CHAPITRE PREMIER

Notions préliminaires sur la Projection centrale.

1 . JLIans ce qui suit 7 nous donnerons presque toujours au mot de projection le même sens que celui de perspective ; ainsi la projection sera conique ou centrale*

Dans cette sorte de projection 9 la surface sur laquelle on projette la figure donnée peut être quelconque} cette figure elle-même peut être située arbitrairement dans l'espace \ mais cette. grande extension étant inutile à l'objet particulier des recherches qui suivent , nous supposerons, en général 7 que la figure donnée et la surface de projection soient l'une et l'autre planes : lorsqu'il nous arrivera , par la suite , d'être obligés d'employer le mot de projection dans un sens plus étendu ou au contraire plus restreint encore , nous aurons soin d'en prévenir à l'avance d'une manière expresse , ou bien nous emploierons des épithètes convenables et exactement définies.

D'après cela , concevons que , d'un point donné pris pour centre de projection , parte un faisceau de lignes droites dirigées vers tous les points d'une figure tracée sur un même plan 5 si Ton vient à couper ce faisceau de droites -projetantes par un autre plan disposé d'une manière arbitraire dans l'espace ^ il en résultera , sur ce plan , une nouvelle figure , qui sera la projection de la première.

4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

2. Cette projection ne change évidemment ni la corrélation , ni le degré ou ordre des lignes de la figure primitive , ni , en général , toute espèce de dépendance graphique entre les parties de cette figure 1 qui ne concernerait que la direction indéfinie des lignes , leur intersection mutuelle 9 leur contact 7 etc. ; mais elle pourra faire varier seulement la forme , l'espèce particulière de ces mêmes lignes , et, en général , toutes les dépendances qui pourraient^ concerner des grandeurs absolues et déterminées, telles que ouvertures d'angles, paramètres constans , etc. Ainsi , par exemple , de ce qu'une ligne est perpendiculaire à une autre dans la figure primitive , on ne saurait en conclure qu'elle le soit dans la projection de cette figure sur un nouveau plan.

3. Toutes ces propriétés de la projection centrale résultent , d'une manière purement géométrique , de sa nature propre et des notions les plus communément admises , et il n'est pas besoin de recourir à l'Analyse algébrique pour les reconnaître et les démontrer : ainsi pour prouver qu'une ligne du degré m reste du même degré dans la projection , il suffit de remarquer que , la première ne pouvant être coupée en plus de m points par une droite arbitraire tracée dans son plan , il devra nécessairement en être de même de l'autre 5 puisque la projection d'une droite est toujours une ligne droite , qui doit passer par tous les points correspondais à ceux de la première.

4. Suivant la définition ft Apollonius généralement admise en Géométrie ^ une section conique ou simplement une conique est la ligne suivant laquelle un plan arbitraire rencontre un cône quelconque à base circulaire } une conique n'est donc autre chose que la projection d'un cercle, et7 d'après ce qui précède , c'est aussi une ligne dû second ordre , puisque la circonférence du cercle ne peut être coupée en plus de deux points par une droite arbitraire tracée dans son plan (*)•

(*) C'est une ellipse, une parabole, ou une hyperbole, suivant que le plan sécant rencontre à la fois toutes les arêtes du cône, est parallèle à l'une d'elles, ou est parallèle en même temps à deux d'entre elles} dans le premier cas, la courbe nva qu'une branche entièrement fermée ; dans le second , cette branche est fermée d'un côté et s'étend à l'infini de l'autre ; dans le troisième, la courbe a deux branches infinies, séparées et distinctes. D'après cela , il est aisé de voir que l'hyperbole a deux points à l'infini avec deux tangentes en ces points nommées asymptotes, et que, pour la parabole, ces deux points et ces deux tangentes se confondent en un seul point et en une seule tangente située tout entière à l'infini.

Nous reviendrons, dans le Chap. m, sur ces notions , en les exposant dans toute leur généralité»

SECTION I. CHAPITRE Ier. 5

5. Une figure dont les parties n'auront entre elles que .des dépendances graphiques de la nature de celles qui précèdent , c'est-à-dire des dépendances indestructibles par l'effet de la projection , sera appelée , dans ce qui va suivre , figure projectile.

Ces dépendances elles-mêmes , et , en général , toutes les relations ou propriétés qui subsistent à la fois dans la figure donnée et dans ses projections, seront appelées également relations ou propriétés projectiles.

