubliés de nos jours , par suite de l'entraînement général des esprits vers les applications de l'Analyse algébrique,

SECTION IV- CHAPITRE Ier. *5j

Propriétés principales des foyers des sections coniques*

447* Nous établirons, en premier lieu, un théorème fort beau et fort général , énoncé d'abord par Mac-Laurin (*) , et qui a été reproduit dernièrement par M. de Prony (**), dans un article d'Analyse qui a pour objet le tracé en grand des voûtes elliptiques , paraboliques , etc.

Sur le grand axe TV (Kg. 68) d'une section conique , comme diamètre , soit décrite une circonférence de cercle qui, par conséquent, touchera la courbe aux extrémités T et T' de cet axe ; AB étant une tangente quelconque de la section conique, terminée à la circonférence du cercle, soit inscrit à ce cercle le triangle ABC, dont le côte AC passe par le centre 0 commun aux deux courbes, l'autre côté BC rencontrera le diamètre de contact TV en un point F, qui demeurera in variable (434) quelle que soit la tangente AB} d'ailleurs l'angle en B, opposé au diamètre AC du cercle , est droit 5 donc

Ayant déterminé , une fois pour toutes , le point F, comme il vient d'être dit , si Von fait mouvoir Véquerre ou angle droit ABC , de façon que l'un, BC, de ses côtés passe constamment par ce point, tandis que le sommet B parcourt la circonférence décrite sur le grand axe de la courbe , comme diamètre , Poutre côté AB de Véquerre demeurera perpétuellement tangent à la section conique.

44^* Cette description des sections coniques par l'enveloppe de leurs tangentes n'est, comme on voit, qu'une conséquence très-simple de celle exposée art. 43 1 , et on pourrait aisément l'étendre au cas ou Ton remplacerait réquerre par un angle constant quelconque , au moyen du principe beaucoup plus général de Fart. 4^9 ; tout consiste , en effet , à substituer au point 0 un cercle quelconque concentrique au premier , pour faire rouler sur lui le côté AÇ qui sous-tend l'angle B. On voit même que, dans ce cas , le point F et le cercle auquel est inscrit le triangle ABC pourraient être arbitraires , pourvu cependant que ce dernier eut un double contact , réel ou idéal , avec la courbe à décrire. Mais revenons à notre première description.

449* Comme , avec la même tangente AB de la courbe , on peut former ■ ' '■ 1 1 ■ 1 ■ 1 ■ ■ .1 11 .1 ,. , . ■. i, ,

(*) Geometria organîàa, s$9e descriptio liàearum cu/varum universalis, sect. III, pag. 10a.

(++) Dixième cahier du Jmmrnal d* V Ecole Polytechnique.

a58 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

deux triangles ABC , ABC qui remplissent les conditions ci-dessus prescrites , il y a aussi deux points F , F, placés symétriquement , de part et d'autre du centre 0, sur le diamètre principal TT', qui jouissent de la propriété énoncée $ or il n'est pas difficile de reconnaître que ce sont lès foyers mêmes de la section conique.

En effet , pour obtenir le point de contact t de la tangente AB , il faudra (433) tracer les droites AF, BO , puis joindre le sommet G du triangle correspondant ABC au point R , intersection de ces droites , par une nouvelle droite CR qui ira concourir au point demandé. Si donc on tire le rayon vecteur F*, il sera parallèle à la base AC du triangle ABC, car la droite RO, qui part du sommet opposé B, divise, par hypothèse , cette base eu deux parties égales au point O. Mais , on prouverait de même que le rayon vecteur F*, correspondant à f autre point fixe F et à I, est parallèle au diamètre BC qui appartient à la seconde extrémité B de la corde ÀB du cercle ; doùc les deux rayons vecteurs dont U fagit sont également inclinés sur cette corde, et par conséquent sur la tangente de la courbe. Propriété connue -des foyers , et d*où Ton déduit , s$hs f>eine , celte par laquelle otx a coutume de les définir dqros les Traités des sections coniques.

' Que Ton prolongé , en effet, la - distance FB'dune quantité BK égale à elletnéme 5 d'après' ce qui précède, la direction du rayon veôteW Ft ira passer par le point K } donc Fl sera égal à tK , et par conséquent la sommé des rayons vecteurs Ff, Ft sera égal à FT^, pour le cas actuel où la coufte est -une ellipse 5 inais FTC = BC — TT, > puisqffte le quadrilatère BC'FK etf visiblement un parallélogramme 5 donc enfin

Dons F ellipse i la sommé des rayons vecteurs, correspondons à un point quelconque de la courbe , est constante et égale au grand axe de cette courbe. '

Il est visible que, dans le cas où F et F seraient extérieurs & TV, c'està-dire pour Phyperbole , ce ne serait plus la somme , mais la différence des rayons vecteurs , qui serait constante et égale au grand axe , ou & Taxe réel de la courbe.

Quelle que soit d'ailleurs l'espèce particulière de la courbe, oncondfit àans peine, de ce qui précède, que les deux rayons vecteurs, la tangente et k pormale, relatifs à un point quelconque de cette courbe, forment (199) un faisceau harmonique } ainsi donc, trois de ces droites étant données, la quatrième s'ensuit nécessairement par une construction purement linéaire (i 55).

SECTION IV. CHAPITRE Ie*. 2S9

45o. i*e point F cirdessus étant donc un foyer de la section conique, 01* conclut , du théorème de Part. 447 y cetXje réciproque qui a été connue de? anciens :

Si if de. Fan des foyers dune section conique, on abaisse des, perperidiculmres sur toutes les tangentes, les pieds de ces perpendiculaires appartiendront à la circonférence décrite sur le grand axe de Ll courbe comme diamètre.

- Au moyeu de la rerkarque de Fart. 448 , il serait facile d'étendre ce théo-r rème au cas où les droites abaissées du foyer, au Heu d'être perpendiculaires sur les tangentes, formeraient avec elles un même angle d'ailleurs quelconque \ mais alors la circonférence , lieu des pieds de ces droites], toucherait la courbe en deux points autres que les extrémités de Taxe principal de cette courbe.

D -ailleurs ces propriétés du foyer des sections coniques se modifient, pour le cas de la parabole , d'une manière qu'il est aûé de reconnaître à l'aide de la loi de continuité : en effet, alors l'une des extrémités T ou V du grand axe passe "à l'infini , aussi bien que la tangente qui lui correspond et le centre O de la courbe } une portion tout entière du cercle décrit sur TT', commç diamètre 1 dégénère en une ligne droite , à l'infini, qui se confond (95) avec la tangente dont il s'agit, tandis que l'autre portion de ce cercle se confond, au contraire , avec la tangente qui appartient au sommet opposé du grand axe, et continue ainsi à jouir des mêmes propriétés qu'auparavant. Quant aux foyers de la courbe , on voit qu'un seul d'entre eux subsiste à distance donnée , et que l'autre s'éloigne à l'infini sur le grand axe ; en sorte qull peut être censé confondu soit avec le centre , soit avec le sommet à l'infini de la courbe.

45 1 . Supposons que , dans le cas général de la Fig. 68 , Ton prolonge la droite AF jusqu'à sa nouvelle intersection en F avec le cercle décrit sur le grand axe de la courbe comme diamètre j l'angle AFC, inscrit à la demicirconférence, étant droit , B'C sera (447) une seconde tangente à cette courbe , en un point t pour lequel le rayon vecteur FI sera encore parallèle au diamètre AC du cercle , de même que l'est déjà (449) ce^ 1 ^' * 31" correspond à la première tangente AB } donc ces deux rayons vecteurs se confondront , quant à la direction , en une même droite ti, corde de contact ou polaire du point P où se coupent les tangentes AB et FC. Mais , dans le triangle APC , les droites CB , AB' sont les perpendiculaires abaissées des sommets C et A sur les côtés opposés $ donc la droite PF est aussi perpendiculaire sur le troisième côté AC

i6o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

du triangle (*) , et par conséquent sur sa parallèle tt. Or de là suit cette autre propriété des foyers des sections coniques , qui est due, je crois, à De Lahire (**) :

Dans toute section conique, la ligne droite qui joint le foyer au pôle dune sécante quelconque passant par ce foyer, est perpendiculaire n cette sécante.

452. Il est aisé de s'assurer que , pour le cas de la parabole , l'angle APC des deux tangentes aux extrémités de la corde tt est également droit} en effet, alors le point A passe à l'infini (45o) , en même temps que F et 0 , c'està-dire que B'F devient parallèle à la tangente AB 5 donc on peut conclure ce corollaire également dû à De Lahire (***) :

Dans la parabole, les sommets de tous les angles droits, circonscrits à la courbe, sont sur une même droite (iq5) polaire du foyer de cette courbe.

Cette droite est ce qu'on appelle la directrice de la parabole , et il n'est pas difficile d'en découvrir les diverses propriétés, au moyen de ce qui précède. Dans le cas général d'une section conique quelconque , la polaire de l'un des foyers se nomme également la directrice de la courbe relative à ce foyer ; il paraît plus convenable de la désigner en général par l'expression de polaire focale, qui en rappelle la nature d'une manière plus complète et plus absolue que le mot commun et générique de directrice, et c'est ainsi que nous en userons dans ce qui va suivre.

Du foyer commun des sections coniques , considéré comme centre de projection ou d'homologie.

453. Le théorème, démontré ci-dessus (45 1), va nous conduire à une propriété bien caractéristique des foyers des sections coniques, et qui en rattache immédiatement la théorie à celle des centres entomologie ou points de concours des tangentes communes.

. . j nm— — — — — ^— —

(*) Ceci suppose, d'après un théorème connu, que les trois hauteurs d'un triangle quelconque se coupent en un même point : or la chose est facile à prouver directement ; car, si sur chaque coté du triangle, comme diamètre, on décrit un cercle, il renfermera les pieds des perpendiculaires abaissées sur les deux autres côtés; en sorte que les trois perpendiculaires seront les cordes deux à deux communes aux trois cercles ainsi construits, lesquelles se couperont nécessairement en un même point (71)*

(**) Sectiones conicœ, etc., in-f°M lib. 8. Prop. XXIII.

(***) Ibid. Prop. XXVI.

