DES FIGURES DANS L'ESPACE
575. IN OUS n'avions d'abord en l'intention qne de parler d'une manière subsidiaire des propriétés projectives de l'espace, en indiquant, chemin faisant et à l'aide de quelques mots, l'extension dont pouvaient être susceptibles les divers théorèmes relatifs aux figures planes qui nous ont occupés jusqu'à cette heure ; mais , ayant réfléchi que cette partie de notre travail pourrait être celle qui offrirait le plus d'intérêt aux yeux de ceux qui cultivent la Géométrie descriptive! nous avons cru devoir rejeter, dans un article à part, tout ce qui concerne les figures dans l'espace , en nous bornant toutefois aux considérations les plus générales et les plus dignes d'être remarquées. En entrant' dans de plus grands développemens , nous aurions fait de cette partie de nos recherches un véritable Traité , qui nous eût fait excéder de beaucoup les bornes dans lesquelles nous avons voulu nous renfermer»
Des figures homologiques dans V espace , ou de la perspective relief; application
au tracé des bas-reliefs.
576. La première question qui se présente c'est de voir comment on pourra étendre, aux figures situées en général dans l'espace , les considérations offertes, art. 297 et suiv. , sur les figures homologiques considérées dans un même plan , ou, tout au plus, dans deux plans différens. Pour y parvenir, rappelons- nous d'abord le cas particulier où les figures sont s. et s. p. 5 car puisque, d'après la définition que nous avons donnée, aux endroits cités, de l'homologie des figures situées dans un plan, cette homologie n'est qu'une sorte de similitude, dans laquelle les lignes homologues, au lieu d'être parallèles, concourent à des distances données et finies, il nous sera très- aisé de passer d'une manière analogue, des propriétés déjà établies (241) P01"* ^ figures s. et s. p. dans l'espace, aux propriétés qui doivent être relatives aux figures homologiques en général.
Si l'on admet, pour définition des polygones s. et s. p. dans l'espace, que
37o PROPRIÉTÉS PfcOJECTIVES-
ces polygones soient tels que les droites qui joignent les points homologues concourent en un même point, et que les droites j}oitiotoguès soient parallèles^ conditions évidemment nécessaires ef suffisantes pour remplir cet objet, et pour déterminer d'espèce l'un des polygones au moyen de l'autre ; il faudra aussi admettre en premier lieu, pour le cas de l'espace comme pour celui du plan, que, dans les figures homologiques, les points homologues doivent être rangés sur des droites concourant en un même point, centre d'homologie des deux polygones; c'est-à-dire que les figures homologiques doivent être projections relief (i3) les unes des autres*
Reste à voir quelle condition particulière on doit adopter pour fixer le lieu des points de concours des droites joignant des points homologues, afin que les figures qui en résultent aient la plus grande conformité de nature possible avec les figures semblables de grandeur et de position; en un mot, il s'agit d'examiner quelle espèce de condition doit remplacer celle du parallélisme de ces dernières figures. Or l'une des conditions essentielles à remplir, c'est que tout ce qui est plan dans Tune des figures reste plan dans l'autre ; c'est-à-dire que, si l'on conçoit un plan quelconque pour l'un de nos polygones , toute figure tracée dans ce plan devra être représentée, pour l'autre polygone, par une figure plane homologique ou perspective ordinaire de la première par rapport au centre de projection : de là , en effet, dérive immédiatement la condition demandée, comme on va le voir*
Il en résulte d'abord que tous les points de concours des lignes homologues $ qui appartiennent à ces plans respectifs , sont sur une même droit» ou axe d'homologie , intersection commune de ces plans ; la surface unique lieu des points de concours, si elle existe, doit donc être telle que tout plan, mené arbitrairement •dans l'espace, aille la rencontrer suivant une droite; premier caractère qui n'appartient qu'aux surfaces planes. Reste donc à prouver que cette surface existe réellement, ou, ce qui revient au même , il reste à prouver que les différeus axes de concours ou d'homologie des plans homologues de nos deux polygones se coupent deux à deux en un point. Or c'est ce qui est évident à priori, d'après ce qui se passe pour les plans homologues respectifs auxquels appartiennent les paires d'axes dont il s'agit. Concevons , en effet , deux plans quelconques pour l'un de nos polygones , et les deux plans qui leur sont homologues pour l'autre ; d'après ce qui précède , les différens points de la droite d'intersection des deux premiers auront pour homologues eeux de la droite , intersection des deux autres ; ces droites appartiennent donc au même plan projetant ; donc elles se coupent en un point ; •donc il en est de même des deux paires de plans homologues que l'on considère et des deux axes de concours ou d'homologie qui leur appartiennent. Mais un . point -de concours quelconque de deux droites homologues peut toujours être
SUPPLÉMENT. * 37r
censé appartenir à la droite de concours de deux plans homologues appartenais respectivement à ces deux droites ; donc enfin tous les points de concours possibles des droites homologues de Tune et de Vautre figure déterminées par nos deux polygones, doivent appartenir à un seul et même plan, qu'on peut appeler le plan (Thomologie ou de concours de ces figures.
S77. Réciproquement, si Ton admet, pour condition de l'homologie de deux figures rectilignes ou polyédrales situées dans l'espace, que les points homologues sont rangés sur des droites dirigées vers un même centre, et que les droite? homologues concourent, deux à deux, sur un plan unique; si Ton observe, eu outre, que toutes les propriétés de situation des figures s. et s. p. dans l'espace , dérivent uniquement de la définition admise ci-dessus jointe à la propriété (168), des triangles situés dans l'espace ou sur un plan, propriété qui est la même soit que la droite de concours se trouve ou non à l'infini, on en conclura aisément que les propriétés purement descriptives des figures homologiques sont exactement conformes à celles qui ont lieu pour les figures s. et s. p. , si ce n'est toutefois que les lignes homologues, au lieu d'être parallèles, sont concourantes, comme il résulte de la définition même admise pour ces sortes de figures.
Des figures rectilignes et polyédrales, on passe d'ailleurs immédiatement aux lignes et aux surfaces courbes quelconques; en sorte que les conséquences qui précèdent sont générales et s'appliquent à toutes les figures possibles décrites ou données à volonté dan* l'espace. Ainsi les figures homologiques, telles que noua venons de les définir en dernier lieu, et quelle que soit la manière dont elles se composent, ont entre elles des relations absolument analogues k celles des figures homologiques décrites sur un plan; c'est-à-dire qu'elles sont encore des espèces de perspectives ou de projections les unes des autres, pour lesquelles la droite de concours ou l'axe d'homologie des deux figures est remplacé par un plan, sur lequel viennent s'entrecouper également toutes les lignes et toutes les surfaces homologues de l'une et de l'autre figure, et qui est ainsi le lieu des points de l'espace qui sont leurs propres homologues par rapport à ces figures.
578. Pour établir ces diverses conséquences, il n'est pas plus nécessaire, dans le cas de l'espace que dans celui du plan (3oo), de recourir aux propriétés déjà établies pour les figures s, et s. p. ; car ce qui précède montre assez (*) comment on peut y arriver directement, sans s'appuyer sur autre chose que sur la propriété évidente des triangles homologiques, et sur la définition que nous venons de donner des figures homologiques en général. Bien plus, si l'on suppose que
le plan d'homologie s'écarte à l'infini dans l'espace, on retombera, comme on
■ 1 • • % • ■ 1 . 1 ■ .il»
(*) Nous reviendrons sur ce sujet, an peu plus loin (683), à l'occasion du tracé de la figure homologique dune figure donnée dans l'espace.
372 PROPRIÉTÉS PROJECTTVES.
yoit et ainsi que nous Pavons déjà fait remarquer (3oi) pour le cas des figures planes homologiques , sur toutes les propriétés des figures s. et s. p. , qui ne concernent que la direction indéfinie des lignes et non leur mesure ; lesquelles peuvent ainsi être établies indépendamment de toute relation métrique, ou sans recourir au principe de la proportionnalité des lignes homologues.
Il serait d'ailleurs inutile d'insister sur ce rapprochement entre les figures homologiques et les figures s. et s. p. dans l'espace , soit qu'on compare entre elles leurs propriétés métriques ou leurs propriétés descriptives, puisque nous ne pourrions que répéter ici, en des termes un peu plus généraux, ce qui a déjà été dit à l'occasion des figures tracées dans un plan ; nous nous bornerons en conséquence à énoncer simplement quelques-unes des propositions qui résultent immédiatement de celles établies (241) relativement aux figures s. et s. p. dans l'espace, lesquelles s'appliquent, comme nous venons -de le faire observer, d'une manière analogue aux figures homologiques en général*
579. Considérons, par exemple, deux surfaces quelconques ayant un centre et ttn plan d'homologie; il est clair, d'après tout ce qui précède, que
i°. « Ces surfaces, nécessairement du même ordre, auront une section plane commune, réelle ou imaginaire, suivant le plan d'homologie, qui ainsi est un plan de section, réelle Ou idéale, des deux surfaces* »
a°. « Ces surfaces seront susceptibles d'être enveloppées par un même cône, réel ou imaginaire , qui aura pour sommet le centre d'homologie. »
3°. « Le plan tangent à Tune des surfaces aura, pour homologue, le plan tangent à la seconde, au point homologue à celui de contact du premier, et ces deux plans se couperobt sur le plan d'homologie. *
49. « Toute seétion plane de l'une des surfaces aura pour homologue une section plane de l'autre, du même ordre, et qui appartiendra au même cône de projection ou d'homologie ; de plus , les plans de ces deux sections iront s'entrecouper, sur le plan d'homologie, suivant- une droite qui sera une sécante, réelle ou idéale , commune aux deux-courbes correspondantes. »
5°. « Si l'on circonscrit un cône à l'une des surfaces, son homologue sera aussi un cône, du même ordre, circonscrit à l'autre, et ayant, avec le premier, le plan d'homologie pour section plane commune, réelle ou idéale.»
6°. « Etc. »
580. Toutes ces propriétés étaht, en quelque sorte, évidentes d'après le rapprochement que nous venons d'établir entre les figures homologiques en général et les figures s. et s. p. > il sera très-facile de les multiplier indéfiniment. Il résulte d'ailleurs, de ce rapprochement, cette notion nouvelle et. paradoxale, quoique
'fort exacte :
Tous les points à F infini de F espace peuvent être censés appartenir à un seul et même plan, nécessairement indéterminé de situation.
Ce principe n'est qu'une extension de celui de l'art. 96, et peut s'en déduire directement, au moyen du principe de continuité. En effet, une surface plane a pour caractère principal d'être toujours coupée, par une autre surface pareille, suivant une ligne droite unique , située à distance donnée ou infinie ; or c'est là ce qui a Heu précisément à l'égard de celle qu'on peut concevoir renfermer tous les points à l'infini de l'espace; puisque déjà, en vertu du principe cité, tous les points à l'infini d'un plan doivent être regardés comme distribués sur une seule et même ligne droite.
D'ailleurs, deux droites quelconques, situées à l'infini, pouvant être censées les concours respectifs de deux paires de plans parallèles, et ces quatre plans s'entrecoupant en outre suivant quatre droites qui sont parallèles ou concourent en un même point, à l'infini, appartenant aux deux droites en question, on voit que toutes les droites à l'infini peuvent être censées s'entrecouper deux à deux ; donc enfin toutes ces droites , et par conséquent tous les points à l'infini de l'espace , peuvent être considérés comme appartenans à un même plan. De plus , comme un plan quelconque peut se transporter , d'une infinité de manières différentes, à l'infini, et qu'alors il peut être censé renfermer tous les points de concours des droites parallèles , on voit que la direction du premier est nécessairement arbitraire ou plutôt indéterminée.
58 1. Ce qui précède peut servir à justifier à posteriori, et d'une manière pour ainsi dire entièrement rigoureuse, l'exactitude de cette notion générale, et il est fort inutile, pour notre objet actuel, d'en apporter des exemples particuliers, dont le nombre, au surplus, n'est pas moins considérable que pour le cas où les points à l'infini que l'on considère sont tous situés dans un plan donné, et qui, pour la plupart , présentent des circonstances entièrement analogues. Nous nous bornerons seulement à remarquer que, de la même manière que deux systèmes différens de parallèles, tracés sur un plan, déterminent complètement (r 98) k droite à l'infini de ce plan, pareillement trois systèmes de parallèles quelconques de l'espace doivent déterminer entièrement le plan à l'infini qui leur correspond. Ainsi l'on doit pouvoir résoudre le problème suivant, sans employer autre chose que le plan et la ligne droite :
Par un point , donné à volonté dans F espace, mener une droite parallèle u une droite donnée , ayant d'ailleurs à sa disposition trois systèmes quelconques de parallèles situées dans des plans différens et non parallèles?
Quand l'on ne se donne qu'un seul système de parallèles , il ne détermine qu'un seul point à l'infini, et .l'on ne peut mener que des droites qui aillent
374 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
concourir en co point ou qui soient parallèles aux premières; mais la solution se réduit alors à quelque chose d'extrêmement simple pour le cas de l'espace : en effet si, par ce point et par chacune des parallèles données, on mène deux plans, leur intersection commune sera la droite demandée. On observera d'ailleurs* que, pour que la construction s'exécute, dans ces divers cas, avec la règle seulement, il est nécessaire qu'on prenne, pour y rapporter les objets de la figure, deux plans et deux centres de projection quelconques (*); mais quelqu'intérêt que présentent ces dernières considérations, nous ne devons pas oublier que notre objet véritable est Thomologie des figures dans l'espace.
58a. D'après les diverses remarques qui précèdent, il est évident que tout ce que nous avons dit (sect. III, chap. I), sur la manière de décrire , dans le cas du plan, l'une des figures homologiques au moyen de l'autre et de certaines données , comme aussi de trouver directement, et par des procédés purement graphiques, tout ce qui lui appartient, s'applique , d'une manière analogue , au cas où les figures sont situées dans l'espace 5 pourvu toutefois qu'on remplace l'axe d'homologie par un plan , et que le nombre des données soit suffisant pour faire trouver, avec le centre et l'axe d'homologie, au moins un point de la figure non décrite et l'homologue de ce point.
Ainsi, par exemple, trois paires de points homologues quelconques et le centre d'homologie ne suffiraient plus pour déterminer entièrement l'une des figures au moyen de l'autre , il en faudrait nécessairement quatre. Or on peut remarquer qu'en joignant deux à deux, par des droites, les quatre points de chaque figure, on obtiendra six lignes droites, de part et d'autre, qui formeront deux tétraèdres, et iront se couper en six points appartenans au plan d'homologie; de plus, ces six points seront, trois par trois, sur quatre droites intersections des faces homologues des tétraèdres. Les mèmgs choses ayant lieu nécessairement pour deux tétraèdres quelconques dont les sommets seraient, deux à deux, sur six droites couvergeant en un même point de l'espace , il en résulte , comme on voit , uu théorème fort beau, sur ces figures, et entièrement analogue à celui (167) qui est relatif aux simples triangles homologiques : c'est-à-dire que
Deux tétraèdres quelconques, qui ont un centre d'homologie ou de projection f ont aussi un plan d'homologie ou de concours , et vice versa.
