CHAPITRE IL
Des polygones inscrits et circonscrits à d'autres polygones
ou à des sections coniques.
493. xTLU moyen des principes poses dans le DP. chap. de la F6, section t on obtient sur-le-champ , comme on en a vu nombre d'exemples dans le4 sections suivantes , tout ce qui concerne les propriétés des angles et des triangles assujettis à se mouvoir suivant certaines lois 5 il nous reste maintenant à montrer comment on peut aisément étendre ces diverses propositions , qui sont en quelque sorte élémentaires , à des polygones d'un nombre quelconque de côtés , assujettis à des conditions analogues : or c'est à cet objet que nouû voulons consacrer ce chapitre, en ne nous arrêtant, toutefois, qu'aux théorème* qui peuvent paraître les plus dignes (Tintérêt.
Du lieu du sommet libre et des points de rencontre des côtés d'un polygone variable , dont les autres sommets parcourent des droites données , tandis que ses côtés pivotent sur des points fia: es.
Considérons , en premier lieu , un quadrilatère quelconque abcd (Fïg. 80) , et supposons que ses différent côtés da , ab ^ bc , cd soient assujettis à pivoter respectivement autour des points fixes p , pf , p?\ pm de son plan , pris pour pôles (196 note) ; tandis que tous ses sommets, le dernier d excepté , soient astreints à glisser sur les trois droites fixes AB, BC, CD dont les directions leur appartiennent respectivement ; je dis que le sommet libre d parcourra, dans toutes ses positions , une seule et même section conique , comme cela a Eeu (204) pour le cas particulier du simple triangle.
Traçons , en effet , les droites p//, pnpï" qui renferment les deux premiers et les deux derniers points fixes du quadrilatère abcd; joignons , par une nouvelle droite , le point P de leur intersection mutuelle avec le sommet b opposé au sommet libre du quadrilatère ; elle ira déterminer, sur les cotés ad1 cd adjacent à ce dernier sommet , deux points x et jr , variables de position en même temps que le point d. Or le sommet x du triangle abx décrira
SECTION IV. CHAPITRE H. 2qx
évidemment (20 5) , dans le mouvement général du quadrilatère , une ligne droite Bx dirigée vers le sommet B de l'angle des deux directrices AB et BC 5 car les deux autres sommets a , b de ce triangle s'appuient constamment sur les directrices dont il s'agit , tandis que ses côtés pivotent sur les trois points fixes Pi pf) P situés en ligne droite.
Par la méibe raison , le sommet y du triangle variable bcy , qui se trouve dans le même cas que le premier relativement aux directrices BC , CD et aux points fixes P, p", p"f, décrira aussi une ligne droite Cy, passant par le sommet C de l'angle formé par ces directrices. Donc le point mobile d peut être considéré comme le troisième sommet d'un triangle dxy, dont les deux premiers 00 et y glisseraient respectivement sur les droites connues Rr et Cy, tandis que ses trois côtés pivoteraient sur les points fixes p1 p"', P } donc enfin (204) le dernier sommet d du quadrilatère décrit une section conique , comme il s'agissait de le démontrer»
494* Cette marche de raisonnement , que nous avons empruntée à M. Brianchon {Correspondance Polytechnique, tom. I, pag. 309), sert aussi à prouver que , dans un quadrilatère variable abcd soumis aux conditions ci-dessus , le mouvement des côtés de l'angle adc, qui répond au sommet libre d, peut être remplacé par celui des côtés doc, dy du triangle dxy, qui pivotent sur les mêmes points fixes p, pm\ c'est-à-dire que ce mouvement peut s'effectuer, au moyen des trois pôles p, p'\ P et des deux directrices Bar et Cy, absolument de la même manière que si l'on employait les quatre pôles et les trois directrices qui répondent au quadrilatère abcd.
Supposons donc qu'au lieu d'un quadrilatère , çn considère un polygone quelconque , dont les côtés soient encore assujettis k pivoter respectivement sur des points fixes , tandis que tous ses sommets , un seul excepté , décrivent , chacun en particulier, des lignes droites données prises pour directrices ; en appliquant à quatre côtés consécutifs de ce polygone , non adjacens au sommet libre, les constructions qui viennent d'être indiquées pour le cas particulier du quadrilatère, on aura remplacé le mouvement des côtés extrêmes par celui de deux côtés pareils, faisant partie d'un triangle qui exige un pôle et une directrice de moins que les quatre côtés correspondais du polygone ; donc , en remplaçant ces quatre côtés par les trois côtés du triangle, on aura diminué d'une unité le nombre des côtés et, par suite, celui des points fixes et des directrices du polygone proposé.
D'ailleurs , dans le nouveau polygone ainsi obtenu , le mouvement du som-
2Qi PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
met libre étant le même que dans le polygone qu'il remplace , tout ce que Fon pourra démontrer sur l'un de ces polygones , relativement à la courbe décrite par ce sommet, sera immédiatement applicable à Tautre. Traitant donc, à son tour, le nouveau polygone comme le premier, et ainsi de suite, on voit que, par des constructions purement linéaires , on parviendra à assigner les trois pôles d'un dernier triangle , dont Pangle libre sera encore le même et pivotera , par ses deux côtés , sur les mêmes points fixes que dans le polygone primitif 5 d'où résulte ce théorème très -beau et très -général, dont Braikenridge et Mac-Laurin se sont disputé l'invention dans les Transactions philosophiques de la Société royale de Londres , pour l'année 1 ^35 :
*SÏ tous les côtés d'un polygone quelconque , tracé dans un plan , sont assujettis à pivoter sur autant de points fixes , pris pour pôles, tandis que ses divers sommets, un seul excepté, parcourent respectivement des droites données , prises pour directrices} le sommet libre décrira , en vertu du même mouvement , une section conique passant par les deux points fixes ou pôles qui appartiennent à ses côtés.
4g5. En joignant , deux à deux , consécutivement les pôles ou points fixes p, pf, pf... (Fîg. 80) , il est clair qu'on formera un nouveau polygone pp'p"pm... , auquel sera constamment circonscrit le polygone variable abcd. . . Pareillement les directrices AB, BC , CD... forment, par leurs intersections consécutives , une portion de polygone ABCD... , à laquelle est inscrite la portion correspondante du polygone variable abcd...; donc on peut encore énoncer ainsi, d'une manière abrégée , le théorème qui précède :
Si un polygone plan quelconque se meut de façon qu'il demeure perpétuellement circonscrit à un autre polygone donné, de même espèce , et qiùil ait tous ses sommets, un seul excepté, sur les differens côtés dun autre polygone de cette espèce , le sommet libre décrira , dans son mouvement , une ligne unique qui sera du second ordre seulement.
Supposons qu'on prolonge , jusqu'à leur intersection respective , deux cotas quelconques du polygone variable dont il s'agit ; en faisant abstraction de tons les autres côtés compris entre ceux-là et ceux qui sont adjacens au sommet libre , on aura formé évidemment un nouveau polygone assujetti , en tout , aux mêmes conditions que le premier, et dont le sommet libre sera précisément le point d'intersection des deux côtés que Tôh a prolongés en par^ ticulier ; donc , d'après ce qui précède , ce point d'intersection parcourra encore une section conique , et il en sera de ihême par conséquent de tous
SECTION. IV CHAPITRE IL 2g$
les autres points d'intersection appartenans aux différera côtés du polygone proposé j ce qui permet d'énoncer ainsi , d'une manière beaucoup plus générale , le théorème qui précède :
Si m lignes droites , situées arbitrairement sur un plan , sont assujetties à pivoter sur autant de points fixes , pris pour pôles , tandis que m — 1 points et intersection de ces droites, qui n'appartiennent, en tout ou en partie , ni aux trois sommets d'un même triangle , ni aux quatre sommets d'un même quadrilatère, etc., sont astreints à demeurer sur un égal nombre de droites fixes, prises pour directrices, tous les autres
(m — 0(m — 2) points d* intersection , au nombre de — • , décriront séparément des sections coniques , passant par les deux points fixes sur lesquels pivotent les deux droites qui appartiennent respectivement à ces différens points.
496. Selon la remarque de Braikenridge , à qui Ton doit cet énoncé général (*) , énoncé qui lui aura sans doute été suggéré par celui d'une proposition analogue due à Pappus , et dont il sera fait mention un peu plus loin (498) , le théorème subsiste , même quand les m — 1 points d'intersection dont il s'agit sont choisis sur l'une des m lignes droites mobiles : or c'est ce qui est évident à priori, d'après le cas particulier (ao4) où l'on ne considère que trois lignes droites ou un triangle mobile. On voit d'ailleurs pourquoi nous exigeons , de plus que Braikenridge , et conformément à l'énoncé de Pappus, que les m — 1 points qui doivent s'appuyer sur les directrices n'appartiennent ni aux sommets d'un même triangle , ni à ceux d'un même quadrilatère , etc. ; car alors ils ne pourraient plus être censés appartenir (494) & un polygone variable de m côtés dont le dernier sommet serait libre.
Au surplus , rien n'est plus facile que de déterminer la tangente en un point quelconque de la section conique que décrit le sommet Ebre du polygone variable dont il s'agit 5 car , en recherchant deux autres points quelconques de la courbe , outre celui qui est donné , et les deux pôles par lesquels elle passe (494) ? k question se trouvera ramenée de suite , M par des constructions purement linéaires, à une autre que l'on sait déjà résoudre (266), en n'employant également que de simples intersections de lignes droites»
(*) Exercitati&geometrica de descriptiane Unearum curvarum? pag. 68.
394 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
Cas pour lesquels le lieu des sommets libres et des points de rencontre
des côtés s'abaisse au premier degré.
497 * ^a courbe que parcourt le sommet libre du polygone se réduira demment à une simple ligne droite , toutes les fois que les deux conditions de Fart* 20 5 se trouveront remplies par les pôles et les directrices du dernier triangle ; or c'est ce qui aura lieu nécessairement quand , pour une certaine position de ce triangle ou du polygone variable qu'il remplace , les deux côtés de l'angle libre se confondront , à la fois, avec la droite qui renferme les pôles correspondans à ces côtés.
D'après cela et quel que soit le polygone que Pon considère, on pourra toujours s'assurer à priori , d'une manière très-facile , si la courbe que parcourt son sommet libre se réduit 9 en effet , à une simple ligne droite : tout consistera à construire un polygone dont Pun des côtés, adjacens à ce sommet, passe par le pôle qui appartient à l'autre } car il devra arriver réciproquement que cet autre côté , obtenu au moyen du premier , se confonde également avec la droite qui renferme le premier et le dernier pôle.
Cette remarque , qui n'a point échappé à Mac-Laurin (*), résulte d'ailleurs directement de la loi de continuité et de l'observation de ce qui se paste alors dans la section conique que décrit en général le sommet libre ; car les deux côtés adjacens à ce sommet , venant à se confondre , quant à la direction , en une seule et même droite avec celle qui renferme les deux pôles correspondans , ne donnent plus aucun point d'intersection distinct , ou plutôt ces côtés donnent à la fois tous les points qui appartiennent à la droite des pôles dont il s'agit } en sorte que l'une des branches de la section conique , parcourue en général par le sommet libre du polygone , dégénère nécessairement en cette même droite : or il suit de là évidemment que l'autre branche de la courbe, doit aussi se réduire à une ligne droite essentiellement distincte de la première.
