CONCLUSION

638. Je crois avoir donné, dans ce Supplément , une idée de la manière dont les propriétés et les notions, relatives aux figures situées dans un plan, peuvent s'étendre, en général, à celles qui appartiennent à la fois aux trois dimensions. On pourrait multiplier presqu' indéfiniment le nombre des applications particulières, et faire voir qu'il n'est, poux l'espace comme pour le plan lui-même , presqu'aucune

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des propriétés générales, découvertes parles géomètres, qui n'ait sa source, soit dans la loi de continuité, soit dans quelqu'un des principes de la doctrine des projections ou des figures homologiques , étendue ainsi que nous venons de le faire en dernier lieu 5 et, comme en vertu de la loi dont il s'agit, les propriétés générales des figures demeurent immédiatement applicables à tous les états particuliers du système, peut-être aussi sera-t-on en droit de conclure que les recherches, qui font le sujet de ce travail, embrassent implicitement, dans leur objet, & peu près toutes les propriétés générales et particulières des lignes et des surfaces du second ordre indéfinies, combinées soit entre elles, soit avec les lignes droites et les surfaces planes.

C'est sur- tout pour les figures dans Pespace que le principe de continuité est, pour ainsi dire, indispensable : c'est aussi là, comme on vient de le voir, qu'il présente les applications les plus intéressantes et les plus multipliées. En effet, à l'aide de ce principe seul , et sans nous appuyer sur aucune description , ni aucune définition particulières des surfaces du second ordre, autre que celle qui exige qu'une, droite arbitraire ne puisse -les rencontrer en plus de deux points, nous venons d'établir les propriétés les plus générales de ces surfaces , celles qui , par leur nature compliquée, semblent plus spécialement rentrer dans le domaine de l'Analyse algébrique.

On peut croire d'ailleurs qu'après tous les exemples particuliers répandus dans le cours de cet ouvrage , on ne saurait éprouver aucune sorte de difficultés à appliquer les notions, qui résultent de ce principe, aux différens cas qui peuvent se présenter. Ainsi une ligne ou une surface du second ordre pourra perdre successivement une, -deux, trois de ses dimensions, ou cesser tout à-fait d'exister; c'est-à-dire que, dans ce dernier cas, elle deviendra imaginaire, et que, dans les autres, elle se réduira à un point, à un cône, à des portions de droites (437) et de plans, finies ou infinies, à des systèmes de deux droites ou de deux plans, soit que l'une de ces droites , ou l'un de ces plans , se confonde entièrement avec l'autre , soit qu'au contraire H s'en trouve à une distance infinie. Tout consistera, dans chaque cas, à examiner quelles sont les propriétés que peuvent encore conserver ces objets, soit individuellement, soit à l'égard des autres objets de la figure f et quelle espèce de modification particulière ont dû subir les propriétés de la figure générale et primitive à laquelle il faut nécessairement, et toujours, se reporter, si l'on ne veut pas courir le risque de se jeter dans des conséquences, ou tout-à-fait absurdes, ou tout au moins paradoxales.

Pour y parvenir, il faudra, les propriétés de la figure primitive étant bien connues, il faudra, dis «je, supposer, ainsi que nous l'avons indiqué dès le commencement de cet ouvrage, que cette figure varie par degrés insensibles,

ou d'une manière continue, sans rien changer aux lois ou à la relation générale qui lie entre elles les diverses parties de cette figure, Ainsi une surface du second ordre, qui se sera évanouie, ne devra pas être considérée simplement comme un point mathématique et absolu; il faudra lui attribuer mentalement des dimensions distinctes comme à la surface primitive; mais ces dimensions, comparables entre elles , seront censées infiniment petites ou nulles relativement aux grandeurs finies; en un mot, le rapport de ces dimensions restera exactement le même que dans une surface ellipsoïde donnée, prise pour objet de comparaison; c'est-à-dire que la surface infiniment* petite sera, en tout, s. et s. p. à l'égard de celle-ci; elle aura mêmes rapports, mêmes directions de diamètres conjugués, etc.

Pareillement encore une surface du second ordre, qui se sera changée en une surface de cône par suite des modifications survenues au système, n'aura' pas cessé de conserver un centre, des diamètres ^ des axes, etc.; le nombre de ses sections diamétrales, de ses plans tangens, etc., ne devra pas être borné simplement à celui des plans qui rencontrent ou touchent réellement ce cône suivant des arêtes ; on devra le considérer idéalement comme un hyperloïde à une ou deux nappes dont les diamètres, sauf ceux qui appartiennent à la surface même du cône asymptote , seront devenus infiniment petits sans que leurs rapports de grandeur et de direction aient cessé d1 exister. Enfin on devra envisager toute ligne ou toute surface , menée par le sommet du cône limite que l'on considère, comme étant tangente en ce sommet, et comme déterminant une section infiniment petite dans sa surface , etc. , etc. (*).

Toutes ces choses se sentent encore mieux qu'on ne peut les rendre , par le discours, et s'expliquent toujours d'une manière claire et satisfaisante sur chaque exemple particulier; après quelque exercice, il ne sera jamais possible de se tromper; car la loi de continuité, entendue comme il convient, et bornée, dans ses

(*) C'est ainsi , dit M. Vallée (Traité de la Géométrie descriptive ,pag. 3i6, art. 786), après avoir présenté, sur le cône, des réflexions analogues à celles qui précèdent, c'est ainsi que les cas particuliers retiennent toujours, par des propriétés singulières , une sorte d? empreinte de celles qui appartiennent aux cas généraux. On sentira aisément ce que ces idées ont de commun avec celles que renferme la note de l'art. 184 de la IIe. section, relativement aux simples sections coniques; et, en les rapprochant de la remarque, faite vers la fin de Fart. 65, généralisée convenablement pour les surfaces, on verra qu'il doit régner la plus grande analogie entre le cas pour lequel une ligne ou surface du second ordre se réduit à un point , et celui où elle se change simplement en un système de deux droites ou en un cône ; de plus , on aura , sur-le-champ , l'ensemble des propriétés qui appartiennent à la fois à une telle ligne, ou à une telle surface, et au système de ses asymptotes , ou k son cône asymptotique , en considérant que ceux-ci ont respectivement une sécante ou une section plane de contact, commune, a l'infini, avec cette ligne ou, cette surface.

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applications, à tout ce qui est essentiellement continu de sa nature, ou dont la génération peut être conçue s'opérer par une loi toujours la même, et il en est ainsi des êtres géométriques lorsqu'on les considère dans leur cours indéfini ; la loi de continuité , disons-nous, n'est point une simple analogie, une simple hypothèse, ni même une induction quelque forte qu'on veuille bien la supposer s elle est une conséquence rigoureuse, immédiate, et de la nature des objets que la Géométrie considère, et de la manière dont il nous est possible de concevoir les lois générales de la grandeur abstraite et figurée. La loi de continuité est constatée d'ailleurs par toutes les découvertes des modernes dans la science de l'étendue : on lui doit le calcul infinitésimal qui , cherchant dans Tinfiniment petit la génération de toutes les grandeurs finies, embrasse tout et s'applique, avec une merveilleuse facilité , à tout ce qui ressort du domaine des sciences physiques et mathématiques. Enfin c'est à elle que l'on doit les plus belles recherches géométriques de Monge, celles des Malus, des Lancret, des Dupin et d'une foule d'autres disciples de cet illustre professeur.