SECTION IV. CHAPITRE Ier. 26 1

Supposons , en effet, que deux sections coniques tracées sur un même plan, mais d'ailleurs quelconques , aient un foyer commun ; d'après le théorème cité , toute transversale , menée par ce foyer dans le plan des deux courbes , sera telle que les pôles correspondais seront situés sur une autre droite perpendiculaire à la première et passant par le foyer dont il s'agit. Or cette propriété ne convient qu'aux seuls points de concours des tangentes communes aux sections coniques (a58 et 367) $ donc en effet

Le foyer commun au système de deux sections coniques , tracées sur un même plan, est pour elles un centre dhomologie ou de projection; c'est-à-dire un point de concours (ici nécessairement idéal) des tangentes communes aux deux courbes.

D'après Fart. 293 , on peut encore , si Ton veut , considérer les deux courbes comme la projection , sur un plan unique, de deux sections planes faites dans une même surface conique du second ordre, qui aurait pour sommet un point représenté , en projection , par le foyer commun des deux courbes dont il s'agit. C'est-à-dire , en un mot , que ce foyer jouit , à l'égard de ces courbes, de toutes les propriétés qui font le sujet du chap. Ier. de la IIIe. section : or cette remarque conduit à un grand nombre d'applications utiles et curieuses.

454* Il en résulte, en premier lieu, que, quand deux sections coniques situées sur un même plan ont un foyer commun , on peut déterminer directement (293, 3o5, etc.) tout ce qui concerne leur intersection mutuelle et leurs tangentes commîmes , sans employer autre chose que la simple ligne droite dans le cas où, les sections coniques n'étant pas décrites, mais seulement données par certaines conditions , on connaît un seul cercle (353) tracé sur le plan de la figure et le centre de ce cercle.

455. Lorsque trois cercles quelconques sont donnés sur un plan, le centre de l'un de ceux qui sont tangens à la fois à ces trois cercles doit, comme l'on sait , se trouver à l'intersection commune de trois sections coniques , dont les foyers sont précisément les centres des cercles donnés ; on pourra donc , d'après ce qui précède, obtenir directement, au moyen de la théorie des figures homologiques , le centre de chacun des cercles tangens aux proposés.

Cela donnerait lieu , au besoin , à une nouvelle solution du problème du cercle tangent à trois autres , qui ne le céderait en rien , du côté de l'élégance , à celles qui ont été exposées au chap. III de la IIe. section , et cela peut en même temps servir à expliquer clairement pourquoi la solution du problème se réduit finalement au premier degré , et peut s'exécuter à l'aide de la simple

*6a PROPRIÉTÉS PROJECTIVES. :

ligne droite , quoiqu'il y ait huit cercles distincts tangens aux proposés. j)u reste , les constructions qu'on obtiendrait ainsi demeureraient également applir cables aux cas particuliers où les cercles proposés se réduiraient , en tout ou ei> partie, à des points, i des droites., etc.

456. Il résulte encore de ce qui précède que , si le centre d'homologte de deux sections coniques tracées sur un plan est le foyer de f une , il sera em même temps le foyer de l'autre ; car , jouissant de la propriété ci-dessus (45 1) par rapport à la première des ces courbes, il en jouira de même (367) par rapport à la seconde. Pareillement, si un nombre quiconque de sections coniques ont un foyer commun sur un plan, ce foyer peut être considéré comme le point de concours de deux tangentes à la fois çommupes à tout leur système , et , sous ce rapport ^ elles jouissent de propriétés aussi intéressantes que multipliées (4 00 et 4oa)*

Enfin , si deux ou plusieurs sections coniques, ayant déjà un foyer commuât ont en outre même polaire focale (ou même directrice), elles auront un dou-r ble contact (3^2) , réel ou idéal, suivant cette polaire * qui ainsi sera une secante commune de contact pour toutes les courbes* Ce foyer , cette pokùrç et ces deux courbes jouiront donc alors de toutes les propriétés qui font le sujet du dernier chapitre de la IIIe. section $ propriétés sur lesquelles je crois d'ailleurs mutile de revenir.

Cas où l'une des courbes est un cercle $ conséquences qui en résultent pour la description des sections coniques dont le foyer est donné, etc.

457. Pour la circonférence du cercle, le foyer n'est évidemment autre chose que le centre même de la courbe , et on peut le regarder comme la réunion , en un seul , des deux foyers qui appartiennent en général aux sections coniques. Si donc Ton suppose qu'autour de l'un des foyers d'une sec— tion conique donnée , comme centre , avec un rayon arbitraire , on décrive une circonférence de cercle , elle aura ce foyer pour centre d'homôlogie ou de projection avec la section conique } en d'autres termes , elle pourra être considérée comme la projection, sur le plan de la figure, d'une section plane faite dans un cône du second degré , qui aurait la section conique proposée pour base , et pour sommet un point de l'espace représenté , en projection j par le foyer que l'on considère (*).

(*) Cette remarque peut servir à simplifier la construction ci-dessus (455) du problème

SECTION IV, CHAPITRE Ier. i63

' Tel est donc le caractère du foyer des sections coniques 5 et ce caractère se conserve , comme on voit , en vertu du principe de continuité , même quand on suppose le cercle infiniment petit ; auquel cas Tune des sécantes , V

qui lui est commune avec la section conique , se confond évidemment avec la polaire focale de cette section conique.

458. II suit de ce qui précède , qu'ayant seulement soit trois points, soit trois tangentes , soit deux points et une tangente , soit enfin deux tangentes et un point avec l\m des foyers d'une section conique quelconque , on pourra (3o3 et suiv.) déterminer immédiatement tout ce qui la concerne , et résoudre linéairement tous les problèmes du second degré qu'on peut avoir à se proposer sur elle , pourvu qu'on suppose décrit le cercle , de rayon arbitraire , qui a ce foyer pour centre : ^insi Ton obtiendra directement (344) son centre , ses axes , ses asymptotes , son autre foyer , ses intersections avec des droites données , etc. , etc.

Dans le cas de la parabole , deux conditions suffiront évidemment , attendu que la tangente à l'infini est naturellement donnée (33 1). ' 4^9- Pônr montrer avec quelle facilité ces notions conduisent à la plupart des théorèmes connus sur les foyers des sections coniques ^ et à beaucoup d'autres qui ne le sont pas encore , supposons d'abord que , pour le foyer F (Fig. 69) d'une section conique (0), on ait tracé, comme on vient de le dire, une circonférence de cercle arbitraire 1 ayant ce point pour centre 7 lequel est ainsi un centre d'homolpgie commun à la fois à ce cercle et à la section conique. Soient T, T deux points quelconques , homologues directs, appartenans au rayon d'homologie FTT $ les tangentes en ces points iront se rencontrer en un nouveau point F appartenant à l'une, M'N', des sécantes communes aux deux courbes , sécante qui est évidemment perpendiculaire au grand axe ÂB de la section conique , puisque tout' est symétrique de chaque côté de cet exe. D'un autre côté, si Ton prolonge la tangente TP7 à la section conique jusqu'à sa rencontre en P avec la polaire focale MN, qui est évidemment parallèle

du cercle tangent à trois autres sur un plan* Il serait facile, au reste, d'étendre ces diverses considérations au cas où l'on remplacerait Jes cercles par des sphères quelconques : alors les sections coniques, lieux des centres, se changeraient en des surfaces du second ordre de révolution , ayant deux à deux un foyer commun , et se coupant (5fy) , comme telles , suivant deux sections planes dont l'une nécessairement idéale : on voit ce qu'il y aurait à faire, si le rayon du cercle ou de la sphère tangente était donné, ou si, en général, on connaissait une ligne on «ne surface qui dût renfermer son centre*

264 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

à la sécante commune M'N', la droite PF sera (45 1) perpendiculaire au rayon

d'homologie FT et , par suite , parallèle à la tangente PF du cercle»

Maintenant , si, du point T de la section conique, on mène la parallèle TM à Taxe AB , elle rencontrera , à angles droits , la sécante M'N' et la polaire focale MN aux points respectifs M', M ] donc on conclura , à cause des différentes parallèles , que le rapport de FT' à FT, qui est le même que celui de PF à TP, est constamment égal au rapport de MM' à MT ; mais FT est constant , aussi bien que MM' qui mesure la distance des parallèles MN, M'N' ; donc le rapport de FT à MT est invariable pour tous les points de la section conique : c'est-à-dire, en d'autres termes, que

Le rapport des distances cFun point quelconque éPune section conique au foyer et à la polaire focale correspondante , demeure toujours le même, quel que soit ce point.

Cette propriété du foyer et de la directrice des sections coniques est trèsanciennement connue , et le rapport qu'elle indique devient évidemment celui de l'égalité , pour le cas particulier de la parabole (45o).

46o. Supposons encore (Fig. 70) que Ton inscrive à une section conique quelconque un quadrilatère ABCD , dont les diagonales ÀC et BD se croisent en l'un , F , de ses foyers, et qu'on lui en circonscrive un autre À'B'C'D', dont les côtés aient pour points de contact les sommets du premier j il existera entre ces deux quadrilatères les diverses relations signalées art. 1 86. Cela posé , si l'on considère le cercle , de rayon arbitraire , qui a F pour centre , et que l'on construise, pour ce cercle, les deux quadrilatères, inscrit et circonscrit, qui sont bomologiques ou projections des premiers par rapport à F, et dont l'un est nécessairement un rectangle et l'autre un parallélogramme , on conclura sans discussion que

« Les droites FP, FQ, qui joignent le foyer aux points de concours P et Q des » côtés respectivement opposés du quadrilatère inscrit ABCD ? et se confondent , » pour la direction, avec les diagonales du quadrilatère circonscrit A'FC'D', » se coupent à angle droit et divisent en deux parties égales, i°. l'angle et » le supplément de l'angle formé par les diagonales AC , BD du quadrilatère » inscrit, c'est-à-dire les cordes de contact des côtés opposés du quadrilatère » circonscrit 5 3°. l'angle et le supplément de l'angle formé par les droites FF, * FQ' qui partent du foyer et vont au point de concours F et Q* des côtés p opposés du quadrilatère circonscrit A'B'C'D'. Enfin tous les points de concours » P, Q, F, Q' sont rangés sur la polaire focale MN , laquelle a pour homologue, » ou projection dans le cercle, la droite à l'infini du plan ».