Cette circonstance aura lieu , en particulier , quand les directrices concourront*^ un point unique de la droite qui renferme les pôles des côtés adjacens au sommet libre du polygone*
498. Supposons encore que tous les pôles ou points fixes des côtés du po-
(*) Voyez l'endroit déjà cité (494) des Transactions philosophiques.
lygone soient situés sur une même ligne droite 5 il est clair que la circonstance qui précède aura lieu , non-seulement pour ce polygone en particulier , mais encore pour tous ceux qu'on pourrait former par le prolongement de deux quelconques de ses côtés. Donc tous les sommets et tous les points d'intersection des côtés de ce polygone parcourront , à la fois, des lignes droites dans le mouvement général du système 5 en sorte qu'on aura ce beau théorème dû aux Anciens :
*Sï m + 1 lignes droites , tracées arbitrairement sur un plan , s'entrecoupent (Tune manière quelconque , et qu'ayant rendu fixes les m points d intersection qui appartiennent à Vune délies, choisie à volonté, on fasse mouvoir toutes les autres autour de ces points respectifs, pris pour pôles , tandis que m — 1 points de leurs intersections mutuelles, qui rt appartiennent, en tout ou en partie, ni aux trois sommets d'un même triangle , ni aux quatre sommets dun même quadrilatère , etc. , sont astreints à demeurer sur un égal nombre de droites données , prises pour directrices; toutes les intersections restantes des droites mobiles, en nombre triangulaire , décriront séparément d'autres lignes droites, qui seront ainsi données de position en même temps que les directrices.
499. Ce théorème général , dont l'énoncé se trouve rapporté , pour ainsi dire textuellement , dans la Préface du VIIe. livre des Collections mathématiques de Pappus , au sujet du Traité tfEuclide sur les Porismes , paraît être une extension de diverses propositions contenues dans ce Traité. Cependant Pappus ajoute : « Il n'est pas vraisemblable qa'Euclide ait ignoré cette » extension , mais il n'aura voulu qu'en poser le principe $ et , en effet , dans » tous les porismes , on n'aperçoit que les principes et les germes de la mul- » titude de propositions qu'il a découvertes m, en sorte qu'il ne faut pas con- » sidérer chacun de ces porismes sous le rapport de la différence de posi- » don de lignes , mais bien sous celui de la différence qui peut exister dans » les conditions et dans les inconnues. »
Robert Simson donna le premier , pour le cas du triangle et du quadrilatère , une démonstration du théorème de Pappus , dans les Transactions philosophiques (année 1 7*3) , qui fut ensuite reproduite , pour le cas général d'un polygone quelconque , dans ses œuvres posthumes (Opéra quœdam reliqua) , et fait partie de son Traité sur les Porismes. Simon LTiuillier reprocha depuis à Simson, dans ses Elémens d Analyse géométrique et d Analyse algébrique, de n'avoir pas fait mgition du lieu des points de
2g6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
rencontre des diagonales du polygone , qu'il prétend également décrire des lignes droites aussi bien que les points d'intersection des côtés ; mais , outre que F estimable géomètre de Genève paraît ne pas avoir bien saisi le sens de Fénoncé de Pappus, les démonstrations qu'il prétend établir manquent encore de justesse , et ne peuvent s'appliquer, en toute rigueur, qu'au cas particulier où toutes les directrices concourent en un même point , ainsi que nous le ferons voir tout à l'heure (5o<)) , au sujet d'une proposition analogue à celle qui vient de nous occuper.
Je pense, du reste, que cette digression ne pourra que faire plaisir au lecteur , attendu le haut degré d'intérêt qui s'attache à tout ce qui nous vient des anciens , et qu'il n'est pas inutile , pour les progrès même de la Géométrie pure, de faire connaître le point où Us étaient parvenus et celui où ils en sont restés.
5oo. Nous venons de déduire le théorème de Pappus du cas général où les points fixes ou pôles des côtés du polygone sont quelconques , mais on peut aussi le démontrer directement d'une manière très-simple , et qui va nous conduire à de nouvelles conséquences.
Prenons pour exemple le cas particulier d'un quadrilatère abcd (fig. 81), dont les trois premiers sommets a , b , c soient astreints à parcourir les droites ou directrices AB , BC , CD , tandis que ses quatre côtés pivotent respectivement sur les points fixes /?, p\ p", pw placés sur une même droite } la démonstration s'étendra facilement à 'un polygone plan , d'un nombre des côtés quelconque, assujetti aux mêmes conditions.
Cela posé , prolongeons le premier côté ad de ce quadrilatère jusqu'à sa rencontre en m avec le troisième côté bc; les trois points fixes p^f/^ff^ étant en ligne droite , le sommet m du triangle mab s'appuiera constamment , dans le mouvement du quadrilatère, sur la droite fixe mB (ao5) passant par le sommet de l'angle ÂBC des directrices que parcourent les deux autres sommets a et & du triangle. Ainsi le quadrilatère mobile abcd se trouve déjà remplacé par le triangle mcd , dont les côtés pivotent respectivement sur les trois points fixes p^p\ p"r, et dont les sommets m et c s'appuient constamment sur les directrices données mB et CD 5 donc le troisième sommet d de ce triangle-, ou le sommet libre du quadrilatère , parcourt lui-même une ligne droite AD donnée de position , et qui passe évidemment par le sommet D de l'angle des deux premières mB et CD.
(Ce raisonnement s'étendrait aisément à un polygone d'un nombre de som-
mets quelconque, en répétant convenablement (494) ^ opérations sur ses cotés ; donc le sommet libre de ce polygone , et , par suite (4gS) , les divers points d'intersection des côtés décrivent tous des lignes droites , comme il s'agissait de le démontrer.
5oi. Puisque, d'après ce qui précède, les divers sommets du polygone abcd décrivent à la fois des lignes droites , et que , d'un autre côté , les points fixes ou pôles p, je/, p", jJ" sont eux-mêmes sur une ligne droite , il existera une certaine position de ce polygone pour laquelle les sommets se seront à la fois confondus avec les différens points a*, b\ </, d! où les directrices , qui leur appartiennent respectivement , rencontrent la droite pjJ" des points fixes. Mais on a en général (i45), quelle que soit la position du polygone par rapport à la transversale />/?"', pa.p b.pt'c.pP'd = pd.p!a.p!'b.p!"G; donc on a aussi , d'après la loi de continuité',
pd.pV.fd.jJ"d =pd.jid.fV.jJ»d :
relation au moyen de laquelle on pourra déterminer directement, par le calcul, l'un quelconque des points qu'on vient de «considérer sur la droite pf/", quand tous les autres seront connus.
Supposons qu'un polygone quelconque ait ses divers sommets appuyés sur autant de droites données dans son plan , ou , ce qui revient au même (495), supposons qu'il soit inscrit à un autre polygone d'un même nombre de côtés ; supposons , de plus , qu'il existe, sur le plan de ce polygone , une droite qui rencontre ses côtés et ceux du polygone circonscrit en des points tels que la relation ci-dessus ait lieu ; il résultera , de ce qui précède , qu'on pourra former une infinité de polygones inscrits analogues au premier, et dont les côtés passeront respectivement par les mêmes points de la transversale.
En supposant d'ailleurs que cette transversale passe à Pinfini, il sera aisé de reconnaître ce que deviennent ces diverses propriétés , et on pourra même partir de là (io5) pour arriver à la démonstration du cas général.
Des courbes enveloppes des côtés libres et des diverses diagonales du
polygone.
5oa. Il serait facile de démontrer que les diverses diagonales du polygone abcd, qu'on vient de considérer dans le précédent article*,* toulètot toàtte* sui> des sections coniques, dans le mouvement commun du système j màîs ^ pour*
3g8 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
plus de généralité, nous considérerons un polygone plan quelconque, dont tous les sommets soient astreints à parcourir autant de droites données comme directrices , tandis que tous ses côtés , à l'exception d'un seul , pivotent sur des points fixes entièrement. arbitraires. Il est clair que le théorème en question revient à prouver que le côté libre de ce dernier polygone enveloppera, dans ses diverses positions, une seule et même section conique : or c'est ~ ce qui résulte immédiatement du principe de Part, igi^cowbmé avec 1a théorie des pôles et polaires réciproques des sections coniques (229 et suiv.).
Supposons, en effet, qu'ayant tracé, à* volonté, un cercle ou une section conique sur le plan de la figure , on détermine le polygone qui est le réciproque polaire du proposé, ses différens côtés auront pour pôles (*) les sommets de ce dernier et vice versa; mais, par hypothèse, ces sommets demeurent sur des droites données de position ; donc (iqS) les différens côtés du polygone réciproque pivoteront sur des points fixes , pôles de ces droites.
D'une autre part, tous les côtés du polygone proposé, un seul excepte, pivotent sur des points fixes ; donc les sommets du polygone réciproque, dont ils sont les polaires, parcourront, un seul efccepté, autant de droites fixes, polaires des points fixes du premier polygone : c'est-à-dire que le polygone réciproque sera tout-à-fait dans les circonstances de celui de l'art. 4s4i en sorte que le sommet libre de ce polygone et les divers points .d'intersection des côtés décriront séparément autant de sections coniques, passant par les points fixes qui servent de pivots aux côtés correspondais.
Mais le sommet libre dont il s'agit est le pôle du côté libre du polygone proposé, et les points de rencontre des différens côtés du polygone réciproque sont (229) les pôles des diagonales de ce même polygone ; donc ce côté et ces diagonales roulent , dans les positions qu'elles peuvent prendre, sur autant de sections coniques tangentes aux directrices respectives qui appartiennent aux extrémités de ce côté et de ces diagonales. C'est-à-dire qu'on a ce nouveau théorème :
Si tous les sommets d'un polygone plan quelconque sont astreints à se mouvoir sursautant de droites fixes, données dans ce plan, tandis que tous ses côtés, un seul excepté, picotent respectivement sur des points fixes, le côté libre et les diverses diagonales de ce polygone rouleront , par suite du mouvement, général de la figure, sur des sections coniques distinctes,
(*) Voyex la note de l'art. 196.
tangentes aux deux droites fixes qui dirigent le mouvement de ce côté ou de ce& diagonales respectives.
5o3. Ce théorème, que nous aurions pu énoncer d'une manière plus générale comme celui de Fart. 4ï)5, est visiblement une extension de la propriété (210) due à M* Bjïanchon, et peut s'en déduire directement au moyen du raisonnement qui suit. ,
. Considérons d'abord, comme ci-dessus (493) v le cas particulier d'ui* quadrilatère' abcd (Kg* 8a), dont les cotés ob, bc , cd pivotent* autour des points fixes p, p', pf1 respectivement, tandis que ses quatre sommets a,b,c,d sont astreints à parcourir les droites AD VAB, BC , CD , données comme directrices; ce quadrilatère sera ainsi inscrit au' quadrilatère simple ABCD formé par la rencontre mutuelle des quatre .directrices. .Or il est 4'abord évident que les deux diagonales ao etbd rçulenf pu» des sections coniques (210) , car elles sont les troisièmes côtés de deux triangles abc, bcd dont les deux autres côtés piyotent sur des points fixes , tandis que les commets parcourent des droites données : reste donc k examiner la nature de la courbe qu'enveloppe , dans son mouvement, le côté libre ad du quadrilatère.
Soient tracées les droites indéfinies pp^ppl* qui renferment les points "fixes p et//, pf etpî's par le point a:, où le côté bc, opposé à ad et passant par p\ rencontre la diagonale AC du quadrilatère ABÇD des directrices, et par, chacune des extrémités a et d du côté libre ad menons les droites indéfinies ax, dx; leurs directions iront rencontrer celles des droites ppl, ptpt' aux points respectifs P et F, qui resteront invariables dans le mouvement du quadrilatère abcd.
En effet, le triangle abx .étant assujetti à avoir, ses sommets su? les droites respectives AB, AC, AD, qui sont fixes et partent du même point A, tandis que ses deux côtés ab et bx pivotent sur les points fixes p, p1, le troisième côté ax de ce triangle devra (an) pivoter également sur un point fi^e P placé sur la droite ppf qui renferme les deux autres. En considérant le triangle mobile cdx, on prouverait, de même,, que k côté dx passe constamment par un point fixe F placé sur la droite pjP.< Donc le côté libre ad du quadrilatère abcd peut être considéré , dans toutes ses positions , comme le troisième côté dhin triangle adx, dont les deux autres passent constamment par les points fixes P, P*, tandis que ses sommets s'appuient constamment sur les directions des côtés du triangle invariable ACD $ donc enfin (aïo) ce troisième côté enveloppe, dans son mouvement, une section conique tangente aux directrices AD et DC qui en dirigent les extrémités.