583. Je reviens à la théorie générale des figures homologiques, et, pour cou--
(*) Dam la Géométrie descriptive, on prend d'ordinaire deux plans de projection rectangulaire* entre eux , et l'on j rapporte tons les points de l'espace par des perpendiculaires abaissées de ces points sur chaque plan ; c'est-à-dire que l'on prend un centre de projection particulier pour chaque plan , et que ce centre est situé à l'infini dans une direction qui lui est perpendiculaire. On voit , d'après cela, çueUe sorte d'ope'ratioas on aurait à ese'cuter pour le cas gênerai dont il s'agit.
armer ce qui n'a été simplement qu'avancé au commencement de Part. 578, j'observe qu'en partant de la construction qui' sert à décrire l'une des figures au moyen de l'autre, quand l'on en a un point avec son homologue, et qu'on connaît en outre le centre et le plan d'hômologie , il serait très-aisé d'établir, <à priori, toutes les propriétés de ces Mortes de «figures. ' ' .
En effet, il résulte de cette construction ; que , si Ton imagine dans l'espace '«ne Suite de triangles dont les côtés respectifs* ou leurs prolongeméns pivotent constamment sur le point donné, sur l'homologue à ce point et sur le centre d'hômologie, tandis que deux des sommets de ces triangles' s'appuient sans cesse, l'un sur le plan d'hômologie, l'autre sur la figure donnée, le troisième sommet parcourra lui-même successivement tous les points de la figure homologique.
Or il est évident à priori, et d'après les notions les plus* simples du plan et de la ligne droite, que, si le sommet qui appartient à la figure directrice demeure sur une droite, l'autre demeurera pareillement sur une droite; que s'il demeure sur un plan, l'autre demeurera également sur un plan, et tracera la perspective ou projection centrale ordinaire des points contenus dans le premier; qu'enfin , si ce point est assujetti à demeurer sur une ligne ou surface courbe d'un certain ordre, l'autre décrira pareillement une ligne ou surface courbe de cet ordre, comprise dans le même cône enveloppe ou projetant, et ayant la même section suivant le plan d'homologie , etc. En général , on voit qu'il -existera, entre là figure primitive et sa dérivée, une corrélation de propriétés et -de construction entièrement analogue à celle qui à liçu pour le cas de la projection ou perspective ordinaire sur un plan; c'est-à-dire que les deux figures jouiront exactement des tnémes relations projeCtives dans le sens indiqué au commencement de cet ouvrage.
Il est sans doute inutile de dire que les mêmes choses auront lieu également pour les relations proj écrives qui sont purement métriques (i3).
584« Quand il s'agit de représenter une scène quelconque de la nature au moyen d'un relief, le parti le plus convenable et qui est le plus susceptible de remplir complètement l'effet désiré est, sans contredit, de représenter les objets dans -leur grandeur et leur disposition naturelles , ou tout au moins de les exécuter en petit exactement comme ils se trouvent en grand ; c'est- à* dire qu'alors tous les objets du relief doivent être s. et s. p. relativement à ceux qu'ils représentent dans la nature. Mais, quand on est contraint, par quelques raisons particulières, de restreindre la profondeur du tableau, et qu'on veut cependant conserver aux figures une certaine dimension en hauteur et en largeur, On à recours alors à ce qu'on nomme des bas- reliefs, lesquels ne sont, à proprement parler, que des reliefs très-applatis et fixés d'ordinaire contre une surface plane, sur laquelle ik
376 PR0PR1ÉTS PROJECTIVES.
saillent d'une certaine quantité : telles sont , par exemple , les figures qui se trouvent sur les médailles , et celles qu'on aperçoit sur les murs de certains édifices publics, etc. Il est évident que, dans ce cas, l'artiste n'a plus qu'un seul parti à prendre, c'est celui de construire le relief de façon que les apparences des formes géométriques, si non celles dues aux effets de lumière, soient rigoureusement observées, dans le tableau , pour une position particulière donnée de l'œil de l'observateur ; car on sent assez qu'il en doit être ici comme de la perspective linéaire sur une surface plane ou courbe, qui ne peut produire un effet entièrement satisfaisant que pour un point de vue unique.
Le bas- relief devra donc être construit de telle sorte que, du point de vue donné, les points, les lignes, les figures rectilignes ou polyédrales, etc., aient entre elles, par rapport à l'œil du spectateur, la même disposition que les objets de la nature qu'on suppose placés en arrière j c'est-à-dire qu'ils devront appartenir aux mêmes rayons , aux mêmes plans , aux mêmes cônes visuels. Il faudra , en outre , si le fond du bas- relief est une surface plane, il faudra, dis-je, pour éviter autant que possible les effets désagréables de lumière , que les droites demeurent des droites, que les figures contenues dans un plan, comme la façade d'une maison, la section ou le contour apparent d'une certaine surface , etc. , conservent cette propriété sur le tableau comme dans la nature ; en un mot, il faudra que chaque partie plane dont il se compose puisse être considérée comme une perspective ordinaire de celle qu'elle représente, et qu'elle ait avec elle la plus grande analogie de forme possible. Or il est évident que toutes ces conditions ne peuvent être remplies qu'autant que l'on considère le bas-relief et la scène comme deux figures homologiques, dans le sens que nous venons d'envisager précédemment.
585. La scène et le plan par lequel on la suppose limitée étant donnés, aussi bien que l'œil et le fond du tableau , qui peut être censé représenter ce plan limite, et qui est par conséquent le plan homologue du premier (*), on aura déjà une droite, intersection de ces deux plans, située tout entière dans le plan d'homologie ou de concours des lignes homologues 5 de sorte qu'il suffira de rechercher un autre point quelconque de ce plan , pour qu'il soit entièrement déterminé de position par rapport aux deux figures. Or il reste encore une condition essentielle à remplir relativement au bas-relief, c'est celle de sa plus grande saillie sur le plan du fond , laquelle est toujours fixée par quelque raison particulière de convenance ou de localité.
Supposons donc qu'on se donne le point le plus saillant du bas-relief, repré-
(*) Il convient tins doute, dans U pratiqua, de supposer ces deux plant parallèles, et alors le plan dliomologie leur est nécessairement aussi parallèle, de même que tons les systèmes de deux plant homologues dont Ton quelconque jouirait de cette propriété.
sentant le point le plus avancé de la scène, vers l'œil du spectateur, on aura tout ce qu'il faut pour fixer la position des diverses parties du tableau ou du bas-relief.
En effet, ayant déjà deux plans homologues déterminés selon ce qui précède, on aura, par là même, une infinité de paires de points homologues appartenans à ces plans; joignant donc, par une droite, le point le plus avancé de la scène avec l'un quelconque des points du plan limite qui lui correspond, et construisant de même , pour le bas- relief , la droite qui joint les points homologues aux premiers, ces deux droites iront se rencontrer en un point appartenant (577) au plan d*homologie , dont on connaîtra ainsi la position absolue dans l'espace , et "qui servira à construire , au moyen du point de vue et du point donné sur le bas*relief , toutes les parties dont celui-ci se compose.
Il est évident que c'est d'après des principes analogues que l'on doit disposer les décors de théâtre, la scène elle-même et la salle tout entière, afin de rendre l'illusion la plus complète possible pour les spectateurs.
586. Au reste , mon objet n'est pas d'écrire un traité suivi sur cette matières je me contenterai d'avoir posé les principes , qui ne me paraissaient établis nulle part , et qui sans doute n'étaient suppléés , dans les divers cas , que par des méthodes particulières basées sur des règles de convenance et de goût, connues seu*lement du petit nombre des vrais artistes (*)• On sentira facilement que les constructions générales qui précèdent peuvent être remplacées , dans certaines circons-^ tances , par d'autres beaucoup plus courtes et plus faciles pour la pratique > de la même manière que, dans la perspective ordinaire, il existe-des méthodes particulières beaucoup plus expéditives que la méthode générale indiquée par la Géométrie descriptive.
Ainsi, par exemple, on pourra considérer la scène comme coupée par une suite de plans équidistans , parallèles au plan du fond du tableau , et constriiire leurs perspectives, également parallèles à ce fond (art. 584, note), au moyen de V Echelle fuyante ou harmonique (27). Construisant ensuite, sur «es derniers, la perspective linéaire des intersections qui correspondent aux autres , on aura les intersections relatives au bas-relief ou tableau. On voit, d'après cela, ce qu'il y aurait à faire si le fond du tableau, ou le plan contre lequel il s'appuie, était une surface courbe donnée. Mais nous laisserons aux artistes instruits le soin de développer ces idées de la manière convenable, pour les mettre à la portée
du grand nombre de ceux qui exécutent.
(*) Je ne connais anomn Traite4 de perspective où l'on ait pose* des règles fixes pour la construction des bas-reliefs; l'Encyclopédie elle-même, qui traite de tout, ne parle qne d'une manière vague, d'harmonie, de dégradation des objets, d'effets de lumière, etc., en se contentant, pont le reste, dé renvoyer ma règles de perspective ordinaire.
378 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
Des centres et plans d*homologie9 des points, lignes et surfaces polaires des surfaces du second ordre. — Contacts et oscillations de ces surfaces.
587. D'après les principes exposés aux art. 578 et 583 , la surface homologique d'une surface donnée du second ordre est une autre surface du second ordre ayant nécessairement une section plane commune avec la première suivant le plan d'homologie , et qui est enveloppée par un même cône ayant son sommet au centre d'homologie ; or je dis que, si seulement deux surfaces du second ordre (C), (C) sont enveloppées par un même cône , ces surfaces seront nécessairement homolo— giques, et cela de deux manières différentes, par rapport au sommet du cône dont il s'agit ; de telle sorte que les plans d'homologie correspondans se confondront) pour la direction , avec l'une ou l'autre des branches de pénétration des deux surfaces (C)et(Cf), branches qui sont ainsi nécessairement planes dans le cas qui nous occupe.
On pourrait aisément démontrer ce théorème en partant des propriétés relatives au cas particulier de deux sections coniques tracées sur un même plan ; mais on peut aussi y arriver, d'une manière entièrement-directe, ainsi qu'il suit*
En effet, le cône circonscrit à la fois aux deux surfaces (C)et(C') détermine sur elles deux courbes de contact, dont l'une est nécessairement l'homologique de l'autre par rapport au sommet de ce cône; et, si l'on prend à volonté, sur la surface (C), un point quelconque a, et qu'on mène, par ce point et par le sommet du cône, une droite, elle ira déterminer, sur la surface (C')> deux nouveaux points a' y an9 dont l'un quelconque pourra être censé l'homologue du premier. Or les deux courbes de contact, qui sont planes, et les deux points homologues a et al y ainsi choisis, déterminent un plan d'homologie (585), au moyen duquel et des points a et a* on pourra construire (58a) la surface du second ordre réellement homologique de (O), laquelle passera évidemment par le point a, et touchera le cône enveloppe suivant la même courbe que (C). " '
D'ailleurs deux surfaces du second ordre, qui ont une section plane de contact commune et passent, de plus, par un même point quelconque, doivent nécessairement se confondre en une seule et même surface, puisqu'il en doit être ainsi (194) de l'infinité de sections planes faites dans ces surfaces par le point commun a; donc la surface du second ordre (C) est réellement l'homologique de celle (C), ainsi qu'il s'agissait de le démontrer* D'après la loi de continuité, cette conséquence s'étend même au cas où le centre d'homologie cesse d'être un sommet de èône enveloppe réel; et, comme il y a deux points a? et a" qui correspondent à. un même point a de (C) , sur (C) , on voit qu'il existe aussi deux pbuas distincts d'homologie %
ou de section commune , qui jouissent de propriétés pareilles à l'égard des deux surfaces proposées et du sommet dont il s'agit. Donc enfin ,
Quand deux surfaces du second ordre ont un sommet de cône enveloppe commun , soit réel, soit idéal, elles sont, de deux manières différentes , homologiques ou projections tune de F autre par rapport à ce sommet, qui ainsi est un centre dhomologie; de plus ces sur/aces ont alors deux sections planes communes, réelles ou idéales , dont les directions indéfinies se confondent avec celles des plans (F ho— mologie conjugués à la fois (292) au sommet du cône.
588. On remarquera , en passant, que, lorsque les deux surfaces proposées sont deux surfaces coniques , le cône enveloppe de ces surfaces dégénère en deux plans tangens à la fois à chacune d'elles , et qu'alors il y a une infinité de centres d'homologie, tous placés sur la droite d'intersection de ces plans, lesquels jouissent individuellement des mêmes propriétés par rapport aux deux surfaces proposées. C'est ce qu'au reste on pourrait conclure immédiatement des propriétés établies , dans le 1er. chap. de la IIIe. section, pour le système de deux lignes quelconques du second ordre tracées sur un plan commun.
589. Supposons maintenant qu'on applique, au cas général qui nous occupe, les raisonnemens établis, art. 247, pour le centre de similitude de deux circonférences de cercle quelconques tracées sur un plan, il en résultera évidemment le théorème qui suit :
Un point quelconque de F espace peut être considéré y par rapport à une surface du second ordre quelconque , comme le centre dhomologie ou de projection des deux nappes qui ont leurs courbures dirigées en sens contraire à F égard de ce point f et le plan dhomologie ou de concours ri est autre chose alors que le plan polaire ou de contact relatif à ce même point, pris pour pôle ou pour sommet dune surface conique enveloppe de la proposée.
590. Ainsi les propriétés du pôle et du plan polaire des surfaces du second ordre et celles des droites polaires qui en dérivent immédiatement, propriétés qui ont été établies par MM. Monge, Livet, Brianchon et Chasles, dans les recueils de l'Ecole polytechnique (*}, ne sont que des cas particuliers des propriétés du centre et du plan d'homologiej et cette conséquence subsiste évidemment, d'une manière analogue , quand on suppose la surface remplacée par le système de deux plans arbitraires, dont l'un quelconque peut d'ailleurs passer tout entier à l'infini, sans que'les propriétés cessent d'exister. ,
L'énoncé qui précède indique même beaucoup plus que ce qu'on a coutume de considérer, et l'on doit ajouter, comme chose évidente d'après le principe (i55)
(*) Géométrie descriptive , par G. Monge , S. 38 et §uiv. ; XIIIe. cahier dn Journal Je TBoole Pofptechnique , pag. 170 et 397 ; Correspondance sur ta même Ecole , un. II , pag. 3aa et tom III, pag. 1 1.
38o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
relatif au quadrilatère plan avec ses trois diagonales, que toute transversale passant par le pôle (ou centre oV homologié) détermine , sur la surface proposée et sur le plan polaire (ou plan d 'homologié) , trois points qui, avec le premier , forment un groupe harmonique,
5g r. Quand le plan polaire passe à l'infini , l'homologie'devient similitude (578), ou plus exactement encore symétrie 5 le pôle se confond donc alors avec ce qu'on nomme le centre de figure de la surface ; centre qui , comme on voit, est lui-même situé à l'infini toutes les fois que le plan polaire dont il s'agit est tangent à la surface proposée, ou que cette surface est du genre des paraboloïdes (vZ%).