SECTION IV. CHAPITRE Ier. 26S

De là suit immédiatement ce corollaire déjà connu (*) : Une corde quelconque AB étant inscrite à une section conique , si , de Vun F des foyers , on mène des rayons vecteurs , tant aux extrémités de cette corde , qu'au point Vr où sa direction rencontre la polaire focale correspondante , et au pôle A', sommet de t angle circonscrit qui lui appartient, i°. ces deux derniers rayons vecteurs se couperont sans cesse à angle droit; a0, ils diviseront respectivement en parties égales F angle et le supplément de l'angle AFB formé par les deux autres*

Des angles dont le sommet s'appuie au foyer des sections coniques.

461 . On voit, par cette application du principe de Fart. 4^7 9 <]ue toutes les relations, qui concernent les angles au centre dans le cercle, s'étendent , d'une manière analogue, aux angles dont le sommet s'appuie aux foyers des sections coniques ; et il n'est pas besoin pour cela d'examiner , à chaque fois , les relations projectives qui lient le cercle, dont ce foyer est le centre, avec la section conique } il suffit de se rappeler , en général , que Tune des deux courbes peut être envisagée comme la projection de l'autre par rapport au point dont il s'agit : ainsi , par exemple , on aperçoit de suite , sans qu'il soit nécessaire de passer par tous les raisonnemens qui précèdent , que ,

Si un angle Quelconque est circonscrit à une section conique , la droite qui joint le sommet de cet angle au foyer de la courbe , divise en deux parties égales V angle formé par les deux rayons vecteurs qui aboutissent au point de contact des côtés du premier*

D'après cela , on pressentira , sans peine , retendue des conséquences qui peuvent découler du principe de Fart. 4^7 î car chaque théorème connu , sur les angles au centre du cercle , fournira un théorème analogue pour les angles au foyer des sections coniques.

46a. Soit TCP (Fig. 71) un angle quelconque circonscrit au cercle qui a F pour centre ; soit AB une troisième tangente de ce cercle , terminée en A et B aux deux premières j supposons d'abord que les points A et B soient sur les tangentes mêmes CT et CT, comprises entre le sommet C de l'angle que Ton considère et les points de contact T, T' des côtés de cet angle. Cela posé ,

(+) De Lahire^tlQ marquua^T Hôpital dat&onaè^ù^jaan dans leurs Traités des Sections coniques.

266 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

joignons , par des droites , le centre F aux extrémités A et B de la tangente AB } il est clair que , dans le triangle ABF formé par ces droites et cette tangente , l'angle en F est supplément de la somme des angles en A et B 5 donc le double de cette somme est supplément, pour quatre droits, de la somme des angles TAB , T'BA extérieurs au triangle ABC , et par conséquent égal à la somme des angles intérieurs A et B de ce triangle ; mais la somme des angles A et B , dont il s'agit , est supplément de Fangle en C du même triangle 5 donc enfin le double de Fangle au centre AFB, qui embrasse la tangente AB par ses extrémités , est égal au supplément de Fangle C compris entre les deux autres tangentes , et par conséquent r angle au centre dont il s'agit doit demeurer constant pour toutes les positions de la tangente AB autour du cercle proposé.

Cette conséquence nécessaire de la loi de continuité offre cependant une difficulté pour le cas où la tangente AB se trouve en A'B' , au-delà des points de contact T, Tf par rapport au sommet C de Fangle fixe 5 car , en répétant les raisonnemens ci-dessus pour cette nouvelle hypothèse , on trouve que ce n'est plus le double de Fangle même A'FB' qui est égal au supplément de Fangle C, mais bien le double du supplément de cet angle.

Mais si , en partant du premier cas , on fait varier successivement , toujours dans le même sens et par degrés insensibles , la position de la tangente AB autour du cercle qui appartient aux deux autres tangentes supposées fixes; qu'on ait soin , en même temps , d'observer attentivement les variations de sens et de grandeur des côtés FA et FB, qui comprennent Fangle au centre AFB, on reconnaîtra , sans peine, que le théorème, tel qu'il a d'abord été énoncé, s'applique à la fois à toutes les positions possibles de la tangente AB. Il est évident , en effet , que chaque fois que l'un des côtés dont il s'agit devient infini , c'est-à-dire change de sens à l'égard du sommet F, l'angle correpondant se change aussi en celui qui est adjacent à Fangle même formé par la direction des nouveaux côtés : c'est au moins ainsi qu'on doit entendre la loi de continuité , qui veut qu'on ne perde pas de vue un même objet dans les diverses transformations du système primitif. Or, si l'on place des lettres G,H sur la direction des côtés de l'angle AFB, hors du champ de la figure , il sera facile de voir que , passé l'instant où le côté FB, par exemple , est devenu parallèle à CT', et où AB se change par conséquent en A'B', ce n'est plus l'angle même des côtés FA', FB' que l'on a à considérer, mais bien celui A'FG' qui est le supplément de cet angle.

SECTION IV. CHAPITRE Ier. 2&j

463. En partant de ces principes et de la propriété établie ci-dessus pour le cas du triangle circonscrit au cercle , il nous serait facile de nous élever successivement aux relations d'angles qui concernent les polygones circonscrits d'un nombre de côtés quelconque. Par exemple , nous pourrions démontrer ce théorème général, qui s'étend également aux polygones de rang impair, à l'aide du principe de continuité (160) :

Dans tout polygone, d'un nombre de côtés pair, circonscrit à un cercle, la somme des angles au centre, sous lesquels on voit les côtés , soit de rang pair, soit de rang impair, équivaut toujours à deux droits, et par conséquent ces deux sommes sont égales entre elles , pour les différentes positions du système.

Mais quoique , d'après Fart. 4^7? ces diverses relations s'appliquent immédiatement aux polygones circonscrits à une section conique quelconque , en substituant l'un des foyers de la courbe au centre du cercle ci-dessus , nous croyons devoir laisser au lecteur le soin de faire lui-même ces développemens , qui nous entraîneraient nécessairement dans des longueurs , et nous feraient perdre de vue le cas simple du triangle , dont nous voulons spécialement nous occuper 5 à cause des conséquences qui en dérivent.

Quant à la remarque qui a été faite relativement à la manière de généraliser l'énoncé du théorème ci-dessus (462), elle pourra paraître , pour le moins , peu importante , eu égard à l'objet qui nous occupe ; mais elle est indispensable pour répandre de la clarté sur ce qui suit , et elle est bien placée dans un ouvrage destiné , en grande partie , à faire connaître les applications dont est susceptible le principe de continuité.

464* Quoi qu'il en soit, il résulte de cette remarque qu'en supposant que Pun quelconque AB (Fig. 71) des côtés d'un triangle ABC circonscrit au cercle (F) devienne mobile, en demeurant constamment tangent à ce cercle, les deux autres côtés AC et BC restant fixes , l'angle au centre AFB, correspondant à ce côté , pourra être regardé comme invariable de grandeur dans toutes les positions qu'il est susceptible de prendre autour du point F. Ainsi on aura ce théorème très-beau et très-général, en se reportant (^6 1) à la section conique quelconque qui a pour foyer le centre F du cercle :

L'angle sous lequel on voit , de Vun des foyers d'une section conique , la partie dune tangente mobile , interceptée entre deux tangentes fixes , est toujours constant pour toutes les positions de cette première tangente.

a6S PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

Cas particulier de la parabole.

465. Dans le cas particulier de la parabole, la tangente mobile peut passer tout entière à l'infini , et , pour, cette position , les côtés de Pangle mobile deviennent parallèles à ceux de l'angle fixe ; donc le premier de ces angles est égal à l'autre ou au supplément de cet autre , selon le sens dans lequel a pu s'opérer le mouvement de la première à la seconde position» Or il sera facile de voir, en suivant avec attention ce mouvement, que l'angle au foyer, correspondant à une position «^quelconque de la tangente mobile , est effectivement égal au supplément de l'angle formé par les deux tangentes fixes du côté de la courbe.

Désormais nous appellerons angle vecteur d'une droite , terminée par deux points quelconques, l'angle sous lequel on voit cette droite du foyer de la . section conique ; nous pourrons donc énoncer ainsi le théorème relatif à la parabole :

Dans la parabole , F angle vecteur, correspondant à une tangente mobile terminée à deux tangentes fixes quelconques, est toujours constant et supplément de V angle formé, par ces dernières tangentes, du côté de la courbe.

466. On peut déduire de là plusieurs corollaires remarquables , dont la plupart ont été donnés par Lambert, dans un ouvrage qui a pour titre : Insigniores orbitœ cometarum proprietates , Sect. I.

Soient CM et CN (Fig. 73) deux tangentes fixes quelconques d'une parabole ayant F pour foyer, ÂB une troisième tangente , mobile autour de cette courbe , et terminée en A et B aux points de sa rencontre avec les premières ; d'après le théorème qui précède , l'angle vecteur AFB est supplément de l'angle MCN des tangentes fixes , qui embrasse la courbe par ses côtés ; c'est-à-dire qu'il est égal à l'angle ÂCB qui lui est adjacent dans le triangle formé par les trois tangentes ; donc , si l'on trace la nouvelle droite FG , le quadrilatère ABCF sera inscriptible au cercle ; d'où suit ce théorème :

Un triangle quelconque étant circonscrit à une parabole, si on lui circonscrit , à son tour, une circonférence de cercle , cette circonférence passera nécessairement par lefojrer même de la courbe.

H suit de là réciproquement que

Toutes les paraboles , tangentes aux côtés d'un même triangle quel-

SECTION IV. CHAPITRE Ier. 269

conque, ont leurs foyers sur la circonférence du cercle circonscrit à ce triangle.

Si donc Ton se donnait , à volonté , une quatrième tangente ATJ' à la parabole , on obtiendrait de suite le foyer de la courbe , en circonscrivant des circonférences de cercle à deux quelconques des quatre triangles formés par la rencontre mutuelle de cette nouvelle tangente et des trois autres. Le point ainsi obtenu serait évidemment unique , et appartiendrait à la fois aux quatre circonférences de cercle décrites comme celles qui précèdent : ce serait , sur le plan de quatre droites arbitraires , le point duquel on verrait la partie interceptée par deux quelconques d'entre elles sur la troisième , sous un angle égal au supplément de celui que forment ces deux mêmes droites du côté du point dont il s'agit :

467. Puisque le quadrilatère ABCF est toujours inscriptible au cercle , quelle que soit la tangente mobile AB, Fangle FCA sera toujours égal à l'angle FBA qui s'appuie sur la même corde AF; mais Fangle FCA est invariable , puisque, par hypothèse, CM et CN sont fixes} donc,

Si Vun des côtés d'un angle quelconque , de grandeur invariable , passe constamment par le foyer d'une parabole , et que son sommet parcoure une tangente quelconque à la courbe , l'autre côté de l'angle mobile sera aussi constamment tangent à la courbe (*).

