CHAPITRE III

Extension des théories qui précèdent au cas où les directrices sont des courbes d'ordre quelconque, et où certains angles sont consùans. — Application des mêmes théories à la solution de quelques problèmes qui s'y rapportent.

537. Ukxs ce qui précède, nous nous sommes occupés presqu'uniquement .des polygones variables dont les sommets s'appuient sur des lignes droites ou sur une section conique ; il nous reste & examiner comment on peut étendre

33o , PROPRIÉTÉS PROJECTILES,

la plupart des résultats obtenus au cas où l'on emploierait , pour directrices du polygone , des courbes géométriques (pag. 3) d'un ordre quelconque , afin de donner une idée des intéressantes recherches de Braikenridge et de Mac- Laurin, et de montrer ainsi comment la simple Géométrie, traitée d'une tnanière convenable, peut , à l'aide du seul principe de continuité , atteindre sans peine les questions les plus générales et les plus relevées. En nous efforçant sur-tout d'être très-courts , nous ne négligerons pourtant pas l'occasion d'ajouter quelques nouveaux résultats à ceux de ces célèbres géomètres. Nous terminerons ensuite par donner quelques applications intéressantes des principales propriétés qui ont été exposées dans le précédent chapitre.

Du lieu du sommet libre et des points de rencontre des côtés d un polygone variable , dont les autres sommets parcourent des directrices courbes données , et dont les côtés pivotent sur des points fixes quelconques.

538. Considérons un polygone plan quelconque abcde (Figg8) dont les différens sommets , un seul e excepté , sont assujettis à parcourir respectivement des courbes géométriques oui, bn,cq , dr d'ordres quelconques m, n, q1 r, tandis que les côtés successifs ae, ab^bc, cd, de de ce polygone sont astreints à pivoter constamment sur les points fixes p, pf, jf\ p"^ pn qui leur correspondent respectivement ; et cherchons quel doit être , en conséquence , le degré de la courbe que parcourt, dans toutes ses positions, le sommet libre e du polygone } il sera facile ensuite (495) d'en déduire ce|ui des courbes décrites par les points de rencontre des différens côtés.

Pour plus de simplicité , examinons d'abord le cas où toutes les directrices , une seule nb exceptée , sont des lignes droites , et supposons que n soit toujours le degré de celle décrite, par le sommet &, dont il s'agit } il est évident , d'après la définition des courbes géométriques , que le plus grand nombre de points suivant lesquels la ligne parcourue par le sommet e pourra être coupée par une droite arbitraire , telle que ÂB par exemple, indiquera aussi le degré de cette ligne: or si, laissant libre, un instant, le sçmmet b du polygone, on astreint celui a à décrire tous les points de la droite ÂB, le sommet b parcourra, dans toutes ses positions, une section conique (494) rencontrant la courbe (n) en un certain nombre de points , qui correspondront évidemment à autant de positions distinctes du polygone, pour lesquelles le sommet b sera à la fois sur (n) et le sommet e sur AB } donc , comme il est impossible

SECTION. IV CHAPITRE m. 33 1

qu'il y ait d'autres positions pour lesquelles la même chose ait lieu , ce nombre indiquera précisément en combien de points la droite AB peut , en général , être rencontrée par la courbe que parcourt le sommet libre e9 et par conséquent ce sera le degré même de cette courbe.

Mais on sait que « deux courbes géométriques, tracées sur un même plan, » ne peuvent jamais se rencontrer en un plus grand nombre de points que » celui qui est marqué par le produit des nombres qui expriment le degré » de ces courbes } » et ce principe qu'on regarde d'ordinaire comme une conséquence de l'Analyse algébrique , pourrait tout aussi bien s'établir en invoquant la loi de continuité (*) ; donc enfin le degré de la courbe parcourue par le sommet libre e du polygone sera , en général , exprimé par an

Supposons maintenant qu'on remplace pareillement la directrice droite d'un autre sommet c du polygone par une directrice courbe d'un ordre q , il arrivera qu'en traçant une nouvelle droite arbitraire AB dans le plan dé la figure , et contraignant le sommet e , d'abord libre , à la parcourir tout entière , en rendant libre, à son tour, le sommet c qui précédemment était contraint à parcourir la courbe* (47), il arrivera , dis-je, comme on vient de le prouver à l'instant , que ce dernier sommet décrira une courbe de degré un , rencontrant celle (q) en 2nq points ; d'où Ton conclura, par un raisonnement analogue à celui déjà employé ci-dessus , que la courbe parcourue par le sommet e , dans l'hypothèse où les directrices bn et cq sont des courbes de degrés n et q, ne peut elle-même rencontrer la droite arbitraire AB en plus de anq points , et que par conséquent tel est aussi le 'degré de cette courbe.

Le raisonnement peut se continuer indéfiniment pour tous les autres sommets du polygone , en remplaçant successivement les directrices droites par de nouvelles directrices de degrés quelconques ; et Ton voit que ce même raisonnement , appliqué au cas où tous les points fixes /?, pf, p"... sont distribués sur une même droite, conduira (49$) à des courbes de degré moitié de ceux des courbes qui viennent de nous occuper ; donc on peut énoncer ce théorème général dû à Mac-Laurin , et démontré ensuite , pour le cas du triangle , par Braikenridge (**) :

(*) Nous donnerons, dans le supplément (598) , une idée de cette démonstration) pour le cas particulier des sections coniques.

(**) Transactions philosophiques de la Société royale de Londres? année 1 735 , n°. 4^9* Voyez aussi l'ouvrage de Braikenridge, déjà souvent cité : Ererritatio geomeirica, etc.

33a PROPRIÉTÉS PROJECTTVES.

Si ton fait mouvoir un polygone plan quelconque , en assujettissant ses differens côtés à pivoter respectivement sur autant de points fixes 9 donnés comme pôles , et chacun de ses sommets , un seul excepté, à parcourir des directrices courbes quelconques, de degrés m-, n,p, q...j le sommet libre décrira lui-même , dans toutes ses positions , une courbe qui sera , en général et au plus , du degré a mnpq. . . 5 et qui se réduira simplement au degré mnpq. . • , quand tous les points fixes seront placés sur une même ligne droite.

539. Les raisonnemens par lesquels nous sommes parvenus à la démonstration de ce théorème sont conformes à ceux employés par Braikenridge et Mac-Laurin ; ils sont simples comme on voit , mais on peut leur en substituer d'autres qui ont l'avantage de ne point exiger l'emploi de propositions auxiliaires , et de mieux faire connaître la nature particulière de la courbe* Pour cela , il est essentiel de remarquer qu'en vertu du principe de continuité , une droite , tracée arbitrairement «dans le plan d'une courbe d'un certain degré , doit toujours être censé rencontrer cette courbe en un nombre de points réels, imaginaires , multiples ou situés à t infini , égal au nombre qui exprime le degré de cette courbe 5 de sorte que, si Ton peut prouver rigoureusement qu'une certaine droite et une certaine courbe , tracées dans le même plan , n'ont en commun que m points 9 soit réels , soit imaginaires , situés ou non à l'infini , confondus en un seul ou réunis par groupes séparés de deux ou de plusieurs points , il sera par là même démontré que la courbe est effectivement du degré marqué par le nombre m (*).

Cela posé , considérons notre polygone variable abcde , dont les differens sommets a, b, c, d parcourent respectivement des courbes de degrés m , n , q, r. Supposons qu'on trace, à volonté , Fun, ae, des côtés adjacens au sommet libre e ; sa direction indéfinie ira rencontrer la courbe du sommet a en un nombre de points réels , imaginaires , etc. , marqué par m ; et , si Ton joint chacun de ces points avec le pôle ou point fixe pr du côté suivant ab , il en résultera m directions indéfinies pour ce côté , dont chacune correspondra à un polygone particulier ayant la droite ae pour direction du premier côté 5 de plus il ne saurait évidemment y en avoir d'autres qui jouissent de cette propriété.

(*) On remarquera que ce raisonnement, appliqué aux résultats de l'Analyse algé Brique, conduirait aisément à Terreur, d'après la manière dont on la traite d'ordinaire, car il iarmesouTent qu'on néglige des facteurs $ ki, au contraire, on ne peut rien négliger*

Mais chacune des directions ainsi obtenues pour ab, et qui sont en nombre m , rencontrera la courbe du sommet b en n points , d'où résultera mn positions différentes de ce sommet sur la courbe (ri) , et par suite mn directions indéfinies du troisième côté bc, dont chacune correspondra à un polygone particulier remplissant les conditions prescrites , et ayant la droite ae pour direction du premier côté ; donc 9 en continuant ainsi , on parviendra à prouver que le nombre total des directions possibles du dernier côté de du polygone sera égal au produit mnqr des dimensions de toutes les directrices ; de sorte que tel sera aussi le nombre des polygones distincts qu'il est possible de construire , sous les conditions prescrites 9 en prenant ae pour direction du premier côté 3 donc enfin il y a au plus , sur la droite ae , mnqr points réels , imaginaires , etc., différens du point p, et qui appartiennent véritablement à la courbe que parcourt le sommet e.

On ne peut pas encore inférer de là que mnqr exprime réellement le degré de la courbe inconnue ; car il peut se faire que , pour une certaine position particulière du côté ae , les points de cette courbe , qui lui correspondent , se confondent tous, ou en partie , avec le point p$ lequel étant d'ailleurs fixe , serait ainsi un point multiple de la courbe, dont Tordre serait marqué par le nombre des points d'intersection ou des sommets e qui y auraient successivement passé. Dans ce cas évidemment , le nombre des points de la courbe, qui se trouvent sur chacune des droites ae , ne serait pas simplement mnqr, mais ce nombre augmenté d'autant d'unités qu'il y aurait de points de la courbe confondus en un seul au point p. Reste donc à rechercher s'il en est réellement ainsi dans le cas actuel , et quel est Tordre de multiplicité du point p.

Or le point e et tous ses semblables se confondront évidemment avec p 7 toutes les fois que la direction du dernier côté de passera elle-même par ce point. Supposons donc qu'on prenne , en effet , la direction de la droite qui passe par les points fixes extrêmes p et p™ pour celle de ce dernier côté , et qu'on recherche , par des constructions successives inverses de celles cidessus, la direction ou les directions correspondantes du premier côté ae,; elles seront évidemment en tout au nombre de mnqr, réelles , imaginaires , etc. D'ailleurs , si ce n'est dans des cas tout-à-fait particuliers, dont quelques^-uns seront examinés plus loin, les directions ainsi obtenues ne se confondront pas en général avec celle de la droite pplr ou du premier côté. du. polygone 5 donc enfin elles rencontreront ce même côté en un nombre mnqr de points confondus en un seul au point /?, qui ainsi est un point multiple de la courbe, d'un ordre représenté par ce nombre.

334 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

Concluons de là que , puisque chaque droite passant par p rencontre la courbe des points e en amnqr points réels , etc. , et ne peut la rencontrer en un plus grand nombre de points , ce nombre est aussi celui qui exprime 9 en général , le degré de cette même courbe , ainsi qu'il s'agissait de le démontrer.

540. On remarquera que les mnqr directions du premier côté ae , correspondantes à celle où le dernier côté de s'applique sur ppf* 1 sont précisément les tangentes aux diverses branches de la courbe qui passent par le point fixe p.

On prouverait de même d'ailleurs que le point fixe p™ du dernier côté du polygone est aussi un point multiple de Tordre mnqr^ ayant pour tangentes les mnqr directions du dernier côté, qui correspondent à celte où le premier ae s'applique sur pp9; ainsi, non-seulement nous arrivons au résultat démontré plus haut (538), relativement au degré de la courbe parcourue par le dernier sommet du polygone , mais nous reconnaissons , de plus , que les points p , p" lui appartiennent , et sont les croisemens respectifs de mnqr branches de cette courbe , dont les tangentes sont faciles à déterminer.

Quant au moyen de construire la tangente en un point quelconque e de la courbe dont il s'agit , il résulte très-simplement de l'application de la loi de continuité. En effet, si l'on suppose que le polygone abcde, qui correspond au point e que l'on considère en particulier , se dérange infiniment peu de la position actuelle qu'il occupe , il est clair que chacun de des sommets , y compris le sommet e , tendra à décrire l'élément correpondant de la courbe sur laquelle il se trouve ; c'est-à-dire la tangente même en ce sommet. Biais , d'après le théorème de Part. 494 ? Ie sommet e tendra aussi à décrire une section conique ayant un élément commun avec la courbe proposée 5 donc (496) il sera facile de déterminer la tangente au point e de la courbe dont il s'agit 5 le tout 1 comme on voit par des constructions purement linéaires.