De là aussi on déduirait immédiatement toutes les propriétés connues des diamètres, des plans diamétraux, des sections parallèles, etc. des surfaces du second ordre, sur quelques- mies desquelles nous nous proposons de revenir un peu plus loin*
La facilité avec laquelle nous venons de passer des propriétés du pâle à celles du centre, au moyen de la notion établie art. 58o, est très-propre d'ailleurs à faire sentir la justesse et l'utilité de cette notion , qui peut même servir, comme on vient de le voir par l'exemple qui précède , à établir le critérium de chacpie genre particulier des surfaces du second ordre, aussi bien que leurs différens modes de génération, au moyen des lignes droites et des sections coniques; mais je n'entrerai pas , pour le moment , dans le détail de cette discussion qui est facile. " 592. Enfin on déduirait encore, de ce qui précède, toute la théorie des polaires réciproques des surfaces du second degré , que nous n'avons jusqu'ici établie (sect. II , chap. II) que pour le cas particulier des sections coniques tracées sur un plan *, ce qui conduirait à une foule de conséquences , aussi neuves qu'intéressantes, sur les figures situées en général dans l'espace : par exemple , on en déduirait, avec facilité, la démonstration du beau théorème de M. Brianchon, cité à l'art. a3r. Mais il serait aussi long que superflu de nous arrêter au développement de ces diverses conséquences, qui ne présenterait qu'une répétition continuelle, ou plutôt qu'une extension facile des principes déjà posés pour le cas particulier des sections coniques ; nous ferons seulement remarquer qu'en appliquant la théorie des polaires réciproques, ainsi généralisée, aux considérations qui précèdent (587), on serait conduit immédiatement à la proposition inverse qui suit :
Quand deux surfaces du second ordre ont un plan de section commune, réelle ou imaginaire, elles ont, par là même, deux centres eT homolôgie conjugués , sommets des cônes qui enveloppent à la fois ces sur/aces, et fouissant à leur égard de toutes les propriétés, nombreuses qui appartiennent en général à ces sortes de points ; de, plus elles ont une autre section glane commune, réelle ou imaginaire , conjuguée -a. la première..
SUPPLÉMENT. 3&r
5g3« Pour lé cas particulier de deux sphères ou de deux surfaces du second ordre s. et s. p. , ce que nous avons nommé (2Qj)rhomologie directe devient similitude, comme pour le cas des sections coniques, et le plan d'homologiè correspondant ou de section commune passe tout entier à l'infini. Delà résulte donc r pour les sphères et les surfaces du second ordre s. et s. p. , les diverses notions et propriétés analogues à celles établies en particulier (sect. II, chap. III) pour le» cercles et les sections coniques également s. et s. p. Ainsi Ton voit que deux telles surfaces ont toujours une section plane commune à l'infini , réelle ou idéale , et qu'elles en ont nécessairement une autre , de cette espèce , située en général à distance donnée et finie , sur le plan de laquelle concourent les droites et plans inversement homologues, etc., etc.
594. Enfin les propriétés générales des surfaces du second ordre, qui ont un centre d'homologie , conduisent encore sans peine , comme conséquence particulière , à la théorie des contacts et des oscillations de ces sortes de surfaces ; mais il est à remarquer qu'ici il n'en est pas de même que pour le cas de deux sections coniques , qui ne peuvent se toucher en un point sans que ce point soit un centre d'homologie (3 19)5 car deux surfaces du second ordre ne sont pas toujours susceptibles d'être enveloppées par un même cône de cet ordre , ou d'avoir un centre d'homologie ; il faut nécessairement (587), pour que cela ait lieu, que leurs courbes d'intersection soient planes.
Puisque deux surfaces du second ordre , qui ont un point de contact commun^ ne sont pas nécessairement homologiques par rapport à ce point, recherchons quelle espèce de conditions elles doivent remplir pour que cela ait lieu.
Remarquons d'abord que deux surfaces quelconques peuvent être -tangentes de deux manières différentes en un point commun. Dans l'une, elles peuvent n'avoir aucun autre point commun aux environs du premier; et alors elles doivent être censé avoir une branche de pénétration infiniment petke confondue avec ce point. Dans l'autre , les deux surfaces peuvent se pénétrer en plusieurs branches de courbes., dont deux au moins passent par ce point, qui est ainsi multiple 5 il est > en effet, évident que, dans ces divers cas, les surfaces auront également un élément ou un plan tangent commun au point dont il s'agit.
Cette remarque s'applique même au oas particulier àxt plan tangent à- une sur^ face donnée; et alors, si cette surface est du second degré-, leplan tangent déterminera sur elle, dans la première hypothèse, une section plane infiniment petite,, dont les sections parallèles, seront elliptiques ; dans l'autre, les deux branches dé pénétration, appartenantes au point de contact, devront nécessairement se- ré— duire au système de deux droites passant par ce point et parallèles aux asymptotesdesjsefitîons . hyperboliques de la surface,' qui sont elles-mêmes parallèles au pjàife
38» , PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
tangent ; car une ligne du second ordre ne peut évidemment avoir deux branches distinctes passant par un point, à moins qu'elle ne se confonde entièrement avec les tangentes en ce point. Les deux droites en question pouvant d'ailleurs être censées imaginaires pour la première hypothèse, il est permis de conclure, en général ( t 1 1) , que , par un point quelconque pris sur une surface du second ordre , il passe deux lignes droites, réelles ou imaginaires , situées tout entières dans cette surface, et que par conséquent une telle surface peut, aussi en général , s'engendrer de deux manières différentes , par le mouvement de simples lignes droites.
Pour r ellipsoïde y Thyperboloïde à deux nappes et le paraboloïde elliptique qui présentent partout leur convexité au plan tangent, les deux modes de génération sont imaginaires , mais ils sont évidemment réels pour Yhyperboloïde à une nappe et pour le paraboloïde hyperbolique dont le plan tangent en un point quelconque pénètre nécessairement la surface. On voit même que ce dernier ayant (5ç;i) un plan tangent à l'infini, a également deux génératrices à l'infini, qui sont tout entières sur sa surface; or de là et du principe de l'art. 107, résulte immédiatement tout ce que Ton connaît sur la génération du paraboloïde hyberbolique au moyen de deux droites.
595. Revenons maintenant à notre premier objet, et remarquons que, lorsque deux surfaces du second ordre ont un point de contact commun , il ne suffit même pas, pour pouvoir affirmer qu'elles ont ce point pour centre d'homologie, qu'elles aient simplement des sections planes communes, et qu'elles soient aptes par conséquent à avoir en général deux centres d'homologie (587) ; car deux surfaces quelconques du second, ordre , qui se coupent suivant deux lignes planes , et qui ont ainsi deux centres d'homologie distincts non situés sur ces surfaces, ont cependant , pour points de contact communs , ceux où se rencontrent , en général , les deux courbes des sections planes dont il s'agit. Or, pour peu qu'on réfléchisse aux propriétés du centre et du plan d'homologie , il sera aisé de voir que deux surfaces du second ordre, qui ont un point de contact commun , ne pourront être homologiques par rapport à ce point , qu'autant que le plan tangent qui lui correspond ne puisse être regardé comme un plan d'homologie ou de section commune à la fois à ces surfaces.
Cela posé , si nous considérons deux surfaces du second ordre ainsi tangentes en un point commun , il est clair, d'après ce qui précède (594) , que , pour que le plan tangent en ce point puisse être censé une section plane commune aux deux surfaces, il faut que les deux génératrices, réelles ou imaginaires, qui correspondent au plan tangent , se confondent pour l'une et l'autre surface , ou soient les mêmes ; c'est-à-dire que les sections planes, parallèles au plan tangent commun devront être s. et s. p. : elliptiques d'ailleurs si le plan tangent détermine une
section plane commune infiniment petite dans les surfaces ; hyperboliques si , au contraire, ce plan renferme deux génératrices communes à ces surfaces.
Enfin les mêmes conditions seront évidemment remplies, en général, si les deux surfaces du second ordre ont une section plane commune unique, indépendante du point de contact ; car le plan de section ou d'homologie, conjugué à celui là, renfermera ce point et ne pourra être évidemment autre chose que le plan tangent même qui lui correspond; autrement, en effet, il serait sécant et donnerait une seconde branche de pénétration des deux surfaces , ce qui est contre l'hypothèse.
696. Dans les deux cas précédens, qui reviennent identiquement au même comme on voit, et qui ne peuvent exister l'un sans l'autre, les deux surfaces du second ordre proposées auront le point de contact commun pour centre dnho~ inologie, et le plan de section commune correspondante pour plan d'homologie conjugué à ce centre j par conséquent on pourra se servir des procédés indiqués ci-dessus (58a et 583), soit pour construire Tune des deux surfaces au moyen de l'autre et de certaines données, soit pour déterminer directement tout ce qui lui appartient.
Or je dis que les mêmes choses auront lieu encore , pourvu seulement que les surfaces proposées aient un contact du second ordçe au point commun dont il s'agit.
En effet, quelle que soit alors la courbe de pénétration des deux surfaces, on pourra toujours prendre sur elle deux points, autres que le point de contact, et qui détermineront avec lui un plan, lequel rencontrera ces surfaces suivant deux lignes du second ordre ayant cinq points communs , dont trois confondus en un seul au point de contact ; or c'est ce qui ne peut être évidemment (204) à moins qu'elles ne se confondent en une seule et même courbe , commune à la fois aux deux surfaces proposées, et par conséquent sans que la courbe d'intersection de ces surfaces ne soit plane. On voit d'ailleurs que les deux surfaces ne sauraient avoir d'autre branche d'intersection, si ce n'est celle infiniment petite qui se trouve confondue avec le point de contact; donc ce point sera un centre d'homologie de ces surfaces, conjugué au plan de section distincte dont il s'agit, et par conséquent comme tel il jouira des diverses propriétés déjà souvent signalées.
597. Pour passer de là au contact du troisième ordre, il suffit évidemment de supposer que la seconde section plane devienne infiniment petite comme la pre»» mi ère, ou se confonde avec le plan tangent, qui sera ainsi devenu doublement un plan d'homologie des deux surfaces. Dans ce même cas-, une seule condition, comme celle de passer par un point quelconque donné, suffira poux construire entièrement la surface osculatrice par le procédé indiqué (art. 58a et 583), 11
364 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
•en faudrait nécessairement deux pour le contact du second ordre, et trois pour celui du premier, tout comme cela a lieu pour le cas particulier des lignes du 'Second ordre.
Il est facile, au surplus, d'étendre ces considérations à des surfaces quelconques, et de voir, pour le cas actuel , ce que devient le second centre d'homologie.
Enfin , de ces différentes remarques , on déduirait immédiatement toutes les notions relatives aux surfaces du -second degré qui sont mutuellement oscilla triées en un point; mais, au lieu de nous arrêter davantage à cet examen, il vaudra beaucoup mieux que nous revenions sur le cas général des surfaces du second degré homologiques, pour y ajouter quelques éclaircissemens que nous avons dû négliger dans ce qui précède, afin de ne pas partager inutilement l'attention.
Application de la loi de continuité à la démonstration des principales propriétés
■des sections planes des surfaces du second ordre.
598. La démonstration, d'où nous sommes parfis, art. 5 87, pour établir tes divers théorèmes qui précèdent, est entièrement analogue a celle qui a été mise en usage à l'art. 294 pour le cas des sections coniques, et Von voit qu'elle repose sur les mêmes principes et offre les mêmes restrictions. Les conséquences qui en résultent ne peuvent recevoir toute leur extension qu'en invoquant la loi de continuité; comme elle, elle repose, en dernière analyse, sur ce principe que, « par cinq points pris à volonté sur un plan , ne passe jamais qu'une seule et même » ligne du second ordre*; principe qui .peut, à la rigueur, être regardé comme une autre conséquence delà loi -de continuité.
En effet, si l'on suppose que l'une des deux courbes change de forme, par succession insensible, de façon qu'en conservant toujours le même degré ou la même nature , elle tende sans cesse à dégénérer en deux lignes droites ; par suite de la loi de continuité(559), elle devra aussi sans cesse conserver le même nombre de points d'intersection réels, imaginaires, etc., avec l'autre; or il est évident qu'à la limite, <:e nombre ne saurait surpasser quatre, d'après la définition même adoptée pour les lignes du second ordre; donc pareillement les courbes proposées ne peuvent avoir plus de quatre points communs , et , si elles en ont réellement cinq 9 elles se confondent nécessairement en une seule et même -courbe. Ce tour -de démonstration pourrait encore servir évidemment à prouver que toutes les lignes du second ordre sont nécessairement des sections coniques»
> 599. Ainsi les diverses propriétés des surfaces du second ordre , qui viennent de nous occuper précédemment, dérivent immédiatement et uniquement des premières notions du plan et de la ligne droite , pourvu qu'on admette , dans
toute leur étendue, les conséquences du principe de continuité. A la vérité la démonstration de l'art. 587 repose encore sur ce théorème que la courbe de contact de deux surfaces quelconques du second ordre est plane ; mais il est aisé de voir que la démonstration de ce dernier théorème peut également être établie au moyen des mêmes principes.
Que Ton prenne, en effet, trois points quelconques de la courbe de contact pour y faire passer un plan ; ce plan coupera les deux surfaces suivant deux lignes du second ordre , qui se toucheront aux trois points dont il s'agit , ou auront six points communs confondus, deux à deux, en un seul; ce qui ne peut être, selon ce qui précède, à moins que les deux courbes ne se confondent en une seule et même courbe commune à la fois aux deux surfaces. Mais celles-ci ne sauraient évidemment avoir d'autres points communs que ceux de la courbe de contact ; donc cette courbe se confond tout entière avec la précédente; donc enfin elle est plane.
On serait arrivé plus directement au but, en observant que la courbe de contact est nécessairement telle que tout plan transversal arbitraire ne la rencontre qu'en deux points seulement ; or cela ne peut avoir lieu que pour les seules lignes du second ordre , qui d'ailleurs sont toutes planes : s'il était possible , en effet, qu'il y eût des lignes du second ordre à double courbure, on pourrait toujours mener, par trois points quelconques d'une telle courbe, un plan transversal; ce qui est contre .l'hypothèse, à moins que la courbe ne soit comprise tout entière dans le plan transversal.
600. On démontre d'ailleurs, avec une égale facilité, les diverses autres propriétés générales des surfaces du second ordre et des lignes qui s'y trouvent renfermées, pourvu qu'on admette toujours le principe de continuité.
Remarquons d'abord que deux sections planes quelconques d'une surface du second ordre ont, en général, deux points réels communs situés sur la droite d'intersection de leurs plans ; c'est-à-dire que cette droite est une sécante commune, qui devient idéale quand les deux points en question sont impossibles ou imaginaires, et qui, en vertu du principe cité, n'en conserve pas moins toutes ses propriétés primitives (*).
Cela posé, considérons, par exemple, deux surfaces du second ordre ayant une section plane commune, réelle ou idéale; je dis que, conformément à ce qui a déjà été établi, d'une manière différente, dans ce qui précède (59a), ces surfaces auront nécessairement une autre section plane commune conjuguée à la première; ou, en d'autres termes:
(*) Nom ayons démontre* les mêmes choses rigoureusement, art. 65, sans recourir an principe de continuité.