On peut encore énoncer ce théorème ainsi qu'il suit :

Si , du foyer dune parabole , on abaisse , sous un même angle donné, et toujours dans le même sens, des obliques sur toutes les tangentes; les pieds de ces diverses obliques se trouveront appartenir à une même droite , tangente elle-même à la courbe.

Ces deux théorèmes sont évidemment des cas particuliers de ceux dont la démonstration a été indiquée aux art. 44 8 et 45o.

(*) Ces corollaires faciles de notre théorie se trouvent consignés , ainsi que quelques-uns de ceux qui précèdent et de ceux qui suivent , dans un article inséré àlapag. in. du tom. VTH des Annales de Mathématiques} en les publiant, nous ignorions que ceux relatifs à la parabole eussent été le sujet des recherches de Lambert} et c'est à l'érudit bibliothécaire du Musée central d'Artillerie, M. Terquem, que nous devons cette remarque, dont nous nous empressons, comme on voit, de profiter, en lui témoignant ici toute notre reconnaissance. Au reste, on a pu s'apercevoir que, par-tout dans cet ouvrage, nous n'avons rien négligé pour rendre aux anciens comme aux nouveaux auteurs de Traités de Géométrie , tout ce qui peut leur appartenir.

a7p PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

468. En rapprochant entre eux le dernier de ces théorèmes et celui qui a été établi un peu plus haut (466) , on est conduit à ce corollaire remarquable :

Si, cF un point quelconque d'une circonférence de cercle circonscrite à un triangle donné , on abaisse, sous un même angle d'ailleurs arbitraire, des obliques sur les directions des trois côtés de ce triangle, leurs pieds seront situés sur une seule et même ligne droite.

C'est l'extension du théorème connu relatif au cas particulier où Pon remplace les obliques par des perpendiculaires , théorème que M. Servois attribue à R. Simson (*).

Conséquences relatives au cas général d'une section conique quelconque ; description organique des sections coniques par le mouvement des angles d'ouverture donnée.

469. Revenons au cas général d'une section conique quelconque , et soit F (Fig. 73) son foyer , CM, CN deux tangentes fixes et AB une tangente mobile de la courbe , terminée en A et B aux deux autres 5 d'après le théorème (464) 1 Pangle vecteur AFB , mobile en même temps que la tangente AB, conservera toujours la même grandeur 5 si donc on admet que , dans une de ses positions , AB vienne s'appliquer sur Pune des deux tangentes fixes , sur CM , par exemple , ses extrémités A et B se confondront alors , la première avec le point de contact T de cette tangente , la seconde avec le sommet C de Pangle fixe. Pareille chose ayant lieu quand la tangente mobile se confond avec Pautre CN des tangentes fixes , on en conclut de suite ce corollaire , dont la première partie a déjà été établie directement art. 461 :

Lorsque deux tangentes dune section conique se terminent , dune part à la courbe , de Vautre au point de leur intersection mutuelle , les angles vecteurs , qui leur correspondent par rapport à F un des foyers, sontégauoc entre eux et à F angle vecteur qui correspondrait à une troisième tangente quelconque terminée à celles-là.

470. Le théorème devant avoir lieu quelle que soit la position des parties

{*) M. Servois s'est servi du théorème de Sirrtson pour résoudre cet intéressant problème de Géométrie pratique : Prolonger une droite accessible au-delà d'un obstacle qui borne la vue, en n'employant que l'équerre d'arpenteur, et sans faire aucun chaînage (tome. IV des Annales de Mathématiques, pag. 260)5 ** V& P'écèi© fait voir qufon pourrait se servir également de la fausse équerrç (357).

SECTION IV. CHAPITRE Ie'. 271

de la figure, il sera vrai encore dans le cas où certains points et certaine droite qu'on y considère se trouveront situes à l'infini. Supposons , par exemple (Fig. 74) 7 que les deux tangentes en question soient précisément celles aux extrémités T et T' du grand axe de la courbe } dans ce cas , le point C est à l'infini , et les angles TFC , TTC sont droits 5 donc l'angle vecteur AFB , qui correspond à une troisième tangente quelconque AB terminée aux deux premières , est aussi droit. Cette circonstance devant avoir lieu également pour l'angle vecteur ÀF'B de cette même tangente , relativement à l'autre foyer F de la courbe , il en résulte un moyen très-simple d'obtenir simultanément ces foyers par le cercle décrit sur la portion AB de la tangente, comme diamètre.

Si l'on exécutait les mêmes constructions relativement à l'autre axe de la courbe , lorsqu'il existe , et il n'y a pas de raison pour ne point le faire , la circonférence cesserait de rencontrer cet axe ; mais il est évident qu'un simple alongement ou rétrécissement de la courbe pouvant rendre les points d'intersection tour à tour possibles et impossibles pour un même axe , il n'y - a pas de distinction nécessaire à établir entre les deux cas , si ce n'est sous le point de vue purement physique } en sorte que L'on peut dire , d'une manière figurée et en admettant , comme nous l'avons fait jusqu'ici , la considération des points imaginaires , que

« Les sections coniques ont , généralement parlant, quatre foyers situés deux » à deux sur chaque axe de la courbe , et appartenons respectivement à deux t» séries de cercles ayant ces axes pour sécantes commîmes réelles ou idéales 5 » de plus , il est aisé de prouver que ces deux séries sont orthogonales récipro- » ques l'une de l'autre (73). »

471. Le théorème et la construction d'où nous croyons pouvoir déduire cette conséquence ont été connus des anciens, et font partie des Coniques à'Jppollonius : nous aurons occasion d'en faire usage par la suite. Ce même théorème n'est, au surplus, qu'un cas particulier de celui où la corde de contact TT' (Kg. 73) de l'angle des deux tangentes CM , CN que l'on conrsidère , passe par le foyer correspondant F 5 car, d'après ce qui a été prouvé art. 45 1) les angles vecteurs TFC, TTC étant encore droits, il en doit être de même (469) de tous ceux AFB qui s'appuient sur une troisième tangente quelconque AB terminée aux deux autres (*).

(*) Cette extension se trouve consignée dans l'ouvrage de Guîdo Grondas > qui a pour titre : Sectienum conicontm synepsis, imprimé à Naplea, en 1737.

*72 PROPRIÉTÉS PROJECTTVES.

472. Si Ton se donnait le foyer F (Fig. 73) d'une section conique et trois tangentes quelconques AB , AC , BC formant, par leurs intersections mutuelles, le triangle circonscrit ABC , l'angle vecteur AFB du côté AB serait donné de grandeur 5 et par conséquent , en Te faisant mouvoir autour du foyer F , la droite AB, qui le sous-tend ainsi que l'angle fixe ACB formé par les deux autres côtés du triangle , deviendrait mobile et roulerait (464) sur la section conique elle-même, dont on aurait ainsi une infinité de tangentes. Le théorème de Fart. 4^9 donnerait ensuite, pour chacune des tangentes mobiles et des tangentes fixes, le point où cette tangente vient toucher la courbe.

Au lieu de se donner une position de la tangente mobile , on peut ne se donner que la grandeur de l'angle vecteur AFB 5 et alors , en faisant mouvoir cet angle autour de son sommet F, sans en changer la grandeur , les conséquences seront encore-Jes mêmes } donc

Si , sur le plan (Tien angle donné de position , on fait mouvoir , autour d'un point arbitraire et fixe pris pour sommet , un angle quelconque , de grandeur invariable ; qu'on trace ensuite , pour chacune de ses positions , les deux droites qui sous-tendent à la fois V angle fixe et V angle mobile; chacune de ces deux séries de droites enveloppera^ en particulier^ une seule et même section conique , ayant précisément pour foyer le sommet fixe de V angle mobile , et les deux côtés de F angle fixe pour tangentes.

473. Il suit de là que, si Ton abaisse, du sommet fixe ou foyer, des per-^ pendiculaires , tapt sur les côtés de l'angle donné que sur les droites mobiles appartenantes à une même série , les pieds de ces perpendiculaires seront (45o) sur un même cercle, ayant, pour diamètre, le premier axe de la section conique qu'enveloppent ces droites, etc.

Il est évident encore que, dans le cas particulier où l'angle mobile est égal à l'angle fixe ou en est le supplément , l'une des deux courbes devient une parabole (465) 5 en sorte que le cercle qui lui correspond dégénère en une tangente au sommet de cette parabole.

474- Revenons au cas où le côté AB (Kg. 73) du triangle mobile AFB , roule sur une section conique quelconque , ayant le point F pour foyer } il est clair que , si l'on assujettit l'angle vecteur AFB à demeurer constant , comme ci-dessus , et le sommet A à parcourir les divers points d'une tangente quelconque MC de la courbe , le dernier sommet B du triangle décrira lui-même une seconde tangente NC de cette courbe ; or, en menant , à chaque instant ,

SECTION IV. CHAPITRE Ier. a73

de l'autre foyer F de la courbe , des droites AF, BF vers A et B , elles formeront un angle AFB qui demeurera invariable de grandeur^ aussi bien que le premier AFB (464) ? donc , la grandeur de ce nouvel angle étant une fois déterminée , le mouvement de la tangente AB autour de la courbe , pourra être remplacé par le mouvement simultané des angles vecteurs en F et F, dont deux côtés se couperaient, à chaque instant, en des points A de la tangente donnée MC ; de plus, selon ce qui précède, l'autre extrémité B de cette tangente, commune à la fois aux seconds côtés FB, FB des angles mobiles, parcourra la tangente CN dans ses diverses positions.