3oo PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
Nous venons de remplacer le mouvement du quadrilatère par celui d'an triangle , avec deux points fixes ; la même construction , appliquée à trois côtés consécutifs quelconques d'un polygone de n côtés, et à la diagonale qui en joint les sommets extrêmes , servira évidemment à remplacer ce polygone par un autre de n — 1 sommets, avec un point fixe et une directrice de moi» 5 celui-ci pourra , à son tour, être remplacé par un polygone de n* — 3 côtés avec deux directrices et deux points fixes de moins, et ainsi de suite; donc, par des constructions successives , on parviendra à assigner les deux point? fixes d'un dernier triangle, dont le côté libre sera le même, pour toutes les positions du système , que celui du polygone proposé , et dont les trois sommets s'appuieront sur trois droites fixes , du nombre desquelles se trouveront les deux directrices qui appartiennent au côté libre du polygone. Or de là résulte toute la proposition qu'il s'agissait de démontrer, et, déplus, un moyen pour déterminer linéairement (ai 3) le point de contact du côté libre avec h section conique qu'il enveloppe dans ses diverses positions*
On voit aussi que, dans le théorème de l'art. 494 1 toutes les diagonales du polygone enveloppent également des sections coniques dans le mouvement du système , excepté pourtant celles du sommet libre , qui décrivent , en général * des lignes du troisième ordre , comme il serait aisé de rétablir d'une manière directe. Des remarques analogues sont d'ailleurs applicables au théorème de l'art. 5oa , relativement aux lieux des points de rencontre des côtés en général , et de ceux qui appartiennent au côté libre en particulier.
Cas où les courbes, enveloppes des côtés libres et des diagonales, se réduisent à des points^ du lieu des points de rencontre des diagonales
5o4* En partant de ce qui précède , on démontre sans pane , par les considérations déjà mises en usage ci-dessus (497) 1 (Iue k sect^on conique qu'enveloppe , dans son mouvement , le côté libre du polygone , se réduira à un point , et ne pourra se réduire à un point , que quand (an), dans une certaine position du polygone , ce côté libre deviendra nul , ou que sa direction indéfinie , d'ailleurs indéterminée , passera par le sommet de l'angle des directrices qui comprennent ses extrémités : or cette circonstance aura lieu , en particulier , lorsque tous les points fixes étant situés sur une même droite , cette droite viendra à passer elle-même par le sommet de l'angle des directrices.
Cette circonstance ayant encore lieu évidemment lorsque les directrices des
SECTION IV- CHAPITRE IL 3oi
sommets du polygone vont toutes concourir en un même point , on en déduit ce nouveau théorème , non moins digne de remarque que celui de Pappus (49^) , dont il peut d'ailleurs être regardé comme une conséquence très-simple (5oa) , au moyen de la théorie des polaires réciproques dçg sections coniques :
Si tous les sommets d!un polygone, mobile sur un plan, sont assujettis à parcourir autant d& droites fixes concourant en un seul et même point; que, de plus, tous ses côtés, à T exception et un seul, se meuvent constamment autour de points fixes , le côté libre et les diverses diagonales du polygone pivoteront également sur d'autres points fixes.
5o5. Mais on peut aussi démontrer ce théorème directement par une marche déjà souvent employée dans ce qui précède , et qui offre , sur la première , l'avantage de faire connaître l'espèce de dépendance qui lie le point fixe du côté libre , ou de chaque diagonale 1 à ceux qui appartiennent aux divers autres côtés.
Considérons , en premier lieu , le quadrilatère abcd (Fïg. 83) , dont les sommets s'appuient respectivement sur les droites fixes SA , SB , SC , SD partant du même point S , et soient p , p, p^les points donnés autour desquels doivent tourner les trois premiers côtés ab, bc,cdde ce quadrilatère ; tirons la diagonale ac , son prolongement ira rencontrer , quelque part en un point P7 la droite qui renferme les deux pôles p , p appartenais aux côtés adjacens k cette diagonale. Or il est visible que le point P demeurera constamment le même pour les diverses positions du quadrilatère, car le triangle abc a ses sommets appuyés sur trois droites dirigées vers un même point S (211) 5 donc aussi le côté ad du triangle ade, dont les sommets s'appuient sur trois droites dirigées vers S , pivote constamment sur un point fixe pn, placé sur la droite qui renferme P et pP.
D'ailleurs on démontrerait , de la même manière , que la seconde diagonale bd du quadrilatère pivote sur un point fixe F placé sur la droite pfp" ; donc enfin le côté libre ad et les diagonale* de ce quadrilatère pivotent sur des points fixes • comme il s'agissait de le démontrer.
Supposons maintenant que les trois premiers' côtés ab, bc, cd du quadrilatère abcd fassent partie de ceux d'un polygone quelconque assujetti aux mêmes conditions , il résultera , de ce qui précède , qu'on pourra d'abord remplacer le mouvement des deux côtés ab , bc par celui de la diagonale ac pivotant sur le point P } puis remplacer le mouvement des trois côtés ab, bc, cd
3oa PROPRIÉTÉS PROJECTTVES.
par celui de la seconde diagonale ad pivotant sur le point fixe /^ , et ainsi de suite 5 on arrivera donc à un dernier triangle renfermant le côté libre dû polygone , lequel pivotera encore sur un point fixe*
Ainsi toutes les diagonales et le côté libre du polygone pivoteront sur des points fixes : or il existe entre ces points fixes une relation fort simple, et qu'il ne sera pas inutile d'examiner.
5o6. Considérons, en effet, le premier triangle abc; k cause de la transversale fixe ptfV, on aura (i45) , pour toutes les positions de ce triangle ,
pa.p'b.Vc =pb.p?c.Va; le triangle suivant acd donnerait de même
p"d.fc$a=f'a.fd$c^
et ainsi de suite, pour les autres triangles 'formel par les diverses diagonales partant du même sommet a du polygone.
Multipliant donc entre elles toutes ces relations, après les avoir disposées d'une manière convenable , telles que celles qui précèdent , tons les segmens appartenais aux diverses diagonales disparaîtront du résultat , et il ne restera plus qu'une relation entre les segtnens relatifs aux côtés du polygone et aux points fixes situés sur ces côtés , laquelle exprimera évidemment que le produit de tous ceux de ces segmens , qui ri ont point d'extrémités communes , est égal au produit de tous les autres, pour les diverses positions du polygone.
Il est clair que la même relation devra avoir lieu entre les segmens relatifs aux points fixes ou pôles des différens côtés d'un polygone partiel quelconque formé , dans le proposé , par une ou plusieurs diagonales.
Enfin la relation analogue a lieu évidemment (17) entre les sinus des: angles projetans formés, autour du point S , et par les directrices, et par les droites Sp, S//... qui appartiennent aux divers points fixes ; ce qui Eut voir -que, quand toutes ces droites sont données , à l'exception d'une seule , la relation dont il s'agit suffira pour déterminer la grandeur des angles que celle-ci ait avec chacune de celles SA, SB... qui lui sont adjacentes, d'après l'ordre de succession des côtés du polygone.
507. Réciproquement, si Ton prend, sur les différens côtés d'un polygone plan quelconque , des points fixes tels que la relation ci-dessus ait lieu entre les segmens correspondais formés sur ces cotes, il pourra arriver qu'en fai-
SECTION IV. CHAPITRE IL 3o3
sant mouvoir ce polygone, de façon que tous ses sommets , un seul excepté, parcourent des droites données dirigées vers un même point du plan, le sommet qui reste libre décrive , dans le mouvement général du système , une dernière ligne droite passant également par le point dont il s'agit. Tout dé-* pendra de la situation respective des points fixes à Pégard des directrices.
En effet, il est facile de prouver, d'après ce qui précède, que cela aura lieu nécessairement i°. toutes les fois que, le nombre des côtés du polygone étant pair , il y aura un nombre pair de points fixes placés sur le prolongement des côtés , ou qu'il n'y en aura aucun 5 a0, toutes les fois que , le nombre de ces côtés étant impair, il y aura aussi un nombre impair de points placés sur les prolongemens de ces côtés , c'est-à-dire au moins un.
Dans tout autre cas , le sommet libre parcourra nécessairement une section conique en général , et non plus une ample ligne droite 5 car alors , en opérant comme ci-dessus (5o5 et 5o6) , on trouvera un dernier triangle acd dont les pôles P, p", pf" satisferont bien à la relation proposée, mais ne seront pas , pour cela , sur une même droite (160). Quant aux autres points de rencontre des côtés du polygone, ils décriront toujours des sections coniques , et il en sera de même des points de concours des diagonales.
Par exemple , dans le quadrilatère abcd (Fig. 83) , le point œ de rencontre des deux côtés ab et cd décrira une section conique ; car le triangle mobile bcoc a deux de ses sommets appuyés sur les directrices SB , SG, tandis que ses côtés pivotent sur des points fixes quelconques p^pt^pt1 (ao4)«
Pareillement, le point d'intersection/ des diagonales ac, bd de ce quadrilatère étant le troisième sommet du triangle mobile bcy , dont les côtés pivotent sur les trois points fixes quelconques //, P, F, tandis que ses sommets 6, c s'appuient sur les directrices SB, SC, ce point/, dis -je, décrit nécessairement aussi une section conique.
Enfin on remarquera que , dans les cas généraux des ait. 494 & 5oa , les points d'intersection des diagonales cessent de décrire des sections coniques.
5o8. Tous ces raisonnement étant indépendans de l'hypothèse que la figure soit entièrement située sur un plan , on voit que les propriétés et les remarques qui précèdent subsistent également pour un polygone gauche quelconque, dans l'espace, assujetti aux mêmes conditions 5 de sorte que, dans ce cas par exemple, toutes les diagonales et tous les côtés pivoteront er*core sur des points fixes (5o5).
Quant à ce qui concerne les peints d'intersection de deux côtés et de deux
3o4 PROPRIÉTÉS PROJECTTVES.
diagonales quelconques , comme alors ils cessent en général d'être possibles , les courbes qui leur correspondent n'ont plus lieu ; mais , si l'on conçoit la droite qui , passant par un point fixe pris arbitrairement dans l'espace , s'appuierait à la fois, et à chaque instant, sur les deux côtés ou sur les deux diagonales que l'on considère , il sera aisé de prouver qu'elle décrit alors une surface conique du second degré.
11 existe une circonstance générale pour laquelle les diffërens points fixes, pris sur la direction des côtés du polygone mobile dans Fespace , satisfont à la condition ci-dessus prescrite (507) ; c'est lorsque tous ces points se trouvent appartenir à un même plan (1^6). Alors on peut tracer une infinité de polygones fermés , quoique gauches , dont les sommets s'appuient sur autant de directrices fixes , concourant en un même point quelconque de l'espace , et dont les diverses diagonales pivotent par conséquent sur des points fixes placés dans le plan de ceux qui appartiennent aux diffërens côtés. Mais revenons au cas particulier où la figure est tout entière dans un seul et même plan.
509. Il existe alors une circonstance, non moins remarquable que celle qui précède , pour laquelle les conditions de l'art. 507 sont encore satisfaites ; c'est lorsque tous les points fixes des côtés du polygone sont situés sur une même droite. Dans ce cas, les points sur lesquels pivotent les diagonales , sont évidemment situés (5o5) sur cette droite $ et par conséquent les intersections des diagonales et des côtés du polygone , au lieu de décrire des sections coniques (507), décrivent (5oi) d'autres lignes droites passant par le point de concours commun des directrices.
En terminant ce sujet, nous ferons remarquer que toutes les propositions qui précèdent doivent subsister également , quand deux ou plusieurs des lignes droites qui dirigent les sommets du polygone, et quand deux ou plusieurs des points fixes sur lesquels pivotent les côtés, viennent à se confondre en une seule et même droite, ou en un seul et même point fixe 5 ce qui donne lieu à un grand nombre de relations et de propriétés fort remarquables, sur lesquelles nous regrettons de ne pouvoir insister.
Supposons, par exemple, que toutes les directrices se réduisent à deux, et qu'on leur inscrive une infinité de polygones, dont les sommets s'appuient alternativement sur l'une et sur l'autre de ces droites , et dont tous les côtés , un seul excepté, passent respectivement par des points donnés; le côté qui reste libre passera lui-même (5o5) par un dernier point invariable de position comme, tous les autres, et qui, dans le cas particulier où ces points seront en ligne droite, se trouvera lui-même placé sur cette droite, etc.