Cas pour lequel , tous les points fixes étant sur une même droite 1 la courbe décrite par le sommet libre s9 abaisse à un degré moindre.

54 1 . Supposons maintenant que tous les points fixes p 5 p, p\ p", p19 soient situés sur une même ligne droite , les raisonnemens qui précèdent demeureront toujours applicables , sauf ceux qui concernent l'ordre de multiplicité des points p et ptr ; car , non-seulement ces points ne seront plus multiples ^ mais encore ils n'appartiendront plus ^ en général , à la courbe des points e.

SECTION IV. CHAPITRE ffl. 335

En effet , dans ce cas , il arrivera qu'en prenant la direction de ppxr pour celle du dernier côté de du polygone , toutes les directions correspondantes du premier côté ae se confondront en une seule et même droite avec la droite pptr dont il s'agit} d'où il suit qu'il n'y aura plus aucun point d'intersection distinct entre ces diverses droites , ou plutôt que la droite ppxr tout entière fera alors elle-même partie de la courbe , et jouera le rôle des mnqr branches passant, dans le cas général , par p et par pF. Donc aussi la courbe, en faisant abstraction de ces branches toutes confondues en une seule suivant la droite pp™, devra n'être plus que du degré marqué par mnqr; conséquence qui résulte d'ailleurs également de ce qu'alors cette courbe , ainsi décrite , n'est plus rencontrée qu'en mnqr points par une droite quelconque ae.

De ce que les points multiples p et p™ n'existent plus dans le cas où les points fixes des côtés sont en ligne droite , il ne faut pas inférer toutefois que la courbe ne rencontré plus en aucun point la droite ppir qui a cessé d'en faire partie } car , cette courbe étant de degré mnqr , devra encore la couper , en général , en un nombre mnqr de points. C'est ce qu'au reste , la discussion directe apprend très-bien , puisqu'un instant avant et un instant après celui où la droite ae se confond avec ppir, elle renferme encore , en général , mnqr points distincts de la courbe ; ce qui ne peut avoir lieu , à cause de la continuité, qu'autant que, dans la position intermédiaire dont il s'agit , elle n'ait un égal nombre de points sur cette courbe , soit réels , soit imaginaires , etc.

Par exemple , quand toutes les directrices sont des lignes droites , la ligne des sommets e est elle-même une droite (4gS) , laquelle rencontre celle des points fixes p^ jf en un point nécesssairement distinct de l'un ou de l'autre de ceux-ci ; autrement , en effet , cette droite serait déterminée de situation indépendamment de la direction des autres droites données qui dirigent le sommet du. polygone , ce qui est absurde (*)•

(*) Il serait facile de déterminer directement) au moyen du calcul, dans le cas général où les directrices sont de degrés quelconques, les points où la courbe parcourue par le sommet libre rencontre la droite des points fixes , en considérant y ainsi qu'on l'a déjà mit (5oi) pour le cas particulier que nous Tenons de citer, la droite dont il s'agit comme une transversale par rapport à chacun des polygones remplissant les conditions prescrites ; car il en résultera une certaine relation entre les segmens formés par les divers points fixes sur les côtés correspondons. Supposant ensuite que les côtés de ce polygone viennent tous s'appliquer sur la transversale , on obtiendra autant de relations particulières qu'il y a de points à déterminer sur cette transversale) c'est-à-dire mnqr.

336 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

542 • Au surplus 5 on voit que les démonstrations qui précèdent peuvent servir à établir directement la proposition relative au cas particulier (494) où , les points fixes étant quelconques , les directrices sont d'ailleurs des lignes droites : or cette proposition , pour le cas du triangle , conduit immédiatement à la propriété de l'hexagramme mystique de Pascal , et par suite à toute la théorie des pôles et polaires des sections coniques (207), théorie d'où dérive aussi Félégant théorème de M. Brianchon sur l'hexagone circonscrit (208) , etc. ; donc on pourrait partir de là pour établir , à priori , toutes les propriétés qui font le sujet des deux premiers chapitres de la sect. II , et qui n'ont trait qu'à la direction indéfinie des lignes et non à leur mesure.

Pour étendre ensuite ces conséquences à toutes les lignes possibles du second degré , il faudrait nécessairement admettre en principe que « par cinq points, » pris à volonté sur un plan , on ne peut faire passer qu'une seule ligne de » ce degré , » ou , ce qui revient au même , il faudrait admettre que deux telles lignes ne peuvent jamais se rencontrer en plus de quatre points ; principe qui repose lui-même directement sur la loi de continuité , comme on Fa déjà observé (538, note ire.). Déjà aussi nous avons vu (294) qu'à l'aide de ce principe seul , on pouvait établir sur-le-champ toute la théorie des centres et axes d'homologie des sections coniques : telle est donc l'influence que peut exercer l'admission de la loi de continuité dans les recherches géométriques ; influence qui peut très-bien être comparée , ce me semble , à celle qu'y exerce elle-même l'Analyse algébrique , par sa grande généralité.

543. D'après tout ce qui a été dit (54 1) du cas particulier où les points fixes , sur lesquels pivotent les différera côtés d'un polygone variable , sont placés sur une même droite , je pense qu'il ne sera pas difficile de reconnaître les diverses circonstances où le degré de la courbe , parcourue par le sommet libre , s'abaissera d'une ou de plusieurs unités : on voit , par exemple , que cela arrivera toutes les fois que les cotés extrêmes ae et de (Fig. 98) du polygone seront susceptibles de s'appliquer, en même temps , sur la droite pptr qui renferme les points fixes de ces côtés.

Le nombre des directions du côté de , relatives à une même direction quelconque de ae , étant (539) , en général , mnqr , s'il arrive que , pour celle où ae se confond avec pp™, t directions correspondantes de de iy confondent également , ce sera évidemment un signe que le degré de la courbe se sera lui-même abaissé d'un nombre t d'unités; et alors le point ptfr1 et par suite le point p , ne seront plus que des points multiples de l'ordre mnqr — t ;

car ce qui est arrivé au point pvr1 en prenant la droite pjf pour direction du premier côté ae du polygone variable , doit arriver évidemment aussi pour le point p, en prenant cette même droite pour la direction du dernier côté de.

Cas pour lesquels un ou plusieurs des points fixes se trouvent placés sur les directrices adjacentes des sommets du polygone.

544* Supposons maintenant que , dans le cas général de Fart. 539 , le point fixe pt de l'un quelconque ab des côtés du polygone mobile soit pris sur Pune des courbes qui dirigent là extrémités de ce côté, par exemple sur la courbe (n) , le nombre des points de la ligne que parcourt le sommet e , et qui se trouvent placés sur une droite quelconque ae passant par le pôle p , sera toujours imnqr $ savoir : mnqr réunis en un seul au point multiple p , et mnqr à l'intersection de ae et des diverses directions correspondantes du dernier côté de du polygone*

'' Mais, en répétant les raisonnemens déjà établis (53<)) pour le cas général , on verra que tnqr de ces directions appartiennent au point fixe j/, qui , dans le cas actuel, est un des n points d'intersection du côté ab avec la courbe (n) , et peut être pris pour le sommet b du polygone ; donc il en résultera mnqr— mqr = mqr (n — 1) directions relatives aux n — 1 autres points d'intersection de ce côté avec la courbe dont il s'agit : or il est visible que les mqr premières directions sont invariables , quelle que soit d'ailleurs celle qu'on attribue au premier côté ae du polygone ; car , pour toutes , le côté bc du polygone correspondant passe à la fois par les points fixes //, p", et par conséquent ce côté et la portion restante bcde du polygone sont eux-mêmes fixes. Donc mqr branches de la courbe (e) sont devenues des lignes droites passant par le point pir, desquelles d'ailleurs qr sont seulement distinctes entre elles , à cause que chacune d'elles correspond à la fois aux m intersections du premier côté ae et de la courbe am , et représente ainsi véritablement m droites confondues en une seule.

Il suit de là évidemment et de ce qui précède que , si l'on fait abstraction des mqr branches linéaires dont il s'agit , le nombre des points effectifs de la courbe (e) , qui seront situés sur une direction quelconque du premier côté ae du polygone, sera égal à mnqr-{-mqr(n — 1) = mqr (un — 1) 5 tel sera donc aussi le degré effectif de la courbe dont il s'agit, en ne tenant pas compte des branches qui sont devenues des lignes droites.

338 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

Quant à Tordre de multiplicité dés points p et /?,Y, on voit qu'il est encore mnqr pour le premier et seulement mnqr — mqr=ztnqr(n — 1) pour le second, toujours en faisant abstraction des mqr autres branches linéaires de la courbe qui passent par ce dernier point.

545. On pourrait encore y avec Bràikenridge et Mnc-Laurin , démontrer les mêmes choses par une marche analogue à celle déjà mise en usage cidessus (538) , en recherchant en combien de points la courbe des points e rencontre une droite arbitraire AB tracée sur son plan ; car, en contraignant le sommet e du polygone' à pârèourir cette droite, le sommet b qui correspondait à la courbe (n), devenu libre j parcourra, d'après le théorème de Fart* 538 déjà cité , une courbe du degré imqr qui aura (53p) mqr bran±ches passant par le point fixe ff, et rencontrera par conséquent là courbe (n), en faisant abstraction des points qui se confondent avec//, ep imnqr — mqr = mqr (zn — 1) pointe 5 tel est par conséquent aussi le nombre des points d'intersection distincts de la courbe (e) et dé la droite ÀB, o& le degré de cette même courbé dans te cas qui nous occupe.

Si tous lés 'foiM 'fiiéa 7^ *ffiJl.-:fatem 'placés <èh ^ta*e sUr une même ligne "droite , le degré de la courbe serait encore mn<jr , comme dans le cas général où le point 7/ est quelconque , parce qu'àloft la coui*be parcourue par le sommet b , quaùd où contraint le sommet Gbrè e à s'appuyer sër la droite AB , cèsàerait de passer par pf (54*)} et rencontrerait par conséquent la courbe (n) en mnqr points , en gétiéral distincts* C est aussi ce qu'on peut voir, à priori, au moyen du raisonnement employé en premier lieu (544)*

Néanmoins on ne salirait conclure ^ dans le cas actuel, comme dans celui (54i) où le point pf était indépendant dé la directrice (n), que la côùrbe décrite par le dernier àommet e dû polygone ne 'passé pas par le .point fixe p du premier coté*} il Serait au contraire facile de prouver qu'elle a ebéôrê m^r branches passant par ce point ^ dont les tangentes s'obtiendràiéùt en conduisant des lignes droites par le point p et pat» les m points tf intersection de la tangente en pf avec la courbe (m) du sommet a. On -remarquera d'ailleurs que cette Construction toe donnant que m tangéûtes potir les m^r branches passant par />, une même tangente appartient nécessairement à qr branches ' distinctes 5 en sorte que toutes ces branches se touchent entre elles au point p , en les prenant m par m.

546. Mais revenons au cas général de Fart. 544 1 ^ans lequel les points fixes qui servent de pôles aux côtés du polygone rie sont pas placés en ligné

SECTION IV, CHAPITRE III. 33g

droite , et supposons que le point p\ pris sur la directrice (n) , au lieu d'être un point simple comme cela a été admis dans ce qui précède , soit un point multiple de Tordre k. D'après le raisonnement déjà employé ci-dessus (545) , il sera facile de prouver qu'il existera kmqr branches linéaires de la courbe (e) passant toutes par le point fixe p; de sorte qu'en en faisant abstraction, le degré de cette courbe sera simplement 2mnqr — kmqr = mqr (2n — A), au lieu de mqr (211 — 1), comme cela a lieu pour le cas particulier où le point jf est un point simple de la courbe (ri).

Il est visible d'ailleurs que Tordre de multiplicité du point p est toujours mnqr^ tandis que celui du point p™ n'est plus que mnqr — kmqr =? mqr (n — A).

Si plusieurs des points fixes /*, />'••• étaient placés à la fois sur les courbes qui leur correspondent respectivement; si même deux de ces points adjacens, par les côtés sur lesquels ils se trouvent , à une même courbe ou directrice , étaient à la fois placés sur cette courbe , on obtiendrait , en suivant la même inarche , et le degré de la courbe que décrit le sommet libre du polygone , en faisant abstraction de toutes ses branches devenues des lignes droites, et Tordre de multiplicité des points fixes extrêmes du polygone.