On voit que , pour déterminer la relation de grandeur des angles en F et F pour laquelle ce théorème aura lieu , il faudra avoir Tune des positions de la tangente mobile AB, autour de la courbe ; car , en se donnant arbitrairement l'angle en F, la position du point correspondant B en résultera au moyen de la tangente fixe MC , et , par suite , la grandeur même de l'angle en F. Mais on arrivera évidemment au même but, sans recourir directement à la tangente AB, en remarquant qu'il doit exister une position de cette tangente , pour laquelle le point B soit en N sur la direction de FF} en effet , il en résulte que , Jes côtés FB, FB des angles mobiles en F et F étant appliqués à la fois sur cette droite, les deux autres côtés de ces mêmes angles devront concourir en un point de la tangente donnée MC. Donc enfin nous pouvons conclure ce théorème dû à Mac-Laurin (*) :

Si deux angles, de grandeur invariable, tournent sur deuoc point fixes ou pôles quelconques, pris pour sommets, tandis que deux de leurs côtés se coupent continuellement surfine droite de position donnée; le point d'intersection des deux autres côtés se mouvra constamment sur une autre ligne droite , quand les angles générateurs seront tels que , dans une certaine position , leurs côtés puissent s* appliquer, à la fois , sur celle qui renferme les deux points fixes ou pôles.

Il résulte , en outre , de ce qui précède que la droite, qui joint , à chaque instant, les points d'intersection des côtés des angles, enveloppe alors dans toutes ses positions une même section conique , ayant la directrice ainsi que la droite parcourue pour tangentes , et les deux points fixes pour foyers.

475. Dans le cas général où les deux angles sont entièrement arbitraires, la ligne des points B cesse d'être une droite, et devient alors une section conique.

(*) Voyez la Géométrie organique de cet auteur 9 Ife. partie, pag. 7, Frop. III.

374 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

Soient , en effet , F et F (Kg, 75) deux angles constans quelconques dont lés côtés FA , F' A se coupent sans cesse sur la droite MC , tandis que les deux autres FX^F'X se coupent en des points X de la courbe qu'il s'agit d'examiner. En concevant , comme ci-dessus , la section conique qui a F et F pour foyers et MC pour tangente , il résultera de ce qui précède que r si Pon; mène , de chaque point À, une tangente AB à la courbe, elle ira rencontrer les côtés JFX, FX en des points B, Bf, qui demeureropt invariablement sur deux autres tangentes CN, C'N' de la courbe ; ainsi le mouvement du point X sera remplacé par celui de Fun des sommets du triangle BB*X , dont les deux autres sommets B, B' parcourent les tangentes en question, tandis que les côtés BX^WX, -adjacens à X, passent constamment par les points fixes F et F, et qnç (e troisième côté BBf roule sur la section conique proposée.

Or si , pour savoir le degré de la courbe que parcourt le sommet X , on trace , •à volonté , une droite KL sur le plan de la figure , ce degré sera évidemment marqué par le nombre des positions distinctes du point X sur cette droite; Mais, si Ton oblige le sommet X du triangle ËB'X à parcourir k droite KL dont il s'agit, en rendant libre le côté Bff, et assujettissant, du reste v le mouvement du triangle aux mêmes conditions qu'auparavant} ce côté fibre enveloppera évidemment (210) une nouvelle section conique ^ tangente atfâsi aux directrices CN, CNf, et qui n'aura plus ainsi que deux? outres tangentes communes avec la proposée, lesquelles étant prises successivement jfcmr la direction du côté BBf, ne donneront, en tout, que deux triangles BfrX et, par suite, deux sommets distincts X remplissant les conditions du prt&lèjBe$ donc aussi la droite arbitraire Kt ne peut rencontrer qu'en deux points seulement la courbe que décrit en général le point X; donc, enfin, cette ^courbe est du second degré , et Ton peut énoncer par conséquent ce théorème :

Si Von fait mouvoir , sur un plan, deux ongles, de grandeur invariable

mais quelconque , autour de deux points fixes comme sommets, de telle sorte que deux de leurs côtés se coupent sans cesse sur une droite donnée de position , Vintersection de deux autres côtés de ces angles décrira une section conique passant évidemment par les points fixes dont il £ agit (*).

476. Telle est la description organique des lignes du second ordre, donnée

(*) Nous donnerons, dans le IIIe. chapitre de cette section (55o), une démonstration beaucoup plus directe dé ce théorème, et qui s'étend au cas général où Ton considère un nombre quelconque d'angles» et de directrices.

SECTION IV. CHAPITRE Ier. s75

par Newton dans ses Principes mathématiques de la Philosophie naturelle; description qui sert de base à la Géométrie organique de Mac-Laurin. II ne serait pas difficile de faire voir, d'après ces illustres géomètres , comment on peut s'en servir, de même qu'on a fait depuis de Vhexa gramme mystique de Pascal , soit pour mener des tangentes aux sections coniques , soit pour faire passer une telle courbe par cinq points donnés sur un plan, etc. Notre but n'étant ici que de montrer avec quelle simplicité nos principes peuvent conduire directement aux principaux théorèmes connus sur les angles , nous n'entrerons pas dans de plus grands développement à ce sujet ; et nous terminerons tout ce que nous avions à dire sur la description organique des lignes du second ordre , en faisant remarquer, avec Mac-Laurin , que , dans les raisonnemens ci-dessus (475) , le mouvement de la tangente ou' du côté BBf peut être remplacé (464) par celui de l'angle BFBr, invariable de grandeur, qui a son sommet appuyé au foyer F $ ce qui donne lieu à ce corollaire :

€ Si l'un, F, des angles d'un triangle B'FX est constant de grandeur, en tour- » nant sur un point fixe F, comme sommet , tandis que le côté B'X opposé » à cet angle pivote, dans toutes ses positions , sur un autre point fixe F'vet que » l'un , Bf , des sommets adjacens à ce même côté est assujetti à parcourir une » droite donnée C'N', le troisième sommet X du triangle décrira , par le même » mouvement , une section conique passant par les points fixes F et F'. »

Relations d? angles qui appartiennent simultanément au système des deux foyers d'une section conique; des angles constans et des polygones équiangles circonscrits à une telle courbe.

477* Considérons maintenant les relations d'angles qui peuvent appartenir simultanément au système des deux foyers F et F' (Fig. 73) d'une section conique ; joignons , par des droites , chacun de ces foyers avec les points de contact T , T' et le point d'intersection C de deux tangentes quelconques CM et CN de la courbe , que nous supposerons ici être une ellipse. D'après la proipriété connue des foyers (449) t ^ angles FTC 1 FTC sont supplémens l'un de l'autre , et leur somme vaut deux droits ; par la même raison , la somme des angles FTf C , F'T'C vaut aussi deux droits } donc la somme de tous ces angles réunis, qu'on peut appeler angles de contact, vaut quatre angles droits.

D'après ce corollaire , on peut déjà prévoir que le système des foyers F et Ff doit jouir , par rapport aux angles , de propriétés exactement semblables

s76 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

à celles qui ont lieu pour le centre du cercle , suppose double 5 et , en effet , si nous considérons les deux quadrilatères CTFT', CTPT' formés par les deux tangentes ci-dessus et par les rayons vecteurs qui partent de chaque foyer et vont aux points de contact de ces tangentes , la somme de tous leurs angles réunis vaudra huit droits ; retranchant donc les angles en T et T',* qui sont ceux du contact et valent ensemble quatre droits , d'après ce qui précède , il restera quatre angles droits pour la somme des angles en F et F joints au double de Fangle en G des deux tangentes; en sorte que

La demi-somme des angles vecteurs TFT', TFT, qui répondent aux deux foyers et à la corde de contact de deux tangentes quelconques, est toujours supplément de V angle même formé par ces tangentes , du côté de la courbe.

Autre propriété tout-à-fait analogue à celle qui a lieu pour le cas particulier du cercle.

Pour Phyperbole, ce n'est plus la demi-somme , mais la demi-différence des angles vecteurs qui est supplément de Fangle formé par les /tangentes , du côté de la courbe (*) : quel que soit , au reste , celui de ces cas que Pon considère , il faut avoir égard (462) à la diversité de position des lignes et des angles pour appliquer le théorème, c'est-à-dire à la variation de signe des angles auxquels il est relatif.

Maintenant, si Ton remarque que Fangle TFTr est double (4^0 de Fangle TFC ou TTC, et qu'il en est de même de Fangle TFT à Fégard de TFC ou de T'PC , on conclura , de ce qui précède , que la somme des angles TFC , TFC , pour Fellipse , et leur différence , pour Fhyperbole , est exactement le supplément de Fangle MCN des tangentes que Fon considère 5 mais les angles dont il s'agit sont respectivement égaux (4^9) aux angles AFTÏ, AFB, sous lesquels on voit , des foyers F' et F, la partie AB d'une troisième tangente terminée aux deux autres; donc nous pouvons énoncer ce théorème général, dont l'analogie avec celui qui a lieu (449) entre les rayons vecteurs partant d'un même point de la courbe est digne de remarque :

Lorsqu'une tangente dune section conique se termine à deux autres tangentes de la même courbe , la somme des angles vecteurs de cette tangente , dans Fellipse, et leur différence , dans Vhyperbole , est constante

(+) Guida Grandus a donné, pour Fhyperbole , un théorème qui revient à celui-ci : voyez Fouvrage déjà cité plus haut (4y j ).

SECTION IV. CHAPITRE Ier. 377

et égale au supplément de t angle formé par les deux tangentes fixes , du côté de la courbe.

Dans le cas de la parabole , Fun des angles vecteurs est nul , et dans celui du cercle il se confond avec Fautre 5 en sorte qu'on retombe directement sur les propositions déjà établies plus haut (462 et 465). Le cas où les deux tan- " gentes fixes sont parallèles ou perpendiculaires , offre aussi des circonstances remarquables , sur lesquelles il est assez inutile d'insister.

478. Pour compléter ce parallèle entre les propriétés des sections coniques et celles du cercle, relatives aux angles et aux foyers , nous remarquerons que, dans les triangles CFT, CFT, les sommes d'angles adjacens aux bases CF et CF sont respectivement égales aux angles de contact MTF, MTFf extérieurs à ces triangles ; or ces angles sont supplémens Fun de Fautre ; donc ces deux sommes, prises ensemble, valent deux droits} donc aussi la somme des angles vecteurs TFC, TFC, est supplément de celle des angles TCF, TCF. On prouverait de la même manière , pour la tangente CTf, que la somme des angles vec- . teurs TTC, T'FC est supplément de celle des angles T'CF, T'CF} d'ailleurs ces deux sommes d'angles vecteurs sont égales entre elles (46 1) ; donc enfin l'angle T'CF + T'CF = TCF + TCF, et pat conséquent , en ôtant de part et d'autre la partie FCFf commune à ces sommes, il restera l'angle a.FCT = 3.FCT} théorème qu'on peut énoncer de la manière suivante :

Si Von joint , par des droites , le sommet dun angle quelconque circonscrit à une section conique avec les deux foyers de la courbe , ces deux droites formeront respectivement des angles égaux avec les tartgentes1 et par conséquent avec la droite qui divise , soit T angle , soit le supplément de V angle de ces tangentes, en deux parties égales.