386 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
Si Tune des branches d'intersection de deux surfaces du second ordre est plane , T autre le sera pareillement.
Pour le prouver, supposons que Ton prenne, à volonté, trois points sur la seconde branche, pour y faire passer un plan; il ira déterminer deux points réels ou imaginaires sur l'autre, qui seront communs à la fois aux deux surfaces, et par lesquels devront passer, aussi bien que par les trois premiers, les deux lignes du second ordre qui résultent de l'intersection de ces surfaces respectives par le plan transversal > ces deux lignes auraient donc cinq points communs : or cela ne peut être à moins qu'elles ne se confondent en une seule et même courbe avec la seconde branche dont il s'agit, laquelle est ainsi nécessairement plane, comme la première.
60 1. Considérons encore ce beau théorème, dû à Monge et que M. Chastes a ensuite démontré (*) en se servant du principe de Part. 428 , relatif au cas particulier des sections coniques :
Quand deux surfaces quelconques du second degré sont circonscrites à une même troisième surface de ce degré , elles ont toujours deux sections planes communes , réelles ou idéales , dont les plans passent par la même droite que y ceux de contact de ces surfaces.
En effet, les deux courbes planes de contact de ces surfaces étant à la fois sur la troisième , ont deux points communs , réels ou imaginaires , situés sur la droite d'intersection de leurs plans, pour chacun desquels les trois surfaces ont évidemment à la fois même plan tangent > or, ces deux points appartenant à la courbe de pénétration dont on recherche la nature, il arrivera qu'en prenant, à volonté, un troisième point sur cette courbe, pour déterminer avec les deux autres un plan, ce plan produira, dans les deux surfaces correspondantes . à cette courbe d'intersection, deux lignes du second degré qui auront trois points communs, dont deux seront doubles ou des points de contact*, ce qui ne peut ôlre à moins que les deux courbes ne se confondent en une seule et même seclion conique commune à la fois aux deux surfaces que Ton considère, c'est-àdire sans qu'une, au moins, des branches d'intersection de ces surfaces soit plane, , donc l'autre le sera également (600), comme il s'agissait de le démontrer. On voit , ,,de plus, que ces deux sections et celles de contact des surfaces qui leur correspondent ont, toutes quatre, une sécante réelle ou idéale commune.
602. On prouverait, d'une manière tout aussi simple, que, réciproquement, quand deux surfaces du second ordre ont deux sections planes communes , il en existe une infinité d'autres qui leur sont à la fois circonscrites , et parmi lesquelles il en est deux qui sont des surfaces coniques du second ordre.
»(*) Correspondance Polytechnique, tom. III, pag. 328 et suir.
Cette dernière partie du théorème revient d'ailleurs à ce qui a déjà été dit précédemment (592) sur les surfaces du second degré homologiques.
603. Les ral"sonnemens qui précèdent peuvent évidemment servir aussi à établir cet autre théorème , également dû à Monge et démontré ensuite, par M. Chasles, à l'endroit déjà cité :
Quand deux surfaces du second ordre ont deux points de contact communs ,
^ elles sy entrecoupent suivant deux courbes planes , réelles ou imaginaires , passant
par ces deux points ; de telle sorte que la droite d'intersection de ces plans a ,
pour polaire réciproque, la droite d intersection des plans tangens aux points
de contact communs.
La proposition inverse est en quelque sorte évidente à priori (595); cependant, comme les sections planes des deux surfaces peuvent ne pas s'entrecouper, on voit qu'alors ces deux surfaces ont un double contact idéal suivant la droite commune aux deux plans de section , laquelle étant réelle n'en conserve pas moins sa polaire réciproque , bien que celle-ci soit devenue le concours idéal de deux plans tangens imaginaires communs aux deux surfaces.
604. Considérons encore deux sections planes quelconques d'une surface du second degré , elles auront (600) deux points réels ou imaginaires communs , c^est-
„ à* dire une sécante commune placée à l'intersection des deux plans ; menons les plans tangens aux points communs correspondais, ils se rencontreront suivant une droite polaire réciproque de la première ; par cette droite et par un point quelconque de l'une des deux courbes , menons , de nouveau , un plan , il ira déterminer sur l'autre courbe deux points 5 joignons enfin, par une droite, Tun de ces points avec le premier, elle rencontrera celle d'intersection des plans tangens en un point qui sera le sommet d'un cône du second ordre renfermant à la fois les deux courbes proposées.
En effet, si l'on projette, de ce point, l'une d'elles sur le plan de l'autre , il est évident que la projection aura, avec cette autre , trois points communs dont deux, appartenans à la sécante commune ci-dessus, sont des points de contact de ces courbes; ce qui ne peut être à moins qu'elles ne se confondent en une seule et même courbe.
Comme au point , pris à volonté sur l'une des deux courbes proposées, correspondent toujours deux points sur l'autre , on voit qu'il existe pareillement deux cônes passant par ces courbes , lesquels sont par conséquent conjugués. La démonstration s'appliquant d'ailleurs, mot à mot, au cas de deux sections coniques quelconques ayant une sécante réelle ou idéale commune dans l'espace , il en résulte immédiatement ce théorème connu :
Par deux sections coniques, situées ou non situées sur une surface du se-
388 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
cond ordre, mais ayant une sécante réelle ou idéale commune , on peut toujours faire passer deux cônes de cet ordre»
605. Ainsi deux semblables courbes sont, de deux manières différentes, projections Tune de l'autre par rapport au sommet de chaque cône ; c' est-à-dire qu'elles jouissent, comme telles, des propriétés que nous avons déjà souvent signalées. Si donc on suppose que ces courbes appartiennent à une même surface du second ordre, et qu'on conçoive, par le centre de cette surface et par le sommet de l'un quelconque des cônes, une suite de plans sécans, il en résultera, sur cette surface, des sections coniques diamétrales passant toutes par un ou deux mêmes points, lesquels jouiront, par rapport aux courbes proposées, de toutes les propriétés projectives qui appartiennent au centre d'homologie des figures simplement décrites sur un plan, pourvu qu'on remplace toujours les lignes droites par des sections diamétrales.
On arriverait encore au même but, en observant que ces propriétés appartiennent (290) aux sections coniques qui , sur un plan quelconque , sont la projection des deux premières par rapport au centre de la surface. On voit, de plus, que la même extension a lieu pour toutes les autres propriétés projectives qui peuvent appartenir individuellement à chacune de ces sections coniques ou à leur système commun. Enfin on remarquera que les sommets de deux cônes, ainsi conjugués, sont réciproquement tels que le plan polaire de l'un, relativement à la surface, passe par l'autre et par la sécante commune des deux courbes planes que l'on considère ; en sorte que la distance de ces sommets est divisée harmoniquement (&90) , et par les deux plans des -courbes dont il s'agit, et parla surface du second ordre qui renferme à la fois ces deux courbes.
606. Considérons trois sections coniques quelconques dans l'espace, appartenantes ou non à une surface du second ordre, mais ayant, deux à deux , une décante commune, réelle ou idéale, située à l'intersection de leurs plans respectifs; <m voit que les trois sécantes dçnt il s'agit Iront concourir en un même point de Tespafce. Cela 'posé , concevons les trois systèmes de cônes conjugués qui renferment, deux à deux, les trois courbes proposées; il est évident que le plan tangent à deux de ces cônes, non conjugués entre eux, sera tangent à la fois aux trois 'courbes, et par conséquent à un troisième cône non conjugué au premier; donc les sommets de ces six cônes, c'est-à-dire les six centres d'homologie ou de projection des trois courbes, sont/trois par trois, sur quatre droites «et par conséquent dans un même plan.
Si maintenant on combine cette remarque avec ce que nous venons de dire pour le cas de deux courbes , on verra , en examinant ce qui se passe dans les différens jplans qui appartiennent à une même droite des centres d'homologie, que les j>ro-
priétés projectîves de nos trois courbes sont entièrement analogues à celles (sect. II , chap. III) qui concernent les sécantes communes , les axes et les centres de si mi-* litude de trois cercles quelconques tracés sur un même plan; avec cette différence cependant que ces courbes, au lieu d'avoir une autre sécante commune conjuguée à la fois aux trois premières , comme cela a lieu dans le cas particulier des cercles , n'en auront aucune de cette sorte. On pourra même en conclure que
Trois lignes du second ordre , situées à volonté dans l espace, mais ayant , deux à deux 9 une sécante commune intersection de leurs plans, sont toujours susceptibles (T appartenir à une seule et même surface du second ordre.
607. Supposons enfin , comme ci-dessus (6o5), que Ton projette, sur une surface du second ordre et à partir de son centre, les différens points et les différentes droites relatives aux trois sections planes arbitraires qui s'y trouvent renfermées > on conclura encore , de ce qui précède , que ces courbes jouiront entre elles des diverses propriétés qui appartiennent au système de trois cercles quelconques tracés sur un plan, pourvu qu'on remplace, par des sections diamétrales, les lignes droites qui appartiennent à ce dernier système.
La même remarque s* étend évidemment , en général , à un nombre quelconque de sections planes d'une surface du second ordre 5 c'est-à-dire que les propriétés projectives d'un tel système sont entièrement analogues à celles d'un système pareil de cercles tracés à volonté sur un plan.
608. Nous avons déjà observé (406) que toutes ces eboses ont lieu également pour le système de sections coniques quelconques tracées sur un même plan, lorsqu'elles ont une sécante commune réelle ou idéale 5 mais cette condition n'est pas même nécessaire, ou plutôt on peut la remplacer par une autre tout- à- fait différente; car on prouve aisément, par un raisonnement souvent mis en usage {587, 60 r , etc.) dans ce qui précède, que
Trois sections coniques quelconques , tracées sur un même plan et qui ont trois de leurs sécantes communes , non conjuguées entre elles , concourant en un point unique 9 peuvent toujours être considérées comme la projection de trois autres sections coniqueà, dans /* espace , ayant deux à deux une sécante commune. à F intersection de leurs plans respectifs.
De plus , puisque , selon ce qui précède , ces dernières sections coniques appartiennent toujours à une même surface du second ordre , et que, d'une autre part, toute courbe tracée sur cette surface touebe, en projection, son contour apparent (*) aux deux points communs à ce contour et à la première courbe, on voit que nos
(*) Cette expression, qui se rapporte essentiellement an cas de la perspective , désigne ici la courbe de contact du cône , enveloppe de la surface , qui a son sommet au centre de projection j en- d'autres termes , c'est la section relative an plan polaire du centre de projection.
39o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
trois sections coniques sont susceptibles d'être enveloppées, à la fois, par une ihème quatrième section conique , ou d'avoir un double contact avec elle, soit réel, soit simplement idéal, *
609. En général, lorsqu'une section conique a un double contact, réel ou idéal', avec une autre section conique tracée sur son plan , on peut toujours la considérer comme la projection d'une section plane d'une surface du second ordre, qui aurait l'autre pour contour apparent, et vice versa. Imaginons en effet, par celle-ci, une surface quelconque du second ordre, et il y en a évidemment une infinité ; concevons (599) le cône tangent à cette surface le long de la courbe qu'elle renferme > son sommet étant pris pour centre de projection ou point de vue, il est évident que la courbe de contact sera le contour apparent de la surface. Cela pèse, concevons que, par un point- de cette surface, projection d'un point quelconque de la courbe qui a un double contact avec la première, on mène un plan qui renfeme en même temps la sécante de contact commune à ces courbes % il rencontrera la surface en une nouvelle courbe dont la projection , sur le plan du contour apparent , aura avec l'autre troi? points communs, dont deux doubles ou appartenans aux mêmes élémens, donc ces courbes ne font véritablement qu'une seule et même courbe, ainsi qu'il s'agissait de le démontrer.
Il suit de là évidemment, et de ce qui précède (606), que le système d'un nombre quelconque de sections coniques , ayant un double contact , réel ou idéal , avec une même section conique donnée sur un plan , jouissent exactement entre elles des mêmes propriétés projectives que le système pareil d'un nombre quelconque de cercles tracés sur un plan commun, si ce n'est, toutefois, qu'elles n'auront pas , comme ceux-ci , une sécante commune en même temps à tout leur système (94).
Ainsi, par exemple, si l'on en considère trois à volonté, leurs centres d'ho— mologie, pris dans un certain ordre et de façon qu'il n'y en ait pas deux qui soient conjugués entr'eux, seront, trois par trois, en ligne droite, etc., etc.
D'après l'art. 608 , les mêmes choses ont lieu aussi pour le cas où les sections coniques proposées sont seulement telles que trois de leurs sécantes communes, non con jugées entr' elles , concourent en un point unique du plan qui les renferme.
610. Toutes ces propriétés pourraient d'ailleurs s'établir directement au moyen de celles qui ont déjà été démontrées, par une autre marche, dans le chap. III de la III*. section, et celles-ci sont évidemment, à leur tour, comprises implicitement dans les précédentes. Or il est à remarquer que cette correspondance est indépendante de la réalité ou de la non réalité du double contact des sections coniques que Ton considère 5 c'est-à-dire que les diverses propriétés qui
SUPPLÉMENT. 39i
précèdent subsistent également pour le cas où le double contact est Idéal. En effet, les propriétés des sections planes d'une surface du second ordre sont elles-mêmes indépendantes de la position particulière de ces sections sur la surface s et, pour que la projection d'une certaine section, sur le plan du contour apparent, ait un double contact idéal avec ce contour, il suffit qu'elle n'ait aucun point commun avec lui > ce qui est possible évidemment d'une infinité de manières différentes. Bien plus, de ces considérations relatives à l'espace, on pourrait déduire l'interprétation , en quelque sorte rigoureuse , de tout ce qui a été dit sur le double contact idéal des sections coniques ; et l'on voit même comment il Serait possible de les étendre au cas où certaines lignes deviendraient entièrement imaginaires, et à celui où ces lignes, au lieu d'être simplement des sections coniques, seraient d'un ordre quelconque, etc.
Mais revenons aux propriétés des sections coniques qui ont un double contact avec une section conique donnée sur un plan, et supposons que certaines d'entre elles se réduisent à des points isolés, à des systèmes de deux droites indéfinies , à des portions de lignes droites (437) inscrites ou terminées à la courbe dont il s'agit 5 cela reviendra à admettre que les plans des sections , qu'elles représentent sur la surface qui a la conique proposée pour contour apparent , soient les uns tangens à cette surface, les autres sécans suivant deux de ses génératrices (595), les autres enfin dirigés vers le point de vue ou centre de projection qui lui est .relatifs or il en résultera une infinité de propositions , fort élégantes , du genre de celles déjà établies dans la IIe. section de cet ouvrage. Ainsi, par exemple, en supposant que deux ou trois sections coniques , doublement tangentes avec la proposée, se réduisent au système de deux ou trois cordes, on retombera directement (424) sur les propriétés du quadrilatère et de l'hexagone, inscrits aux sections coniques, etc., etc.