Enfin ? si tous les points fixes ou seulement une partie de ces points se trouvaient à la fois en ligne droite avec les deux extrêmes p, plr1 il faudrait, de plus, avoir égard aux obseryatipnf djéjà faites , ci-dessus (545) ; au moyen de quoi il serait toujours facile de résoudre les questions qui viennent de nous occuper, et dont plusieurs , relatives au cas particulier du triangle , ont été traitées fort au long, par Braikenridge , dans l'ouvrage déjà souvent cité.

Cas pour lequel toutes les directrices du polygone variable se trouvent

remplacées par une directrice unique.

547- Je crois inutile d'entrer dans plus de d^ails relativement aux différens cas qui nous ont occupés dans ce qui précède, et je vais passer de suite à celui où Ton remplace , k la fois , toutes les directrices des sommets du po^ lygone par une même courbe géométrique d'un ordre quelconque.

Soit abcde (Fig.gg) un polygone plan quelconque dont les differens sommets y un seul e excepté qui, reste libre, sf appuient constamment sur une courbe géométrique d*un ordre quelconque m, tandis qvç ses côtés successifs ae, ab, bc, cd, de sont atfrewts à pivoter respectivement sur les points fixes, p, p', p", p'", p* : je dis que le Sommet libre e dfi polygone

34o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

parcourra lui-même, dans le mouvement général du système, les differens points d'une courbe du degré 2m (m — 1)0~* , (n étant le nombre des points fixes ou des côtés du polygone), laquelle se réduira simplement à une courbe du degré m (m — 1) n~*, quand tous ces points seront placés sur une seule ligne droite.

Tout consistant à prouver (53p) qu'il n'existe, en général, qu'un pareil nombre de points de cette courbe, situés sur la direction du côté ae adjacent au sommet libre du polygone , j'observe qu'en prenant arbitrairement cette direction , il en résultera , en général , m sommets correspondais a sur la courbe donnée ; menant donc, par le pôle suivant p* et par chacun de ces sommets , une ligne droite ab, elle ira rencontrer, de nouveau, la courbe donnée en m — 1 points 6, qui pourront être pris pour les troisièmes sommets d'autant de polygones correspondais à la même direction ae du premier côté ; donc les points ou sommets b ainsi obtenus seront, en tout, au nombre de m (m — 1).

En continuant à opérer ainsi , de proche en proche , et n étant le nombre total des côtés du polygone, on voit qu'on obtiendra enfin m (m — 1)*"* sommets d sur la courbe donnée, et par conséquent un égal nombre de directions du dernier côté de et de sommets e correspondais à la direction choisie pour le premier côté ae du polygone.

On peut d'ailleurs s'assurer, par un raisonnement tout- à -fait analogue à celui déjà employé plus haut (53g), qu'il passe, en général, m (m — î)11"* branches de la courbe inconnue par chacun des points fixes extrêmes p et/?", et non davantage ; donc il existe, en tout, 2m (m — 1) ""• points de cette courbe sur une même direction ae, lesquels d'ailleurs peuvent être réels , imaginaires, etc. 5 et partant tel est aussi, en général, le degré de la courbe que parcourt le sommet e du polygone dans les diverses positions qu'il peut prendre.

548. D'après tout ce qui a déjà été dit (54<>et54i) pour le cas général où les directrices des sommets du polygone sont quelconques , je crois inutile de m'étendre sur les moyens de construire , soit la tangente en un point quelconque e de la courbe que décrit le sommet libre du polygone , soit les tàngeùtes aux diverses branches de cette courbe qui passent par les points fixes p eljF. Quant aux cas particuliers où. plusieurs des points fixes se trouveraient à la fois sur la droite qui renferme les points extrêmes petp*, ou sur la courbe unique qui dirige les sommets du polygone , on ne saurait éprouver' plus de difficultés , attendu que les raisonnemens août absolument les mêmes que pour le cas général cité. \ .

SECTION IV. CHAPITRE ffl. 34 1

Ainsi , par exemple , que tous les points fixes soient places sur une seule droite pp", il paraîtra évident (54 1) que m (m — i)*"* branches de la courbe, décrite par le sommet e , deviendront des lignes droites , confondues en une seule avec celle dont il s'agit ? et que par conséquent le degré de cette courbe se réduira simplement à m (m — î)*"*.

Pareillement encore , supposons que , dans le cas où les points fixes sont quelconques, Pun d'eux, p', soit placé sur la courbe qui dirige les sommets du polygone 5 il est facile de voir que ce point pourra être pris pour le sommet b du polygone , lorsqu'on se donne la direction de oe, ou pour le sommet a , lorsqu'on se donne celle de de , ce qui n'a pas lieu pour le cas où (544) les directrices de ces sommets sont indépendantes entre elles : or, il résulte de là, et des raisonnemens de l'endroit" cité , que non-seulement m (m— 1)*""3 branches passant par p" deviennent des droites , mais qu'il en est ainsi encore pour Fautre point fixe p; la courbe se réduit donc alors au degré 2m (m — 1) *"■ — 2m(m — i)n^ = 2m(m — a) (m — î)"*"3.

Enfin si , revenant au cas général où les points fixes sont quelconques , on suppose qu'une partie seulement des sommets du polygone s'appuient sur une même courbe , tandis que les directrices qui appartiennent aux autres sont indépendantes entre elles , on prouvera sans peine , au moyen des considérations qui précèdent , que le théorème de Part. 538 aura encore lieu , pourvu qu'on remplace le degré de chacune des directrices des différais sommets , qui appartiennent actuellement à une même courbe , par le degré de cette courbe -diminué d'une unité ; si ce n'est toutefois pour la directrice du premier de ces sommets , qui devra conserver le degré même qui lui est propre.

549* Pour compléter le sujet qui nous occupe , il nous resterait à examiner la nature de la courbe sur laquelle roule le dernier côté , supposé libre , ou les diagonales d'un polygone d'ailleurs assujetti k des conditions analogues à celles admises dans ce qui précède. Nous aurions aussi à examiner ce qui arrive dans le cas beaucoup plus général où les directrices des sommets du polygogne étant toujours quelconques , les côtés rouleraient sur des courbes cte degrés donnés , au lieu de pivoter simplement sur des points fixes. A cet effet , nous établirions d'abord les trois principes généraux qui suivent :

i°. € D'un point donné à volonté, sur le plan d'une courbe géométrique » du degré m, on peut mener, en général et au plus, m (m — 1) tangentes à cette courbe. »

2°. € Le degré d'une courbe géométrique donnée sur le plan d'une section

34a. PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

» conique arbitraire étant m , celui de sa polaire réciproque (232 et suiv.) est

» en général et au plus m (m — 1).

3°. « Deux courbes géométriques , Tune du degré m, l'autre du degré /?, » étant tracées sur un même plan , le nombre des tangentes qui leur sont » communes est, en général et au plus, mn(m — i)(n — i). »

De ces trois principes (*) , le premier a sa démonstration dans la loi de continuité ; le second dérive immédiatement du premier (a34) } le troisième résulte du second et du principe qui a été cité (538) combiné avec la théorie des polaires réciproques ; ce dont on a déjà vu un exemple particulier, art. 4°°? à l'occasion des courbes du deuxième degré.

Mais il est aisé de pressentir , au simple énoncé de ces principes , que les résultats auxquels on parviendrait , quant au degré des courbes parcourues , seraient nécessairement fort compliqués et n'offriraient ainsi qu'un bien faible intérêt. C'est pourquoi , au lieu de nous engager dans ces nouvelles recherches , nous allons terminer en montrant , d'une manière succincte , comment , de ce qui précède, on peut passer de suite au cas où certains angles des polygones que l'on considère sont constans , quoique mobiles autour de leurs sommets ; ce qui embrassera naturellement les principaux résultats énoncés par Mac-Laurin^ dans le N°. , déjà cité (538, note 2e.) , des Transactions philosophiques.

Cas où certains sommets du polygone restent fixes , en même temps que leurs angles mobiles conservent une ouverture constante.

55o. Commençons par ne considérer qu'un seul angle ACB (Fig« îoo) , mobile autour de son sommet C , dans le plan d'une figure quelconque } traçons , de ce sommet comme centre , une circonférence de cercle d'un rayon d'ailleurs arbitraire ; menons-y une tangente quelconque ad terminée aux deux côtés de l'angle ACB, considéré dans une de ses positions autour du centre C; achevons, à volonté, l'hexagone circonscrit abppïcd; les diagonales qui joignent les sommets opposés de cet hexagone viendront se couper en un .même point e (208).

Cela posé, si, laissant fixes les cinq premiers côtés oè, bp1 pjf,pc, cd de cet hexagone, et par conséquent aussi la diagonale, bc, on contraint le

(*) Nous avons démontré ces principes dans un article inséré à lapag. ao8 du tome Vm de* Annales de Mathématiques.

SECTION IV. CHAPITRE ffl. 343

sixième coté ad a se mouvoir entre ceux qui lui sont adjacens , de façon que le croisement e des diagonales dp', pd qui lui appartiennent soit sur la troisième diagonale bc qui reste fixe , le coté ad, dont il s'agit , roulera perpétuellement *sur le cercle proposé. Or il suit de là (462) que l'angle au centre ACB3 qui répond à ce côté , demeurera invariable de grandeur en occupant successivement toutes les positions possibles autour du point C ; donc le mouvement d'un angle constant quelconque, qui tourne autour de son sommet considéré comme point fixe ou pôle , peut être remplacé par celui de l'angle aCd d'un quadrilatère aCdea dont le sommet C, appartenant à cet angle , est fixe , tandis que les trois autres s'appuient respectivement sur les droites ab ^bc^cd données de position , et que , d'ailleurs , les côtés ae et de, non adjacens à cet angle , pivotent sur les points fixes p' etp^ également donnés de position sur le plan de la figure.

Supposons maintenant que l'angle constant ACB, mobile autour de son sommet C , fasse partie de ceux d'un polygone variable dont les sommets À et B, adjacens à cet angle , soient astreints à parcourir des lignes courbes quelconques} il est clair, d'après ce qui précède , que le mouvement des côtés de cet angle , et par conséquent celui des sommets A et B sur les courbes dont il s'agit , pourra être exactement remplacé par le mouvement de la portion de polygone AaedB dont les quatre côtés Ka , ae , ed , dB pivotent respectivement sur les points fixes C , p/, p, C , et dont les sommets intermédiaires a,e, d sont astreints à décrire les droites données ab , bc, cd.

Par conséquent , si le polygone variable que l'ob considère possède un nombre quelconque d'angles constans , mobiles autour de leurs sommets , et dont les côtes s'appuient , par leurs extrémités respectives, sur des courbes de degrés quelconques , on pourra le remplacer par un autre polygone , dans le*quel tous les côtés pivoteront sur des points fixes et dont tous les sommets , à l'exception du sommet libre , s'appuieront sur des directrices données 5 les unes courbes et qui appartiennent à l'ancien polygone , les autres droites et qui y auront été introduites par les opérations qui . précèdent. Donc on pourra toujours déterminer le degré de la courbe que décrit , dans son mouvement , le sommet libre , au moyen des principes posés dans ce qui précède ; et l'on voit que ce degré ne dépendra absolument que du degré des directrices du polygone primitif, puisque toutes celles qu'on y aura introduites subsidiairement seront des lignes droites. Par exemple , on pourra énoncer, entre autres ^ ce théorème général (538) :

344 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

*Sï Ton suppose que tous les angles , de rang pair , d'un polygone varviable qui a lui-même un nombre pair de côtés , soient constans et se meuvent autour de leurs sommets respectifs considérés comme pôles > tandis que tous les sommets de rang impair , un seul excepté , soient astreints à demeurer sur des lignes courbes de degré m, n, p... , prises pour directrices; le sommet libre décrira lui-même une courbe de degré amnp..., et qui passera vmp... fois par chacun des sommets fixes qui lui sont adjacens dans le polygone.

55 1 . Ainsi , quand toutes les directrices seront des lignes droites , la courbe décrite par le sommet libre du polygone sera simplement une section conique , comme cela a lieu (494) P0111* k cas °ù *°us les côtés (lu polygone pivotent sur des points fixes et où tous les angles sont variables. Quel que soit d'ailleurs le degré des diverses directrices , on voit que celui de la courbe du sommet libre s'abaissera d'autant d'unités (543) que les côtés extrêmes , adjacens à ce sommet , seront de fois susceptibles de s'appliquer ensemble sur la direction de la droite qui renferme les deux points fixes ou pôles auxquels appartiennent ces mêmes côtés.