Ce théorème est évidemment analogue à celui qui a lieu dans le cercle, seulement alors les droites CF, CF' se confondent. Dans le cas de la parabole , Fun des foyers passe à l'infini , et la droite qui le joint au sommet de l'angle des deux tangentes devient parallèle à l'axe de la courbe $ ce qui offre quelques conséquences qu'il est inutile d'examiner, attendu la facilité avec laquelle on peut les déduire de ce qui précède.

479- Des théorèmes qui viennent d'être exposés, on passerait, de suite, aux relations d'angles qui peuvent appartenir aux polygones inscrits et circonscrits aux sections coniques : ainsi , par exemple , il en résulte que,

« Si l'on considère un polygone circonscrit à une section conique, dont tous les angles soient égaux , et qu'on inscrive à la courbe un autre polygone qui ait pour sommets les points de tangence des côtés du premier,

2?8 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

i°. « Les sommes ou différences d'angles vecteurs (selon que la courbe est une ellipse ou une hyperbole) , qui répondent aux deux foyers et aux différera côtés du polygone circonscrit , sont toutes égales entre elles et au double de l'angle extérieur du polygone. »

2°. « La même chose a lieu à l'égard des côtés du polygone inscrit, pour lequel d'ailleurs les sommes ou différences d'angles vecteurs sont exactement égales à celles qui répondent au polygone circonscrit. »

3°. « Les sommes ou différences d'angles vecteurs appartenons aux différens segmens formés sur chaque côté du polygone circonscrit 1 à partir du point de contact 9 sont aussi égales entre elles et moitié des premières ; de sorte qu'elles ont pour mesure l'angle extérieur du polygone circonscrit. »

4°. « Etc. »

Dans le cas de la parabole , l'un des foyers passe à l'infini , et les angles vecteurs qui lui correspondent sont tous nuls; en sorte que si, de l'autre foyer , l'on mène des rayons vecteurs tant aux sommets qu'aux points de contact des côtés du polygone circonscrit , tous les angles formés par deux rayons consécutifs seront égaux entre eux : propriété parfaitement analogue à celle qui a lieu pour les polygones équiangles circonscrits au cercle.

Nouvelles propriétés des angles constats dont le sommet s'appuie au foyer des sections coniques , ou qui sont circonscrits à ces courbes.

48o. Ce rapprochement entre les propriétés des foyers des sections conicjues et celles du centre de la circonférence du cercle 1 peut se pousser beaucoup plus loin encore 7 à l'aide des considérations de l'art. 4^7 •

Supposons , en effet , qu'ayant décrit un cercle, du foyer F (Fig. 76) d'une section conique quelconque , comme centre , avec un rayon arbitraire , on fasse mouvoir , autour du point F comme sommet , un angle TFT, de grandeur quelconque mais constante , et qu'on trace , à chaque instant , la corde t( qui sous-tend cet angle dans le cercle , et celle TT' qui le sous-tend dans la courbe \ supposons enfin qu'on circonscrive , à ce cercle et à la courbe , les angles tat^ TAT' qui ont leurs points de contact aux extrémités respectives des deux cordes , on conclura immédiatement ? du principe de Part. 457 et de la doctrine des figures homologiques, que

i°. « Le sommet A de l'angle circonscrit à la section conique parcourra une autre section conique, jouissant absolument des mêmes propriétés projectives

SECTION IV. CHAPITRE Ier. 279

que la première , par rapport au foyer F, et ayant par conséquent (456) ce foyer et la polaire focale correspondante MN en commun avec elle, puisque d'ailleurs cette polaire est une sécante de contact commune aux deux courbes. »

20. « La corde TT', qui sous-tend l'angle de grandeur invariable ¥, roule , de son côté , sur une troisième section conique , ayant avec chacune des deux •autres absolument les mêmes relations que celles-ci ont entre elles ; de plus , le point de contact de la corde mobile , avec la section conique qu'elle enveloppe j se trouve précisément sur la droite FA qui joint le foyer au sommet A de l'angle circonscrit correspondant , et divise par conséquent l'angle vecteur TFT' en deux parties égales , etc. *

48i. Dans le cas particulier de la parabole , les angles vecteurs égaux TFT' correspondent aussi (4*55) à des angles circonscrits TAT' égaux entre eux, et réciproquement ; donc on a ce théorème fort remarquable :

Si Von fait mouvoir, autour d'une parabole, un angle circonscrit quelconque, de grandeur invariable, le sommet de cet angle parcourra, dans toutes ses positions*) une section conique ayant même foyer et même polaire focale que la parabole. Par suite du même mouvement , la corde de contact de l'angle roulera sur une troisième section conique , ayant encore ce foyer et cette polaire en commun avec la parabole.

De Làhire a , le premier, démontré , par le calcul (*) , que les sommets des angles égaux circonscrits à la parabole sont sur une autre section conique , et il. ne paraît pas que personne ait encore établi ce théorème d'une .manière purement géométrique , comme on vient de le faire. Au surplus, quand l'angle circonscrit est droit , on retombe directement sur la propriété de la polaire focale de la parabole (45a) J car alors la section conique , décrite par le sommet de cet angle, devient une ligne droite.

Des angles coristans, ou variables suivant certaines lois, dont le sommet s'appuie en un point quelconque du périmètre (Tune section conique.

482 • Les propriétés qui viennent de nous occuper en dernier lieu , relativement aux angles constans qui se meuvent autour du foyer d'une section conique , subsistent , d'une manière analogue , pour le cas où le sommet de

(*) Voyez le Traité m-îo\°>, des Sections coniques par. cet auteur $ liv. VHI, Frop. 29.

28o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

l'angle est en un point quelconque du périmètre de la courbe ; si Ton décrit , en effet , un cercle , de rayon arbitraire , touchant cette courbe au point dont il s'agit, il aura avec elle (3 19) ce même point pour centre d'homologie ou de projection ; donc il sera , à son égard , dans une situation analogue à celle où se trouve , par rapport à la courbe , le cercle de rayon quelconque , décrit du foyer de cette courbe , comme centre.

Or, en faisant mouvoir autour du point de contact du cercle et de la conique, comme sommet , un angle de grandeur invariable, la corde qui sous-tend cet angle. dans le cercle roulera encore, dans toutes ses positions, sur un nouveau cercle concentrique au premier, et il en sera de même du sommet de Fangle circonscrit , ou du pôle qui correspond à la corde génératrice. De plus, quand Fangle invariable est droit, le cercle qu'enveloppe cette même corde se réduit à un point , placé sur la normale de la section conique qui répond au sommet commun des angles ; donc on peut énoncer ces théorèmes analogues à ceux de Fart. 4#o :

« Si , autour d'un point quelconque du périmètre d'une section conique , pris pour sommet , on fait mouvoir un angle constant , de grandeur arbitraire , et qu'on détermine successivement les cordes qui sous-tendent cet angle , et les pôles qui leur appartiennent,

« i°. Le système de ces cordes enveloppera une seule et même section conique qui, dans le cas où Fangle générateur sera droit, se réduira à un point, placé sur la normale relative à la courbe proposée et au sommet commun des angles ^ et qui , dans le cas général où Fangle générateur sera quelconque , aura avec cette proposée un double contact suivant la polaire du point dont il s'agit. »

« 20. Le système des pôles, appartenons à ces mêmes cordes, sera situé sur une troisième section conique , ayant un double contact avec la proposée suivant la polaire qui sert déjà de sécante de contact commune aux premières, et qui se réduira à cette polaire elle-même, quand Fangle générateur sera un angle droit. »

483. Il est essentiel de remarquer que, dans le cas actuel, chacune des courbes engendrées par suite du mouvement de Fangle constant , appartient à la fois à cet angle lui-même et à celui qui en est le supplément ; ce qui n'a pas lieu pour le cas où le sommet fixe des angles est placé au foyer même de la courbe ; car alors l'un de ces angles donne lieu à des courbes toufeà-fait différentes de celles qui répondent à l'autre.

SECTION IV, CHAPITRE l°*. *8i

D'ailleurs 7 puisque les cordes passent toutes par un même point placé sur la normale qui répond au sommet commun des angles , quand ces angles sont droits et que leur sommet est sur la courbe r il en résulte un moyen fort élégant , proposé par M. Frégier, à la pag. 2 3 1 du tome VI des annales de Mathématiques , pour mener , avec Véquerre seule , une tangente et une normale en un point donné quelconque d'une section conique déjà décrite sur un plan (*).

D'après ce qui précède 7 on voit qu'on arriverait au même but 7 quoique d'une manière un peu plus pénible, en se servant de la fausse équerre ou d'un angle quelconque 5 car ayant tracé , à volonté 7 trois cordes au moyen de cet angle, et de la manière dont il a été expliqué ci-dessus, on déterminera , sans peine (4*4) ? 'e pôle de la sécante de contact commune à la section conique proposée et à celle qu'enveloppent ces cordes dans toutes leurs positions; joignant ensuite ce pôle, par une droite, avec le sommet commun à tous les angles, ce sera, d'après ce qui précède, la normale qui correspond à ce point.

484* Quand, au lieu d'être constant , l'angle générateur est variable suivant certaines lois , la corde mobile , qui sous-tend cet angle dans la section conique donnée , peut encore tourner autour de points fixes dans plusieurs circonstances remarquables , dont quelques-unes ont été également signalées , par M. Frégier, dans le volume déjà cité des annales de Mathématiques.