Au surplus , nous ne devons pas oublier, en terminant ce sujet vraiement digne d'intérêt , et qui nous semble bien propre à montrer toutes les ressources qu'on peut tirer du principe de continuité, nous ne devons pas oublier, dis- je, de rappeler que M. Chasles (*) et, avant lui , le savant auteur des Développemens de Géométrie , M. Dupin (**), avaient déjà indiqué, à l'occasion du problème où il s'agit de mener une section plane tangente à trois autres sections planes quelconques d'une surface du second ordre, comment on pouvait passer de là aux propriétés des figures rectilignes inscrites aux sections coniques.
Nous ajouterons , à tout ce qui précède , qu'on obtiendrait aisément les propriétés des figures circonscrites aux surfaces du second ordre , en considérant , sur
(*) Correspondance Polytechnique, tome III, pa£. 17. (**) Même recueil, tome II, page 4?i.
392 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
une telle surface , les cônes circonscrits qui ont ses diverses sections planes pour lignes de contact avec elle 5 car, d'après le théorème de Monge (60 r), tous ces cônes s'entrecouperont suivant des courbes planes , dont les propriétés, à l'égard des sommets correspondans , seront faciles à découvrir au moyen de celles qui appartiennent aux courbes de contact tracées sur la surface , et de la théorie des polaires réciproques (59a). Tout consiste, en effet, à remarquer que le sommet d'un cône quelconque , circonscrit à une surface du second ordre , est le pôle du plan de contact correspondant, et que la surface même du cône est polaire réciproque de la courbe contenue dans ce plan 5 que les courbes d'intersection de deux cônes circonscrits sont réciproques polaires des surfaces coniques qui renferment les deux courbes de contact correspondantes , etc. , etc.
Des courbes d'intersection des sur/aces du second degré en général; de leurs droites diamétrales conjuguées communes; de leurs sections circulaires et de leurs axes principaux.
6(1. Au lieu de considérer, comme dans tout ce qui précède , des sections planes faites dans une surface du second ordre , occupons-nous des courbes a double courbure qui résultent , en général , de l'intersection de cette surface par une autre surface quelconque du second ordre; nous trouverons encore que les branches d'une telle courbe jouissent entre elles de propriétés analogues à celles qui appartiennent au système de deux des premières : c'est-à-dire que ces branches sont susceptibles d'être placées sur une même surface de cône , et sont par conséquent aussi homologiques par rapport au sommet de ce cône ; car il est visible (589) que leurs droites homologues concourront sur un même plan d'homologie, qui sera évidemment ici, comme dans ce qui précède, le plan polaire du sommet du cône relativement à chacune des deux surfaces.
Remarquons d'abord que la courbe de pénétration est , en général , composée de deux branches , l'une d'entrée, l'autre desortie, et que son degré est nécessairement le quatrième, puisque tout plan transversal ne peut jamais déterminer plus de quatre points d'intersection, communs aux deux surfaces, appartenais aux deux lignes du second ordre qui sont dans ce plan. Cela posé, considérons un plan tangent quelconque T (*) aux deux branches dont il s'agit, il coupera les surfaces suivant deux lignes du second ordre (U) et (V) ayant un double contact entre elles aux points communs à ces branches et au plan tangent , points
(*) Noos n'avons pas décrit la figure, à cause de sa complication, mais il sers facile de la suppléer au besoin.
que nous nommerons a et b ; concevons pareillement un second plan tangent T' à ces branches , et soient (U') et (V) , a1 et V respectivement les nouvelles lignes du second ordre et les points de contact qui en résultent ; il est évident que les courbes (U) et (Uf) auront une corde commune /n/»(6oo) sur la droite d'intersection des deux plans T, T', et que celles (V) et (V') en auront pareillement une pq sur cette droite; donc, d'après un théorème que nous avons fait connaître (439), et qu'il serait facile d'établir directement au moyen des considérations qui précèdent , chacune des sécantes de contact ab et clV devra, selon l'espèce du contact (41 5), concourir en l'un ou en l'autre des points K et L qui , sur la droite d'intersection des plans T, T', divisent à la fois harmoniquement les cordes mn, pq , et sont ainsi déterminés de position sur cette droite.
Mais il existe nécessairement une infinité de plans tangens pour lesquels le contact est de l'une des deux espèces, et il en existe aussi une infinité dont le contact est de l'autre de ces espèces ; en sorte que les paires de plans tangens T et T', qui leur appartiennent respectivement, donneront lieu à des sécantes de contact ab, albf concourant , les unes en des points K , les autres en des points L delà droite d'intersection de ces paires de plans. Supposons donc qu'on ne considère , en particulier , que la suite des plans tangens de la première espèce , et soit Tff un troisième plan tangent qui ait cette propriété avec ceux T et T ; soient a!1 et V1 letf points de contact correspondant > il résultera, de ce que nous venons de dire , que les droites ab9 a!b'y anb" devront se croiser, deux à deux , sur les intersections des plans T, T', T", ce qui ne peut être évidemment à moins que ces droites n'appartiennent à un quatrième plan, ou qu'elles ne concourent au point commun à la fois aux trois autres ; or la première hypothèse est inadmissible ,
puisqu'on serait amené à conclure que l'infinité de points a,b9 ar} b' serait
située sur un même plan ; donc la seconde seule subsiste.
Mais nous venons de montrer que le point d'intersection K des trois droites et des trois plans que Ton considère, est entièrement déterminé de position au moyen de deux de ces droites ou de ces plans 5 de plus il est assez évident que tous les plans, assujettis à la même loi et qui sont en nombre infini, doivent se succéder sans interruption ou d'une manière continue 5 donc enfin , si l'on fait rouler convenablement le troisième des plans dont il s'agit sur les branches de pénétration des deux surfaces, il ne cessera pas de passer par le point fixe K, aussi bien que la sécante de contact qui lui correspond ; et par conséquent ce plan et cette sécante décriront un même cane , qui renfermera à la fois les deux branches dont il s'agit.
Concluons donc , conformément à ce qui a été avancé au commencement de cet article , que ces deux branches sont homologiques Tune de l'autre par rapport au sommet du cône, et qu'elles omt, pour plan d'homologie, le plan polaire
394 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
relatif à ce sommet, et qui est nécessairement commun à la fois aux deux surfaces
proposées.
612. Réciproquement, si un point quelconque de l'espace est tel qu'il ait même plan polaire dans deux surfaces du second ordre , ce point sera nécessairement le sommet d'un cône passant par la courbe de pénétration des deux surfaces; car tout plan renfermant ce point déterminera deux courbes du second degré dans ces surfaces , lesquelles auront même polaire par rapport au point en question; ce qui ne peut être à moins qu'il ne soit (363) le point de concours de deux de leurs sécantes conjuguées communes, d'ailleurs réelles, idéales ou imaginaires.
Je dis, en outre, que le cône, formé par la suite de tous ces systèmes de se-» cantes conjuguées communes, et celui qui renferme en général les deux branches de pénétration de deux surfaces quelconques du second ordre , seront eux-mêmes du second ordre seulement : en effet, un plan quelconque, passant par le sommet de l'un de ces cônes, ne déterminera jamais plus de deux arêtes sur la surface de ce cône , et , par suite , une droite quelconque ne pourra jamais rencontrer cette surface en plus de deux points.
61 3. Enfin, puisque, par la courbe de pénétration de deux surfaces du second degré , on peut faire passer un cône de ce degré , sur lequel elle se trouve comprise tout entière, à plus forte raison doit-on pouvoir y faire passer , et d'une infinité de manières différentes , une nouvelle surface du second degré > mais c'est ce qu'on peut aussi démontrer directement, ainsi qu'il suit : prenons un point quelconque de l'espace pour y faire passer la nouvelle surface, et concevons, par une droite menée arbitrairement de ce point, une suite de plans, ils couper ront la courbe de pénétration des surfaces proposées chacun en quatre points. Concevons , pour chaque plan , la ligne du second ordre qui renferme ces quatre points et le point pris à volonté, la suite de ces lignes formera une certaine surface continue qni sera nécessairement du second degré ; car tout plan trans— Versai déterminera , dans cette surface , une courbe qui aura, au plus -quatre points communs, réels ou imaginaires, avec la courbe correspondante formée, dans Pune des surfaces proposées , par le plan transversai , et qui ne pourra être par conséquent que du second degré ; donc il en sera de même aussi de la surface à laquelle cette courbe appartient.
614. Les raisonnemens établis ci -dessus (611) laissent assez apercevoir qu'il y a plus dnun cône du second degré renfermant à la fois les branches de la courbe de pénétration des deux surfaces qu'on y considère , et que chacun de ces cônes doit provenir d*hm même mode de mouvement continu du plan tangent T autour de ces deux branches. Gr, si Ton suppose ' ces deux branches fermées, ce •qui n*ôte rien à la généralité des conséquences qui vont suivre, il sera aisé de
s'apercevoir que, par la tangente en un point quelconque de Tune d'elles, on peut mener au moins deux plans tangens à la seconde; or je dis qu'il existera également au moins un plan doublement tangent à la branche qui lui appartient.
Eu effet, cette derhière étant supposée fermée, il existera toujours une infinité de plans tangens , en un de ses points , qui la rencontreront en deux nouveaux points ; et, comme il en existe également une infinité qui rencontrent la seconde branche en deux points, en cessant par conséquent de rencontrer la première, on voit qu'il y aura nécessairement une position intermédiaire du plan en question pour laquelle il sera doublement tangent à la branche qui lui appartient : on pourrait même ajouter qu'il existe, en général, deux plans tangens pareils, puis^ qu'il doit y avoir au moins un point d'entrée et un point de sortie du plan tangent.
Quoi qu'il en soit, puisqu'un cône du second ordre ne peut avoir qu'un seul plan tangent en un point donné sur sa surface, il est clair que les quatre plans tangens que nous venons de considérer, pour un même point de la courbe de pénétration, doivent appartenir à quatre cônes ou à quatre modes de mouvement distincts du plan tangent. Je dis, en outre, qu'il ne saurait y en avoir plus de quatre.
6i5. Pour le prouver, concevons la droite qui renferme les sommets de deux cônes quelconques ; il est clair que tout plan , passant par cette droite , rencontrera les cônes suivant deux systèmes de sécantes conjuguées commîmes aux deux sections qui correspondent à ce plan et aux surfaces proposées ; donc (36o) chaque sommet aura, dans ces courbes, même polaire passant réciproquement par Tailtre ; donc pareillement le plan polaire , commun à la fois aux deux surfaces et à l'un des sommets de cônes, passera réciproquement par l'autre sommet; or de là on conclut d'abord ce théorème, dont la remarque de l'art. 6o5 n'offre qu'un cas particulier, et qui est entièrement analogue à celui de l'art. 36p relatif aux simples lignés du second ordre :
Les sommets des différens cônes, qui renferment la courbe S intersection de deux surfaces quelconques du second ordre , sont tels que le plan polaire de F un quelconque d entré eux passe à la fois par tous les autres. »
61 6. Donc aussi
Le nombre dé ces sommets est9 au plus, de quatre , et le tétraèdre qui leur appartient est tel qu'une arête quelconque a pour polaire réciproque , dans F une et dans F autre surface y rareté respectivement opposée de ce tétraèdre.
S'il pouvait y avoir un cinquième sommet , il faudrait nécessairement, d'après ce qui précède, qu'il fût le pôle du plan qui renferme trois quelconques des autres sommets; c'est-à-dire qu'il devrait se confondre avec le quatrième. Donc enfin il existe, en général, quatre cônes renfermant la courbe d'intersection, et il ne peut jamais en exister plus de quatre qui jouissent de cette propriété.
396 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
L'on voit , en outre , que , quand trois des quatre sommets de cônes sont donnés , le quatrième s'ensuit nécessairement, puisque, d'après ce qui précède, il doit être le pôle du plan qui renferme à la fois les trois autres.
617. De là on déduirait immédiatement, comme cas particulier, tous les théorèmes de Monge sur les droites diamétrales conjuguées communes des surfaces du second ordre 5 théorèmes qui ont été ensuite démontrés analytiquement, par M. Chasles, à l'endroit, déjà cité (601), de la Correspondance polytechnique.
En effet , lorsque deux surfaces quelconques du second ordre sont concentriques , elles ont même plan polaire à l'infini (58o et 591) par rapport au centre commun 5 donc (612) ce centre est le sommet d'un cône du second ordre qui renferme la courbe de pénétration des deux surfaces, et par conséquent, les trois autres sommets étant nécessairement à l'infini (61 5), les cônes qui leur correspondent sont des cylindres du second ordre aussi bien que ceux qui, ayant mêmes sommets qu'eux, sont circonscrits respectivement aux deux surfaces. Enfin on voit que les deux surfaces proposées ont trois plans diamétraux conjugués communs , ayant pour pôle, à l'infini, les sommets dont il s'agit; et ces plans deviennent évidemment des plans diamétraux rectangulaires de l'une des surfaces du second ordre , quand l'autre est une sphère.
11 est d'ailleurs facile de prouver que, dans ces divers cas , les sommets de cônes, à l'infini, sont toujours réels.
En effet, il est évident que l'on pourra toujours concevoir une troisième surface du second ordre concentrique aux deux proposées, c'est-à-dire ayant même plan polaire à l'infini par rapport au centre commun , et qui , étant s. et s. p. par rapport à l'une de ces surfaces, aura avec l'autre deux brandies distinctes de pénétration commune, et par conséquent trois sommets réels de cônes (614) circonscrits à ces branches et placés à l'infini, outre celui qui se confond avec le centre commun; c'est-à-dire qu'elle aura, avec cette autre surface, trois plans diamétraux
conjugués communs. Or les deux surfaces s. et s. p. ont évidemment les mêmes systèmes de plans diamétraux conjugués; donc ceux dont il s'agit sont communs à la fois aux trois surfaces que Ton considère, et par conséquent aux deux proposées; donc enfin il existe toujours, pour celles-ci , trois points, à l'infini, qui ont mêmes plans polaires dans chacune d'elles , et qui peuvent être considérés , au moins idéalement, comme le sommet d'autant de cônes renfermant les branches, •réelles ou imaginaires , de pénétration des deux surfaces.
618. Puisque tout plan diamétral détermine , dans les deux surfaces , deux lignes du second ordre concentriques, qui ont au moins deux sécantes idéales conjuguées communes (365 et 384), il est aisé de prouver que , parmi les quatre cônes ou cylindres du second ordre qui renferment l'intersection des deux surfaces concen-
triques proposées, il en existe également au moins deux qui demeurent réels, même lorsque cette intersection est entièrement imaginaire. Ainsi cette courbe a toujours au moins deux de ses projections , sur un plan quelconque , qui sont des sections coniques réelles : quant aux deux autres cylindres ou cônes , ils doivent nécessairement être impossibles ou imaginaires en même temps que la courbe de pénétration dont il s'agit , puisqu'autrement les sections planes , passant par le centre commun des surfaces proposées, auraient plus de deux sécantes communes s ce qui est impossible dans l'hypothèse dont il s'agit.