6. D'après ce que nous venons de dire des propriétés projectives de disposition ou graphiques , il sera toujours facile de reconnaître si des propriétés sont telles à leur simple énoncé , ou à l'inspection de la figure } et il résulte immédiatement de leur nature particulière qu'il suffira de les établir et de les démontrer pour une projection quelconque de la figure à laquelle * elles appartiennent , pour qu'elles soient en général applicables à cette figure elle-même et à toutes ses projections possibles.

7« Quant aux propriétés projectives qui concernent les relations de grandeur et qu'on peut appeler métriques, il est certain que rien ne peut indiquer , à priori , si elles subsistent dans toutes les projections de la figure à laquelle elles appartiennent : en effet , la relation connue entre les segmens des sécantes du cercle , qui ne concerne que des grandeurs indéterminées , n'est pas pour cela une relation projectivej car on sait bien qu'elle ne subsiste pas pour une section conique quelconque , projection de ce cercle , et la raison en est que cette relation dépend implicitement du paramètre ou rayon.

D'un autre côté, de ce qu'une figure donnée renferme des lignes d'une espèce particulière , comme, par exemple, des circonférences de cercle, il ne faut pas en conclure , de suite , que toutes les relations qui lui appartiennent cessent par là même de subsister dans des projections générales de la figure ; car, si ces relations ne portent sur aucune grandeur déterminée et constante et qu'elles appartiennent à tout un genre , le contraire aura évidemment lieu.

Si donc une figure d'espèce particulière jouissait de certaines propriétés métriques, on ne pourrait affirmer à priori , et sans examen préalable, ni que ces propriétés subsistent , ni qu'elles cessent de subsister dans les diverses projections de la figure primitive. Or on sent toutefois l'importance qu'il y aurait à pouvoir reconnaître , à l'avance , si telle ou telle relation examinée est ou n'est pas projective de sa nature $ car il en résulterait qu'ayant démontre cette relation pour une figure particulière, on pourrait de suite rétendre à toutes les projections possibles de cette figure.

6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

8. Il ne paraît pas facile d'établir une règle simple pour tous les cas ; la méthode trigonométrique et l'Analyse des coordonnées ne* conduiraient ellesmêmes qu'à des résultats rebutans par la prolixité des calculs ; cependant 9 va son importance , cette question est digne d'attirer l'attention des géomètres. En attendant qu'ils Paient résolue d'une manière convenable , pour les relations projectives. en général , nous nous occuperons d'une classe particulière , quoique très-étendue, de ces sortes de relations, dont le caractère est aussi remarquable par sa simplicité que facile à vérifier et à reconnaître dans les relations qui en sont douées.

9. Pour traiter la question avec la généralité qui lui est propre , nous supposerons que la figure que l'on considère soit située arbitrairement dans l'espace.

Appelons A, B, C (fig. 1) les difFérens points de cette figure; soit S

le centre de projection $ imaginons que de ce point partent différentes droites projetantes dirigées vers les points A, B , C ••• ; soient pris sur la direction de

ces droites de nouveaux points A',B', C , correspondant respectivement

aux premiers ; soient joints ces points entre eux par des lignes droites de même que dans la figure donnée , en conservant par conséquent aux parties de la nouvelle figure la liaison qui subsiste dans la primitive 5 cette nouvelle figure pourra être regardée comme une espèce de projection de la première $ mais le mot de projection aura, dans ce cas, un sens plus étendu que celui que nous lui avons accordé, dans ce qui précède. Gela posé , considérons en par— . ticulier ce qui se passe dans le plan formé par les projetantes indéfinies SA , SB passant par les extrémités des droites AB et A'B' 7 dont la dernière est censée la projection de l'autre.

D'après un théorème fort connu de la Géométrie élémentaire , les surfaces des triangles SAB , SATB' , qui ont l'angle en S commun , sont entre elles comme les rectangles SA.SB, SA', SB' des cotés qui comprennent cet angle t et par conséquent le rapport de la surface de chacun de ces triangles au rectangle qui lui correspond est constant. Si donc on nomme — ce rapport , qui ne dépend évidemment que de l'ouverture plus ou moins grande de l'angle en S ^ et qu'on représente simplement par a , b les longueurs des projetantes SA , SB , et par p celle de la perpendiculaire abaissée du centre de projection sur la direction de AB 1 on aura

Surf. SAB = J^.AB = \m.a.b; d'où l'on tire

AB = m. — f P

SECTION I. CHAPITRE Ier. 7

expression beaucoup plus simple que celle qui serait fournie par la Trigonométrie (*), et qui nous présentera de grands avantages par la suite.