Supposons , par exemple , qu'on remplace l'angle générateur par un angle variable , de façon qu'une droite fixe quelconque , menée par son sommet , le divise toujours en deux parties égales } il est visible que , pour le cercle auxiliaire tangent en ce sommet à la section conique , les cordes qui soustendent cet angle demeureront toutes parallèles à elles-mêmes et à la tangente au point où la droite fixe rencontre de nouveau le cercle; c'est-à-dire que toutes ces droites concourront en un même point à l'infini ; donc « 1*$

(*) M. Frégier a fait voir, à l'endroit cité, que la construction s'étendait, d'une ma* nière analogue, aux surfaces du second ordre y en remplaçant l'angle droit par un angle trièdre tri- rectangle; la même remarque peut s'appliquer aux théorèmes qui précèdent et à ceux qui suivent. Voici, au sujet de cette construction, une propriété qui peut être utile : Si F on inscrit, à une surface du second ordre quelconque , un angle trièdre tri-rectangle } ayant son sommet en un point de cette surface, la normale en ce point sera la droite de concours unique des trois plans menés respectivement par chaque arête et par la normale à la section que détermine la face opposée d cette arête p

a&i PROPRIÉTÉS PROJECTJVE&

» cordes et la tangente analogues , dans la section conique proposée , concour- » j*aot également en un point unique, et p*r conséquent, les pôles de ces » mêmes cordes seront distribué» sur une ligne droite passant par le p<)int dç » contact de cette tangente, i On yoit d'ailleurs ce qui arriverait dans les cas particuliers, examinés par M. Frégier, où la droite fix$ se confondrait^ «dît avec là normale, soit avec la tangente qui correspond £u commet commun des angles.

En général, d'après ce qui a été dit ci-dessus relativement au cercle qui toucherait une section conique en un point, il est évident que toutes les relations projectives qui pourront appartenir à ce point, pour le cercle, subsisteront , d'une manière ynalogue , pour le nfcême point et la section conique. -

485* Il existe une circonstance générale pour laquelle la cprde de Pangle variable pivote , dans toutes ses positions, autour d'un point fi*e$ c'est celle où cet angle peut être considéré comme la projection , sur un autre plan , d'un iuqgle constamment droit ; H est évident en effet, d'après ce qui précède, que* sur ce plan, la proposition aura lieu; donc elle aura lieu aussi poor.la figure proposée. Or cette circonstance particulière peut se reconnaître tHs-sioipletïient et se reproduire dans u& grand nombre de cas.

Supposons , par exemple , qu'on trace, quelque part sur le plan de k figure , une autre section conique quelconque 5 en menant, à volonté, une droite par le point de la proposée qui doit servir de sommet commun aux angles qu'on veut lui inscrire ; puis joignant , par unie nouvelle droite , ce point avec le pôle de la droite arbitraire dont il s'agit , pris par rapport à la section conique auxiliaire, elle formera, avec cette même droite j un angle qui, quoique variable dans ses diverses positions, pourra cependant être considéré comme la projection d'un angle constamment droit.

En effet, si Ton met la figure en projection, sur un nouveau plan, de façon que la section conique auxiliaire devienne un cercle ayant pour centre (120) le sommet commun des angles , chaque droite arbitraire étant alors un diamètre du cercle , celle qui joint son pôle au Centre sera un diamètre perpendiculaire au premier. Ainsi, en prenant, dans la figure primitive, l'angle dé ces droites pour angle générateur , la corde qui le sous-tend dans la section conique proposée pivotera constamment autour d'un point fixe , placé évidemment sur la .droite qui , passant par le sommet commun des angles , conrtient aussi le pôle de la tangente correspondante à ce sommet et à la courbe oroposée , par rapport à la courbe auxiliaire*

SECTION IV. CHAPITRE Ier, ±83

'. Quand la section conique auxiliaire est tracée de façon qu'elle ait précirsément pour centre le point pris pour sommet des angles variables , ces angles deviennent précisément ceux que forment les différera systèmes de diamètres conjugua de cette courbe , et ainsi se trouve démontré , en passant, le théorème que M. Frégier à donné à la page 3aa du tome VI des Annales de Mathématiques.

Supposons encore que, par le point prisjsur là section conique proposée, en conduise une nouvelle section conique quelconque, puis qu'on lui inscrive u*ç suite d'angles dont le sommet soit en ce point, et dont les cordes correspondantes passent toutes par un autre point fixe d'ailleurs arbitraire , il arrivera, de même, qu'en mettant la ûgare en projection, de façon que h section conique auxiliaire devienne un cercle qui ait ce dernier point pour centre, tous les angles en. question seront droits} donc les cordes, quisouatendent les angles de. la figure primitive dans la section conique proposée , pivoteront encore toutes sur un même point*

Des angles droits dont le sommet s'appuie en Un point-quelconque du plan ' âfune section conique, ou qui sont circonscrits à une telle courbe , etc.

486. Q deviendrait fastidieux de multiplier davantage les exemples relatifs au cas qui précède, lesquels n'offrent, comme on le voit, aucune sorte de difficultés. Et , puisque d'ailleurs une section conique quelconque peut toujours être censée (339) Idéologique d'un certain cercle par rapport à un point arbitraire de son plan j pris pour centre d'homologie (oq point de concours des tangentes communes), on conçoit que toutes fars propriétés qui peuvent appartenir à un système d'angles constans Ou variables, ayant leur sommet en un point quelconque du plan d'un cercle, doivent s'étendre, d'une manière analogue, au cas ou le cercle est remplacé, en général, par une section conique. *,:'

Pour offrir au moins un exemple , nous considérerons les conséquences qui peuvent résulter du mouvement d\m angle droit AFB (Fig. 77)', autour d'un point quelconque F du plan d'un cercle , pris pour sommet : 'à cet effet , prolon-r geons les côtés de cet angle, de part et d'autre du point F, jusqu'à leurs inter-* sections respectives en A et C, B et D avec le cercle, et formons avec ces nouveaux points le quadrilatère inscrit ÀBCD; circonscrivons enfin au cercle le quadrilatère A'B'C'D' qui a ses points de contact aux sommets du premier,

284 PROPRIÉTÉS PROJECTTVES.

et qui a par conséquent (186) même point de concours F de diagonales; je dis que , quel que soit l'angle droit AFB que Ton considère eu particulier, le quadrilatère A'B'C'D', obtenu en dernier lieu , sera toujours inscriptible à un autre cercle , invariable de grandeur et de position en même temps que le premier.

En effet, les quatre angles formés autour du point F, par les diagonales AC et BD, étant droits , la demi-somme des arcs opposés AD et BC , qui mesure l'un de ces angles , sera égale au quart de la circonférence entière du cercle ABCD } mais les angles opposés A' et C du quadrilatère circonscrit , pris ensemble, ont évidemment pour mesure la somme entière des arcs dont il s'agit , c'est-à-dire deux angles droits } donc ces angles sont supplémens l'un de Fautre , et partant le quadrilatère circonscrit A'B'C'D' est en même temps inscriptible à un autre cercle»

H est clair qu'on prouverait de même réciproquement que,

Si un quadrilatère est à la fois inscrit à un cercle et circonscrit à un autre, les droites qui joignent les points de contact des côtés opposés de ce quadrilatère se coupent à angles droits.

• Enfin ^ si le quadrilatère était seulement circonscrit à un cercle et d'ailleurs quelconque , le raisonnement qui précède servirait encore à établir ce théorème , qui nous paraît digne de remarque :

Dans tout quadrilatère circonscrit à un cercle, la somme de deux angles opposés quelconques est égal à celle des angles, opposés au sommet, formés par f intersection mutuelle des deux cordes qui joignent les points de contact des côtés opposés du quadrilatère ; pourvu toutefois qu'on ne veuille pas parler de ceux de ces angles qui regardent les angles mêmes du quadrilatère qu'on leur compare,

487. Supposons maintenant qu'on prolonge les côtés opposés du quadrilatère inscrit ABCD jusqu'à leurs intersections respectives en L et M , et ceux du quadrilatère A'B'C'D' jusqu'à leurs intersections en N et P } les quatre points , ainsi obtenus , seront (1 86) situés sur une même ligne droite , polaire du point F par rapport à l'un et à l'autre des deux cercles que Ton considère* En outre , si , par le point F, on mène une parallèle FG et une perpendiculaire FK à cette droite , cette dernière se confondra évidemment avec la ligne des centres des deux cercles , et aura par conséquent pour pôle commun , dans ces cercles , le point situé à l'infini sur la droite LM ou sur sa parallèle FG ; donc (363) les trois droites tKnt il s'agit sont celles qui renferment , deux à deux , les crois points de concours des sécantes conjuguées communes aux deux cercles ;

SECTION IV. CHAPITRE Ier. 385

c'est-à-dire (80 et 370) que les points K et F , en particulier , seront les points limites de ces cercles.

Mais , il sera démontré , dans le chapitre III de cette section (566) , que , « quand un quadrilatère AU'CD' se trouve en même temps inscrit à une seo- » tion conique et circonscrit à une autre , il en existe une infinité de sem- » blables qui jouissent tous de cette propriété à l'égard des deux courbes ; » et , d'un autre côté , il résulte de ce qui précède que si , dans le cas actuel de nos deux cercles , on trace , pour chaque quadrilatère ainsi obtenu , le quadrilatère qui a pour sommets les points de contact du premier, le point de concours unique des diagonales de ces quadrilatères sera encore un point limite du système des deux cercles; donc il devra se confondre , ainsi que tous ses semblables , avec le point F qui appartient aux deux premiers quadrilatères ABCD et À'B'C'D'.

Mais, d'après le théorème déjà établi ci-dessus (486), chacun des quadrilatères à la fois inscrits et circonscrits à nos deux cercles est tel , que les droites ACetBD, qui joignent les points de contact des côtés opposés, se coupent à angles droits au point F } et , par suite de ce qui précède , il n'y a pas de point de l'un ou de l'autre des cercles auquel ne corresponde un quadrilatère jouis* sant de cette propriété } donc enfin .

Si, autour dun point pris à volonté dans te plan à! un cercle , on fait mouvoir un angle droit , dont le sommet soit en ce point , et qu'on trace ensuite , pour chaque position de cet angle , la corde qui le soustend dans le cercle, et les tangentes aux extrémités de cette corde, i°. le point de concours de ces tangentes ou le pôle de la corde mobile ne cessera pas de rester sur une autre circonférence de cercle; 20. le système des différentes cordes enveloppera (a3i) une seule et même conique.