Ces raisonnemens s'appli quant, d'une manière analogue, au cas où les deux surfaces du second ordre , sans être concentriques , ont cependant un pôle commun relatif à un même plan, il en résulte que, dès qu'elles ont un tel point, elles en ont nécessairement trois autres qui sont réels en même temps que le premier, et qui peuvent être considérés, avec ce point, comme les sommets d'autant de cônes renfermant les branches d'intersection des surfaces proposées : on. voit , de plus, que deux de ces quatre points appartiennent nécessairement à des cônes imaginaires , quand ces surfaces cessent de s'entrecouper.
Je- ne crois pas devoir m' étendre davantage sur ces considérations > mon but n'étant ici que de faire voir comment on peut arriver facilement, au moyen des principes posés dans cet ouvrage , aux diflerens théorèmes sur les surfaces du second ordre qu'on a coutume de traiter par l'Analyse algébrique ; je me contenterai, pour terminer ce sujet, de présenter un dernier exemple relatif à la recherche des sections circulaires des surfaces du second ordre , laquelle se rattache évidemment à celle des axes principaux et des ombilics de ces surfaces.
619. Concevons donc une surface du second ordre quelconque, et proposonsnous de rechercher directement si une telle surface a des sections circulaires, et en quel nombre sont ces sections.
. Traçons à volonté une sphère dans l'espace j les sections circulaires de la surface proposée, si elles existent, auront, avec les sections qui leur sont parallèles dans la sphère, une sécante idéale commune située à l'infini, ou, si l'on veut, elles auront, à l'infini , deux points imaginaires communs, car (241 et 600) elles appartiendront , deux à deux , à un même cône comme étant s. et s. p.
Tout consiste donc à rechercher les points, à l'infini, communs aux deux surfaces, ou les sécantes communes qui les renferment > car tout plan, passant par l'une de ces sécantes , coupera nécessairement la sphère et la surface proposée suivant deux courbes s. et s. p., c'est-à-dire suivant des cercles : or le plan, qui renferme (5 80) tous les points à l'infini de l'espace, coupe idéalement la sphère et la surface proposée suivant un cercle et une conique qui ont quatre points imaginaires communs, et par conséquent six sécantes communes, dont deux nécessairement réelles, comme on va le démontrer dans ce qui suit.
3g8 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
Cela posé, imaginons, dans le plan à l'infini, une droite quelconque dont la direction peut d'ailleurs être censée appartenir à l'intersection de deux plans parallèles ; les points réciproques (388) de ceux de cette droite, par rapport aux sections , à l'infini , des surfaces proposées , seront (370) sur une troisième section conique qu'il s'agit actuellement de construire, bien que l'une, au moins, des deux autres soit imaginaire, afin d'obtenir (371 et 373) les sécantes communes demandées, qui sont nécessairement toutes deux idéales*
Prenqns, à volonté, un point sur la droite dont il s'agit; construisons, pour chaque surface , le plan polaire de ce point , il ira rencontrer le plan à l'infini suivant une droite, qui sera évidemment la polaire du point en question par rapport à la section correspondante du plan à l'infini. Les deux polaires ainsi obtenues étant réelles, iront se rencontrer en un point qui sera le réciproque du proposé > donc on peut construire le lieu des points réciproques de ceux d1une droite, donnée sur le plan à l'infini, sans connaître les deux sections coniques qui leur^appartiennent , et malgré que ces sections coniques soient imaginaires , en tout ou seulement en partie.
En répétant les mêmes opérations pour une autre droite quelconque à l'infini, il en résultera une nouvelle réciproque , qui ira rencontrer la première en quatre points (371), dont un sera le réciproque de l'intersection commune des deux directrices., et dont un , au moins , des trois autres sera réel et le concours de deux des sécantes communes cherchées. Je dis, de plus, que les deux derniers points d'intersection seront aussi réels en même temps que les premiers. .
En effet, si Ton construit, comme ci-dessus, la polaire du second point réel déjà trouvé par rapport aux deux courbes proposées , polaire qui est commune (36o) à leur système , elle déterminera dans ces courbes deux cordes , qui devront être divisées à la fois harmoniquemcnt (36 1) par les deux derniers points cherchés. Supposons donc que, par cette polaire, on mène un plan transversal arbitraire, il rencontrera la surface du second ordre suivant une section conique, Ut la sphère suivant un cercle , qui auront les cordes ci-dessus en commun avec les sections relatives au plan à l'infini : or les deux points qu'on cherche , sur la direction fpmmune de ces cordes, doivent évidemment être tels (194)9 d'après la propriété dont ils jouissent de diviser ces cordes harmoniquement^ que la polaire de l'un quelconque d'entre eux passe par l'autre ; mais ils sont à l'infini , et ces polaires soQt des diamètres du cercle et de la section conique en question ; donc ces points appartiennent à la direction des diamètres conjugués parallèles des courbes dont il s'agit, c'est-à-dire aux axes rectangulaires ou principaux de celle qui est une section conique quelconque ; donc enfin ces axes vont rencontrer la direction de la droite à l'infini aux deux points demandés, qui ainsi sont toujours réels, en même temps que celui d'où cette droite dérive»
Ces mêmes considérations pourront servir, comme on voit, a construire l'un des trois points de concours des sécantes conjuguées communes aux sections à l'infini des deux surfaces, quand le troisième sera donné , le tout, comme on voit, par des opérations qui n'exigent que l'emploi de la règle et du compas. Les considérations des art. 379 et 38o conduiraient évidemment encore au même but.
6so. Remarquons, avant d'aller plus loin, que la droite qui renferme l'un des trois points ainsi trouvés et le centre de la/ surface du second ordre étant, d'après ce qui précède , la mutuelle intersection de deux sections diamétrales circulaires de cette surface, doit nécessairement être perpendiculaire à la fois à ces sections, et par conséquent normale à la surface proposée. Donc cette droite est un des axes principaux de la surface , et les directions de ces axes , au nombre de trois seulement , pourront se construire très-simplement à l'aide des procédés qui viennent d'être indiqués.
6s r. Maintenant que nous connaissons les trois points de concours réels des sécantes conjuguées communes aux sections planes qui sont à l'infini sur les surfaces , il nous sera très- facile de trouver ces sécantes elles-mêmes , et de prouver que deux d'entre elles sont réelles et conjuguées, le système des quatre autres étant nécessairement imaginaire ; il est évident, en effet, que tout ce que nous avons dit (384) du cas où les sections coniques, appartenantes à ces trois points, sont réelles mais n'ont aucun point d'intersection commune, s'applique, mot à mot, à celui qui nous occupe , et dans lequel on suppose les sections coniques , en tout ou en pairie, imaginaires. Concluons donc enfin que
Toute surface du second ordre a généralement des sections planes circulaires (*), dont deux réelles et conjuguées , et quatre imaginaires également conjuguées deux à deux; or les droites de concours des plans, qui appartiennent respectivement à ces trois systèmes, sont toujours réelles, et leurs directions sont parallèles à celles des trois axes principaux de la surface.
6s2. Quand la surface proposée est un paraboloïde , le plan à l'infini lui est tangent , et alors la section correspondante se réduit à un point ou au système de deux lignes droites (594), faciles à construire au moyen de deux sections parallèles quelconques faites dans la surface. Or ce point, ou celui de rencontre des deux droites , est évidemment un des trois points de concours des sécantes communes aux sections planes, à l'infini, tant de la sphère que de la surface proposée; donc il sera facile d'obtenir les deux autres de ces points, au moyen
(*) M. Hachette a, je crois, le premier démontré, a l'aide du calcul, que, par un point donne' à Yolonté sur une surface du second ordre , passent en général deux sections circulaires de cette -surface : voycx le Traité des surfaces du second degré 9 publié, par cet estimable, professeur.
400 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
de celui-là et du procédé indiqué à la fin de l'art. 619, et, par suite (620), on aura la direction des trois axes principaux de la surface proposée, dont la construction n'est ainsi, pour le cas des paraboloïdes , que du second degré seulement.
Ayant les axes de la surface proposée ou les trois points qui leur correspondent à l'infini, on en déduira sans peine (62 1) la direction des plans de sections circulaires, sections qui se réduisent évidemment à de simples lignes droites (95) dans le cas du paraboloïde hyperbolique , puisque , selon ce qui précède , ces plans doivent renfermer respectivement les deux droites à l'infini de la surface, desquelles il a déjà été parlé ci-dessus ; c'est-à-dire que, dans ce cas, les sections "circulaires se réduisent à des systèmes de deux génératrices de la surface , dont Tune à distance donnée et l'autre à distance infinie.
623. Il sera d'ailleurs facile d'exécuter les diverses opérations, indiquées soit dans le cas général , soit dans le cas particulier , en concevant qu'on mène , par un point prisa volonté dans l'espace, des droites, des plans et des cônes, passant par les points , les droites et les courbes situées dans le plan à l'infini ; et observant, en outre, que le plan polaire d'un pointa l'infini, pour l'une des surfaces proposées , se confond avec le plan diamétral conjugué à la direction du diamètre qui renferme ce point.
Par exemple, si Ton mène, pour un même point à l'infini, les plans polaires diamétraux qui lui correspondent dans les deux surfaces, et sont par conséquent conjugués aune même direction de diamètres parallèles appartenans à ce point, ces plans iront se rencontrer en une droite , dont la parallèle , menée par le point pris pour auxiliaire , renfermera avec elle le point , à l'infini , réciproque de celui d'où Ton est parti 5 construisant donc ainsi une suite de droites passant par le point auxiliaire dont il s'agit et renfermant les diflférens points réciproques de ceux d'une droite quelconque , à l'infini , prise pour directrice et qu'on suppose donnée par le système de deux plans diamétraux parallèles des deux surfaces, elles formeront un premier cône du second ordre renfermant la section conique , à l'infini, lieu des réciproques de cette droite.
Un second cône semblable , construit pour une autre directrice à l'infini, ou pour une autre direction de plans diamétraux parallèles des deux surfaces , donnera, par son intersection avec le premier, quatre arêtes communes à ces cônes, dont une sera connue à l'avance (6*9), et dont les trois autres, d'après ce qui précède, se confondront, en direction, avec les trois axes principaux de la surface proposée, si l'on a choisi le centre de cette surface pour sommet auxiliaire, ou seront seulement parallèles à ces axes si, ce centre étant à l'infini, on a choisi un autre point quelconque de l'espace pour sommet auxiliaire.
624. Ces dernièrçs considérations font voir qu'on peut aisément se passer du secours de la sphère, pour trouver les axes principaux et les sections circulaires de la surface du second ordre. En effet, puisque tout plan diamétral de cette sphère, conjugué à la direction d'une droite donnée , est perpendiculaire à cette droite , on voit que, pour obtenir successivement toutes les arêtes de l'un des cônes , relatives à une directrice quelconque donnée à l'infini, ou au plan diamétral qui la contient1, il suffira de tracer, à volonté , un diamètre de la section comprise dans ce plan , et de rechercher ensuite les plans diamétraux dont l'un est conjugué et l'autre perpendiculaire à ce diamètre ; car, selon ce qui précède, ces deux plans devront se rencontrer suivant l'arête du cône , réciproque du diamètre choisi en particulier.
Il est évident d'ailleurs que l'on arriverait de suite aux mêmes conséquences , à l'aide de la loi de continuité , en supposant que la sphère auxiliaire , au lieu d'être quelconque, soit infiniment petite, sans être précisément un point.
Comme on connaît, à l'avance, Tune des arêtes communes des deux cônes, puisqu'elle répond (619) au réciproque du point d'intersection des deux directrices, à l'infini , d'où les cônes proviennent , et que d'ailleurs ces cônes sont du second ordre, on voit qu'il suffira de rechercher seulement quatre autres arêtes quelconques de chacun d'eux , pour qu'ils soient entièrement déterminés de grandeur et de position , ainsi que les trois arêtes communes qui leur appartiennent outre celle déjà donnée. En effet , si l'on considère ce qui se passe dans un plan sécant quelconque , on aura cinq points de chacune des sections coniques qui en résultent dans les cônes; au moyen de quoi on pourra (2o3) les décrire entièrement, et obtenir, par suite, leurs points d'intersection appartenais aux arêtes cherchées (*).
6a5. D'après la construction indiquée en dernier lieu pour les arêtes de chaque cône, il résulte immédiatement que, si l'on considère, en particulier, l'un de ces cônes et la section diamétrale de la surface, qui contient la directrice, à l'infini , correspondante, i°. les deux axes principaux de cette section; a°. le diamètre qui lui est conjugué; 3°. la perpendiculaire élevée à son plan par son centre, appartiennent à la surface de ce cône ou sont quatre arêtes qui , avec celle déjà commune à ce cône et à l'autre , suffisent pour le déterminer complètement.
Ce qui précède offre donc une solution , aussi simple que possible , du problème où il s'agit de trouver les axes principaux (Tune surface du second ordre quelcon-
(*) On peut éviter de décrire a la fois Ici deux courbes par points , en recherchant , d'après le principe de l'art. 33o, un cercle homologique à l'une d'elles, et construisant les cinq points qui, par rapport à ce cercle, sont homologues ou projections des points donnés de l'autre courbe; car la question sera ramenée à celle de trouver les intersections du cercle et de la conique homologique* des courbes proposées; projetant ensuite ces intersections sur les courbes dont il s'agît, on aura évidemment les points demandés.
Si
4o3 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
que ; et l'on voit même comment, par des constructions analogues, on peut trouver les sections circulaires réelles de cette surface, lesquelles donnent, par Tintersection des deux diamètres conjugués à leurs plans respectifs , les quatre seuls ombilics qui peuvent exister en général sur cette surface , les huit autres étant nécessairement imaginaires en même temps que les plans des sections circulaires qui leur correspondent.
Je dis que les points ainsi déterminés seront des ombilics de la surface , car il est visible que, pour un tel point, il existera toujours (59 5) une sphère osculatrice pour laquelle les rayons de courbure seront tous égaux autour du point de contact commun , ce qui est le caractère principal des ombilics. Le cas des paraboloïdes est sur- tout remarquable en ce que, pour le paraboloïde elliptique, deux des ombilics de la surface sont nécessairement confondus en ' un seul avec le •point à l'infini de cette surface, et que, dans le paraboloïde hyperbolique, tous les ombilics sont à la fois impossibles comme pour l'hyperboloïde à une nappe.
626. Il nous serait facile de montrer l'identité des résultats, auxquels nous Ont conduits , presque forcément, les principes qui font la base de ces recherches, avec ceux obtenus par M. Dupin , dans son Mémoire sur les surfaces çlu second ordre (*) , pour la détermination des axes principaux de ces surfaces; car la méthode de ce géomètre consiste à abaisser, du centre de la surface proposée, des normales aux différentes courbes résultantes de deux systèmes quelconques de sections planes parallèles faites dans cette surface : la suite de toutes ces normales forme deux cônes distincts du second ordre, dont la pénétration mutuelle contient les axes principaux demandés. Or, en rapprochant ces conséquences de celles qui précèdent, au moyen du principe de l'art. 49s, il paraîtra évident que les mêmes cônes ont été obtenus de part et d'autre ; seulement il nous semble que le6 cons-t tractions, que nous avons mises en usage, offrent quelques légers avantages souf le rapport de la simplicité et de la généralité, en ce qu'elles sont toujours appli-j cables, et qu'elles donnent immédiatement, 'par des intersections de plans, autant d'arêtes que l'on veut, de chaque cône.