SECTION IV. CHAPITRE II. 3o5
Des courbes enveloppes du côté libre. et des diverses diagonales dun polygone variable inscrit à une conique, et dont les autres côtés pivotent sur des points fixes quelconques*
5it>. Les propriétés, qui viennent de nous occoper en dernier lieu (509), peuvent s'étendre , de la manière suivante , au cas où Ton remplace le système de deux directrices uniques par une section conique quelconque :
*Sbâabcde..X (Fi g. 84) un polygone quelconque inscrit à une section conique ; prenons, sur ses différens côtés ab, bc, cd..., des points fixes arbitraires PîPSp"**«i excepté sur le dernier côté oî qui restera libre; supposons enfin que le polygone vienne à se mouvoir d'après ces conditions , le côté libre sSet les diverses diagonales ac,bd,'ae.... envelopperont^ dans le mouvement général du système , certaines courbes, que je dis être autant de sections coniques ayant un double contact , réel ou idéal , avec la proposée.
La chose est évidente (43 1) pour les diagonales ac, bd, ce..., qui joignent les extrémités de deux cotés consécutif quelconques qui ne sont pas libres , ou qui sont astpeints à pivoter sur des points fixes. Voyons comment elle peut le devenir aussi pour une diagonale quelconque ae, et, par suite, pour le côté libre a/* lui-même.
Pour cela , considérons d'abord le pentagone abcde formé par les quatre premiers côtés du polygone en question et la diagonale ae qui joint son premier et son cinquième sommet. Par les points fixes./? et// des deux premiers côtés ab, bc, faisons passer la droite indéfinie ppr ; traçons pareillement celle qui passe par les points fixes, pï\pm \ des deux co tés sui vans , elle coupera la première en un point P. Par ce point et le sommet c du pentagone , opposé à ae, menons, pour chaque position du système, la droite Pc, qui ira rencontrer la courbe proposée . au nouyeau point x ; traçons enfin, les cordes ax et ex, dont la première rencontrera pp'^ prolongée , en F, et l'autre p" pi11 en F' , nous aurons ainsi formé les quadrilatères inscrits abjtx, cdex , dont les trois premiers côtés pivotent constamment sur des points fixes situés en ligne droite $ donc (180 et 43a) le? quatrièmes côté* #x, ea\ de ces quadrilatères pivoteront aussi çqastammentrsuy,des pointa invariables. F et F' placés sur ces mêmes droites. f: - • . . ■ .... , . ,,. ... .
Il suit de Là encore que le n^uvement de la ( diagç^e, <ï^ ^u polygone
3o6 PROPRIÉTÉS PRÔJECTTVES.
proposé abcd.../, c'est-à-dire celui du cinquième côté du pentagone abcde* est le même que celui du côté libre du triangle inscrit axe dont les deux autres côtés ax,ex, pivotent sur les points fixes F et F^ donc (43i) cette diagonale roule sur une section conique. Donc aussi le mouvement delà portion abcde du polygone proposé peut être remplacé par celui de l'angle inscrit axe dont les côtés pivotent sur les points fixes F et FVettiSoiïe que fe polygogne proposé abcd..^ se trouvera lui-même remplacé pe* un pofygone axe.../, qui a deux côtés et deux points fixés de moins que le preÉruer, et dont la partie commune avec celui-ci se mouvita absolument (lèpres les mêmes conditions et suivant les mêmes lois. ::.v. y.;'.
En traitant, à son ttrar, le nouveau polygone comme le prtmierT on aura diminué de quatre le nombre des côtés et des points fixes 5 eV par conséquent, si le polygone proposé est d'un nombre de côtés impair, on arrivera, en continuant d'opérer ainsi , & remplacer ce polygone par un iriàbgle inscrit avec deux points fixes,* dont le côté Kbre sera èohatamment le même; dôntfc alors ce côté roulera sur une section conique , comme nous Pavions aimcmcd. *
Au contraire, le nombre dès'cÔVés du polygone proposé étant pair, on finira par. arriver à une figure de quatre côtés, afèaî, tvëc tr^ois pfôints fixes-, à laquelle il sera impossible d'appliquer 'la construction qui précède , Ipuihqu'elle exige arumoihs qdatre points. fixes et cinq côtés. En conséquence 3 faudra , de toute nécessité , recourir alors à un autre procède , \èjui tf ait pas le même inconvénient que le premier. ■ '
5i 1 . Soit donc abcd (Fi g: 85) le quadrilatère inscrit dont il s'agit, /?, f/, jf les points fixes sur lesquels doivent pivoter constamment ses trois premiers côtés ab , bo\ cd; soit , en outré , PF' la polaire du point fixe jP du troisième côté , rencontrant en P la droite ppf qui passe, par les points fites des deux premiers. Àyanï mérn^, par le point P et par le troisième sommet e du quadrilatère , la droite indéfihie Pc rencontrant , de nouveau , la courbe proposée en ar, et ayant tracé l&'cordes ax et dx , la première ira couper ppf prolongé au point F, et la seicoùde PF1 au point F1, qui. demeureront, Pun et Pautre, invariables dans les diverses pbsïtions que pourra prendre le quadribtërémscrit * abcd:- t;: ■•' "•■•'■"'"■■• : ; "'•■'. • .-■ ~-
La chose test d'abord évidente pour le point F, car les trois premiers côtés du quadrilatère abcx pivotent "respectiventent sur ieà points fixes/?, jt, P situés en ligne droite , en sorte que le côté libre ax doit, de même (43a)} pivoter sur un deriiici* poînifface placé sur cette droite. Or elle ne Pest pas moins pour
fe point F'$ car, les deux points P et/?", sur lesquels pivotent les côtes cx et cd du triangle inscrit cdx , étant tels , d'après ce qui précède , que la polaire de l'un quelconque d'entre eux passe réciproquement par l'autre, le troisième côté doc du triangle doit aussi passer constamment (192) par un dernier point fixe placé sur la polaire PF' de j}1. Donc enfin le quadrilatère mobile abcd peut être remplacé par le triangle inscrit axd, dont les côtés ax , dx pivotent constamment sur les points fixes F et F' j et dont le côté libre ad est précisément le même que celui du quadrilatère. •
Concluons de là et de tout ce qui précède que, quel que soit le polygone inscrit que Ton considère, Ton parviendra toujours , par des constructions successives, à assigner les deux points fixes d'un dernier triangle, dont le côté libre prendra successivement toutes les, positions du côté libre du polygone en question 5 en sorte que ce même côté roulera, clans tous les cas, Sur une section conique (43 1) ? ayant un double contact avec la proposée, suivant la droite qui renferme les deux derniers points fixes; et, comme chaque diagonale du polygone proposé divise ce polygone en deux autres, dont l'un est, en tout, assujetti aux mêmes conditions que le premier, et a la diagonale en question pour côté libre, on voit que cette diagonale et toutes ses semblables doivent rouler aussi sur des sections coniques, ainsi qu'il s'agissait de le démontrer.
Enfin les procédés qu'on vient de mettre en usage pourront également servir,. dans tous les cas, à faire trouver la sécante de contact de la section conique proposée et de celle qu'enveloppe, dans son mouvement, le côté libre du polygone que l'on considère.
5ia. Quant aux courbes parcourues par les divers points d'intersection des côtés , il est possible de prouver qu'elles sont en général du quatrième degré } mais cette discussion nous jetterait dans des longueurs que nous voulons éviter y et n'offrirait pas , en elle-même , assez d'intérêt. Nous ferons d'ailleurs connaître , un peu plus loin , quelques-unes des circonstances où la courbe s'abaisse à un degré inférieur de deux unités.
On remarquera , sans doute , qu'il existe une; singulière analogie entre la marche de raisonnement que nous venons de mettre en usage , et celle par laquelle nous sommes parvenus précédemment à établir les diverses propriétés des polygones variables inscrits ou circonscrits à d'autres polygones. Avant d'arriver à ce mode particulier de démonstration , pour les sections coniques, nous nous étions servi du- principe de Fart. 439) dont l'application à la pro-
3o8 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
position qui vient de nous occuper, est assez évidente pour qu'il suffise de la
signaler.
Cas oit les courbes enveloppes se réduisent à des points, et où les pâles
des côtés sont en ligne droite.
5i3. La section conique, qu'enveloppe dans son mouvement le côté libre af du polygone inscrit k la proposée, se réduira évidemment à un point (437) quand les points fixes du dernier triangle , obtenu au moyen des constructions ci-dessus (5io), seront tels que « Pun quelconque d'entre eux sera le pôle » d'une droite passant par Patitre , » ou lorsque les trois points fixes du dernier quadrilatère (5n) seront situés sur une même droite (43a)» Ainsi, en recherchant ces trois ou ces deux derniers points fixes , il sera toujours facile de s'assurer directement , et à Faide dé constructions purement linéaires , si la courbe , enveloppée par le côté libre du polygone , se réduit effectivement à un point unique.
Il existe une circonstance générale , très-remarquable et très-facile à reconnaître à priori , où cette réduction a lieu ; c'est lorsque , le polygone étant d'un nombre pair de côtés , les points fixes , sur lesquels ces côtés pivotent , à l'exception du dernier , se trouvent tous distribués sur une même ligne droite.
Considérons , par exemple , Phexagone inscrit àbcdef (Fîg. 86) , dont les
côtés successifs ab1 bc, ef pivotent respectivement sur les points fixes
p,p'i ••• p™ situés en ligne droite, à l'exception du dernier côté qf qui reste libre $ traçons la diagonale ad , formant avec les trois premiers côtés le quadrilatère inscrit abcd. Puisque les trois points fixes/? , p', pn sont en ligne droite, le côté ad de ce quadrilatère passera lui-même (43s) , dans toutes ses positions , par un quatrième point fixe P , placé sur la droite pp" des premiers. Par la même raison , si l'on considère le quadrilatère suivant adef, son côté libre af, qui est le même que celui de Phexagone proposé , pivotera constamment sur un point fixe p* placé également sur la droite qui renferme tous les autres ; comme il s'agissait de' le démontrer.
Or il est visible que la même démonstration s'appliquera à un polygone quelconque , d'un nombre pair de côtés , avec un point fixe de moins qu'il y a de côtés } car on pourra toujours le partager en une suite de quadrilatères , par des diagonales partant toutes du premier sommet a du polygone et qui pivoteront respectivement sur autant de points fixes placés sur la droite
ppf' ; donc la proposition qui nous occupe a lieu dans toute sa généralité : c'est-à-dire que,
Un polygone quelconque, d?un nombre pair de sommets , étant inscrit à une section conique , si on vient à le faire varier de façon quer demeurant constamment inscrit à la courbe , tous ses côtés , un seul excepté, pivotent sur autant de points fixes placés sur une même droite, le dernier -côté pivotera également sur un point fixe placé sur cette droite.
5 14. Considérons maintenant un polygone inscrit abcde , d'un nombre impair de côtés , assujetti aux mêmes conditions , et soit ae son côté libre 5 en traçant la diagonale ad, qui en retranche le triangle ode dans lequel se trouve compris le côté ae, il restera un polygone abcd, d'un nombre pair de sommets et dont tous les côtés , excepté ae , pivoteront sur des points fixes placés sur la droite ppf1. Donc , d'après le théorème qui précède , le côté libre ad de ce polygone pivotera lui-même sur un dernier point fixe, P, placé sur la droite dont il s'agit; et partant le triangle inscrit ade sera tel que deux de ses côtés , ad et de, pivoteront sur les points fixes P, //", d'ailleurs indépendans entre eux. Donc enfin le troisième côté ae ou le côté libre du polygone abcde, au lieu de pivoter comme ci-dessus sur un point fixe , roulera (43 1) sur une section conique ayant un double contact avec la proposée , suivant la droite pp" des points fixes.