488. Le raisonnement, par lequel nous venons de prouver que tous les quadrilatères A'B'C'D' sont à la fois inscrits à un même cercle , peut être employé dan,s beaucoup d'autres circonstances : supposons , par exemple , que l'on circonscrive à une section conique quelconque un quadrilatère rectangle , et il en existe évidemment une infinité de pareils autour d'une même conique , on conclura sur-le-champ, à cause de la symétrie de la courbe par rapport à son centre, que le rectangle dont il s'agit est inscriptible à un cercle concentrique à cette courbe ; en sorte que les axes principaux de celle-ci et la droite à l'infini du plan sont précisément (363) les droites qui renferment , deux à deux , les trois points de concours des sécantes conjugées communes à la section conique et au cercle*

386 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

Or tout quadrilatère qu'on essaierait de circonscrire à celle-là , de façon à être inscrit en même temps k celui-ci, se fermerait naturellement, selon le théorème (566) déjà cité, et serait tel par conséquent, qne le point de rencontre de ses diagonales aurait (186) la droite de concours des côtés opposés pour polaire commune dans les deux courbes ; donc (363) ee point serait nécessairement un des trois points de concours des sécantes conjuguées communes dont il s'agit. Mais il ne saurait évidemment être à Finfini ; donc enfin il se confondrait avec le centre commun des deux courbes, et partant le quadrilatère auquel il appartient, et tous ses semblables, seraient rectangles comme le premier.

- Ainsi nous pouvons conclure ce théorème très-connu et qui appartient, je crois, à De Lahire (*) :

Tous les angles droits , circonscrits à une mime section conique , ont leur sommet sur une circonférence de cercle concentrique à cette section conique.

Il serait facile de multiplier les exemples ; mais retournons à nos premières considérations.

489. Il existe , entre le point F qui sert de sommet commun à tous les angles droits «de la propriété énoncée ci-dessus (487)9 et'a section conique qu'enveloppent toutes les cordes AB qui lui correspondent , une relation extrêmement remarquable , et que nous allons maintenant examiner.

Il est d'abord facile de voir que la droite indéfinie FF, qui joint le point F et le centre F' du cercle ABCD, divise cette section conique en deux parties égales et symétriques; en sorte que cette droite est un des axes principaux qui lui appartiennent.

En second lieu , si Ton considère la position particulière de l'angle droit AF8 (Fig. 78) pour laquelle ses côtés' sont également inclinés sur la droite FF, puis qu'on forme , au moyen de cet angle et de son opposé au sommet, le quadrilatère À8GD circonscrit à la courbe et inscrit au cercle , les côtés AD, BG de ce quadrilatère, étant perpendiculaires à Taxe FF de cette courbe , seront évidemment les tangentes aux extrémités T et V de cet axe. Mais AB

(*) Traité in-f*. des Sections coniques, Prop. 269 liv. VTïï. Ce théorème a été étendu depuis, par Monge , aux surfaces du second ordre : voyez la fin du Traité des surfaces du second degré, par M. Hachette, (i8i3)} il est clair qu'on en pourrait faire autant de la plupart de ceux qui précèdent et de ceux qui suivent.

SECTION IV. CHAPITRE Ic^. 287

est une autre tangente quelconque de la courbe , termine' e aux points de son intersection avec les premières; de plus, l'angle ÂFB est droit, par hypothèse y donc (479) le sommet commun F des angles est un des foyers de la courbe que Ton considère , et par conséquent la droite de concours LM (Fia. 77) est la polaire focale ou directrice qui lui correspond (487).

Maintenant si , du centre F' (Fig. 78] du cercle , on mène des rayons aux extrémités de la corde AB, l'angle AFB qu'ils formeront entre eux aura pour mesfire Tare AB du cercle , qui est évidemment aussi la mesure de l'angle AFB pour la position actuelle de cet angle ; donc l'angle AFB est droit aussi bien que l'angle AFB , et par conséquent son sommet F, qui est le centre du cercle proposé , est un second foyer de la courbe qu'enveloppent toutes les cordes.

490. On peut déduire , de là et des propriétés qui appartiennent aux foyers des sections coniques, quelques^ conséquences remarquables, pour le cas général de la fig. 77 , et qui sont autant de propriétés du cercle.

Par exemple , si , du sommet commun F des angles droits , on abaisse des perpendiculaires sur les différentes cordes AB, BC... qui leur correspondent, ou seulement des obliques qui forment avec elles un même angle quelconque, tous leurs pieds seront placés (45o) sur une nouvelle circonférence de cercle dont le centre , dans le premier des deux cas , sera précisément le point mi* lieu de la distance du point F au centre F' du cercle proposé.

Si ensuite l'on en fait autant pour ce dernier centre , on obtiendra encore le même cercle , pourvu que l'angle , sous lequel on abaisse les obliques , soit aussi le même de part et d'autre.

Enfin il est visible que, pour le cas où l'on abaisse des perpendiculaires, les pieds de ces perpendiculaires , relativement au centre F, sont précisément les milieux des cordes correspondantes 5 de sorte que ces points milieux sont tous distribués sur une circonférence unique (*)•

De tout ceci on déduirait encore un nouveau moyen de démontrer lé théorème de l'art. 488 5 mais c'est assez nous arrêter sur ces corollaires qui ne présentent aucune difficulté.

491* Substituons maintenant une section conique quelconque au cercle que nous avons considéré dans ce qui précède} on conclura encore (48&) que les cordes , qui sous-tendent l'angle droit mobile autour du point fixe , enve-

".j.mi%

(*) Voyez, pour les autres propriétés des cordes orthogonales du cercle , la Géométrie de position 9 art. i32 et suiv*

388 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

loppent une même section conique : or je dis que cette section conique a également pour foyer le sommet commun des angles dont il s'agit.

En effet, si Ton considère, suivant la remarque de Part. 486, Pun des cercles qui ont, avec la section conique proposée ,1e point dont il s'agit pour centre d'homologie , et qu'on trace , dans ce cercle , les cordes qui correspondent aux diverses positions de l'angle droit , elles envelopperont , d'après ce qui précède , une section conique qui sera Fhomologique de celle qui appartient aux cordes correspondantes de la proposée , et aura le centre d'homologie pour un de ses foyers ; donc (456) ce centre d'homologie sera aussi le foyer de la section conique enveloppe des cordes de la proposée , et par conséquent nous pourrons énoncer ce théorème général :

*Sï , autour d'un point pris à volonté sur le plan d'une section conique, on fait mouvoir un angle droit dont le sommet soit en ce point , et qiCon trace ensuite successivement toutes les cordes qui sous-tendent cet angle dans la section conique, le système de ces cordes enveloppera une autre section conique , ayant pour un de ses foyers le sommet commun des angles dont il s9 agit (*).

492 . Je terminerai ce chapitre , qu'on pourra peut-être me reprocher d'avoir trop étendu eu égard à l'objet de l'ouvrage, en montrant, par un dernier exemple, comment on peut rattacher directement à nos principes certaines questions d'angles , qui leur paraissent tout-à-fait étrangères au premier aperçu.

Supposons qu'il s'agisse de résoudre ce problème :

Déterminer les pieds des normales abaissées dun point quelconque P (Fig. 79) sur le contour dune section conique donnée (0) \ou,en d'autres termes , déterminer les points de la courbe qui sont les plus ou les moins éloignés de PP

Ayant mené , à volonté , une tangente TM en un point quelconque T de la courbe , puis le diamètre indéfini OT qui passe par le point de contact } ayant de plus abaissé , du point donné P, une perpendiculaire indéfinie PK sur cette tangente , elle rencontrera le diamètre OT en un point X, qui variera avec la position de la tangente TM , en parcourant une certaine courbe , dont les points d'intersection avec la proposée seront évidemment les points demandés 5 car, pour ces points , le pied K de la perpendiculaire sera confondu

(*) Nous avons énoncé, sans démonstration, ce théorème et quelques-uns de ceux qui précèdent à la pag. 70 du tom. VIII des Annales de Mathématiques.

avec le point de contact T. Tout consiste donc à rechercher quelle est la nature de la courbe parcourue par le point X.

Pour cela, supposons qu'on décrive une circonférence de cercle 7 d'un rayon quelconque , autour du point P comme centre ; elle rencontrera chaque perpendiculaire PK en un point T, pour lequel la tangente correspondante TM sera parallèle à celle TM de la section conique 5 or, il résulte de là que la courbe des points X n'est autre chose (370) que le lieu des réciproques des points M de la droite à l'infini du plan , par rapport au cercle et à la section conique proposée ; donc cette courbe est elle-même une section conique passant par les centres 0 et P des deux premières.

La section conique des points X est évidemment une hyperbole équilatère dont les asymptotes sont parallèles aux axes principaux de la proposée ; car , pour les tangentes aux extrémités de Fun de ces axes 1 le point générateur X passe à l'infini sur cet axe. Ainsi le problème proposé est susceptible , en général , de quatre solutions distinctes , qu'on obtiendra en recherchant les in* tersections de la courbe proposée et de l'hyperbole dont il s'agit (*).

Il est évident encore qu'à l'hyperbole équilatère 1 on pourrait substituer également la courbe que décrit le pied K des perpendiculaires abaissées , du point P, sur chaque tangente de la proposée ; mais cette courbe , au lieu d'être une section conique , serait du quatrième degré ; ce qui montre comment le choix des auxiliaires qu'on emploie pour arriver à la solution d'un problème géométrique , peut influer sur la simplicité des constructions auxquelles on doit parvenir.

On trouvera 1 au surplus , dans la Géométrie organique de Mac-Laurin , déjà plusieurs fois citée dans le cours de ce chapitre, des recherches trèscurieuses sur cette courbe , et en général sur celles décrites par les pieds des perpendiculaires abaissées , d'un point donné , sur les diverses tangentes d'une courbe géométrique quelconque.

(*) Dans le cas particulier où le point donné P se trouvera sur Pun des axes principaux de la courbe proposée , l'une des branches de l'hyperbole équilatère se confondra évidemment tout entière avec cet axe 5 donc l'autre branche se réduira à une simple ligne droite perpendiculaire à ce même axe , et le problème sera par conséquent du second degré seuleftàfent.

Au sujet de ces constructions, nous ferons observer que la fig. 74 indique, d'après la remarque faite à la fin de Part. 44ç> un moyen simple de trouver la normale au moyen de la tangente et des deux foyers.

390 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.