Au surplus , ces divers théorèmes et tous ceux auxquels est parvenu Mao- Laurin , tant dans l'endroit déjà cité (549) <Iue ^aDS ^ Géométrie organique , pourraient s'établir directement, soit au moyen du principe de Fart. 47^ dû à Newton et qui est un cas particulier de celui qui précède , soit plus généralement en s'appuyant sur les considérations qui viennent d'être mises en usage dans le présent chapitre , lesquelles ne reposent absolument que sur Pemploi du principe de continuité et sur quelques notions qui se rapportent à la Géométrie de situation. Ces théorèmes une fois établis , on en déduirait ensuite aisément ceux qui leur sont analogues et ou il n'est point question d'angles constans , en supposant ces angles nuls ou égaux à deux droits ; et c'est ainsi qu'en a agi Mac-Laurin pour arriver à quelques-uns de ces théorèmes , dont la découverte , avons-nous dit (ao4 et 494) ^ lui a été contestée par Braikenridge.

Gomme notre objet n'est point le même que celui de ces géomètres , puisque nous n'avons pas prétendu faire un Traité sur la description des lignes courbes, nous croyons ce qui précède plus que suffisant pour donner une idée des méthodes qu'ils ont employées , et mettre le lecteur sur la voie de découvrir, dans le besoin , beaucoup de théorèmes qui peuvent leur être échappés.

Inscription et circonscription d'un polygone à des polygones donnés.

552. Conformément à ce qui a été annoncé (537), nous aUons terminer ces recherches par quelques applications des diverses propriétés établies dans le précédent chapitre , applications dont% pour la plupart, nous avons déjà énoncé les résultats , sans démonstration , dans un article qui a été inséré à la pag. 141 du tom. VIII des Annales de Mathématiques.

On voit d'abord que rien n'est plus facile que de résoudre la question suivante :

A un polygone , donné à volonté sur un plan 1 inscrire un nouveau polygone gui soit en même temps circonscrit à un troisième ; dest-à-cUre tracer un polygone dont les sommets s9 appuient respectivement sur les côtés du premier , et dont les côtés passent respectivement par les sommets du second.

Supposons , en effet , qu'on rende libre l'un quelconque des sommets du polygone cherché , en faisant , pour un instant , abstraction de la droite donnée sur laquelle il doit se trouver } ce sommet décrira une section conique (494) j rencontrant généralement la droite dont il s'agit en deux points , qu'il 'sera aisé de construire (344) en déterminant seulement trois points de la courbe, ou trois pondons quelconques du sommet libre , outre les deux pôles ou points fixes adjacens à ce sommet , qui appartiennent également (494) h cette courbe. Ayant ainsi la position de l'un des sommets du polygone cherché , on obtiendra successivement , et de proche en proche , celle de tous les autres par des constructions purement linéaires.

Le principe de Fart. 5oa conduirait également à des constructions faciles à exécuter.

553. Ce problème a déjà occupé plusieurs géomètres distingués, notamment MM. Servois, Gergonne et Simon Lhuilier, qui en ont offert des solutions plus ou moins élégantes, qu'on trouve insérées dans le IIe. volume des Annales de Mathématiques; celle que nous venons d'offrir est conforme à la solution donnée par M. Servois à la pag. 116 du même volume. On voit qu'elle s'exécutera avec la règle seulement dans les deux cas suivans :

i°. « Quand les points donnés ou les sommets du deuxième polygone donné, par lesquels doivent passer les cotés du polygone qu'on cherche , seront situés sur une seule et même ligne droite (49^)* »

En supposant d'ailleurs que la droite qui contient tous ces points passe à

346 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

l'infini, la solution reviendra à celle qui a été donnée, par M. Gergonne, à la

page a85 du tome II du recueil cité.

20. « Quand les côtés du polygone donné , auquel doit être inscrit celui qu'on cherche , iront tous concourir en un même point (5o5). »

H est évident que, dans ces divers cas, plusieurs des droites ou des points donnés peuvent se confondre en une seule et même droite ou en un seul et même point , sans que le nombre des sommets du polygone cherché diminue , et sans que la solution cesse de rester la même (5og).

554 • Dans ce qui précède , nous n'avons point eu égard à Pordre particulier dans lequel se succèdent les sommets et les côtés du polygone inconnu , relativement à la disposition des droites et des points donnés sur lesquels ils doivent s'appuyer respectivement. Or il est évident que chacun des arrangemens possibles et difTérens , soit de ces sommets , soit de ces côtés , par rapport aux droites et aux points donnés , conduira à un problème particulier, tout-à-fait distinct des autres , et dont la solution devra proprement appartenir à la Géométrie ordinaire.

La question qui nous occupe, prise dans toute sa généralité, se partage donc en deux autres qu'il est essentiel de ne pas confondre : l'une appartenante à la Géométrie de situation , et l'autre , dépendante simplement de la Géométrie ordinaire , que nous venons déjà de résoudre. Celle qui est entièrement relative à la Géométrie de situation se divise elle-même évidemment en deux questions essentiellement distinctes : l'une qui consiste à rechercher

Quel est le nombre de polygones réellement différens , quant à la succession des côtés , qu'il est possible de former en assujettissant ces mêmes côtés à passer respectivement par un nombre m de points donnés.

Et l'autre où l'on se propose de trouver

Quel est le nombre des polygones réellement différens , quant à la succession des sommets , qu9il est possible de former en assujettissant ces mêmes sommets, un seul excepté, à s9 appuyer respectivement sur m — 1 droites données.

Or il est aisé de voir que le nombre des premiers polygones est, en général ,

Quant à la manière de les former y onf appellera a, b , c , d, ....fies points

par OÙ doivent passer les divers côtés du nolvimné. «t Ton simnnspra mip

ces mêmes lettres appartiennent aussi aux côtés correspondais } puis on placera arbitrairement trois de ces lettres, celles a1 b, c par exemple, sur le périmètre d'un premier cercle ; lç nombre des divers arrangemens de ces trois lettres ne saurait évidemment surpasser un, parce qu'ici on peut les lire indifféremment de droite à gauche ou de gauche à droite.

Pour passer de ce premier cas à celui où il y a quatre lettres a, b , c, d1 il faudra intercaler la lettre d successivement entre deux des trois premières , ce qui ne donnera évidemment que trois arrangemens possibles et réellement différens , qu'il faudra écrire séparément sur trois nouvelles circonférences , afin de ne point lés confondre entre eux*

On trouvera pareillement les arrangemens qui correspondent à une cinquième lettre e, introduite parmi les autres, en l'intercalant, pour chacune des circonférences dont il vient d'être question , entre deux lettres consécutives des arrangemens de quatre lettres qu'elles représentent séparément : on obtient ainsi quatre arrangemens possibles de cinq lettres , pour chacune de ces circonférences \ d'6ù il suit que le nombre total de ces divers arrangemens est 3*4 = ia. Pour les distinguer les uns des autres, on poivra les écrire, à leur tour, sur autant de circonférences' particulières.

En continuant ainsi, de proche en proche, on parviendra enfin à obtenir tous les arrangemens possibles et différens qui correspondent aux m points donnés ; et l'on voit que leur nombre sera égal en général à 3*4*5... • (m — 1) , ainsi que nous l'avions annoncé.

Rien n'est plus facile que de concevoir l'usage qu'on pourra faire de cette espèce de tableau artificiel. Supposons, par exemple, que l'on considère, en particulier, un arrangement abcd....f; en se reportant à la figure du problème, cela signifiera qu'en faisant passer par a le premier côté du polygone à construire , le second devra passer par b , le troisième par c , le quatrième par d, et ainsi de suite, et enfin le dernier par/.

555. Pour résoudre la seconde question , prenons , à volonté r l'un des polygones particuliers ainsi obtenus, qui diffère de tous les autres quant à l'arrangement des côtés relativement aux points donnés , par exemple celui abcd....f que nous venons de considérer en dernier lien. Prolongeons son premier côté a jusqu'à sa rencontre avec les m — 1 droites données, il en résultera m— 1 points distincts qu'on pourra prendre pour les deuxièmes sommets d'autant de polygones différens $ faisant donc passer le second côté b par chacun de ces sommets, et prolongeant, à son tour, ce côté jusqu'à sa rencontre avec

l'infini, la solution reviendra à celle qui a été donnée , par M. Gergonne, à la

page 285 du tome II du recueil cité.

20. « Quand les côtés du polygone donné , auquel doit être inscrit celui qu'on cherche , iront tous concourir en un même point (5o5). »

Il est évident que , dans ces divers cas , plusieurs des droites ou des points donnés peuvent se confondre en une seule et même droite ou en un seul et même point , sans que le nombre des sommets du polygone cherché diminue , et sans que la solution cesse de rester la même (5og).

554* Dans ce qui précède , nous n'avons point eu égard à Fordre particulier dans lequel se succèdent les sommets et les côtés du polygone inconnu , relativement à la disposition des droites et des points donnés sur lesquels ils doivent s'appuyer respectivement. Or il est évident que chacun des arrangemens possibles et différera , soit de ces sommets , soit de ces côtés , par rapport aux droites et aux points donnés , conduira à un problème particulier, tout-à-fait distinct des autres , et dont la solution devra proprement appartenir à la Géométrie ordinaire.

Quel est le nombre des polygones réellement différens, quant à la succession des sommets , qu'il est possible de former en assujettissant ces mêmes sommets, un seul excepté, à s' appuyer respectivement sur m — 1 droites données.

Or il est aisé de voir que le nombre des premiers polygones est, en général ,

Quant à la manière de les former, on; appellera a, è, c, d, ....fies points par où doivent passer les divers côtés du polygone, et Ton supposera que

ces mêmes lettres appartiennent aussi aux côtés correspondais ; puis on placera arbitrairement trois de ces lettres, celles a, è, c par exemple, sur le périmètre d'un premier cercle ; le nombre des divers arrangemens de ces trois lettres ne saurait évidemment surpasser un , parce qu'ici on peut les lire indifféremment de droite à gauche ou de gauche à droite.

Pour passer de ce premier cas à celui où il y a quatre lettres a, b , c, d1 il faudra intercaler la lettre d successivement entre deux des trois premières , oe qui ne donnera évidemment que trois arrangemens possibles et réellement différais , qu'il faudra écrire séparément sur trois nouvelles circonférences 9 afin de ne point lés confondre entre eux.

On trouvera pareillement les arrangemens qui correspondent à une cinquième lettre e, introduite parmi les autres, en l'intercalant, pour chacune des circonférences dont il vient d'être question , entre deux lettres consécutives des arrangemens de quatre lettres qu'elles représentent séparément : on obtient ainsi quatre arrangemens possibles de cinq lettres , pour chacune de ces circonférences \ d'où il suit que le nombre total de ces divers arrangemens est 3*4 = ia« Pour les distinguer les uns des autres, on pourra les écrire, à leur tour , sur autant de circonférences particulières.

En continuant ainsi , de proche en proche , on parviendra enfin à obtenir tous les arrangemens possibles et différens qui correspondent aux m points donnés $ et Ton voit que leur nombre sera égal en général à 3.4*5... . (m — î) , ainsi que nous l'avions annoncé.

Rien n'est plus facile que de concevoir l'usage qu'on pourra faire de cette espèce de tableau artificiel. Supposons , par exemple , que Ton considère , en particulier, un arrangement abcd....f; en se reportant à la figure du problème, cela signifiera qu'en faisant passer par a le premier côté du polygone à construire , le second devra passer par b , le troisième par c , le quatrième par d, et ainsi de suite, et enfin le dernier par./!

555. Pour résoudre la seconde question , prenons , à volonté , l'un des polygones particuliers ainsi obtenus, qui diffère de tous les autres quant à l'arrangement des côtés relativement aux points donnés , par exemple celui abcd....f que nous venons de considérer en dernier lieu. Prolongeons son premier côté a jusqu'à sa rencontre avec les m — t droites données, il en résultera m- — î points distincts qu'on pourra prendre pour les deuxièmes sommets d'autant de polygones différens $ faisant donc passer le second côté b par chacun de ces sommets, et prolongeant, à son tour, ce côté jusqu'à sa rencontre avec

348 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

lès m— a droites données restantes, et qui ne contiennent pas le deuxième sommet appartenant déjà à ce côté, il en résultera m — a points distincts qu'on pourra prendre pour les troisièmes sommets de chacun des polygones difiërens qui correspondent aux m — 1 deuxièmes sommets déjà trouvés } c'est-à-dire qu'on aura , en tout , (m — 1) (m — a) troisièmes sommets pouvant appartenir à un égal nombre de polygones essentiellement difiërens.