Cela posé , prenons qu'ayant inscrit à une section conique , selon les conditions qui précèdent , un polygone quelconque d'un nombre de côtés pair ou impair , on numérote ses différons sommets suivant la série des nombres naturels , de façon que les sommets adjacens au côté libre soient , l'un le premier , et l'autre le dernier de cette série j il est évident qu'en joignant , par une ligne droite , deux sommets quelconques portant des numéros dont l'un soit pair et l'autre impair , cette droite partagera le polygone en deux autres dont l'un , au moins , aura un nombre pair de sommets, et sera assujetti aux mêmes conditions que le proposé ; donc la droite dont il s'agit pivotera sur un point fixe. Au contraire , toute diagonale, qui joint deux sommets de numéros à la fois pairs ou impairs , appartenant nécessairement à des polygones partiels assujettis aux mêmes conditions que le proposé et dont le nombre des sommets est impair, roulera dans toutes ses positions , selon ce qui précède, sur une section conique ayant un double contact avec la proposée.
Si donc nous nommons sommets de même espèce ceux qui portent des numéros à la fois pairs ou à la fois impairs , et au contraire sommets des-
3 io PROPHÈTES PROJECTIVES.
pèces différentes ceux qui portent des numéros non à la fois pairs ou impairs , nous pourrons énoncer le théorème général qui suit : .
Un polygone quelconque étant inscrit à une section conique , si F on vient à faire glisser ses sommets sur la courbe, de façon que tous ses côtés , un seul excepté, pivotent sur autant de points fixes placés sur une même droite , il arrivera que i°. toute droite, qui réunira deux sommets d'espèces différentes , pivotera sur un point fixe placé sur la droite qui renferme déjà ceux qui appartiennent aux differens côtés.} a0, toute droite , qui réunira, au contraire , deux sommets de même espèce, roi*lera sur une section conique ayant un double contact wec la proposée, suivant la droite des points fixes dont il s'agit.
Propriétés des polygones inscrits aux. sections coniques, d'un nombre
pair de sommets*
5i5. Puisque , dans le cas où le polygone inscrit abcdef a un nombre pair de sommets, tous les côtés sont susceptibles de pivoter à la fins sur des points fixes , placés sur une même droite pp", et que Fun quelconque d'entre eux se trouve déterminé dès f instant où Ton connaît tous les autres, il doit exister une relation , analogue à celle de Fart. 5oi , entre les diverses distances qui lient ces points, soit entre eux, soit à la courbe.
Nommons, en effet, teli les points où la droite pjf rencontre, en général, la section conique-, on aura d'abord, en tant que cette droite est une transversale dans le polygone abcdef \i%5),
pa .jtb .p"c.jJ"d.ptre.prf = pb.ptc.jfd.pPe.frf.p'a ;
relation qui , en vertu de la loi de continuité , doit avoir lieu , quelle que soit la position particulière du polygone à l'égard- des points fixes et de la courbe.
Or, quand Fun des sommets vient à être pris sur la droite ppf9, tous les autres s'y trouvent nécessairement aussi, et se confondent alternativement avec les points t et d: par exemple, le sommet a étant appliqué en t, le suivant, b, le sera en i, le sommet c le sera à son tour en t, et ainsi de suite alternativement. Donc on aura , d'après l'observation qui précède ,
pt.p't.p"t.p"'t.p"t.prt = pt.pt.ft.jfnt.pl9t.pHi relation qu'on peut écrire ainsi
SECTION IV. CHAPITRE IL 3u
tp.tf.tp" tp.tf.tp" t/S.tf/".tf ~ tffJfPJp*
et d'où résulte ce théorème , qui est une extension de l'un de ceux exposés , art. 177, sur le quadrilatère inscrit:
Sij ayant inscrit , à une section conique , un polygone quelconque dun nombre pair de côtés, on trace, à volonté, une transversale indéfinie rencontrant la courbe efi detuç points, le produit de tous les segmens interceptés i sur cette transversale, entre Pun de ces points et chacun des cafés de rang pair du polygone, iseiraj au produit semblable des segr mens /ormes, à partir de ce point 7 par les côtés de rang impair , dans un rapport qui restera le même pour le second de ces points*
5i 6. Supposons que l'un des côtés du polygone devienne infiniment petit , sa direction sera • tangente à la courbe , et le polygone se trouvera réduit , en faisant abstraction 4e ce côté, & un polygone d'un nombre impair de sommets ; ce qui fait voir que la proposition peut aussi s'étendre à un polygone de rang ifltypair, pourvu qu'on en modifie convenablement renoncé.
La proposition subsistant, de même, toutes les fois qu'on remplace les différera côtés du polygone inscrit par des tangentes à la courbe , il sera facile d'en déduire un grand nombre 4e corollaires.
Far exemple : ay^nt inscrit un polygone quelconque à une section conique , si on lui en circonscrit un autre qui ait pour points de contact les sommets du premier, on pourra considérer l'ensemble de ces polygones comme un nouveau polygone d'un nombre de côtés double , et pair conséquent d'un ordre pair, pour lequel la relation ci-dessus aura lieu entre les différons segmens appartenais aux côtés de rang impair, qui seront, si l'on veut, tous ceux du polygone inscrit , et les segmens analogues des côtés de rang pair qui seront , par là même, ceux du polygone circonscrit. Si, en outre, les deux polygones sont de rang pair, on pourra faire disparaître, de la relation ci-dessus et au moyen de celle qui appartient au polygone inscrit , tous les segmens relatifs aux côtés , soit de rang pair, soit de rang impair, de ce dernier polygone , etc.
517. Ces propositions pourraient d'ailleurs s'établir directement, au moyen de celle qui leur correspond pour le cas particulier du quadrilatère (177). En effet , le polygone abcdef ayant un nombre pair de côtés , on pourra le partager exactement en plusieurs quadrilatères obcd, ode/.... par des diagonales ad... partant d'un même sommet a; or, en écrivant, pour chaque quadii-
3ia PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
bière, h relation qui lui appartient, puis multipliant entre elles toutes ces relations dans un ordre convenable , les divers segmens , qui correspondent aux intersections des diagonales et de la transversale pjf1, disparaîtront , et il ne restera plus qu'une relation entre ceux qui sont relatifs aux côtés mêmes du polygone inscrit, laquelle sera précisément la relation ci-dessus énoncée (5 1 5),
On voit, d'après cela, que nous aurions pu partir du principe de Fart. 177 pour établir celui défait. 5i3. Car, la relation qui vient d'être démontrée apprenant que Fun quelconque des points p, ff, ff\.. est connu quand les autres le sont, il en résulte immédiatement qu'en inscrivant à la courbe une suite de polygones, de rang pair, dont les côtés passent respectivement par les points dont il s'agit, à l'exception d'un seul , ce dernier côté devra passer de lui-même par le point restant.
Il est évident encore que, de ces diverses propriétés, on déduirait, surle-champ, celles des quadrilatères, des pentagones et des hexagones inscrits ou circonscrits aux sections coniques, qui nous ont déjà occupés dans le second chapitre de la sect. II*
5i8. Les polygones inscrits d'un nombre pair de côtés, coupés par une transversale quelconque , jouissent de plusieurs autres propriétés dignes de remarque.
Supposons que la transversale pfP se meuve parallèlement à elle-même sur le plan de la section conique, on aura évidemment (35), K, Kr, K", ... étant desconstantes,
pt.pt =K.pa.pb, jtt'pft = K'.j/b.j/C)
p«t ./M = W.fcf/'d , fLft = W.pdj"e ,
jrt.fr t — Kr.fTe.jrf, pyt . pU = K\p*a.prf.
Multipliant séparément entre elles toutes les équations de la première colonne , et toutes celles de la seconde ; divisant ensuite , l'une par Fautre , les doux nouvelles équations ainsi obtenues , il viendra
pt.p( . p"t.p"t. p"t. p"t K . K". Yr.pa.pb.fcfd.fre . p"f tfïjWt^tjplqrt ~ K'.KW . Yï.flb.ftc.pnd.f'e.p*a.prf
Mai*, U transversale pp" se mouvant parallèlement à elle-même, les rapport* /«i à ;*Ni, pb à 7/6, p"c i ptc... p^fk prf, qui se trouvent multipliés imlHi aux riiui* la second membre de cette équation, demeurent évidemment
SECTION IV. CHAPITRE II. 3i3
constans; donc ce second membre est lui-même constant , et par conséquent , en le représentant par C\ on pourra écrire ainsi notre première relation
tp.tf.tp" tp.tf.tp" tp'.tf'.tp* X tp.tf.tp' 5
d'où Ton tire, à cause de la relation déjà établie ci-dessus (5i5),
tp.tp".tp" />.*>".*>"
tp'.tp'".tp* ~ ' tjj.tf'.tp- ~ :
c'est-à-dire que ,
•Sï Von inscrit à une section conique un polygone quelconque, d'un nombre pair dç côtés , et qui! on mène une transversale parallèle à un axe fixe , laquelle -coupe cette courbe et chacun des côtés prolongés au besoin : le produit de tous les segmens comme facteur s , entre un des points ou la courbe est coupée par la transversale , et chacun des côtés pairs du polygone, est en raison donnée avec le produit de tous les segmens comme facteurs , interceptés entre le même point de la courbe et chacun des côtés impairs.
519. Ce théorème a été démontré par M. Carnot, à la pag. 449 et Sl^v* de la Géométrie de position , en partant de l'un de ses cas particuliers établi directement au moyen du calcul algébrique. En y appliquant la remarque de Fart. 5 16, ainsi que Fa fait lui-même M. Carnot, on voit qu'il s'étend au cas où Ton suppose qu'un ou plusieurs des côtés du polygone deviennent infiniment petits ou tangens à la courbe $ ce qui conduit immédiatement , comme corollaires , aux théorèmes analogues de l'endroit déjà cité.
Au. surplus toutes les propositions , qui ont été démontrées dans ce qui précède , sur les polygones d'un nombre pair de côtés inscrits aux sections coniques , demeurent également applicables au cas particulier où Ton remplace la section conique par le système de deux droites quelconques tracées dans un plan 5 ce qui conduit à quelques-unes des conséquences déjà établies directement (509), d'après le cas beaucoup plus général où les sommets du polygone , d'ailleurs en nombre pair ou impair, s'appuient sur autant de droites fixes dirigées vers un même point du plan.
3i4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
Du lieu des points de rencontre des côtés et des diagonales (Sun polygone variable, inscrit à une section conique sous les conditions déjà prescrites dans ce qui précède. -
5ao. Revenons maintenant à notre polygone mobile inscrit à une section conique quelconque, et dont tous les côtés, un seul excepté, sont assujettis à pivoter sur des points fixes placés en ligne droite-, et, après avoir examiné la nature des lignes qu'enveloppent le côté libre et les diagonales de ce polygone, occupons-nous de celles que parcourent les divers points d'intersection de ses cotés.