En considérant une autre droite CD de la figure donnée , et appelant c^d^rri et p1 les nouvelles grandeurs qui lui correspondent, on aurait de même

CD = m'.î^,

et ainsi de suite pour toutes les autres parties de la figure*

io« Maintenant , soit une relation quelconque existant entre les parties de la figure donnée ABCD , et supposons qu'il s'agisse d'examiner si cette relation subsiste aussi dans toutes les figures qui, ainsi que celle A'B'CD'...., peuvent être regardées comme les projections de la première.

Puisque cette relation doit avoir lieu 1 quelle que soit la position particulière des points A , B , C... ou A',B', C... sur les projetantes SA, SB..., il s'ensuit que , si on met à la place des quantités qui y entrent les valeurs correspondantes trouvées ci-dessus , elle devra être satisfaite , indépendamment de toute grandeur particulière attribuée aux droites SA , SB. . • ou a , b, p. . . . , qui fixent la position des points correspondais A,B.... } donc ces droites ou distances doivent disparaître d'elles-mêmes du résultat de la substitution , soit par réductions partielles , soit comme facteurs à tous ses termes 5 en sorte qu'il ne resterait plus qu'une relation entre les constantes m , m'... , si Ton remplaçait en même temps les perpendiculaires/?,//... par les valeurs qu'elles représentent dans chaque triangle partiel SAB, SA'B'....

Réciproquement , si les choses se passent ainsi , la relation examinée sera nécessairement projective 5 c'est-à-dire , qu'elle aura lieu pour toutes les figures , telles que A'B'C'D' , qui peuvent être regardées comme les projections de la première : en effet , il en résultera , en premier lieu , qu'il existe entre les constantes m, m'... une certaine relation 5 mais les distances A'B'9 B'C... de la nouvelle figure peuvent s'exprimer, de la même manière que celles de la figure primitive , au moyen des projetantes qui leur correspondent et des constantes m, mr...} donc, si Ton substitue pareillement dans la relation examinée, à la place des distances AB, BC..., les nouvelles distances A'B', B'C ... , ou plutôt les expressions qui les représentent , il ne restera également qu'une relation entre les

(*) En effet, on obtiendrait par cette dernière kt formule

8 PROPRIÉTÉS PROJECTTVES.

constantes m^m'... identique avec la première $ d'où il résulte , en second lieu , que les distances de la nouvelle figure satisfont exactement à la relation proposée , et que cette relation est par conséquent projective.

1 1 . Il existe une classe très-étendue de relations pour lesquelles les perpendiculaires p i p1... disparaissent à la fois, avec a, b... , du résultat de la substitution , sans qu'on soit obligé de les remplacer , comme dans la supposition générale ci-dessus , par les valeurs qu'elles représentent dans les triangles correspondais. Ce sont précisément ces sortes de relations que nous avions en vue dans ce qui précède.

Et, comme on n'a fait absolument aucune hypothèse particulière sur la situation des points Af5 B',C\... dans l'espace , non plus que sur celle des points

À,B,C dont Us sont censés la projection , il s'ensuit que toute relation ,

qui satisfera aux conditions précédentes , aura non -seulement lieu dans les projections ordinaires de cette figure sur un plan, mais encore dans toutes les figures rectilignes et gauches qui pourraient être censées résulter de la première par l'espèce de projection que nous venons de considérer.

12. Cette conséquence suppose expressément que les lettres a, b1 p.... disparaissent du résultat de la substitution indépendamment de toute relation particulière de grandeur existante entre elles , et en ayant simplement égard à la liaison purement descriptive qui existe entre les points et les distances du système , telle que leur contiguïté ou juxta-position , leur direction en ligne droite , etc. Mais il serait inutile d'avoir égard à toute dépendance moins générale $ comme , par exemple , à celle qui aurait lieu si un certain nombre de points étaient rangés sur une circonférence de cercle $ car les relations examinées ne pourraient s'appliquer à toutes les projections possibles de la figure ^ mais seulement à celles où la circonférence en question demeurerait un cercle ; or ces relations doivent , par hypothèse 7 se vérifier indépendamment de ces circonstances particulières.

i3. La contiguïté ou juxta-position de deux distances ou de deux segmens de ligne droite 1 AB et BC , qui ont une extrémité commune , peut s'exprimer immédiatement , en écrivant que la projetante SB ou b , qui correspond à cette extrémité , est la même pour l'une et pour l'autre 5 leur direction en ligne droite peut s'exprimer d'une manière tout aussi simple 1 en écrivant que les perpendiculaires p qui leur correspondent sont aussi égales. Quant à la condition qui exigerait que la figure fut en totalité ou seulement en partie sur un plan , elle serait beaucoup plus difficile à exprimer 5 aussi voulons -nous

SECTION I. CHAPITRE Ier. 9

borner nos recherches aux relations qui se vérifient indépendamment de cette circonstance particulière , et sont nécessairement plus générales que les autres , puisqu'elles auront lieu , non seulement pour les projections planes de la figure proposée , mais aussi pour la projection beaucoup plus générale définie , art. 9 , et qu'on peut appeler projection ou perspective relief.