Traçons , de nouveau , chacun des troisièmes côtés c qui correspondent aux; (m — 1) (m — a) troisièmes sommets trouvés , et prolongeons -le également jusqu'à sa rencontre avec les m — 3 droites données , qui ne renferment ni le troisième , ni le deuxième sommet d'où il provient } il en résultera , pour ce troisième côté c, m — 3 points qu'on pourra prendre pour les quatrièmes sommets de chacun des polygones differens qui correspondent aux (m — î) (m — a) troisièmes sommets déjà trouvés j c'est-à-dire en tout (m — î) (m — a) (m — 3) quatrièmes sommets appartenans à un égal nombre de polygones essentiellement differens.

En continuant ainsi , de proche en proche , jusqu'au dernier côté f, on trouvera évidemment que le nombre des polygones essentiellement differens qu'on peut former , pour un même arrangement abcd...f des côtés relativement aux droites données , est égal à

Il suit de là que le nombre total des polygones essentiellement differens que l'on peut former, relativement à l'ordre particulier de succession des sommets et des côtés par rapport aux droites et aux points donnés, est, en tout (554) ?

Mais , d'après ce qui précède , pour un ordre quelconque de succession des côtés et des sommets par rapport aux droites et aux points donnés , le problème de l'art. 55a a , en général , deux solutions distinctes ; donc le nombre total des solutions effectives de ce problème , pris avec toute l'extension qui lui est propre, est en général i.a\3\ ..{m — 1)\

556. Si l'on admettait qu'une même droite donnée put renfermer plusieurs sommets du polygone , et que le nombre de ces droites fut d'ailleurs rc , on trouverait , par le raisonnement qui précède , que le nombre des polygones essentiellement differens , qui ont leurs sommets sur ces droites et qui répan-

dent à un même ordre de succession des points donnés, est égal à n (n — i)m"1 } le nombre des solutions effectives du problème serait donc alors

\.2. 3.... (m — 1)72(71 — i)mM :

nombre qui se réduira à la moitié toutes les fois (553) que les points donnés seront sur une même droite , ou que les droites données convergeront en un même point. C'est ce qui aura lieu , en particulier (509) , quand n sera égal à 2 7 ou que le polygone devra être inscrit dans un angle donné 5 ainsi le nombre des solutions effectives du problème sera alors simplement î.a. 3. •• (771 — 1).

Inscription aux sections coniques de polygones dont les côtés passent

par des points donnés.

557. Les considérations précédentes , qui sont entièrement analogues à celles mises en usages art. 547 ? s'appliquent également au cas où l'on remplace les droites données par une section conique quelconque , mais alors il ne peut plus être question que de l'ordre de succession des côtés par rapport aux points proposés , lequel donne évidemment toujours lieu (554) à 3. 4.... (jn — 1) polygones différens et distincts. Si l'on ne considère , en particulier, qu'un seul de ces polygones , la partie purement géométrique du problème relatif au cas dont il s'agit , pourra s'énoncer ainsi qu'il suit :

A une section conique donnée et décrite sur un plan , inscrire un polygone de m sommets , dont les côtés , prolongés s'il le faut , passent respectivement j et dans un ordre assigné 1 par autant de points donnés arbitrairement sur un plan F

Ce problème est célèbre et a exercé la sagacité d'un grand nombre de sa vans géomètres : Pappus le résout , dans ses Collections mathématiques , pour le cas particulier du cercle et du triangle, lorsqu'on suppose les trois points donnés en ligne droite. Cramer ayant proposé depuis le problème de Pappus à Castillon, en étendant l'énoncé au cas où les trois points sont quelconques, ce dernier en donna une solution fort compliquée, qui se trouve imprimée dans les Mémoires de V Académie de Berlin, pour 1 776 , et qui n'a guères d'autre mérite que celui d'avoir été obtenue par l'Analyse géométrique des Grecs. La grange en donna , peu après , unç autre solution très-belle , mais purement algébrique, qui est insérée dans le même volume , et qu'on retrouve dans ta Géométrie de position , simplifiée et étendue au cas où Ton demanderait

35o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

d'inscrire au cercle un polygone d'un nombre quelconque de côtés , passant par un égal nombre de points donnés. Le cas particulier <iu triangle a encore occupé Euler et ses disciples Fuss et Lexell (*).

Giordano di OUcuano, jeune napolitain, fut le premier qui trouva une solution géométrique et ample du cas général de l'inscription au cercle d'un polygone quelconque; mais, quoique fort élégante , elle exige l'emploi dn compas et une suite d'opérations qui , même pour le cas particulier du triangle , sont encore assez compliquées. Mcdfatti parvint, peu de temps après, à la même solution , en partant de principes analogues et , à ce qu'il paraît , sans avoir eu connaissance des résultats de Giordano : les recherches de ces deux géomètres se trouvent imprimées dans le IVe. volume des Mémoires de la Société italienne, et ont été reproduites depuis par S. Lhuilier, dans ses Elémens d Analyse géométrique et d Analyse algébrique , S *4&

Enfin ce problème a aussi occupé M. Brianchon , pour le cas où, les points donnés étant sur une même droite , on substitue au cercle une section conique quelconque. Sa solution , qui est entièrement basée sur le principe de l'art. 522 , se trouve imprimée dans le Xe. cahier du Journal de P Ecole Polytechnique , parmi d'autres recherches intéressantes qui, pour la plupart, ont déjà été signalées dans le cours de cet ouvrage»

Les solutions que nous allons ofirir et que nous avobs énoncées, sans démonstration , dans un article inséré à la pag. 147 dû tom. VIII des Annales de Mathématiques , paraîtront sur-tout dignes de remarque en ce que , s'appliquant à une section conique en général , elles n'exigent que l'emploi de constructions linéaires fort simples , même pour le cas de l'inscription à la courbe d'un polygone d'un nombre quelconque de cotés.

558. La question se réduit évidemment à assigner Fun des sommets du polygone demandé , attendu que, ce sommet une fois déterminé, la solution s'achève, avec la règle seulement, de la manière la plus ample, soit que d'ailleurs la courbe soit entièrement décrite ou seulement donnée (20$) par cinq points quelconques de son périmètre.

Supposons donc qu'on inscrive à volonté , à la section conique , une portion de polygone dont les côtés, en nombre égal k celui des points donnés, passent respectivement , et dans Tordre assigné , par ces points. Soient a et A la première et la dernière extrémité de cette portion de polygone 5 s'il arrive

(*) IVe, Volume des Nouveaux Mémoires dft Pétewbourg.

SECTION IV. CHAPITRE m. 35 1

que a et h se confondent , et que ak touche par conséquent la section conique , c'est-à-dire si la portion de polygone se ferme d'elle-même sur la courbe , le polygone ainsi obtenu sera évidemment un de ceux que Ton cherche.

Si au contraire , comme il arrive en général , les extrémités a et A ne se confondent pas , en les joignant par une droite ak , et faisant varier la portion de polygone correspondante, de toutes les manières possibles, d'après les mêmes conditions , cette droite roulera en enveloppant dans ses diverses positions (5 1 o) une même section conique doublement tangente à la proposée. Or, la question qui nous occupe revenant à chercher la position de la corde ak pour laquelle cette corde est nulle ou tangente à la courbe proposée , et cette circonstance ne pouvant avoir lieu évidemment que pour les seuls points de contact de la section conique qu'elle enveloppe avec celle dont il s'agit , on voit que tout consiste simplement à déterminer ces deux points de contact ou la sécante qui leur appartient ; car , en prenant ensuite l'un quelconque de ces points pour la première ou la dernière extrémité d'une portion de polygone correspondante, il arrivera nécessairement que cette portion de polygone se fermera d'elle-même sur la courbe proposée.

La question à laquelle se réduit , en dernière analyse , celle qui nous occupe se trouve résolue tout entière dans le précédent chapitre (5ioet5n), et sa solution est , comme on l'a vu , assez simple et n'exige que des constructions purement linéaires ; mais , comme cette solution est indirecte et manque de symétrie , il ne sera pas hors de propos de faire voir qu'on peut la remplacer par une autre beaucoup plus élégante.

559. En effet, pour obtenir la sécante de contact de la section conique proposée avec celle qu'enveloppe la corde ak dans toutes ses positions , on, peut aussi se servir du procédé général indiqué art. 4^4 9 qu* ex*ge simplement que l'on connaisse trois positions quelconques et distinctes de ak 1 lesquelles sont ici faciles à obtenir. Cela posé , tout consistera , comme on le voit , à inscrire , à la courbe proposée , un hexagone dont ces trois cordes soient précisément les diagonales joignant les sommets opposés ) car , d'après ce qui a été dit à l'endroit cité , la droite qui renfermera les points de concours des côtés opposés de cet hexagone sera précisément la sécante de contact demandée.

Comme cette construction donne lieu & quatre hexagones et à quatre sécantes de contact répondantes k autant de sections coniques doublement tangentes à la proposée , il est bon de remarquer qu'il n'y a qu'une seule de ces solutions qui doive appartenir & la question qui nous occupe, attendu

35a PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

que la corde ak ne peut également envelopper , dans ses diverses positions , qu'une seule et même courbe. Or , cette courbe devant nécessairement être intérieure à la proposée , il sera facile de voir , en se servant des considérations de Farté 438 , que les premières extrémités a des trois portions de polygones qui ont donné les trois cordes ak devront être prises pour les trois sommets de rang impair de l'hexagone ci-dessus , et les dernières k pour les trois sommets de rang pair qui leur sont opposés respectivement $ donc on a cette nouvelle solution du problème général que nous avons en vue :

« Inscrivez à volonté et successivement , à la section conique proposée , trois » portions de polygones dont les côtés, en nombre égal à celui des points » donnés , passent respectivement , et dans Tordre assigné , par ces points. » Soient a , d, a" les premières extrémités de ces portions de polygones , et » k , k, k1 les dernières, respectivement. Soient considérés ces six points comme » les sommets d'un hexagone inscrit à la section conique , ayant pour som- » mets opposés a et k , d et H, a" et A", et les trois points a , a', a" pour » sommets de rang impair } les trois points de concours de ses côtés opposés » seront , comme on sait , sur une même droite , et cette droite coupera , en » général , la section conique en deux points , dont chacun pourra être pris » pour le sommet cherché du polygone. »

56o. On voit que cette construction revient , en définitive , à joindre , par de nouvelles droites , les extrémités d'espèces différentes appartenantes à deux quelconques des cordes ak^ dk, dfk'1 obtenues comme il vient d'être expliqué } car leur point de rencontre sera précisément un des points de concours des côtés opposés de l'hexagone \ c'est-à-dire (438) un des points de la sécante de contact cherchée.

Quelqu'incontestable que soit la supériorité de cette seconde solution sous le rapport de la généralité et de la symétrie, nous croyons cependant devoir observer que , lorsque les points donnés sont peu nombreux , l'autre semble lui être préférable sous le rapport de la simplicité , attendu qu'elle exige le tracé d'un moindre nombre de lignes.

Toutes ces constructions ayant d'ailleurs une partie arbitraire , on peut profiter de ce qu'elles présentent d'indéterminé pour les rendre plus simples. On peut , par exemple , faire passer l'un des cotés extrêmes de la portion de polygone par les deux premiers ou les deux derniers des points donnés. Ce côté comptera alors pour deux , et l'origine de la portion de polygone pourra être indistinctement supposée à l'une ou à l'autre de ses extrémités. En appli-

SECTION IV. CHAPITRE m. 353

quant cette remarque au cas du triangle , dans la première solution , on aura deux manières de déterminer le point F' (5i 1 1 Fig. 85) sur la polaire de p". On pourra donc se dispenser de construire cette polaire 1 et la recherche du sommet inconnu se réduira ainsi au tracé de neuf lignes droites seulement. Cette remarque , appliquée également au cas du triangle dans la seconde solution, conduira précisément aux mêmes résultats.

On voit au surplus , par ce qui précède , que , pour un ordre de succession quelconque des points donnés , le problème peut avoir, en général , deux solutions distinctes ; donc 9 pris dans toute son universalité , le nombre de ses solutions distinctes pourra s'élever (556) à i.2.3... (m — i).

Circonscription , aux sections coniques , de polygones dont les sommets

s'appuient sur des droites données.