Considérons, par exempte, la courbe parcourue par le point d'intersection af (fig. 86) des côtés ab et çf assujettis à pivoter, dans tontes leurs position*» sur les points fixes p et pT^ joignons, par une ligne droite àe, deux de* sommets qui appartiennent à ces côtés $ ce sera évidemment ou un côté ou une diagonale du polygone proposé ^ donc , comme telle ($1 3 et 5 î^e&e pivotera sur un point fixe placé sur la droite pjV, ou roulera sur une section conique ayant un double contact avec la proposée suivant cette même droite. En conséquence, si nous supposons qu'on mette la figure en projection, sur un nonveau plan, de façon (109) que la droite dont il s'agit passe à l'infini , et que I* section conique proposée devienne un cercle , il arrivera , dans le premier cas, que la droite ae, en se mouvant, demeurera constamment parallèle à ellemême (io5) , et, dans le second , que cette droite enveloppera constamment un même cercle concentrique au premier (i3i). La question qui nous occupe se trouvera ainsi ramenée aux deux suivantes :
« Quelle est la courbe que parcourt le troisième sommet a, (Fig. 87) d'un » triangle aean dont les deux autres sont assujettis à se mouvoir sur un cercle » donné (C) , tandis que ses trois côtés demeurent constamment parallèles à 9 eux-mêmes? »
» Quelle est la courbe que parcourt le troisième sommet at d'un triangle » aefan dont les deux autres sont assujettis à se mouvoir sur un cercle donné (C)>
* tandis que les côtés aan et éan adjacens à ces sommets , demeurent constam-* » ment parallèles à eux-mêmes, et que le troisième côté aef roule , sans cesse,
* sur une circonférence de cercle concentrique à la première ? »
5a 1. On voit d'abord que l'une de ces questions se ramène directement à l'autre 5 car , si nous considérons le triangle aéat et que nous prolongions le
SECTION IV. CHAPITRE IL 3i5
côté éak jusqu'à sa nouvelle intersection en e avec le cercle qui dirige les sommets Sete7} que nous tracions, de plus, la corde ae, elle devra demeurer , constamment parallèle à elle-même dans le mouvement du triangle aéar En effet y d'après la condition à laquelle est assujetti le côté aé de ce triangle , l'angle aeé est constant ; mais ee' reste parallèle à lui-même ; donc ae reste .aussi parallèle à lui-même , et partant le sommet at du triangle aéan dont le côté cuf roule sur un cercle concentrique au proposé r est aussi celui d'un .autre triangle aeat dont les côtés restent constamment parallèles à eux-mêmes. . Maintenant soit tracé le diamètre fixe bc, qui divise à la fois en parties égales, aux points i , tous les côtés parallèles ae\ soit menée ensuite , pour chaque triangle œat ^ la droite iat ; tous ces triangles demeurant semblables et semblablement placés entre eux , il en sera évidemment de même des triangles partiels eiat , aiar Donc les carrés des droites parallèles iat seront entre eux comme les carrés îles demi-cordes a/, ou comme les rectangle* des segmens bi et ic formés sur le diamètre fixe bc$ d'où il suit évidemment (39) que la courbe p&rcouruç par le point a, est une ellipse , ayant bc pour diamètre commun •avec le cercle (C)r et qui est concentrique à ce cercle.
On peut remarquer, de plus, que cette ellipse et ce cercle ont un autre diamètre commun , dont les extrémités appartiennent à la position du point, a, , pour laquelle le triangle aate est réellement inscrit au cercle : on voit d'ailleurs ce qu'il y aurait à faire pour déterminer directement , soit sur la .figure primitive , soit sur sa projection circulaire, les quatre points de l'intersection mutuelle des deux courbes dont il s'agit.
Si Ton se reporte maintenant à la Fig. 86 d'où nous sommes partis, on ~ conclura , de ce qui précède, que le point d'intersection a, des deux côtés ab et ef décrit généralement une section conique, .dans le mouvement du polygone abcdef, dont le pôle, relatif à la droite pp'\ est le même que pour la section conique proposée, et appartient à la mutuelle intersection de deux sécantes conjuguées communes de ces courbes , etc.
Cette démonstration étant d'ailleurs applicable an point de rencontre de deux autres côtés quelconques du polygone , ou de deux de ses diagonales , pourvu que ces côtés ou ces diagonales pivotent constamment sur des points fixes, et ne roulent point sur des sections coniques, comme il arrive (5i4) quand leurs extrémités respectives appartiennent à des sommets de même espèce} on en conclura que,
Dans tout polygone variable assujetti aux mêmes conditions que celui
3i6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
du théorème de Part. 5i4 5 les points de rencontre des droites qui appartiennent à des sommets d'espèces différentes , décrivent des sections coniques passant évidemment par les points fixes qui servent de pivots à ces droites.
522. En prolongeant deux côtés quelconques ab1 efdu. polygone inscrit abcdef jusqu'à leur rencontre mutuelle en an on a formé naturellement un nouveau polygone atbcdeaé dont tous les côtés pivotent à la fois sur des points fixes p, p'... placés en ligne droite, mais qui, au lieu d'être entièrement inscrit à la section conique comme celui d'où il provient , a un de ses sommets libre et placé hors de la courbe ; donc on a ce nouvel énoncé dû à M. Brianchon qui Pa démontré , dans un mémoire inséré au Xe. cahier du Journal de V Ecole Polytechnique 7 par des considérations fort simples d'Algèbre, combinées avec le principe de Part. 1 o5 :
Si tous les sommets dyun polygone, un seul excepté j sont assujettis à demeurer sur une section conique donnée , d'ailleurs quelconque , tandis que tous ses côtés pivotent sur autant de points fixes placés sur une même droite , le sommet libre parcourra , dans toutes ses positions , une autre section conique passant par les points fixes adfacens à ce sommet.
523. D'après ce qui précède , il est évident qu'il en sera encore ainsi de tous les autres points de rencontre des côtés, pris deux à deux, et de ceux des diagonales qui tournent (5i4)j dans le mouvement général du polygone , autour de points fixes. Quant aux courbes que parcourent les divers points de rencontre des autres espèces de diagonales , il y a des raisons de croire qu'elles sont , en général , du quatrième degré , comme cela a lieu , ainsi que nous Pavons déjà fait observer (5 12), pour les points de rencontre mêmes des côtés , lorsque les points fixes , au lieu d'appartenir à une même droite, sont quelconques.
Néanmoins , pour le cas général dont il s'agit , il sera encore facile de reconnaître , à priori , quand la courbe des points de rencontre des cotés s'abaisse au second degré. En effet , au moyen des constructions indiquées (5io et 5i 1) , on pourra remplacer le mouvement de toute la portion de polygone abcde (Fig. 84) 1 terminée aux deux côtés bat , aat que l'on considère , par celui de Pangle inscrit axe ou axd (Fig. 85) , dont les côtés pivotent sur les points fixes F et P"$ si donc il arrive que ces points soient placés sur la même droite que les points fixes p , pty (Fig. 84) des deux côtés bat , *eaf T il en résultera évidemment que le point de rencontre a, de ces côtés parcourra une section
conique , car le quadrilatère apxeak sera alors dans les circonstances du théorème de Tait. 522.
Des Polygones variables circonscrits à une conique , dont les sommets parcourent des droites données comme directrices.
5?4* Ayant établi, dans ce qui précède , les propriétés des polygones variables inscrits aux sections coniques , il ne nous sera pas difficile de passer à celles des polygones variables dont les côtés sont assujettis à demeurer tangent à de telles courbes 5 tout consiste , en effet , à se rappeler la théorie des pôles , exposée à la fin du chap. II de la seconde section..
Supposons , par exemple , qu'un polygone quelconque abcde (Fig. 88) étant inscrit à une section conique , on en circonscrive un autre ABCDE, à cette courbe , dont les côtés aient pour points de contact les sommets du premier ; ces polygones seront polaires réciproques l'un de l'autre. Si donc on oblige le polygone abcde à se mouvoir suivant les conditions du théorème de Part. 5 10, il en résultera évidemment (195 et a3i) , pour le polygone circonscrit ABCDE , cette nouvelle proposition , qui est une extension de celle déjà exposée (435) , et d'où on pourrait la déduire directement par des considérations analogues à celles employées ci-dessus pour lethéor. 5 10, mais relatives aux polygones circonscrits :
•Sï tous les sommets cTun polygone quelconque ABCDE , perpétuellement circonscrit à une section conique , sont, à T exception <Tun seul E, assujettis à parcourir autant de droites MN, NP..., données comme directrices , le sommet libre et les differens points de rencontre des côtés parcourront , dans les positions successives du polygone , autant de sections coniques ayant un double contact avec la proposée.
5a5. Pour avoir la sécante de contact , on pourrait rechercher, au moyen des procédés décrits art, 5io et 5n, qui n'exigent tous que l'emploi d'une simple règle , celle qui appartient à la section conique qu'enveloppe, dans son mouvement , le côté libre ou la diagonale du polygone inscrit ayant pour pôle (229) le sommet ou point de rencontre que l'on considère; car, d'après ce qui précède et d'après la remarque de l'art. 4?3 , la droite ainsi obtenue sera la sécante de contact demandée.
Au surplus , quand tous les points fixes p^pt, ... p™ (Fig. 89) des côtés du polygone inscrit abcde/ sont sur une même droite, les directrices MA, NB,«...
3i8 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
RE, sur lesquelles s'appuient les sommets respectifs du polygone ^circonscrit ABCDEF, se croisent toutes (196) en un même point 0, pôle de là droite pf dont il s'agit } mais alors , en supposant le polygone inscrit de rang pair , le côté libre qf de ce polygope pivote sur un dernier point fixe p* (5i3) placé sur cette même droite ; donc aussi le sommet libre F du polygone circonscrit , du même ordre que le premier, décrit une dernière ligne droite OS , passant par le point 0 commun à la fois à toutes les directrices : c'est-à-dire
que,
•Sï tous les sommets ctun polygone de rang pair , perpétuellement circonscrit à une section conique , sont assujettis , un seul excepté , à parcourir autant de droites données comme directrices et passant toutes par un même point} le sommet libre décrira lui-même une dernière droite dirigée vers le point dont il s'agit.
5a6. Ce théorème pourrait s'établir directement et d'une manière très-simple, comme on l'a fait (5i3) pour celui d'où on vient de le déduire au moyen de la théorie des pôles , en partant du cas particulier (435) du quadrilatère circonscrit.
On pourrait également le démontrer en se servant du théorème de l'art. 5o4? pour lequel la section conique , qui dirige le mouvement des côtés du po-* lygpne , se trouve remplacée par des points fixes ; car, si l'on suppose que le polygone circonscrit ABCDEF se déplacé infiniment peu sur la courbe, de manière à satisfaire aux conditions ci-dessus prescrites , ses divers côtés tendront évidemment à pivoter sur les points de contact a,b.„ qui leur correspondent $ donc , eh vertu du principe cité , le sommet libre F tendra aussi à parcourir une droite FS dirigée vers le point de rencontre 0 des directrices , et en parcourra , en effet , un élément infiniment petit. Mais une seule position du polygone suffit pour déterminer celle de la droite FS } donc cette droite sera constamment parcourue par le sommet F dans toutes les positions successives qu'il peut prendre autour de la courbe.
Enfin on pourrait encore démontrer simultanément le théorème qui nous occupe et celui (5 1 3) d'où nous l'avons déduit , en s'appnyant sur les principes établis au chap. III de la première section : il suffit, pour cela,, de supposer la figure mise en projection , sur un nouveau plan, de façon (109) que, la section conique proposée devenant un cercle , la droite ppP, qui renferme les points fixes des côtés du polygone inscrit , passe à l'infini 5 car alors le point X) de croisement des directrices du polygone circonscrit deviendra le centre même du cercle de projection (1 1 5) , et les différens côtés du polygone inscrit ,
SECTION IV. CHAPITRE IL 3i£
le côté libre excepté , seront assujettis à se mouvoir parallèlement à eux-mêmes dans les diverses positions du système.
Ce n'est pas sans dessein que nous varions ainsi la démonstration de chaque théorème qui se présente 5 car s'il est sur-tout essentiel , dans un ouvrage de science , d'augmenter le nombre des vérités déjà connues , il ne Test guère moins , sans doute 7 de montrer l'espèce de dépendance et d'analogie qu'elles ont entre elles. Or rien n'est certes plus propre, pour y parvenir, que de s'attacher à faire voir comment on peut les déduire les unes des autres; et l'on aura remarqué , par tout ce qui précède , que le principe de continuité , employé comme il convient , offre , sous ce rapport , des ressources que les principes du raisonnement ordinaire ne sauraient à coup sur suppléer.
Outre que cette marche présente l'avantage d'éclairer les vérités les unes par les autres , et d'en faire voir la fécondité , elle a encore celui d'agrandir les ressources de bf^Géométrie. Il est rare, en effet, qu'un tour particulier de démonstration ou de raisonnement ne soit applicable qu'à un seul objet } et s'il le devient à plusieurs , s'il embrasse tout un corps de doctrine , comme* le. principe d eochaustion des anciens, celui des infiniment petits et des infiniment grands , etc. , principes qui dérivent tous directement de la loi de continuité , alors son introduction dans la science aura considérablement augmenté les moyens de découvrir et de démontrer.