14. Dya plus, ces relations subsisteront même quand on supposera que tout se passe dans un plan 5 c'est-à-dire quand on supposera que le centre de projection , la figure donnée et sa projection se trouvent à la fois dans un seul et même plan. Ce genre particulier de projection pourrait s'appeler projection ou perspective dans un plan. On peut la considérer évidemment comme la projection plane d'une autre projection déjà existante dans l'espace t ou comme le rabattement de cette dernière sur le plan de projection.

i5. Enfin ces mêmes relations subsisteront encore pour la projection de la figure donnée sur une seule et unique ligne droite ; ce qui suppose nécessairement que cette droite , le centre de projection et la figure donnée soient dans un même plan , comme dans le cas qui précède. La droite en question remplissant ici la fonction de plan de projection 1 ou de tableau , on peut appeler l'espèce de projection qui en résulte projection sur une droite.

16. Au reste , on peut remarquer , quelle que soit l'espèce de projection que l'on considère , que les relations projectives qui appartiennent à la figure proposée, par cela même qu'elles satisfont aux conditions ci-dessus prescrites (1 1), doivent aussi subsister entre les constantes m, m! .... , lesquelles ne dépendent absolument (9) que de l'ouverture plus ou moins grande des angles ASB, CSD... , qui leur correspondent respectivement , et qu'on peut appeler angles projetons des droites AB,CD....

En effet supposons chacune de ces relations réduite à sa plus simple expression , et par conséquent composée de termes tous différens et sans dénominateurs , il est clair qu'en substituant dans chaque terme , à la place des longueurs AB,CD...., les valeurs trouvées ci -dessus (9) qui leur correspondent respectivement 7 il ne pourra se faire aucune réduction de terme à terme , non plus qu'auparavant } car chaque nouveau terme sera affecté d'un coefficient composé en m, m1 ... , comme l'ancien l'était en AB, CD ... } c'est-à-dire qu'ils seront tous différens entre eux. Donc , les lettres a^b^p --. devant dis-, paraître indépendamment d'aucune relation particulière , il faudra qu'elles dis-< paraissent comme facteurs communs à tous les termes ; en sorte qu'il ne restera plus qu'une relation composée en m* ni ... seules y comme la relation proposée l'est elle-même en AB,CD... * a

10 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES.

Réciproquement, s'il existe entre les constantes m, m'..., appartenant aux différens angles projetans d'une figure donnée, une relation telle qu'en y remplaçant ces constantes par les distances qui leur correspondent respecti-r vement , la nouvelle relation , ainsi obtenue , satisfasse aux conditions particulières de fart. 115 cette relation aura lieu effectivement entre les distances dont il s'agit , non-seulement pour la figure que Ton considère en particulier , mais encore pour toutes celles qui peuvent en être censées la projection (*).

17, Les quantités m, m'..., que nous venons de considérer, ne sont évidemment autre chose que les sinus des angles projetans , ou les rapports constans entre les perpendiculaires abaissées des différens points de l'un des côtés de chacun de ces angles sur le côté correspondant , et les distances de ces mêmes points au sommet commun ou centre de projection 5 ainsi l'on peut énoncer le principe général qui suit :

*Sï, à partir cFun point quelconque pris pour centre de projection, on dirige un faisceau de lignes droites projetantes vers les différens points dune figure donnée arbitrairement dans V espace ou sur un plan, et que les parties de cette figure aient entre elles une ou plusieurs relotions métriques projectiles, satisfaisant aux conditions prescrites, art. 1 1 , les- mêmes relations auront lieu aussi entre les sinus des angles projetans qui leur correspondent respectivement.

1 8. Supposons maintenant que le centre de projection soit précisément le centre d'une surface sphérique , prise elle-même pour surface de projection 5 les diverses longueurs ou distances linéaires de la figure donnée se trouveront remplacées par des arcs de grands cercles de la sphère , lesquels auront , pour sinus , les sinus mêmes des angles projetans qui leur correspondent respec-

. fivement ; en sorte qu'on a cet autre théorème général , identique , quant au fond , avec le premier :

Une figure étant donnée, à volonté, dans V espace ou sur un plan, si on la projette sur une surface sphérique quelconque , dont le centre coïncide avec celui de projection, toutes les relations projectiles satisfaisant aux conditions prescrites , art. 11 , et qui appartiennent aux distances qui séparent entre eux les divers points de cette figure , auront lieu aussi entre les sinus des arcs de grands cercles correspondais.