56 1. Les considérations qui viennent d'être exposées conduisent immédiatement, au moyen de la théorie des pôles, k la solution complète de cet autre problème , qui peut être considéré y en quelque sorte , comme le réciproque du premier :

A une section conique donnée et décrite sur un plan, circonscrire un polygone de m côtés , dont les sommets s^ appuient respectivement sur un même nombre de droites données , tracées arbitrairement sur ce plan?

En effet , si Ton construit les pôles des droites données , et qu'on leur applique la question résolue en dernier lieu} si Ton circonscrit ensuite, à la section conique , les polygones qui ont pour points de contact des cotés les sommets des polygones inscrits ainsi obtenus, il est évident que les sommets de ces nouveaux polygones appartiendront respectivement (5a4) aux diverses droites données. D'après cela, le nombre de ces polygones sera encore égal à i.2<3...(ro< — i), comme ci-dessus.

Cette solution est indirecte ; mais soit qu'on applique aux solutions du problème de Fart. 557 "es principes de la théorie des polaires réciproques , soit qu'au contraire on se serve immédiatement des principes établis, dans le précédent chapitre (5â4 et suiv.) , sur les polygones circonscrits, en les combinant avec les résultats obtenus art. 4*8 et 4*9) on parviendra, d'une manière également facile , aux diverses constructions qui résolvent le nouveau problème sans aucune opération auxiliaire. Ainsi, par exemple, on arrivera k cette solution qui ne le cède en rien , pour l'élégance et la simplicité , à celle de

354 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

Part. 559 , relative aux polygones inscrits dont l'ordre de succession des côtés

et des points fixes est assigné :

» Circonscrivez à volonté et successivement, à la section conique pro- » posée , trois portions de polygones d'autant de sommets qu'il y a dé droites » données , et dont les sommets soient respectivement , et dans Tordre as- » signé, sur ces droites. Soient a, ci, d* les premiers côtés de ces por- » tions de polygones , et k^k^K1 les derniers respectivement. Soient con- » sidérées ces six droites comme les côtés d'un hexagone circonscrit à la courbe, » ayant pour ses côtés opposés a et k, d et A*, an et A", et lés trois côtés » a , a', a" pour côtés de rang impair ; les trois diagonales, joignant les som- » mets opposés de cet hexagone , se couperont, comme Ton sait (208) , en » un même point ; et la polaire de ce point déterminera , par son intersec- » tion avec la courbe, deux points dont chacun pourra être pris pour le point » de contact de cette courbe avec le côté cherché du polygone. »

56a. Le problème que nous venons de résoudre en dernier lieu a ausp occupé plusieurs géomètres de mérite. : il a cPabord été proposé par M. Gergonne , pour le cas particulier du triangle et du cercle, à la, page 17 du tome premier des annotes de Mathématiques. M. Encontre à ensuite feit voir, page 122 du même volume, que sa solution, pour lé cas général de 1a circonscription au cercle d'un polygone quelconque , pouvait se ramfençr r au moyen de la théorie des pôles, au problème analogue relatif aux polygones inscrits , déjà résolu par les géomètres.

Cette solution , comme on voit , était indirecte et exigeait Feiuplot de h règle et du compas réunis, ainsi que celle d'où on la déduisait?} M. GeN» gonne , quelques pages après , en énonça une autre entièrement directe , refative au cas particulier du triangle , et qui fut étendue aux sections toniques et démontrée enfin géométriquement , par MM. Servois et Rochat , aux pag. 33& et 34a du volume déjà cité : comme elle est fort élégante, je crois qu'où verra avec plaisir comment elle peut se déduire des principes qui précèdent.

Soient AB, BC , ÀC (Fig. 85) les droites données sur lesquelles doivent s^appuyer les sommets respectifs du triangle circonscrit à la courbe ; soient />, j/, ffl les pôles respectifs de ces droites, par lesquels doivent passer les côtés dn triangle poiaite inscrit qui a ses sommets ànx points de contact dés côtés du premier (5^4) 5 en traçant , à volonté , le quadrilatère inscrit abcd, comme il à été expliqué (5 11), tout consistera (558 et 56 1) à rechercher la sécante de ooàtact commune de la section conique proposée et de celle qu'enveloppe

le côté libre ad de ce quadrilatère dans les diverses positions qu'il peut prendre. A cet effet un pourrait Construire les deux points P' et P" comme à Fendroit cité (5n), puisqu'ils appartiennent à la direction de la droite dont il s'agit 5, mais on arrivera encore au même but à Paide des considérations suivantes.

D'après la construction, les trois points P, p'\ P" sont tels que Pun quelconque P d'entre eux est le pôle de la droite p"?" qui renferme les deux autres j donc cette droite j/T" doit (196) renfenner le pôle de toute droite Vftp passant par P j or le . pôle de pp' est évidemment à l'intersection B de* polaires AB et BC dep et pf \ donc les trois points B, pP et F' sont sur une même droite, et par conséquent on peut obtenir immédiatement le point P" au moyen des deux autres et sans passer par les constructions de Part. 5 1 1 j on aura donc ainsi un des points de la sécante de contact cherchée.

Maintenant, si l'on joint le sommet G du triangle donné ABC ravec le pôlep du côté AB qui lui est opposé, par une droite C/?, on prouvera, de la même manière , que le point F où elle ira rencontrer ce côté appartiendra également à la sécante qui renferme le point de oontact du côté du triangle circonscrit dont les extrémités sont sur les droites AB et AC $ donc cette droite sera entièrement connue de position aussi bien que le côté dont il s'agit, et par conséquent le problème proposé sera complètement résolu par des constructions purement linéaires*

Ces résultats , qui sont exactement conformes à ceux obtenus par MM. Gergonne , Servois et Rochat aux endroits cités des Annales de Mathématiques, peuvent évidemment s'énoncer ainsi :

« Ayant déterminé (Fïg. 91) les pôles respectifs p, pi, pf' des côtés du triangle » donné ABC, par rapport à la section conique , on joindra chacun de ces » pôles, par une droite , avec le sommet opposé au côté d'où il provient 5 » cette droite ira déterminer sur ce côté tin point, ce qui donnera en tout » trois points pareils A', Br, C: or ces trois points étant joints, deux à deux, » par de nouvelles droites , donneront lieu à un triangle Al^C, inscrit au » proposé ,• dont les côtés détermineront , par leurs intersections avec la courbe , » les six points de contact appartenais aux deux triangles & la fois circonscrits » à cette courbe et inscrits au proposé. »

Il est évident que ces relations font partie de celles qui appartiennent au système de trois points, pris à volonté sur le plan d'une section conique, et aux polaires de ces trois points} relations qui ont été exposées, pour la plupart,

aux art. 419 et 4?4«

356 PROPRIÉTÉS PROJECITVES.

Cas où les points donnés sont sur une même droite , et où les droites

données concourent en un même point.

563. Parmi le grand nombre de cas particuliers que peuvent offrir les problèmes généraux des art. 557 et &>l 9 il en est deux qui paraîtront tout-àfait dignes d'intérêt, soit par les circonstances qu'ils présentent, soit par la simplicité de la solution qui leur est relative ; l'un et l'autre sont des conséquences tellement évidentes des principes établis art. 5i3, SaS, et 5*9 du précédent chapitre , que je crois pouvoir me borner au simple énoncé des résultats.

A une section conique donnée inscrire un polygone , de tant de sommets qu'on voudra, dont les côtés passent respectivement, et dans un ordre assigné, par autant de points donnés, situés sur une même ligne droite P

Solut. Inscrivez à volonté , à la courbe , une portion de polygone , dont les côtés passent respectivement par les points donnés. Le nombre de ces points pourra être pair ou impair.

Le nombre des points donnés étant pair , si le polygone ne se ferme pas de luimême, le problème ne pourra être résolu ; et si , au contraire , il se ferme de luimême , tout autre se fermera également , et conséquement le problème sera susceptible d'un nombre indéfini de solutions , c'est-à-dire qu'il sera indéterminé.

Le nombre des points donnés étant impair , la corde qui joindra les deux extrémités de la portion de polygone ira couper la droite unique , qui contient les points donna , en un nouveau point dont la polaire , par son intersection avec la courbe , déterminera deux points , dont chacun pourra être pris pour le dernier sommet du polygone demandé.

A une section conique donnée circonscrire un polygone , de tant de côtés qu'on voudra , dont les sommets s'appuient respectivement , et dans un ordre assigné, sur un égal nombre de droites données, concourant toutes en un seul et même point ?

Solut. Circonscrivez à volonté, à la courbe, une portion de polygone dont les sommets s'appuient respectivement sur les droites données. Le nombre de ces droites pourra être pair ou impair.

Le nombre des droites données étant pair, si tes deux côtés extrêmes de la portion de polygone ne se confondent pas en un seul, le problème ne pourra

être résolu ; et si , au contraire , ils coïncident de manière à former un polygone fermé , ce polygone et tous les autres qu'on pourra construire sous les mêmes conditions que celui-là , résoudront lç problème , qui aura ainsi un nombre indéfini de solutions.

Le nombre des droites données étant impair, la droite qui joindra le point de concours des côtés extrêmes de la portion de polygone avec le point de concours des droites données , coupera la section conique en deux points , dont chacun pourra être pris pour le point de contact de cette courbe avec le dernier côté du polygone cherché.

564* La solution du premier des deux problèmes qui précèdent conduit directement à la démonstration de la propriété suivante , qui mérite d'être citée en passant :

*SÏ deux polygones , d'un même nombre impair de sommets , à la fois inscrits à une même section conique, sont tels que leurs côtés correspondons, pris deux à deux, se coupent en des points appartenons à une même droite; je dis que les droites qui joindront, dans le même ordre , les sommets opposés aux différentes paires de côtés dont il s'agit , iront toutes passer par un point unique ayant pour polaire la droite qui renferme les points de concours ci-dessus ; c'est-à-dire , en cT autres termes , que les deux polygones auront (298) ce pôle et cette droite pour

CENTRE et AXE I?HOMOLOGIE.

Considérons le cas particulier de deux triangles inscrits ABC, AD'C (Fig. 101) dont les côtés correspondais concourent, deux à deux , aux trois points p, pf, pi1 situés en ligne droite 5 la démonstration s'appliquera , de la même manière , à des polygones quelconques inscrits , de même ordre r et d'un nombre impair de côtés.

Puisque les points de concours p, jf, jp sont situes en ligne droite et appartiennent à la fois aux côtés de l'un et de l'autre triangle inscrit , on peut regarder ces deux triangles comme les deux solutions du problème cité , appliquées à ces trois" points 5 or il suit de là que deux sommets, tels que ceux B et B' qui sont opposés à des côtés AC et AH7 concourant vers un même point donné p", doivent appartenir à une droite BBf9 dont le pôle est sur h* droite qui renferme les points/^ pf, p1' ; done(*96) cette droite passe réciftt'oquemem par le point P qui est le pôle de ppf^ et, comme il en est de même de chacune des dieux autres- AA', CC, on voit que toutes ces droites doivent se couper en un même point; ce qu'il s'agissait de démontrer»

358 PROPRIÉTÉS .PftQJKTIVBS,

Quant au cas où les côtés dos deux polygones seraient en nombre pair, on voit que le mêmç raisonnement ne serait [dus applicable , puisqu'il pourrait exister alors une infinité de polygones inscrits dont les cotés iraient (5 1 3) respectivement concourir aux mêmes points que ceux des deux premiers. Le contraire a évidemment lieu pour la proposition réciproque {te celle qui précède ^ car il rçsuitç de la théorie des pôles (194)1 ou de celles de^, centres et axes dhomologie (296), que ^ si les sommets respectifs de deux polygones inscrits quelconques appartiennent , deux à deux , à des droites qui passent par un même point P, les côtés homologues doivent aussi concourir, dans le même ordre , sur la polaire de ce point.

Au surplus les considérations qui précèdent, ou leurs analogues déduites du second des problèmes ci-dessus , conduiraient à des propriétés exactement sem- . blables pour les polygones , d'un nombre impair de côtés , circonscrits aux sections coniques: c'est-à-dire que deux tels polygones sont nécessairement homologiques , dès l'instant où les droites qui joignent leurs sommets homologues concourent en un même point.

Inscription ^ à une section conique donnée , dyun polygone qui soit en

même temps circonscrit à une autre»

565. Nous allons terminer ces applications, par Fexamen de la question suivante , qui présente des circonstances non moins dignes de remarque que celles auxquelles nous avons été conduits ci-dessus (563):

Deux sections coniques étant' données sur un même plan^ inscrire à F une d'elles un polygone de tant de côtés qu'on voudra % qui soit en même temps circonscrit à Vautre?