527. Revenons maintenant à notre polygone circonscrit, d'un nombre pair de côtés»
Puisqu'il arrive , quand tous les sommets , moins un , sont assujettis à parcourir des droites données dirigées vers un même point , que le dernier parcourt lui-même une droite passant par ce point, et déterminée de position en même temps que toutes les autres $ on conçoit qu'il doit exister, entre les angles qui fixent la position de ces droites , soit entre elles , soit à l'égard de la courbe, une relation analogue à celle qui a lieu (5i5) pour les points fixes sur lesquels pivotent les côtés du polygone inscrit abcdef.
Supposons , en effet,, que Ton nomme P, F, F'... les différens points d'intersection des directrices OA, OB, OC... avec la droite ppf\ directrices qui sont (5a4) les polaires des points fixes p^pt, /?".... qui leur correspondent respectivement dans le polygone inscrit \ supposons , de plus , que l'on continue , comme dans l'art. 5i5, à appeler J, t les points, soit réels, soit imaginaires, où la transversale ppt1 rencontre la courbe, on aura évidemment (194)
EL-V± Él — ^L f^W pt~W jtt~YÏ> f(~YO
3ao • PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
Combinant ces relations avec celle de Part. 5 15, il viendra, entre autres ,
tV.tV.iP" W.W.tV" tVr.tV".tV*~t!F.t!?"r.t!?*9
Cest-à-dire que les points P, P', F'... ont entre eux , par .rapport aux points t et t de la courbe , la même corrélation que les points p, p*, p"... qui leur répondent respectivement , et sont les pôles des droites d'où ils proviennent*
Supposons , d'après cela , qu'aux points t et t on mène deux tangentes à la courbe ^ elles iront évidemment concourir en 0 avec les autres directrices, car le point 0 est le pôle (5a5) de la droite pp", or la relation ci -dessus étant projective (20), aura lieu entre les segmens formés sur une transversale quelconque , coupant le faisceau des directrices et des tangentes qui se réunissent au point 0, aussi bien (18) qu'entre les sinus des angles projetais formés par ces mêmes droites ; donc on peut énoncer ce théorème général :
Si , ayant circonscrit à une section conique quelconque un polygone d'un nombre pair de côtés , on mène , <£ un point pris à volonté sur le plan de la courbe 1 des droites aux differens sommets du polygone et des tangentes à cette courbe 7 le produit des sinus de tous les angles projetons , compris entre Tune quelconque de ces tangentes et chacune des autres droites qui appartiennent à des sommets de rang pair du polygone , sera au produit semblable, relativement à la même tangente et aux droites qui appartiennent aux sommets de rang impair , dans un rapport qui ne changera pas , quand on substituera la seconde tangente à la première. Enfin si Von mène , à travers le faisceau de toutes ces droites , une transversale arbitraire , la même relation aura encore lieu entre les segmens qui correspondent aux differens angles projetons*
5a8. Au surplus 5 ces propriétés s'étendent à des polygones circonscrits, d'un nombre pair ou impair de côtés , en supposant (5 1 6) que les points de contact de deux côtés contigus quelconques viennent à se réunir en un seul. Dans ce cas , ces deux côtés se sont confondus avec les deux segmens formés , sur le côté unique qui les remplace , à partir du point de contact , et la directrice de l'angle de ces mêmes côtés passe évidemment par le point de contact commun dont il s'agit.
En ayant égard à cette remarque, on voit que la proposition subsistera toujours, d'après la loi de continuité, quel que soit le nombre des côtés
SECTION IV. CHAPITRE IL 3a 1
du polygone inscrit qu'on suppose devenir infiniment petits, ou tangens à la courbe $ ce qui donne lieu à plusieurs propriétés particulières analogues à celles déjà signalées art. 5 16, et qui peuvent en être considérées comme les réciproques.
529. La proposition de Fart. 5?5 ne saurait plus avoir lieu quand le polygone circonscrit ABCDEF est d'un nombre impair de côtés ; la courbe que décrit le sommet libre F est évidemment alors une section conique quelconque (5 14)7 touchant la proposée aux deux points où elle est rencontrée par la polaire du point 0 commun à toutes les directrices.
Quant à ce qui concerne les lignes que décrivent les divers points de rencontre des autres côtés du polygone et celles qu'enveloppent dans leur mouvement ses diverses diagonales , qu'il soit d'ailleurs de rang pair ou impair , on pourra aisément en déterminer l'espèce particulière , au moyen de la théorie des pôles et des propositions analogues relatives aux polygones inscrits.
Il paraît donc fort inutile d'entrer dans plus de dévdoppemens à ce sujet $ et nous nous contenterons ? pour terminer, de faire remarquer, en général , que toutes les propriétés qui viennent de nous occuper conduisent à beaucoup d'autres particulières , quand oh suppose que deux ou plusieurs points fixes , deux ou plusieurs directrices se confondent , soit en un seul point fixe , soit en une seule directrice ? à distance donnée ou infinie. Ainsi , par exemple :
« Si un polygone ABCDEFAte(Fig. go) r variable de forme et perpétuelle-
> ment circonscrit à une section conique quelconque , est assujetti à avoir ses
> sommets alternatifs sur deux droites fixes OM et ON , à Fexception du der-
> nier sommet F qui reste libre , il arrivera que la ligne , décrite par ce
> sommet , sera du premier ou du second ordre 9 selon que le polygone sera
> lui-même de rang pair ou impair. De plus la droite décrite dans le premier
> cas passera par le sommet 0 de l'angle des directrices , et la section coni- » que décrite dans l'autre aura une sécante de contact commune avec la pro- » posée ? polaire du point 0 dont il s'agit. »
Ce corollaire , qui a son analogue pour les polygones inscrits , pourrait , au surplus , se démontrer' directement 9 en mettant la figure en projection , sur un nouveau plan, de façon (109) que la polaire du point 0 passe l'infini ? et que la section conique proposée devienne un cercle , ayant par conséquent (116) le point dont il s'agit pour centre.
3m propriétés projectives.
Des Polygones variables, à la fois inscrits à des sections coniques et
circonscrits à d'autres.
530. Pour compléter entièrement l'objet de ce chapitre, il nous resté à considérer les polygones à la fois inscrits à une section conique et circonscrits à une autre} car nous avons successivement en visage le* cas où , soit les directrices des. sommets, soit les points fixes des côtés du polygone) variable sont remplacés par une seule * et même section conique. Or cet examen est on ne peut plus facile quand on suppose que les deux sectiçra coniques ont entre elles un double contact.
En effet ralors(i3i) on peut, en général , mettre la figure en projection , sur un nouveau plan7 de façon qu'elles deviennent des circonférences de cercle concentriques. Supposons donc qu'on inscrive à volonté, à celle qui est extérieure, un polygone dont tous les côtés, un seul excepté, touchent l'autre, il arrivera évidemment que, faisant mouvoir ce polygone en l'assujettissant toujours aux mêmes conditions, le côté libre enveloppera, dans toutes ses positrons , une troisième circonférence de cercle concentrique aux premières ; et par conséquent, en exécutant les mêmes opérations pour nos deux sections coniques , « le côté libre du polygone inscrit à l'une , et dont tous- les autres » côtés touchent la seconde , roulera , dans ses diverses position* , autour d'une > troisième section conique, ayant même sécante de contact commune avec • chacune des premières. »
Mais cette propriété et toutes ses analogues peuvent être étendues , comme t>n va le voir, à des sections coniques quelconques , toujours à Paide des principes de projection qui font la base de ce travail.
Cas particuliers où. les sections coniques directrices sont des cercles ,
-et ou le polygone est un simple triangle.
53 1. Pour remplir avec simplicité le but qui vient d'être indiqué, nous 'considérerons d'abord le cas particulier du triangle et du cercle ; il nous sera facile «ensuite de passer de là aux polygones et aux sections coniques en général, par la marche déjà si souvent employée dans ce qui précède.
Etablissons en premier lieu ce théorème :
Trois cercles (c), (cQ, (c"), Kg, qî, situés sur un même plan% ayant
une sécante commune mn , réelle ou idéale ^ si F on inscrit, à Vun cteux (c"), une suite de triangles ABC dont les côtés AB, AC touchent respectivement les deux autres (c!) et (c) , le troisième côté BC de ce triangle ne cessera pas détre tangent à un quatrième cercle , ayant la sécante mn en commun avec les proposés.
Pour le démontrer £ commençons par rechercher le point de contact A' du côté BC avec la courbe qu'il enveloppe dans ses diverses positions. J'observe d'abord que, si l'on imprime au triangle ABC un mouvement infiniment petit, ou qu'on le dérange infiniment peu de sa position actuelle , il arrivera que les côtés de ce triangle tourneront, ou tendront à tourner autour des points de contact A', F, C: qui leur appartiennent respectivement • Mais, en faisant abstraction, pour un moment , de la courbe qu'enveloppe en général le côté BC , il est visible que ce côte tendra aussi à rouler (43 i) autour d'une sectiop Conique ayant un double contact avec le cercle ABC ; donc le point de contact de cette section conique et du côté BC est aussi celui de ce même côté avec la courbe inconnue •, et par conséquent , si l'on trace les droites BB', CC, et qu*ôn joigne le point D de leur croisement avec le sommet A, par la droite AD, sa direction indéfinie ira rencontrer celle de BC au point de contact A' dont il s'agit (433).
Cette construction très-simple du point de contact de la courbe inconnue et de BC conduit, sur-le-champ, à une propriété caractéristique de cette courbe. Car, M, N étant les points communs à la fois & nos trois cercles, sur la direction de mn, et F, G, H étant les points où cette même direction rencontre les cotés respectifs AC, AB et BC du triangle ABC, on aura, d'après la propriété connue du cercle,
ffî == FM-FN =s FÀ-FC , <5c?*f=GM-GN=GA-GBj
donc on a aussi (163 et i63), puisque d'ailleurs les trois points F, G, H sont en ligne droite , et que les trois droites AAr, BB7, CC se croisent en un même point D,
gPrrflB-HCrrHBf-HNï
propriété qui ne saurait appartenir qu'à; un cercle, -ayaçt la, corde MN m commun avec les proposés. ■• . . . 1 / r
Supposons, en effet, qu'on trace le cercle passant par A', M, N$ d'après
3*4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
ce qui vient d'être démontre , ce cercle touchera le coté générateur BC au point A', et par conséquent il aura un élément commun avec la courbe cherchée. Si donc cette courbe ne se confondait pas en entier avec le cercle dont il s'agit , elle serait au moins l'enveloppe de tous ceux qui , tels que celuilà, ont la corde MN en commun avec les proposés} ce qui est absurde , car ces cercles ne sauraient avoir d'enveloppe commune; et comme toute- Ibis la courbe enveloppe existe , on en doit conclure forcément qu'elle se confond avec le cercle ArMN, ou, plus généralement, que c'est un cercle unique ayant même corde commune avec les proposés, comme il s'agissait de le démontrer
Ce raisonnement suppose , il est vrai , que les cercles (c), (</), (c") aient deux points communs réels ; mais , en vertu du principe de continuité , on peut Fétendre directement à celui où ces points deviennent imaginaires , et où par conséquent la droite mn est une sécante idéale commune aux cercles proposés. Ainsi notre théorème est général, et comprend tous les cas, soit que d'ailleurs le cercle ABC ou (c") embrasse à la fois les deux autres (Fig. 93), ou n'en embrasse qu'un seul (Fig. 94), ou n'en embrasse aucun (Fig. 95), soit qu'enfin il ne renferme seulement qu'une portion de chacun de ces cercles ^ comme il arrive (Fig. 92) lorsque la sécante commune mn est réelle.
53a. Puisque le cercle, qu'enveloppe dans son mouvement le. côté BC, fait partie de la suite que déterminent les proposés, il s'ensuit que, dans certains cas , il pourra dégénérer en deux lignes droites (gS) se confondant , l'une avec la sécante m/i, à distance finie, commune à ces cercles , Fautre avec la sécante commune qui leur appartient à l'infini. Cette circonstance aura lieu en particulier quand , dans une de ses positions , le côté générateur BÇ sera susceptible de se confondre avec la corde commune MN, et que cette corde sera par conséquent réelle : alors ce côté générateur, pour toucher constamment la courbe enveloppe , devra passer (1 84 , note), dans toutes ses autres positions , par le point d'intersection des deux sécantes communes dont il s'agit ; c'est-à-dire qu'il se mouvra parallèlement à celle , mn1 qui esta distance donnée.