627. On remarquera, au surplus, que la question, qui nous a occupés dans ce qui précède (619), et les diverses constructions correspondantes réviennent exactement à trouver les diamètres conjugués parallèles de deux surfaces du second ordre (617), en remplaçant la sphère auxiliaire par une surface quelconque de cet ordre; or, quand ces surfaces sont concentriques j ce dernier problème revient lui-même à cet autre :
Etant donné tun des sommets de cônes qui renferment la tourbe d'intersectioA
1 (*)' .Qualortièmr cahier du Journal de t Ecole {Polytechnique ^ptg. 66 à A.
SUPPLÉMENT. 4o3
de deux surfaces quelconques du second ordre , ou , si on Vaime mieux , le plan polaire commun de ce sommet, déterminer directement les trois autres sommets semblables , à F aide du premier.
Donc , les raisonnemens établis sur le cas particulier demeurant applicables au cas général dont il s'agit , pourvu qu'on remplace le plan à l'infini par le plan polaire qui lui correspond , les constructions qui viennent de nous occuper pourront aussi servir à résoudre le problème énoncé en dernier lieu , en les généralisant de la manière convenable , d'après les nouvelles données.
628. Mais , si l'on ne connaissait aucun des sommets des cônes qui renferment la courbe de pénétration des deux surfaces , ni aucun des plans polaires qui correspondent à ces sommets, il faudrait nécessairement avoir recours à d'autres procédés et à d'autres principes plus généraux encore que ceux employés dans ce qui précède; principes qu'il est d'ailleurs aisé de deviner et de découvrir, d'après tout ce qui a déjà été dit sur la question analogue relative aux simples lignes du second ordre*
Enfin il ne nous serait pas difficile de nous élever , à l'aide des considérations qui font le sujet du présent paragraphe , à la théorie générale des lignes de courbure des surfaces du second degré. A cet effet nous remarquerions, avec M. Dupin, comme chose en quelque sorte évidente d'après la définition de ces lignes , que deux surfaces quelconques ne peuvent s'entrecouper par- tout à angles droits, ou être orthogonales, sans que l'intersection qui en résulte ne soit à la fois une ligne de courbure de ces surfaces ; nous prouverions ensuite , avec le même auteur, que, pour unct surface donnée du second degré, on peut concevoir deux groupes distincts de surfaces du même ordre, orthogonales entre elles et à la première, et qu'il suffit que les sections diamétrales principales s'entrecoupent respectivement à angles droits, etc. Mais c'est dans les ouvrages mêmes de ce profond géomètre (*) qu'il faut aller étudier les principes et les développemens de ces belles vérités géométriques, présentées avec autant de simplicité que d'élégance ; et je me hâte déterminer le sujet qui m'a occupé, peut-être trop longuement, dans ce qui précède, en présentant une dernière réflexion qui se rattache immédiatement au. fond de cet ouvrage.
Il résulte en effet, des raisonnemens et des constructions mis en usage dans les art. 61g et suiv., que l'on peut opérer sur les lignes du second ordre imaginaires, situées ou non à l'infini , au moyen des plans et des surfaces de cet ordre qui les contiennent et les définissent, comme on peut opérer sur les simples points imaginaires à l'aide des sections coniques et des droites qui renferment
(•) Développement* de Géométrie, JV\ mémoire. XIV*. cahier du Journal de V Ecole Polytechnique.
4o4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
deux à deux ces points (342, 376, 389, etc) 5 car nous venons de montrer , en particulier, comment on peut déterminer les pôles, polaires et sécantes communes de semblables lignes données dans un même plan. Or il est évident que , de là , il serait facile dépasser aux surfaces imaginaires du second ordre, et, par suite, aux notions qui concernent les lignes et les surfaces courbes géométriques d'un ordre quelconque, dont la description, purement graphiqne, a toujours pour élémens celle de quelques-unes des premières*, mais il est, sans doute, fort inutile que je m'appesantisse davantage sur ces idées, dont les applications ne sauraient manquer au lecteur géomètre.
De la projection ou perspective relief des surfaces du second ordre les unes dans les autres , et des propriétés générales qui en découlent.
629. Je reviens maintenant à l'objet que j'avais principalement en vue dans ce supplément, c'est-à-dire à Phoniologie ou perspective relief des surfaces du second ordre ; théorie d'où doit résulter nécessairement l'extension des propriétés des surfaces individuelles de cet ordre aux surfaces les plus générales qu'il concerne : car c'est un complément nécessaire de tout ce que j'avais à dire sur les propriétés projectives des figures, et de ce que j'ai déjà dit, en particulier, sur les lignes droites et les sections coniques.
Puisqu'une surface du second ordre quelconque a, en général, des sections circulaires, il en résulte qu'on peut tracer une infinité de sphères qui aient avec elle deux sections planes communes , réelles ou idéales ; car si, par Un cercle de la surface proposée, on mène une sphère quelconque, la surface de cette sphère aura (600) une nouvelle section plane, et par conséquent circulaire, commune avec cette surface , laquelle sera conjuguée à la première sans lui être parallèle; donc cette sphère aura nécessairement (592) deux centres d'homologie conjugués avec la surface proposée ; donc enfin
La surface du second ordre peut, en général, être considérée comme la projection relief d'une sphère, et doit jouir, comme telle, des mêmes propriétés projectives, * 63o. On devine toutes les conséquences de ce théorème ; mais poursuivons. Nous venons de voir que la sphère peut avoir, avec une surface du second ordre quelconque, deux sections communes circulaires et non parallèles ; or chacun des plans de ces sections est parallèle (620) à l'un des axes principaux de la surface du second ordre , et par conséquent perpendiculaire au plan principal conjugué à cet axe ; donc ce plan diamétral est un plan commun de symétrie des deux surfaces que Ton considère, et doit contenir leurs centres d'homologie ou
SUPPLÉMENT. 4o5
sommets de surfaces coniques enveloppes communes. Il n^en est donc pas ici comme du cas des sections coniques , qui peuvent avoir tous les points de l'espace pour centres de projection circulaire > néanmoins, si l'on conçoit tant de surfaces du second ordre que l'on voudra, toutes s. et s. p., il sera encore facile de prouver qu'elles peuvent,- en général, être considérées comme les homologiques ou perspectives relief d'un égal nombre de sphères.
Remarquons d'abord que des surfaces du second ordre s. et s. p. , et par conséquent des sphères situées à volonté dans l'espace, peuvent toujours être considérées comme ayant une section plane commune à l'infini , soit réelle , soit idéale ; car , d'après les notions déjà établies pour les sections coniques et les cercles (8g et 90), toutes sections, faites à la fois dans les unes ou les autres de ces surfaces par un même plan arbitraire , étant nécessairement s. et s. p. entre elles, ont deux points, réels ou imaginaires, à l'infini dans ce plan, appartenans à tout leur système , et au plan qui contient les points à l'infini de l'espace.
Cela posé , puisque les surfaces du second ordre que Ton considère sont , deux à deux, s. et s. p., ou ont un centre de similitude, tous les axes et plans principaux de ces surfaces sont nécessairement parallèles entre eux, et il en est de même aussi des sections circulaires qui leur appartiennent ; donc les plans principaux qui, d'après ce qui précède, contiennent tous les centres d'homologie ou de projection des différentes sphères ayant des sections planes communes avec les surfaces proposées , sont parallèles entre eux ou vont concourir en une droite , à Finfini, sur laquelle doit nécessairement se trouver le centre d'homologie susceptible de projeter à la fois, suivant des sphères, toutes les surfaces dû second ordre proposées. Or je dis qu'il existe, en général (m) et notamment pour les ellipsoïdes, un tel point sur la droite dont il s'agit.
Concevons en effet , par le centre de l'une des surfaces proposées , les sections circulaires qui appartiennent à ce centre, et la sphère qui les renferme à la fois; cette sphère déterminera , sur le plan diamétral qui est perpendiculaire aux sections circulaires , un cercle concentrique à la section de ce plan diamétral , et qui aura avec elle, en général, deux systèmes de tangentes communes parallèles, appartenantes aux deux cylindres du second ordre circonscrits à la fois à la surface proposée et à la sphère. Mais, par hypothèse, toutes les autres surfaces du second ordre sont s. et s. p. par rapport à celle-ci ; donc tous les cylindres, analogues aux premiers, ont leurs arêtes respectivement parallèles, ou, en d'autres termes, ce sont des cônes circonscrits ayant mêmes- sommets à l'infini, comme il s'agissait de le démontrer.
Maintenant concevons, pour chaque cylindre ou cône, l'infinité -de sphères qui lui sont inscrites*, il est évident (587) qu'elles auront toutes des sections
4o6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
planes communes avec la surface du second ordre correspondante 5 en sorte qu'il n'est aucune section circulaire de cette surface par laquelle on ne puisse concevoir passer une sphère inscrite au cône dont il s'agit. Donc, la même chose ayant lieu pour toutes les autres surfaces f et leurs sections circulaires étant parai— lèles, si Ton conçoit, dans l'espace, un plan quelconque parallèle à Tune de ces sections et les différentes sphères passant par les cercles qu'il détermine dans les surfaces proposées et qui sont inscrites aux cônes respectifs ci* dessus, chacune de ces sphères pourra être considérée comme Phomologique ou la projection relief d'une surface du second ordre correspondante , par rapport au sommet, à l'infini , commun à tous les cônes, pris pour centre d'homologie ou de projection, et au plan commun de section circulaire , pris pour plan de concours ou d'homologie.
Mais ce n'est pas tout, il faut encore prouver (58a et 583) que, dans ces différons systèmes de projection, qui ont même centre et même plan d'homologie 9 un même point, appartenant au système général des sphères, a pour homologue le même point appartenant au système général des surfaces qu'elles représentent ; or c'est ce qu'il est très- facile de prouver à l'aide du principe de continuité, puisque les sphères peuvent être considérées, selon la remarque déjà faite au commencement de cet article, comme ayant une infinité de points imaginaires communs à l'infini, tous distribués sur un même plan, et par conséquent sur un même cercle imaginaire , et que l'un quelconque de ces points répond nécessairement à un point homologue unique également commun à toutes les surfaces du second ordre.
On arriverait d'ailleurs au même but, en observant que deux sphères quel- . conques, et les surfaces qu'elles représentent, sont nécessairement dans le cas du théorème, puisque ces sphères ont dès points communs! à distance donnée, qui peuvent être réels dans certaines positions générales des surfaces correspondantes; car, la même chose ayant lieu pour une de ces sphères combinée successivement avec chacune de toutes les autres , la proposition ci-dessus en résulte nécessairement.
Enfin , si les surfaces proposées étaient en outre concentriques, c'est-à-dire (591) si elles avaient, à l'infini , un plan de contact commun, réel ou idéal, il en serait de même évidemment des sphères qui les représentent ; concluons donc ce théorème :
Le système d'un nombre quelconque de surfaces du second ordre, s. et s. p. dans l'espace, c'est-à-dire ayant un plan de section commune à l * infini , peut , en général y être considéré, de deux manières différentes (5Ô7), comme la projection relief <T un égal nombre de sphères ayant, de même, une section plane idéale commune à l'infini ; déplus, quand le plan de section à r infini de Vun de ces
SUPPLÉMENT. 4ay
systèmes devient un plan de contact, il en arrive autant pour T autre système , et les surfaces respectives dont ils se composent sont concentriques.
63 r. N'oublions pas que, dans le dernier des cas dont il s'agit, comme dans le cas général, le centre de projection est nécessairement à l'infini ; en sorte que la projection cesse proprement d'être ce qu'on nomme centrale , et se fait par des systèmes de parallèles ; ce qui n'empêche nullement d'ailleurs que les deux figures rie jouissent encore des mêmes propriétés projectives.
Au surplus, M. Chasles a déjà remarqué (*), à l'aide de considérations déduites du calcul, qu'on pouvait étendre , aux ellipsoïdes s. et s. p. , certaines propriétés qui appartiennent aux sphères; et, pour y parvenir, il suppose que l'on fasse croître ou décroître, dans un certain rapport, les ordonnées abaissées , des différons points d'une surface du second degré , sur les plans principaux de cette surface. M. Dupin, avant lui, avait employé un mode analogue de transformation pour arriver aux beaux théorèmes sur la courbure des surfaces du second ordre qui font la base de ses Développemens de Géométrie (**), et il s'en était servi également pour établir quelques autres propriétés de ces surfaces , dans son Mémoire inséré au XIVe. cahier du Journal de F Ecole Polytechnique. Ce qui précède nous semble plus général , outre que cela laisse apercevoir de suite (578 et suiv.) quelle espèce de dépendances graphiques conservent entre elles la figure primitive et sa dérivée.
Je crois d'ailleurs mutile d'examiner le cas général des figures quelconques dont le centre d'homologie ou de projection est à l'infini; et je me dispenserai pareillement de montrer comment, des considérations relatives à ce cas, découle immédiatement tout ce qui appartient au mode de transformation dont il vient d'être parlé , ainsi qu'à quelques autres, souvent employés dans les arts , et dont M. Dupin s'est également servi avec avantage aux endroits déjà cités; ce que je pourrais dire à ce sujet ne serait qu'une application ou une extension facile de la théorie des figures homologiques en général , et de ce qui a été exposé , art. 3a6 et suiv. , pour le cas particulier des figures homologiques décrites sur un plan.
63a. Quant aux relations purement métriques concernant les figures homologiques dont le centre de projection est à l'infini, il est certain que, si elles satisfont aux diverses conditions établies au commencement de cet ouvrage, notamment aux art. 1 1, 20 et 47, elles auront lieu en même temps pour la figure primitive et pour sa dérivée ; mais ces relations ne sont pas les seules qui subsistent , dans le cas actuel, entre les deux figures; il en est un grand nombre d'autres
(*) Correspondance polytechnique ; tome III, p«g. 3a6 et 84* • (.**) Section I , I*. Mémoife.
4o8 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
particulières qui, pour la plupart, sont faciles à découvrir au moyen des principes poses art. 47. Ainsi, par exemple, on voit que les distances homologues seront divisées en parties respectivement proportionnelles par les points homologues ; les distances parallèles de Tune des figures , resteront parallèles entre elles dans l'autre et proportionnelles aux premières , et les mêmes choses auront encore lieu pour les aires de la figure primitive qui seront contenues dans un seul plan ou dans des plans parallèles > c'est-à-dire que les aires de la nouvelle figure seront elles-mêmes dans un seul plan ou dans des plans parallèles, et qu'elles seront de plus proportionnelles aux premières. Or, de cette correspondance entre les figures que Ton considère , découlent plusieurs corollaires remarquables : ainsi Ton voit que les centres, les axes, les plans de symétrie, enfin les centres de gravité, des lignes, des aires, des volumes homologues seront homologues, ou placés sur les mêmes droites et les mêmes plans projetans, etc.