Solut. Inscrivez à volonté ^ k la première des deul courbes, une portion de polygone dont les côtés , en nombre égal à celui des côtés du polygone demandé , soient tous tangens à la seconde. Si cette portion de polygone ne se ferme pas d'elle-même sur la courbe à laquelle elle est inscrite , é'est-4dire si .ses sommet extrêmes ne se confondent pas en un seul et même point, le problème ne pourra être résolu en aucune manière; et si, au contraire, cette portion de polygone se ferme d'elle-même , toute autre, qu'on essaierait de construire d'après les mêmes conditions, se fermera également ; et conséquemntent le problème sera susceptible .d'un nombre indéfini dé solutions , c'est-à-dire qu'il sera indéterminé. .

SECTION IV. CHAPITRE III. 35g

Pour le prouver, considérons d'abord le cas particulier du triangle , et supposons qu'ayant essayé d'inscrire , à volonté , à une section conique une telle figure, dont les côtés touchent une autre section conique quelconque, il se trouve que les conditions du problème soient remplies : ABC (Kg. 10a) étant ce triangle , et A' , Bf , G' les points de contact ,' avec l'une des deux courbes , des côtés respectivement opposés aux sommets A , B , C , je dis que , si l'on vient ensuite à faire varier l'angle BAC de façon qu'il soit constamment circonscrit â cette courbe et inscrit à l'autre , le côté BC , qui sous-tend l'angle BAC dans celle-ci , demeurera lui-même perpétuellement tangent à la première.

En effet , s'il n'en ' était pas ainsi , le. côté BC envelopperait , dans ses diverses positions, une troisième section conique distincte des autres (533 et 534)^ qu* aurait mêmes sécantes communes qu'elles ou mêmes points d'intersection , et dont le point de contact avçe BC serait placé , à chaque instant (53 1 et 535), sur la droite AA' qui joint le sommet A de l'angle avec le point de croisement , D , des droites BIP, CC qui vont des extrémités de BC aux points de contact , F et C, des côtés opposés de cet angle. Or, pour la position actuelle du triangle ABC, qu'on suppose à la fois' inscrit à l'une des courbes proposées et circonscrit à l'autre1, cette constructiop est précisément (161) celle, au moyen de laquelle on obtiendrait le point de contact du côté BC avec la courbe qui dirige les côtés AB et AC } donc cette courbe et celle qu'enveloppe, par hypothèse, lé côté BC dans le mouvement de l'angle A, se toucheraient au point À1, ou auraient deux points confondus en un seul, avefc celui-là} ce qur es^^ibIélïleB* •absupd^r i moins qu'elles ne se cpnfbndent* en une seule et même courbé.

En effet, les deux points dont il s'agit devant, en même temps, appartenir (533 et 534) à la troisième combe qui dirige le sommet A de l'angle que Ton considère, les deo* sections coniques proposées auraient, contre l'hypothèse , un élément commun , et lie seraient pas quelconques, Bieç plus y en supposant même que cette circonstance particulier^ eût lieu pour les courbe» proposées, on voit que le. éôté BC devrait être nul, ce qttf, exigerait, contrairement éiicdré à l'hypothèse , que le triangle dont on s'occupe en particulier s'évanouît ou qu'il cessât d'exister . ••'

Ainsi donc ^ que! lès sections coniques proposées s'entrecoupent ou se tou^ chent, s'fl arrive qitW puisse inscrire, à l'une d'elles, un triangle qui soit en même temps circonscrit ' à la seconde, 8 en existera, par là même, une infinité d'autfës qui jouiront tous de la même propriété»

36o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

566. Considérons maintenant un quadrilatère ABCD (Fig. io3), à la fois inscrit à une section conique et circonscrit à une autre dont A', F, C, D7 soient les points de contact avec les cotés respectifs AB, BC , CD, DA de ce quadrilatère. Supposons que Pon fasse varier la portion de quadrilatère CBAD, composée des trois cotés CB, BA , AD, en l'assujettissant à demeurer toujours inscrite et circonscrite aux deux courbes proposées ; le dernier côté CD , devenu ainsi libre , enveloppera , en général , une nouvelle section conique passant par les points d'intersection commune des deux autres (534)-; or je dis que cette nouvelle section conique se confondra nécessairement avec celle des proposées sur laquelle roulent déjà les autres côtés du quadrilatère.

Pour le prouver, il suffit évidemment , comme ci-dessus , de montrer que C est le point de contact du côté CD avec la nouvelle courbe. A cet effet ,r je trace d'abord la diagonale AC du quadrilatère , formant avec les côtés AB, BC le triangle ABC , et j'observe que , dans le mouvement général de la figure , cette droite enveloppera une quatrième section conique (534), dont le point de contact K avec AC s'obtiendra, à chaque instant, comme il a déjà été expliqué ci-dessus , en traçant les droites C Ar , AB' qui vont des extrémités de la diagonale aux points de contact des côtés opposés AB et BC , puis menant , par le point de croisement H de ces droites et par le sommet opposé B , la droite BH , qui coupera AC au point K dont il s'agk.

Pareillement , les côtés de l'angle inscrit CAD demeurant constamment tangens & deux sections coniques qui ont mêmes sécantes communes avec les proposées , et dont K et Dr sont les points de contact avec les côtés de cet angle, on obtiendra, à chaque instant, par une construction semblable (53 1) et qu'on trouve indiquée sur la figure , le point de contact G du côté libre CD du quadrilatère , qui sous-tend l'angle CAD dont il s'agit. Mais il est aisé de se convaincre , par des considérations analogues à celles employées dans le chapit. II de la seconde section (i85), que les constructions qui précèdent, pour trouver le point de contact du côté CD avec la courbe qu'il est censé envelopper quand il devient libre , sont précisément celles par lesquelles on pourrait aussi obtenir le point de contact de ce même côté , avec la section conique proposée , pour la position actuelle du quadrilatère où il est circonscrit entièrement à cette section conique $ donc nos deux prétendues courbes distinctes se touchent nécessairement au point commun G dont il s'agit ; ce qui ne peut avoir lieu , par les raisons déjà déduites ci-dessus (565) , sans qu'elles se confondent en une seule et même courbe, et sans que par

SECTION IV- CHAPITRE m. 36i

conséquent le quadrilatère ABCD demeure perpétuellement circonscrit à la proposée.

Il ne serait pas difficile d'étendre cette démonstration k un polygone d'un plus grand nombre de côtés ; mais on remarquera , en général , qu'en rendant libre l'un des côtés de ce polygone , et le faisant mouvoir de façon que tous les autres demeurent , comme auparavant , à la fois inscrits et circonscrits aux sections coniques proposées , ce côté s'appliquera nécessairement , dans certaines positions du polygone , sur les différens côtés de celui duquel on est parti , et qu'on suppose exactement inscrit et circonscrit aux deux premières ; donc la conique distincte , qu'il est censé envelopper dans son mouvement , aurait autant de tangentes communes avec l'une des proposées qu'il y a de côtés dans le polygone ; ce qui ne saurait être sans qu'elles se confondent en une seule et même courbe (209), puisqu'ici le nombre des côtés est plus grand que quatre. Concluons donc que,

« Quand un polygone quelconque est à la fois inscrit à une section conique

* et circonscrit à une autre , il en existe une infinité de semblables qui jouis-

* sent de la même propriété à l'égard des deux courbes ; ou plutôt tous ceux

* qu'on essaierait de décrire , à volonté , d'après ces conditions , se ferme-

* raient d'eux-mêmes sur ces courbes.

« Et réciproquement , s'il arrive qu'en essayant d'inscrire à volonté , à une » section conique , un polygone dont les côtés en touchent une autre , ce po- » lygone ne se ferme pas de lui-même , il ne saurait nécessairement y en avoir » d'autres qui jouissent de cette propriété. »

567. Toutefois, on ne doit pas conclure de là qu'en joignant, par une droite , les deux extrémités (Tune portion de polygone quelconque , entièrement inscrite à l'une des courbes proposées et circonscrite à Fautre , et qu'en faisant mouvoir le polygone formé d'après ces conditions , le côté libre dont il s'agit ne puisse jamais devenir tangent à la section conique qu'enveloppent les autres côtés 5 le contraire a évidemment lieu, puisque ce côté roule sur une troisième section conique distincte des deux proposées , et qui doit avoir, en général, des tangentes communes avec chacune d'elles. Mais il est facile de voir aussi que, pour ces. positions particulières du polygone, il doit nécessairement changer de forme et se réduire à un plus petit nombre de côtés. ■ * ■

Supposons , par exemple , que , les courbes proposées étant entièrement extérieures Tune à Fautre , et le polygone dont il s'agit ayant un nombrç impair

36a PROJETÉS PROJECTIVES.

de sommets , on considère celles des positions de ce polygone pour lesquelles l'un quelconque des côtés, adjacens au sommet opposé au côté libre, soit nul ou tangent à la fois aux deux courbes proposées ; il arrivera (*) évidemment que les côtés , qui occupent 1 de part et d'autre , le même rang à compter de celui-là , se confondront deux à deux en un seul , et partant que le côté libre se confondra aussi avec Pun de ses adjacens , et sera par conséquent tangent à la section conique que touchent les autres côtés $ or on voit qu'alors même le polygone aura changé de forme , et se sera réduit véritablement à une portion ouverte de polygone d'un nombre moindre de côtés $ ce qui d'ailleurs aura lieu évidemment pour quatre positions distinctes du polygone variable que l'on considère.

Propriétés des polygones à la fois inscrits à une section conique et

ciroonsfirits à une autre.

568. Nous pouvons tirer de tout ce qui précède quelques conséquences faciles et remarquables.

Soit ABCD (Kg: io3) un quadrilatère à la fois inscrit à une section conique et circonscrit à une autre 5 nous venons de voir qu'il peut en exister une infinité de semblables jouissant de cette propriété , ou plutôt que tous ceux qu'on essaierait de construire d'après les mêmes conditions , se fermeraient paturellement autour de deux courbes , et seraient par conséquent à la fois inscrits et circonscrits à ces courbes ; or on rémarquera que , dans cette infinité de positions du quadrilatère ABCD , les diagonales AC et BD , qu'on peut regarder comme les cordes qui' sous-tendent chacune des paires d'angles respectivement opposés , on remarquera , dis-je , que ces diagonales .enveloppent toutes une seule et même section conique (533) , appartenante au mouvement d'un angle générateur unique , à la fins inscrit à l'une des courbes et circonscrit à l'autre, D'ailleurs chaque diagonale AC répond à là fois à deux position* distinctes ABC , ADÇ de l'angle générateur dont il s'agit ; donc la courbe unique qu'enveloppetit ces ^diagonales «ft infiniment petite (533) , ou se confond avec le poktf K de leur, intersection commune ^ lequel demeure ainsi invariable de position xlurant le mouvénient du xiuadrilatèrëw

(*) Op. , qe rendra aisément compte 4e- *°Yrt ceci à l'aide d'une figure. j et en se rappelant que nous prenons, comme par-tout dans cet ouvrage, le mot polygone dans son acception la plus générale : yoyes pag. 3. '" '

On peut encore démontrer les mêmes choses, d'une manière entièrement directe et générale , en observant que le point de contact K de la diagonale AC avec la section conique qu'elle enveloppe, .point qui a déjà été construit ci-dessus (566) , est précisément celui de son intersection avec la seconde diagonale BD du quadrilatère (*). Car le point K étant , par la même raison , le point de contact de la diagonale BD avec la section conique qu'elle enveloppe dans son mouvement , et , d'après ce qui a été dit plus haut , cette section conique se confondant avec celle qui appartient à la diagonale AC , il faut nécessairement que cette section conique se réduise à un point unique. Donc enfin ,

Si un quadrilatère simple quelconque est en même temps inscrit à une section conique et circonscrit à une autre j tous les quadrilatères semblables auront même point de croisement des diagonales , et ce point sera (532) un des points de concours des sécantes conjuguées communes aux deux courbes.

56q. Des considérations particulières, et d'un autre genre que celles qui précèdent , nous ont déjà conduits à ce théorème 0(87). En le démontrant 1 nous avons aussi remarqué que le point d'intersection unique des diagonales , qui est en même temps (186) le point de croisement des cordes de contact appartenantes aux côtés respectivement opposés du quadrilatère , a même polaire par rapport au* deux courbes 5 en sorte que c'est un (363) des points de concours des trois systèmes de sécantes conjuguées communes qui leur correspondent 7 tandis que cette polaire elle-même est précisément la droite qui renferme les deux autres de ces points.