(*) On doit pourtant excepter le cas où le centre de projection serait supposé à l'infini, parce qu'alors les relations posées, art. 9, cessent de subsister (Voyez plus loin art. 47).

SECTION I. CHAPITRE Ier. x x

19. Les mêmes choses ont évidemment lieu , d'une manière analogue, pour les relations purement graphiques de la figure donnée , et qui sont projectives de leur nature (5) 5 c'est-à-dire que ces relations subsisteront aussi entre les droites , plans et cônes projetons , et entre les points , arcs de grands cercles et courbes à double courbure qui leur correspondent respectivement sur la surface de la sphère qui a pour centre celui de projection , pourvu toutefois qu'on n'entende plus parler , dans ce dernier cas , du degré des diverses lignes 1 qui sera nécessairement doublé aussi bien que le nombre des points de la figure. Cette dernière extension a même lieu quand on projette la figure donnée sur une surface quelconque , à partir d'un point donné de l'espace pris pour centre de projection \ mais ces considérations générales sont étrangères à l'objet véritable des recherches que nous avons en vue dans ce travail.

20. Parmi l'infinité de relations projectives qui satisfont aux conditions particulières de l'art. 1 1 , il en est qui méritent sur-tout d'être remarquées par la facilité avec laquelle on peut , à l'avance , en assigner le caractère , et , par suite, les reconnaître au ample énoncé, sans qu'il soit nécessaire d'effectuer en aucune manière les substitutions prescrites.

Supposons, en effet, une relation ou équation à deux termes, sans dénominateurs , composés chacun d'un même nombre de facteurs exprimant de simples distances entre les divers points d'une figure donnée ; supposons encore , si Ton veut , que l'un des membres ou tous deux soient multipliés par des nombres absolus d'ailleurs quelconques 5 il est évident que cette relation satisfera aux conditions de l'article dont il s'agit, i°. si les mêmes lettres se retrouvent dans les facteurs linéaires qui composent les deux membres; a°. 51 à chaque distance appartenant à Vun des membres , il en correspond une autre dans le second , qui ait la même direction que la première , ou soit sur la même droite. Car , par suite de la première hypothèse , toutes les projetantes a,6,c... disparaîtront du résultat de la substitution, et, par suite de la seconde , il en sera encore ainsi des perpendiculaires/*,//... ; en sorte qu'il ne restera plus qu'une relation entre les quantités m, m! ... , qui sont indépendantes les unes des autres.

On remarquera que , pour arriver à cette conséquence , il n'est nullement nécessaire de recourir aux principes de l'Algèbre 5 il suffit de posséder les notions lçs plus simples de la théorie ordinaire des proportions ou des rapports géométriques } car la relation qui vient de nous occuper peut aisément se ramener à l'égalité de deux rapports composés , et les raisonnemens des

13 PROPRIÉTÉS PROJECTTVES.

art. 9 et 1 o peuvent alors se réduire eux-mêmes à des considérations fort simples sur ces sortes de quantités.

Nous verrons , plus tard , que les relations particulières ^ qui viennent d'être définies d'une manière purement géométrique , sont presque les seules qu'on rencontre dans les recherches où Ton se propose de découvrir les propriétés projectives de certaines figures} on doit concevoir, d'après cela et d'après ce qui a été dit ci-dessus (7), quelle est l'importance des discussions auxquelles nous nous sommes livrés dans ce qui précède.

a 1 . Pour donner un exemple très-simple de cette sorte de relation , nous considérerons les quatre points A , B , C , D (Fig. 2 ) , situés en ligne droite , et Bés entre eux par la proportion

CA DA CB DB > c'est-à-dire que la ligne AB est divisée en segmens proportionnels par le point C et le point D.

Il est évident que cette relation rentre dans la classe particulière de celles de l'art. 20 5 donc elle aura lieu pour toutes les projections de la figure (*) : propriété qui a été connue des anciens , comme il paraît d'après la Propos. CXLV du VIP. livre des Collections Mathématiques de Pappus.

22. La relation ci-dessus jouit d'un grand nombre de propriétés curieuses ^

et se reproduit souvent dans les recherches géométriques ; en la mettant sous

cette forme