Les relations entre les volumes homologues sont encore plus simples que celles entre les aires. A cet effet, on remarquera . que le plan de concours de deux figures homologiques , dont le centre est à l'infini , divise (326) en parties proportionnelles les projetantes ou distances parallèles comprises entre les différons points homologues ; or, si l'on -considère le prisme triangulaire formé par trois quelconques de ces projetantes et par les triangles homologues qui les terminent sur chaque figure, on verra, sans peine, que le plan d'homologie partagera, de même, ce prisme et tous ses semblables en deux autres, dont les volumes seront entre eux dans un rapport constant , égal à celui des ordonnées ou segmens formés sur chaque arête à partir du plan dont il s'agit : en effet , d'après les élémens , « tout prisme » triangulaire, terminé par des bases quelconques, a pour mesure le produit de la » surface de sa section perpendiculaire aux arêtes par le tiers de la somme de ces » arêtes. » Donc il en sera généralement ainsi de tout prisme projetant terminé par des faces , planes ou courbes , homologues des deux figures ; et partant les volumes homologues quelconques seront encore entre eux dans ce même rapport»
En appliquant ces diverses considérations aux figures qui nous ont occupés art. 63o , on en déduira , comme on voit , une infinité de théorèmes relatifs aux surfaces du second ordre en particulier, dont un grand nombre ont été énoncées sans démonstration , par M. Dupin , dans les notes IV et V du Mémoire inséré au XIVe. cahier du Journal de T École Polytechnique, et qui , pour la plupart, ont été reproduits depuis , par M. Chasles , dans le III0. volume de la Correspondance sur la même Ecole. Nous regrettons que l'espace nous manque pour entrer dans quelques développemens sur ce sujet aussi utile qu'intéressant ; et nous nous contenterons, pour terminer, de dire quelques mots sur la çubature des volumes ou portions de volumes des surfaces du second degré.
En considérant, en effet, que le parallélipipède rectangle, construit sur les trois axes principaux d'un ellipsoïde quelconque , a , pour homologue , un cube circonscrit à la sphère homologique de cette surface, on en conclura que les volumes homologues quelconques, appartenans à ces surfaces respectives, sont entre eux comme le produit des trois demi- axes de la première, au cube du rayon de la seconde , ou , à cause que le moyen axe égale (63o) le diamètre de la sphère, comme le rectangle des demi-axes extrêmes est au carré du rayon dont il s'agit : ainsi, par exemple, le volume d'un ellipsoïde quelconque égale \wabc; a, b, c, étant les demi- axes principaux, etc. , etc.
633. Nous venons de prouver (63o) que les propriétés projectives des surfaces du second ordre s. et s. p. sont les mêmes que celles qui appartiennent en général à un système de sphères quelconques ; or il est à remarquer qu'il n'est pareillement aucune des propriétés nombreuses des cercles, établies section II, chap. III, qui ne puisse s'étendre, d'une manière analogue, aux sphères et par suite aux surfaces du second ordre s. et s. p. On en sera parfaitement convaincu, si l'on réfléchit que les propriétés des systèmes de sphères doivent dériver uniquement , ainsi que cela a lieu (285) pour le cas particulier des cercles , de celles qui appartiennent à leurs centres de similitude ou d'homologie ; car ces dernières sont exactement semblables (593) pour le plan et pour l'espace.
Plusieurs de ces propriétés des sphères étant déjà connues des géomètres , nous renverrons aux ouvrages mêmes où elles sont exposées (*), en nous contentant, pour les autres, de montrer, par quelques exemples, comment peut avoir lieu l'extension dont il vient d'être parlé ; le peu que nous en dirons, joint aux considérations générales exposées pour le cas particulier des cercles , suffira pour mettre le lecteur sur la voie des démonstrations.
Considérons donc quatre sphères (C), (Cf)9 (C"), (Cm) situées arbitrairement dans l'espace, dont les centres de similitude, au nombre de douze, étant distribués, deux par deux, sur les six arêtes du tétraèdre qui a pour sommets les centres de ces sphères, et divisant ces arêtes en segmens harmoniques, auront entre eux les relations indiquées dans la note de l'art. 162, comme cela a déjà été exposé par les géomètres qui viennent d'ètrç cités (**)• Ainsi ces douze centres
(*) Voyez plus particulièrement, à ce sujet, la Notice publiée, par M. Dupin, a la page 420 du tome II de la Correspondance Polytechnique, et Jes Mémoire» de MM. Gergonne et Gaultier, déjà citée art. 371, section II. Enfin, pour la manière dont ces propriétés des sphères doivent s'étendre aux surfaces du second degré s. et s. p. , consultes le Mémoire de M. Chasles , dont il a été fait mention art. 63 1.
(**) Voyez aussi une démonstration, par les principes de la Théorie des transversales, dans l' Essai, sur cette Théorie, par M. Carnot. On connaît d'ailleurs l'élégante démonstration que Monge a, le
4io PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.
de similitude seront situés , trois par trois, sur une même droite et, six par six, sur un même plan; ce qui fait, en tout, seize axes (26$) et huit plans de similitude renfermant, quatre à quatre, ces seize axes, et s'entrecoupant par conséquent suivant chacun d'eux.
Cela posé, si Ton a choisi arbitrairement un plan de similitude, et, dans ce plan , les quatre centres de similitude provenant des sphères prises dans un ordre quelconque de succession, tel que (C), (C), (C"), (C"), sans que cependant une même sphère se trouve trois fois employée ; ces quatre points appartiendront aux sommets de Tun des trois quadrilatères simples formés par la mutuelle intersection des axes de similitude renfermés dans le plan dont il s'agit. Or , si l'on prend , à volonté , un point quelconque sur la surface (C) de Tune de ces sphères,. puis l'homologue inverse (242) de celui-ci sur la sphère (C), puis le point inversement homologue à ce dernier sur (C"), et ainsi de suite ; il pourra arriver que le cinquième point, obtenu de cette manière sur la sphère (C), se confonde avec le point de départ. Cela étant, les sommets du quadrilatère gauche, ainsi tracé, seront les points de contact de Tune des sphères tangentes à la fois aux proposées.
Dans le cas contraire, en traçant la droite indéfinie qui renferme le premier et le dernier points trouvés sur la sphère (C) , cette droite ira percer le plan de similitude en un point qui demeurera invariablement le même , quel que soit le point de départ, et sera tel que son plan polaire (589), par rapport a(C), renfermera le point de contact de cette sphère avec l'une de celles qui la touchent en même temps que les trois autres , et dont le contact est relatif au plan de similitude dont il s'agit.
634. Si , au lieu de s'arrêter ainsi au cinquième point trouvé , on continuait indéfiniment, et toujours dans le même ordre, à rechercher les points consécutivement homologues du premier, la suite de tous ces points appartiendrait à une même cinquième sphère , en général variable avec le point de départ , et qui aurait le plan de similitude correspondant pour plan de section commune , réelle ou idéale, avec toutes ses semblables, parmi lesquelles se trouvent nécessairement deux des sphères tangentes à la fois aux proposées. La cinquième sphère variable, dont il s1 agit, ira donc déterminer, sur chacune de celles-ci, un cercle renfermant
premier, donnée de ce théorème ; elle est fondée sur la considération du plan tangent commun aux cônes enveloppes des sphères, et repose ainsi, pour certains cas , sur l'admission de la continuité $ on pour* rait aisément loi en substituer d'autres exemptes de ce reproche, si toutefois on peut le croire fondé, ce que nous ne pensons pas; et ces démonstrations, simples et générales comme celles de Monge, auraient l'avantage de s'étendre à des figures quelconques ayant , deux à deux, un centre de similitude ou d'homologie.
SUPPLÉMENT. 4ri
tous les points homologues relatifs à cette dernière, et dont le plan rencontrera celui de similitude en une droite invariable en même temps que le point de départ ; de telle sorte qu'en menant, par cette droite, deux plans tangens à celle des sphères proposées qui lui correspond, pour obtenir la sécante de contact ou, plus généralement (590) | la polaire réciproque de la première par rapport à cette sphère , polaire toujours constructible d'après les propriétés qui lui appartiennent , cette polaire ira déterminer , sur cette même sphère^ deux points qui seront les points de contact de deux des sphères à la fois tangentes aux proposées.
Enfin les quatre polaires ou cordes de contact dont il vient d'être parlé, et qui renferment évidemment les pôles respectifs du plan de similitude , se rencontreront au point de concours unique des six plans de section commune , réelle ou idéale , des quatre sphères proposées , prises deux à deux. Ce point unique , que M. Gaultier nomme le centre radical des sphères, est donc tel aussi que, si l'on détermine les quatre plans polaires relatifs à ce point et à ces sphères, ces plans passeront réciproquement par les quatre droites invariables ci-dessus, placées sur le plan de similitude que Ton considère en particulier; et, comme ce point doit jouer absolument le même rôle par rapport à tous les plans pareils', on voit que les plans polaires dont il s'agit vont déterminer 3 a droites sur les huit plans de similitude, dont les polaires réciproques, par rapport aux sphères respectives, appartiendront, quatre à quatre, aux points de contact des seize sphères tangentes à la fois aux proposées (*).
635. Quatre points, consécutivement homologues inverses par rapport aux quatre sphères (C), (Cf),(C"), (QM)9 suffisant pour déterminer entièrement la cinquième sphère variable dont il a été parlé plus haut , et par conséquent pour construire, sur le plan de similitude correspondant , les droites fixes qui lui appartiennent ainsi qu'à toutes ses semblables , il en résulte qu'on pourra ne construire que ces quatre points , si Ton veut faire usage directement de la cinquième sphère qui les renferme; autrement il faudra construire douze points consécutivement homologues par rapport aux proposées, lesquels seront situés, trois par trois, sur ces sphères, etc.
Ces diverses constructions ont, comme on voit, la plus grande analogie avec celles que nous avons exposées à l'occasion des cercles, et elles dispensent de
(*) On comparera aisément ces diverses constructions arec celles obtenues par les géomètres déjà cités, art. 633, et il sera facile de reconnaître ce qu'elles peuTent avoir de commun.
Il est à remarquer d'ailleurs que , jusqu'à ces derniers temps , il n'existait que des solutions purement géométriques du problème de la sphère tangente à quatre autres, et que c'est à MM. Poisson , Français, Gergonne et J. Binet, que l'on doit les premières solutions algébriques satisfaisantes de ce problème.
4i2 PROPRIETES PROJECTIVES.
recourir directement aux plans de section commune des sphères ; on pourrait pareillement éviter l'usage des plans de similitude (284)5 mais je pense en avoir dit assez pour montrer l'esprit de ces recherches , et mettre le lecteur à même de trouver les diverses autres propositions relatives aux sphères dans l'espace , et qui ne sont que des extensions faciles de celles qui concernent le cas particulier des cercles décrits sur un plan. Je ferai cependant encore une remarque , en terminant ici à regret ce sujet intéressant, c'est qu'en appliquant, aux propositions dont il s'agit, les conséquences qui résultent du principe de continuité , delà même manière que nous l'avons déjà fait (287) dans le cas précité des cercles, on arrive, directement et très simplement, à plusieurs propriétés des figures inscrites et circonscrites à la sphère, et par conséquent (62g) aux surfaces du secoud ordre en général, qui me semblent mériter l'attention des géomètres, et par leur généralité et par les conséquences qu'on en peut tirer. Je me propose de revenir, parla suite, sur ce sujet entièrement neuf, si j'en ai le loisir et si Ton juge qu'après tout ce qui a déjà été dit pour le cas particulier du cercle, la chose puisse encore valoir la peine d'être développée.
636. D'après ce qui précède (63o) , toutes les propriétés des sphères qui viennent de nous occuper subsistent, de la même manière, pour les surfaces du second ordre s. et s. p., lesquelles, d'après nos principes, ont .comme elles une section plane commune à l'infini; or je dis qu'à leur tour, les propriétés pro— jectives des systèmes de surfaces du second ordre s. et s. p. s'appliquent aux systèmes de surfaces quelconques de cet ordre , pourvu seulement que celles-ci aient, comme les premières, une section plane commune, réelle ou idéale. Tout consiste, en effet, à prouver que l'un de ces systèmes peut être considéré comme la projection ou perspective relief de l'autre , c'est-à-dire comme l'homologique de cet autre.
Considérons donc le système d'un nombre quelconque de surfaces du second ordre ayant une section plane commune; prenons, pour centre de projection ou d'homologie, un point quelconque de l'espace, et, pour plan d'homologie, un plan parallèle à celui qui contient la section commune dont il s'agit ; prenons enfin un point, à l'infini, pour représenter un point quelconque du plan de cette section; ces deux derniers points appartiendront par conséquent au même rayon d'homologie. Cela posé, au moyen de ce couple de points et du plan d'homologie, on pourra construire (582 et 583), dans toutes ses parties, la figure homologique delà proposée, laquelle sera composée, comme elle, de surfaces du second ordre ayant nécessairement une section plane commune; or je dis que le plan de cette section sera à l'infini, et que les surfaces correspondantes seront par conséquent s. et s. p. En effet, le plan de cette section devra
SUPPLEMENT. 4i3
concourir, avec son homologue, sur le plan d'homologie; mais, par hypothèse, ces derniers plans sont parallèles entre eux; donc le plan de section commune des nouvelles surfaces leur sera aussi parallèle, ou aura une droite, à l'infini, commune avec ces plans; d'un autre côté, il doit aussi passer par un point quelconque à l'infini ; donc enfin il est lui-même situé tout entier à l'infini.
Si les surfaces du second ordre proposées, au lieu d'avoir simplement une section plane commune, avaient un contact, réel ou idéal, suivant cette section, il est évident (5 90) que leurs homologiques seraient à la fois concentriques, s. et s. p. Donc on peut énoncer ce théorème général :
Le système d'un nombre quelconque de surfaces du second ordre , ayant une section plane commune, réelle ou idéale , peut toujours être considéré comme la projection d'un égal nombre de surfaces de cet ordre s. et s. p. , qui de± viennent concentriques quand les proposées se touchent suivant la section qui leur est commune , c'est-à-dire (104) quand elles sont asympto tiques.
637. Nous avons démontré (63o) que les propriétés projectives des surfaces du second ordre s. et s. p. , ayant ou non un centre commun de symétrie, sont les mêmes que celles des sphères quelconques concentriques ou non concentriques ; donc il en est encore ainsi des propriétés des surfaces du second ordre qui ont une section plane commune, soit de contact, soit quelconque , et qui s'enveloppent ou se coupent suivant la courbe, réelle ou imaginaire, appartenante à cette section.
Au surplus, de la même manière que nous sommes déjà parvenus (587) aux propriétés projectives du système de deux surfaces du second ordre quelconques qui ont un sommet de cône enveloppe commun, sans recourir à celles des figures s. et s. p. dans l'espace, pareillement aussi Ton peut établir directement les propriétés générales de situation d'un nombre quelconque de surfaces du second ordre s. et s. p. , ou ayant, plus généralement, une section plane commune, sans s'appuyer , en aucune manière , sur celles qui ont été démontrées pour les sphères en particulier. Car', ces surfaces jouissant des mêmes propriétés projectives à l'égard de leurs centres et plans d'homologie individuels, on voit que les mêmes raisonnemens sont également applicables à tous les cas*