Ainsi , quand deux sections coniques , tracées sur un même plan, seront telles qu'un quadrilatère soit à la fois inscriptible à Tune et circonscriptible à l'autre, cm pourra y par des constructions purement linéaires, obtenir- directement l'un des points de concours de leurs sécantes conjuguées communes , et , par suite , ces sécantes elles-mêmes quand elles existeront {3^3 et 379). C'est une nouvelle circonstance à ajouter à toutes celles qui ont déjà été signalées, soit dans la précédente section , soit dans le premier chapitre de cçjle qui nous occupe , pour lesquelles les sécantes et tangentes communes au système de deux sections coniques , données sur un plan , peuvent s'obtenir directement par des constructions du second degré, et qui n'exigent que l'emploi de la règle et du compas. ...

m i nji ut r nu ii ■ ■ 1 1 , i)

(*) Cert ce dont on s*as«uWra aisément à l'aide de* considérations employées-art. *85»

364 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

570. Soit maintenant ABCDEF (Fig- io4) un hexagone quelconque à la (bis inscrit à une section conique et circonscrit à une autre $ supposons que Ton trace les diagonales qui joignent ses sommets respectivement opposes ; d'abord elles se croiseront toutes , comme Ton sait (208) , en un seul et même point K : or le raisonnement général de Part. 568 peut , de nouveau , servir k prouver que la courbe unique qu'enveloppent ces diagonales , dans le mouvement possible (566) du polygone autour des deux courbes , doit nécessairement être infiniment petite ou se réduire à un point , qui est évidemment encore ici le point de croisement K de ces diagonales.

D'ailleurs , la portion de quadrilatère ABCD , par exemple , composée de trois côtés consécutifs quelconques de l'hexagone proposé 1 s'appliquant successivement , dans les diverses positions du système , sur les cinq portions semblables déterminées par les autres diagonales de cet hexagone , on voit , à priori, que Ja section conique unique (534), enveloppée par la diagonale AD ou le coté libre cfu quadrilatère , devra toucher à la fois et doublement cette diagonale et chacune des deux autres ; ce qui ne peut être évidemment à moins que cette section conique ne soit infiniment petite , et ne se confonde avec le point K.

La même démonstration s'appliquant, mot à mot, à un polygone quelconque , d'un nombre pair de sommets , qui serait à la fois inscrit à une section conique et circonscrit à une autre, on peut conclure le théorème général qui suit :

Un polygone quelconque , et un nombre pair de sommets , étant inscrit à la fois à une section conique et circonscrit à une autre, i°. toutes les diagonales qui joignent les sommets respectivement opposés de ce polygone se croiseront en un seul et même point; 20. ce point demeurera invariable de position, quand on viendra à faire mouvoir le polygone, entre tes deux courbes , d'après les conditions primitives (566); 3°. ce point sera (53a) Vun des points de concours des sécantes conjuguées commîmes à ces courbes. *

57t. Supposons, en outre , qu'on forme le nouveau polygone AVCD^'F*, dont les sommets sont précisément les points de contact des côtés du premier ABCDEF ; il résultera , de la théorie des polaires réciproques (a3o), qu'il sera en même temps circonscriptible à une troisième section conique , et que par conséquent il se trouvera absolument dans la même situation que l'autre à l'égard des courbes respectives auxquelles il appartient. Donc les diagonales qui joignent ses sommets opposés r et qui sont en même temps les cordes

SECTION IV. CHAPITRE m 365

de contact des côtés opposes du premier, se croiseront également en un même point. Or je dis que ce point se confondra précisément avec le point K où se croisent déjà toutes les diagonales des sommets opposés du polygone ABCDEF.

Pour le prouver, considérons deux côtés contigus quelconques , AB et BC , de ce dernier polygone , ainsi que les côtés DE et EF qui leur sont respectivement opposés , et supposons qu'on prolonge , jusqu'à leurs intersections en H et G , ceux qui ne sont pas opposés 5 on formera le quadrilatère BGEH , circonscrit à Pline des sections coniques proposées, dans lequel (186) les diagonales BE, GH et les cordes de contact B'E', A'D', qui appartiennent aux côtés respectivement opposés, devront se croiser en un même point. Ainsi chaque diagonale JE , joignant deux sommets opposés du polygone ABCDEF, passe par le point d'intersection des cordes de contact A'D', B'E' relatives aux côtés f adjacens à ces sommets , qui sont opposés -, c'est-à-dire que chaque diagonale BE passe par le point commun à toutes les cordes de contact des côtés opposés du polygone dont il s'agit ; donc enfin ce point est aussi celui où concourent toutes les diagonales de ce polygone , comme il s'agissait de le démontrer.

Concluons aussi, d'après la théorie des pôles et polaires (186 et 194) , que les points de concours des côtés opposés du polygone ABCDEF, ainsi que ceux du polygone polaire A'B'CDfE'F sont tous rangés sur une même droite , ayant le point K pour pôle , tant dans les sections coniques proposées , que dans celle qui est inscrite au dernier de ces polygones.

5721. Maintenant soit formé le nouveau polygone polaire A"B"C"D"E"F' qui a pour côtés les tangentes aux sommets du premier ABCDEF , il sera évidemment (?3o) , k son tour, inscriptihle à une quatrième section conique ; donc il devra encore jouir de toutes les propriétés qui précèdent, à l'égard de cette nouvelle section conique et de celle des proposées à laquelle il est circonscrit. On voit qu'en continuant de traiter ainsi , soit le dernier polygone extérieur A"B"C"D"E"F, soit le dernier polygone intérieur A'B'CD'E'F, il en résultera une suite de sections coniques et de polygones jouissant , à regard de ceux qui les précèdent et les suivent immédiatement , de propriétés analogue» à celles qui viennent de nous occuper. On voit y de plus , que le point K, commun à tous les polygones , aura même polaire dans toutes les courbes.

Enfin le point K dont il s'agit est évidemment (365 et 53*), pour toutes les. sections coniques à la ibis 7 un point de concours de sécantes conjuguées communes. Or on peut observer que , quand ces courbes ont même centre, ce centre sa confond nécessairement avec le point dont il s'agit, puisque le*

$66 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

deux autres points de concours de sécantes conjuguées commîmes sont à Pinfini. De là résulterait donc beaucoup de conséquences relatives aux polygones inscrits et circonscrits à la fois au système de deux sections coniques concentriques 5 mais, sans nous arrêter sur ces conséquences, nous allons terminer par quelques réflexions générales qui ne seront pas dénuées de tout intérêt.

Réflexions générales sur ce qui précède.

5*]3. D'après ce qui précède et d'après tout ce qui a déjà été dit au chap. II de la IIIe. section, on a dû voir que les points de concours des sécantes conjuguées communes aux sections coniques jouissent de propriétés non moins singulières que les points de concours des tangentes communes ou centres d'hoinologie qui leur appartiennent, et Pon aura même pu remarquer que ces propriétés ont entre elles une sorte d'analogie. Et eh effet , relativement aux arcs opposés de chacune des deux courbes , ce point est un centre d'homologie (348 et 296) dont la polaire , commune à ces courbes , est Paxe d'homologie ou Taxe de concours unique des droites homologues. Seulement , de l'une à l'autre courbe , les points homologues ne sont plus nécessairement rangés sur les mêmes rayons.

Quant à ce qui concerne proprement les figures à la fois inscrites et circonscrites aux deux courbes , on voit que leurs propriétés doivent venir se fondre , pour ainsi dire , dans celles dés figures pareilles relatives aux cercles concentriques , puisque le centre commun de ceux-ci est nécessairement à là fois un point. de concours de tangentes et de sécantes conjuguées communes. D'ailleurs , si Pon suppose que les sections coniques proposées aient un double contact , soit réel , soit idéal , le point que Pon considère devient en même temps un centre d'homologie, et il jouit alors (i38) de toutes les propriétés projectives qui appartiennent au centre commun de deux cefrcles concetttriques.

Ainsi toutes les propriétés de cette espèce , relatives auix polygones réguliers à la (bis inscrits et circonscrits à un système de cerclés pareils , subsistent également pour les polygones, d'un nombre de sommets d'ailleurs quelconque et non plus simplement pair , qui seraient en même temps inscrits et circonscrits à deux sections coniques ayant un double contact. La seule différence consiste en ce que , dans le premier cas : la sécante dé contact ou polaire du

point que l'on considère est à l'infini , et qu'ici , au contraire , cette même cjroite est à distance donnée } ce qui fait que les côtés opposés des polygones convergent réellement sur elle au lieu d'être amplement parallèles , et que les rapports d'égalité et de proportionnalité sont remplacés par les rapports beaucoup plus généraux qui nous ont occupés dans les chap. I et II de la seconde section : de telle sorte , par exemple , que la division en parties égales se trouve remplacée par la division harmonique, etc.

Cette différence disparaît entièrement quand la polaire dont il s'agit passe à l'infini , et que les sections coniques sont par conséquent (92) concentriques , semblables et semblablement placées ; alors les polygones inscrits et circonscrits à la fois aux deux courbes deviennent des espèces de polygones parailélogrammiques , dont les côtés opposés sont égaux et parallèles et sont divisés également au point de contact qui leur appartient respectivement. Dans la même hypothèse , les angles opposés sont évidemment aussi égaux , mais c'est la seule relation de cette nature qui leur soit commune avec les polygones réguliers , susceptibles , de leur nature , d'être inscrits et circonscrits en même temps à deux cercles concentriques,.

Les relations d'angles appartiennent essentiellement, comme nous l'avons vu (IIe. chap. de cette section) , aux polygones à la fois inscrits et circonscrits à deux sections coniques qui ont un foyer commun, foyer qui est aussi pour elles un centre d'homologie , ou point de concours de tangentes communes ; et si , de plus , il arrive que les deux courbes aient en même temps 'un double contact , c'est-à-dire (456) même polaire focale, ces polygones, sans avoir leurs côtés opposés parallèles comme dans le cas où ils sont concentriques , offriront dans leurs propriétés la plus grande analogie possible avec les polygones réguliers inscrits et circonscrits en même temps à deux cercles , soit sous le rapport des relations d'angles , soit sous celui de la simple direction des lignes ; cette analogie serait , pour ainsi dire , parfaite , si les sections coniques pouvaient devenir en même temps concentriques sans se confondre , ou si seulement elles étaient à la fois des paraboles.

574* Mais nous ne pousserons pas plus loin ce rapprochement, ni l'examen des différentes propriétés qui peuvent appartenir aux polygones à la fois inscrits à une section conique et circonscrits à une antre. Quelqu'attrait que puissent présenter de telles propriétés pour ceux qui aiment les spéculations géométriques , on nous repprochcra , peut-être , d'avoir déjà trop insisté , dans ce qui précède , sur ces propriétés , eu égard au degré de mérite où d'utilité

368 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

qui peut leur être propre. Celles sur -tout que nous avons présentées, au commencement de ce chapitre , sur les polygones variables dont les sommets parcourent des directrices courbes quelconques, pourront paraître, jusqu'à un certain point , oiseuses aux personnes qui aiment , avant tout , les résultats susceptibles d'une application immédiate et journalière* Biais nous ferons observer que , si de pareilles recherches ne semblent pas , i cause de leur généralité , inspirer autant d'intérêt que celles qui ne concernent que les lignes droites et les sections coniques , lesquelles , à raison de l'élégante simplicité de leur forme et de la facilité de leur description , sont presque les seules employées dans les arts qui se fondent sur le dessin linéaire , elles ont au moins l'avantage d'exercer heureusement l'imagination, d'agrandir le champ de la Géométrie , et de montrer la hauteur à laquelle elle est parvenue de nos jours.

H serait même à désirer qu'à l'exemple de nos voisins, on ne laissât pas autant dans l'oubli certains résultats des travaux géométriques des siècles passés , et qu'on revint un peu sur les principes , presque toujours faciles et souvent ingénieux , à l'aide desquels les grands hommes de ce temps-là y étaient parvenus; car ce ne sont pas tant les vérités particulières que les méthodes qu'il ne faut pas laisser périr : peut être aussi que ceux qui cultivent l'Analyse algébrique , pour ainsi dire exclusivement , acquerraient , parla , cette habitude de pressentir à l'avance les résultats du calcul , que possèdent encore si bien nos grands géomètres modernes $ car on ne peut se le dissimuler, et Neuwton lui-même l'a dit : « La méthode de découvrir est presque tout entière dans la Géométrie. »

FIN DE LA IVe. ET DERNIÈRE SECTION.