Quand, au contraire, la sécante commune mn est idéale, le côté générateur BC ne peut plus se confondre avec cette sécante dans aucune de ses positions, et par conséquent le cercle qu'il enveloppe ne saurait dégénérer en deux lignes droites $ maïs alors il peut fort bien se confondre avec Pun des cercles limites de la suite dont il fait partie (76), et se réduire par conséquent à un point: circonstance qui aura lieu évidemment quand le côté générateur BC se confondra avec lui-même dans deux positions distinctes du triangle ABC.
Comme les deux points limites du système des cercles proposés et le point , à l'infini, où se coupent leurs sécantes communes , doivent jouer (80 et 370) absolument le même rôle à l'égard de ces cercles , on voit que la condition qui précède peut fort bien convenir aussi à ce dernier point; en sorte que le côté générateur BC , au lieu de pivoter sur l'un des points limites , demeurera parallèle à la sécante commune ordinaire, ainsi que cela avait lieu dans le cas ci-dessus où cette sécante était supposée réelle; mais alors il arrive nécessairement que, dans les deux positions distinctes du triangle ABC pour lesquelles le côté BC est le même, ce triangle change de forme : l'un des côtés AB, AC devenant infiniment petit , et sa direction devenant par conséquent tangente & la (bis aux deux cercles qui lui appartiennent.
U serait d'ailleurs aisé de s'assurer, par la discussion directe , que cette dernière circonstance revient exactement à celle dont il a été question ci-dessus , relativement au cas où la corde commune MN est réelle ; et Ton voit , de plus , que , pour que le côté BC du triangle demeure constamment parallèle à la corde commune MN , il n'est pas même nécessaire que cette corde soit réelle $ il suffit que la circonstance du parallélisme subsiste pour la position du triangle qui vient d'être indiquée en dernier lieu.
Nous n'entrerons pas dans de plus longs détails sur ces circonstances particulières dont l'examen est on ne peut plus facile d'après ce qui précède. Au reste ces circonstances se reproduisent, d'une manière analogue, dans toutes les propositions qui suivent-, et, comme les remarques générales que nous venons de Eure leur sont immédiatement applicables , nous nous dispenserons désormais de les répéter.
533. Puisque, d'un même point A du cercle (c")>Fïg. 93, oii peut mener deux tangentes à chacun des autres cercles (c) et (d) , et que par conséquent il en résulte quatre triangles distincts analogues au triangle ABC et , par suite , quatre cordes génératrices BC , il semblerait qu'on est en droit de conclure qu'il existe aussi quatre cercles correspondais enveloppes de ces cordes j mais il est évident qu'à chaque triangle ABC , il en correspond toujours un autre , placé symétriquement par rapport à la ligne des centres cd' , et dont le côté générateur touche le même cercle que celui du premier} donc ce cercle appartient à la fois à deux modes de génération distincts et par conséquent aussi à deux des quatre triangles dont le sommet est en A. Or il est aisé de reconnaître , d'après cela , qu'un même cercle est décrit , savoir : par les deux triangles dont les côtés AB, AC touchent , de la même manière , les
3r>6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
cercles (c) et (<f) , et par les deux triangles dont les côtés ÂB et- AC touchent ces cercles de différentes manières; donc enfin les quatre triangles, formes autour d'un même point A de (c") , ne donnent lieu qu'à deux cercles distincts.
Maintenant , si Ton suppose que le cercle (</) vienne à se confondre avec le cercle (c) , le côté générateur BG des deux premiers triangles deviendra nul dans toutes ses positions, et son enveloppe ne sera par conséquent autre chose que le cercle (c") lui-même. Quant au côté générateur des deux autres triangles, comme il ne devient pas nul, et que ces triangles ne font simplement que se confondre , il enveloppera encore , dans ses diverses positions , un cercle distinct des cercles proposés, et qui aura même sécante commune avec eux: c'est-à-dire que ,
Un angle BAC (Kg. 96) étant à la \fois intérêt à un cercle (d1) et ûirconscrit à un autre (c), si on vient aie faire mouvoir en F assujettissont toujours aux mêmes conditions r la corde BG , qui le sous-tend dam le premier de ces cercles, en enveloppera un troisième passant par les points d>intersection de *cewc4à^ ou ayant mêmes sécantes, soit réelles^ soit idéales, communes avec euac.
Cas général ou Von considère des Sections coniques directrices et des
polygones quelconques.
534- D'après les principes posés dans la première section (îai et 133), 3 est clair que la propriété établie en dernier Keu et celle (53 1) d'où nous Pavons déduite subsistent, d'une manière analogue, pour deux sections coniques quelconques tracées dans un même pl*n ? et pour trois sections coniques également quelconque?, quand elles ont mêmes points ifiatenecdon on mème^sécantes communes.
Cela posé , considérons un nombre arbitraire de sections coniques ou de circonférences de cercle situées dans un même plan , et ayant mêmes sécantes communes , réelles ou idéales ; supposons qu'on inscrive & l'une d'elles un polygone dont les différais côtés, un seul excepté, touchent respectivement les autres ; je dis que , si l'on vient à faire varier ce polygone sous les mêmes conditions, le dernier côté, ou le côté libre, enveloppera lui-même, dans toutes ses positions , une section conique ou une circonférence de cercle ayant mêmes sécantes communes avec les premières.
En effet, si l'on mène, de l'une des extrémités du côté libre considéré
SECTION IV. CHAPITRE II. 3*>f
comme dernier côte du polygone , des diagonales aux divertf autres sommets de ce même polygone, elles le partageront en plusieurs triangles, dont les extrêmes renfermeront, l'un les deux derniers, l'autre les deux premiers côtés. Or il suit, de ce qui précède (53 1), que la diagonale qui appartient à celui-ci roulera , dans tontes ses positions , sur une section conique ou une circonférence de cercla, ayant mêmes sécantes communes avec les proposées y donc le second triangle sera absolument dans les mêmes circonstances quête premier, et par conséquent la seconde; diagonale jouira de la même propriété que la première ^ et ainsi <jle suite jusqu'au dernier côté ou au côté libre du polygone, qui roulera , ainsi que toutes les diagonales j sur une section conique ou une circonférence de cercle ayant mêmes sécantes communes que les proposées.
Cette démonstration ne suppose aucune disposition particulière des courbes données i Fégard du polygone ; elle serait vraie , même quand Tune d'entre elles serait touchée à la fins par plusieurs côtés, ou par tous les côtés excepté celui' qui reste libre \ enfin elle s'appliquerait également à des diagonales quelconques du polygone } donc on peut énoncer généralement la proposition suivante:
Ayant inscrit , à une section conique quelconque, un polygone dont les différens côtés r un seul excepté , touchent d autres sections coniques ayant mêmes sécantes communes entre elles et avec la première , soit que d ailleurs une même section conique touche plusieurs côtés , soit que ces sections Coniques se confondent toutes en une seule , qui alors peut être quelconque comme la première; il arrivera qu'en faisant varier le polygone d après ces conditions , le côté libre et toutes les diagonales rouleront également sur d9 autres sections coniques , ayant mêmes sécantes Communes avec les proposées , et qui deviendront des courbes s. et s. p. (91), soit entre elles, soit à regard de celles-ci , toutes les fois qu'il en sera ainsi de ces dernières.
535. D'après les remarques de Fart. 53a , il est clair qu'une ou plusieurs des sections coniques enveloppes pourront , dans certaines circonstances particulières , se réduire à des points isolés , au nombre de trois seulement , ou à des systèmes de lignes droites ou de sécantes conjuguées communes passant par ces points (370).
Il serait d'ailleurs aisé (53 1) de construire, dans le cas général, les points de contact appartenais aux différentes courbes et aux cordes génératrices qui leur correspondent.
3*8 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
Supposons maintenant que Ton construise , par rapport à la section conique sur laquelle s'appuient à la fois les sommets du polygone que Pou considère., le polygone circonscrit qui est (229) le polaire réciproque du premier; d'après les conditions auxquelles est assujetti celui-ci , tous les sommets de l'autre <, un seul excepté , devront (a3i) constamment appartenir à des sections coniques , polaires réciproques de celles sur lesquelles roulent les c&tés du polygone inscrit. D'ailleurs ces sections coniques , ainsi que celle qui sert de directrice, devront avoir mêmes tangentes communes (4oo). Enfin il résulte pareillement , du théorème qui précède , que le sommet libre du polygone circonscrit et les divers points d'intersection de ses côtés, qui sont les pôles du côté libre et des diagonales de l'autre (329) , décriront aussi des sectiops coniques ayant mêmes tangentes communes avec les premières et la section conique directrice } donc on peut énoncer généralement le théorème qui suit :
Ayant circonscrit , à une section conique quelconque , un polygone dont les differens sommets, à l exception <Tun seul, appartiennent à cf autres sections coniques ayant mêmes tangentes communes avec la première , soit que d'ailleurs une même section conique ne dirige qui un seul sommet , soit qu'elle en dirige à la fois plusieurs , soit qu'enfin toutes ces sections coniques se confondent en une seule qui alors peut être quelconque comme la première / il arrivera qui en faisant varier le polygone d auprès ces conditions , le sommet libre et tous les points de concours des côtés décriront également d! autres sections coniques ayant mêmes tangentes communes avec les proposées.
536. Le cas particulier des théorèmes qui précèdent , où l'on n'envisage que deux sections coniques , est sur-tout remarquable , comme on Fa vu , en ce que ces sections coniques sont parfaitement indépendantes entre elles et de toutes conditions particulières. Or il est essentiel de remarquer que le polygone de l'un quelconque de ces théorèmes participe , sous un certain rapport j des propriétés qui appartiennent à celui de l'autre; c'est-à-dire qu'il existe toujours une certaine portion de l'un de ces polygones , qui se trouve exactement dans les circonstances qui sont relatives à l'autre.
Soit , par exemple , ABCDEFA (Fig. 97) un polygone entièrement inscrit i une section conique , et dont tous les côtés , un seul AF excepté , soient tangens à une autre section conique $ en prolongeant les côtés AB et EF , adjacens à celui-là , jusqu'à leur rencontre en G , on formera le nouveau polygone GBCDE entièrement circonscrit à la seconde des deux courbes, et dont
SECTION IV. CHAPITRE ffl. 3a9
tous les sommets , excepté le sommet G , appartiendront à la première ; donc , non-seulement toutes les diagonales du polygone ÂBCDEF rouleront sur des sections coniques ayant mêmes sécantes communes avec les proposées , mais encore tous les points de concours des côtés , en faisant toutefois abstraction du dernier côté AF , parcourront d'autres sections coniques ayant même tangentes communes avec celles dont il s'agit.
Il est évident que les mêmes choses ont lieu, d'une manière analogue, pour le polygone du théorème de Fart. 535 , quand on ne considère que deux directrices ; c'est-à-dire que , non-seulement le sommet libre et les différons points de concours des côtés décrivent des sections coniques , mais qu'encore les diagonales de ce polygone , excepté celles qui partent du sommet libre , roulent également sur d'autres sections coniques , ayant mêmes sécantes communes avec les deux proposées.
Enfin on remarquera que , quand les sections coniques proposées sont des cercles, il n'y a que les courbes, sur lesquelles roulent les diagonales, qui en soient aussi ; les autres sont nécessairement des sections coniques en général , puisque quatre lignes droites ne sauraient être touchées, à la fois, par plus de deux cercles , qui , dans le cas actuel , ne sont autres évidemment que les cercles mêmes sur lesquels s'appuie le polygone.
Dans le chapitre suivant, nous aurons occasion d'exposer quelques nouvelles propriétés relatives à la théorie précédente , en nous occupant des problèmes qui s'y rapportent , problèmes dont nous ne pouvions ici donner les solutions sans alonger par trop ce chapitre.
